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【例】调查了5个不同小麦品系的株高，结果如下。试判断这5个品系的株高是否存在显著性差异。
5个小麦品系株高(cm)调查结果
株号品系
ⅠⅡⅢⅣⅤ
1
2
3
4
5
和平均数64.6
65.3
64.8
66.0
65.8
326.5
65.3
64.5
65.3
64.6
63.7
63.9
322.0
64.4
67.8
66.3
67.1
66.8
68.5
336.5
67.3
71.8
72.1
70.0
69.1
71.0
354.0
70.8
69.2
68.2
69.8
68.3
67.5
343.0
68.6
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第八章单因素方差分析
One-factor analysis of variance
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本章内容
第一节方差分析简述
第二节固定效应模型
第三节随机效应模型
第四节多重比较
第五节方差分析应具备的条件
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第一节方差分析简述
一、方差分析的一般概念
1、概念
方差分析（ analysis of variance，ANOVA）：是同时判断多组数据平均数之间差异显著性的统计假设检验，是两组数据平均数差异显著性t 检验的延伸。
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单因素方差分析（一种方式分组的方差分析）：研究对象只包含一个因素(factor)的方差分析。
单因素实验：实验只涉及一个因素，该因素有a个水平(处理)，每个水平有n次实验重复，这样的实验称为单因素实验。
水平(level)：每个因素不同的处理(treatment)。
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方差分析
Analysis of Variance （ANOVA )
ANOV A 由英国统计学家，用于推断多个总体均数有无差异。
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【例】随机选取4窝动物，每窝中均有4只幼仔，称量每只幼仔的出生重，结果如下。判断不同窝的动物出生重是否存在显著性差异。 4窝动物的出生重 单位：g
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2、单因素方差分析的数据格式：
因素也称为处理因素（factor ）（名义分类变量），每一处理因素至少有两个水平(level)（也称“处理组”）。
一个因素（水平间独立） ——单向方差分析
（第八章）
两个因素（水平间独立或相关）——双向方差分析
（第九章）
一个个体多个测量值——重复测量资料的方差分析 ANOV A 与回归分析相结合——协方差分析
目的：用这类资料的样本信息来推断各处理组间多个总体均数的差别有无统计学意义。
32.9 31.4 25.7 28.0 118.0 29.500
27.1 23.3 27.8 26.7 104.9 26.225
33.2 26.0 28.6 32.3 120.1 30.025
34.7 33.3 26.2 31.6 125.8 31.450
1 2 3 4 和 平均数
Ⅳ Ⅲ Ⅱ Ⅰ
窝 别 动物号
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二、不同处理效应与不同模型 1、方差分析中每一观测值的描述 ——线性统计模型
yij ：在第i 水平下的第j 次观测值；
μ：总平均数，是对所有观测值的一个参数；
αi ：处理效应，是仅限于对第i 次处理的一个参数； εij ：随机误差成分。
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2、①固定效应：由固定因素所引起的效应。
②固定因素：所研究因素各个水平是经过特意选择的，这样的因素称为固定因素。 固定因素的水平可以严格地人为控制，在水平固定之后，它的效应值也是固定的。 ③固定模型：处理固定因素所用的模型。
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3、①随机效应：由随机因素所引起的效应。
②随机因素：所研究因素各个水平是从该因素水平总体中随机抽出的，这样的因素称为随机因素。
随机因素的水平是不能严格人为控制的，在水平确定之后，它的效应值并不固定。 ③随机模型：处理随机因素所用的模型。
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第二节 固定效应模型 一、线性统计模型 ... yi1 yi2 yi3 ... yij (i)
Yi … ya1 ya2 ya3 … yaj … yan
y31 y32 y33 ... y3j (3)
y21 y22 y23 ... y2j (2)
y11 y12 y13 ... y1j (1)
1 2 3 … j … n
平均数
Ya Y3 Y2 Y1
?1y ?2y ?3y ?i y ?
a y 在固定模型中，方差分析所得到的结论只适合于选定的那几个水平，不能将结论扩展到未加考虑的其它水平上。
在随机模型中，方差分析所得到的结论，可以推广到这个因素的所有水平上，是对水平总体的推断。
要检验a 个处理效应的相等性，就要判断各αi 是否为0。 H0：α1= α2 =……= αa =0
HA ：αi ≠ 0 （至少有1个i ）
若接受H0，则不存在处理效应，每个观测值是由总平均数加上随机误差构成；
若拒绝H0，则存在处理效应，每个观测值是由总平均数、处理效应及误差三部分构成。
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● 总变异是测量值yij 与总的均数间的差异。 ● 处理间变异是由处理效应引起的变异。 ● 处理内变异是由随机误差引起的变异。
用离均差平方和的平均（均方、方差）反映变异的大小 幻灯片14
二、平方和与自由度的分解
1. 总平方和(total sum of squares, SST): 每个测量值与总平均数离差的平方和的总和，反应了一组数据总的变异程度。计算公式为：
dfT=N-1=an-1
校正项(校正系数，correction)： 幻灯片15
2. 处理间平方和(sum of squares among treatments, SSA): 各个处理组的平均数与总平均数离差的平方和，SSA 反映了各处理组均数的变异程度。计算公式为：
dfA=a-1
（含有误差成分）
处理均方(treatment mean square ，MSA)：处理间平方和除以自由度。
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3．在同一处理组内虽然每个受试对象接受的处理相同,但观测值仍各不相同，这是由随机因素（误差）引起的。
误差平方和(error sum of squares, SSe)或称处理内平方和(sum of squares within treatment)：各处理内部观测值与相应处理平均数离差的平方和,SSe 反映了各处理组内观测值的变异程度。计算公式为：
dfe=dfT-dfA=an-a
误差均方(error mean square ，MSe)：误差平方和除以误差自由度。 MSe 反映了随机因素所造成的 方差的大小。 幻灯片17
三种变异之间的关系 处理间 (组间)变异
总变异
误差或处理内 (组内)变异
SST = SSA + SSe
dfT = dfA + dfe
处理内变异：随机误差
处理间变异：处理因素＋随机误差
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One-Factor ANOVA
Partitions of Total Variation
Total Variation SST
Variation Due to Treatment SSB
Variation Due to Random Sampling SSW
=
+
●Commonly referred to as:
●Sum of Squares Within, or
●Sum of Squares Error, or
●Within Groups Variation
●Commonly referred to as:
●Sum of Squares Among, or
●Sum of Squares Between, or
●Sum of Squares Model, or
●Among Groups Variation
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均方差，均方(mean square，MS)
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三、检验统计量F
，
做F单侧上尾检验
当F 当F>Fα时，拒绝零假设，处理平均数间差异显著，MSA显著高于MSe，产生的变异是由处理因素造成的。 幻灯片21 F 值与F分布 ， 幻灯片22 四、方差分析表 单因素固定效应模型方差分析表 F 均方 自由度 平方和 变差来源 处理间 MSA/ MSe MSA a-1 SSA a(n-1) MSe 误差或处理内 SSe na-1 SST 总和 幻灯片23 五、方差分析的指导思想与基本原理 方差分析的指导思想：是将所有测量值间的总变异按照其变异的来源分解为多个部分，然后进行比较，评价由某种因素所引起的变异是否具有统计学意义。 幻灯片24 方差分析的基本原理： 将总平方和分解为处理平方和和误差平方和，根据相应的自由度，得到相应的均方； 处理均方反映处理因素所造成的方差的大小，误差均方反映随机因素(误差)所造成的方差的大小； 处理均方除以误差均方反映处理效应的显著性。 幻灯片25 六、单因素方差分析与成组数据t检验的异同 单因素方差分析 成组数据 t 检验 相同 平均数差异显著性检验 平均数差异显著性检验 两个平均数差异的检验 多个平均数差异的分析 不同 利用平均数的差 利用平均数的方差 计算统计量t 计算统计量F 幻灯片26 七、实例 【例8.1】调查了5个不同小麦品系的株高，结果如下。试判断这5个品系的株高是否存在显著性差异。 株号品系 ⅠⅡⅢⅣⅤ 1 2 3 4 5 和平均数64.6 65.3 64.8 66.0 65.8 326.5 65.3 64.5 65.3 64.6 63.7 63.9 322.0 64.4 67.8 66.3 67.1 66.8 68.5 336.5 67.3 71.8 72.1 70.0 69.1 71.0 354.0 70.8 69.2 68.2 69.8 68.3 67.5 343.0 68.6 幻灯片27 解： ①列出方差分析计算表： 序号品系 ⅠⅡⅢⅣⅤ 1 2 3 4 5 -0.4 0.3 -0.2 1.0 0.8 1.5 2.25 1.93 -0.5 0.3 -0.4 -1.3 -1.1 -3.0 9.00 3.4 2.8 1.3 2.1 1.8 3.5 11.5 132.25 29.43 6.8 7.1 5.0 4.1 6.0 29.0 841.00 174.46 4.2 3.2 4.8 3.3 2.5 18.0 324.00 68.06 总和 57.0 1308.50 277.28 ②利用公式计算各项平方和： 幻灯片28 ③列出方差分析表： 不同小麦品系株高方差分析表 F 均方 自由度 平方和 变差来源 42.23 32.94 0.78 4 20 131.74 15.58 品系间 误差 ﹡﹡ 24 147.32 总 和 ﹡α=0.05 ﹡﹡α=0.01 F4,20,0.05=2.866 F4,20,0.01=4.431 F>F0.01 ④ 结论： 选定的5个不同小麦品系的株高差异极显著。 幻灯片29 下结论 注意：当组数为2时，完全随机设计的方差分析结果与两样本均数比较的t 检验结果等价，对同一资料,有： 幻灯片30 第三节 随机效应模型 一、随机效应模型的方差分析 1、方差分析的程序与固定效应模型方差分析的程序一样。 2、随机效应模型方差分析所得结论适用于水平的总体，固定效应模型方差分析所得结论只适用于所选定的a 个水平。 幻灯片31 二、实例 【例8.2】随机选取4窝动物，每窝中均有4只幼仔，称量每只幼仔的出生重，结果如下。判断不同窝的动物出生重是否存在显著性差异。 4窝动物的出生重 单位：g 幻灯片32 解： ① 列出方差分析计算表 (-30) ： 32.9 31.4 25.7 28.0 118.0 29.500 27.1 23.3 27.8 26.7 104.9 26.225 33.2 26.0 28.6 32.3 120.1 30.025 34.7 33.3 26.2 31.6 125.8 31.450 1 2 3 4 和 平均数 Ⅳ Ⅲ Ⅱ Ⅰ 窝 别 动物号 ② 计算各项平方和： 幻灯片33 ③ 列出方差分析表： 动物出生重方差分析表 F3,12,0.05=3.49 F 不同窝别动物的出生重没有显著差异。 幻灯片34 三、不等重复时平方和和自由度的计算 总和 -11.2 265.66 185.36 2.9 1.4 -4.3 -2.0 -2.0 4.00 32.86 -2.9 -6.7 -2.2 -3.3 -15.1 228.01 69.03 3.2 - 4.0 -1.4 2.3 0.1 0.01 33.49 4.7 3.3 -3.8 1.6 5.8 33.64 49.98 1 2 3 4 Ⅳ Ⅲ Ⅱ Ⅰ 窝 别 序号 ? i x 2? i x ∑=n j ij x 1 215 147.32 总 和 1.97 19.525 9.912 3 12 58.575 118.945 窝 间 误 差 F 均方 自由度 平方和 变差来源 ﹡α=0.05 ﹡﹡α=0.01 dfT=N-1 dfA=a-1 dfe=N-a 幻灯片35 第四节平均值之间的多重比较 接受H0 (F 等，差异没有统计学意义。 ——方差分析终止 拒绝H0，接受HA (F>Fα), 表示各处理组均数 不全相等，差异有统计学意义。 哪两均数之间差异显著？ 哪两均数之间差异不显著？ ——需要进一步做多重比较 幻灯片36 多重比较 (multiple comparison)： 经过方差分析，若结论是各处理均数差异显著( F>Fα，拒绝H0)，则必须在各处理均数之间一对一对地做比较，以判断究竟在哪些对均数之间存在显著差异，哪些对之间没有显著差异，这种比较称为多重比较。 幻灯片37 累积Ⅰ类错误的概率为α’ 当有k个均数需作两两比较时，比较的次数共有c= ＝ k!/(2!(k-2)!)=k(k-1)/2 设每次检验所用Ⅰ类错误的概率水准为α，累积Ⅰ类错误的概率为α’，则在对同一实验资料进行c次检验时，在样本彼此独立的条件下，根据概率乘法原理，其累积Ⅰ类错误概率 α’与c有下列关系： α’＝1－(1－α)c (8.6) 例如，设α＝0.05，c=3(即k=3)，其累积Ⅰ类错误的概率为α’＝1－(1-0.05)3 =1-(0.95)3 = 0.143 幻灯片38 一、最小显著差数(Least Significant Difference, LSD)法 1、最小显著差数法：把任意两组数据平均数差的绝对值与LSD 比较，以判断不同组数据平均数差异显著性的多重比较方法。 2、LSD 的公式推导： 成组数据t 检验 当n1=n2 幻灯片39 3、LSD 检验程序： ① 计算LSD ② 列表计算每一对平均数差的绝对值| dx |； ③ |dy|>与LSD 比较，得出结论。当|dy|>LSD 时， 该对平均数差异显著；否则差异不显著。 幻灯片40 二、Duncan 多范围检验 Duncan multiple range test 1、Duncan 多范围检验程序： ① 将需要比较的a 个平均数依照从大到小的次序重新排列。 ② 计算每一对平均数间的差（大值－小值），列成表。 幻灯片41 ③ 计算临界值Rk ，列表。 不同对平均数的差有不同的临界值Rk 。 r α(k, df) 的值由附表9(多重比较中的Duncan 表)查出。 df=a(n-1)，是误差项自由度。 k=2,3, …,a n MS t e 2 称为最小显著差数，记为LSD 。 原始处理组号 平均数 重新排序号 1 2 … a -1 a y1 y2 … ya-1 ya df k a(n-1) 2 3 … a-1 a r0.05 Rk r0.01 Rk k是相比较的两个平均数间包含的平均数的个数(包括这两个平均数)，计算公式是两平均数下标的差加上1。 有a个平均数，有a-1个k值，需查出a-1个rα，分别乘以Sy，得到a-1个Rk值。 幻灯片42 ④比较每一对平均数差与相应的Rk， 得出结论。 若平均数差大于相应的Rk，说明这一对平均数之间差异显著或者极显著，以符号“﹡”或“﹡﹡”表示； 若平均数差小于相应的Rk，说明这一对平均数之间差异不显著。 幻灯片43 2、实例 【例8.1】调查了5个小麦品系的株高，结果如下。经方差分析判断这5个品系的株高存在显著性差异，试做多重比较分析。 5个小麦品系株高(cm)调查结果 株号品系 ⅠⅡⅢⅣⅤ 1 2 3 4 5 和平均数64.6 65.3 64.8 66.0 65.8 326.5 65.3 64.5 65.3 64.6 63.7 63.9 322.0 64.4 67.8 66.3 67.1 66.8 68.5 336.5 67.3 71.8 72.1 70.0 69.1 71.0 354.0 70.8 69.2 68.2 69.8 68.3 67.5 343.0 68.6 幻灯片44 解： ①排序: 品系号ⅣⅤⅢⅠⅡ 平均数排序号70.8 1 68.6 2 67.3 3 65.3 4 64.4 5 ②求差: 5 4 3 2 1 2 3 4 6.4 4.2 2.9 0.9 5.5 3.3 2.0 3.5 1.3 2.2 ﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡ ﹡﹡ ③ 列表计算Rk: 1.588 1.667 1.710 1.738 4.02 4.22 4.33 4.40 1.165 1.225 1.256 1.284 2.95 3.10 3.18 3.25 ④ 结论: 品系Ⅰ和Ⅱ间株高差异不显著，品系Ⅲ和Ⅴ间株高差异显著，其余各品系间株高差异极显著。 幻灯片45 二、SNK 法 SNK(student-Newman-Keuls)法又称q 检验，是根据q 值的抽样分布作出统计推论（例8-1）。 1．将各组的平均值按由大到小的顺序排列： 顺序 (1) (2) (3) (4) 平均值 28.0 18.7 18.5 14.8 原组号 B C A D 2. 计算两个平均值之间的差值及组间跨度k ，见表8-3第(2)、 (3)两列。 3. 计算统计量q 值 4. 根据计算的q 值及查附表6得到的q 界值（p286），作出统计推断。 幻灯片46 2 3 4 5 20 Rk r0.01 Rk r0.05 k df 附表6 幻灯片47 Bonferroni法的适用性 当比较次数不多时，Bonferroni法的效果较好。 但当比较次数较多(例如在10次以上)时，则由于其检验水准选择得过低，结论偏于保守。 幻灯片48 三、T u k e y法 幻灯片49 第五节方差分析应具备的条件 一、方差分析应满足的三个条件 1、可加性：每个处理效应和误差效应 是可加的； 2、正态性：实验误差应当是服从正态 分布的独立随机变量； 3、方差齐性：各处理的误差方差应具 备齐性。 幻灯片50 二、多个方差齐性检验 —— Bartlett检验 1、Bartlett检验基本原理： 当a个随机样本是从独立正态总体中抽取时，可以计算出统计量K2。当n=minni充分大时(n>3)，K2的抽样分布非常接近于a-1自由度的x2分布。 幻灯片51 2、Bartlett检验程序： ①假设： H0：σ12= σ22 =……= σa2 HA：至少有两个σi 2不相等 ②计算检验统计量K2 当各处理样本含量相同时 ③结论： 当K2>x2a-1,α时拒绝零假设，方差不齐，应做数据变换；否则，接受零假设，方差具有齐性。幻灯片52 3、变换 ①平方根变换 将每个观测值取其平方根，做方差齐性检验，若方差整齐，然后对平方根进行方差分析。属于泊松分布的数据，常常需要采取平方根变换；当观测数值很小时，如有几个数小于10时，为了矫正，可以使用观测值加上1再取平方根的变换。 幻灯片53 ②平方根反正弦变换 取每个观测值平方根的反正弦值，然后做方差分析。 适用于以百分数表示的二项分布数据。 ⑴百分数的变化范围很大时，要使用反正弦变换，变换后的数据可以从附表10中查出； ⑵百分数的变化范围在0％～20％，用平方根变换；⑶百分数的变化范围在80％～100％，先用100减去各百分数，然后做平方根变换；⑷百分数的变化范围在30％～70％，可以不做变换。 幻灯片54 ③对数变换 取每个观测值对数值，然后做方差分析。 ⑴大范围的正整数适用于对数变换；⑵对于一些小的数值，如小于10时，每一观测值都加上1再变换。 幻灯片55 三、方差分析总程序： 1、多个方差齐性检验—— Bartlett检验 当K2>x2a-1,α时，方差不齐，应做数据变换；否则，方差具有齐性，可以进入方差分析程序。 2、方差分析 ①列出方差分析计算表（编码法） ②利用公式计算各项平方和 F ③列出方差分析表 ④结论 3、Duncan多范围检验 ①排序 ②求差 ③计算Rk ④结论 4、得出结论，给予生物学解释 幻灯片56 第四节方差分析的假定条件和数据转换 一、方差分析的假定条件（上述条件与两均数比较的t检验的应用条件相同。） 1.各处理组样本来自随机、独立的正态总体(D法、W法、卡方检验)； 2.各处理组样本的总体方差相等（不等会增加I型错误的概率，影响方差分析结果的判断） 二、方差齐性检验 1. Bartlett检验法 2. Levene等 3. 最大方差与最小方差之比<3,初步认为方差齐同。 幻灯片57 1. Bartlett 检验法 幻灯片58 2. Levene 检验法 将原样本观察值作离均差变换，或离均差平方变换，然后执行完全随机设计的方差分析，其检验结果用于判断方差是否齐性。 因为levene检验对原数据是否为正态不灵敏，所以比较稳健。目前均推荐采用LEVENE方差齐性检验 幻灯片59 ●三、数据变换 ●改善数据的正态性或方差齐性。使之满足方差分析的假定条件。 ●平方根反正弦变换——适用于二项分布率（比例）数据。 ●平方根变换——适用于泊松分布的计数资料 ●对数变换——适用于对数正态分布资料 幻灯片60 第五节完全随机设计方法简介 将120名高血脂患者完全随机分成4个例数相等的组 1. 编号：120名高血脂患者从1开始到120，见下面表第1行； 2. 取随机数字：从附表15中的任一行任一列开始，如第5行第7列开始，依次读取三位数作为一个随机数录于编号下，见下面表的第2行； 幻灯片61 3. 排序：按随机数字从小到大 (数据相同则按先后顺序）编序号，见下面表的第3行。 4. 事先规定：序号1-30为甲组，序号31-60为乙组，序号61-90为丙组，序号91-120为丁组，见下面表的第4行。 幻灯片62 作业： 习题第2、3题。 第10章 单因素方差分析 单因素方差分析(0ne-Way ANOV A)，又称一维方差分析，它能够对单因素多个独立样本 的均数进行比较，可以用10种检验方法对变量间的均数进行两两比较(即多重比较检验)并给出方差分析表，还可以作出5种类型图形(Type of plots)和2种均数图形(Means plot options) 10.1 单因素方差分析的计量资料 [例10—1] 某社区随机抽取了30名糖尿病患者、IGT 异常人和正常人进行载脂蛋白 (mg ／dL)测定，结果示于表10—1。试问3组人群的载脂蛋白测定结果含量是否相同？(倪宗瓒．卫生统计学．第4版，北京：人民卫生出版社，2001.50) 组别（B ） 载脂蛋白测定 糖尿病(1) 85.7 105.2 109.5 96.0 115.2 95.3 110.0 100.0 125.6 111.0 106.5 96.0 124.5 105.1 76.4 95.3 110.0 95.2 99.0 120.0 144.0 117.0 110.0 109.0 103.0 123.0 127.0 121.0 159.0 115.0 IGT 异常(2) 正常人(3) 本例是一个完全随机设计的单因素方差分析。已建立SAS 数据集文件并保存Sasuser.onewav4。 (1)进入SAS ／Win(v8)系统，单击Solutions －Analysis －Analyst ，得到分析家窗口。 (2)单击File-open By SAS Name —Sasuser-0neway4—0K ，调入数据文件。 (3)在“分析家”窗口单击Statistics-ANOV A-One way ANOV A ，得到图10—1所示对话框。本例因变量(Dependent)为A(载脂蛋白)，单击A —Dependent 。自变量(1ndependent)： B(3种人的组别)，单击B —Independent 。 图10.1 0ne —way ANOV A ：0neway4(单因素方差分析)对话框 (4)单击Tests 按钮，得到图10—2所示对话框。在此对话框的ANOV A(F —检验)选项 中可进行如下设置。 Analysis of variance ，方差分析。 Welch ’s variance-weighted ANOV A ，威尔奇方差—权重方差分析。 Tests for equal variance ，相等方差检验，即方差齐性检验。 Barlett ’s test ，巴特尼特检验。 Brown-Forsythe test ，布朗—福塞斯检验。 Levene ’s test ，列文检验。本例以上都选。 幻灯片1 【例】调查了5个不同小麦品系的株高，结果如下。试判断这5个品系的株高是否存在显著性差异。 5个小麦品系株高(cm)调查结果 株号品系 ⅠⅡⅢⅣⅤ 1 2 3 4 5 和平均数64.6 65.3 64.8 66.0 65.8 326.5 65.3 64.5 65.3 64.6 63.7 63.9 322.0 64.4 67.8 66.3 67.1 66.8 68.5 336.5 67.3 71.8 72.1 70.0 69.1 71.0 354.0 70.8 69.2 68.2 69.8 68.3 67.5 343.0 68.6 幻灯片2 第八章单因素方差分析 One-factor analysis of variance 幻灯片3 本章内容 第一节方差分析简述 第二节固定效应模型 第三节随机效应模型 第四节多重比较 第五节方差分析应具备的条件 幻灯片4 第一节方差分析简述 一、方差分析的一般概念 1、概念 方差分析（ analysis of variance，ANOVA）：是同时判断多组数据平均数之间差异显著性的统计假设检验，是两组数据平均数差异显著性t 检验的延伸。 幻灯片5 单因素方差分析（一种方式分组的方差分析）：研究对象只包含一个因素(factor)的方差分析。 单因素实验：实验只涉及一个因素，该因素有a个水平(处理)，每个水平有n次实验重复，这样的实验称为单因素实验。 水平(level)：每个因素不同的处理(treatment)。 幻灯片6 方差分析 Analysis of Variance （ANOVA ) ANOV A 由英国统计学家，用于推断多个总体均数有无差异。 SPSS单因素方差分析步骤 spss教程：单因素方差分析 用来测试某一个控制变量的不同水平是否给观察变量造成显著差异和变动。 方差分析前提：不同水平下，各总体均值服从方差相同的正态分布。所以方差分析就是研究不同水平下各个总体的均值是否有显著的差异。统计推断方法是计算F统计量，进行F检验，总的变异平方和 SST，控制变量引起的离差SSA（Between Group离差平方和），另一部分随机变量引起的SSE（组内Within Group离差平方和），SST=SSA+SSE。方法/步骤 1.计算检验统计量的观察值和概率P_值：Spss自动计算F统计 值，如果相伴概率P小于显著性水平a，拒绝零假设，认为控制变量不同水平下各总体均值有显著差异，反之，则相反，即没有差异。 2.方差齐性检验：控制变量不同水平下各观察变量总体方差是否 相等进行分析。采用方差同质性检验方法（Homogeneity of variance），原假设“各水平下观察变量总体的方差无显著差异，思路同spss两独立样本t检验中的方差分析”。图中相伴概率 0.515大于显著性水平0.05，故认为总体方差相等。 趋势检验：趋势检验可以分析随着控制变量水平的变化，观测变量值变化的总体趋势是怎样的，线性变化，二次、三次等多项式。趋势检验可以帮助人们从另一个角度把握控制变量不同水平对观察 变量总体作用的程度。图中线性相伴概率为0小于显著性水平0.05，故不符合线性关系。 3.多重比较检验：单因素方差分析只能够判断控制变量是否对观 察变量产生了显著影响，多重比较检验可以进一步确定控制变量的不同水平对观察变量的影响程度如何，那个水平显著，哪个不显著。 常用LSD、S-N-K方法。LSD方法检测灵敏度是最高的，但也容易导致第一类错误（弃真）增大，观察图中结果，在LSD项中，报纸与广播没有显著差异，但在别的方法中，广告只与宣传有显著差异。 单因素方差分析的计算 步骤 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】 一、 单因素方差分析的计算步骤 假定实验或观察中只有一个因素（因子）A ,且A 有m 个水平，分别记为,,,21m A A A 在每一种水平下，做n 次实验，在每一次试验后可得一实验值，记做ij x 表示在第j 个水平下的第i 个试验值()m j n i ,2,1;,2,1==。结果如下表： m A A A ,,21看成是m 个正态总体，而()m j n i x ij ,2,1;,2,1==看成是取自第j 总体的第i 个样品，因此，可设() m j n i a N x j ij ,2,1;,2,1,,~2==σ。 可以认为j j j a εεμ,+=是因素A 的第j 个水平j A 所引起的差异。因此检验因素A 的各水平之间是否有显着的差异，就相当于检验： μ====m a a a H 210:或者 具体的分析检验步骤是： （一）计算水平均值 令j x 表示第j 种水平的样本均值， 式中，ij x 是第j 种水平下的第i 个观察值，j n 表示第j 种水平的观察值次数 （二）计算离差平方和 在单因素方差分析中，离差平方和有三个，它们分别是总离差平方和，组内离差平方和以及组间平方和。 首先，总离差平方和，用SST 代表，则， 其中,n x x ij ∑∑=它反映了离差平方和的总体情况。 其次，组内离差平方和，用SSE 表示，其计算公式为： 其中j x 反映的是水平内部或组内观察值的离散状况，即反映了随机因素带来的影响。 最后，组间平方和，用SSA 表示，SSA 的计算公式为： 单因素方差分析实例 [例6-8]在1990 年秋对“亚运会期间收看电视的时间”调查结果如下表所示。 问：收看电视的时间比平日减少了（第一组）、与平日无增减（第二组）、比平日增加了（第三组）的三组居民在“对亚运会的总态度得分”上有没有显著的差异？即要检验从“态度”上看，这三组居民的样本是取自同一总体还是取自不同的总体 在SPSS 中进行方差分析的步骤如下： （1）定义“居民对亚运会的总态度得分”变量为X（数值型），定义组类变量为G（数 值型），G=1、2、3 表示第一组、第二组、第三组。然后录入相应数据，如图6-66所示 图6-66 方差分析数据格式 （2）选择[Analyze]=>[Compare Means]=>[One-Way ANOVA...]，打开[One-Way ANOVA]主对 话框（如图6-67所示）。从主对话框左侧的变量列表中选定X，单击按钮使之进入[Dependent List]框，再选定变量G，单击按钮使之进入[Factor]框。单击[OK]按钮完成。 图6-67 方差分析对话框 （3）分析结果如下： 因此，收看电视时间不同的三个组其对亚运会的态度是属于三个不同的总体。 多因素方差分析 [例6-11]从由五名操作者操作的三台机器每小时产量中分别各抽取1 个不同时段的产 量，观测到的产量如表6-31所示。试进行产量是否依赖于机器类型和操作者的方差分析。 SPSS 的操作步骤为： （1）定义“操作者的产量”变量为X（数值型），定义机器因素变量为G1（数值型）、操作 者因素变量为G2（数值型），G1=1、2、3 分别表示第一、二、三台机器，G2=1、2、3、4、5 分别表示第1、2、3、4、5 位操作者。录入相应数据，如图6-68所示。 图6-68 双因素方差分析数据格式 （2）选择[Analyze]=>[General Linear Model]=>[Univariate...]，打开[Univariate]主对话框（如图6-69所示）。从主对话框左侧的变量列表中选定X，单击按钮使之进入[Dependent List]框，再选定变量G1 和G2，单击按钮使之进入[Fixed Factor(s)]框。单击[OK]按钮 第10章 方差分析与试验设计 三、选择题 1.方差分析的主要目的是判断 （ ）。 Ａ. 各总体是否存在方差 Ｂ. 各样本数据之间是否有显著差异 Ｃ. 分类型自变量对数值型因变量的影响是否显著 Ｄ. 分类型因变量对数值型自变量的影响是否显著 2.在方差分析中，检验统计量Ｆ是 （ ）。 Ａ. 组间平方和除以组内平方和 Ｂ. 组间均方除以组内均方 Ｃ. 组间平方除以总平方和 Ｄ. 组间均方除以总均方 3.在方差分析中，某一水平下样本数据之间的误差称为 （ ）。 Ａ. 随机误差 Ｂ. 非随机误差 Ｃ. 系统误差 Ｄ. 非系统误差 4.在方差分析中，衡量不同水平下样本数据之间的误差称为 （ ）。 Ａ. 组内误差 Ｂ. 组间误差 Ｃ. 组内平方 Ｄ. 组间平方 5.组间误差是衡量不同水平下各样本数据之间的误差，它 （ ）。 Ａ. 只包括随机误差 Ｂ. 只包括系统误差 Ｃ. 既包括随机误差，也包括系统误差 Ｄ. 有时包括随机误差，有时包括系统误差 6.组内误差是衡量某一水平下样本数据之间的误差，它 （ ）。 Ａ. 只包括随机误差 Ｂ. 只包括系统误差 Ｃ. 既包括随机误差，也包括系统误差 Ｄ. 有时包括随机误差，有时包括系统误差 7.在下面的假定中，哪一个不属于方差分析中的假定 （ ）。 Ａ. 每个总体都服从正态分布 Ｂ. 各总体的方差相等 Ｃ. 观测值是独立的 Ｄ. 各总体的方差等于0 8.在方差分析中，所提出的原假设是210:μμ=H = ···=k μ，备择假设是（ ） Ａ. ≠≠H 211:μμ···k μ≠ Ｂ. >>H 211:μμ···k μ> Ｃ. < 单因素方差分析完整 实例 什么是单因素方差分析 单因素方差分析是指对单因素试验结果进行分析，检验因素对试验结果有无显著性影响的方法。 单因素方差分析是两个样本平均数比较的引伸，它是用来检验多个平均数之间的差异，从而确定因素对试验结果有无显著性影响的一种统计方法。 单因素方差分析相关概念 ●因素：影响研究对象的某一指标、变量。 ●水平：因素变化的各种状态或因素变化所分的等级或组别。 ●单因素试验：考虑的因素只有一个的试验叫单因素试验。 单因素方差分析示例[1] 例如，将抗生素注入人体会产生抗生素与血浆蛋白质结合的现象，以致减少了药效。下表列出了5种常用的抗生素注入到牛的体内时，抗生素与血浆蛋白质结合的百分比。现需要在显著性水平α = 0.05下检验这些百分比的均值有无显著的差异。设各总体服从正态分布，且方差相同。 在这里，试验的指标是抗生素与血浆蛋白质结合的百分比，抗生素为因素，不同的5种抗生素就是这个因素的五个不同的水平。假定除抗生素这一因素外，其余的一切条件都相同。这就是单因素试验。试验的目的是要考察这些抗生素与血浆蛋白质结合的百分比的均值有无显著的差异。即考察抗生素这一因素对这些百分比有无显著影响。这就是一个典型的单因素试验的方差分析问题。 单因素方差分析的基本理论[1] 与通常的统计推断问题一样，方差分析的任务也是先根据实际情况提出原假设H0与备择假设H1，然后寻找适当的检验统计量进行假设检验。本节将借用上面的实例来讨论单因素试验的方差分析问题。 在上例中，因素A（即抗生素）有s（=5）个水平，在每一个水平 下进行了n j = 4次独立试验，得到如上表所示的结果。这些结果是一个随机变量。表中的数据可以看成来自s个不同总体（每个水平对应一个总体）的样本值，将各个总体的均值依次记为,则按题意需检验假设 不全相等 为了便于讨论，现在引入总平均μ 其中： 再引入水平A j的效应δj 显然有，δj表示水平A j下的总体平均值与总平均的差异。 利用这些记号，本例的假设就等价于假设 不全为零 因此，单因素方差分析的任务就是检验s个总体的均值μj是否相等，也就等价于检验各水平A j的效应δj是否都等于零。 2. 检验所需的统计量 假设各总体服从正态分布，且方差相同，即假定各个水平下的样本来自正态总体N(μj,σ2)，μj与σ2未知，且设不同水平A j下的样本 SPSS单因素方差分析 单因素方差分析 单因素方差分析也称作一维方差分析。它检验由单一因素影响的一个(或几个相互独立的)因变量由因素各水平分组的均值之间的差异是否具有统计意义。还可以对该因素的若干水平分组中哪一组与其他各组均值间具有显著性差异进行分析，即进行均值的多重比较。One-Way ANOVA过程要求因变量属于正态分布总体。如果因变量的分布明显的是非正态，不能使用该过程，而应该使用非参数分析过程。如果几个因变量之间彼此不独立，应该用Repeated Measu re过程。 [例子] 调查不同水稻品种百丛中稻纵卷叶螟幼虫的数量，数据如表1-1所示。 表1-1 不同水稻品种百丛中稻纵卷叶螟幼虫数 水稻品种 重复 12345 14133383731 23937353934 34035353834 数据保存在“data1.sav”文件中，变量格式如图1-1。 图1-1 分析水稻品种对稻纵卷叶螟幼虫抗虫性是否存在显著性差异。 1）准备分析数据 在数据编辑窗口中输入数据。建立因变量“幼虫”和因素水平变量“品种”，然后输入对应的数值，如图1-1所示。或者打开已存在的数据文件“dat a1.sav”。 2）启动分析过程 点击主菜单“Analyze”项，在下拉菜单中点击“Compare Means”项，在右拉式菜单中点击“0ne-Way ANOVA”项，系统 打开单因素方差分析设置窗口如图1-2。 图1-2 单因素方差分析窗口 3）设置分析变量 因变量: 选择一个或多个因子变量进入“Dependent List”框中。本例选择“幼虫”。 因素变量: 选择一个因素变量进入“Factor”框中。本例选择“品种”。 4）设置多项式比较 单击“Contrasts”按钮，将打开如图1-3所示的对话框。该对话框用于设置均值的多项式比较。 第十章 方差分析 一、单项选择题： 1.在方差分析中，（ ）反映的是样本数据与其组平均值的差异。 A.总离差平方和 B.组间离差平方和 C.抽样误差 D.组内离差平方和 2.∑∑=??? ? ??k 1i 2 1-j ij n i i x x ——是（ ） 。 A.组内平方和 B.组间平方和 C.总离差平方和 D.因素B 的离差平方和 3.∑∑=??? ? ??k 1i 2 1-j ij n i i x x ——是（ ） 。 A.组内平方和 B.组间平方和 C.总离差平方和 D.总方差 4.单因素方差分析中，计算F 统计量，其分子与分母的自由度各位（ ）。 A.k ，n B.k ，n-k C.k-1，n-k D.n-k ，k-1 5.方差分析基本原理是（ ）首先提出的。 A.费雪 B.皮尔逊 C.泰勒 D.凯特勒 6.组间离差平方和反映的是（ ）。 A.抽样误差 B.系统误差 C.随机误差 D.总误差 7.组内离差平方和反映的是（ ）。 A.抽样误差 B.系统误差 C.随机误差 D.总误差 8.单因素方差分析的对立和假设是（ ）。 A.μμμk 21=== B.差距不显著，，，μμμk 21 C.不是全部相等，，，μμμk 21 D.全部不相等，，，μμμk 21 9.单因素方差分析的零假设是（ ）。 A.μμμk 21=== B.差距不显著，，，μμμk 21 C.不是全部相等，，，μμμk 21 D.全部不相等，，，μμμk 21 10.在方差分析中，若F k -n 1,-k 05.0F ） （>，则统计推论是（ ）。 SPSS中的单因素方差分析 一、基本原理单因素方差分析也即一维方差分析，是检验由单一因素影响的多组样本某因变量的均值是否有显著差异的问题，如各组之间有显著差异，说明这个因素（分类变量）对因变量是有显著影响的，因素的不同水平会影响到因变量的取值。 二、实验工具 SPSS for Windows 三、试验方法例：某灯泡厂用四种不同配料方案制成的灯丝（filament），生产了四批灯泡。在每批灯泡中随机地抽取若干个灯泡测其使用寿命（单位：小时hours），数据列于下表，现在想知道，对于这四种灯丝生产的灯泡，其使用寿命有无显著差异。 灯泡灯丝 1 2 3 4 5 6 7 8 甲 1600 1610 1650 1680 1700 1700 1780 乙1500 1640 1400 1700 1750 丙 1640 1550 1600 1620 1640 1600 1740 1800 丁1510 1520 1530 1570 1640 1680 四、不使用选择项操作步骤（1）在数据窗建立数据文件，定义两个变量并输入数据，这两个变量是： filament 变量，数值型，取值1、2、3、4 分别代表甲、乙、丙、丁，格式为F1.0，标签为“灯丝”。 Hours 变量，数值型，其值为灯泡的使用寿命，单位是小时，格式为F4.0，标签为“灯泡使用寿命”。 （2）按Analyze，然后Compared Means，然后One-Way Anova 的顺序单击，打开“单因素方差分析”主对话框。 （3）从左边源变量框中选取变量hours，然后按向右箭头，所选去的变量hours 即进入Dependent List 框中。 （4）从左边源变量框中选取变量filament，然后按向右箭头，所选取的变量folament 即进入Factor 框中。 （5）在主对话框中，单击“OK”提交进行。 五、输出结果及分析灯泡使用寿命的单因素方差分析结果 ANQVA Sun of Squares df Mean Square F Sig Between Groups 39776.46 3 13258.819 1.638 .209 Within Groups 178088.9 22 8094.951 Total 217865.4 25 该表各部分说明如下： 第一列：方差来源，Between Groups 是组间变差，Within Groups 是组内变差，Total 是总变差。 第二列：离差平方和，组间离差平方和为39776.46，组内离差平方和为178088.9，总离差平方和为217865.4，是组间离差平方和与组内离差平方和相加而得。 第三列：自由度，组间自由度为3，组内自由度为22，总自由度为25，是组间自由度和组内自由度之和。 第四列：均方，即平方和除以自由度，组间均方是 13258.819，组内均方是8094.951. 第五列：F 值，这是F 统计量的值，其计算公式为模型均方除以误差均方，用来检验模型的显著性，如果不显著说明模型对指标的变化没有解释能力，F 值为1.683. 第六列：显著值，是F 统计量的p 值，这里为0.209. 由于显著值0.209 大于0.05，所以在置信水平0.95 下不能否定零假设，也就是说四种灯丝生产的灯泡，其平均使用寿命美誉显著差异。 六、使用选择项操作步骤七、输出结果及分析描述性统计量表方差一致性检验 Sig 大于0.05，说明各组的方差在0.05 的显著水平上没有显著性差异，即方差具有一致性。 第12章方差分析（Analysis of V ariance） 方差分析是鉴别各因素效应的一种有效统计方法，它是通过实验观察某一种或多种因素的变化对实验结果是否带来显著影响，从而选取最优方案的一种统计方法。 在科学实验和生产实践中，影响一件事物的因素往往很多，每一个因素的改变都有可能影响产品产量和质量特征。有的影响大些，有的影响小些。为了使生产过程稳定，保证优质高产，就有必要找出对产品质量有显著影响的那些因素及因素所处等级。方差分析就是处理这类问题，从中找出最佳方案。 方差分析开始于本世纪20年代。1923年英国统计学家R.A. Fisher 首先提出这个概念，（ANOV A）。因当时他在Rothamsted农业实验场工作，所以首先把方差分析应用于农业实验上，通过分析提高农作物产量的主要因素。Fisher1926年在澳大利亚去世。现在方差分析方法已广泛应用于科学实验，医学，化工，管理学等各个领域，范围广阔。 在方差分析中，把可控制的条件称为“因素”（factor），把因素变化的各个等级称为“水平”或“处理”（treatment）。 若是试验中只有一个可控因素在变化，其它可控因素不变，称之为单因素试验，否则是多因素试验。下面分别介绍单因素和双因素试验结果的方差分析。 1.1 单因素方差分析（One Way Analysis of Variance） 1.一般表达形式 2.方差分析的假定前提 3.数学模形 4.统计假设 5.方差分析：（1）总平方和的分解；（2）自由度分解；（3）F检验 6.举例 7.多重比较 1.1.1 一般表达形式 首先通过一个例子引出单因素方差分析方法。某农业科研所新培养了四种水稻品种，分别用A1，A2，A3，A4表示。每个品种随机选种在四块试验田中，共16块试验田。除水稻品种之外，尽量保持其它条件相同（如面积，水分，日照，肥量等），收获后计算各试验田中产量如下表： 通过这些数据要考察四个不同品种的单位产量，是否有显著性差异。类似的例子很多，如劳动生产率差异，汽车燃油消耗，金属材料淬火温度等问题。上述问题可控实验条件是“种子”。所以种子是因素。把不同的品种A1，A2，A3，A4称为“水平”。1，2，3，4表示试验 一、 单因素方差分析的计算步骤 假定实验或观察中只有一个因素（因子）A ,且A 有m 个水平，分别记为,,,21m A A A 在每一种水平下，做n 次实验，在每一次试验后可得一实验值，记做ij x 表示在第j 个水平下的第i 个试验值 m j n i ,2,1;,2,1 。结果如下表3.1： 表3.1 单因素方差分析数据结构表 为了考察因素A 对实验结果是否有显著性影响，我们把因素A 的m 个水平m A A A ,,21看成是m 个正态总体，而 m j n i x ij ,2,1;,2,1 看成是取自第j 总体的第i 个样品，因此，可设 m j n i a N x j ij ,2,1;,2,1,,~2 。 可以认为j j j a , 是因素A 的第j 个水平j A 所引起的差异。因此检验因素A 的各水平之间是否有显著的差异，就相当于检验： m a a a H 210:或者 0:210 m H 具体的分析检验步骤是： （一） 计算水平均值 令j x 表示第j 种水平的样本均值， j n i ij j n x x j 1 式中，ij x 是第j 种水平下的第i 个观察值，j n 表示第j 种水平的观察值次数 （二）计算离差平方和 在单因素方差分析中，离差平方和有三个，它们分别是总离差平方和，组内离差平方和以及组间平方和。 首先，总离差平方和，用SST 代表，则， 2)( x x SST ij 其中,n x x ij 它反映了离差平方和的总体情况。 其次，组内离差平方和，用SSE 表示，其计算公式为： j i j ij x x SSE 2 其中j x 反映的是水平内部或组内观察值的离散状况，即反映了随机因素带来的影响。 最后，组间平方和，用SSA 表示，SSA 的计算公式为： 2 2 x x n x x SSA j j j 用各组均值减去总均值的离差的平方，乘以各组观察值个数，然后加总，即得到SSA 。可以看出，它所表现的是组间差异。其中既包括随机因素，也包括系统因素。 根据证明，SSA SSE SST ,,之间存在着一定的联系，这种联系表现在： SSA SSE SST 因为： 2 2 x x x x x x j j ij ij x x x x x x x x j j ij j j ij 22 2 在各组同为正态分布，等方差的条件下，等式右边最后一项为零，故有， 222)()()( x x x x x x j j ij ij 即 SSA SSE SST 什么是单因素方差分析 单因素方差分析是指对单因素试验结果进行分析，检验因素对试验结果有无显著性影响的方法。 单因素方差分析是两个样本平均数比较的引伸，它是用来检验多个平均数之间的差异，从而确定因素对试验结果有无显著性影响的一种统计方法。 单因素方差分析相关概念 ●因素：影响研究对象的某一指标、变量。 ●水平：因素变化的各种状态或因素变化所分的等级或组别。 ●单因素试验：考虑的因素只有一个的试验叫单因素试验。 单因素方差分析示例[1] 例如，将抗生素注入人体会产生抗生素与血浆蛋白质结合的现象，以致减少了药效。下表列出了5种常用的抗生素注入到牛的体内时，抗生素与血浆蛋白质结合的百分比。现需要在显著性水平α = 0.05下检验这些百分比的均值有无显著的差异。设各总体服从正态分布，且方差相同。 青霉素四 环 素 链 霉 素 红 霉 素 氯 霉 素 29. 627. 3 5.821. 6 29. 2 24. 332. 6 6.21 7. 4 32. 8 28. 530. 8 11. 18. 3 25. 32. 0 34. 8 8.319. 24. 2 在这里，试验的指标是抗生素与血浆蛋白质结合的百分比，抗生素为因素，不同的5种抗生 素就是这个因素的五个不同的水平。假定除抗生素这一因素外，其余的一切条件都相同。这就是 单因素试验。试验的目的是要考察这些抗生素与血浆蛋白质结合的百分比的均值有无显著的差异。即考察抗生素这一因素对这些百分比有无显著影响。这就是一个典型的单因素试验的方差分析问题。 单因素方差分析的基本理论[1] 与通常的统计推断问题一样，方差分析的任务也是先根据实际情况提出原假设H0与备择假设 H1，然后寻找适当的检验统计量进行假设检验。本节将借用上面的实例来讨论单因素试验的方差 分析问题。 在上例中，因素A（即抗生素）有s（=5）个水平，在每一个水平 下进行了n j = 4次独立试验，得到如上表所示的结果。这些结果是一个随 机变量。表中的数据可以看成来自s个不同总体（每个水平对应一个总体）的样本值，将各个总 体的均值依次记为,则按题意需检验假设 用Excel进行数据分析：单因素方差分析 什么是方差分析？什么又是单因素方差分析？ 方差分析(Analysis of Variance，简称ANOVA)，又称“变异数分析”或“F检验”，是R.A.Fister发明的，用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。 一个复杂的事物，其中往往有许多因素互相制约又互相依存。方差分析的目的是通过数据分析找出对该事物有显著影响的因素，各因素之间的交互作用，以及显著影响因素的最佳水平等。方差分析是在可比较的数组中，把数据间的总的“变差”按各指定的变差来源进行分解的一种技术。 单因素方差分析，顾名思义，就是基于一个因素分组研究，比较该因素的效应。 一、应用场景 基本思想：通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。 下面我们用一个简单的例子来说明方差分析的基本思想： 如某克山病区测得11例克山病患者和13名健康人的血磷值（mmol/L）如下： |患者：0.84 1.05 1.20 1.20 1.39 1.53 1.67 1.80 1.87 2.07 2.11 健康人：0.54 0.64 0.64 0.75 0.76 0.81 1.16 1.20 1.34 1.35 1.48 1.56 1.87 问该地克山病患者与健康人的血磷值是否不同？ 二、操作步骤 1、选中数据，点击功能区数据—>数据分析—>方差分析：单因素方差分析 注：本操作需要使用Excel扩展功能，如果您的Excel尚未安装数据分析，可以参考该专题文章的第一篇《用Excel进行数据分析：数据分析工具在哪里？》。 2、在弹出的选项框里面，进行如下设置 什么是单因素方差分析 令狐采学 单因素方差分析是指对单因素试验结果进行分析，检验因素对试验结果有无显著性影响的方法。 单因素方差分析是两个样本平均数比较的引伸，它是用来检验多个平均数之间的差异，从而确定因素对试验结果有无显著性影响的一种统计方法。 单因素方差分析相关概念 ●因素：影响研究对象的某一指标、变量。 ●水平：因素变化的各种状态或因素变化所分的等级或组 别。 ●单因素试验：考虑的因素只有一个的试验叫单因素试验。单因素方差分析示例[1] 例如，将抗生素注入人体会产生抗生素与血浆蛋白质结合的现象，以致减少了药效。下表列出了5种常用的抗生素注入到牛的体内时，抗生素与血浆蛋白质结合的百分比。现需要在显著性 水平α = 0.05下检验这些百分比的均值有无显著的差异。设各总体服从正态分布，且方差相同。 在这里，试验的指标是抗生素与血浆蛋白质结合的百分比，抗生素为因素，不同的5种抗生素就是这个因素的五个不同的水平。假定除抗生素这一因素外，其余的一切条件都相同。这就是单因素试验。试验的目的是要考察这些抗生素与血浆蛋白质结合的百分比的均值有无显著的差异。即考察抗生素这一因素对这些百分比有无显著影响。这就是一个典型的单因素试验的方差分析问题。 单因素方差分析的基本理论[1] 与通常的统计推断问题一样，方差分析的任务也是先根据实际情况提出原假设H0与备择假设H1，然后寻找适当的检验统计量进行假设检验。本节将借用上面的实例来讨论单因素试验的方差分析问题。 在上例中，因素A（即抗生素）有s（=5）个水平 ，在每一个水平下进行了nj = 4次独立试验，得到如上表所示的结果。这些结果是一个随机变量。表中的数据可以看成来自s个不同总体（每个水平对应一个总体）的样本值，将各个总体的均值依次记为,则按题意需检验假设 不全相等 为了便于讨论，现在引入总平均μ 其中： 再引入水平Aj的效应δj 显然有，δj表示水平Aj下的总体平均值与总平均的差异。 利用这些记号，本例的假设就等价于假设 spss教程：单因素方差分析 用来测试某一个控制变量的不同水平是否给观察变量造成显著差异 和变动。 方差分析前提：不同水平下，各总体均值服从方差相同的正态分布。所以方差分析就是研究不同水平下各个总体的均值是否有显著的差异。统计推断方法是计算F统计量，进行F检验，总的变异平方和 SST，控制变量引起的离差SSA（Between Group离差平方和），另一部分随机变量引起的SSE（组内Within Group离差平方和），SST=SSA+SSE。方法/步骤 统计值，FSpss计算检验统计量的观察值和概率P_值：自动计算1.，拒绝零假设，认为控制变量不a小于显著性水平如果相伴概率P 同水平下各总体均值有显著差异，反之，则相反，即没有差异。 控制变量不同水平下各观察变量总体方差是否方差齐性检验：2. of （Homogeneity 验同采。用方差质性检方法析行等相进分），原假设“各水平下观察变量总体的方差无显著差异，variance图中相伴概率spss两独立样本t 检验中的方差分析”。思路同，故认为总体方差相等。大于显著性水平0.5150.05趋势检验可以分析随着控制变量水平的变化，观测变量趋势检验：值变化的总体趋势是怎样的，线性变化，二次、三次等多项式。趋势检验可以帮助人们从另一个角度把握控制变量不同水平对观察 小于显著性水平变量总体作用的程度。图中线性相伴概率为0 ，故不符合线性关系。0.05 单因素方差分析只能够判断控制变量是否对观3.多重比较检验：多重比较检验可以进一步确定控制变量的察变量产生了显著影响，哪个不显著。不同水平对观察变量的影响程度如何，那个水平显著，但也容易导方法。LSD方法检测灵敏度是最高的，S-N-KLSD常用、项中，报纸与LSD致第一类错误（弃真）增大，观察图中结果，在广播没有显著差异，但在别的方法中，广告只与宣传有显著差异。 spss教程：单因素方差分析 ? ?| ?1 ?2 ?3 ?4 ?5 ?6 ?7 分步阅读 用来测试某一个控制变量的不同水平是否给观察变量造成显著差异和变动。 方差分析前提：不同水平下，各总体均值服从方差相同的正态分布。所以方差分析就是研究不同水平下各个总体的均值是否有显著的差异。统计推断方法是计算F统计量，进行F检验，总的变异平方和SST，控制变量引起的离差SSA （Between Group离差平方和），另一部分随机变量引起的SSE（组内Within Group离差平方和），SST=SSA+SSE。 方法/步骤 1.计算检验统计量的观察值和概率P_值：Spss自动计算F统计值，如果相伴概 率P小于显著性水平a，拒绝零假设，认为控制变量不同水平下各总体均值有显著差异，反之，则相反，即没有差异。 2.方差齐性检验：控制变量不同水平下各观察变量总体方差是否相等进行分析。 采用方差同质性检验方法（Homogeneity of variance），原假设“各水平下观察变量总体的方差无显著差异，思路同spss两独立样本t检验中的方差分析”。图中相伴概率0.515大于显著性水平0.05，故认为总体方差相等。 趋势检验：趋势检验可以分析随着控制变量水平的变化，观测变量值变化的总体趋势是怎样的，线性变化，二次、三次等多项式。趋势检验可以帮助人们从另一个角度把握控制变量不同水平对观察变量总体作用的程度。图中线性相伴概率为0小于显著性水平0.05，故不符合线性关系。 3.多重比较检验：单因素方差分析只能够判断控制变量是否对观察变量产生了显 著影响，多重比较检验可以进一步确定控制变量的不同水平对观察变量的影响程度如何，那个水平显著，哪个不显著。常用LSD、S-N-K方法。LSD方法检测灵敏度是最高的，但也容易导致第一类错误（弃真）增大，观察图中结果，在LSD项中，报纸与广播没有显著差异，但在别的方法中，广告只与宣传有显著差异。 第10章方差分析与试验设计 三、选择题 1.Ｃ 2.Ｂ 3.Ａ 4.Ｂ 5.Ｃ 1.方差分析的主要目的是判断（）。 Ａ.各总体是否存在方差 Ｂ.各样本数据之间是否有显著差异 Ｃ.分类型自变量对数值型因变量的影响是否显著 Ｄ.分类型因变量对数值型自变量的影响是否显著 2.在方差分析中，检验统计量Ｆ是（）。 Ａ.组间平方和除以组内平方和Ｂ.组间均方除以组内均方 Ｃ.组间平方除以总平方和Ｄ.组间均方除以总均方 3.在方差分析中，某一水平下样本数据之间的误差称为（）。 Ａ.随机误差Ｂ.非随机误差Ｃ.系统误差Ｄ.非系统误差 4.在方差分析中，衡量不同水平下样本数据之间的误差称为（）。 Ａ.组内误差Ｂ.组间误差Ｃ.组内平方Ｄ.组间平方 5.组间误差是衡量不同水平下各样本数据之间的误差，它（）。 Ａ.只包括随机误差 Ｂ.只包括系统误差 Ｃ.既包括随机误差，也包括系统误差 Ｄ.有时包括随机误差，有时包括系统误差 6.Ａ 7.Ｄ8.Ｄ9.Ａ10.Ａ 6.组内误差是衡量某一水平下样本数据之间的误差，它（）。 Ａ.只包括随机误差 Ｂ.只包括系统误差 Ｃ.既包括随机误差，也包括系统误差 Ｄ.有时包括随机误差，有时包括系统误差 7.在下面的假定中，哪一个不属于方差分析中的假定（）。 Ａ.每个总体都服从正态分布Ｂ.各总体的方差相等 Ｃ.观测值是独立的Ｄ.各总体的方差等于0 8.在方差分析中，所提出的原假设是0:=···= ，备择假设是（） 12 k Ａ.1:12···kＢ.1:12···k Ｃ. 1:···kＤ.1:1,2,···,k不全相等 12 9.单因素方差分析是指只涉及（）。 Ａ.一个分类型自变量Ｂ.一个数值型自变量 Ｃ.两个分类型自变量Ｄ.两个数值型因变量 10.双因素方差分析涉及（）。 Ａ.两个分类型自变量Ｂ.两个数值型自变量 Ｃ.两个分类型因变量Ｄ.两个数值型因变量 11.Ｂ12.Ｃ 单因素方差分析方法-计算公式以及用途 单因素方差分析,用于完全随机设计的多个样本均数间的比较，其统计推断是推断各样本所代表的各总体均数是否相等。以下是小编整理的单因素方差分析方法相关内容，欢迎借鉴参考! 单因素方差分析方法-计算公式以及用途 单因素方差分析方法 例:某军区总医院欲研究A、B、C三种降血脂药物对家兔血清肾素血管紧张素转化酶(ACE)的影响，将26只家兔随机分为四组，均喂以高脂饮食，其中三个试验组，分别给予不同的降血脂药物，对照组不给药。一定时间后测定家兔血清ACE浓度(u/ml)，如表5.1，问四组家兔血清ACE浓度是否相同? 方差分析的计算步骤为 1)建立检验假设，确定检验水准 H0:四组家兔的血清ACE浓度总体均数相等，μ1=μ2=μ3=μ4 H1:四组家兔的血清ACE浓度总体均数不等或不全相等，各μi不等或不全相等 α=0.05 2)计算统计量F值 按表5.2所列公式计算有关统计量和F值 =5515.3665 ν总=N-1=26-1=25 ν组间=k-1= 4-1=3 ν组内=N-K=26-4=22 表5.3例5.1的方差分析表 变异来源 总变异 8445.7876 25 组间变异 5515.3665 3 1838.4555 13.80 组内变异 2930.4211 22 133.2010 3)确定P值，并作出统计推断 以= 3和= 22查F界值表(方差分析用)，得P <0.01，按0.05水准拒绝H0，接受H1，可认为四总体均数不同或不全相同。 注意:根据方差分析的这一结果，还不能推断四个总体均数两两之间是否相等。如果要进一步推断任两个总体均数是否相同，应作两两 MATLAB进行单因素方差分析—ANOVA 方差分析的目的是确定因素的不同处理（方法、变量）下，响应变量（类别、结果）的均值是否有显著性差异。 方差分析用于两个或者两个以上因素样本均值的检验问题，如果直接使用假设检验的方法进行检验，那么需要对两两变量进行假设检验，如果有r个变量，需要进行的检验数量为r*(r-1)个，计算量相当庞大。对此，R.A. Fisher提出一种基于总误差分解分析的方法对所有样本的误差量分解为随机误差（组内的波动误差）和条件误差（组间的、由不同因素或者不同处理造成的误差），分别表示为SSE和SSA，总误差为SST，那么，SST=SSE+SSA。 由随机误差和波动误差构造F统计量对样本均值进行检验的过程，称之为方差分析（Analysis of Variance, ANOVA）。使用常用的统计工具可以方便的进行方差分析，并给出方差分析表。 方差分析表如有如下格式，可以一目了然的获得关于样本总误差分配情况以及所构造的统计量大小、检验显著性等。 方差分析的前提是以下两个假设： （1）正态性假设； （2）方差齐性假设； 第一个假设即各变量服从正态分布，可以通过一般的正态性检验方法进行检验，这里不再赘述；主要关注一下方差齐性检验，所谓方差齐性，也即方差分析是针对方差一致的情况下，检验样本均值是否一致。因此，所使用样本首先要通过方差齐性检验，其H0假设即为所有样本的样本方差相等。 为检验该假设，Bartlett提出了一种卡方检验方法，所构造统计量服从自由度为r-1的卡方分布，r为变量个数。 其检验的思想是，首先求出各个样本的样本方差，然后得到样本方差的算术平均值和几何平均值，那么，几何平均值<=算术平均值（GMSSE& lt;=MSSE），当所有样本方差相等时，取等号。因此，MSSE/GMSSE比较大时，说明H0假设不 Excel进行单因素方差分析步骤 1. 调出数据分析命令窗口： 1.1 单击下图1中第一个红圈所示箭头，在出现的下拉框中，单击“其他命令”。 图1 1.2 在弹出的对话框中（图2），依次单击“加载项”——“分析工具库-VBA”——“转到”，如下图2所示。 图2 1.3 在新弹出的对话框中（图3），勾选“分析工具库-VBA”，再单击“确定”‘ 图3 注：若您当时装office时没有装全，此时可能会提示您的系统缺少一个配置，您只需要根据提示，选中office的安装文件，系统会自动完成配置安装，安装完成后，再进行步骤1.1— 1.3即可。 2. 数据统计分析，以单因素方差分析为例： 2.1完成上述步骤后，即可在“数据”菜单栏右侧看到“数据分析”命令窗口。 图4 2.2 单击“数据分析”，在弹出的对话窗中，选择左侧窗口中第一行的“方差分析：单因素方差分析”，并“确定”。 图5 2.2 弹出如下对话框，单击“输入区域”右侧窗口，下图6中箭头所示，选择待分析的数据（图7），选择完毕，按回车键或者单击图7中红圈所示处按钮，回到“方差分析：单因素方差分析”窗（图8）。 注：一般数据默认分组方式为按列分组，进行分析，我们也可改为按行分组，α一般默认为0.05（图6）。 图6 图7 2.3回到“方差分析：单因素方差分析”窗，共有三种输出选项（任一种均可输出分析结果）： 1）输出区域：单击“输出区域”右侧窗口（图8中红圈所示），在弹出新的对话窗后，选择您想要放置数据分析结果的位置（图9），再按回车键或者单击图9中红圈所示处按钮，回到“方差分析：单因素方差分析”窗（图10），并单击“确定”。Excel随即完成计算，在页面上出现分析结果表（图11），其中包含均值、方差以及P值。第10章单因素方差分析
i第八章单因素方差分析 (1)
SPSS单因素方差分析步骤
单因素方差分析的计算步骤
单因素方差分析和多因素方差分析简单实例
第10章 方差分析与试验设计
单因素方差分析完整实例知识讲解
SPSS单因素方差分析
统计学第十章(方差分析)
spss中的单因素方差分析
第12章单因素方差分析
单因素方差分析的计算步骤
单因素方差分析完整实例
excel单因素方差分析
单因素方差分析完整实例
SPSS单因素方差分析步骤
单因素方差分析方法
第10章__方差分析与试验设计
单因素方差分析方法计算公式以及用途
MATLAB进行单因素方差分析-ANOVA
Excel进行单因素方差分析的步骤
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