得分：_______ 南京林业大学
研究生课程论文
2013 ～2014 学年第 1 学期
课程号：PD03088
课程名称：工程应用专题
题目：分数阶控制理论研究及工程领域的应用
学科专业：机械工程
学号：8133013
姓名：钱东星
任课教师：陈英
二○一四年一月
分数阶控制理论研究及工程领域的应用
摘要: 作为控制科学与工程中一个新的研究领域，分数阶控制的研究愈来愈被关注。本文简要介绍分数阶控制的数学背景和基本知识,对分数阶控制理论及应用(分数阶系统模型、系统分析、分数阶控制器、非线性分数阶系统、系统辨识) 的研究作了总结、评述和展望。
关键词:控制理论；分数阶微积分(FOC)；分数阶系统
Fractional Control Theory and Engineering
Applications
Qian Dongxing
（Nanjing Forestry University, Nanjing Jiangsu 210037）Abstract: As a new study field of control theory and applications , the fractional order control is attracted much attention recently. In this paper, an overview in this field is surveyed. The historical development and the basic knowledge of fractional-order control are introduced. The latest works of fractional-order control are summarized and reviewed, including mathematical model, system analysis, fractional-order controller, nonlinear fractional order system and identification, etc. Some future trends in its further studies are prospected.
Key words: Theory of control ；Fractional order calculus( FOC) ；Fractional order system
1 引 言
目前,几乎所有的以微分方程描述的控制系统，其微分均考虑为整数阶。实际上，许多物理系统因其特殊的材料和化学特性而展现出分数阶动力学行为。实际系统通常大都是分数阶的,采用分数阶描述那些本身带有分数阶特性的对象时，能更好地揭示对象的本质特性及其行为。之所以忽略系统的实际阶次(分数阶)，主要是因其复杂性和缺乏相应的数学工具。近年来，这一“瓶颈”正被逐渐克服，相关成果不断涌现。当然，目前对分数阶系统的研究还不深入，主要集中在线性时不变领域，在系统建模、分析和综合及参数估计、系统辨识等方面均有涉及。
需指出的是:“分数阶”一词只是沿用历史的习惯称谓。从严格的数学意义上讲，应称之为“非整数阶”，理论上阶次可以是任意的，包括无理数，甚至复数。当然“非有理阶次”的研究迄今未见报道。
广义而言，分数阶控制研究至少应涵盖3 个方面:
1) 基于对分数阶对象的刻画更准确、简洁的目的而建立的分数阶系统模型及其分析；
2) 基于获得更优控制性能目的而选用分数阶控制策略；
3) 应用分数阶运算对信号、数据等进行处理。
自20 世纪60 年代分数阶微积分应用于控制领域以来，分数阶控制的研究经历了一段相当长的缓慢发展岁月，直到20 世纪末出现了一些令人瞩目的成果，如: Oustaloup 等提出了CRONE 控制原理；Matignon 研究了分数阶系统的稳定性、可控性、可观性；Podlubny 研究了u
PI D λ控制器。其中为分数阶控制理论的发展作出突出贡献的当属Podlubny ,。其基本结论、思想和方法影响深远，尤其是他提出了u PI D λ控制器。u PI D λ 控制器的出现是一个里程碑，分数阶控制的意义在于对古典整数阶控制的普遍化。直到今天，Podlubny 仍活跃在分数阶控制研究的前沿。目前国内还没有关于分数阶控制的系统完整的公开出版物。由于分数阶控制具有相对独特的数学背景，本文结合分数阶微积分等数学基础研究的简要介绍，对分数阶控制理论及应用的研究作以总结、评述和展望。
2 数学背景及相关研究
2.1 分数阶微积分
分数阶微积分(FOC) 是一个古老而又现代的课题。它同整数阶微积分几乎同时起源于300 多年前，曾被许多大数学家涉及和探讨过，然而长期以来几乎没有引起工程技术界的关注。FOC 的起源最早(1695年) 可追溯到Hospital与Leibnitz的讨论。1819 年Lacroix 给出了第1 个有意义的幂函数的分数阶微分定义；1832 年Liouvill给出了Liouvill 第1公式和第2公式，扩大了定义适用的函数类；Riemann (1847 年) 以此为基础作了补充，将定义中函数一般化；后来Letnikov ( 1872年) 将他们二人的成果综合起来，形成了第1个较为完备的定义，即R-L 定义，目前仍为最常用的理论分析形式；其间Grumwald ( 1867 年) 和Letnikov(1868 年) 用相同的方法(即Gamma 函数和M-L 函数) 给出了适于离散化数值估算的解析定义式( G-L定义)；1967 年Caputo 给出了Caputo定义。Euler 和Laplace 等都曾涉及FOC，运用各自的概念、方法导出了一些相关性质。1974 年，Ross 组织了第1 届FOC 及其应用学术会议，同年Oldham 和Spanier联合推出了第1 部关于FOC 的著作，详细总结了FOC ，目前仍是FOC 理论和应用研究中十分重要的基础性文献。
随着现代科技的发展，尤其是计算机的应用，FOC 理论又为许多学科的发展提供了新的理论基础和数学工具。同时，一些在工程中必要的基础理论也得到了相应的研究和发展，如FOC 的可微性、运算规则、数值算法、变分问题等。近年来，将其应用于控制领域已引起了一些学者的研究兴趣。FOC 数值方法及其算法的不断改进，各种分数阶分析方法和控制策略以及分数阶控制器设计的不断提出，更加推动了分数阶控制理论的应用和快速发展。
G-L 定义是从整数阶微分的定义出发,归纳并扩展到分数阶而得到的FOC 统一性表达式；R-L 定义中的积分是由函数f (t) 的n 重积分可由卷积形式的单一积分(即Cauchy 公式) 表示成而扩展到分数重。不同的定义要求满足的条件不相同,其应用范围也不同。对于控制系统而言,以上3 种定义要求的条件一般都满足,而且初始条件为0 , 因此实际上它们是等价的。在实际应用中,3 者各有特点和优势, 例如G-L 定义为离散化和数值计算提供了直接依据；Caputo 定义让其Laplace 变换式更为简洁, 有利于方程解的讨论。
2.2 FOC 的几何解释和物理意义
整数阶微积分有着清晰的几何解释和物理意义,如微分表示斜率、速度；积分对应面积、距离。这些清晰易于理解的解释和意义有利于其在实际问题的研究中得以应用。然而,由于FOC 本身的复杂性,使得对其概念的理解比较困难,导致了在实际应用中存在一定障碍。目前的专著和文献也很少有这方面的内容,因此可以说至今FOC 还没有普适的、统一的物理意义和几何解释。当然,随着FOC 在不同领域的应用和研究逐步深入,将会越来越被关注,相信这方面的成果会越来越多。
在已有成果中, Podlubny 对分数阶积分的几何解释为“Moving Shadows on t he Wall s ”(墙上移动的阴影),其合理性显而易见。由分数阶积分的定义式:
()()()()101t I f t t f d αα
τττα-=-=Γ?
()()0
t t f d ατττΦ-? (1)
相当于对()f t 作了一个积分变换()()g t I f t α=,考虑权函数αΦ的性质
()()0,0,lim lim t t t t αα+→∞
→Φ=∞Φ= （2）
易得分数阶积分的物理意义:如果将积分看作对某种量的存储,那么分数阶积分是有记忆的存储,近则储之,对过去的渐渐遗弃。
北京大学大气物理系刘式达教授将分数阶导数描述为“天气与气候之间的桥梁” , 气候的分数阶导数是天气,正是由于分数阶导数的存在,使得气候较天气的记忆性好。由分数阶微分的定义式可得出基本结论:
1) 输入函数的初值以衰减形式加入到输出中；
2) 零初值下分数阶微分是卷积分的形式。
因此,分数阶微分实际上是一个积分,且也具有逐渐遗忘的特性(或时间衰减记忆) 。这一有趣的记忆功能和遗传特性正是分数阶微分算子的魅力所在,也是FOC 应用于系统控制的功用独特之处。
2.3 分数阶微分方程
分数阶控制理论是基于FOC 发展起来的,其数学上的核心问题是求解分数阶微分方程(FDEs) 。求解方法有解析法和数值法两类:解析法主要是应用数学变换法得到方程解的解析表达式；数值法是基于对分数阶算子进行离散化运算而得到方程的近似数值解。许多学者对此作出了贡献,其中作出奠基性工作的当属Podlubny。在其著作和论文中系统介绍了FOC的计算及FDEs的解法,将Laplace 变换等一些工程常用工具性知识引入到分数阶控制系统研究中,对线性分数阶微分方程给出了解的存在性及唯一性定理, 并且给出了基于Green 函数和M-L 函数表示的解析解。
近年来,国内学者刘发旺、徐明渝教授等对FDEs 的研究也取得了不少成果,薛定宇教授对FOC 和FDEs 及分数阶控制等详细地给出了基本的求解计算、分析、设计和仿真方法,是难得的工具性文献,被国内研究者广为引用。对于非线性的FDEs ,目前仍是难题。实际上,对控制系统而言,相比一般只着眼于具有理论分析价值的解析解,寻求数值解法更具工程实际意义。因此,基于数值算法的相关研究正是目前的热点,近年来出现了不少成果。研究者给出了各具特色的解法,并得到了很好的仿真验证,其中有的已在工程中得到了成功应用。
3 分数阶系统数学模型
控制理论研究的主体是动力学系统,系统建模在控制理论中具有基本的重要性。对系统动态过程进行数学描述,其目的在于深入和定量地揭示系统行为的规律性和因果关系,是系统分析和综合的基础。
整数阶线性系统理论是控制理论中研究最为充分、发展最为成熟和应用最为广泛的一个分支。将整数阶线性系统理论中的建模方法平行扩展到分数阶线性系统是最为自然的做法。Matignon 的论文中曾涉及多项式和状态空间两种模型,较为系统地进行了这方面的研究,关于模型的两类形式(时域模型和频域模型) 都有讨论。尽管对模型的刻画形式有差异,但都是基于整数阶线性系统模型扩展的思路和方法而给出的。具体形式有:FDEs 描述、传递函数描述、状态空间描述、分数阶差分方程和分数阶离散传递函数描述、多项式描述等,并给出了模型间转换的方法。
线性SISO 系统的FDEs 模型一般描述为
()()00
j i n m i j i j a D y t b D u t β
α===∑∑ (3) 其中i α和j β为阶次。文献[3]基于阶次的数值特征对分数阶系统进行了分类,提出了同元次、非同元次等概念,并给出了定义,分析了所谓“同元次”系统
()()10n m i j i j i j a D y t b D u t α
α===∑∑ (4)
的FDEs 描述、传递函数描述和状态空间描述之间的关系。也有文献称之为同比阶次”系统。推究可知,只要是有理阶次的, 便可化成“同元次”的形式, 只需对式(3) 中的i α , j β求取分母的最小公倍数q , Z q +∈ ,显然元次1q α=。因此,如同整数阶情形一样,可以获得如下分数阶状态方程模型:
()()()()()()D x t Ax t Bu t y t Cx t Du t α?=+??=+??
（5） 进而为系统稳定性、能控性、能观性等分析研究提供方便。当然,非有理阶次也可同“元”,文献检索表明,目前的研究仅限于此类所谓“有理同元”系统。对于含有多个阶次参数且阶次不规则情形, 式(5) 的维数往往过高。此时可沿用通常的状态变量的一阶导数来建模,状态方程将变为含有分数阶变量的形式,从而达到降维目的。
4 系统分析
以系统数学模型为基础, 可以把研究工作进一步分为“分析”和“综合”两个基本部分。“分析”又包括“定性分析”和“定量分析”,二者对研究系统的运动规律和结构特性具有同等重要的意义。文献检索表明,后者的研究成果比较丰富。
4.1 定性分析研究
定性分析着重于研究对系统性能和控制具有重要意义的基本结构特性,包括稳定性、能控性与能观性、互质性等。对系统结构和特性的分析, 既是对系统特
性本身的揭示, 也是进一步研究系统综合与设计问题的需要。
Matignon 对分数阶系统的稳定性、能控性与能观性的理论研究作了开创性工作,给出并证明了基于式(5) 所描述系统的渐近稳定性、可控性、可观性的“结构性结论”, 分别是:
()|arg |/2,specA απ>1[,,],
n rank B AB A B n -=…，1[,,]n T rank C CA CA n -=…，。
近年来, 一些学者也做出了卓有成效的工作。
稳定性是系统正常工作的前提,是系统设计时需要考虑的最主要的因素之
一。对分数阶系统稳定性的分析远比整数阶复杂,其中一个重要原因是分数阶系统的传递函数一般不是复变量s 的有理函数,因而目前还没有什么有效的多项式判据可以用来分析其稳定性。从复分析中的辐角原理出发,可推导出分数阶线性定常系统的两个稳定性判据:分数阶奈奎斯特判据和分数阶对数频率判据,不需求取闭环特征根即可判断系统是否稳定,给出了有效性验证实例。运用Laplace 变换和留数定理讨论了分数阶线性定常系统内部稳定性和外部稳定性(BIBO) 条件,并给出了其相互关系的3 个推论。在对分数阶系统频率域分析研究的基础上,提出了“扩展频率域法”,并据之改进和扩展了Nyquist 判据,能够直观判断任意阶次系统的稳定性。
能控性和能观性概念对系统控制和系统估计问题的研究具有基本的重要性。基于式(5) 所描述的SISO 分数阶L TI 系统的模型,利用Cayley-Haimilton 定理及双参数M-L 函数,分析讨论了能控、能观条件并给出了证明。关于系统的另一个重要性质——鲁棒性的研究,也有涉及,但多是基于仿真结果等外部响应特征而直接给出结论,其深入的内部机理等理论分析仍有待进一步研究。其他更深入的研究成果,如可靠性、系统结构分解以及时变系统、离散系统等问题,未见报道。
4.2 定量分析研究
现代科学技术研究方法趋于定量化。定量分析的关注点是建立系统状态和输出相对于输入的因果关系的一般表达式,作为分析系统的响应和性能的基础。从数学的角度,归结为求解系统数学模型(微分方程(组) 或差分方程(组) 等) 。当
应用关系式分析响应时,将会面临繁多和复杂的计算,需要借助计算机来完成。目前,相关研究成果比较丰富,具体方法可归纳为解析法和数值法两大类。
解析法以显式形式给出了运动过程与系统结构和参数的依赖关系,具体有两种情形:
1) 对于FDEs 模型,式(3) 应用Laplace 变换及其逆变换,可求得系统输出的解析解
()()()()()10[].t
y t L G s U s g t u d τττ-==-? (6)
Podlubny 给出了更为详细的单位脉冲响应g ( t) 和单位阶跃响应的解析表达式。
2) 对于式(5) 中的状态变量x ( t) 的解析解为
()()()()()
()(),1,00t x t E At x t E A t Bu d αααααττττ=+--? (7)
基于对传统整数阶系统的研究已相对成熟的考虑,用整数阶系统去近似分数阶系统是一个基本的研究思路和方法。于是,问题便转化为用标准整数阶算子去逼近一般为无理数的分数阶算子, 这也同时解决了在现有软件(如Matlab) 的计算与仿真中不允许直接进行分数阶算子运算的难题。
复频域的分数阶算子s α
, 其有理化近似法有:连分式展开(CFE) 、Pade 近似、Oustlop 滤波法、Carl son 法、Matsuda 法、Charef 法、周期函数的Fourier 级数展开法等。
显然,解析算法的积分变换公式复杂,计算量太大,状态空间法维数过高,有理化近似后的模型也因其高阶次、过于复杂而不便于求解和进一步分析。实际上,现有解析算法都是针对特殊形式的方程,很多方程往往不存在解析解。另一方面,解析法的应用前提是原型函数为已知,而在实际工程应用中常会遇到对已知数据求微积分的问题,如系统参数辨识、状态估计、信号分析等。因此,正是由于解析法的局限性,数值算法逾显必要,更具工程实际意义。因为现代控制是以计算机为主要实现工具,其“实现”的意义并非单指将系统付诸于实际运行,还包含其分析及设计过程的“实现”。计算机科学的发展,使得一些以前棘手的计算问题迎刃而解。尽管如此,研究既快速又适应于不同分数阶系统的数值算法仍是个充满魅
力的课题。
数值法实质是对FDEs 进行离散近似,从而得到相应的近似数值解,其核心问题是FOC 算子的离散化。具体有两种方法:直接离散法和间接离散法。直接离散法的基本思想是应用格栅函数()f nh 和生成函数()1ωζ-去逼近函数f(t) 的分数阶微积分,即
()()()()()1D f t D f t h f nh ααααωζ--≈= (8)
在控制理论中,可用采样周期T 取代h , z 代替ζ,便可将函数f(t) 转化为序列f(nh) 的z 变换,即实现了离散化近似。
对应于不同的方法, 可以得到不同的生成函数: Euler 后向差分法,Tustin 法(梯形法or 双线性变换) , Al-Alaoui 法等。
同样,由于对应的生成函数为无理函数,需要对其进行有理化近似处理。常采用的方法是幂级数展开( PSE) 和CFE 法。将上述不同方法进行组合,便得到形式各异的离散算法。应用于式(3) 可得到分数阶系统的离散模型。
当然,无论是PSE 法还是CFE 法,其求解表达式仍为无穷多项。考虑到各项的权系数具有明显的衰减特性,故在实际应用时可采用有限项近似,即短记忆法(SMP)。
将PSE 与Euler 后向差分法相结合,其实质上与最为直接、广为应用的G-L 定义离散法等价,即
()()10{1}1j j j PSE z z
j αα∞--=??-=- ???∑ (9)
其中j α?? ???
为二项式系数。此算法的精度是0(h)。有关文献介绍了更高精度的权系数求解公式,当然精度的提高是以增加计算量为代价的。
所谓间接法, 是基于由复频域微积分算子容易得到分数阶系统的频域特性, 先将s α
近似为连续域的整数阶传递函数结构算子, 再将近似的整数阶系统离散,其实质是频域拟合法。但频域拟合法不能保证其近似系统为稳定的最小相位系统。
5 分数阶控制器及其应用研究
“综合”是“分析”的反命题,即根据系统模型和期望性能指标确定控制策略,主要工作是求取控制律、设计控制器。目前,文献报道的具有代表性的分数阶控制器有4 种: TID 控制器,CRONE 控制器, u PI D λ控制器和超前滞后校正补偿器。文献[4]对4 种控制器的概念、基本结构、原理、性能特点以及设计方法等作了比较详细的介绍和分析比较。
TID 控制器在结构上是以分数阶环节1s
-取代传统PID 中的比例环节,实质上是u PI D λ的特殊形式。其参数较少,调节简便,闭环对参数变化不敏感,更抗干扰,但系统的参数整定方法仍需提供和检验。CRONE(法语“非整数阶鲁棒控制器”缩写) 由Oustaloup 提出, 因其基于人们习惯的设计方法(Bode 图、Nichol s 图) 和清晰的解释而被认为是一个比较好的选择,且已有很好的工业应用范例,并得到了Matlab 控制工具箱的支持。
u PI D λ控制器的传递函数为
()/u C P I D G s K K s K s λ=++ (10)
其与工业应用中流行的常规PID 控制器相比, 多了2 个控制参数λ和μ,在设计上也多了2 个自由度,因此u PI D λ的提出为系统获得更优性能提供了新的
可能性。但是,由于I λ和D μ导致u PI D λ本身成为一个无穷维的滤波器,其5
个参数的整定和优化也变得困难得多。
超前滞后补偿器也是流行的控制方案。分数阶超前滞后补偿器与CRONE 和u PI D λ 一样具有优良的控制特性,然而,直观、系统的设计方法仍有待进一步研究。
其典型结构为
()()()0[1/1]r b b C s C s s γω=++ (11)
分数阶控制器的出现是一个里程碑, 特别是Podlubny 提出了u PI D λ 控
制, 使得研究者的视角在对分数阶控制基本理论建立和发展的同时, 转移到应
用研究上, 尤其是更加关注u PI D λ。目前的研究热点主要集中在u PI D λ的算法改进与设计技巧及其工程应用上。
u PI D λ 的特性研究是一个基本问题。文献[2]基于u PI D λ对控制参数和
系统参数的变化均不敏感的仿真结果, 得出了鲁棒性强的结论。u PI D λ 的参
数整定与优化是目前重点关注的研究课题。包括参数取值、近似算法阶次选择、鲁棒性和在位置伺服系统中的应用；讨论给定相位裕量和幅值裕量的u
PI D λ设计方法,并与前人的方法作了对比分析； 应用PSO 算法解决了
u PI D λ的参数优化设计；遗传算法；具有密集和分散搜索机制的随机搜索算法(RasID) ；极点阶数搜索法等。文献[6]应用扩展频率域设计方法, 给出了具有新结构形式的超前滞后补偿器和分数阶()u P ID 控制器的设计步骤。为简化设计,将超前滞后两部分分离进行独立控制, ()u P ID 提供的零极点对系统性能的影响权重可由阶次调节。分数阶控制的优势在于采用简单的分数阶控制器,即可取得比常规控制器更优的动态性能和鲁棒性。目前,在不少工程领域已有成功应用分数阶控制的文献报道。近期的有:电力自动稳压器(AVR) ,Active Car Body Suspension System,lightweight flexible manip ulator 控制等。
6 其他相关分支中的研究
随着分数阶控制理论与应用研究的不断深入,分数阶控制正逐渐向传统整数阶控制领域的其他分支渗透。关于非线性系统,一是传统非线性整数阶系统的分数阶控制策略研究；二是对非线性分数阶系统的研究。二者均有涉及,但成果不多。目前对于非线性分数阶微分方程的求解还未能很好地解决,因此对于非线性分数阶系统,现不存在能够直接分析研究的方法。文献[7]提出了一种通过Simulink 仿真框图求解分数阶非线性系统的方法,可以解决由一般FOC 基础知识无法或很难求解的问题,但也指出了仿真框图中滤波器近似模块存在局限性。文献[8]基于分数阶因素对电力系统的影响,应用FOC 理论建立了分数阶电力系统模型,通过仿真分析了系统的混沌现象,并基于Backstepping 方法对分数阶混沌振荡进行控制。文献[5]讨论了传统方法很难实现精确控制的一种强非线性时变
系统(气动位置伺服系统) 的分数阶控制策略, 在Matlab/ Simulink 下进行了建模仿真。文献[9,12]对分数阶系统的混沌控制进行了分析研究。
系统辨识作为现代控制理论中的一个主要分支,目前已成为一个非常活跃的学科。文献检索表明,对系统辨识的分数阶理论与方法研究很少,相关成果都是基于将传统的整数阶辨识算法推广到分数阶的思路与做法。
文献[10]针对现有整数阶系统H∞控制方法对于分数阶系统不可行的问题,提出了一种分数阶系统的H∞设计方法,并进行了仿真验证。文献[11]基于模糊逻辑自调整参数的PID 控制器,在难于建模的复杂控制对象中获得更优控制效果的思想,构建了模糊分数阶PID 控制器结构,给出了实现过程。文献[13]仿真结果表明,该控制器对非线性和参数不确定性具有较强的鲁棒性。文献[14]将FOC 的应用拓展到学习控制中；文献[15]在自适应控制中应用分数阶控制的理论与方法及其工程实例，等等。
7 分数阶控制理论的应用
在反常扩散领域，学者们用FOC来描述那些不符合布朗运动规律的扩散过程，提出了分数阶的反常扩散模型，分数阶对流扩散模型等一大批新的理论模型。并且通过理论模型与实验数据或结果的比较分析，研究者发现新的模型更适合描述这些过程，这极大地推动了扩散，渗流等领域的研究。
在量子力学方面，分数阶薛定谔方程的提出带来了该领域极大的震动。
在固体力学方面，不仅分数阶粘弹性理论为新材料的力学特性研究提供了新颖的、准确的数学工具，而且分数阶微积分在裂纹扩展，摩擦接触表面建模等领域的应用研究也已经开展。
在软物质力学的研究方面，特别是对诸如：液晶、土壤、泡沫材料、聚合物、蛋白质、生物医学材料等软物质的力学特性研究方面。分数阶微积分恰恰为软物质的研究提供了合适的数学工具，分数阶微积分不仅仅提供了新的研究思路，而且在软物质建模方面发挥了不可替代的作用。现在分数阶微积分已经成为软物质力学建模的一个主要工具。
在粘性流体力学方面，分数阶模型的出现也为非牛顿流体的研究注入了新的活力。众所周知，在现实的研究中，我们接触到的大多不是牛顿流体。但是我们
为了研究与数值计算的方便都假设他们是理想的流体，从而在此基础上建立了不同类型的理论模型，这也形成了现在的流体力学体系。分数阶微积分理论引入后这种情况有了极大的改变，它使我们在研究与实际流体相关的力学物理问题时可以建立更符合实际特点的模型，从而得到准确的结论
在天气和气候的研究方面，我们都知道没有一天天气是一样的，而气候的预测也不可能提到日程上来研究。这说明天气和气候的研究是比较困难的。天气和气候虽然遵从流体力学规律，但是却显示出随机性，研究天气和气候之间的关系必须引入分数阶的导数和积分，从物理上讲不外乎说明天气和气候的随机程度是不相同的。为此提出气候的q(0 ≤q≤1）阶微商是天气。此时引入天气和气候之间的桥梁——分数阶导数，这为天气与气候的研究带来很大的方便。
在医学图像处理方面，医学图像一般是指为了清楚地看到病人内部的局部器官病变情况而通过一定的设备仪器得到的图片，例如CT、B超等图片。由于设备，技术等方面的原因，得到的医学图像有可能模糊不清。图像的不清晰对临床诊断带来很大的麻烦。所以要考虑怎样处理，可以得到更清晰的医学图像。现在从分数阶微分基本定义出发，可以作用于二维医学图像的分数阶微分掩模，掩模可以根据对图像的需求进行增强。通过实验证明，这个方法可以有效完成对医学图像的处理,并且弥补了传统方法不能连续改变处理效果的缺点，是一种简单可行并且效果较好的图像增强方法。所以说分数阶导数对医学图像的处理，帮助是很大的。
在地震奇异性分析，我们知道传统的地震解释主要是观测地震资料的振幅及相位的变化，而振幅往往并不能反映真实的地质情况。地震界面可能是岩性分界面也可能是岩性过渡带，岩性过渡带的地震反射波是入射波的分数阶导数。因此我们将分数阶导数引入地震属性计算中，构建一种对波形敏感而对振幅变化不敏感的新属性——奇异性，用以刻画反射界面的横向变化。方法的基本原理是首先计算地震子波的不同分数阶导数，然后利用匹配追踪算法将地震数据分解成地震子波的不同分数阶导数，进而获得反射波同相轴的分数阶。对胜利油田某区块实际二维地震资料进行了试处理，结果表明分数阶导数剖面能很好地描述不整合面，反映实际界面的横向变化。
在其他科学研究领域，分数阶微积分也发挥了积极的推动作用，如：生物力
学、医学超声检测、信号处理、电化学、电气工程、生物工程学、控制理论等等。
现阶段每年关于分数阶微积分的研究论文超过500篇，分数阶微积分的理论研究与应用研究已经渗入到了现有学科的各个领域。大量的研究成果的面世也极大地推动了分数阶微积分的研究进展，一些学者纷纷投入到这个新兴的研究领域。
8 结论
分数阶控制是现代控制理论中逐渐引起人们研究兴趣的一个分支。由于运用传统控制理论和方法无法达到期望指标,以及人们对控制最优化的不懈追求,分数阶控制的相关研究显得愈为必要。目前其研究尚处于起步走向逐渐深入的阶段,还有许多工作要做,比如:分数阶非线性微分方程的求解和解的特性等数学基础研究,分数阶非线性系统的稳定性、可靠性等问题,分数阶时变系统和分布参数系统的分析研究,分数阶系统时域和频域性能之间的数学联系,分数阶控制器的设计理论与方法的深入研究(尤其是更为简单实用的参数整定方案研究) ,系统辨识的分数阶理论与方法研究,FOC 在工程建模中的应用等。可以预见,随着分数阶控制理论的研究和发展,其将成为控制领域的热点,并向各分支及相关学科中快速渗透。人们期待着更有价值的研究成果。
参考文献
[1] 薛定宇, 赵春娜. 分数阶系统的分数阶PID控制器设计[J]. 控制理论与应用, 2007, 24（5）:771-776.
[2] 曾庆山. 分数阶控制系统的研究及其在MCFC中的应用[D]. 上海:上海交通大学, 2004.
[3] 王振滨. 分数阶线性系统及其应用[D]. 上海:上海交通大学, 2004.
[4] Xue D, Chen Y. A comparative introduction of four fractional order controllers[C]. shanghai: Proc of the 4th World Congress on Intelligent Control and Automation, 2002:3228-3235.
[5] 曹军义, 曹秉刚. 分数阶控制器在启动位置伺服控制中的应用研究[J]. 华工自动化及仪表, 2006, 33（2）:61-64.
[6] 汪纪锋, 李元凯. 分数阶P ( ID)μ控制器和费时间超前滞后校正器的设计[J]. 电路域系统学报, 2006, 11（10）:21-25.
[7] 薛定宇, 赵春娜. 基于框图的分数阶非线性系统仿真方法及应用[J]. 系统仿真学报, 2006, 18（8）:2405-2408.
[8] 高心. 分数阶动力学系统的混沌、控制和同步的研究[D]. 西安:电子科技大学, 2005.
[9] 高金峰, 张成芬. 基于非线性观测器实现一类分数阶混沌系统的同步[J]. 复杂系统与复杂性科学, 2007, 4（2）:50-55.
[10] 赵春娜, 潘峰, 薛定宇. 分数阶系统H∞控制器设计[J]. 东北大学学报, 2006, 27（11）:1187-1192.
[11] 曹军义, 梁晋, 曹秉刚. 基于分数阶微积分的模糊分数阶控制器研究[J]. 西安交通大学学报, 2005, 39（11）:1246-1249.
[12] Heydar T S, Ahmad H. Nonlinear control for synchronization scheme to chaotic fractional order chen-lee systems[C]. Zhangjiajie: The 26th Chinese Vontrol Conf. , 2007:267-269.
[13] Chen, More K L. On Da-type iterative learning control[C]. Florida: Proc of the 40 IEEE Conf on Decision and Control., 2001:451-456.
[14] Bilbao2Guillerna A, La S M D, Alonso-Quesada S. A multi-estimation
discrete2time adaptive control incorporating fractional order holds and multi-rate
sampling with stabilization of the discrete plant zeros[C]. Athens: 2007 Mediterranean Conf on Control and Automation., 2007:1-6.
[15] Rubio L, M D L S, Bilbao-Guillerna. A. Discrete2 time adaptive cont rol of milling forces using fractional order holds by on2line adjustment of the correcting gain[C]. IEEE Press: 16th IEEE Int-Conf on Control Applications. Singapore :, 2007:1330-1335.
[16] 蒲亦非, 袁晓, 廖科等. 现代信号分析与处理中分数阶微积分的五中数值实现算法[J]. 四川大学学报, 2005, 37（5）:118-124.
[17] 刘式达, 时少英等. 天气和气候之间的桥梁--分数阶导数[J]. 气象科技, 2007, 35（1）:15-19.
[18] 李远禄, 于盛林. 分数阶微分器的实现及阶次对方法选择的影响[J]. 南京航空航天大学学报, 2007, 39（4）:505-509.
[19] 薛定宇. 控制系统计算机辅助设计[M]. 第2版. 北京:清华大学出版社, 2006.
[20] 田杰, 高翔, 陈宁. 基于分数阶PID控制器的线控转向系统研究[J]. 机械设计, 2011, 28910:25-32.
[21] 田杰, 陈宁, 高翔. 车辆线控转向系统的分数阶鲁棒控制研究[J]. 动力学与控制学报, 2009, 7（1）:71-74.
[22] 杨金霞, 陈宁, 姚嘉玲, 等. 车辆非线性半主动悬架的模型跟踪变结构控制[J]. 南
京林业大学学报（自然科学版）, 2007, 31（1）:42-46.
[23] 陈宁, 陈南, 王乃洲, 等. 基于分数阶参考模型的车辆悬架自适应控制[J]. 南京林
业大学学报（自然科学版）, 2009(33（3）):116-120.
[24] 银花, 陈宁, 赵尘, 等. 分数阶导数型粘弹性结构动力学方程的数值算法[J]. 南京
林业大学学报（自然科学版）, 2010, 34（2）:115-118.
《现代控制理论》第1章习题解答 1.1 线性定常系统和线性时变系统的区别何在？ 答：线性系统的状态空间模型为： x Ax Bu y Cx Du =+=+ 线性定常系统和线性时变系统的区别在于：对于线性定常系统，上述状态空间模型中的系数矩阵A ，B ，C 和D 中的各分量均为常数，而对线性时变系统，其系数矩阵A ，B ，C 和 D 中有时变的元素。线性定常系统在物理上代表结构和参数都不随时间变化的一类系统， 而线性时变系统的参数则随时间的变化而变化。 1.2 现代控制理论中的状态空间模型与经典控制理论中的传递函数有什么区别？ 答: 传递函数模型与状态空间模型的主要区别如下: 1.3 线性系统的状态空间模型有哪几种标准形式？它们分别具有什么特点？ 答: 线性系统的状态空间模型标准形式有能控标准型、能观标准型和对角线标准型。对于n 阶传递函数 121210 1110 ()n n n n n n n b s b s b s b G s d s a s a s a ------++++=+++++， 分别有 ⑴ 能控标准型： []012 101 210100000100000101n n n x x u a a a a y b b b b x du ---????? ???????????? ???=+?? ???????? ? ?????----???? ? =+??
⑵ 能观标准型： []0011221100010 00 100010 1n n n b a b a x a x u b a b y x du ---?-?? ????? ??-????? ?????=-+???? ? ????? ??????-???? ?=+?? ⑶ 对角线标准型： []1212 001001001n n p p x x u p y c c c x du ????? ??????? ???=+?????? ????? ??????=+? 式中的12,, ,n p p p 和12,,,n c c c 可由下式给出， 12121012 1 11012 ()n n n n n n n n n b s b s b s b c c c G s d d s a s a s a s p s p s p ------++++=+=+++ +++++--- 能控标准型的特点：状态矩阵的最后一行由传递函数的分母多项式系数确定，其余部分具有特定结构，输出矩阵依赖于分子多项式系数，输入矩阵中的元素除了最后一个元素是1外，其余全为0。 能观标准型的特点：能控标准型的对偶形式。 对角线标准型的特点：状态矩阵是对角型矩阵。 1.4 对于同一个系统，状态变量的选择是否惟一？ 答：对于同一个系统，状态变量的选择不是惟一的，状态变量的不同选择导致不同的状态空间模型。 1.5 单输入单输出系统的传递函数在什么情况下，其状态空间实现中的直接转移项D 不等 于零，其参数如何确定？ 答: 当传递函数)(s G 的分母与分子的阶次相同时，其状态空间实现中的直接转移项D 不等于零。 转移项D 的确定：化简下述分母与分子阶次相同的传递函数 1110 111)(a s a s a s b s b s b s b s G n n n n n n n ++++++++=---- 可得： d a s a s a s c s c s c s G n n n n n ++++++++=----0 11 10 111)( 由此得到的d 就是状态空间实现中的直接转移项D 。 1.6 在例1. 2.2处理一般传递函数的状态空间实现过程中，采用了如图1.12的串联分解，试 问：若将图1.12中的两个环节前后调换，则对结果有何影响？
第二章 线性系统的状态空间描述 §2-1 系统数学描述 1、系统数学描述的两种基本类型 系统是指由一些相互制约的部分构成的整体，它可能是一个反馈闭合的整体，也可能是某一控制装置或被控对象。本章所研究的系统均假定具有若干的输入端和输出端，如图所示。 图中方块以外的部分为系统环境，环境对系统的作用为系统输入，系统对环境的作用为系统输出，二者分别用T p u u u u ],,,[21 =和T q y y y y ],,,[21 =表示，他们均为系统的外部变量。 描述系统内部每个时刻所处状况的变量为系统的内部变量，以向量T n x x x x ] ,,,[21 =表示。 系统的数学描述是反映系统变量间因果关系和变换关系的一种数学模型。系统的数学描述有两种基本类型： （1）外部描述：即输入—输出描述。把系统看成一个“黑箱”，只是反映系统外部变量间即输入—输出间的因果关系。 （2）内部描述：即状态空间描述。 这种描述是基于系统内部结构分析的一类数学模型，通常由两个数学方程组成：一个是 反映系统内部变量T n x x x x ],,,[21 =及输入变量T p u u u u ],,,[21 =之间因果关系的数 学表达式，称为状态方程；另一个是表征系统内部变量T n x x x x ],,,[21 =及输入变量 T p u u u u ],,,[21 =和输出变量T q y y y y ],,,[21 =之间转换关系的数学表达式，具有代 数方程的形式，称为输出方程。 外部描述只描述系统的外部特征，不能反映系统的内部结构特性，而具有完全不同内部结构的俩个系统也可能具有相同的外部特征，因而外部描述通常只是对系统的一种不完全的描述。内部描述则是对系统的一种完全描述，它能完全表征系统的所有动力学特征。 仅当系统具有一定属性的条件下，两种描述才具有等价关系。 2、系统数学描述中常用的基本概念 （1）输入和输出 由外部施加到系统上的全部激励称为输入，能从外部量测到的来自相同的信息称为输出。 u 1u 2 u p 1 2 q
华南农业大学期末考试试卷（A卷）2007 学年第1 学期考试科目：自动控制原理II 考试类型：闭卷考试时间：120 分钟 学号年级专业 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总分得分 评阅人 1、已知下图电路，以电源电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容中的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R 2 上的电压为输出量的输出方程。并画出相应的模拟结构图。（10分） 解：（1）由电路原理得： 1 1 2 2 12 1 111 2 22 11 1 11 L L c L L c c L L di R i u u dt L L L di R i u dt L L du i i dt c c =--+ =-+ =- 22 2 R L u R i = 11 22 1 11 1 2 22 1 01 1 00 11 L L L L c c R i i L L L R i i u L L u u c c ?? --?? ???? ?? ?? ???? ?? ?? ???? ?? =-+?? ???? ?? ?? ???? ?? ?? ???? ?? ?? - ???? ?????? ?? ?? g g g
[]1222 00L R L c i u R i u ??????=?????????? 2、建立下列输入－输出高阶微分方程的状态空间表达式。（8分） 322y y y y u u u +++=++&&&&&&&&& 解：方法一： 12301233,2,10,1,2,1 a a a b b b b ======= ()001110221120331221300 1301 231201 13121102 b b a b a a b a a a ββββββββββ===-=-?==--=-?-?=-=---=-?--?-?= ()010100111232100x x u y x ?????? ? ?=+-? ? ?? ? ?---????? ?=?& 方法二：
公司控制权理论概述标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]
公司控制权理论概述部分 一、公司控制权词源 在现代汉语词典里，控制，已经成为一个固定用法的组合词，是控与制两者所组成的关联。控‘“掌握；操纵。”制，“管束；约束。”从现代汉语的用法来看“控”与“制”具有不可分离性。其表达了一个主体对他的相对对象进行某种支配的观念。控制，“掌握、支配，使不越出一定范围。” “从控制的内容上看，公司控制是指所行使的控制力作用于什么事情或什么事务”是指对一个公司的经营者或方针政策具有决定性的影响力，这种影响力可以决定一个董事会的选任，决定公司的财务和经营者管理活动，甚至使该公司成为某种特定目的的工具。 二、公司控制权概念解析 如果将公司控制理解为一种与公司有关的相关“控制”，即一种更宽泛的“控制”理解，那么上述的“公司控制”定义也可以说是一种公司内部控制的定义。相对于这种内部控制而言就会产生外部控制的理解，即公司作为一个即存物与外部发生联系时产生之控制内容，“控制还可以从公司之间的关系来考察。”换言之，公司控制还应包括，公司之间的控股关系产生的控制，以及“除了控股一种因素或方式之外，并不排除其他因素和方式也可以形成”之控制——公司之间的控制所形成母子公司关系或控制从属公司形成企业集团或关系企业关系。 从严格意义上讲，控制权并不是像“所有权”或“股东权”一样有着明确权利内涵的概念，控制权更多的是一种事实状态，一种对公司资源的实际控制，其实质的股东权与法人财产权相互博弈的一个过程。
本文认为。公司控制权，是指股东、管理层或其他利益相关者在事实状态下，拥有对公司经营决策、日常管理以及财务政策制定等的可能性与现实性结合，是一种权力与权利观念的结合，即制度化了的影响公司财务决策和经营决策的能力与暗含于私权观念下的“意思自治”的“权利”观念的结合。 三、公司控制权与所有权和经营管理权三者之间的概念辨析 本文中将公司控制权与所有权和经营管理权三者的关系界定为：公司控制权是指对公司的所有可供支配和利用资源的控制和管理的权利，它与剩余索取权一起构成所有权，公司控制权源于公司所有权，公司所有权是公司控制权的基础。公司控制权派生出投票权、决策权等经营管理权，但以上派生权利并非控制权的全部。 下面就以上观点进行如下论述：首先企业所有权的核心是剩余索取权，全部的所有权拥有合同权利之外的剩余控制权，而控制权从属于所有权，控制权由所有权派生。即是说，经营管理权出自于控制权且受制于控制权，但同时经营管理权又是控制权赖以实现的重要途径，因为所有权与控制权存在分离的倾向，控股股东只有通过股东会选举出代表自己的董事会，才能真正实施对公司的控制。 因此，公司控制权虽然与所有权、经营管理权在内容上存在交叉，但是控制权已经超越了所有权的边界，经营管理权也只是公司控制权派生出来的一种实现公司控制权的权利。 法学中的权利不仅包括法律明确规定的具体法律制度，还包括实体法未明确规定的权利。在此我们可以论证控制权实际上是一种法律权利，主要体现在以下几方面：首先，公司控制权是公司实践中实际存在的一种为实现公
现代控制理论基础考试题 西北工业大学考试题（A卷） （考试时间120分钟） 学院：专业：姓名：学号： ) 一．填空题（共27分，每空分） 1.现代控制理论基础的系统分析包括___________和___________。 2._______是系统松弛时，输出量、输入量的拉普拉斯变换之比。 3.线性定常系统齐次状态方程是指系统___________时的状态方程。 4.推导离散化系统方程时在被控对象上串接一个开关，该开关以T为周期进 行开和关。这个开关称为_______。 5.离散系统的能______和能______是有条件的等价。 6.在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最小实现，也称为__________。 7.构造一个与系统状态x有关的标量函数V(x, t)来表征系统的广义能量， V(x, t)称为___________。8." 9.单输入-单输出线性定常系统，其BIBO稳定的充要条件是传递函数的所有 极点具有______。 10.控制系统的综合目的在于通过系统的综合保证系统稳定，有满意的 _________、_________和较强的_________。 11.所谓系统镇定问题就是一个李亚普诺夫意义下非渐近稳定的系统通过引入_______，以实现系统在李亚普诺夫意义下渐近稳定的问题。 12.实际的物理系统中，控制向量总是受到限制的，只能在r维控制空间中某一个控制域内取值，这个控制域称为_______。 13._________和_________是两个相并行的求解最优控制问题的重要方法。二．判断题（共20分，每空2分） 1.一个系统，状态变量的数目和选取都是惟一的。（×） 2.传递函数矩阵的描述与状态变量选择无关。（√） 3.状态方程是矩阵代数方程，输出方程是矩阵微分方程。（×） 4.对于任意的初始状态) ( t x和输入向量)(t u，系统状态方程的解存在并且惟一。（√） 5.（ 6.传递函数矩阵也能描述系统方程中能控不能观测部分的特性。（×） 7.BIBO 稳定的系统是平衡状态渐近稳定。（×）
西北工业大学考试试题（卷）2008 －2009 学年第2 学期
2009年《现代控制理论》试卷A 评分标准及答案 第一题（10分，每个小题答对1分，答错0分） （1）对 （2）错 （3）对 （4）错 （5）对 （6）对 （7）对 （8）对 （9）对 （10）错 第二题（15分） （1）)(t Φ（7分）：公式正确3分，计算过程及结果正确4分 ? ? ? ???+-+---=-=Φ?? ?? ??????+- +-+- +-+- ++-+=??????-+++=-??? ???+-=------------t t t t t t t t e e e e e e e e A sI L t s s s s s s s s s s s s A sI s s A sI 22221 11 2222}){()(22112 21221112112 213)2)(1(1 )(321 （2） 状态方程有两种解法（8分）：公式正确4分，计算过程及结果正确4分 ??????-+-+-=????? ???????+-+++-+++-++??????+--=??????????? ???????++-++++-=-+-=??????---+-=????? ?+--+??? ???+--=??????-Φ+Φ=------------------------------??t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t e e te e e te s s s s s s L e e e e t x t x s s s s s L x A sI L t x s BU A sI x A sI s X e e t e e t d e e e e e e e e e t x t x d t Bu x t t x 222 21 22212 21111122)(02222210 2344}2414)1(42212)1(4 {2)()(} )2()1(4) 2()1()3(2{)}0(){()() ()()0()()(2)34()14(22222)()()()()0()()(或者 ττ τττττττ 第三题（15分，答案不唯一，这里仅给出可控标准型的结果） （1） 系统动态方程（3分） []x y u x x 0010 1003201 00010=???? ??????+??????????--=&
2015级硕士期末论文《现代控制理论综述》 课程现代控制理论姓名 学号 专业 2016 年1 月 4 日
经典控制理论与现代控制理论的差异 现代控制理论是建立在状态空间法基础上的一种控制理论，是自动控制理论的一个主要组成部分。在现代控制理论中，对控制系统的分析和设计主要是通过对系统的状态变量的描述来进行的，基本的方法是时间域方法。现代控制理论比经典控制理论所能处理的控制问题要广泛得多，包括线性系统和非线性系统，定常系统和时变系统，单变量系统和多变量系统。它所采用的方法和算法也更适合于在数字计算机上进行。现代控制理论还为设计和构造具有指定的性能指标的最优控制系统提供了可能性。现代控制理论的名称是在1960年以后开始出现的，用以区别当时已经相当成熟并在后来被称为经典控制理论的那些方法。现代控制理论已在航空航天技术、军事技术、通信系统、生产过程等方面得到广泛的应用。现代控制理论的某些概念和方法，还被应用于人口控制、交通管理、生态系统、经济系统等的研究中。 现代控制理论是在20世纪50年代中期迅速兴起的空间技术的推动下发展起来的。空间技术的发展迫切要求建立新的控制原理，以解决诸如把宇宙火箭和人造卫星用最少燃料或最短时间准确地发射到预定轨道一类的控制问题。这类控
制问题十分复杂，采用经典控制理论难以解决。1958年，苏联科学家Л.С.庞特里亚金提出了名为极大值原理的综合控制系统的新方法。在这之前，美国学者R.贝尔曼于1954年创立了动态规划，并在1956年应用于控制过程。他们的研究成果解决了空间技术中出现的复杂控制问题，并开拓了控制理论中最优控制理论这一新的领域。1960～1961年，美国学者R.E.卡尔曼和R.S.布什建立了卡尔曼-布什滤波理论，因而有可能有效地考虑控制问题中所存在的随机噪声的影响，把控制理论的研究范围扩大，包括了更为复杂的控制问题。几乎在同一时期内，贝尔曼、卡尔曼等人把状态空间法系统地引入控制理论中。状态空间法对揭示和认识控制系统的许多重要特性具有关键的作用。其中能控性和能观测性尤为重要，成为控制理论两个最基本的概念。到60年代初，一套以状态空间法、极大值原理、动态规划、卡尔曼-布什滤波为基础的分析和设计控制系统的新的原理和方法已经确立，这标志着现代控制理论的形成。 现代控制理论所包含的学科内容十分广泛，主要的方面有：线性系统理论、非线性系统理论、最优控制理论、随机控制理论和适应控制理论。 线性系统理论是现代控制理论中最为基本和比较成熟的一个分支，着重于研究线性系统中状态的控制和观测问题，其基本的分析和综合方法是状态空间法。按所采用的数学工具，线性系统理论通常分成为三个学派：基于几何概念和方法的几何理论，代表人物是W.M.旺纳姆;基于抽象代数方法的代数理论，代表人物是R.E.卡尔曼；基于复变量方法的频域理论，代表人物是H.H.罗森布罗克。 非线性系统理论的分析和综合理论尚不完善。研究领域主要还限于系统的运动稳定性、双线性系统的控制和观测问题、非线性反馈问题等。更一般的非线性系统理论还有待建立。从70年代中期以来，由微分几何理论得出的某些方法对
《现代控制理论参考答案》 第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 1 1K s K K p +s K s K p 1 +s J 11s K n 2 2s J K b - + + - +- ) (s θ)(s U 图1-27系统方块结构图 解：系统的模拟结构图如下： ) (s U ) (s θ-- - + ++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图 1 K p K K 1p K K 1++ +p K n K ? ? ?1 1J ? 2 J K b ? ?- 1 x 2 x 3 x 4 x 5x 6x 系统的状态方程如下：
u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p p p p n p b 1611166 13153 46 1 51 41 31 33 222 11+ - - =+-==+ + - - == =? ? ? ? ? ? 令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 []????????? ???????????=??????? ? ?????????? ????+?? ???????? ?????????????????????? ? ??? ? ???????? ?---- -=??????????????????????????????6543211654321111111126543 2100 0001 000000 00 0000 0001 00100000 000 000 10 x x x x x x y u K K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p p p n p b 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 R1 L1 R2 L2 C U ---------Uc --------- i1 i2图1-28 电路图
[教学目的要求]： 1、了解何为(过程)自动化和自动化技术、自动化仪表的简要发展过程 2、掌握如何来构筑一个控制系统 [教学重点]：自动化技术、自动化仪表的简要发展过程[教学难点]：如何来构筑一个控制系统 [教学时数]：1 [教学内容]： 第一章绪论 1.1 何为(过程)自动化： 从工艺的眼光来看 在工艺设备上，配备一些自动化装置，用它们来代替操作人员的（部分）直接劳动，使生产在不同程度上按照规定的要求自动地进行，也即：用自动化装置来管理设备（生产过程），使之正常运行 换一种说法 所谓自动化是使工艺参数保持在需要的值或者状态上，
或者使生产过程按照一定的程序或者步骤运行，保证生产过程运行在最佳状态 所谓“自动控制”是指应用自动化仪器仪表或自动控制装置代替人自动地对仪器设备或工业生产过程进行控制，使之有目的地修正被控对象的动力学行为，以达到预期的状态或满足预期的性能要求。 为什么要实现自动控制？ 原因一：代替人的劳动，减轻劳动强度，提高生产效率原因二：炼油、化工、冶金、电力、生物、制药等工业过程的生产规模越来越向大型化、复杂化方向发展，各种类型的自动控制技术已经成了现代工业生产实现安全、高效、优质、低耗的基本条件和重要保证 1.2 如何来构筑一个控制系统？
1.3自动化技术的简要发展过程 1、控制理论的简要发展过程 自动控制的本质：是指应用自动化仪器仪表、自动控制装置代替人，自动地对仪器设备或工业生产过程进行控制，使之有目的地修正被控对象的动力学行为，以达到预期的状态或满足预期的性能要求 进 料出 料 H 玻璃管液位计 i q h 0q 测量 仪表 设定值 控制器
绪论 为了帮助大家在期末复习中能更全面地掌握书中知识点，并且在以后参加考研考博考试直到工作中，为大家提供一个理论参考依据，我们11级自动化二班的同学们在王整风教授的带领下合力编写了这本《现代控制理论习题集》（刘豹第三版），希望大家好好利用这本辅助工具。 根据老师要求，本次任务分组化，责任到个人。我们班整体分为五大组，每组负责整理一章习题，每个人的任务由组长具体分配，一个人大概分1~2道题，每个人任务虽然不算多，但也给同学们提出了要求：1.写清题号，抄题，画图（用CAD或word画）。2.题解详略得当，老师要求的步骤必须写上。3.遇到一题多解，要尽量写出多种方法。 本习题集贯穿全书，为大家展示了控制理论的基础、性质和控制一个动态系统的四个基本步骤，即建模、系统辨识、信号处理、综合控制输入。我们紧贴原课本，强调运用统一、联系的方法分析处理每一道题，将各章节的知识点都有机地整合在一起，力争做到了对控制理论概念阐述明确，给每道题的解析赋予了较强的物理概念及工程背景。在课后题中出现的本章节重难点部分，我们加上了必要的文字和图例说明，让读者感觉每一题都思路清晰，简单明了，由于我们给习题配以多种解法，更有助于发散大家的思维，做到举一反三！
这本书是由11级自动化二班《现代控制理论》授课老师王整风教授全程监管，魏琳琳同学负责分组和发布任务书，由五个小组组组长李卓钰、程俊辉、林玉松、王亚楠、张宝峰负责自己章节的初步审核，然后汇总到胡玉皓同学那里，并由他做最后的总审核工作，绪论是段培龙同学和付博同学共同编写的。 本书耗时两周，在同学的共同努力下完成，是二班大家庭里又一份智慧和努力的结晶，望大家能够合理使用，如发现错误请及时通知，欢迎大家的批评指正！ 2014年6月2日 第一章 控制系统的状态空间表达式 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式 解：系统的模拟结构图如下： 系统的状态方程如下： 令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =
1.经典控制理论和现代控制理论的区别和联系 区别： （1）研究对象方面：经典控制系统一般局限于单输入单输出，线性定常系统。严格的说，理想的线性系统在实际中并不存在。实际的物理系统，由于组成系统的非线性元件的存在，可以说都是非线性系统。但是，在系统非线性不严重的情况时，某些条件下可以近似成线性。所以，实际中很多的系统都能用经典控制系统来研究。所以，经典控制理论在系统的分析研究中发挥着巨大的作用。 现代控制理论相对于经典控制理论，应用的范围更广。现代控制理论不仅适用于单输入单输出系统，还可以研究多输入多输出系统；不仅可以分析线性系统，还可以分析非线性系统；不仅可以分析定常系统，还可以分析时变系统。 （2）数学建模方面：微分方程（适用于连续系统）和差分方程（适用于离散系统）是描述和分析控制系统的基本方法。然而，求解高阶和复杂的微分和差分方程较为繁琐，甚至难以求出具体的系统表达式。所以，通过其它的数学模型来描述系统。 经典控制理论是频域的方法，主要以根轨迹法和频域分析法为主要的分析、设计工具。因此，经典控制理论是以传递函数（零初始状态下，输出与输入Laplace变换之比）为数学模型。传递函数适用于单输入单输出线性定常系统，能方便的处理这一类系统频率法或瞬态响应的分析和设计。然而对于多信号、非线性和时变系统，传递函数这种数学模型就无能为力了。传递函数只能反应系统的外部特性，即输入与输出的关系，而不能反应系统内部的动态变化特性。 现代控制理论则主要状态空间为描述系统的模型。状态空间模型是用一阶微分方程组来描述系统的方法，能够反应出系统内部的独立变量的变化关系，是对系统的一种完全描述。状态空间描述法不仅可以描述单输入单输出线性定常系统，还可以描述多输入多输出的非线性时变系统。另外状态空间分析法还可以用计算机分析系统。 （3）应用领域方面：由于经典控制理论发展的比较早，相对而言理论比较成熟，并且生产生活中很多过程都可近似看为线性定常系统，所以经典控制理论应用的比较广泛。 现代控制理论是在经典控制理论基础上发展而来的，对于研究复杂系统较为方便。并且现代控制理论可以借助计算机分析和设计系统，所以有其独特的优越性。 联系：（1）虽然现代控制理论的适用范围更多，但并不能定性的说现代控制理论更优于经典控制理论。我们要根据具体研究对象，选择合适的理论进行分析，这样才能是分析的更简便，工作量较小 （2）两种控制理论在工业生产、环境保护、航空航天等领域发挥着巨大的作用。 （3）两种理论有其各自的特点，所以在对系统进行分析与设计时，要根据系统的特征选取和是的理论。 （4）所以熟识两种理论，具体的问题具体分析，选取合适的理论研究不同的系统。随着社会的发展，两种理论对科技的进步发挥着巨大的推动作用。在实践中，两种理论也会得到发展和完善，并且促进新的理论的形成，智能控制理论就是个很好的例子。 2.经典控制理论和现代控制理论所涉及的内容 经典控制理论：主要研究系统的动态性能，在时间和频域内来研究系统的“稳定性、准确性、快速性”。所谓稳定性是指系统在干扰信号的作用下，偏离原来的平衡位置，当干扰取消之后，随着时间的推移，系统恢复到原来平衡状态的能力。准确性是指在过度过程结束后输出量与给定的输入量的偏差。所谓快速性是指当系统的输入量和给定的输入量之间产生的偏差时，消除这种偏差的快慢程度。 现代控制理论：线性系统理论、最优控制、随机系统理论和最优估计、系统辨识、自适应控制、非线性系统理论、鲁棒性分析和鲁棒控制、分布参数控制、离散事件控制、智能控制。
一、（10分，每小题1分） 1、任一线性连续定常系统的系统矩阵均可对角形化。(×) 2、对SISO 线性连续定常系统，传递函数存在零极点对消，则系统一定不能观且不能控制。(×) 3、对线性连续定常系统，非奇异变换后的系统特征值不变。(√) 4、对于线性连续定常系统的最小实现是唯一的。(×) 5、稳定性问题是相对于某个平衡状态而言的。(√) 6、Lyapunov 第二法只给出了判定稳定性的充分条件。(√) 7、对于SISO 线性连续定常系统，状态反馈后形成的闭环系统零点与原系统一样。(√) 8、对于一个系统，只能选取一组状态变量。(×) 9、对于一个n 维的线性定常连续系统，若其完全能观，则利用状态观测器实现的状态反馈闭环系统是2n 维的。(√) 10、对线性定常系统，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵特征值都具有负实部是一致的。(√) 二（10分，每小题5分） （1）简述平衡状态及平衡点的定义。 （2）简述状态方程解的意义。 解：（1）状态空间中状态变量的导数向量为零向量的点。由平衡状态在状态空间中所确定的点称之为平衡点。 （2）线性连续定常系统状态方程的解由两部分组成，一部分是由初始状态所引起的自由运动即零输入响应，第二部分是由输入所引起的系统强迫运动，与输入有关称为零状态响应。 三、（10分）考虑如图的质量弹簧系统。其中，m 为运动物体的质量，k 为弹簧的弹性系数，h 为阻尼器的阻尼系数，f 为系统所受外力。取物体位移为状态变量x 1，速度为状态变量x 2，并取位移为系统输出y ，外力为系统输入u ，试建立系统的状态空间表达式。 解： f ma =……………………………….……1分 令位移变量为x 1，速度变量为x 2，外力为输入u ，有 122u kx kx mx --=………………………………2分 于是有 12x x =………………………………..……………1分 2121k h x x x u m m m =--+……….….……………….2分 再令位移为系统的输出y ，有
学科介绍 该学科为交叉学科，不同的大学该学科均有不同的侧重点： 控制理论与控制工程学科是以工程系统为主要对象，以数学方法和计算机技术为主要工具，研究各种控制策略及控制系统的理论、方法和技术。控制理论是学科的重要基础和核心内容，控制工程是学科的背景动力和发展目标。本学科的智能控制方向主要包括模糊控制、专家系统、神经元网络、遗传算法等方面的研究，特别强调的是上述方法的交叉及其在工业过程控制方面的应用。故障诊断方向主要研究当控制系统一旦发生故障时，仍能保证闭环系统稳定，且满足规定的性能指标。利用获得的实时数据对生产过程进行在线监测及故障诊断，根据系统的运行状态制定相应的控制策略，使系统工作在最佳状态。鲁棒控制方向主要研究被控对象参数变化后，控制系统仍能稳定可靠的工作，并在某种意义下保证系统的最优性。信号处理方向主要研究控制系统中的信号处理问题，包括非线性系统的鲁棒滤波器的设计，自适应滤波器、噪声抵消器、小波分析等。 控制理论与控制工程是研究运动系统的行为、受控后的运动状态以及达到预期动静态性能的一门综合性学科。在理论方面，利用各种数学工具描述系统的动静态特性，以建模、预测、优化决策及控制为主要研究内容。在应用方面，将理论上的研究成果与计算机技术、网络技术和现代检测技术相结合，形成各种新型的控制器或控制系统。研究内容涵盖从基础理论到工程设计与实现技术的多个层次，应用遍及从工业生产过程到航空航天系统以及社会经济系统等极其广泛的领域。 研究方向 复杂系统控制理论与应用：采用结构分散化方法研究复杂系统的建模与控制问题，以结构分散化模型为基础，研究新的系统辨识理论和新的控制方法。 智能控制理论研究与应用：在对模糊控制、神经网络、专家系统和遗传算法等理论进行分析和研究的基础上，重点研究多种智能方法综合应用的集成智能控制算法。 计算机控制系统：针对不同的生产过程和控制对象，研究采用DCS、PLC、工业控制计算机等控制设备，构成低成本、高性能、多功能的计算机控制系统。 网络控制理论及其应用：通过对网络拓扑结构及网络环境下先进控制理论与方法的研究，充分利用网络资源，实现从决策到控制的全过程优化。 开设学校
第一章引论 自动控制，就是采用控制装置使被控对象自动地按照给定的规律运行，使被控对象的一个或数个物理量能够在一定的精度范围内按照给定的规律变化 一、开环控制和闭环控制 自动控制系统有两种最基本的形式：开环控制和闭环控制。 1.开环控制 （1）开环控制的框图 （2）开环控制的特点 在控制器与被控对象之间只有正向控制作用而没有反向控制作用，即系统的输出量对控制量没有影响。 2.闭环控制 （1）闭环控制的框图 （2）闭环控制的特点
在控制器与被控对象之间，不仅存在着正向作用，而且存在着反馈作用，即系统的输出量对控制量有直接影响。 二、自动控制系统的类型 根据不同的分类方法，自动控理系统的类型有如下分类： 1.随动系统与自动调整系统 （1）随动系统：输入量总在频繁地或缓慢的变化，要求系统的输出量能够以一定的准确度跟随输入量而变化。 （2）自动调整系统：输入保持为常量，或整定后相对保持常量，而系统的任务式尽量排除扰动的影响，以一定的准确度将输出量保持在希望的数值上。 2.线性系统和非线性系统 （1）线性系统：组成系统的元器件的特性均为线性（或基本为线性），能用线性常微分方程描述其输入与输出关系的系统。 （2）非线性系统：组成系统的元器件中，只要有一个元器件的特性不能用线性方程描述，该系统即为非线性系统。 3.连续系统与离散系统 （1）连续系统：各部分的输入和输出信号都是连续函数的模拟量。（2）离散系统：某一处或数处的信号以脉冲或数码的形式传递的系统。 4.单输入单输出系统与多输入多输出系统 （1）单输入单输出系统：其输入量和输出量各为一个，系统结构
较为简单。 （2）多输入多输出系统：其输入量和输出量多于一个，系统结构较为复杂，回路多。 5.确定系统与不确定系统 （1）确定系统：系统的结构和参数是确定的、已知的，系统的输入信号（包括参考输入及扰动）也是确定的，可用解析式或图表确切表示。 （2）不确定系统：当系统本身或作用于该系统的输入信号不确定时，该系统称为不确定系统。 6.集中参数系统和分布参数系统 （1）集中参数系统：能用常微分方程描述的系统称为集中参数系统。 （2）分布参数系统：不能用常微分方程，而需用偏微分方程描述的系统称为分布参数系统。 三、自动控制理论概要 1.自动控制理论概要 （1）稳定性：自动控制理论应给出判断系统稳定性的方法，并应指出稳定性与系统的结构（或称控制规律）及参量间的关系。 （2）稳态响应：自动控制理论应给出计算系统稳态响应的方法，并且指出系统控制规律及参量与稳态响应间的关系。 （3）暂态响应：自动控制理论研究系统的控制规律及参量与暂态
第一章习题答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 图1-27系统方块结构图 解：系统的模拟结构图如下： 图1-30双输入--双输出系统模拟结构图 系统的状态方程如下： u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p p p p n p b 161116613153 46 1 5141313322211 +-- =+-==++--== =??? ?? ? 阿 令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为
[]????? ? ??? ? ??????????=??????? ???????????????+?????? ?????????????????????????? ????????????? ?-----=????????????????????????????? ?654321165432111111112654321000001000000 0000000100 10000000000010x x x x x x y u K K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p p p n p b 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 L1L2 U 图1-28 电路图 解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y = 有电路原理可知：? ? ? +==+=++3 213 222231111x C x x x x R x L u x x L x R 既得 2 221332 2222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+- =+-=+-- =? ? ? 写成矢量矩阵形式为：
论文 系统辨识 姿态角控制 1.系统辨识概述 辨识、状态估计和控制理论是现代控制理论三个相互渗透的领域。辨识和状态估计离不开控制理论的支持，控制理论的应用又几乎不能没有辨识和状态估计技术。随着控制过程复杂性的提高，控制理论的应用日益广泛，但其实际应用不能脱离被控对象的数学模型。然而在大多数情况下，被控对象的数学模型是不知道的，或者在正常运行期间模型的参数可能发生变化，因此利用控制理论去解决实际问题时，首先需要建立被控对象的数学模型。系统辨识正是适应这一需要而形成的，他是现代控制理论中一个很活跃的分支。社会科学和自然科学领域已经投入相当多的人力去观察、研究有关的系统辨识问题。 系统辨识是建模的一种方法，不同的学科领域，对应着不同的数学模型。从某种意义上来说，不同学科的发展过程就是建立他的数学模型的过程。辨识问题可以归结为用一个模型来表示可观系统（或将要改造的系统）本质特征的一种演算，并用这个模型吧对客观系统的理解表示成有用的形式。当然可以刻有另外的描述，辨识有三个要素：
数据，模型类和准则。辨识就是按照一个准则在一组模型类中选择一个与数据拟合得最好的模型。总而言之，辨识的实质就是从一组模型类中选择一个模型，按照某种准则，使之能最好地拟合所关心的实际过程的静态或动态特性。 通过辨识建立数学模型的目的是估计表征系统行为的重要参数，建立一个能模仿真实系统行为的模型，用当前可测量的系统的输入和输出预测系统输出的未来演变，以及设计控制器。对系统进行分析的主要问题是根据输入时间函数和系统的特性来确定输出信号。对系统进行控制的主要问题是根据系统的特性设计控制输入，使输出满足预先规定的要求。而系统辨识所研究的问题恰好是这些问题的逆问题。通常，预先给定一个模型类{}M（即给定一类已知结构的模型），一类输入信号u和等价准则(,)JLyyM（一般情况下，J是误差函数，是过程输出y和模型输出yM的一个泛函）；然后选择是误差函数J达到最小的模型，作为辨识所要求的结果。系统辨识包括两个方面：结构辨识和参数估计。在实际的辨识过程中，随着使用的方法不同，结构辨识和参数估计这两个方面并不是截然分开的，而是可以交织在一起进行的 一、控制对象 本文采用了控制不同电机转速组合的方法，对四轴旋翼蝶形飞行器进行姿态控制，使四旋翼蝶形飞行器在不同姿态下飞行时具有较好的性能。为了实现四轴旋翼蝶形飞行器的飞行控制，对飞行的控制系统进行了初步的设计，并给出了设计流程。同时利用matlab对四轴旋翼
现代控制理论试卷作业 一．图为R-L-C 电路，设u 为控制量，电感L 上的支路电流 11121222121212010Y x U R R R R Y x R R R R R R ????????????=+????????-????+++???????? 和电容C 上的电压2x 为状态变量，电容C 上的电压2x 为输出量，试求：网络的状态方程和输出方程（注意指明参考 方向）。 解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有独立变量。 以电感L 上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令：12,L c i x u x ==，由基尔霍夫电压定律可得电压方程为： 从上述两式可解出1x ?，2x ? ，即可得到状态空间表达式如下： ??????21y y =????????++-211212110R R R R R R R ??????21x x +u R R R ????????+2120 二、考虑下列系统： （a ）给出这个系统状态变量的实现； （b ）可以选出参数K （或a ）的某个值，使得这个实现或者丧失能控性，或者丧失能观性，或者同时消失。 解：（a ）模拟结构图如下： 则可得系统的状态空间表达式： （b ） 因为 3023A -??=??? 0013 k k a -??-??-? 110b ????=?????? 所以：当1a =时，该系统不能控；当1a ≠时，该系统能控。 又因为：[2C = 1 ]0 所以：当0k =或1a =时，该系统不能观；当0k ≠且1a ≠时，该系统能观。 综上可知：当1a =时或0k =且1a =时，该系统既不能控也不能观。 三、已知系统. Ax x =?的状态转移矩阵为： （1）试确定矩阵A ，并验证At e 确为上式。
湖南工业大学2014年现代控制理论（A卷闭卷） 适用专业年级：电气、测控考试时间100 分钟 一、（第1小题12分，第2小题8分，共20分） 1.如图所示R-L-C网络: C u c R i u L （1）以电容电压和回路电路i为系统的状态变量，电容电压为输出变量， 给出该系统的状态空间表达式。 （2）根据状态空间表达式从输入u到输出u c的传递函数。 2、已知两个子系统的传递函数矩阵分别为 （1）求两个系统并联联接时，系统的传递函数阵。 求两个系统串联联接时（G1(s)在前，G2(s)在后），系统的传递函数阵。 二、（20分） 有系统如图所示： 2 ∫ -3 -2 ∫ x2x1 u y （1）给出系统状态空间表达式 （2）求系统的单位阶跃响应（初始状态x(0)=（））。 （3）求出该系统的离散化空间表达式（采样周期为T）。 答案 三、（每题10分，共20分） 1.确定下列系统为状态完全能控和状态完全能观的特定 常熟a和b。 要点：
2、系统传递函数为 （1）建立系统能控标准形实现。（2）建立系统能观测标准形实现。 四、（每题10分，共20分） 1.设系统状态方程为： 1-试确定平衡状态的稳定性。 2、设线性离散系统状态方程为： 试确定在平衡点渐近稳定的条件。 五、（20分） 设系统传递函数为： )2 )( 1 ( 10 ) ( + + = s s s W （1）给出系统能控标准型的实现，在此基础上设计状态反馈控制器，使闭环极点特征配置在-1±j 上， 并给出闭环传递函数的结构图。 （2）给出系统能观标准型实现，并在此基础上设计全维观测器，使观测极点为-2 ，-3。