数列的递推关系
➢ 教学重点：
数列的任意连续若干项能满足的关系式称为该数列的一个递推公式，由递推公式和相应有尽有前若干项可以确定一个数列．这种表示方法叫做递推公式法或递推法．
➢ 教学难点：
1．根据数列的首项和递推公式写出它的前几项，关归纳出通项公式． 2．n n S a 的关系 ⎩⎨⎧-=-1
1S S S a n n n )1()
2(=≥n n ．
➢ 教学过程： 一、复习
数列的定义，数列的通项公式的意义（从函数观点出发去刻划）．
二、递推公式
钢管的例子 3+=n a n
从另一个角度，可以： 1
4
11+==-n n a a a Λ
)
2()
1(≥=n n
“递推公式”定义：已知数列{}n a 的第一项，且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前n 项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的递推公式． 例1．已知21=a ，41-=+n n a a 求n a ．
解一：可以写出：21=a ，22-=a ，63-=a ，104-=a ，…… 观察可得：)1(42)4)(1(2--=--+=n n n a n 解二：由题设： 41-=-+n n a a
∴ Λ
Λ4
4
432211-=--=--=------n n n n n n a a a a a a
)
+412-=-a a
)1(41--=-n a a n
∴ )1(42--=n a n
例2．若记数列{}n a 的前n 项之和为S n 试证明：⎩⎨
⎧
-=-1
1
S S S a n n n )
1()2(=≥n n
证：显然1=n 时 ，11S a =
当1≠n 即2≥n 时，
n n a a a S +++=Λ21 1211--+++=n n a a a S Λ
∴ n n n a S S =--1 ∴⎩⎨⎧-=-1
1S S S a n n n )1()
2(=≥n n 注意：1︒ 此法可作为常用公式；
2︒ 当)(11S a =时 满足1--n n S S 时，则1--=n n n S S a ．
例3．已知数列{}n a 的前n 项和为① n n S n -=22 ② 12
++=n n S n ，求数列{}n a 的
通项公式．
解：1．当1=n 时，111==S a
当2≥n 时，34)1()1(222
2-=-+---=n n n n n a n
经检验 1=n 时 11=a 也适合 34-=n a n 2．当1=n 时，311==S a
当2≥n 时，n n n n n a n 21)1()1(12
2=-----++=
∴ ⎩⎨
⎧=n a n 23 )
2()1(≥=n n 例4．已知21=a ，n n a a 21=+ 求n a ．
解一：21=a 2
2222=⨯=a 323222=⨯=a 观察可得： n
n a 2=
解二：由n n a a 21=+ ∴12-=n n a a 即
21
=-n n
a a ∴
11
2322112------=⨯⨯⨯⨯n n n n n n n a a
a a a a a a ΛΛ ∴ n n n a a 22
1
1=⋅=-
三、本课小结
1．递推公式（简单阶差、阶商法）． 2．由数列和求通项．
四、练习
1． 根据下面数列{a n }的首项和递推公式写出它的前4项，并归纳出通项公式．
（1） a 1=1,a n+1=1+
2
1
a n (n ≥1)； （2） a 1=0, a n+1= a n +（2n-1)(n ∈N *
)．
2. 已知数列{a n }满足a 1=2，a 2=5,a 4=23,且a n+1=αa n ＋β，求实数α、β的值． 3．已知2)1(=f ，2
1
)(2)1(+=
+n f n f （*N n ∈），求)101(f 的值． 4．已知数列{a n }的前n 项和n S n n 1)1(+-=，试求其通项a ． 5．已知数列{a n }的前n 项和为n 2
+Pn 数列{b n }的前n 项和为3n 2
-2n ．
(1) 若a 10=b 10,求P 的值；
(2) 取数列{b n }的第1项，第3项，第5项，…，构成一个新数列{c n },求数列{c n }
的通项．
6．设a 1=2，a n+1=2a n +3，则通项a n 可能是 （ ） A 5-3n B 3•2n-1
-1 C5-3n 2
D 5•2n-1
-3
7．设a n =-n 2
+10n+11,则数列{a n }从首项到第( )项的和最大． A 10 B 11 C 10或11 D 12
8．在数列{a n }中，a 1=a 2=2,且a n+2=3a n+1-a n ，（n ∈N *
）,则a 5= ．
9. 在数列{a n }中，,a 1=1,a n +1=
22+n n a a ( n ∈N *
)则7
2是这个数列的第 项． 10．已知数列{a n }的前n 项和S n =n 3
+1,试求其通项a ．
11．数列{a n }，{b n }的首项都是1，且符合规律a 1+b 1=a 2,b 1+a 2=b 2,a 2+b 2=a 3,b 2+a 3=b 3, …,
