五、(不定积分)联系题参考答案 习题4－1(A) 1.
(1)52
25x C +
C 322(3)
3x C --+ 31(4)10l n x C x -+
(5)35224235x x C ++ (6) 53
2
22212523
v v v C +-+
(7) 2arcsin 3arctan x x C -+ (8)
31ln 3
x x
e C ++ (9) 23ln x e x C ++ (10) 3cos cot x x c --+ 2.33,2x C x ++ 4.252y x c =
+，25
12
y x =+ 5.ln 1y x =+ 6.(1) 27m
7.1
()1000()3
p D p =
习题4－1(B) 1.
(1)arcsin x C + (2)2arctan x x C ++ (3) arctan x x C =+ (4) 1
3arctan x C x --+
2C
(6)x
e C - (7)tan sec x x C -+ (8)3(sin )2x x C ++ (9)2(tan )x x C -+ (10) 1
tan 2
x C + 2.01
(1)s s cos t ωω
=+
-
3.5cos 102sin x t y t =-+??=?
4.3
31(5)13()1
11
(1)1
3
x x F x x x x x ?+≥??
=+
习题4－2(A) 1. (1)17 (2)110 (3)112
- (4)2- (5)23- (6)15- (7) 1
3 (8) 1-
3.
(1) 31(32)3x C --+ (2)1ln 122x C --+
(3)C
C +
(5) C (6)13arctan 62x C +
(7)
4C + (8)515t e C --+ (9)11sin 428x x C ++
(10)1cot(2)24x C π-++ (11)11cos 2cos 448x x C -+ (12) 12
ln 31
x C x -++
4.
(1)21ln(2)2x C ++ (2)21arctan()2x C +
(3) C (4)229ln(9)22x x C -++
(5)12arcsin 23x C +
(6)3
32
2(1)9
x C ++ (7)21(ln )2x C + (8) 212x e C + (9) 2
214
x e C + (10)ln 1cos x C -++ (11)31
sin sin 3
x x C -+ (12)arctan x e C +
5.
(1)ln C + (2)1arccos C x +
(3)C +
(4)2arcsin 2a x C a
(5)1
9C x
+
C +
(7)321(12)6x C +
(8)C +
ln(1C +
(10)C +
习题4－2(B)
1.
(1)21()2F ax b C a ++ (2) 1()F C x -+
(3)2
(F C a
+ (4)(ln )F x C + (5)1
()ax F e C a + (6)(sin )F x C + (7)(cos )F x C -+
(8)(tan )F x C + (9)-(arccos ) F x C + (10)(arctan ) F x C + 2.
(1)1arctan(2sin )2x C + (2)5711cos cos 57x x C -++ (3)31
sec sec 3
x x C -+ (4)1 cox C x + (5)tan 2x C + (6)tan sec x x C -+ (7)2
33
(sin cos )2
x x C -+
(8)21(ln tan )4x C + (9)ln ln ln x C + (10)1
ln C x x -
+ 3.
(1)C (2)2arcsin
2x C -+ (3) C +
(4)1)C + (5)
arcsin x c +
(6)1
(arcsin ln 2x x C ++ 4.
(1)()1f x = (2)211
()22
f x x x =-+
习题4－3(A)
(1)sin cos x x x C ++ (2)(ln 1)x x C -+(3)1
x
x C e +-
+ (4)11cos(3)sin(3)3494x x x C ππ-++++ (5)11
cos 2sin 248
x x x C -++
(6)arccos x x C (7)21
arctan ln(1)2
x x x C -++
(8)221111ln(1)ln(1)2422x x x x x C -----+ (9)(sin cos )2
x
e x x C ++ (10) 21
tan ln cos 2
x x x x C +-+
习题4－3(B) 1.
(1)2(2)sin 2cos x x x x C -++ (2)12ln 11(1)n x x C n n +??
-+??
++??
(3) 2
22(ln )2ln 14x x x C ??-++?? (4)ln(x x C (5)22113
(3)22
x x x e C -++ (6)(1)ln(1)x x x e e C --+++ (7)21
arctan (arctan )22
x x x x C --+ (8)22(cos 4sin )1722x x x e C --++
(9)2
-421-(1) 2x e x x C +++ (10)21
(sec tan )2
x x x C -+
(11)3221
arctan ln(1)366
x x x x C -+++ (12)[]cos(ln )sin(ln )2x x x C ++
(13)32)C +
(14)C -
2.2212
sec tan 11n n n n x x n n ---I =
+I -- 习题4－4(A)
1.(1)221ln 21x C x ++ (2) 661ln 244x C x ++ (3)4
3
(4)ln (3)x C x -+- (4)
32
8ln 4ln 13ln 132
x x x x x x C +++-+--+
C + (6)ln 1tan 2x
C ++
(7)C +
(8)2
1ln(4tan 9)8x C ++
(9)2
33(1)3ln 12
x C +-+
ln x C + 2.
(1) 1
1ln 21
x
x e C e -++ (2)2
112(1)1C x x -+-- (3)3331arctan 3x C a a + 0a >
(4)ln 2ln(1x C -++ (5)2ln(1)2arctan x x x x C +-++
(6)11tan sec ln sec tan 22x x x x C -++ (7)2(sin cos )22
x x
C -+
(8)44x C ++
(9)arctan x
C x -++
(10) 2
C +
(11)C + (12)21121x
C e -++ (13)ln sin cos x x C ++ (14)1
ln cos sin 22
x x x C +++
(15) 221(arcsin )44x x x C +
-+ (16)sin ln 1sin x C x
++ 习题4－4(B)
1. (1)3ln 1x C x +
++
1)1)C ??++-+?? (3)121ln 239923x C x ++
++ (4)11
ln tan tan 22
x x C ++ (5)sin sin 2sin 2x x xe e C -+ (6)tan 2
x
x C +
(7)(42x C -
(8) C
(9)
1
(ln 12
x x C +++
(10) C x
+
2.
(1)3413C a ??
???++??
(2)3
13-??
(3)
csc cot 22
x x C -+ (4)2
3323(1)()255x x
e e C +-+
(5) sin (sec )x e x x C -+ (6)1
ln(1)1x x
x e C e -++
++ (7)2
13(arctan )5439x x C x +++ (8)ln(1)1
x
x x xe e C e -+++
(9)2(arcsin )2x x x x C +-+
(10)2211
(2(6)39x x x x C -+-++
(11)arctan 12x e C (12)
ln x C x + 3.
cos 2sin x x x
C x
-+
4.10()0x
x C
x f x e C
x ++-∞<≤?=?+<<+∞
?,ln 101(ln )1x C
x f x x C x ++<≤?=?+<<+∞?
总复习题四
一、(1)C (2)D (3)C (4)B (5)A (6)B
二、(1)2cos 2x C -+
(2)C (3)22
1(1)2
x e x C --++
(4) x
x e C ++ (5)3
22
1(1)3
x C --+ (6)11()()xf x F f x C --??-+?? 三、
(1) 3
22
1(1)3x C + (2)ln 1ln 11x C x x
+-+-
(3) 1
(1)ln(1)x C x
--+
(4)1)C +
(5)2C
(6)21
cot ln(1)2x x x e arc e x e C ---+++
(7) 2211
arctan ln(1)(arctan )22
x x x x C -+-+ (8)2tan x e x C +
(9)211
arctan
42
x C ++ (10)当0,0a b =≠时，
21tan x C b + . 当0,0a b ≠=时，2
1
cot x C a -+ 当0ab ≠时，1tan arctan(
)a x
C ab b
+ (11)211csc cot 8242x x x C --+ (12) 211ln tan tan 4282
x x
C ++
(13)2cos 4sin 6cos x x x x x C --+ (14)2ln 1x x C -++
六、(不定积分)练习题选解
1. 习题4－1(B)
(4)222222222
1213131()3arctan (1)(1)1x x x dx dx dx x C x x x x x x x -+-==-=--++++??? 2. 习题4－1(B)
4.求2()max{1,}f x x =的一个适合条件(0)1F =的原函数()F x
解：2
21
()1
111
x x f x x x x ?≤?
=-<
，()f x 为(,)-∞+∞上连续的分段函数，设1()F x 为()f x 在(,)-∞+∞上的一个原函数，因1()F x 可导，所以1()F x 必连续.
3
1
13
213()11
13x x F x x x x x αα?+≤???
=-<
111111lim (),lim ()13x x F x F x α-+→-→-=+=- 12
3
α?=- 121111lim (),lim ()13x x F x F x α+-→→=+= 22
3
α?= 3132
133()()112133
x C
x f x dx F x C x C x x C x ?-+≤???
=+=+-<
所求10()()F x F x C =+，由0(0)11F C =?=
于是3
31(1)
13()1
111
(5)13
x x F x x x x x ?+≤??
=+-<
22
222ln 2ln 222
211244
x
x
x x x x x e
dx e e dx e xdx e d x e C +===
=+???? 4. 习题4－2(B) 2(6) 2211sin 1sin 1sin 1sin cos x x
dx dx dx x x x
--==+-??? 22
1sin ()tan sec cos cos x dx x x C x x
=-=-+? 5. 习题4－2(B) 2.(10)221ln (ln )1
(ln )(ln )ln x d x x dx C x x x x x x +==-+?? 6. 习题4－2(B)
3.(2)12==
2
arcsin
2
x C -=+ 7. 习题4－2(B)
3.(6)
令sin x t = 原式cos 1(sin cos )(cos sin )sin cos 2sin cos t t t t t dt dt t t t t
+-==++??
1(s i n c o s )1(l n s i n c o s )
2s i n c o s 2d t t t t t t C t t +??=+=+++??+??
?
1
(a r c s i n l )
2
x
x C =++ 8. 习题4－3(A) (10)2221
tan (sec 1)tan 2
x xdx x x dx xd x x =-=-???
21
tan ln cos 2
x x x x C =+-+
9. 习题4－3(B) 1.(6)ln(1)
ln(1)x x x x
e dx e de e -+=-+?? l n (1)(1)l n (1)1x x
x
x
x
x
x e e e e d x x e
e C e ---=-+
?
+=-++++?
10. 习题4－3(B) 1.(10)332sin cos 11
cos cos 2cos x x xd x dx xd x
x x ==?
?? 21
(s e c t a n )2
x x x C =-+
11. 习题4－3(B)1.(12)1
cos(ln )cos(ln )sin(ln )x dx x x x x dx x
=+??
c o s (l n )
s i n (l n x x x d x
=+?1
c o s (l n )s i n (l n )c o s (l n )x x x
x x x d x x =+-? []c o s (l n )c o s (l n )
s i n (l n )
2
x x
d x x x
C ?=++? 12. 习题4－3(B)2.(2) 设sec (2,3,)n n xdx
n I ==?
试证 2212
sec tan 11
n n n n x x n n ---I =
+I -- 证：2sec sec tan n n n xdx xd x -I ==??
22
2
s e c t a n t a (
2)s e c
n
n x x x n xdx --=--? 222
s e c t a n (2)(s e c
1)s e c
n
n x x n x xdx --=---?
22s e c t a n (
2)()
n n n x x n --=--I -I
2212sec tan 11
n n n n x x n n ---?I =
+I -- 13. 习题4－4(A)1.(2) 56
66666111()(4)(4)244
dx x dx dx x x x x x x ==-+++??? 6
61ln 244
x C x =++ 14. 习题4－4(A)1.(8)222tan tan tan 4sin 9cos 4tan 9
x x
dx d x x c x =++?
? 222
1t a n 1l n (4t a n 9)24t a n 98
d x x C x ==+++?
15. 习题4－4(A)1.(10)
==-
ln x C =+
16. 习题4－4(A)2.(8)1184
8484132432
x x dx dx x x x x =++++?? 4444
48
4441132141()44324421
x x dx dx dx x x x x +=-=--++++???
44ln 42
x C x =+++
17. 习题4－4(A)2.(11) 令6x t =
原式25
632616()(1)t t dt td C t t t t t ?===+++??
18. 习题4－4(A)2.(12)222
2()x x x x dx dx
e e e e --=+++?
?
222211
(1)21x x x e dx C e e ==-+++?
19. 习题4－4(A)2.(14)cos 1tan cos sin dx x
dx x x x
=++?
?
1(cos sin )(cos sin )
2cos sin x x x x dx x x ++-=
+?
11(cos sin )22cos sin x d x x x x =+++? 1
ln cos sin 22x x x C =+++
20. 习题4－
4(A)2.(15)xdx 令sin x t =
原式21cos 21
cos cos sin 2244
t t t t tdt t dt t tdt +=?=?
=+??? 2211
sin cos sin 424
t t t t t C =+-+
221(arcsin )44
x x x C =-+ 21. 习题4－4(B)1.(2)224222
11
1(1)2x x dx dx x x x ++=++-??
2=
1122=
+
1122=
+
22. 习题4－4(B)1.(6)22
2sin cos
sin sin 22tan 1cos 22cos 2cos 22
x x
x x x x x dx dx xd dx x x x ++==++???? t a n t a n t a n t a n 2222
x x x x
x d x d x x C =-+=+?? 23. 习题4－
4(B)1.(8)=?
t =，则3311t x t +=-，232
6(1)t
dx dt t -=-
原式232
2236322(1)()1
t dt dt C t t
t -==-=--??
24. 习题4－
4(B)1.(10)
令1x t
=
原式221111))dt dt t t -=-=-
当0x >
时，原式C C x ===+ 当0x <时，有相同的结果 25. 习题4－
4(B)2.(4)2x
x
x =
222
33333(1)(1)(1)22x x x x x x
e d e e e e de ??=+=+-+??????
23323(1)()255
x x
e e C =+-+
26. 习题4－4(B)2.(5)3sin 2
cos sin cos x
x x x
e
dx x
-? sin sin sin sin cos tan sec sec x x x x e x xdx e x xdx xde e d x =-=-???? sin sin sin sin sec sec cos x x x x xe e dx e x xe xdx =--+??
sin (sec )x e x x C =-+
27. 习题4－4(B)2.(11)arctan 23
(1)
2
x
xe dx x +?
令tan x t =
原式23tan 1sec sin (sin cos )sec 2
t t
t te tdt e tdt e t t C t ====-+??
a r c t 12e C =+
28. 习题4－4(B)2.(12)22ln 111
(ln )ln (ln )
x dx dx dx x x x -=-??? 221111ln (ln )(ln )ln x x
x dx dx C x x x x x
=+-=+?? 29. 习题4－4(B)3.设()f x 的一个原函数为
sin x
x
，求'()xf x dx ? 解：'2sin cos sin sin cos 2sin ()()x x x x x x x x
f x C C x x x x
--==-+=+
30. 习题4－4(B)4.设'
1
01
(ln )1x f x x
x <≤?=?
<<+∞?求()f x 与(ln )f x
解：'ln 1
01(ln )1x
x f x e
x <≤?=?<<+∞
? 令ln x t =，t x e =
得'
10101()01t t t
t
t e f t e
t e
e -∞<≤?<≤??==??<<+∞
<<+∞
???
即'1
0()0x
x f x e
x -∞<≤?=?<<+∞
?
设1()f x 为'()f x 的一个原函数.
31.总复习题四
三、(11)4
4333
3cos cos cos
1222sin 88sin cos 8sin 222
x x x
x x x dx dx dx x x x x ==??? 222211111sin sin csc cot 828288242
sin 2
x x dx x x xd x x C x --=-=-+=--+?? 32. 总复习题四
三、(12)31sin 22sin 2sin (cos 1)8sin cos 22
dx dx dx
x x
x x x x ==++?
??
21tan 4tan cos 22
d x x x =?=22(1tan )1112tan ln tan tan 424282tan
2x
x x x d C x +==++? 33.总复习题四、 三、(14)设2
2
2(1)ln 2
x f x x -=-，且[()]ln f x x φ=.求()x dx φ?
解：22
2(1)1
(1)ln (1)1
x f x x -+-=-- 即1()ln 1x f x x +=-
()1()1
[()]ln
ln ()1()1
x x f x x x x x φφφφφ++==?=-- 即1()1x x x φ+=-
1
()2ln 11
x x dx dx x x C x φ+==-++-??
34.总复习题四
三、(15)已知()F x 是()f x 的一个原函数，且2
()
()1xF x f x x =
+，求()f x . 解：由题设可得2
1()()x F x f x x
+= 两边可求导得2'
211()(1)()()x f x f x f x x x
+=-++
即有'2
()1
()(1)
f x f x x x =+ '2
()1
()(1)
f x dx dx f x x x =+?
?
1ln ()f x C =
1
()C f x e =±
令1C e C ±= 得
()f x =
不定积分例题 例1、设)(x f 的一个原函数是x e 2-，则=)(x f （ ） A 、x e 2- B 、2-x e 2- C 、4-x e 2- D 、4x e 2- 分析：因为)(x f 的一个原函数是x e 2- 所以)(x f ='=-)(2x e 2-x e 2- 答案：B 例2、已知?+=c x dx x xf sin )(，则=)(x f （ ） A 、x x sin B 、x x sin C 、x x cos D 、x x cos 分析：对?+=c x dx x xf sin )(两边求导。 得x x xf cos )(=，所以= )(x f x x cos 答案：C 例3、计算下列不定积分 1、dx x x 23)1(+ ? 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+? 分析：利用基本积分公式积分运算性质进行积分，注意在计算时，对被积函数要进行适当的变形 解：1、dx x x 23)1 (+?dx x x x )12(3++ =? c x x x dx x dx x xdx +-+=++=? ??22321ln 22112 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+?dx x dx e x ??+=2sin 1)3(c x e x +-+=cot 3ln 1)3( 例4、计算下列积分
1、dx x x ?-21 2、dx e e x x ?+2) 1( 分析：注意到这几个被积函数都是复合函数，对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法，在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ?=，设法将对x 求积分转化为对)(x u ?=求积分。 解：1、dx x x ?-21c x x d x +--=---=?2221)1(1121 2、dx e e x x ?+2) 1(c e e d e x x x ++-=++=?11)1()1(12 例5、计算?+xdx x sin )1( 分析：注意到这些积分都不能用换元积分法，所以要考虑分部积分，对于分部积分法适用的函数及u ，v '的选择可以参照下列步骤①凑微分，从被积函数中选择恰当的部分作为dx v '，即dv dx v ='，使积分变为?udv ；②代公式，?udv ?-=vdu uv ，计算出dx u du '=；③计算积分?vdu 解：?+xdx x sin )1(???--=+=x x xd xdx xdx x cos cos sin sin ?+-+-=---=c x x x x x xdx x x cos sin cos cos )cos cos (
第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1
1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数5 2 x -=，由积分表中的公式（2）可解。 解：5 322 23x dx x C --==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 3332223()2 4dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：22 32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：3153 222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+??? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：42232233113arctan 1 1x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134（-+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解： 2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++?? ★★(9) 思路=？11172488x x ++==，直接积分。 解：715888.15 x dx x C ==+?? ★★(10) 221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。
不定积分练习题一、选择题、填空题： 1、(1 sin2X )dx 2 2、若e x是f(x)的原函数，贝x2f(l nx)dx ___________ 3、sin(ln x)dx _______ 2 4、已知e x是f (x)的一个原函数，贝V f (tanx)sec2xdx ___________ : 5、在积分曲线族dx 中，过(1,1点的积分曲线是y _______________ 6、F'(x) f(x)，则f '(ax b)dx ____________ ; 、1 7、设f (x)dx 2 c,则 x 8、设xf (x)dx arcs in x c,贝V ---------- dx f(x) 9、f '(lnx) 1 x,则f (x) _______ ; 10、若f (x)在(a,b)内连续，则在(a,b)内f (x) _________ (A)必有导函数(B)必有原函数(C)必有界(D)必有极限 11、若xf (x)dx xsin x sin xdx,贝Vf (x) _____ 12、若F'(x) f(x), '(x) f(x),贝V f (x)dx ______ (A)F(x) (B) (x) (C) (x) c (D)F(x) (x) c 13 、 下列各式中正确的是：(A) d[ f (x)dx] f (x) (B)引 dx f (x)dx] f (x)dx (C) df(x) f(x) (D) df(x) f (x) c 14 、设f (x) e x,则： f(lnx) dx x 1 c x (A) 1 c x (B) lnx c (C) (D) ln x c ◎dx
34 / 8 第四章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质 一、求下列不定积分： 1．dx x x ? ． 2．?x x dx 2 ． 3．?-dx x 2 )2(． 4．?-dx x x 2 )1( 5．? +++dx x x x 1133224． 6．?+dx x x 2 2 1． 7．??-?dx x x x 3 2532． 8．?-dx x x x )tan (sec sec ． 二、一曲线通过点)3,(2 e 且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程． 第二节 换元积分法
35 / 8 一、填空题： 1．=dx )37(-x d ． 2．=xdx )5(2 x d ． 3．=dx x 3 )23(4 -x d ． 4．=- dx e x 2 )1(2 x e d - +． 5．=xdx 23sin )23(cos x d ． 6．=x dx |)|ln 53(x d -． 7． 291x dx + )3(arctan x d ． 8．=-21x xdx )1(2 x d -． 9． ?=dx x x )(')(φφ ． 10．若 ?+=C x F dx x f )()(则?=)()]([x dg x g f ． 二、选择题(单选)： 设)(x f 为 可导函数，则： (A) ()C x f dx x f +='?)2()2(； (B) ()C x f dx x f +=' ?)2(2)2(； (C) ())2()2(x f dx x f =' ?； (D) C x f dx x f +='?)2()2(． 答：( ) 三、求下列不定积分： 1．?-dx x 3 )23(． 2．? -3 32x dx ． 3．? ?xdx x 210 sec tan ． 4．? x x dx cos sin ． 5．? -dx xe x 2 ． 6．dx x x ? -2 32．
不定积分练习题 2 11sin )_________ 2 x d x -=?一、选择题、填空题：、（ 2 2()(ln )_______x e f x x f x dx =?、若是的原函数，则： 3sin (ln )______x d x =?、 2 2 2 4()(tan )sec _________; 5(1,1)________; 6'()(),'()_________;1() 7(),_________;1 8()arcsin ,______() x x x e f x f x xd x d x y x x F x f x f a x b d x f e f x d x c d x x e xf x d x x c d x f x --===+== +==+=?? ??? ? ? 、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族 中，过点的积分曲线是、则、设则、设 则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______; 12'()(),'()(),()_____()() ()() ()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x d x x x xd x f x F x f x x f x f x d x A F x B x C x κ??=+== - = ===???、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界 必有极限 、若 则、若则)()()()c D F x x c ?+++ 13()[()]() ()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx d x C df x f x D df x f x c === = +????、下列各式中正确的是： (ln )14(),_______ 11() ()ln () () ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+? 、设则：
第四章 不 定 积 分 § 4 – 1 不定积分的概念与性质 一.填空题 1．若在区间上)()(x f x F ='，则F(x)叫做)(x f 在该区间上的一个 , )(x f 的 所有原函数叫做)(x f 在该区间上的__________。 2．F(x)是)(x f 的一个原函数，则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3．因为 dx x x d 2 11)(arcsin -= ,所以arcsinx 是______的一个原函数。 4．若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与3 x 成正比例，并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该 曲线方程为__________?。 二．是非判断题 1． 若f ()x 的某个原函数为常数，则f ()x ≡0. [ ] 2． 一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3． ()()()??'='dx x f dx x f . [ ] 4． 若f ()x 在某一区间内不连续，则在这个区间内f ()x 必无原函数. [ ] 5. =y ()ax ln 与x y ln =是同一函数的原函数. [ ] 三．单项选择题 1．c 为任意常数，且)('x F =f(x),下式成立的有 。 （A ）?=dx x F )('f(x)+c; （B ）?dx x f )(=F(x)+c; （C ）? =dx x F )()('x F +c; (D) ?dx x f )('=F(x)+c. 2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)≠0，则下式成立的有 。 （A ）F(x)=cG(x); （B ）F(x)= G(x)+c; （C ）F(x)+G(x)=c; (D) )()(x G x F ?=c. 3．下列各式中 是| |sin )(x x f =的原函数。 (A) ||cos x y -= ; (B) y=-|cosx|; (c)y={ ;0,2cos , 0,cos <-≥-x x x x (D) y={ . 0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。 4.)()(x f x F =',f(x) 为可导函数，且f(0)=1,又2 )()(x x xf x F +=，则f(x)=______.
高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 ：求下列不定积分1.知识点：。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析：！利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数，由积分表中的公式（2）可解。 解： (2)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (3)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。：解． (4)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (5)思路:观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解： (6)★★思路:注意到，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解： 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解： (8)★思路:分项积分。 解： (9)★★思路:？看到，直接积分。 解： (10)★★思路: 裂项分项积分。解： (11)★解： (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法：指数不变，底数相乘。显然。 解： (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解： (14)★★思路:被积函数，积分没困难。 解： (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。 解： (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。 解： () 17★思路:不难，关键知道“”。 ：解． ()18★思路:同上题方法，应用“”，分项积分。 解： ()19★★思路:注意到被积函数，应用公式(5)即可。 解： ()20★★思路:注意到被积函数，则积分易得。 解： 、设，求。2★知识点：。考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：：。即可1直接利用不定积分的性质解：：等式两边对求导数得 、，。求的原函数全体设的导函数为3★知识点：。仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：。连续两次求不定积分即可解：，由题意可知：。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点：。考查原函数（不定积分）与被积函数的关系思路分析：。只需验证即可解：，而、，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解：设曲线方程为，由题意可知：，； 又点在曲线上，适合方程，有， 所以曲线的方程为 、，：问6一物体由静止开始运动，经秒后的速度是★★（1）在秒后物体离开出发点的距离是多少？
第4章不定积分
习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 5 3 2 2 23x dx x C - - ==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +?
思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式， 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 （- +-）2 思路:分项积分。 解：34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 111 7248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 715 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ?
第五章 一元函数积分学 1．基本要求 （1）理解原函数与不定积分的概念，熟记基本积分公式，掌握不定积分的基本性质。 （2）掌握两种积分换元法，特别是第一类换元积分法（凑微分法）。 （3）掌握分部积分法，理解常微分方程的概念，会解可分离变量的微分方程，牢记非齐次 线性微分方程的通解公式。 （4）理解定积分的概念和几何意义，掌握定积分的基本性质。 （5）会用微积分基本公式求解定积分。 （6）掌握定积分的凑微分法和分部积分法。 （7）知道广义积分的概念，并会求简单的广义积分。 （8）掌握定积分在几何及物理上的应用。特别是几何应用。 2．本章重点难点分析 （1） 本章重点：不定积分和定积分的概念及其计算；变上限积分求导公式和牛顿—莱布 尼茨公式；定积分的应用。 （2） 本章难点：求不定积分，定积分的应用。 重点难点分析：一元函数积分学是微积分学的一个重要组成部分，不定积分可看成是微分运算的逆运算，熟记基本积分公式，和不定积分的性质是求不定积分的关键，而定积分则源于曲边图形的面积计算等实际问题，理解定积分的概念并了解其几何意义是应用定积分的基础。 3．本章典型例题分析 例1：求不定积分sin3xdx ? 解：被积函数sin3x 是一个复合函数，它是由()sin f u u =和()3u x x ?==复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x 变形为'1 sin 3sin 3(3)3x x x = ，故有 ' 111 sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333 xdx x x dx xd x x u u C ===-+??? 1 3cos33 u x x C =-+ 例2：求不定积分 (0)a > 解：为了消去根式，利用三解恒等式2 2 sin cos 1t t +=，可令sin ()2 2 x a t t π π =- << ，则 cos a t ==，cos dx a dt =，因此，由第二换元积分法，所以积分 化为 2221cos 2cos cos cos 2 t a t a tdt a tdt a dt +=?==??? 2222cos 2(2)sin 22424a a a a dt td t t t C =+=++?? 2 (sin cos )2 a t t t C =++ 由于sin ()2 2 x a t t π π =- << ，所以sin x t a = ，arcsin(/)t x a =，利用直角三角形直接写
高等数学第四章不定 积分课后习题详解 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1)
思路: 被积函数52 x -=，由积分表中的公式（2）可解。 解：5 322 23x dx x C --==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 3332223()2 4dx x x dx x dx x dx x x C ---=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：22 32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：3153 222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +?
思路:注意到22222 1111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积 分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134（-+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++?? ★★ (9) 思路 = 11172488x x ++==，直接积分。 解 ：715888.15x dx x C ==+? ★★(10)221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解：222222111111()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)211 x x e dx e --?
不定积分内容概要
课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1) 思路: 被积函数 5 2 x- =，由积分表中的公式（2）可解。 解：53 22 2 3 x dx x C -- ==-+ ? ★ (2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：114 111 333 222 3 ()2 4 dx x x dx x dx x dx x x C -- -=-=-=-+ ???? ★(3)2 2x x dx + ?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：223 21 22 ln23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++ ??? （ ） ★(4)3) x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：3153 2222 2 3)32 5 x dx x dx x dx x x C -=-=-+ ??
★★(5)4223311 x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134（-+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?? ???34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解： 2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x -=-=-+++?? ★★(9) 思路=11172488x x ++==，直接积分。 解：715888.15 x dx x C ==+? ★★(10)221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。
第四章不定积分 §4–1不定积分的概念与性质 一.填空题 1．若在区间上)( '，则F(x)叫做)(x f在该区间上的一个,)(x f的 F= x f )(x A(1,6)和B(2,- .[] 三．单项选择题 1．c为任意常数，且) F=f(x),下式成立的有。 ('x （A）?= =F(x)+c; ('f(x)+c;（B）?dx x F) dx ( f) x （C）?=dx x F)()('x F+c;(D)?dx ('=F(x)+c. x f) 2.F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)≠0，则下式成立的有。
48 （A ）F(x)=cG(x);（B ）F(x)=G(x)+c; （C ）F(x)+G(x)=c;(D))()(x G x F ?=c. 3．下列各式中是||sin )(x x f =的原函数。 (A)||cos x y -=;(B)y=-|cosx|; (c)y={ ;0,2cos , 0,cos <-≥-x x x x (D)y={. 0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。 dx x -2 x 2sin 9.dx x x 2 )2sin 2(cos -?10.? ++dx x x 2cos 1cos 12 11.?dx x x x 2 2 cos sin 2cos 12.?++-dx x x x 3322332 13.dx x x )12 13( 22?--+14.?-dx x x x )tan (sec sec
15.?- dx x x x )1 1(216.dx x x ? -+11 五．应用题 1．一曲线通过点(2e ,3),且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数,求该 曲线的方程. 2．一物体由静止开始运动,经t 秒后的速度是32t (米/秒),问: ? 15．= -? dx x x 1 12 = -? dx x x 2 2)1 (11=-? 2 )1(11x x d _________ 16.若??≠=++=)0________()(,)()(a dx b ax f c x F dx x f 则 二．是非判断题 1． ??+?=??? ??=c x x d x dx x x 21 2111ln .[]
第五章 不定积分 习题 5－1 1. 1. 验证在(-∞,+∞) 内, 221 sin , cos 2, cos 2x x x -- 都是同一函 数的原函数. 解 221 (sin )'(cos 2)'(cos )'sin 22x x x x =-=-=因为 221 sin ,cos 2,cos sin 22x x x x --所以都是的原函数. 2. 2. 验证在(-∞,+∞) 内, 2222(),() 2()x x x x x x e e e e e e ---+-+都是 的原函数. 解 2 2 22[()]' [()]'=2() x x x x x x e e e e e e - --+=-+因为 2222 ()() 2().x x x x x x e e e e e e ---+=-+所以都是的原函数 3.已知一个函数的导数是2 11 x -，并且当x = 1时, 该函数值是3 2π，求这个函数. 解 设所求函数为f (x ), 则由题意知 '()f x = '(arcsin )x 因为 '()()d arcsin f x f x x x C ===+?所以 又当x = 1时， 3 (1)2f π =，代入上式, 得C = π 故满足条件的函数为 ()f x =arcsin x π+. 3. 3. 设曲线通过点(1, 2) , 且其上任一点处的切线的斜率等于这点横坐 标的两倍，求此曲线的方程. 解 设曲线方程为 ()y f x =, 则由题意知'' ()2y f x x == 因为 2()'2x x = 所以 2'()d 2d y f x x x x x C = ==+? ? 又因为曲线过点(1, 2), 代入上式, 得C = 1 故所求曲线方程为 2 1y x =+. 5. 求函数y = cos x 的分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1)的积分曲线的方程. 解 设y = cos x 积分曲线方程为 ()y f x = 因为 ' (sin )cos x x = 所以 ()cos d sin f x x x x C ==+? 又因为积分曲线分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1),代入上式, 得C 1 = 1 与 C 2 = -1. 故满足条件的积分曲线分别为
1. 求 dx e x ?-2ln 01。5．解：设t e x =-1，即)1ln(2+=t x ，有dt t t dx 122+= 当0=x 时，0=t ；当2ln =x 时，1=t 。 dt t dt t t dx e x )111(21211021 0222ln 0???+-=+=- 22)1arctan 1(2)arctan (210π- =-=-=x t . 2. 求由两条曲线2x y =与2y x =围成的平面区域的面积。 ．解：两条曲线的交点是)0,0(与)1,1(，则此区域的面积 31)3132()(1 0323210=-=-=?x x dx x x S 3. 求反常积分 ?+∞-+222x x dx 。 解：dx x x x x dx x x dx b b b b )2111(lim 3 12lim 222222+--=-+=-+???+∞→+∞→+∞ 4ln 3 1)4ln 21(ln lim 31)21ln(lim 312=++-=+-=+∞→+∞→b b x x b b b 5、 4. 设???≤<≤≤-+=20,02,13)(32x x x x x f ，求?-22)(dx x f 解：原式=??-+0 22 0)()(dx x f dx x f ---------5分 =14 ----------5分 6. 求由曲线32,2+==x y x y 所围成的区域绕x 轴旋转而得的旋转体体积。 解：两曲线交点为（-1，1）（3，9）-------2分 面积?--+=3122)32(dx x x S π ---------5分 =17 256 7. 计算定积分2 2π π -? 8. 设()f x 在区间[,]a b 上连续，且()1b a f x dx =?，求() b a f a b x dx +-?。 答案：解：令u a b x =+-，则当x a =时，u b =；当x b =时，u a =，且d x d u =-， 故 ()b a f a b x dx +-?＝()a b f u du -? ＝()1b a f x dx =?。
第4章不定积分 内容概要
课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析： 利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数 5 2 x- =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 2 3 x dx x C -- ==-+ ? ★(2)dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - -=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：315 3 2 2 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质， 将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +? 思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将
不定积分 （Ａ） １、求下列不定积分 １）?2 x dx ２） ? x x dx 2 ３） dx x ?-2)2 ( ４） dx x x ? +2 2 1 ５）??- ? dx x x x 3 2 5 3 2 ６） dx x x x ?2 2sin cos 2 cos ７） dx x e x) 3 2(?+ ８） dx x x x ) 1 1( 2 ?- ２、求下列不定积分（第一换元法） １） dx x ?-3)2 3( ２） ? - 33 2x dx ３） dt t t ?sin ４） ? ) ln(ln ln x x x dx ５）? x x dx sin cos６） ?- +x x e e dx ７） dx x x) cos(2 ? ８） dx x x ? -4 3 1 3 ９） dx x x ?3 cos sin 10） dx x x ? - - 2 4 9 1 11）? -1 22x dx 12） dx x ?3 cos 13)?xdx x3 cos 2 sin 14) ?xdx x sec tan3 15) dx x x ? +2 3 916) dx x x ? +2 2sin 4 cos 3 1 17) dx x x ? -2 arccos 2 1 10 18) dx x x x ? +) 1( arctan
3、求下列不定积分（第二换元法） １） dx x x ? +2 1 1 ２） dx x ?sin ３） dx x x ?-4 2 ４） ?> - )0 (, 2 2 2 a dx x a x ５）? +3 2)1 (x dx ６） ? +x dx 2 1 ７）? - +2 1x x dx ８） ? - +2 1 1x dx ４、求下列不定积分（分部积分法） １） inxdx xs ? ２） ?xdx arcsin ３）?xdx x ln 2 ４） dx x e x ?- 2 sin 2 ５）?xdx x arctan 2 ６） ?xdx x cos 2 ７）?xdx 2 ln ８） dx x x 2 cos2 2 ? ５、求下列不定积分（有理函数积分） １） dx x x ? +3 3 ２）? - + + dx x x x 10 3 3 2 2 3）? +)1 (2x x dx （Ｂ） 1、一曲线通过点 )3, (2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的 方程。 2、已知一个函数 ) (x F的导函数为2 1 1 x -，且当1 = x时函数值为 π 2 3 ，试求此函数。
作业习题 求下列不定积分。 1、dx x ? +sin 11；2、dx e x ?+-23；3、dx x x x ?+--22)83(32；4、dx e e x x )sin(?； 5、dx e x ?-2； 6、dx x a x ?-2 2 1； 7、dx x x x ? -3 ； 8、dx x x x ? +) 1(arctan 2 2；9、dx x e x ?+22)1(tan ；10、dx x x ?++)1ln(2； 11、?-xdx e x cos ；12、dx x x x x x ?+++-232223；13、dx x ?+sin 451 ； 14、dx x x x -+?111；15、dx x x ?+)1(124； 16、dx b x a x ?++) )((1 。
作业习题参考答案： 1、解：dx x ? +sin 11 ?+-=-=C x x dx x x sec tan cos sin 12 。 2、解：dx e x ?+-23C e x d e x x +-=+--=+-+-?23233 1 )23(31。 3、解：dx x x x ?+--2 2)83(32C x x x x x x d ++--=+-+-=?831)83()83(2222。 4、解：dx e e x x )sin(?C e de e x x x +-==?cos sin 。 5、解：dx e x ?-2 C t t t dt dt dt t t t e t x +-=+-=+? -=???2 arctan 24224222222 C e e x x +-- -=2 2arctan 2 422。 6、解：dx x a x ? -2 2 1 C x x a a a C t t a t a dt t a x +--=+-==?2 2ln 1cot csc ln 1sin sin 。 7、解：dx x x x ? -3dt t t t t t t dt t t t t x )11 1(6623452386 -++++++=-=?? C t t t t t t t +-++++++=)1ln 2 3456(62 3456 C x x x x x x x +-++++++=)1ln 2 3456(661613 1 21 32 65 。 8、解：dx x x x ? +) 1(arctan 2222 21sin cos cot )1(csc arctan t dt t t t t dt t t x t -+-=-=?? C t t t t +-+-=22 1 sin ln cot C x x x x x +-++- =22)(arctan 2 1 1ln arctan 。 9、解：dx x e x ?+22)1(tan ??+=xdx e xdx e x x tan 2sec 222
第四单元 不定积分 一、填空题 1、? dx x x =___________。 2、?x x dx 2=_____________。 3、?+-dx x x )23(2=_____________。 4、 ?-dx x x x sin cos 2cos =___________。 5、?+x dx 2cos 1=____________。 6、dt t t ?sin =___________。 7、?xdx x sin =___________。 8、?xdx arctan =__________。 9、=+?dx x x 2sin 12sin ____________。 10、? =''dx x f x )(____________。 11、?=++dx x x 1)3(1________________。 12、 ?=++__________522x x dx 。 二、单项选择 1、对于不定积分 ()dx x f ?，下列等式中（ ）是正确的. （A ）()()x f dx x f d =?； （B ） ()()x f dx x f ='?； （C ） ()()x f x df =? ； （D ） ()()x f dx x f dx d =?。 2、函数()x f 在()+∞∞-,上连续，则()[]dx x f d ?等于（ ） （A ）()x f ； （B ）()dx x f ； （C ）()C x f + ； （D ）()dx x f '。
3、若()x F 和()x G 都是()x f 的原函数，则（ ） （A ）()()0=-x G x F ； （B ）()()0=+x G x F ； （C ）()()C x G x F =-(常数)； （D ）()()C x G x F =＋(常数)。 4、若?+='c x dx x f 33)(，则=)(x f （ ） （A ）c x +35 56；（B ）c x +35 59；（C ）c x +3 ；（D ）c x +。 5、设)(x f 的一个原函数为x x ln ，则=?dx x xf )(（ ） （A ）c x x ++)ln 41 21 (2；（B ）c x x ++)ln 21 41(2； （C ）c x x +-)ln 21 41(2；（D ）c x x +-)ln 41 21(2。 6、设c x dx x f +=?2)(，则=-?dx x xf )1(2（ ） （A ）c x +--22)1(2；（B ）c x +-22)1(2； （C ）c x +--22)1(21 ；（D ）c x +-22)1(21 。 ７、=+-?dx e e x x 11 （ ） （A ）c e x ++|1|ln ； （B ）c e x +-|1|ln ； （C ）c e x x ++-|1|ln 2； （D ）c x e x +--|1|ln 2。 ８、若)(x f 的导函数为x sin ，则)(x f 的一个原函数是（ ） （A ）x sin 1+； （B ）x sin 1-； （C ）x cos 1+； （D ）x cos 1-。 ９、)(),()('x f x f x F =为可导函数，且1)0(=f ，又2)()(x x xf x F +=，则)(x f =（ ） （A ）12--x ； （B ）12+-x ； （C ）12+-x ； （D ）12--x 。 10、=?-??dx x x x 23223（ ） （A ）C x x +?-)23(23ln 23； （B ）C x x x +?--1)23 (23； （C ）C x +?--)23 (2ln 3ln 2 3； （D ）C x x +?--)23 (2ln 3ln 23。