数列递推关系与单调性
数列递推关系与单调性
数列与函数的关系：类比函数（单调性与周期性）
11,1,2
n n n S n a S S n -=?=?
-≥?
求数列的通项公式：法一：直接求n
a ；法二：先求n
S ，再求n
a ，要注意n 的变化
()n
n S
f a ?==?
?一.线性的
二.非线性的
一．线性的 1.已知21n
n S a =+ 求n
a
2.已知21
n
n S
a =+ 求n
a
3.已知1
11,22
n
n a S
a +==+，求n
a 注意序号的变化
二．非线性的 1.已知0n
a >，222
n
n n S a a =+-；求n a
2.已知0
n a >，2
42n
n n
S a a =+，求n
a
3.已知0
n
a
>，1
2n
n n
S
a a =+
，求n
a
总结：（1）11,1
,2
n
n n S n a
S S n -=?=?
-≥?这主要是解题的步骤；（2）
决策好先求n
a 还是n
S ;（3）()
n
n S
f a =与1()
n
n S
f a +=的区
别
递推关系：
（1）1
()
n n a
a f n +=+
Exe1.已知1
1a =，1
n n a a n
+=+，求n
a
2.已知1
1a =，12n
n n
a a +=+，求n
a
3.已知11
a =，1
2n n n a
a n
+=++，求n
a
4.已知1
1
a
=，11
(1)
n n a
a n n +=+
+，求n
a
（2）1
()
n n a
a f n += Exe1.已知1
1
a =，11
n n
n a a n +=+，求n
a
2.已知1
1
a =，12n n
n a a n
++=，求n
a
3.已知1
1
a
=，1
n n
a
na +=，求n
a
（3）1
n n a
Aa B
+=+ （1A ≠）
Way1:1()11n n B B
a
A a A A
+-
=---
Way2. 111
n n n n n a a B
A A A +++=+
Exe.1已知1
1
a =，1
21
n n a
a +=+，求n a
2.已知1
1a =，1
31
n n a a +=+，求n
a 3.已知11
a =，1
52
n n a
a +=+，求n
a
（4）1
()
n n a
Aa f n +=+ (1)A ≠
分为两类：1.()f n pn q =+ 2.()n
f n q =
1.1
n n a
Aa pn q
+=++
Way1.?（1）：：：11
1n n n n n a
a pn q
A
A A
++++=
+
Way2.?（2）：：：1
(1)()
n n a x n y A a xn y +-+-=--
Exe1.已知1
1
1,2n n a a
a n
+==+，求n
a
2.已知1
11,321
n n a a a n +==++，求n
a
2.
1n
n n a Aa q +=+111111111111:::()
2:::()13:::1:::((1))(())A=12:::n n n n n n n
n n n
n n n
n n n n n n n n a a q way A A A A way a xq A a xq a A a way q q q q way a x n y q A a xn y q q a a way q q q
++++++++++??=+??????≠-=-?????=?+=????
??-++=-+????=+????
当A q 时，当时，
Exe1.已知1
11,23n n n a a a +==+，求n
a
2.已知1
11,32n
n n a
a a +==+，求n
a
3.已知1
11,22n
n n a
a a +==+，求n
a
4.已知1
11,232
n n n a
a a +==++，求n
a
5.已知111,231n
n n
a
a a n +==+++，求n
a
（5）1
()()
n n a
f n a p n +=+
Way:::(1)
()()
h n f n h n += Exe1.已知1
111
1,n n n a a
a n n ++==
+，求n
a
2.已知111,1
n n n
a
a a n n +==
++，求n
a
（6）2
1n n n
a
Aa Ba ++=+；
化三项为两项处理
Way2.:::公式法处理;这个递推关系的二阶特征根方程为2
x
Ax B
=+
（1）当方程有两个不同根1
2
,x x ， 设 22
12
n
a
x tx λ=+，其中t 与λ是由首项确定的
（2）当方程有两个相同实数根时1
2
x x =, 设1()n
n
a
n t x λ=+，其中t 与λ是由首项确定的
（3）当方和无解时，它将和周期有关系
211()
n n n n a a a a αβα+++-=-
(sin cos )
n n a r A n B n θθ=+
Way3.可以构建方程；1
111.......(1) (2)
n n n n n n a a t a a αββλα----?-=???-=???
Exe1. 已知1
21a a ==，2
1712n n n a a a ++=-， 求n a
2. 已知121a a ==，2
156n n n a
a a ++=-， 求n
a 3. 已知1
21a a ==，2
144n n n a
a a ++=-， 求n a
4. 已知1
21
a
a ==，1
2n n n
a
a a ++=+， 求n
a
（7） (ad bc ≠ )
Way1:找1
()
n n a
f a +=对应的背景函数()y f x =利用函数
的不动点()f x x =
Way2:利用特征根方程：ax b
x cx d
+=+ （1）若有两个不相等的根1
2
,x x ，则1
2
{}n
n a x a
x --为等比数
列；
（2）若方和有两个相等的实数解：则1
1
{}n a x -为等
差数列；
（3）若方程没有实数解，则数列{}n
a 为周期数列；
1n n n aa b
a ca d
++=
+
Exe1.已知1
1
a =，164n n n a a a +-=
-，求n
a
2.已知1
1
a =，143
n n n a a a +-=
-，求n
a
3.已知1
1
a =，111
n n a a +=-
+，求n a
4.已知1
1
a
=，1383
n n n a a
a +-=
-，求n
a
这里要注意，分式结构的变化很多，它可以：
110
n n n n a a Aa Ba C ++?+++=就是分式结构的转换，
可以是：1
10
n n n n a
a Aa Ba ++?++=考查没有常数项，同除以
1n n
a a +?这样就比上面的模型快
（8）()
1
f n n n a
Aa +=
Way:::主要是降幂，取对数；
Exe1.已知1
1
a =，21
2n n n
a
a a +=+，求n a
2.已知1
1
a =，1
(1)1
2n n n n
a
a
++=，求n
a
(9)其它形式
（1）已知1
1
a
=，2
1
21
n n a
a +=-，求n
a
（2）已知1
()f x x =，((()))()n n f
f f f x f x =L L 1442443
个，1
()(())
n n f
x f f x +=，
求()n
f x
（3）已知1
1
a =，1
2n n a
a n
++=，求n
a
（4）1
1
a =，2
2
a
=，22
(1)13sin 1(1)22
n n
n n n n a
a a π+-+=+++-，求n
a
数列的单调性?函数的单调性 （1）{}n
a 为单调递增1
10n n n n a
a a a ++?>?-> （2）{}n
a 为单调递减1
10
n n n n a
a a a ++?
（3）{}n a 为常数列1
10
n n n n a
a a a ++?=?-=
（4）{}n
a 为摆动数列
策略：（1）作差与作商，（2）构建函数 Exe1.数列{}n
a 满足2n
a
n n
λ=+，且为递增的，求λ的
取值范围； 2.数列{}n
a 满足32n n
n
a
λ=-?，且为递增的，求λ的
取值范围； 3.数列{}n
a 满足3(2)n n
n
a
λ=-?-，且为递增的，求λ的
取值范围；
4.判断1111
()1232f n n n n n
=+++++++L 的单调性； 5.判断1111()12321
f n n n n n =++++
++++L 的单调性； 6.数列{}n
a 满足：1
a
a
=，1
2n n a
a n
++=，若数列{}n
a 递
增，求a 的取值范围
数列的递推公式教案 普兰店市第六中学陈娜 一、教学目标 1、知识与技能：了解数列递推公式定义，能根据数列递推公式求项，通过数列递推公式求数列的通项公式。 2、过程与方法：通过实例“观察、分析、类比、试验、归纳”得出递推公式概念，体会数列递推公式与通项公式的不同，探索研究过程中培养学生的观察归纳、猜想等能力。 3、情感态度与价值观：培养学生积极参与，大胆探索精神，体验探究乐趣，感受成功快乐，增强学习数学的兴趣，培养学生一切从实际出发，认识并感受数学的应用价值。 二、教学重点、难点和关键点 重点：数列的递推定义以及应用数列的递推公式求出通项公式。 难点：数列的递推公式求通项公式。 关键：同本节难点。 三、教学方法 通过创设问题的情境，在熟悉与未知的认知冲突中激发学生的探索欲望；引导学生通过自主探究和合作交流相结合的方式进行研究；引导学生积极思考，运用观察、试验、联想、类比、归纳、猜想等方法不断地提出问题、解决问题，再提出问题，解决问题……经历知识的发生和发展过程，并注意总结规律和知识的巩固与深化。 四、教学过程 环节1：新课引入 一老汉为感激梁山好汉除暴安良，带了些千里马要送给梁山好汉，见过宋江以后，宋江吧老汉带来的马匹的一半和另外一匹马作为回礼送给了他，老汉又去见卢俊义，把
现有的马匹全送给了他，卢俊义也把老汉送来的马匹的一半和另外一匹马作为回礼送给了老汉……… 一直送到108名好汉的最后一名段景住都是这样的，老汉下山回家时还剩下两匹马，问老汉上山时一共带了多少匹千里马？ 通过这个小故事让学生感受到数学来源于生活同时又为生活所服务。同时也能引起学生的兴趣和好奇心。 环节2：引例探究 (1）1 2 4 8 16……… (2) 1 ()1cos ()1cos cos ()]1cos cos[cos ……. (3)0 1 4 7 10 13 ……. 通过设置问题的情境，让学生分析找出这些数列从第二项（或后几项）后一项与前一项的关系，从而引出数列的递推公式的定义，便于学生对于数列递推公式的理解、记忆和应用。 递推公式定义： 如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任意一项a n 与它的前一项a n-1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。递推公式是数列一种的表示法，它包含两个部分，一是递推关系，一是初始条件，二者缺一不可． 环节3：应用举例及练习 例1：已知数列｛a n ｝的第1项是1，以后的各项由公式 (n ≥2)给出，写出这个给出，写出这个数列的前5项. 解：据题意可知：a 1=1, 1 11n n a a -=+2111112,1a a =+=+=3211311,22a a =+=+=4312511,33a a =+=+=5413811.55a a =+ =+=
高中数学几种常见的数列递推关系式 数列的递推关系是指数列中的前一项（前几项）与后一项的关系式。递推数列是数列中的重要内容，通过递推关系，观察，探求数列的规律，进而可求出整个数列的通项公式。通过递推关系的学习，可以培养学生的观察能力，归纳与转化能力，综合运用知识等能力，因此，是近几年高考与竞赛的热点。 下面针对几种高中常见的递推形式及处理方法做一总结。 一. 定义法 常见形式： 已知：a a a a d n n 11==++， ① 或a a a a q n n 110=≠=+， ② （其中，d 常数，q ≠0为常数） 定义法即高中所学的两大基本数列——等差数列与等比数列的基本定义式。 已知首项，与递推关系，数列的通项即知，在此不做赘述。但这两个基本数列的求通项公式的方法在后续学习中，在方法上起到了指导作用。即我们下面要介绍的方法。 二. 迭代法 常见形式：已知 a a a a f n n n 110=≠=++，() ③ 或a a a a f n f n n n 110=≠=+，，()()不恒为零 ④ （这里的f n ()是关于n 的关系式）。 这两个形式的递推关系式，虽然不是等差与等比数列，但表达方式上非常接近。我们可以利用迭代的方法来求出通项a n 也可以分别称为叠加法和叠乘法。 如：③a a f 211-=() a a f 322-=() …… a a f n n n N n n -=-≥∈-112()()*， 将以上n -1个式子叠加，可得 a a f f f n n n N n -=+++-≥∈11212()()()()*…， 这里，我们只须已知数列的首项a 1利用求和求出上述等式右端的和，即可求出数列 {}a n 的通项公式来。 如：④的具体例子： 例1. （2006年东北三省三校一模试题21）已知数列{}a n ，S n 是数列的前n 项和， a S n a n n 212 ==，。求S n 。 解：因为S n S S n n N n n n =-≥∈-2 21()()*， 所以n S n S n n 22 21-=- S S n n n n N n n -= -≥∈123()*， S S S S S S S S n n n n n n N n n n n 324312131425364132 3·…····… ·，---=---≥∈()*
数列的递推关系 ? 教学重点： 数列的任意连续若干项能满足的关系式称为该数列的一个递推公式，由递推公式和相应有尽有前若干项可以确定一个数列．这种表示方法叫做递推公式法或递推法． ? 教学难点： 1．根据数列的首项和递推公式写出它的前几项，关归纳出通项公式． 2．n n S a 的关系 ???-=-1 1S S S a n n n )1() 2(=≥n n ． ? 教学过程： 一、复习 数列的定义，数列的通项公式的意义（从函数观点出发去刻划）． 二、递推公式 钢管的例子 3+=n a n 从另一个角度，可以： 1 4 11+==-n n a a a Λ ) 2() 1(≥=n n “递推公式”定义：已知数列{}n a 的第一项，且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前n 项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的递推公式． 例1．已知21=a ，41-=+n n a a 求n a ． 解一：可以写出：21=a ，22-=a ，63-=a ，104-=a ，…… 观察可得：)1(42)4)(1(2--=--+=n n n a n 解二：由题设： 41-=-+n n a a
∴ Λ Λ4 4 432211-=--=--=------n n n n n n a a a a a a ) +412-=-a a )1(41--=-n a a n ∴ )1(42--=n a n 例2．若记数列{}n a 的前n 项之和为S n 试证明：?? ? -=-1 1 S S S a n n n ) 1()2(=≥n n 证：显然1=n 时 ，11S a = 当1≠n 即2≥n 时， n n a a a S +++=Λ21 1211--+++=n n a a a S Λ ∴ n n n a S S =--1 ∴???-=-1 1S S S a n n n )1() 2(=≥n n 注意：1? 此法可作为常用公式； 2? 当)(11S a =时 满足1--n n S S 时，则1--=n n n S S a ． 例3．已知数列{}n a 的前n 项和为① n n S n -=22 ② 12 ++=n n S n ，求数列{}n a 的 通项公式． 解：1．当1=n 时，111==S a 当2≥n 时，34)1()1(222 2-=-+---=n n n n n a n 经检验 1=n 时 11=a 也适合 34-=n a n 2．当1=n 时，311==S a 当2≥n 时，n n n n n a n 21)1()1(12 2=-----++= ∴ ?? ?=n a n 23 ) 2()1(≥=n n 例4．已知21=a ，n n a a 21=+ 求n a ．
专题 由递推关系求数列的通项公式 一、目标要求 通过具体的例题，掌握由递推关系求数列通项的常用方法： 二、知识梳理 求递推数列通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为熟悉的等差或等比数列。 三、典例精析 1、公式法：利用熟知的公式求通项公式的方法称为公式法。常用的公式有???≥???????-=????????????????=-21 11n S S n S a n n n 及 等差数列和等比数列的通项公式。 例1 已知数列{n a }中12a =，2 +2n s n =，求数列{n a }的通项公式 评注 在运用1n n n a s s -=-时要注意条件2n ≥，对n=1要验证。 2、累加法：利用恒等式()()1211+......+n n n a a a a a a -=+--求通项公式的方法叫累加法。它是求型如 ()1+f n n n a a +=的递推数列的方法（其中数列(){}f n 的前n 项和可求）。 例2 已知数列{n a }中112a = ，121 ++32 n n a a n n +=+，求数列{n a }的通项公式 评注 此类问题关键累加可消中间项，而(f n ）可求和则易得n a 3、.累乘法：利用恒等式3 21121 n n n a a a a a a a a -=? ???????()0n a ≠求通项公式的方法叫累乘法。它是求型如()1n n a g n a +=的递推数列的方法(){}() g n n 数列可求前项积 例3 已知数列{n a }中1n n s na =- ，求数列{n a }的通项公式 评注 此类问题关键是化 ()1 n n a g n a -=，且式子右边累乘时可求积，而左边中间项可消。 4、转化法：通过变换递推关系，将非等差（等比）数列转化为等差或等比有关的数列而求得通项公式的方法 称为转化法。常用的转化途径有： ⑴凑配、消项变换——如将一阶线性递推公式1n n a qa d +=+（q, d 为常数，0,1q q ≠≠）通过凑配变成 11n d a q ++ -=1n d q a q ??+ ?-?? ，或消常数项转化为()211n n n n a a q a a +++-=- 例4、已知数列{n a }中，11a =，()1212n n a a n -=+≥，求数列{n a }的通项公式 点评： 此类问题关键是利用配凑或消项变换将其转化为等比数列
数列的几种递推公式 一、 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例1:已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 二、 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例2:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 1 1+= +，求n a 。
例3:已知31=a ，n n a n n a 2 31 31+-=+ )1(≥n ，求n a 。 解：1231 32231232)2(31)2(32)1(31)1(3a n n n n a n +-?+?-??????+---?+---= 3437 52633134 8531n n n n n --= ????=---。 变式:已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+???+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则 {a n }的通项1 ___n a ?=?? 12n n =≥ 解：由已知，得n n n na a n a a a a +-+???+++=-+13211)1(32， 用此式减去已知式，得 当2≥n 时，n n n na a a =-+1，即n n a n a )1(1+=+， 又112==a a ， n a a a a a a a a a n n =???====∴-1 3423121,,4,3,1, 1， 将以上n 个式子相乘，得2 ! n a n =)2(≥n 三、 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p q t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。
用特征方程与特征根解数列线性递推关系式的通项公式 一.特征方程类型与解题方法 类型一 递推公式为An+2＝aAn+1＋bAn 特征方程为 X 2 =aX+b 解得两根X 1 X 2 (1)若 X 1≠X 2 则A n =pX 1n +qX 2 n (2)若X 1=X 2=X 则A n =(pn+q)X n (其中p.q 为待定系数，由A 1.A 2联立方程求得) (3)若为虚数根，则为周期数列 类型二 递推公式为 特征方程为X = d c b a X X ++ 解得两根X 1 X 2 (1)若X 1≠X 2 则计算2111x A x A n n --++=21 x d cA b aA x d cA b aA n n n n -++-++=k 2 1x A x A n n -- 接着做代换B n =2 1 x A x A n n -- 即成等比数列 （2）若X 1=X 2=X 则计算x A n -+11=x d cA b aA n n -++1 =k+x A n -1 接着做代换B n =x A n -1 即成等差数列 (3)若为虚数根，则为周期数列 类型三 递推公式为 特征方程为X =d c b ax X ++2 解得两根X 1 X 2 。然后参照类型二的方法进行整理 类型四 k 阶常系数齐次线性递归式 A n+k =c 1A n+k-1+c 2A n+k-2+…+c k A n 特征方程为 X k = c 1X k-1+c 2X k-2+…+c k (1) 若X 1≠X 2≠…≠X k 则A n =X k n 11+X k n 22+…+X k k n k (2) 若所有特征根X 1,X 2,…,X s.其中X i 是特征方程的t i 次重根,有t 1+t 2+…+t s =k 则
叠加、 叠乘、迭代递推、代数转化 ——几类常见递推数列的教学随笔 436032湖北省鄂州市葛店高级中学 廖传尧 已知数列的递推关系式求数列的通项公式的方法大约分为两类：一类是根据前几项的特点归纳猜想出a n 的表达式，然后用数学归纳法证明；另一类是将已知递推关系，用代数法、迭代法、换元法，或是转化为基本数列（等差或等比）的方法求通项．第一类方法要求学生有一定的观察能力以及足够的结构经验，才能顺利完成，对学生要求高．第二类方法有一定的规律性，只需遵循其特有规律方可顺利求解．在教学中，我针对一些数列特有的规律总结了一些求递推数列的通项公式的解题方法． 一、叠加相消． 类型一：形如a 1+n ＝a n + f (n )，其中f (n ) 为关于n 的多项式或指数形式（a n ）或可裂项成差的分式形式．——可移项后叠加相消． 例1：已知数列｛a n ｝,a 1＝0,n ∈N +，a 1+n ＝a n ＋（2n －1），求通项公式a n ． 解：∵a 1+n =a n ＋（2n －1） ∴a 1+n =a n ＋（2n －1）∴a 2－a 1 =1 、a 3－a 2=3 、……a n －a 1-n =2n －3 ∴a n = a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a 1-n )=0＋1＋3＋5＋…＋(2n －3) = 2 1 [1＋(2n －3)]( n －1)=( n －1)2 n ∈N + 练习1：⑴.已知数列｛a n ｝,a 1=1, n ∈N +，a 1+n =a n ＋3 n ，求通项公式a n ． ⑵.已知数列｛a n ｝满足a 1＝3，)1(2 1 +=-+n n a a n n ，n ∈N +，求a n ． 二、叠乘相约． 类型二：形如)(1n f a a n n =+.其中f (n ) =p p c mn b mn )()(++（p ≠0，m ≠0,b –c = km ,k ∈Z ）或n n a a 1+=kn （k ≠0）或n n a a 1+= km n ( k ≠ 0, 0＜m 且m ≠ 1)． 例2：已知数列｛a n ｝, a 1=1，a n ＞0,( n ＋1) a 1+n 2－n a n 2＋a 1+n a n =0，求a n ． 解：∵( n ＋1) a 1+n 2－n a n 2＋a 1+n a n =0 ∴ [(n ＋1) a 1+n －na n ](a 1+n ＋a n )= 0 ∵a n ＞0 ∴a 1+n ＋a n ＞0 ∴ (n ＋1) a 1+n －na n =0 ∴ 1 1 +=+n n a a n n ∴n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n 112 12 31 2111 23 22 11 =???--?--?-=?????=----- 练习2：⑴已知数列｛a n ｝满足S n = 2 n a n ( n ∈N * ), S n 是{ a n }的前n 项和,a 2=1,求a n ．
递推数列通项公式的求法 彭山一中 郑昌建 一、课题：常见递推数列通项公式的求法 二、教学目标 1、知识与技能： 会根据递推公式求出数列中的项，并能运用累加、累乘、待定系数等方法求数列的通项公式。 2、过程与方法： ①复习回顾所学过的通项公式的求法，对比递推公式与通项公式区别认识到由递推公式求通项公式的重要性，引出课题。 ②对比等差数列的推导总结出累加法的试用题型。 ③学生分组讨论完成累乘法及待定系数法的相关题型。 3、情感态度与价值观： ①通过对数列的递推公式的分析和探究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神； ②通过对数列递推公式问题的分析和探究，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯； ③通过互助合作、自主探究等课堂教学方式培养学生认真参与、积极交流的主体意识。 三、教学重点：根据数列的递推关系式求通项公式。 四、教学难点：解题过程中方法的正确选择。 五、教学课型，课时：复习课 1课时 六、教学手段：多媒体课件，黑板，粉笔 七、教学方法： 激励——讨论——发现——归纳——总结 八、教学过程 （一）复习回顾： 1、通项公式的定义及其重要作用 2、学过的通项公式的几种求法 3、区别递推公式与通项公式，从而引入课题 （二）新知探究： 问题1:已知数列}{n a ，1a =1，1n a +=n a +2，求n a ? 变式： 已知数列}{n a ，1a =1，1n a +=n a +2n ，求n a ?
活动：通过分析发现形式类似等差数列，故想到用累加法去求解。教师引导学生细致讲解整个解题过程。 解：由条件知：n a a n n 21=-+ 分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之， 即)()()()(1342312--+??????+-+-+-n n a a a a a a a a )1(2)2(232222-?+-?+?+?+=n n 所以[]2)1(22)1(1-?+-=-n n a a n 由 1a =1，12+-=∴n n a n 练习： 已知数列}{n a ，1a =1，n n n a a 2 11=-+，求n a ? 总结：类型1：)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 问题2： 已知数列{a n }满足)(,2,111*+∈==N n a a a n n ，求{a n }的通项公式。 变式：若条件变为)(,21*+∈=N n a a n n n 方法归纳：利用累乘法求数列通项 活动：类比类型1推导过程，让学生分组讨论研究相关解题方案。 解：1342312-??????????n n a a a a a a a a 1 2212222--??=n n 即) 1()2(2112-+-+++=n n n a a 练习： 已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。 总结：类型2型如 用累乘法求解 问题3： 已知数列{a n }满足)(,12,111*+∈+==N n a a a n n ，求{a n }的通项公式。 发现：)1(21,112111+=+++=+++n n n n a a a a 即 令b n =a n +1,则b n+1=a n+1+1 即21=+n n b b ) (1n f a a n n ?=+222n n n a -=∴2=++∴ +11n 1n a a
由数列的递推公式求通项公式的常用方法 递推数列的通项问题具有很强的逻辑性，是考察逻辑推理和转化化归能力的好素材，因此也成为近几年高考的热点.解决这类问题的关键在于将所给的递推数列经过变形、代换等手法转化为等差或等比数列，然后求其通项公式. 类型1：)(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解 )1(,),2(),1()(123121-+=+=+=+=-+n f a a f a a f a a n f a a n n n n 型：, 累加得);1()2()1(1-++++=n f f f a a n 累加法也可以写为112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- 例：已知数列{}n a 满足21=a ，11++=+n a a n n ，求n a 。 类型2：n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解 ,)1(,,)2(,)1()(123121-+-====n n n n a n f a a f a a f a a n f a 型： 累乘得);1()2()1(1-=n f f f a a n 累乘法也可以写为112211a a a a a a a a n n n n n ????= --- . 例：已知31=a ，n n a n n a 2 3131+-=+ )1(≥n ，求n a 类型3：q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ） 解法1（待定系数法）：把原递推公式转化为)λ-(λ-1n n a p a =+，其中由待定系数法求得λ，再利用换元法转化为求等比数列}{λ-n a 进而求解。
数列递推关系与单调性
数列递推关系与单调性 数列与函数的关系：类比函数（单调性与周期性） 11,1,2 n n n S n a S S n -=?=? -≥? 求数列的通项公式：法一：直接求n a ；法二：先求n S ，再求n a ，要注意n 的变化 ()n n S f a ?==? ?一.线性的 二.非线性的 一．线性的 1.已知21n n S a =+ 求n a 2.已知21 n n S a =+ 求n a 3.已知1 11,22 n n a S a +==+，求n a 注意序号的变化 二．非线性的 1.已知0n a >，222 n n n S a a =+-；求n a 2.已知0 n a >，2 42n n n S a a =+，求n a 3.已知0 n a >，1 2n n n S a a =+ ，求n a 总结：（1）11,1 ,2 n n n S n a S S n -=?=? -≥?这主要是解题的步骤；（2）
决策好先求n a 还是n S ;（3）() n n S f a =与1() n n S f a +=的区 别 递推关系： （1）1 () n n a a f n +=+ Exe1.已知1 1a =，1 n n a a n +=+，求n a 2.已知1 1a =，12n n n a a +=+，求n a 3.已知11 a =，1 2n n n a a n +=++，求n a 4.已知1 1 a =，11 (1) n n a a n n +=+ +，求n a （2）1 () n n a a f n += Exe1.已知1 1 a =，11 n n n a a n +=+，求n a 2.已知1 1 a =，12n n n a a n ++=，求n a 3.已知1 1 a =，1 n n a na +=，求n a （3）1 n n a Aa B +=+ （1A ≠） Way1:1()11n n B B a A a A A +- =--- Way2. 111 n n n n n a a B A A A +++=+
由递推关系求数列通项问题—“不动点”法 由递推公式求其数列通项历来是高考的重点和热点题型，对那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键．与递推关系对应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况，因此我们可以利用对函数“不动点”问题的研究结果，来简化对数列通项问题的探究。笔者在长期的教学实践中，不断总结探究反思，对那些难求通项的数列综合问题，形成利用函数不动点知识探究的规律性总结，以期对同学们解题有所帮助． 1 不动点的定义 一般的，设的定义域为,若存在，使成立，则称为的 不动点，或称为图像的不动点。 2 求线性递推数列的通项 定理1 设，且为的不动点，满足递推关系，，证明是公比为a的等比数列。 证：∵是的不动点，所以，所以，所以，∴数列是公比为的等比数列。 例1 已知数列的前项和为，且， (1)证明：是等比数列；(2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数. 证：(1) 当n 1时，a1 14；当时，a n S n S n 1 5a n 5a n 1 1，即 即，记，令，求出不动点， 由定理1知：，又a1 1 15≠0，所以数列{a n 1}是等比数列。 (2)解略。 3 求非线性递推数列的通项
定理2 设，且是的不动点，数列满足递推关系，，（ⅰ）若，则数列是公比为的等比数列；（ⅱ），则数列是 公差为的等差数列。 证：（ⅰ）由题设知； 同理 ∴， 所以数列是公比为的等比数列。 （ⅱ）由题设知＝的解为，∴且＝。所以 ，所以数列是公差为的等差数列。 例2设数列的前项和为，且方程有一根为。求数列的通项公式。 解：依题，且，将代入上式，得
数列的递推关系 数列的递推关系 1. 数列递推公式的概念( 2. 会根据给出的递推公式写出数列的前n项( , 教学重点: 数列的任意连续若干项能满足的关系式称为该数列的一个递推公式，由递推公式和相应有尽有前若干项可以确定一个数列(这种表示方法叫做递推公式法或递推法( , 教学难点: 1(根据数列的首项和递推公式写出它的前几项，关归纳出通项公式( ,SS,(n,2)nn,1,a2(的关系 ( aS,nnnS(n,1),1 , 教学过程: 一、复习 数列的定义，数列的通项公式的意义(从函数观点出发去刻划)( 二、递推公式 钢管的例子 a,n，3 n a,4(n,1)1 ？从另一个角度，可以: a,a，1(n,2)nn,1 ,,“递推公式”定义:已知数列a的第一项，且任一项a与它的前一项a(或前n项)nnn,1间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的递推公式( a,a,4a例1(已知，求( a,2n，1nn1 a,,6 解一:可以写出:，，，，?? a,2a,,2a,,103124 a,2，(n,1)(n,4),2,4(n,1) 观察可得: n a,a,,4 解二:由题设: n，1n 1 4a,a,,nn,1 4a,a,,n,1n,2 ? 4a,a,,n,2n,3 ？？ ，)a,a,,421 a,a,,4(n,1)n1 ? a,2,4(n,1)n S,S(n,2),nn,1a,例2(若记数列的前n项之和为S试证 明: ,,an,nnS(n,1)1,
n,1 证:显然时， a,S11 n,1n,2当即时， S,a，a，？，aS,a，a，？，an12nn,112n,1 ,SS,(n,2)nn,1a, ? ? S,S,a,nnn,1nS(n,1),1 注意:1: 此法可作为常用公式; 2: 当时满足时，则( a,S,SS,Sa(,S)nn,1nnn,111 22例3(已知数列,,的前n项和为? ? ，求数列,,的aS,2n,naS,n，n， 1nnnn 通项公式( n,1 解:1(当时， a,S,111 22n,2 当a,2n,n,2(n,1)，(n,1),4n,3时， n n,1 经检验时也适合 a,4n,3 a,1n1 n,1 2(当时， a,S,311 22n,2a,n，n，1,(n,1),(n,1),1,2n 当时， n 3,(n,1)a, ? ,n(n,2)n2, a,2aa例4(已知，求( a,2n，1nn1 2 232 解一: a,2，2,2a,2a,2，2,2132 n 观察可得: a,2n an,2 解二:由 ? 即 a,2aa,2an，1nnn,1an,1 aaaan,1nn,1n,22，，，，,2？？ ? aaaan,1n,2n,31 n,1n ? a,a,2,2n1 三、本课小结 1(递推公式(简单阶差、阶商法)( 2(由数列和求通项( 四、练习 1( 根据下面数列{a}的首项和递推公式写出它的前4项，并归纳出通项公式( n 1) a=1,a=1+a (n?1); (11n+1n2 *(2) a=0, a= a+(2n-1)(n?N)( 1n+1n 2. 已知数列{a}满足a=2，a=5,a=23,且a=αa，β，求实数α、β的值( n124n+1n 2f(n)，1*n,N3(已知，()，求的值( f(1),2f(101)f(n，1),2 n，14(已知数列{a}的前n 项和，试求其通项a( S,(,1)nnn 225(已知数列{a}的前n 项和为n+Pn数列{b}的前n项和为3n-2n( nn (1) 若a=b,求P的值; 1010
高三一轮复习数学学案 数列与递推关系 一．考纲要求及重难点 要求： 1、了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）； 2、了解数列是自变量为正整数的一类函数. 重难点：根据数列的递推关系求通项公式和已知前n 项和n S 求n a 是高考考查的重点. 二．课前自测 1、在数列1,1,2,3,5,8，x ，21,34,55中，x 等于（ ） A 、11 B 、12 C 、13 D 、14 2、已知数列{}n a 中，12a =，11(2)n n a n a -=- ≥，则2012a 等于（ ） A 、12- B 、12 C 、2 D 、2- 3、已知数列{}n a 的通项公式231 n n a n =+，那么这个数列是（ ） A 、递增数列 B 、递减数列 C 、摆动数列 D 、常数列 4、数列{}n a 的前n 项和321n n s =?+，则数列{}n a 的通项公式是___________。 三．考点梳理 1.数列的定义、分类与通项公式 （1）数列的定义 ①数列：按照一定_____排列起来的一列数. ②数列的项：数列中的_________. （2）数列的分类 ①按项数分类： ②按项与项之间的大小关系分类: （3）数列的通项公式 如果数列{}n a 的第n 项n a 与__之间的关系可以用一个函数式_______来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
2.数列的递推公式 如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的________与它的____________________间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 3. n a 与n s 的关系 若数列{}n a 的前n 项和为n s ，则_________(1)_________(2) n n a n =?=?≥? 四．典例分析 考点一：已知数列的前几项求通项公式 例1.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)-1,7,-13,19,… (2)0.8,0.88,0.888,… (3) 12，14，58-，1316，2932-，6164，… (4) 32，1，710，917 ，… (5)0,1,0,1，… 考点二、已知n S 求{}n a 例2、已知下面数列{}n a 的前n 项和n S ，求数列{}n a 的通项公式： （1）223n S n n =-； （2）3n n S b =+ （3）332 n n S a = -.
数列递推关系与单调性 数列与函数的关系：类比函数（单调性与周期性） 求数列的通项公式：法一：直接求n a ；法二：先求n S ，再求n a ，要注意n 的变化 一．线性的 1.已知21n n S a =+ 求n a 2.已知21n n S a =+ 求n a 3.已知111,22n n a S a +==+，求n a 注意序号的变化 二．非线性的 1.已知0n a >，222n n n S a a =+-；求n a 2.已知0n a >，242n n n S a a =+，求n a 3.已知0n a >，12n n n S a a =+，求n a 总结：（1）11,1,2 n n n S n a S S n -=?=?-≥?这主要是解题的步骤；（2）决策好先求n a 还是n S ;（3）()n n S f a =与1()n n S f a +=的区别 递推关系： （1）1()n n a a f n +=+ Exe1.已知11a =，1n n a a n +=+，求n a 2.已知11a =，12n n n a a +=+，求n a 3.已知11a =，12n n n a a n +=++，求n a
4.已知11a =，11(1) n n a a n n +=++，求n a （2）1()n n a a f n += Exe1.已知11a =，11n n n a a n +=+，求n a 2.已知11a =，12n n n a a n ++=，求n a 3.已知11a =，1n n a na +=，求n a （3）1n n a Aa B +=+ （1A ≠） Way1:1()11n n B B a A a A A +-=--- Way2. 111n n n n n a a B A A A +++=+ 已知11a =，121n n a a +=+，求n a 2.已知11a =，131n n a a +=+，求n a 3.已知11a =，152n n a a +=+，求n a （4）1()n n a Aa f n +=+ (1)A ≠ 分为两类：1.()f n pn q =+ 2.()n f n q = 1.1n n a Aa pn q +=++ Way1.?（1）：：：111n n n n n a a pn q A A A ++++=+ Way2.?（2）：：：1(1)()n n a x n y A a xn y +-+-=--
几类递推数列通项公式的常见类型及解法 江西省乐安县第二中学 李芳林 邮编 344300 已知数列的递推关系式求数列的通项公式的方法大约分为两类：一类是根据前几项的特点归纳猜想出a n 的表达式，然后用数学归纳法证明；另一类是将已知递推关系，用代数法、迭代法、换元法，或是转化为基本数列（等差或等比）的方法求通项．第一类方法要求学生有一定的观察能力以及足够的结构经验，才能顺利完成，对学生要求高．第二类方法有一定的规律性，只需遵循其特有规律方可顺利求解．在教学中，我针对一些数列特有的规律总结了一些求递推数列的通项公式的解题方法． 一、a a d n n +=+1型 形如d a a n n +=+1（d 为常数）的递推数列求通项公式，将此类数列变形得 a a d n n +-=1，再由等差数列的通项公式()a a n d n =+-11可求得a n . 例1： 已知数列{}a n 中()a a a n N n n 1123==+∈+,，求n a 的通项公式. 解： ∵a a n n +=+13 ∴a a n n +-=13 ∴ {}a n 是以a 12=为首项，3为公差的等差数列. ∴()a n n n =+-=-21331为所求的通项公式. 二、)(1n f a a n n +=+型 形如a 1+n ＝a n + f (n )， 其中f (n ) 为关于n 的多项式或指数形式（a n ）或可裂项成差的分式形式．——可移项后叠加相消． 例2：已知数列｛a n ｝,a 1＝0,n ∈N +，a 1+n ＝a n ＋（2n －1），求通项公式a n ． 解：∵a 1+n =a n ＋（2n －1） ∴a 1+n =a n ＋（2n －1） ∴a 2－a 1 =1 、a 3－a 2=3 、…… a n －a 1-n =2n －3 ∴a n = a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a 1-n )=0＋1＋3＋5＋…＋(2n －3) = 2 1 [1＋(2n －3)]( n －1)=( n －1)2 n ∈N + 三、n n a q a ?=+1型 形如n n a q a ?=+1（q 为常数）的递推数列求通项公式，将此类数列变形得 q a a n n =+1 ，再由等比数列的通项公式11-?=n n q a a 可求得a n . 例3 ： 已知数列{}a n 中满足a 1=1，n n a a 21=+，求n a 的通项公式. 解：∵n n a a 21=+ ∴ 21 =+n n a a
3数列的递推关系 对于数列{}1n n a ≥,若当1n k ≥+时,12,, ,n n n n k a a a a ---与之间满足函数关系 12(,,,,)0n n n n k F a a a a ---= (1) 或 12(,, ,)n n n n k a f a a a ---= (2) 则称(1)或(2)为k 阶递推关系或k 阶递归关系.由此递推关系及初值条件12,,,k a a a ???所确定的数列称为k 阶递推数列.在k 阶递推关系(1)中,我们规定每一项的次数为该项中 12,,,,n n n n k a a a a ---的次数的和,该项的系数为这项中除12,,,,n n n n k a a a a ---之外其余 的 因数.在k 阶递推关系(1)中,若各项的系数均是与n 无关的常数,则称这个递推关系为常系数递推关系；若递推关系中各项的次数相同,则称这个递推关系为齐次递推关系；若递推关系中各项的次数均不超过一次,则称这个递推关系为线性递推关系.例 如,2130(2)n n n a a a n -+++=≥是常系数递推关系.3253 1220(3)n n n n a na a n a n ---++=≥是二阶齐次递推关系.2 123(3)n n n a na a n n --=++≥是二阶线性递推关系； 12334(4)n n n n a a a a n ---=++≥是3阶常系数线性齐次递推关系.下面我们介绍递推关系中 常见的一些求解方法. 1 基本原理 定理1 设()g n 是已知数列,对于关于n a 的一阶递推关系, (1)（叠加法）若1()(2)n n a a g n n --=≥,则12 ();n n k a g k a ==+∑ (2)（累乘法）若1()(2)n n a g n n a -=≥,则12 ()n n k a a g k ==∏； (3)（不动点法）若1(2)1,()n n a ba c n b p f x bx c -=+≥≠=+且是得不动点,则有 1()(2)n n a p b a p n --=-≥. 证 (1),(2)显然. (3)因为()p f x 是的不动点,所以p bp c =+,又1n n a ba c -=+,两式相减得 1()n n a p b a p --=-.
课时作业5 数列的递推公式(选学) 时间：45分钟 满分：100分 课堂训练 1．在数列{a n }中，a 1＝13，a n ＝(－1)n ·2a n －1(n ≥2)，则a 5＝( ) A ．－163 B.163 C ．－83 D.83 【答案】 B 【解析】 由a n ＝(－1)n ·2a n －1知a 2＝23，a 3＝－2a 2＝－43，a 4＝2a 3＝－83，a 5＝－2a 4＝163. 2．某数列第一项为1，并且对所有n ≥2，n ∈N ，数列的前n 项之积为n 2，则这个数列的通项公式是( ) A ．a n ＝2n －1 B ．a n ＝n 2 C ．a n ＝n 2 (n －1)2 D ．a n ＝(n ＋1)2n 2 【答案】 C 【解析】 ∵a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2，∴两式 相除，得a n ＝n 2(n －1)2. 3．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N ＋，则a 2 009＝________，a 2 014＝________. 【答案】 1 0
【解析】 考查数列的通项公式． ∵2 009＝4×503－3，∴a 2 009＝1， ∵2 014＝2×1 007，∴a 2 014＝a 1 007， 又1 007＝4×252－1，∴a 1 007＝a 4×252－1＝0. 4．已知数列{a n }，a 1＝0，a n ＋1＝1＋a n 3－a n ，写出数列的前4项，并归纳出该数列的通项公式． 【解析】 a 1＝0，a 2＝1＋a 13－a 1＝13，a 3＝1＋a 23－a 2＝1＋133－13 ＝12，a 4＝1＋a 33－a 3＝1＋123－12 ＝35. 直接观察可以发现，把a 3＝12写成a 3＝24， 这样可知a n ＝n －1n ＋1 (n ≥2，n ∈N ＋)． 当n ＝1时，1－11＋1 ＝0＝a 1， 所以a n ＝n －1n ＋1 (n ∈N ＋)． 课后作业 一、选择题(每小题5分，共40分) 1．已知数列{a n }满足：a 1＝－14，a n ＝1－1a n －1 (n ≥2)，则a 4＝( )
数列递推关系式 基本知识概述 1、 递推关系式11,(1) ,(2) n n n S n a S S n -=?=? -≥? 2、 求和的两种重要方法 裂项相消法 错位相消法求和 典型例题 1、（2015年乌市一模理12）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1n n a S +=，则n S 的取值范围为（ ） 0,1A 、（） B 0,+∞、（） 1C ,12、[） 1 D ,2 +∞、[） 考点：数列递推公式 分析：根据条件进行化简，得到数列{}n a 是以12为首项，1 2 为公比的等比数列，求出n S 的表达式，即可得到结论。 1n =时，11111 22 a S a a +=∴= 2n ≥时，1111 11n n n n n n n n S a S S a a S a ----=-??-=-? =-? 即1-1-11,2=2 n n n n n n n a a a a a a a -=-∴=即 {}11 22 n a ∴数列是以为首项，为公比的等比数列 则11[1()] 11221(),112212 n n n n S S -==-≤-则1-＜，选C 2、（2016年乌市一模理16）设数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，满足 21 =+3-46 n n n S a a （），则n a = ； 解：1n =时，22 1111111S =34,-34=0=4=-1a a a a a a +--6即，得或（舍） 由题意得： 21112 S =+3-4........(1)S =+3-4.. (2) n n n n n n a a a a +++66 两式相减得22 11111633,+3)0n n n n n n n n n a a a a a a a a a +++++=-+---=即（）(