（VIII ）正规子群，商群与同态基本定理
一、正规子群（不变子群）
G
H G H Ha aH G a G H 的正规子群，记为
为则称，
有如果
、定义：设=∈?≤,,1
·G 为交换群（Abel 群），G 的子群为正规子群。
·{e}，G 是平凡正规子群（trivial ） H
aHa H
aHa H h G a H aha G H G H =?∈∈?∈?
≤---111)3()2(,,)1(,2 则设、判法
Eg1.)()(R GL R SL n n
Eg2.群的中心G G C G x xa ax a G C )(},,|{)(∈?==
Eg3.44S A
Eg4.)}23)(14(),24)(13(),34)(12(),1{(K 4=四元群，Klein ，44S K ，44A K 正规子群不具有传递性！如H={（1），（12）（34）}，H 左三角K4，K4左三角S4，但是H 不是S4的正规子群。
二、商群
的商群
关于称为是群
则在上述条件下上定义代数运算：
在、【商群】：设H G H G H
G bH aH H ab bH aH H G G a aH H G G H ),/(/,,)(:/}
|{/,1?∈?=?∈= .||||/]:[/2H G H G H G G H H G 的阶是，且当时有限群时，中的指数在的阶是、商群 （当G 为加群时，则正规子群N 的陪集为a+N ，商群G/N 的运算为（a+N ）+(b+N)=(a+b)+N ）
三、群同态基本定理
1、同态的像、同态核
设G G f →:是群同态，
同态的像}|)({Im G a a f f ∈=，核})(|{ker e a f G a f =∈= 则有：
（1）G f ≤Im
（2）G f ker 2、群同态基本定理
设G G f →:是群同态?群同构：f f G Im ker /? 特别地，当f 为满射时，G f =Im 则有G f G ?ker /
第四章环与域 §1 环的定义 一、主要内容 1．环与子环的定义和例子。在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以及集M的幂集环． 2．环中元素的运算规则和环的非空子集S作成子环的充要条件： 二、释疑解难 1．设R是一个关于 代数运算十，·作成的环．应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的．所以有时把这个环记为(R，十，·)(或者就直接说“R对十，·作成一个环”)．但不能记为R，·，十)．因为这涉及对两个代数运算所要求满足条件的不同．我们知道，环的代数运算符号只是一种记号．如果集合只有二代数运算记为 ，⊕，又R对 作成一个交换群，对⊕满足结合律且⊕对 满足左、右分配律，即 就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序． 2．设R对二代数运算十，·作成一个环．那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为(R,十)；又R对“·”作成一个半群，这个乍群记为(R，·)．再用左、右分配律把二者联系起来就得环(R，十．·)．
1． 2．
3． 4． 5．
6． 7． 8．证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环． §4．2 环的零因子和特征 一、主要内容 １．环的左、右零因子和特征的定义与例子． 2．若环R 无零因子且阶大于1，则R 中所有非零元素对加法有相同的阶．而且这个相同的阶不是无限就是一个素数． 这就是说，阶大于l 且无零因子的环的特征不是无限就是一个素数． 有单位元的环的特征就是单位元在加群中的阶． 3．整环(无零因子的交换环)的定义和例子． 二、释疑解难 １．由教材关于零因子定义直接可知，如果环有左零因子，则R 也必然有右零因子．反之亦然． 但是应注意，环中一个元素如果是一个左零因子，则它不一定是一个右零因子．例如，教材例l 中的元素??? ? ??0001就是一个例子．反之，一个右零因子也不一定是一个左零因子．例如，设置为由一切方阵 ),(00Q y x y x ∈???? ? ??
第九节 同态基本定理与同构定理 重点、难点：同态基本定理，满同态与子群的关系. 一 同态基本定理 前几节是研究一些定量的东西，下面我们来研究一些定性的东西.本节中的同态基本定理是群论中的研究基础. 定理2.9.1 一个群G 与它的每一个商群N G /同态. 证 令G a aN a N G G ∈?→,;/: π 显然π是G 到N G /的满射.G b a ∈?,，)()())(()()(b a bN aN N ab ab πππ=== 故π是一个满同态. 注1 定理2.9.1中的π称为自然同态； 注2 自然同态π一定是满同态. 利用子群来研究群本身，任意给定一个不变子群N ，有两个可以供我们参考的群： N 和N G /，由于0/→→→N G G N ，故更容易推测G 的性质. 自然会问：定理2.9.1的逆命题是否成立？即0→'→G G ，G '是否与G 的某个商群是同构的呢？我们说是对的.首先有一个概念. 定义2.9.1 设G G '→Φ:为一个群同态.e '为G '的单位元,集合 })(|{e a G a Ker '=Φ∈=Φ称为同态映射Φ的核. 注1 未必要求Φ为满射，但本书中同态均为满同态； 注2 一个同态是单同态?G e Ker ?=}{φ. 推论2.9.2 设π是N G G /→的自然同态，则N Ker =π. 证 由于N G /的单位元是N ，则 N N a G a N aN G a N a G a Ker =∈∈==∈==∈=}|{}|{})(|{ππ. 定理2.9.3 （同态基本定理）设?是群G 到群G '的一个同态满射，则 (1)G Ker ?； (2)G Ker G '??/. 证 (1)由于φ??≠?∈Ker Ker e .,,,G x Ker b a ∈?∈??则e b a '==)()(??为G '的单位元.则
§3.4 正规子群同态基本定理 在本节中讨论群的同态基本定理。首先考虑一种特殊的等价关系。 3.4.1 定理H是G的子群，在G上定义二元关系~如下： a ~ b当且仅当ab-1∈H，则~是G上等价关系。 证(1) 任给a∈G，都有aa-1 = e∈H，所以a ~ a； (2) 任给a, b∈G，如果a ~ b，则ab-1∈H，所以ba-1 = (b-1)-1a-1 = (ab-1)-1∈H，因此b ~ a； (3) 任给a, b, c∈G，如果a ~ b且b ~ c，则ab-1, bc-1∈H，所以ac-1 = aec-1 = a(b-1b)c-1 = (ab-1)(bc-1)∈H，因此a ~ c。■这种等价关系记为~H，称为由H生成的等价关系。由H生成的等价关系中的等价类有一个明显的表示。 3.4.2 定理H是G的子群，~H是由H生成的等价关系。 (1) 任给a∈G，都有a= Ha = {ha | h∈H}。特别地，e= He = H。 (2) 任给a∈G，都有|a|= |H|。 证(1) 任给x∈a，都有x ~H a，由~H的定义得xa-1∈H，设xa-1 = h∈H，则x = xe = x(a-1a) =(xa-1)a = ha，因此y∈Ha。 任给x∈Ha，都存在h∈H，使得x = ha，所以xa-1 = (ha)a-1 = h(aa-1) = he = h∈H，由~H的定义得x ~H a，因此x∈|a|。 (2) 取H到a的映射F：H→a F(h) = ha。 显然F是满射。 任给x, y∈H，如果F(x) = F(y)，则xa = ya，由消去律得x = y，所以F是单射。 因为F是双射，所以|a| = |H|。■ 因为e= H，所以a~H b当且仅当ab-1∈H=e当且仅当ab-1~H e。 1
§3.4 群的同构定理 同态基本定理：设?是群G 到群G 的一个同态满射，则 ker G G ? ? 。 用图表示： 将同态基本定理推广就得到下面的第一同构定理。 定理1 (第一同构定理) 设?是群G 到群G 的一个满同态，且 ker N G ?? ，记()N N ?=，则 G G N N ?，或 () ()G G N N ??? 。 当ker N ?=时，{}()N e ?=，{} G G G e N =?，第一同构定理退化 成同态基本定理 第一同构定理也可以用图表示： 证明 首先，由N G 有()N N G ?= 。作映射： :G G N N τ→， ()()xN x N τ?=，G xN N ?∈。 以下验证τ是G N 到G N 的一个同构映射。 （1）是映射：设(,)aN bN a b G =∈，则1a b N -∈，于是 11 ()()()()a b a b N N ????--=∈=，从而()()a N b N ??=， 即G N 中的每个赔集在τ下的像唯一，因此τ确为G N 到G N
的一个映射。 （2）是满射：()G aN a G N ?∈∈，因为? 是满射，所以存在 a G ∈，使得()a a ?=，从而存在G aN N ∈，使得()aN a N τ=， 即是满射。 （3）是单射：设()()aN bN ττ=，即()()a N b N ??=，从而 1 1 ()()()a b a b N ???--=∈。但?是满同态且()N N ?= ，所以 c N ?∈，使得1 1 1 1 1 ()()()K er a b c a b c e a bc ???? -----=??=?∈。 于是由已知条件ker N ??得111 1 1 a bc N a b a bc c N -----∈?=?∈， 从而aN bN =，即是单射。 （4）又由于 ()(())()()()()()()()aN bN ab N ab N a b N a N b N aN bN ττ?????ττ?====?=， 所以τ是G N 到G N 的一个同态映射。 综上所述，σ是G N 到G N 的一个同构。所以G G N N ? 。 推论1. 设,H G N G 且N H ?，则 G G N H H N ? 。 证明 取自然同态:G G N ?→，()a aN ?=，其核K er N ? =。 在第一同构定理中取G G N =，取N 为这里的H ，并注意 ()H H N ?=，由第一同构定理得
环的同态基本定理 (1) R 是环，S 是它的理想，则R 到商环S R 有满同态()S a a +=ηη:，S a ∈?， 称为R 到S R 的自然同态； (2) R ，R '是环，?是环R 到环R '的满同态，令?Ker K =，则商环K R 与环R ' 同构． 证明 (1) ()()()()()b a S b S a S b a b a ηηη+=+++=++=+， ()()()()()b a S b S a S ab ab ηηη=++=+=，()S +=11η． 故η保持加法和乘法，且把单位元映成单位元，它是同态．又 ()(){}{}S R R a S a R a a R =∈+=∈=ηη， 即η是满同态． (2) 首先，作为像集合()()a K a ??=+．这是因为K 中任一元k 在?下的像为零，则 ()()()()()a a k a K a ?????=+=+=+0． 由此有K R 到R '的映射 R S R '?→?? ()()a K a K a ??=++ ． 又 ()()K b K a +++ψψ ＝()()()()K b a b a b a ++=+=+ψ??? ＝()()()K b K a +++ψ， ()()K b K a ++ψψ ＝()()()()K ab ab b a +==ψ??? ＝()()()K b K a ++ψ，
()()R R R K '==+111?ψ， 故ψ是K R 到R '的环同态．又R 到R '的环的满同态?，只看R 与R '的加法群结 构是加法群的满同态．而?Ker K =是加法群同态的核．由群的同态基本定理， ψ是K R 到R '的加法群同构，即ψ是双射．故ψ是环同构． 例11 F 是域，[]x F 是F 上多项式环，N 是[]x F 的非零理想，则有非零多项式()x m ，使()[]()()x m x F x m N ==． 证明 取N 中次数最低的多项式为()x m ，任取()N x f ∈，作除法算式 ()()()()x r x m x q x f +=， 这里()0=x r 或()()()()x m x r ?
§3.2 正规子群与商群 对一般的群G 及N G ≤，左、右陪集不一定相等，即一般aN N a ≠， （见上一章例子，3,{(1),(12)}G S N ==，(13)(13)N N ≠）。 但对某些群G 及其子群N G ≤，总有性质：,a G aN Na ?∈=。 例如，取3,G S = 3{(1),(123),(132)},N A G ==≤ 则当 a 取3(1),(123),(132)A ∈时，总有aN N a =。而当a 取(12),(13),(23)时， (12){(12),(23),(13)}(12)N N ==， (13){(13),(23),(12)}(13)N N ==， (23){(23),(13),(12)}(23)N N ==， 所以3a G S ?∈=，都有aN N a =。 再比如，交换群的子群总满足上述性质。 设G 是群，N G ≤，若,a G aN Na ?∈=有，则 称N 是G 的正规子群（Normal subgroup ），记作N G 。 由前面，3A 是3S 的正规子群：33.A S 交换群的子群都是正规子群； 任何群的中心都是的正规子群：()C G G 。 {}e 和G 总是G 的正规子群，称为平凡正规子群，其余的正规子 群称为非平凡正规子群。
定理1. 设N G ≤，则 1 ,N G a G aNa N -??∈? 有； ?,,a G x N ?∈?∈ 都有1 .axa N -∈ 例1 证明：次交错群n A 是次对称群n S 的正规子群：n n A S 。 例2. 设(){|(),||0}n n G G L R A A M R A =∈≠ 且， (){|||1}n N SL R A A R A =∈= ，且， 证明：N G 。 证明：,X G A N ?∈?∈，则 111 ||||||||||||||||1,X AX X A X X A X A ---==== 从而，1X AX N -∈，所以N G 。 例3 证明：{}44(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)K S = 。 证明：注意，4K 中除单位元之外其余3个元素是4S 中仅有的2 阶偶置换。现44,x K S σ?∈?∈，则1 x σσ -的阶为2且是偶置换， 从而1 4 x K σσ-∈，故44K S 。 由,H K K N H N ≤≤?≤，即子群具有传递性。 但正规子群不具有传递性，即由,H K K N 推不出H N 。 例如，由例3，44K S 。现取{}44(1),(12)(34)B K =≤，由于4K 是 交换群，显然有4 4B K 。但是4 B 不是4S 的正规子群，因为取 4(13)S ∈，有{}{}44(13)(13),(1234)(13),(1432)(13)B B =≠=。
本科生代数论文 课题:论述全特征子群，特征子群与正规子群之间的关系 班级：2011级应用数学班 姓名：xx 学号：xxxxxxxx 专业：xxxxxxxxxxx 学院：xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 指导老师：xxxx
摘要本论文通过对近世代数的一些基本定理及相关性质的阐述，如：全特征子群，特征子群，正规子群等等。从而推导出全特征字群，特征子群，正规子群间的关系。本文先从全特征子群开始研究，依次为特征子群，正规子群。经过本文对全特征字群，特征子群，正规子群的研究，我发现了其规律：全特征子群包含与特征子群，特征子群包含于正规子群。 一．陪集的引入 定理1 设H是群G的一个子群，a∈G。则称群G的子集aH=｛ax|x∈H｝为群H关于子群H的一个左陪集。而称Ha=｛xa|x∈H｝为群G关于子群H的一个右陪集。 左陪集的相关性质：⑴如果a∈H,则a∈aH。 ⑵a∈H ﹤﹦﹥aH=H ⑶b∈aH﹤﹦﹥aH=bH ⑷aH=bH，即a与b同在一个作陪集中﹤﹦﹥ a b∈H（b ∈H） ⑸若aH∩bH≠空集，则aH=bH 定理2 设H，K是群G的两个子群，则群G关于交H∩K的所有左陪集，就是关于H与K的左陪集的所有非空的交。 即有：c（H∩K）=cH∩cK。 定理3如果用aH，bH，cH，…表示子群G中的所有不同的左陪集，则有等式G=aH∪bH∪cH…,称其为群G关于子群H的左陪集分解。而称｛a,b,c, …｝为G关于H的一个左陪集代表系。 同理关于有陪集的分解：G=H a ∪H b ∪Hc …。则称{ a ，b ，c ，…}是关于子群H的一个右陪集代表系。 例1：取S的子群H={(1)，（12）}，则（1）H={（1），（12）}，H（1）={（1），（12）}，（13）H={（13），（123）}，H（13）={（13），（132）}，（132）H={(132),(23)};H （123）={（123），（23）}。则有:S=H∪(13)H∪(132)H=H∪H(13)∪H（123）。 定理4群G中关于子群H的互异的左（或右）陪集的个数，叫做H在G的指数，记为：（G∶H）。 定理5设H是有限群G的一个子群，则：|G|=|H|（G∶H），从而任何子群的阶和指数都是群G的阶的因数。 推论有限群中的每个元素的阶都整除群的阶。 例2：由于S(3)=6，故三次对称群S(3)的子群及元素的阶都是6的因数。例如：子群H={（1），（12）}的阶是2，指数是3，且有|S(3)|=|H|（S(3):H）,即6=2 ?3。 定理6设G是一个有限群，又K≤H≤G，则：（G∶K）（H∶K）=（G∶K）。 二．自同构群的定义 定理1 设M是一个有代数运算的集合（不必是群），则M的
本科毕业论文题目群论四大定理的探讨 专业数学与应用数学 作者姓名庄静 学号2010201063 单位聊城大学数学科学学院 指导教师李令强 2014 年 05 月 教务处编
原创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下，独立进行研究取得的成果。除文中已经引用的内容外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均在文中以明确的方式表明。本人承担本声明的相应责任。 学位论文作者签名：日期： 指导教师签名:日期：
目录 1.引言 (1) 2.群同态与同构基本定理 (2) 2.1 群同态与同构 (2) 2.2 群同态基本定理 (6) 2.3 群同构基本定理 (7) 2.4 群同态与同构的意义 (10) 3.有限群理论重要定理 (11) 3.1 Sylow定理 (11) 3.2 有限交换群的基本定理 (16) 4.定理的应用 (21) 4.1 群同态与同构定理的应用 (22) 4.2 Sylow定理和有限交换群基本定理的应用 (23) 5.小结 (26) 6.参考文献 (27) 7.致谢 (29)
摘要 在了解有关群论的基本定义的基础上把握群论的四大定理:群同态基本定理；群同构基本定理；Sylow定理；有限交换群基本定理，理解并掌握定理的深刻含义.群同态基本定理与群同构基本定理主要探讨的是有关群的结构、数量、联系的问题,在这两个定理的研究中，是从已知的群出发，来研究与之相关联的群，一步一步慢慢引申，更进一步来研究各类群之间的联系，把成千上万的，看起来杂乱无章的群进行归类，再研究每一类群的内在结构.有限群又是群论中非常值得研究的一类群，先通过介绍Sylow引理，循序渐进的探讨了Sylow三大定理的逻辑证明过程.紧接着又进一步探讨了另一种特殊的而又重要的群——有限交换群，探究这一类群是为了对群进行分解，分解成我们所熟知的一些群类，便于研究与应用.在最后论述这四大定理的一些应用，从而说明其重要性. 关键词：群；群同态基本定理；群同构基本定理；Sylow定理；有限交换群基本定理 .
有限群的几乎次正规子群与可解性 摘要：引进几乎次正规子群的概念，应用某些子群的几乎次正规性给出了有限群为可解群的若干充分条件。 关键词：几乎次正规子群可解群有限群 在群论中，人们常常利用有限群g的子群的性质来研究原群的结构。1996年王燕鸣引进了c-正规的概念，称有限群g的子群h在g 中c-正规的，如果存在g的正规子群k，使得g=hk且h∩k≤hg。2003年张新建等减弱c-正规的条件，给出了s-正规子群的概念，称有限群g的子群h在g中s-正规的, 如果存在g的次正规子群k，使得g=hk且h∩khsg,其中hsg是包含在h中的g的最大次正规子群。2006年杨高才从另一个方面减弱了c-正规的条件，给出了几乎正规子群的概念，称有限群g的子群h在g中几乎正规，如果存在g的正规子群n，使得nh和n∩h都是g的正规子群。本文将引入一个比s-正规和几乎正规更加广泛的概念——几乎次正规，并研究某些子群具有几乎次正规性质的有限群的结构。文中的所有群皆为有限群，soc(g)表示g的基柱；h g表示h是g的正规子群；h g 表示h是g的次正规子群；h≤g表示h是g的子群;h＜g表示h是g的真子群；sylp(g)表示群g的sylowp-子群集合；表示某一素数集； (g)表示|g|的素因子的集；p,q表示素数。所用的概念和符号参考文献[4]。 1 基本概念
定义1 群g的子群h称为在g中几乎次正规，如果存在g的一个次正规子群n，使得nh和n∩h都是g的次正规子群。 注：显然s-正规子群, 几乎正规子群和次正规子群一定是几乎次正规子群。但反之不真。事实上，设g=s4为四次对称群， h1={(1),(1,2,3),(1,3,2)}是g的几乎次正规子群，但不是g的s-正规子群，也不是g的次正规子群。h2={(1),(1,2),(3,4)}是g的几乎次正规子群，但不是g的几乎正规子群。 为了获得本文的主要结果，我们先证明下面的引理。 引理1 若群g的子群h在g中几乎次正规， (1)k是g的子群并且h≤k,则h也k是的几乎次正规子群。 (2)t是g的正规子群且t≤h，则h/t在g/t中几乎次正规当且仅当h/t在g/t中几乎次正规。 证明 (1)h在g中几乎次正规，那么存在n g使得hn g且h ∩n g。注意到k∩n k，我们有(k∩n)h=nh∩k k且(k∩n)∩h=h ∩n k,故h是k的几乎次正规子群。 (2)h在g中几乎次正规，那么存在n g使得hn g且h∩n g。同时注意到nt/t为g/t的次正规子群，我们有(nt/t)∩(h/t)=(n ∩h)t/t g/t且(nt/t)(h/t)=nh/t g/t,即h/t在g/t中几乎次正规。反之若h/t在g/t中几乎次正规，那么存在s/t g/t使得 (s/t)(h/t)=sh/t g/t,且(s/t)∩(h/t)=s∩h/t g/t。显然 s,sh,s∩h都是g中的次正规子群，即h在g中几乎次正规。
同态基本定理的应用 摘要：通过具体例子说明当所给的群(或环)是商群(或商环)时,利用同态基本定理可以简化同构问题的证明过程. 关键词：同态基本定理;同构;商群;商环 证明同构问题,一般是通过建立映射并证明该映射是同构映射来完成的,然而对商群(或商环)之间的同构关系却不容易用此种方法来证明.同态基本定理(简记为FHT)是代数学的一个重要定理:设G是一个群,H是G的不变子群,令5:a y aH,Pa I G,则5是G到GPH的满同态;反之,若5是G到Gc的同态满射,则GPker5μGc.类似可得到环同态基本定理.本文给出的证明实例表明,利用FHT证明商群(商环)的同构问题,可以使证明过程简化.这种方法只须建立一个同态满射,求出同态核,就可获得问题的证明. 本文约定:H A G表示H是G的子群(或子环) ; H ¨G 表示H 是G 的不变子群( 或理 想) ; G1 μG2表示G1与G2同构. 以下是同态基本定理的应用举例. 例1求证:如果H、K A G,且K¨G,那么(HK)PKμHP(H HK) . 证明由H、K A G]H H K A G,又由K¨G]H HK¨H]H P(H HK)有意义. ( ? ) 定义5: hk y h#H HK , 其中h、k 分别为H 、K 中的任意元. 若hk=hckc]kkc- 1=h- 1hc]h- 1hcI H HK]h#H HK=hc#H HK I H P(H HK) .即 5( hk ) 与5( hckc) 表示相同的陪集, 因此5 是HK 到HP( H HK ) 的映射. ( ? ) 对HP( H HK ) 中的任意元h#H H K ( 其中h I H ) , 由于e I K , 故至少存在HK 中的元he=h,使得5(he) =h#H HK,所以5是HK到HP(H H K)的满射. ( ? ) 因为K ¨G, 所以对任意hcI H 有Khc= hcK , 于是对任意的k I K , 存在kd I K , 使得khc= hckd, 从而5( hk#hckc) = 5( hhc#kdkc) = hhc#H HK . 但由于hhc#H HK = h#( H HK ) * hc#( H HK ) ] 5( hk#hckc) = 5( hk) * 5( hckc) , 所以5 是一个群同态. ( … ) 由于e#H HK = H HK 是H P( H HK ) 的单位元, 因此ker 5 = { hk I HK | 5 ( hk) = H H K } . 又由于5( hk ) = h#H HK , 因此应有h#H HK = H HK . 从而h I H HK ] ker 5= { hk I HK | 5( hk ) = H HK } = ( H HK ) #K = K , 于是, 根据FHT 得到( HK )PK μH PH H K . 例2求证:如果H、K¨G、K AH,那么GPHμ(GPK)P(H PK) . 证明( ? )定义5:g y gK#(H PK) .对所有的g I G,显然它是G到(GPK)P(H PK)的映 射,且容易看出5是满射. (? )对任意的x、y I G,5(xy) = (xy)K#(H PK) =[ ( xK ) #( yK ) ] ( H PK ) = [ ( xK ) #( HPK ) ] * [ ( yK ) #( H PK ) ] = 5 ( x ) *5 ( y ) , 所以5 保持群运算. (? )ker 5= { g I G | 5 ( g ) = e#( H PK ) , e 是GPK 中的单位元} , 即ker 5 = { g I G | 5 ( g) = H PK } = H , 因此根据FHT, GPker 5 = GPH μ( GPK )P( H PK ) . 例3设S是环R的子环,I是R的理想,求证:SP(S H I)μ(S+I)PI. 证明( ? )易知S+I是R的子环,I是S+I的理想,S H I是S的理想,因此(S+I)
《近世代数》论文 课程：《近世代数》 姓名：XXX 学号：XXXXXXX 专业：XXXXXXXXXXXXX
全特征子群，特征子群，正规子群的关系 内容：1）引入群的定理 2）表述其关系 3）证明并且举例 4）总结 摘要：本论文通过对近世代数的一些基本定理及相关性质的阐述，如：全 特征子群，特征子群，正规子群等等。从而推导出全特征字群，特征子群，正规子群间的关系。本文的结构是先从相关的定理及相关性质着手，然后根据定理及相关性质来推导全特征字群，特征子群，正规子群间的关系。本文先从全特征子群开始研究，依次为特征子群，正规子群。经过本文对全特征字群，特征子群，正规子群的研究，我发现了其规律：全特征子群包含与特征子群，特征子群包含于正规子群;全特征子群特征子群正规子群。 一、有关群的定理 定理1设H是群G的一个子群，如果H对G的每个自同态映射都不变，既对每个自同态映射θ都有 θ（H）∈H， 则称H为群G的一个全特征子群。 定理2设H是群G的一个子群，a∈G。则称群G的子集aH=｛ax|x∈H｝为群H关于子群H的一个左陪集。而称Ha=｛xa|x∈H｝为群G关于子群H的一个右陪集。 左陪集的相关性质：⑴如果a∈H,则a∈aH。 ⑵a∈H ﹤﹦﹥aH=H ⑶b∈aH﹤﹦﹥aH=bH ⑷aH=bH，即a与b同在一个作陪集中﹤﹦﹥ a b∈H（b ∈H） ⑸若aH∩bH≠空集，则aH=bH
定理3对群G的所有自同构都不变的子群，亦即对G的任何自同构ε都有 ε（N）∈N 的子群N，叫做G的一个特征子群。 定理4如果用aH，bH，cH，…表示子群G中的所有不同的左陪集，则有等式G=aH∪bH∪cH…,称其为群G关于子群H的左陪集分解。而称｛a,b,c, …｝为G关于H的一个左陪集代表系。 同理关于有陪集的分解：G=H a ∪H b ∪Hc …。则称{ a ，b ，c ，…}是关于子群H的一个右陪集代表系。 例1：取S的子群H={(1)，（12）}，则（1）H={（1），（12）}，H（1）={（1），（12）}，（13）H={（13），（123）}，H（13）={（13），（132）}，（132）H={(132),(23)};H（123）={（123），（23）}。则 有:S=H∪(13)H∪(132)H=H∪H(13)∪H（123）。 定理5 设H，K是群G的两个子群，则群G关于交H∩K的所有左陪集，就是关于H与K的左陪集的所有非空的交。 即有：c（H∩K）=cH∩cK。 定理6设N是群G的一个子群，如果对G中每个元素a都有 aN=Na, 则称N是群G的一个正规子群。 定理7 设群G的子群H由有限个元素构成，即H={a,b,c, …n}则称H为G 的一个有限子群。 例2：H≦G，且H有有限个元素构成，H={a,b,c, …n},则称H为G的一个有限子群。 定理8群G中关于子群H的互异的左（或右）陪集的个数，叫做H在G的指数，记为：（G∶H）。 定理9设H是有限群G的一个子群，则：|G|=|H|（G∶H），从而任何子群的阶和指数都是群G的阶的因数。 推论有限群中的每个元素的阶都整除群的阶。
（VIII ）正规子群，商群与同态基本定理 一、正规子群（不变子群） G H G H Ha aH G a G H 的正规子群，记为 为则称， 有如果 、定义：设=∈?≤,,1 ·G 为交换群（Abel 群），G 的子群为正规子群。 ·{e}，G 是平凡正规子群（trivial ） H aHa H aHa H h G a H aha G H G H =?∈∈?∈? ≤---111)3()2(,,)1(,2 则设、判法 Eg1.)()(R GL R SL n n Eg2.群的中心G G C G x xa ax a G C )(},,|{)(∈?== Eg3.44S A Eg4.)}23)(14(),24)(13(),34)(12(),1{(K 4=四元群，Klein ，44S K ，44A K 正规子群不具有传递性！如H={（1），（12）（34）}，H 左三角K4，K4左三角S4，但是H 不是S4的正规子群。 二、商群 的商群 关于称为是群 则在上述条件下上定义代数运算： 在、【商群】：设H G H G H G bH aH H ab bH aH H G G a aH H G G H ),/(/,,)(:/} |{/,1?∈?=?∈= .||||/]:[/2H G H G H G G H H G 的阶是，且当时有限群时，中的指数在的阶是、商群 （当G 为加群时，则正规子群N 的陪集为a+N ，商群G/N 的运算为（a+N ）+(b+N)=(a+b)+N ） 三、群同态基本定理 1、同态的像、同态核 设G G f →:是群同态，
同态的像}|)({Im G a a f f ∈=，核})(|{ker e a f G a f =∈= 则有： （1）G f ≤Im （2）G f ker 2、群同态基本定理 设G G f →:是群同态?群同构：f f G Im ker /? 特别地，当f 为满射时，G f =Im 则有G f G ?ker /
§3.8 理想商环同态定理 R是环，I是R的加法子群，由I生成一个等价关系： a ~I b当且仅当a-b∈I， 因为I是交换的，所以~I保持加法+不变，但~I并不一定能保持乘法不变，为了得到正规的等价关系，我们需要一种特殊的加法子群。 3.8.1 定义理想R是环，I是环R的加法子群。如果 (?a∈R)(?x∈I)(ax∈I∧xa∈I)， 则称I是R的理想。 3.8.2 例{0}和R都是R的理想，这两个理想称为R的平凡理想，R的其它理想称为R的非平凡理想。R的任何一个非平凡理想不能含有单位元1。 3.8.3 例任给n≥0，n Z是Z的理想，证明如下： (1) n Z是Z的加法子群。 (2) 任给a∈Z，任给n x∈n Z，都有a(n x) = (n x)a = n(ax)∈n Z。 3.8.4 例令R = C[-∞, +∞]，任给a∈R，在R中取 I a = {f | f(a) = 0}，则I a是R的理想，证明如下： (1) I a是R的加法子群。任给f, g∈I a，都有f(a) = 0且g(a) = 0，所以(f-g)(a) = f(a)-g(a) = 0-0 = 0，因此f-g∈I a。 (2) 任给g∈R，任给f∈I，都有(gf)(a) = g(a)f(a) = g(a)0 = 0，所以gf∈I a。 可以证明，如果任给I∈Γ，I都是R的理想，则?Γ也是R的理想。S是R的子集，Γ是所有包含S的理想的集合，?Γ称也由S 生成的理想。特别地，由{a}生成的理想称为主理想，记为(a)。Z 的理想n Z是主理想，因为n Z = (n)。 可以证明，任给a∈R，主理想(a) = {∑x i ay i | x i, y i∈R}。特别地， 1
特殊群的子群、不变子群与商群 摘要：群是一种代数运算的代数体系，它是近世代数中比较古老且内容丰富的重要分支，在近似代数中有着广泛的应用.其中子群的相关理论中群的同态与同构不变子群和商群尤为重要.不变子群的重要性在于它与群同态有密切的关系,而群同态的核心就是不变子群.突出了同态的重要性本篇论文主要阐述了对不变子群的判别条件进行归纳,同时证明了诸判别条件的等价性并给出一些应用,通过不变子群与同态的几个关系看出不变子群和商群的重要意义,并且着重列举出了一些特殊群的子群不变子群及商群,使我们更深入的了解特殊群的子群不变子群及商群的相关内容. 关键词：子群；不变子群；判别准则；陪集；商群 引言在古典代数中方程论是中心课题.直到19世纪中叶，代数仍是一门以方程式论为中心的数学学科，代数方程的求解问题依然是代数的基本问题，特别是用根式求解方程.群论也就是起源于对代数方程的研究，它是人们对代数方程求解问题逻辑考察的结果.伽罗瓦仔细研究了前人的理论，特别是拉格朗日、鲁菲尼、高斯、阿贝尔等人的著作，开始研究多项式方程的可解性理论，他将重心放在判定已知的方程是否有根式解.如果有，也不去追究该方程的根究竟是怎样的，只需证明有根式解存在即可. 1799年，鲁菲尼证明了五次以上方程的预解式不可能是四次以下的，从而转证五次以上方程是不可用根式求解的，但他的证明不完善.同年，德国数学家高斯开辟了一个新方法，在证明代数基本理论时，他不去计算一个根，而是证明它的存在.随后，在1801年，
他解决了分圆方程xp -1=0（p 为质数）可用根式求解，这表明并非所有高次方程不能用根式求解。因此，可用根式求解的是所有高次方程还是部分高次方程的问题需进一步查明. 随后，挪威数学家阿贝尔开始解决这个问题.1824年到1826年，他修正了鲁菲 尼证明中的缺陷，严格证明如果一个方程可以根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式都可表示成方程的根和某些单位根的有理数.并且利用这个定理又证明出了阿贝尔定理：一般高于四次的方程不可能代数地求解.接着他进一步思考哪些特殊的高次方程才可用根式解的问题.在高斯分圆方程可解性理论的基础上，他解决了任意次的一类特殊方程的可解性问题，发现这类特殊方程的特点是一个方程的全部根都是其中一个根（假设为x ）的有理函数，并且任意两个根1()q x 与2()q x 满足1221()()q q x q q x =，1q ，2()q x 为有理函数.现在称这种方程为阿贝尔方程。阿贝尔解决了构造任意次数的代数可解的方程的问题，却没能解决判定已知方程是否可用根式求解的问题.在此基础上法国数学家伽罗瓦创立群论是为了应用于方程论，主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，人们称之为伽罗华理论.正是这套理论创立了抽象代数学，把代数学的研究推向了一个新的里程.群论是研究也不仅仅局限于数学领域，在研究物理问题中群论也是重要的工具.并且用群论解决有些问题可以更加简捷，在粒子物理等方面的应用也是很广泛的.在化学中它可以应用于基本粒子、核结构、原子结构和晶体结构等许多方面，分析它在分子偶极距、旋光性上的应用能说明杂化轨道的形成过程. 1 群及其同态与同构 定义1.1 设G 是一个非空集合，*是它的一个代数运算，如果满足以下条件： Ⅰ.结合律成立，即对G 中任意元素,,a b c 都有 ()()**a b c a b c =； Ⅱ.中有元素e ，叫做G 的左单位元，它对G 中每个元素a 都有 ea a =；
环同态及同态基本定理 定义2.设21:R R →?是一个环同态,那么2R 中零元的完全原象 }0)(|{)0(11=∈=-a R a ??叫作?的模,通常记??Ker =-)0(1. 定理1.设R R ?→??是一个环同态满射,令?Ker I =那么 (ⅰ) I R (ⅱ)R I R ? 证明:(ⅰ)对加法而言,?显然是一个加群满同态,由第二章知 I R . (即I 是R 的不变子群).下面只需证明吸收律也成立即可. . ,R r I k ∈?∈?那么.00)()()()(I rk r k r rk ∈?===????同理 I kr ∈.∴ I R (ⅱ)由第二章知,存在R I R ?Φ:.作为群同构,其中.][I R a ∈? ),(])([a a ?=Φ下面只需证明:I R b a ∈?][],[,])([])([])][([b a b a ΦΦ=Φ但 ][][)()()(][])][([b a b a ab ab b a ΦΦ===Φ=Φ???. ∴ R I R →Φ:是环同构.即R I R ?Φ. 定理 2.设R 是一个环而 I R ,那么必有环同态I R R →:?.使得?是满同态且模I Ker =?.称这样的?为环的自然同态. 证明:令I R R →:?,其中][)(a a =?, 显然?是个满射.而且R b a ∈?,. )()(][][][)(b a b a b a b a ???+=+=+=+ )()(]][[][)(b a b a ab ab ???=== ∴I R R ～.至于I Ker =?是显然的. 注意:上述定理1和定理2通称为环和同态基本定理.同时表明:环R 的任何商环I R 都是R 的同态象.而环R 的任何同态象实质上只能是R 的一个商环. 与群同态类似,我们可以和到一些与第二章中平行的结果. 定理3.设R R →:?是环同态映射,那么
特殊群的子群、不变子群与商群 摘 要：群是一种代数运算的代数体系，它是近世代数中比较古老且内容丰富的重要分支，在近似代数中有着广泛的应用.其中子群的相关理论中群的同态与同构不变子群和商群尤为重要.不变子群的重要性在于它与群同态有密切的关系,而群同态的核心就是不变子群.突出了同态的重要性本篇论文主要阐述了对不变子群的判别条件进行归纳,同时证明了诸判别条件的等价性并给出一些应用,通过不变子群与同态的几个关系看出不变子群和商群的重要意义,并且着重列举出了一些特殊群的子群不变子群及商群,使我们更深入的了解特殊群的子群不变子群及商群的相关内容. 关键词：子群；不变子群；判别准则；陪集；商群 引言 在古典代数中方程论是中心课题.直到19世纪中叶，代数仍是一门以方程式论为中心的数学学科，代数方程的求解问题依然是代数的基本问题，特别是用根式求解方程.群论也就是起源于对代数方程的研究，它是人们对代数方程求解问题逻辑考察的结果.伽罗瓦仔细研究了前人的理论，特别是拉格朗日、鲁菲尼、高斯、阿贝尔等人的著作，开始研究多项式方程的可解性理论，他将重心放在判定已知的方程是否有根式解.如果有，也不去追究该方程的根究竟是怎样的，只需证明有根式解存在即可. 1799年，鲁菲尼证明了五次以上方程的预解式不可能是四次以下的，从而转证五次以上方程是不可用根式求解的，但他的证明不完善.同年，德国数学家高斯开辟了一个新方法，在证明代数基本理论时，他不去计算一个根，而是证明它的存在.随后，在1801年，他解决了分圆方程xp -1=0（p 为质数）可用根式求解，这表明并非所有高次方程不能用根式求解。因此，可用根式求解的是所有高次方程还是部分高次方程的问题需进一步查明. 随后，挪威数学家阿贝尔开始解决这个问题.1824年到1826年，他修正了鲁菲尼证明中的缺陷，严格证明如果一个方程可以根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式都可表示成方程的根和某些单位根的有理数.并且利用这个定理又证明出了阿贝尔定理：一般高于四次的方程不可能代数地求解.接着他进一步思考哪些特殊的高次方程才可用根式解的问题.在高斯分圆方程可解性理论的基础上，他解决了任意次的一类特殊方程的可解性问题，发现这类特殊方程的特点是一个方程的全部根都是其中一个根（假设为x ）的有理函数，并且任意两个根1()q x 与2()q x 满足1221()()q q x q q x ，1q ，2()q x 为有理函数.现在称这种方程为阿贝尔方程。阿贝尔解决了构造任意次数的代数可解的方程的问题，却没能解决判定已知方程是否可用根式求解的问题.在此基础上法国数学家伽罗瓦创立群论是为了应用于方程论，主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，人们称之为伽罗华理论.正是这套理论创立了抽象代数学，把代数学的研究推向了一个新的里程.群论是研究也不仅仅局限于数学领域，在研究物理问题中群论也是重要的工具.并且用群论解决有些问题可以更加简捷，在粒子物理等方面的应用也是很广泛的.在化学中它可以应用于基本粒子、核结构、原子结构和晶体结构等许多方面，分析它在分子偶极距、旋光性上的应用能说明杂化轨道的形成过程.