第八章方差分析与回归分析

第八章 方差分析与回归分析

一、教材说明

本章内容包括：方差分析,多重比较,方差齐性检验,一元线性回归,一元非线性回归.主要讲述方差分析和一元线性回归两节内容.

1、教学目的与教学要求

(1)了解方差分析的统计模型，掌握平方和的分解，熟悉检验方法和参数估计，会解决简单的实际问题.

（2）了解效应差的置信区间的求法，了解多重比较问题，掌握重复数相等与不相等场合的方法，会解决简单的实际问题.

（3）熟练掌握Hartley 检验，Bartlett 检验以及修正的Bartlett 检验三种检验方法，会解决简单的实际问题.

（4）理解变量间的两类关系，认识一元线性和非线性回归模型，熟悉回归系数的估计方法，熟练掌握回归方程的显著性检验.能用R 软件来进行回归分析，会解决简单的实际问题.

2、本章的重点与难点

本章的重点是平方和的分解，检验方法和参数估计、重复数相等与不相等场合的方法、检验方法的掌握，回归系数的估计方法，回归方程的显著性检验，难点是检验方法和参数估计，重复数相等与不相等场合的方法. 实际问题的检验，回归方程的显著性检验.

二、教学内容

本章共分方差分析,多重比较,方差齐性检验,一元线性回归,一元非线性回归等5节来讲述本章的基本内容.

§8.1 方差分析

教学目的：了解方差分析的统计模型，掌握平方和的分解，熟悉检验方法和参数估计,会

解决简单的实际问题.

教学重点：平方和的分解，检验方法和参数估计 教学难点：检验方法和参数估计

教学内容：

本节包括方差分析问题的提出,单因子方差分析的统计模型,平方和分解,检验方法,参数估计,重复数不等情形.

8.1.1 问题的提出

在实际工作中经常会遇到多个总体均值的比较问题，处理这类问题通常采用方差分析方法.

例8.1.1

8.1.2 单因子方差分析的统计模型

在例8.1.1中，我们只考察一个因子，称为单因子试验.记因子为A ，设其有r 个水平，记为1r A ,

,A ，在每一水平下考察的指标可看做一个总体，故有r 个总体，假定

（1）每一总体均为正态总体，记为2

i i N(,)μσ，i 1,2,,r =；

（2）各总体方差相同，即22

2212r σσσσ==

==

（3）每一总体中抽取的样本相互独立，即诸数据ij y 都相互独立 在这三个基本假定下，要检验的假设是

012112::,,,r

r H H μμμμμμ===?

?不全相等 （8.1.1）

如果0H 成立，因子A 的r 个水平均值相同，称因子A 的r 个水平间没有显著差异，简称因子A 不显著；反之，若0H 不成立，因子A 的r 个水平均值不全相同，称因子A 的r 个水平间有显著差异，简称因子A 显著.

在每一水平下各作m 次独立重复试验，若记第i 个水平下第j 次重复的实验结果为ij y ，得到r m ?个实验结果：ij y ,=1,2,

,=1,2,,.i r j m

在水平A i 下的实验结果ij y 与该水平下的均值i μ的差距ij ij =y -i εμ称为随机误差.于是有

ij ij y =+i εμ， （8.1.2）

该式称为实验结果ij y 的数据结构式.

把三个假定用于数据结构式就得到单因子方差分析的统计模型：

ij ij 2

ij y =+,=1,2,,=1,2,,;

(0,)i i r j m N εμεσ?????诸相互独立，且都服从 （8.1.3） 称诸i μ的平均1=1

1

1=(+

+)=r

r i i r

r μμμμ∑为总均值，第i 水平下均值i μ与总均值的差

=-i i a μμ称为因子A 的第i 水平的主效应，简称为A i 的主效应.则有=1

=0,=+.r

i i i i a a μμ∑

统计模型（8.1.3）可改写为

ij ij =1

2ij

y =+a +,=1,2,,=1,2,,;=0;(0,)i r i i i r j m a N μεεσ???

????∑诸相互独立，且都服从 假设（8.1.1）可改写为

012112:=0

:,,,0r r H a a a H a a a ===?

?不全为.

8.1.3 平方和分解

一 实验数据

在单因子方差分析中可将实验数据列成如下表格形式

因子水平 试验数据 和 平均

1A 11y 12y 1m y 1T 1y 2A 21y 22y 2m y 2T 2

y

r A r1y r2y rm y r T y

r

合计 T y 二 组内偏差与组间偏差

ij ij y -=(y -)+(-)i i y y y y ，记=1i =1i =1=1111=,==m r r m

i i j i i j j j

m r n εεεεε∑∑∑∑，ij y -i y 称为组内偏

差，-i y y 称为组间偏差.

三 偏差平方和及其自由度 在统计学中，把k 个数据1,

,k y y 分别对其均值1=(++)/k y y y k 的偏差平方和

2=1

=(-)k

i i Q y y ∑称为k 个数据的偏差平方和，简称平方和.

由于

=1

(-)=0k

i

i y y ∑，说明在Q 中独立的偏差只有-1k 个，称为该平方和的自由度，记为

f ，=-1.Q f k

四 总平方和分解公式

各ij y 间总的差异大小可用总偏差平方和T S 表示为

211

(),=-1r m

T ij T i j S y y f n ===-∑∑. （8.1.3）

仅由随机误差引起的数据间差异可用组内偏差平方和，也称误差偏差平方和，记为e S ，

211

(),=r(m-1)=n-r.r m

e ij e i i j S y y

f ===-∑∑ （8.1.4）

由效应不同引起的数据差异可用组间偏差平方和表示，也称为因子A 的偏差平方和，

记为A S ，

21

(),=-1.r

A A i

i S m y

y f r ==-∑ （8.1.5）

定理8.1.1 在上述符号下，总平方和T S 可分解为因子平方和.A S 与误差平方和e S 之和，其自由度也有相应分解公式：S =,=+.T A e T A e S S f f f + （8.1.6）

称为总平方和分解式.

8．1.4 检验方法

为了度量一组数据的离散程度，称/Q MS Q f =为均方和.

由均方和的概念，得到/A A A MS S f =，/e e e MS S f =，用/A e F MS MS =作为检验的统计量，为给出检验拒绝域，需要如下定理：

定理8.1.2 在单因子方差分析模型及前述符号下，有

（1）

22

~-),e

s n r χσ

（从而2()=(-)e E S n r σ

(2) 2

2=1

()=(-1)+r

A i

i E S r m

a

σ∑,若0H 成立，则有

22

~(1)A

S r χσ

-

（3）A S 与e S 相互独立. 由定理8.1.2知/(,)A e

A e F MS MS F f f = ，从而可得检验的拒绝域为

1{(,)}

A e W F F f f α-=≥.

将上述结果列成表格，称为方差分析表

来源 平方和 自由度 均方和 F 比

因子 A S 1A f r =- /A A A MS S f = /A e F MS MS = 误差 e S -e f n r = /e e e MS S f = 总和 T S 1T f n =-

若1(,)A e F F f f α->，则可以认为因子A 显著，即诸正态均值间有显著差异； 若1<(,)A e F F f f α-，则说明因子A 不显著，即保留原假设0H . 常用偏差平方和的计算公式：

2

2

11

r

m

T ij i j T S y n ===-∑∑

2

211r A i i T S T m n ==-

∑ e T A

S S S =-

例8.1.2

8.1.5 参数估计

在检验结果为显著时，可进一步求出总均值μ，各主效应i a 和误差方差2

σ的估计. 一 点估计

总均值μ的估计为?y μ

=； 各水平均值i μ的估计?,1,2,,i i y i r μ

==； 主效应i a 的估计?,1,2,,i i a

y y i r =-=

误差方差2

σ的估计2?/e e e MS S f σ

== 二 置信区间

由定理8.1.2知 2

2

2

~N(,/m),

~),e

i i e s y μσχσ（f 且两者独立，

(),e y f

（由

此给出A i 的水平均值i μ的1α-

的置信区间是1/2?()/i e y t f ασ

-±例8.1.3

单因子试验的数据分析可以知道如下三个结果 因子A 是否显著 试验误差方差2

σ的估计

诸水平均值i μ的点估计与区间估计（此项在因子A 不显著时无需进行）

8.1.6 重复数不等情形

1. 数据

设因子A 有r 个水平1r A ,,A ，并且第r 个水平i A 下重复进行i m 次试验，可得如下

数据：

因子水平 重复数 试验数据 和 平均

1A 1m 11y 12y 11m y 1T 1y 2A 2m 21y 22y 22m y 2T 2

y

r A r m r1y r2y r rm y r T r

y

合计 n

T

y

2. 基本假定、平方和分解、方差分析和判断准则都和前面一样，只是因子A 的平方和

A S 的计算公式略有不同：记1

r

i i n m ==∑，则

22

1r

i A i i

T T S m n ==-

∑ 3. 数据结构式及参数估计式基本同前，需要注意下面两点：

（1）总均值1

1r

i i i m n μμ==∑；

（2）主效应约束条件为1

0r

i i

i m a

==∑

类似于8.1.8 有

ij ij =1

2ij

y =+a +,=1,2,,=1,2,,;=0;

(0,)i r i i i i r j m m a N μεεσ???

????∑诸相互独立，且都服从 4 各平方和的计算

记1,=i

m i i ij i j i T T y y m ==∑，=11

,=i

m r ij i j T

T y y n ==∑∑

则2

2

11

,=-1,i

m r

T ij T i j T S y f n n ===-∑∑

22

1,=-1,r

i A A i i

T T S f r m n ==-∑

,=-e T A e S S S f n r =-.

例8.1.4 略

§8.2 多重比较

教学目的：了解效应差的置信区间的求法，了解多重比较问题，掌握重复数相等与不

相等场合的方法，能用R 软件来进行多重比较，会解决简单的实际问题。

教学重点：重复数相等与不相等场合的方法. 教学难点：重复数相等与不相等场合的方法.

教学内容:本节内容包括效应差的置信区间,多重比较问题,重复数相等场合的T 法,重复数不等场合的S 法.

8.2.1 效应差的置信区间

如果方差分析的结果因子A 显著,则认为因子A 的r 个水平的效应不全相同,但就指定的一对水平i A 和j A ,可通过求-i j μμ的区间估计来进行比较,方法如下:

由于 211-~(-,(+))i j i j i j

y y N m m μμσ??,又由定理8.1.2知22~()e e S f χσ,且两者独

立,故

(-)-(-)()e y y t f μμ,由此给出-i j μμ的置信水平为1-α的置信区间

为

^^

1-1-22

[-(),-()i j e i j e y y t f y y t f αα????, (8.2.1)

2

^=e e

S f σ是2σ的无偏估计. 例8.2.1略

注 (8.2.1)给出的置信区间与第六章中两样本的t 区间基本一致,区别在于这里2

σ的估计使用了全部样本而不仅仅是i A ,j A 两个水平下的观测值.

8.2.2 多重比较问题

对每一组(,)i j (8.2.1)给出的区间置信水平都是1-α,但对于多个这样的区间,要求其同时成立,其联合置信水平就不再是1-α.例如,设1,

,k E E 是k 个随机事件,且有

(E )=1-,=1,,i P i k α,则其同时发生的概率=1

(

E )=1-k n i i P α,即它们同时发生的概率可能比

1-α小很多,为了解决这个问题,常采用多重比较法.

在方差分析中,如果经过 检验拒绝原假设,表明因子A 是显著的,即r 个水平对应的水平均值不全相等,此时,我们还需要进一步确认哪些水平均值间确有差异, 哪些水平均值间无显著差异.

在(>2)r r 个水平均值中同时比较任意两个水平均值间有无明显差异的问题称为多重比较,多重比较即要以显著水平α同时检验如下(-1)/2r r 个假设:

0:=,1

关于假设(8.2.2)的拒绝域应有如下形式: 1<=

{-}i j ij i j r

W y y c ??≤≤≥

诸临界值应在(8.2.2)成立时由(W)=P α确定.下面介绍重复数相等和不等时临界值确定的方法.

8.2.3重复数相等场合的T 法

在重复数相等时,由对称性可要求诸ij c 相等,记为c

,记2

^=

e

e

S f σ,则由条件可得

^

-~()i i

e y t

f μσ?,于是当(8.2.2)成立时

, 1=

==r μ

μμ,故有

^

^

^

(-)

(-)

(W)=P(max -min )

j i i i i

j

y y c

P

μμσσ

σ??≥

,这里

^

^

(-)

(-)

q(r,f )=max -min j i i i e i

j

y y μμσσ??一般称为t 化极差统计量, q(r,f )e 的分布可由随机模

拟方法得到, q(r,f )e 的1-α分位数1-q (r,f)α

可查表.

重复数相同时的多重比较步骤如下:对给定的显著性水平α,差多重比较的分位数

1-q (r,f)α表,计算^

1-c=q (r,f)ασ,比较诸-i j y y ??与c 的大小,若-i j y y c ??≥则认为水平

i A ,j A ,有显著差异,反之则认为i A ,j A ,间明显差别.这一方法称为T 法.

例8.2.2 略

8.2.4

重复数不等场合的S 法

在重复数不等时,仍沿用上面的记号,有

(-)-(-)

()e y y t f μμ,

在假设(8.2.2)成立时, 1===r μμμ,

于是有-~()ij e y y t t f

或2(-))ij e y y F f

要求=ij c 于是有2^

1<(W)=P(max F ()i j r ij c

P σ

≤≤≥

由(W)=P α推出2

^1-()=(-1)(-1,)e c r F r f ασ

,

即ij c 例8.2.3 略

§8.3 方差齐性检验

教学目的：熟练掌握Hartley 检验，Bartlett 检验以及修正的Bartlett 检验三种检验方

法，会解决简单的实际问题。

教学重点：检验方法的掌握 教学难点：实际问题的检验

教学内容:本节内容包括Hartley 检验，Bartlett 检验,修正的Bartlett 检验.

在单因子试验中r 个水平的指标可以用r 个正态分布2

(,),=1,

,i i N i r μσ来表示.在

进行方差分析时要求r 个方差相等,称为方差齐性.

所谓方差齐性检验是对如下一对假设做出检验:

22220121:===:.r i H vsH σσσσ诸不全相等 (8.3.1)

下面分别介绍几个常用的检验:

(1) Hartley 检验,仅适用于样本量相等的场合;

(2) Bartlett 检验,可用于样本量相等或不等的场合,但每个样本量不得低于5; (3) 修正的Bartlett 检验,在样本量较小或较大,相等或不等场合均可使用.

8.3.1 Hartley 检验

在各水平下试验重复次数相等时,即1=

=m =m r m , Hartley 检验提出检验方

差相等的检验统计量2221222212max{,,,}

=min{,,,}

r r s s s H s s s ,在诸方差相等条件下,可通,过随机模拟

法获得 H 分布的分位数,该分布依赖于水平数r 和样本方差的自由度=-1f m ,故可记该分布为,)H （r f .

对给定的显著性水平α,检验0H 的拒绝域为1-={H (r,f)}W H α≥,1-(r,f)H α为H 的

1-α分位数.

例8.3.1 利用Hartley 检验法 8.3.2 Bartlett 检验

在单因子方差分析中有r 个样本,设第i 个样本方差为:

2

j=11=(-)=,=1,2,,-1j

m

i i ij i i i

Q s y y i r m f ?

∑,

误差均方和=1

1

=

r

e i

i e

MS Q

f ∑,1

2

1

22

2

1

2=[(s )(s )(s )]

e

r

f f f f e r GMS ,则e e GMS MS ≤,故

可得检验(8.3.1)的拒绝域为={ln(MS /GMS )>d}e e W ,可以证明,在大样本场合,

ln(MS /GMS )e e 的某个函数近似服从自由度为-1r 的2χ分布.故取

2

=1111B=ln(MS /GMS )(-1),C=1+[-]

3(-1)r

e e e i i e

f r C r f f χ∑,选取

2=1

1

B=[f lnMS -ln ]r e e i i i f s C ∑作为检验统计量,可得显著性水平α下的检验拒绝域为

21-={B (r-1)}W αχ≥.

例8.3.2 应用Bartlett 检验法.

8.3.3 修正的Bartlett 检验

针对样本量低于5时不能使用Bartlett 检验的缺点,提出修正的Bartlett 检验统计量

'21B =

(-)f BC f A BC ,其中B C ，如前所示, 21222

+1

=-1,=,=(-1)2-+2/f r f r f A C C f ,在原假设成立

的条件下, '

B 的近似分布是12(,)F f f ,对给定的显著性水平α,检验(8.3.1)的拒绝域为

'1-12={B (f ,f )}W F α≥.

例8.3.3 利用修正的Bartlett 检验法

§ 8.4 一元线性回归

教学目的：理解变量间的两类关系，认识一元线性和非线性回归模型，熟悉回归系数的估

计方法，熟练掌握回归方程的显著性检验，会解决简单的实际问题.

教学重点：回归系数的估计方法，回归方程的显著性检验. 教学难点：回归方程的显著性检验.

教学内容：本节内容包括：变量间的两类关系，一元线性回归模型，回归系数的最小二乘

估计，回归方程的显著性检验，估计与预测.

8.4.1 变量间的两类关系

回归分析处理的是变量与变量间的关系，变量间常见的关系有确定性关系与相关关系.

变量间的相关关系不能用完全确切的函数形式表示，但在平均意义下有一定的定量关系表达式，寻找这种定量关系是回归分析的主要任务.

8.4.2 一元线性回归模型

一元回归分析是研究两个变量之间的相关关系的方法.如果两个变量之间的关系是线性的，这就是一元线性回归问题.一元线性回归问题主要分以下三个方面：

（1）通过对大量试验数据的分析、处理，得到两个变量之间的经验公式即一元线性回归方程.

（2）对经验公式的可信程度进行检验，判断经验公式是否可信. （3）利用已建立的经验公式，进行预测和控制.

设y 与x 间有相关关系，称x 为自变量，y 为因变量，-()=(|)=

(|x)dy f x E Y x yp y ∞

∞

?

是

y 关于x 的理性回归函数.

进行回归分析首先是回归函数形式的选择，当只有一个变量时，可采用散点图的方法进行选择.

通过试验，可得到x 、y 的若干对实测数据，将这些数据在坐标系中描绘出来，所得到的图叫做散点图.

例8.4.1 由专业知识知道，合金的强度与合金中碳的含量有关，为了生产出强度满足用户需要的合金，在冶炼时如何控制碳的含量，如果在冶炼时得知了碳的含量，如何预测合金的强度？

为了解决这类问题就需要知道两个变量间的关系.首先是收集数据记为

,),=1,,i i x y i n （，将每对观察值,)i i x y （在直角坐标系中描出，得散点图，从图可看出，这

些点虽不在一条直线上，但都在一条直线附近.于是，很自然会想到用一条直线来近似地表示x 与y 之间的关系，这条直线的方程就叫做y 关于x 的经验回归函数，简称回归方程.设

这条直线的方程为^^^01=+y x ββ，其图形称为回归直线，给定0x 后^^^

0010=+y x ββ称为回归值.

8.4.3 回归系数的最小二乘估计

在一次试验中，取得n 对数据

,),i i x y （，其中i y 是随机变量y 对应于i x 的观察值.我们所要求的直线应该是使所有?|-|i y y

之和最小的一条直线，其中^^^

01=+i i y x ββ.由于绝对值在处理上比较麻烦，所以用平方和来代替，即要求^^

01,ββ的值使2011

?(,)=()n

i i i Q y y ββ=-∑最小.利用多元函数求极值的方法求回归系数^^

01,ββ，得

^

^

01^1xy xx y x l l βββ?=-??=

??

其中 11=n i i x x n =∑， y =11=n i i y y n =∑，222111=()=()n n xx i i i i i l x x x x n ==--∑∑∑ 2

2

211=()=()n

yy i i

i i l y y y y n =--∑∑∑，11

=()()=n n

xy i i i i i i l x x y y x y nxy ==---∑∑

从而得到一元线性回归方程^^^01=+y x ββ . 其中^^

01,ββ称为参数01,ββ的最小二乘估计，上述方法叫做最小二乘估计法.

例8.4.2

下面给出最小二乘估计的性质. 定理8.4.1 在模型(8.4.5)下,有

(1) 2

2^

^2

00111~N(,(+)),~N(,)xx xx

x n l l σββσββ

(2) ^^

2

01Cov(,)=-xx

x l ββσ (3)对给定的0x ,2^

^

^

2

00010010(-)1=+~(+,(+))xx x x y x N x n l ββββσ

8.4.4 回归方程的显著性检验

一般的情况下，给定n 对数组，总能建立一个方程，但是这个方程不一定有意义.若回归方程中10β=，则回归方程变成0,y β=不再与x 有关，此时称回归方程不显著.原假设与备择假设为：

0111:0:0H H ββ=?≠，

为了寻求检验的统计量.我们把总体平方和分解，令^

^

01i i y x ββ=+称为回归值. 2

2

2

1

1

1

()()()

n n n

T i

i

i

i

i i i S y y y y y y ====

-=-+-∑∑∑

令

2

1

()

,n

i

i

e i y y S =-=∑称为残差平方和.

2

1

()

n

i

R i y y S =-=∑称为回归平方和.则

2

21

1

()()=+n

n

T i i i e R i i S y y y y S S ===-+-∑∑.

再来分析它们的分布，

),1(~)

(22

1

2

--∑=n y y n

i i χσ

若能求出

2

1

2

)

(σ

∑=-n

i i i y y 的自由度，

则

2

1

2

)(σ

∑=-n

i y y

的自由度也就知道了. 为了求

2

1

2

)(σ

∑=-n

i i i

y y

的自由度，只要求出

2

1

)(i n

i i y y -∑=的数学期望就可.

由于

2

^2

2

11

1

2222112

()=(())(())()

(1)(2)n n

R i i i xx i i xx xx E S E y y E y y E l n l l n βσβσβσ==-=--=-+--=-∑∑

可知 22

~(2)e

S n χσ-

因此，

22

~(1),R

S χσ

又记为

2222

2

2

~(1),

~(1),

~(2),e

T

R

S S S n n χχχσσσ--

在0H 成立的条件下，检验统计量 ~(1,2)(2)

R

e S F F n S n =--

拒绝域为

1{(1,2)}F F n α-≥-

8.4.5 估计与预测

在求出随机变量y 与变量x 的一元线性回归方程，并通过相关性检验后，便能用回归方

程进行估计和预测.

对给定的0=x x ，寻求均值0010()=+E y x ββ的点估计和区间估计,这是估计问题. 对给定的0=x x ，利用区间估计的方法求出0y 一个置信区间,使0y 落在这个区间内的概率为1-α,这是预测问题.

一 0()E y 的估计

对给定的0=x x ，其对应的0y 是一个随机变量,均值为0010()=

+E y x ββ,用^^^0100()=+E y x ββ作为0y 的估计值,记为^0y ,则^

0y 是0()E y 的无偏估计.

又由于2^^^

200010010(-)1=+~(+,(+))xx

x x y x N x n l ββββσ,2

2~(2),e S n χσ-且与^

0y 相

互独立,

故

^

(-2)t n ,得到0()E y 的1-α置信区间

为

^

^

^

000001-2

[-,+],=(-2)y y t n αδδδσ

二 0y 的预测区间

上面讨论了0=x x 时对应的应变量的均值0()E y 的区间估计,下面讨论0y 的预测区间.

记00=E(y )+y ε,假定2

~(0,)N εσ,设^^

00[-,+],y y δδ作为0y 的取值范围.下面来确定

δ

的值

.由于

y 与

^

y 独立, 2

^

2000(-)

1y -~(0,[1++])

xx

x x y N n l σ

,

^

,

从

而

得

到

^

01-2=)=(-2)x t n αδδσ（.

例8.4.4

例8.4.5

第9章方差分析与回归分析习题答案

第九章 方差分析与回归分析习题参考答案 1. 为研究不同品种对某种果树产量的影响，进行试验，得试验结果（产量）如下表，试分析果树品种对产量是否有显着影响. （0.05(2,9) 4.26F =，0.01(2,9) 8.02F =） 34 2 11 1310ij i j x ===∑∑ 解：r=3, 12444n n 321=++=++=n n , T=120 ,120012 1202 2===n T C 3 4 2 211 131********(1)1110110T ij T i j SS x C S n s ===-=-==-=?=∑∑或S 322.1112721200724(31)429724A i A A i SS T C S s ==-=-==-=??=∑或S 3872110=-=-=A T e SS SS SS 计算统计值722 8.53, 389 A A A e e SS f F SS f = =≈…… 方差分析表 结论:由于0.018.53(2,9)8.02, A F F ≈>=故果树品种对产量有特别显着影响. 2. ..180x = 43 2 11 2804ij i j x ===∑∑ 解：22..4,3,12,180122700l m n lm C x n =======

43 2211 28042700104(1)119.45 104T ij T i j S x C S n s ===-=-==-=?≈∑∑&&或 422 .1 12790270090(1)331090 3A i A A i S x C S m l s ==-=-==-≈??=∑或322 .1 12710.5270010.5(1)8 1.312510.5 4B j B B j S x C S l m s ==-=-==-≈?=∑或1049010.5 3.5e T A B S S S S =--=--= 计算统计值90310.52 51.43,93.56 3.56 A A B B A B e e e e S f S f F F S f S f = =≈==≈ 结论: 由以上方差分析知，进器对火箭的射程有特别显着影响；燃料对火箭的射程有显着影响. 31,58,147,112,410.5,i i i i i i x y x y x y =====（1）求需求量Y 与价格x 之间 的线性回归方程； （2）计算样本相关系数； （3）用F 检验法作线性回归关系显着性检验. ??? ? ??====56.10)9,1(,26.11)8,1(12.5)9,1(,32.5)8,1(01.001.005.005.0F F F F 解：引入记号 10, 3.1, 5.8n x y === ()()14710 3.1 5.832.8xy i i i i l x x y y x y nx y =--=-=-??=-∑∑ 2 222()11210 3.115.9xx i i l x x x nx =-=-=-?=∑∑ 22 ()(1)9 1.766715.9xx i x l x x n s =-=-≈?≈∑或 2 222()410.510 5.874.1yy i i l y y y ny =-=-=-?=∑∑ 22()(1)98.233374.1yy i y l y y n s =-=-≈?≈∑或 ?(1) b Q 32.8??2.06, 5.8 2.06 3.112.1915.9xy xx l a y bx l -==≈-=-≈+?≈ ∴需求量Y 与价格x 之间的线性回归方程为 ?y ??12.19 2.06a bx x =+≈-

i第八章单因素方差分析 (1)

幻灯片1 【例】调查了5个不同小麦品系的株高，结果如下。试判断这5个品系的株高是否存在显著性差异。 5个小麦品系株高(cm)调查结果 株号品系 ⅠⅡⅢⅣⅤ 1 2 3 4 5 和平均数64.6 65.3 64.8 66.0 65.8 326.5 65.3 64.5 65.3 64.6 63.7 63.9 322.0 64.4 67.8 66.3 67.1 66.8 68.5 336.5 67.3 71.8 72.1 70.0 69.1 71.0 354.0 70.8 69.2 68.2 69.8 68.3 67.5 343.0 68.6 幻灯片2 第八章单因素方差分析 One-factor analysis of variance 幻灯片3 本章内容 第一节方差分析简述 第二节固定效应模型 第三节随机效应模型 第四节多重比较 第五节方差分析应具备的条件 幻灯片4 第一节方差分析简述 一、方差分析的一般概念 1、概念 方差分析（ analysis of variance，ANOVA）：是同时判断多组数据平均数之间差异显著性的统计假设检验，是两组数据平均数差异显著性t 检验的延伸。 幻灯片5 单因素方差分析（一种方式分组的方差分析）：研究对象只包含一个因素(factor)的方差分析。 单因素实验：实验只涉及一个因素，该因素有a个水平(处理)，每个水平有n次实验重复，这样的实验称为单因素实验。 水平(level)：每个因素不同的处理(treatment)。 幻灯片6 方差分析 Analysis of Variance （ANOVA ) ANOV A 由英国统计学家，用于推断多个总体均数有无差异。

方差分析和回归分析的区别与联系

一、方差分析和回归分析的区别与联系？（以双变量为例） 联系： 1、概念上的相似性 回归分析是为了分析变量间的因果关系，研究自变量X取不同值时，因变量平均值丫的变化。运用回归分析方法，可以从变量的总偏差平方和中分解出已被自变量解释掉的误差（解释掉误差）和未被解释掉的误差（剩余误差）； 方差分析是为了分析或检验总体间的均值是否有所不同。通过对样本中自变量X取不同值时 所对应的因变量丫均值的比较，推论到总体变量间是否存在关系。运用方差分析，也可以从变量的总离差平方和中分解出已被自变量解释掉的误差和未被自变量解释掉的误差。因此两种分析在概念上所具有的相似性是显而易见的。 2、统计分析步骤的相似性 回归分析在确定自变量X是否为因变量丫的影响因素时，从分析步骤上先对X和丫进行相关分析，然后建立变量间的回归模型。最后再进行参数的统计显着性检验或对回归模型的统计显着性进行检验。 方差分析在确定X是否是丫的影响因素时，是先从样本所的数据的分析入手，然后考察数据模型，最后对样本均值是否相等进行显着性检验。二者在分析步骤上也具有相似性。 3、假设条件具有一定的相似性 回归分析有五个基本假定，分别是：自变量可以是随机变量也可以是非随机变量；X与丫之 间存在的非确定性的相关关系，要求丫的所有子总体，其方差都相等；子总体均值在一条直线上；随机变量丫是统计独立的，即丫1的数值不影响丫2的数值，各丫值之间都没有关系；丫值的每一个子总体都满足正态分布。 方差分析的基本假定有：等方差性（总体中自变量的每一取值所对应因变量丫的分布都具有 相同方差）；丫的分布为正态分布。 二者在假设条件上存在着相同。 4、在总离差平方和中的分解形式和逻辑上的相似性 回归分析中，TSS=RSS+RS,S而在方差分析中，TSS=RSS+BS二者均是以已解释掉的误差与未被解释掉的误差之和为总离差平方和。 5、确定影响因素上的相似性 为简化分析起见，我们假设只有一个自变量X影响因变量丫。在回归分析中，要确定X是否是丫的影响因素，就要看当X已知时，对丫的总偏差有无影响。如果X不是影响丫的因素，等同于只 知变数丫的数据列一样,此时用丫去估计每个丫的值,所犯的错误（即偏差）为最小。如果因素X 是影响丫的因素，那么当已知X值后 6、在统计显着性检验上具有相似性 回归分析的总显着性检验，是一种用R2测量回归的全部解释功效的检验。检验RSSR*（N-2） /RS,S 方差分析的显着性检验是一种根据样本数据提取信息所进行的显着性检验。它也是通过F 检 验进行的。 区别： 1、研究变量的分析点不同 回归分析法既研究变量丫又研究变量X并在此基础上集中研究变量丫与X的函数关系，得到的是在不独立的情况下自变量与因变量之间的更加精确的回归函数式,也即判断相关关系的类 型，因此需建立模型并估计参数。方差分析法集中研究变量丫的值及其变差而变量X值仅用 来把丫值划分为子群或组，得到的是自变量（因素）对总量Y是否具有显着影响的整体判断，因

统计学基础 第八章 相关与回归分析

统计学基础第八章相关与回归分析 【教学目的】 1.掌握相关系数的测定和性质 2.明确相关分析与回归分析的特点 3.建立回归直线方程，掌握估计标准误差的计算 【教学重点】 1.相关关系、相关分析和回归分析的概念 2.相关系数计算 3.回归方程的建立和依此进行估计和预测 【教学难点】 1.相关分析和回归分析的区别 2.相关系数的计算 3.回归系数的计算 4.估计标准误的计算 【教学时数】 教学学时为8课时 【教学内容参考】 第一节相关关系 一、相关关系的含义 宇宙中任何现象都不是孤立地存在的，而是普遍联系和相互制约的。这种现象间的相互联系、相互制约的关系即为相关关系。 相关关系因其依存程度的不同而表现出相关程度的差别。有些现象间存在着严格的数据依存关系，比如，在价格不变的条件下销售额量之间的关系，圆的面积与半径之间的关系等等，均具有显著的一一对应关系。这些关系可由数学中的函数关系来确切的描述，因而也可以认为是一种完全相关关系。有些现象间的依存关系则没有那么严格。当一种现象的数量发生变化时，另一种现象的数量却在一定的范围内发生变化，比如身高与体重的关系就是如此。一般来说，身高越高，

体重越重，但二者之间的关系并非严格意义上的对应关系，身高1.75米的人，对应的体重会有多个数值，因为影响体重的因素不只身高而已，它还会受遗传、饮食习惯等因素的制约和影响。社会经济现象中大多存在这种非确定的相关关系。 在统计学中，这些在社会经济现象之间普遍存在的数量依存关系，都成为相关关系。在本章，我们主要介绍那些能用函数关系来描述的具有经济统计意义的相关关系。 二、相关关系的特点 1.现象之间确实存在数量上的依存关系 如果一个现象发生数量上的变化，则另一个现象也会发生数量上的变化。在相互依存的两个变量中，可以根据研究目的，把其中的一个变量确定为自变量，把另一个对应变量确定为因变量。例如，把身高作为自变量，则体重就是因变量。 2.现象之间数量上的关系是不确定的 相关关系的全称是统计相关关系，它属于变量之间的一种不完全确定的关系。这意味着一个变量虽然受另一个（或一组）变量的影响，却并不由这一个（或一组）变量完全确定。例如，前面提到的身高和体重之间的关系就是这样一种关系。 三、相关关系的种类 现象之间的相互关系很复杂，它们涉及的变动因素多少不同，作用方向不同，表现出来的形态也不同。相关关系大体有以下几种分类： (一)正相关与负相关 按相关关系的方向分，可分为正相关和负相关。当两个因素（或变量）的变动方向相同时，即自变量x值增加（或减少），因变量y值也相应地增加（或减少），这样的关系就是正相关。如家庭消费支出随收入增加而增加就属于正相关。如果两个因素（或变量）变动的方向相反，即自变量x值增大（或减小），因变量y值随之减小（或增大），则称为负相关。如商品流通费用率随商品经营的规模增大而逐渐降低就属于负相关。 (二)单相关与复相关 按自变量的多少分，可分为单相关和复相关。单相关是指两个变量之间的相关关系，即所研究的问题只涉及到一个自变量和一个因变量，如职工的生活水平与工资之间的关系就是单相关。复相关是指三个或三个以上变量之间的相关关系，即所研究的问题涉及到若干个自变量与一个因

一元线性回归,方差分析,显著性分析

一元线性回归分析及方差分析与显著性检验 某位移传感器的位移x 与输出电压y 的一组观测值如下：（单位略） 设x 无误差，求y 对x 的线性关系式，并进行方差分析与显著性检验。 （附：F 0。10(1，4)=4.54，F 0。05(1，4)=7.71，F 0。01(1，4)=21.2） 回归分析是研究变量之间相关关系的一种统计推断法。 一． 一元线性回归的数学模型 在一元线性回归中，有两个变量，其中 x 是可观测、可控制的普通变量，常称它为自变量或控制变量，y 为随机变量，常称其为因变量或响应变量。通过散点图或计算相关系数判定y 与x 之间存在着显著的线性相关关系，即y 与x 之间存在如下关系： y =a +b ?x +ε (1) 通常认为ε~N (0,δ2)且假设δ2与x 无关。将观测数据(x i ,y i ) (i=1，……，n)代入(1)再注意样本为简单随机样本得： {y i =a +b ?x i +εi ε1?εn 独立同分布N (0,σ2) (2) 称(1)或(2)(又称为数据结构式)所确定的模型为一元(正态)线性回归模型。 对其进行统计分析称为一元线性回归分析。 模型(2)中 EY= a +b ?x ，若记 y=E(Y),则 y=a+bx,就是所谓的一元线性回归方程，其图象就是回归直线，b 为回归系数，a 称为回归常数，有时也通称 a 、b 为回归系数。 设得到的回归方程 bx b y +=0? 残差方程为N t bx b y y y v t t t i ,,2,1,?0Λ=--=-= 根据最小二乘原理可求得回归系数b 0和b 。 对照第五章最小二乘法的矩阵形式，令 ?????? ? ??=??? ? ??=??? ???? ??=??????? ??=N N N v v v V b b b x x x X y y y Y M M M M 2102121?111 则误差方程的矩阵形式为 V b X Y =-? 对照X A L V ?-=，设测得值 t y 的精度相等，则有

第章方差分析与回归分析习题答案定稿版

第章方差分析与回归分析习题答案精编 W O R D版 IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】

第九章 方差分析与回归分析习题参考答案 1. 为研究不同品种对某种果树产量的影响，进行试验，得试验结果（产量）如下表，试分析果树品种对产量是否有显着影响. （0.05(2,9) 4.26F =，0.01(2,9)8.02F =） 解：r=3, 12444n n 321=++=++=n n , T=120 ,120012 1202 2===n T C 计算统计值?7228.53, 389 A A A e e SS f F SS f = =≈…… 方差分析表 结论: 由于0.018.53(2,9)8.02, A F F ≈>=故果树品种对产量有特别显着影响.

10.52 ≈ 9 3.56 结论: 由以上方差分析知，进器对火箭的射程有特别显着影响；燃料对火箭的射程有显着 影响. 3．为了研究某商品的需求量Y与价格x之间的关系，收集到下列10对数据：

22 31,58,147,112,410.5,i i i i i i x y x y x y =====∑∑∑∑∑（1）求需 求量Y 与价格x 之间的线性回归方程； （2）计算样本相关系数； （3）用F 检验法作线性回归关系显着性检验. 解：引入记号 10, 3.1, 5.8n x y === ∴需求量Y 与价格x 之间的线性回归方程为 （2）样本相关系数 32.8 0.955634.3248l r -= = ≈≈- 在0H 成立的条件下，取统计量(2)~(1,2)R e n S F F n S -= - 计算统计值 2 2(32.8)15.967.66, 74.167.66 6.44 R xy xx e yy R S l l S l S ==-≈=-≈-= 故需求量Y 与价格x 之间的线性回归关系特别显着. 4. 随机调查10个城市居民的家庭平均收入(x)与电器用电支出(y)情况得数据（单位：千元）如下: (1) 求电器用电支出y 与家庭平均收入x 之间的线性回归方程； (2) 计算样本相关系数；

案例库 项目八假设检验 回归分析与方差分析

项目八假设检验、回归分析与方差分析 实验3 方差分析 实验目的学习利用Mathematica求单因素方差分析的方法. 基本命令 1.调用线性回归软件包的命令<

中,向量Y是因变量,也称作响应变量.矩阵X称作设计矩阵, ?是参数向量??是误差向量? ????????DesignedRegress也是作一元和多元线性回归的命令, 它的应用范围更广些. 其格式与命令Regress的格式略有不同: DesignedRegress[设计矩阵X,因变量Y的值集合, RegressionReport ->{选项1, 选项2, 选项3,…}] RegressionReport(回归报告)可以包含:ParameterCITable(参数?的置信区间表???? ?PredictedResponse (因变量的预测值), MeanPredictionCITable(均值的预测区间), FitResiduals(拟合的残差), SummaryReport(总结性报告)等, 但不含BestFit. 实验准备—将方差分析问题纳入线性回归问题 在线性回归中, 把总的平方和分解为回归平方和与误差平方和之和, 并在输出中给出了方差分析表. 而在方差分析问题

中, 也把总的平方和分解为模型平方和与误差平方和之和, 其方法与线性回归中的方法相同. 因此只要把方差分析问题转化为线性模型的问题, 就可以利用线性回归中的设计回归命令DesignedRegress 做方差分析. 单因素试验方差分析的模型是 ?? ? ??==+=. ,,2,1;,,2,1,),,0(~,2s j n i N Y j ij ij ij j ij ΛΛ独立各εσεεμ (3.1) 上式也可改写成 ?? ? ??===+-+==+=.,,2,1;,,2,1,),,0(~; ,,3,2,)(, ,,2,1,2111111s j n i N s j Y n i Y j ij ij ij j ij i i ΛΛΛΛ独立各εσεεμμμεμ (3.2) 给定具体数据后, 还可(2.2)式写成线性模型的形式:

应用回归分析,第4章课后习题参考答案

第4章违背基本假设的情况 思考与练习参考答案 4.1 试举例说明产生异方差的原因。 答：例4.1：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为 Y i=β0+β1X i+εi 其中：Y i表示第i个家庭的储蓄额，X i表示第i个家庭的可支配收入。 由于高收入家庭储蓄额的差异较大，低收入家庭的储蓄额则更有规律性，差异较小，所以εi的方差呈现单调递增型变化。 例4.2：以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型 Y i=A iβ1K iβ2L iβ3eεi 被解释变量：产出量Y，解释变量：资本K、劳动L、技术A，那么每个企业所处的外部环境对产出量的影响被包含在随机误差项中。由于每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同，造成了随机误差项的异方差性。这时，随机误差项ε的方差并不随某一个解释变量观测值的变化而呈规律性变化，呈现复杂型。 4.2 异方差带来的后果有哪些？ 答：回归模型一旦出现异方差性，如果仍采用OLS估计模型参数，会产生下列不良后果： 1、参数估计量非有效 2、变量的显著性检验失去意义 3、回归方程的应用效果极不理想 总的来说，当模型出现异方差性时，参数OLS估计值的变异程度增大，从而造成对Y的预测误差变大，降低预测精度，预测功能失效。 4.3 简述用加权最小二乘法消除一元线性回归中异方差性的思想与方法。 答：普通最小二乘估计就是寻找参数的估计值使离差平方和达极小。其中每个平方项的权数相同，是普通最小二乘回归参数估计方法。在误差项等方差不相关的条件下，普通最小二乘估计是回归参数的最小方差线性无偏估计。然而在异方差

的条件下，平方和中的每一项的地位是不相同的，误差项的方差大的项，在残差平方和中的取值就偏大，作用就大，因而普通最小二乘估计的回归线就被拉向方差大的项，方差大的项的拟合程度就好，而方差小的项的拟合程度就差。由OLS 求出的仍然是的无偏估计，但不再是最小方差线性无偏估计。所以就是：对较大的残差平方赋予较小的权数，对较小的残差平方赋予较大的权数。这样对残差所提供信息的重要程度作一番校正，以提高参数估计的精度。 加权最小二乘法的方法： 4.4简述用加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性的思想与方法。 答：运用加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性的思想与一元线性回归的类似。多元线性回归加权最小二乘法是在平方和中加入一个适当的权数i w ，以调整各项在平方和中的作用，加权最小二乘的离差平方和为： ∑=----=n i ip p i i i p w x x y w Q 1211010)( ),,,(ββββββ （2） 加权最小二乘估计就是寻找参数p βββ,,,10 的估计值pw w w βββ?,,?,?10 使式（2）的离差平方和w Q 达极小。所得加权最小二乘经验回归方程记做 22011 1 ???()()N N w i i i i i i i i Q w y y w y x ββ===-=--∑∑22 __ 1 _ 2 _ _ 02 222 ()() ?()?1 11 1 ,i i N w i i i w i w i w w w w w kx i i i i m i i i m i w x x y y x x y x w kx x kx w x σβββσσ==---=-= = ===∑∑1N i =1 1表示=或

第8章 相关分析与回归分析及答案

第八章相关与回归分析 一、本章重点 1．相关系数的概念及相关系数的种类。事物之间的依存关系，可以分为函数关系和相关关系。相关关系又有单向因果关系和互为因果关系；单相关和复相关；线性相关和非线性相关；不相关、不完全相关和完全相关；正相关和负相关等类型。 2．相关分析，着重掌握如何画相关表、相关图，如何测定相关系数、测定系数以及进行相关系数的推断。相关表和相关图是变量间相关关系的生动表示，对于未分组资料和分组资料计算相关系数的方法是不同的，一元线性回归中相关系数和测定系数有着密切的关系，得到样本相关系数后还要对总体相关系数进行科学推断。 3．回归分析，着重掌握一元回归的基本原理方法，一元回归是线性回归的基础，多元线性回归和非线性回归都是以此为基础的。用最小平方法估计回归参数，回归参数的性质和显著性检验，随机项方差的估计，回归方程的显著性检验，利用回归方程进行预测是回归分析的主要内容。 4．应用相关与回归分析应注意的问题。相关与回归分析都有它们的应用范围，必须知道在什么情况下能用，什么情况下不能用。相关分析和回归分析必须以定性分析为前提，否则可能会闹出笑话，在进行预测时选取的样本要尽量分散，以减少预测误差，在进行预测时只有在现有条件不变的情况下才能进行，如果条件发生了变化，原来的方程也就失去了效用。 二、难点释疑 本章难点在于计算公式多，不容易记忆，所以更要注重计算的练习。为了掌握基本计算的内容，起码应认真理解书上的例题，做完本指导书上的全部计算题。初学者可能会感到本章公式多且复杂，难于记忆，其实只要抓住Lxx、Lxy、Lyy 这三个记号，记住它们的展开式，几个主要的公式就不难记忆了。如果能自己把这些公式推证一下，搞清其关系，那就更容易记住了。 三、练习题 （一）填空题 1事物之间的依存关系，根据其相互依存和制约的程度不同，可以分为（函数关系）和（相关关系）两种。 2．相关关系按相关关系的情况可分为（）和（）；按自变量的多少分（单相关）和（复相关）；按相关的表现形式分（线性相关）和（非线性相关）；按相关关系的密切程度分（完全相关）、（不完全相关）和（不相关）；按相关关系的方向分（正相关）和（负相关）。 3．回归方程只能用于由（自变量）推算（因变量）。 4．一个自变量与一个因变量的线性回归，称为（一元线性回归） 5．估计变量间的关系的紧密程度用（相关系数） 6．在相关分析中，要求两个变量都是随机的，而在回归分析中要求自变量是（不是随机的），因变量是（随机的）。 7．已知剩余变差为250，具有12对变量值资料，那么这时的估计标准误差是（）。 8．将现象之间的相关关系，用表格来反映，这种表称为（相关表），将现象之间的相关关系用图表示称（相关图）。

高中数学：第八章 方差分析与回归分析

高中数学：第八章 方差分析与回归分析 §1 单因素试验的方差分析 试验指标：研究对象的某种特征。 例 各人的收入。 因素：与试验指标相关的条件。 例 各人的学历，专业，工作经历等与工资有关的特征。 因素水平：因素所在的状态 例 学历是因素，而高中，大学，研究生等，就是学历因素水平；数学，物理等就是专业的水平。 问题：各因素水平对试验指标有无显著的差异？ 单因素试验方差分析模型 假设 1） 影响试验指标的因素只有一个，为A ，其水平有r 个：1,,r A A L ； 2） 每个水平i A 下，试验指标是一个总体i X 。各个总体的抽样过程 是独立的。 3）2~(,)i i i X N μσ，且22i j σσ=。 问题：分析水平对指标的影响是否相同 1）对每个总体抽样得到样本{,1}ij i X j n ≤≤，由其检验假设： 原假设0:i j H μμ=，,i j ?；备选假设：1:i j H μμ≠，,i j ?； 2）如果拒绝原假设，则对未知参数21,,,r μμσL 进行参数估计。 注 1）接受假设即认为：各个水平之间没有显著差异，反之则有显著差异。

2）在水平只有两个时，问题就是双正态总体的均值假设检验问题和参数估计问题。 检验方法 数据结构式：ij i ij i ij X μεμδε=+=++，偏差2~(0,)ij N εσ是相互独立的， 11r i i i n n μμ==∑。不难验证，1 0r i k δ==∑。 各类样本均值 水平i A 的样本均值：1 1i n i ij j i X X n == ∑g ； 水平总样本均值：11111i n r r ij i i i j i X X n X n n =====∑∑∑，1 r i i n n ==∑； 偏差平方和与效应 组间偏差平方和： 2 221 1 ()r r A i i i i i i S n X X n X nX ===-=-∑∑g g ；（衡量由不同水平产生的差异） 组内偏差平方和： 2 2 211 1 1 ()()i i n n r r E ij i ij i i i j i j S X X X n X =====-=-∑∑∑∑g g ； （衡量由随机因素在同一水平上产生的差异） 总偏差平方和： 2 2 211 1 ()i n r r T ij i ij i j i S X X n X nX ====-=-∑∑∑； （综合衡量因素，水平之间，随机因素的差异） 定理1（总偏差平方和分解定理） T A E S S S =+。 即2 2 211 11 11 ()()()i i i n n n r r r ij ij i i i j i j i j X X X X X X ======-=-+-∑∑∑∑∑∑g g ，或直接证明。 注：利用11 ()()0i n r ij i i i j X X X X ==--=∑∑即可证明。 定理2（统计特性） 2 ()E ES n r σ=-，2 21(1)r A i i i ES r n σδ==-+∑，2 21 (1)r T i i i ES n n σδ==-+∑。

方差分析与回归分析

方差分析与回归分析 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

第八章 方差分析与回归分析 §1 单因素试验的方差分析 试验指标：研究对象的某种特征。 例 各人的收入。 因素：与试验指标相关的条件。 例 各人的学历，专业，工作经历等与工资有关的特征。 因素水平：因素所在的状态 例 学历是因素，而高中，大学，研究生等，就是学历因素水平；数学，物理等就是专业的水平。 问题：各因素水平对试验指标有无显着的差异 单因素试验方差分析模型 假设 1）影响试验指标的因素只有一个，为A ，其水平有r 个：1,,r A A ； 2）每个水平i A 下，试验指标是一个总体i X 。各个总体的抽样过程是独立的。 3）2~(,)i i i X N μσ，且22i j σσ=。 问题：分析水平对指标的影响是否相同 1）对每个总体抽样得到样本{,1}ij i X j n ≤≤，由其检验假设： 原假设0:i j H μμ=，,i j ?；备选假设：1:i j H μμ≠，,i j ?； 2）如果拒绝原假设，则对未知参数21,,,r μμσ进行参数估计。 注 1）接受假设即认为：各个水平之间没有显着差异，反之则有显着差异。 2）在水平只有两个时，问题就是双正态总体的均值假设检验问题和参数估计问题。 检验方法 数据结构式：ij i ij i ij X μεμδε=+=++，偏差2~(0,)ij N εσ是相互独立的， 11r i i i n n μμ==∑。不难验证，1 0r i k δ==∑。 各类样本均值 水平i A 的样本均值：1 1i n i ij j i X X n == ∑； 水平总样本均值：11111i n r r ij i i i j i X X n X n n =====∑∑∑，1 r i i n n ==∑； 偏差平方和与效应

方差分析与回归分析习题答案完整版

方差分析与回归分析习 题答案 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

第九章 方差分析与回归分析习题参考答案 1. 为研究不同品种对某种果树产量的影响，进行试验，得试验结果（产量）如下表，试分析果树品种对产量是否有显着影响. （0.05(2,9) 4.26F =，0.01(2,9)8.02F =） 解：r=3, 12444n n 321=++=++=n n , T=120 ,120012 1202 2===n T C 计算统计值?7228.53, 389 A A A e e SS f F SS f = =≈…… 方差分析表

结论:由于0.018.53(2,9)8.02, A F F ≈>=故果树品种对产量有特别显着影响. 2700 10.52 93.56 ≈

结论: 由以上方差分析知，进器对火箭的射程有特别显着影响；燃料对火箭的射程有显着影响. 3．为了研究某商品的需求量Y与价格x之间的关系，收集到下列10对数据： 22 31,58,147,112,410.5, i i i i i i x y x y x y ===== ∑∑∑∑∑（1）求需求量Y与价格x之间的线性回归方程； （2）计算样本相关系数； （3）用F检验法作线性回归关系显着性检验. 解：引入记号10, 3.1, 5.8 n x y === ∴需求量Y与价格x之间的线性回归方程为 （2）样本相关系数 32.8 0.9556 34.3248 l r - ==≈≈-

在0H 成立的条件下，取统计量~(1,2)R e F F n S = - 计算统计值 2 2(32.8)15.967.66, 74.167.66 6.44 R xy xx e yy R S l l S l S ==-≈=-≈-= 故需求量Y 与价格x 之间的线性回归关系特别显着. 4. 随机调查10个城市居民的家庭平均收入(x)与电器用电支出(y)情况得数据（单位：千元）如下: (1) 求电器用电支出y 与家庭平均收入x 之间的线性回归方程； (2) 计算样本相关系数； (3) 作线性回归关系显着性检验; (4) 若线性回归关系显着,求x =25时, y 的置信度为0.95的预测区间. 解：引入记号 10, 27, 1.9n x y === ∴电器用电支出y 与家庭平均收入x 之间的线性回归方程为 （2）样本相关系数 0.9845l r = = ≈

应用回归分析-第2章课后习题参考答案

2.1 一元线性回归模型有哪些基本假定？ 答：1. 解释变量 1x ,Λ,2x ,p x 是非随机变量，观测值,1i x ,,2Λi x ip x 是常数。 2. 等方差及不相关的假定条件为 ? ? ? ? ? ? ??????≠=====j i n j i j i n i E j i i ,0),,2,1,(,),cov(,,2,1, 0)(2ΛΛσεεε 这个条件称为高斯-马尔柯夫(Gauss-Markov)条件，简称G-M 条件。在此条件下，便可以得到关于回归系数的最小二乘估计及误差项方差2σ估计的一些重要性质，如回归系数的最小二乘估计是回归系数的最小方差线性无偏估计等。 3. 正态分布的假定条件为 ???=相互独立 n i n i N εεεσε,,,,,2,1),,0(~212ΛΛ 在此条件下便可得到关于回归系数的最小二乘估计及2σ估计的进一步结果，如它们分别是回归系数的最及2σ的最小方差无偏估计等，并且可以作回归的显著性检验及区间估计。 4. 通常为了便于数学上的处理，还要求,p n >及样本容量的个数要多于解释变量的个数。 在整个回归分析中，线性回归的统计模型最为重要。一方面是因为线性回归的应用最广泛；另一方面是只有在回归模型为线性的假设下，才能的到比较深入和一般的结果；再就是有许多非线性的回归模型可以通过适当的转化变为线性回归问题进行处理。因此，线性回归模型的理论和应用是本书研究的重点。 1. 如何根据样本),,2,1)(;,,,(21n i y x x x i ip i i ΛΛ=求出p ββββ,,,,210Λ及方差2σ的估计; 2. 对回归方程及回归系数的种种假设进行检验； 3. 如何根据回归方程进行预测和控制，以及如何进行实际问题的结构分析。 2.2 考虑过原点的线性回归模型 n i x y i i i ,,2,1,1Λ=+=εβ误差n εεε,,,21Λ仍满足基本假定。求1β的最小二 乘估计。 答：∑∑==-=-=n i n i i i i x y y E y Q 1 1 2112 1)())(()(ββ

方差分析和相关分析与回归分析

《统计学》实验五 一、实验名称：方差分析 二、实验日期： 2010年12月3日 三、实验地点：经济管理系实验室 四、实验目的和要求 目的：培养学生利用EXCEL进行数据处理的能力，熟练掌握利用EXCEL 进行方差分析，对方差分析结果进行分析 要求：就本专业相关问题收集一定数量的数据，用EXCEL进行方差分析 五、实验仪器、设备和材料：个人电脑（人/台），EXCEL 软件 六、实验过程 （一）问题与数据 消费者与产品生产者、销售者或服务的提供者之间经常发生纠纷。当分生纠纷后，消费者常常会向消费者协会投诉。为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在零售业、旅游业、航空公司、家电制造业分别抽取了不同的企业作为样本。其中零售业抽取7家、旅游业抽取6家、航空公司抽取5家、家电制造业抽取5家。具体数据如下： 取显著性水平α=0.05，检验行业不同是否会导致消费者投诉的显著性差异？（二）实验步骤 1、进行假设 2、将数据拷贝到EXCEL表格中 3、选择“工具——数据分析——单因素方差分析”，得到如下结果：

（三）实验结果分析：由以上结果可知：F>F crit=3.4066或P-value=0.0387657<0.05,拒绝原假设，表明行业对消费者投诉有着显著差异。 实验心得体会 在这学习之前我们只学习了简单的方差计算，现在运用计算机进行方差分析，可以做出更多的比较。通过使用计算机可以很快的计算出组间和组内的各种数值，便于我们进行比较分析。

《统计学》实验六 一、实验名称：相关分析与回归分析 二、实验日期： 2010年12月3日 三、实验地点：经济管理系实验室 四、实验目的和要求 目的：培养学生利用EXCEL进行数据处理的能力，熟练掌握EXCEL绘制散点图，计算相关系数，拟合线性回归方程，拟合简单的非线性回归方程，利用回归方程进行预测。 要求：就本专业相关问题收集一定数量的数据，用EXCEL进行相关回归分析（计算相关系数，一元线性回归分析，一元线性回归预测） 五、实验仪器、设备和材料：个人电脑（人/台），EXCEL 软件 六、实验过程 （一）问题与数据 10个学生每天用于学习英语的时间和期末考试的成绩的数据如下表所示。要求， (1)绘制学习英语的时间和期末考试的成绩的散点图，判断2者之间的关系 形态 (2)计算学习英语的时间和期末考试的成绩的线性相关系数 （3）用学习英语的时间作自变量，期末考试成绩作因变量，求出估计的回归方程。 （4）求每天学习英语的时间为150分钟时，销售额95%的置信区间和预测区间。 学生时间（分钟）成绩（分） A 120 85 B 60 65 C 100 76 D 70 71 E 80 74 F 60 65 G 30 54 H 40 60 I 50 62

第章方差分析与回归分析习题答案

第章方差分析与回归分 析习题答案 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT

第九章 方差分析与回归分析习题参考答案 1. 为研究不同品种对某种果树产量的影响，进行试验，得试验结果（产量）如下表，试分析果树品种对产量是否有显着影响. （0.05(2,9) 4.26F =，0.01(2,9)8.02F =） 解：r=3, 12444n n 321=++=++=n n , T=120 ,120012 1202 2===n T C 计算统计值?722 8.53, 389 A A A e e SS f F SS f = =≈…… 方差分析表 结论:由于0.018.53(2,9)8.02, A F F ≈>=故果树品种对产量有特别显着影响. 2. 2700= 10.52 3.56 =≈结论: 由以上方差分析知，进器对火箭的射程有特别显着影响；燃料对火箭的射程有显着影响. 3．为了研究某商品的需求量Y 与价格x 之间的关系，收集到下列10对数据：

31 ,58,147,112,410.5,i i i i i i x y x y x y =====（1）求 需求量Y 与价格x 之间的线性回归方程； （2）计算样本相关系数； （3）用F 检验法作线性回归关系显着性检验. 解：引入记号 10, 3.1, 5.8n x y === ∴需求量Y 与价格x 之间的线性回归方程为 （2）样本相关系数 32.8 0.955634.3248l r -== ≈≈- 在0H 成立的条件下，取统计量(2)~(1,2)R e n S F F n S -= - 计算统计值 2 2(32.8)15.967.66, 74.167.66 6.44 R xy xx e yy R S l l S l S ==-≈=-≈-= 故需求量Y 与价格x 之间的线性回归关系特别显着. 4. 随机调查10个城市居民的家庭平均收入(x)与电器用电支出(y)情况得数据（单位：千元）如下: (1) 求电器用电支出y 与家庭平均收入x 之间的线性回归方程； (2) 计算样本相关系数； (3) 作线性回归关系显着性检验; (4) 若线性回归关系显着,求x =25时, y 的置信度为的预测区间. 解：引入记号 10,27, 1.9n x y === ∴电器用电支出y 与家庭平均收入x 之间的线性回归方程为 （2）样本相关系数 0.9845l r == ≈ 在0H 成立的条件下，取统计量(2)~(1,2)R n S F F n S -= -e 计算统计值 2 243.6354 5.37, 5.54 5.370.17 xy xx yy s l l s l s ==≈=-≈-=R e R 故家庭电器用电支出y 与家庭平均收入x 之间的线性回归关系特别显着. 相关系数检验法 0 1:0;:0H R H R =≠ 故家庭电器用电支出y 与家庭平均收入x 之间的线性回归关系特别显着. (4) 因为0x x =处,0y 的置信度为1α-的预测区间为

应用回归分析,第7章课后习题参考答案

第7章 岭回归 思考与练习参考答案 7.1 岭回归估计是在什么情况下提出的？ 答：当自变量间存在复共线性时，｜X’X ｜≈0，回归系数估计的方差就很大， 估计值就很不稳定，为解决多重共线性，并使回归得到合理的结果，70年代提出了岭回归(Ridge Regression,简记为RR)。 7.2岭回归的定义及统计思想是什么？ 答：岭回归法就是以引入偏误为代价减小参数估计量的方差的一种回归方法，其 统计思想是对于（X ’X ）-1为奇异时，给X’X 加上一个正常数矩阵D, 那么X’X+D 接近奇异的程度就会比X ′X 接近奇异的程度小得多，从而完成回归。但是这样的回归必定丢失了信息，不满足blue 。但这样的代价有时是值得的，因为这样可以获得与专业知识相一致的结果。 7.3 选择岭参数k 有哪几种方法？ 答：最优k 是依赖于未知参数β和2σ的，几种常见的选择方法是： ○ 1岭迹法：选择0k 的点能使各岭估计基本稳定，岭估计符号合理，回归系数没有不合乎经济意义的绝对值，且残差平方和增大不太多； ○ 2方差扩大因子法：11()()()c k X X kI X X X X kI --'''=++，其对角线元()jj c k 是岭估计的方差扩大因子。要让()10jj c k ≤； ○ 3残差平方和：满足()SSE k cSSE <成立的最大的k 值。 7.4 用岭回归方法选择自变量应遵循哪些基本原则？ 答：岭回归选择变量通常的原则是： 1. 在岭回归的计算中，我们通常假定涉及矩阵已经中心化和标准化了，这 样可以直接比较标准化岭回归系数的大小。我们可以剔除掉标准化岭回归系数比较稳定且绝对值很小的自变量； 2. 当k 值较小时，标准化岭回归系数的绝对值并不很小，但是不稳定，随

方差分析和回归分析的区别与联系

方差分析和回归分析的区 别与联系 Prepared on 22 November 2020

一、方差分析和回归分析的区别与联系（以双变量为例） 联系： 1、概念上的相似性 回归分析是为了分析变量间的因果关系，研究自变量X取不同值时，因变量平均值Y的变化。运用回归分析方法，可以从变量的总偏差平方和中分解出已被自变量解释掉的误差（解释掉误差）和未被解释掉的误差（剩余误差）； 方差分析是为了分析或检验总体间的均值是否有所不同。通过对样本中自变量X取不同值时所对应的因变量Y均值的比较，推论到总体变量间是否存在关系。运用方差分析，也可以从变量的总离差平方和中分解出已被自变量解释掉的误差和未被自变量解释掉的误差。因此两种分析在概念上所具有的相似性是显而易见的。 2、统计分析步骤的相似性 回归分析在确定自变量X是否为因变量Y的影响因素时，从分析步骤上先对X 和Y进行相关分析，然后建立变量间的回归模型。最后再进行参数的统计显着性检验或对回归模型的统计显着性进行检验。 方差分析在确定X是否是Y的影响因素时，是先从样本所的数据的分析入手，然后考察数据模型，最后对样本均值是否相等进行显着性检验。二者在分析步骤上也具有相似性。 3、假设条件具有一定的相似性 回归分析有五个基本假定，分别是：自变量可以是随机变量也可以是非随机变量；X与Y之间存在的非确定性的相关关系，要求Y的所有子总体，其方差都相等；子总体均值在一条直线上；随机变量Y i是统计独立的，即Y1的数值不

影响Y2的数值，各Y值之间都没有关系；Y值的每一个子总体都满足正态分布。 方差分析的基本假定有：等方差性（总体中自变量的每一取值所对应因变量Y i 的分布都具有相同方差）；Y i的分布为正态分布。 二者在假设条件上存在着相同。 4、在总离差平方和中的分解形式和逻辑上的相似性 回归分析中，TSS=RSS+RSSR，而在方差分析中，TSS=RSS+BSS。二者均是以已解释掉的误差与未被解释掉的误差之和为总离差平方和。 5、确定影响因素上的相似性 为简化分析起见,我们假设只有一个自变量X影响因变量Y。在回归分析中,要确定X是否是Y的影响因素,就要看当X已知时,对Y的总偏差有无影响。如果X不是影响Y的因素,等同于只知变数Y的数据列一样,此时用Y去估计每个丫的值,所犯的错误(即偏差)为最小。如果因素X是影响Y的因素,那么当已知X 值后 6、在统计显着性检验上具有相似性 回归分析的总显着性检验,是一种用R2测量回归的全部解释功效的检验。检验RSSR*(N-2)/RSS， 方差分析的显着性检验是一种根据样本数据提取信息所进行的显着性检验。它也是通过F检验进行的。 区别： 1、研究变量的分析点不同