本科毕业论文题目群论四大定理的探讨
专业数学与应用数学
作者姓名庄静
学号2010201063
单位聊城大学数学科学学院
指导教师李令强
2014 年 05 月
教务处编
原创性声明
本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下，独立进行研究取得的成果。除文中已经引用的内容外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均在文中以明确的方式表明。本人承担本声明的相应责任。
学位论文作者签名：日期：
指导教师签名:日期：
目录
1.引言 (1)
2.群同态与同构基本定理 (2)
2.1 群同态与同构 (2)
2.2 群同态基本定理 (6)
2.3 群同构基本定理 (7)
2.4 群同态与同构的意义 (10)
3.有限群理论重要定理 (11)
3.1 Sylow定理 (11)
3.2 有限交换群的基本定理 (16)
4.定理的应用 (21)
4.1 群同态与同构定理的应用 (22)
4.2 Sylow定理和有限交换群基本定理的应用 (23)
5.小结 (26)
6.参考文献 (27)
7.致谢 (29)
摘要
在了解有关群论的基本定义的基础上把握群论的四大定理:群同态基本定理；群同构基本定理；Sylow定理；有限交换群基本定理，理解并掌握定理的深刻含义.群同态基本定理与群同构基本定理主要探讨的是有关群的结构、数量、联系的问题,在这两个定理的研究中，是从已知的群出发，来研究与之相关联的群，一步一步慢慢引申，更进一步来研究各类群之间的联系，把成千上万的，看起来杂乱无章的群进行归类，再研究每一类群的内在结构.有限群又是群论中非常值得研究的一类群，先通过介绍Sylow引理，循序渐进的探讨了Sylow三大定理的逻辑证明过程.紧接着又进一步探讨了另一种特殊的而又重要的群——有限交换群，探究这一类群是为了对群进行分解，分解成我们所熟知的一些群类，便于研究与应用.在最后论述这四大定理的一些应用，从而说明其重要性.
关键词：群；群同态基本定理；群同构基本定理；Sylow定理；有限交换群基本定理
.
Abstract
On the basis of the understanding about the basic definition of group theory to grasp the four theorems of group theory: Group; Group of homomorphism fundamental theorem; The basic theorem; The Sylow theorem; The basic theorem of finite Abelian group, understand the profound meaning and master theorem. Group of homomorphism fundamental theorem and the basic theorem mainly discussed about the group structure, the number and contact problem.To solve this problem is to rely on basic theorem group homomorphism and isomorphism theorems, in the study of these two theorems, starting from the known group, to the research of the group, step by step slowly extended, further to study the connection between the various groups, tens of thousands of, seem to be the group are classified, then study the internal structure each group. A finite group is a very worthy of study groups in group theory. This paper first introduce Sylow lemma theorem of Sylow, step by step on three theorems of the logic process of proof. Followed by a further discussion group important another special and -- finite abelian groups, study of this group is to decompose into the group, we know some class of groups, for research and application. In the last of the four theorems are discussed some applications ,to show its importance.
Key words: Group; Group of homomorphism fundamental theorem; The basic theorem; The Sylow theorem; The basic theorem of finite Abelian group.
1.引言
群论有着悠久的历史，现在已发展成一门范围广泛和内容十分丰富的数学分支，在近世代数和整个数学中占有重要地位.对于映射的同态与同构已有所了解，而近世代数很少考察一般的映射,近世代数的研究对象是代数系统.其中群是最简单的代数系统，因为它在一个集合中只定义了一种代数运算.群的同构与同态在研究中有着它的重要作用，随着现代数学的高度抽象化和广泛应用，群的同构和同态的研究也越来越受到人们的重视.所以本文将对群论中的同态与同构进行一定的深入研究，了解其中的含义及内在意义.群的同态与同构都是研究群与群之间关系的重要手段.同构映射是群之间保持运算的映射，存在同构映射的两个群可以看成同一个群，因为它们有相同的群结构.代数中最基本与最重要的课题就是搞清楚各种代数体系在同构意义下的分类.而同态映射只要求保持运算，显然它比同构映射更灵活，它能研究两个不同构的群之间的联系.特别重要的是几个同态定理，如同态基本定理告诉我们，两个群在满同态的条件下蕴含着一个群同构.在处理一些同构问题时，我们也常常反过用这个定理，也就是说先构造出满同态.保持运算的映射既然能研究两个代数体系之间的一些关系，那么对于复杂一些的代数体系我们就可以用一些简单的代数系统去研究它们.有一种特殊的群——有限群，是值得我们深入研究的，这就要求我们必须认真把握与其有关的两大定理.
2.群同态与同构基本定理
2.1 群同态与同构
定义：如果G 与F 是两个群，如果有一个G 到F 的映射Φ保持运算，即
)()()(b a ab ΦΦ=Φ ),(G b a ∈?
则称Φ为群G 与群F 的一个同态映射.
当Φ又是满射时，则称群G 与F 同态，并表示为G ∽F .
当Φ是一个双射时，称Φ为群G 到群F 的一个同构映射.如果群G 到群F 存
在同构映射，就称群G 与群F 同构，记为
G ≌F .
群G 到自身的同态映射与同构映射，分别称为群G 的自同态映射和自同构映
射，简称为群G 的自同态和自同构.
注意：
⑴ 同态具有方向性，即G 与F 同态，不一定G 与F 同态；
⑵ 显然只含有恒元的群与任何群同态[]1.（映射规则取为乘群元素的逆一般不
考虑这种同态）
同态是一种等价关系①.它虽是满映射，但并不是一一映射，即F 的一个元素
可对应着G 的多个元素.
性质1 设G 是一个群，G 是一个有代数运算（也称为乘法）的集合.如果G 满同态于G ，则G 也是一个群.
证明 因为G ∽G ，G 是群，其乘法满足结合律，所以G 的乘法也满足结合
①
等价关系的定义：集合M 的一个关系R 满足以下条件： ⑴. 对M 中任意元素a 都有aRa ； (反身性)
⑵. 如果,aRb 必有bRa ； （对称性)
⑶. 如果bRc aRb ,，必有aRc . (传递性)
律.
设e 是群G 的单位元，a 是G 的任一元素，又设Φ是G 到G 的满同态，且在Φ
之下 ,,a a e e →→
于是 a e ea →.
但是,a ea =故a a e =.即e 是G 的单位元.
又设 11--→a a
则 a a a a 11--→
但是,1e a a =-故e a a =-1.即1-a 是a 的单位元. 因此G 也是一个群.
应注意性质1，如果集合G 与G 各有一个代数运算，且G ∽G ，则当G 为群
时，G 不一定是群.
而且性质1的意义在于，要验证一个集合G 对所指的代数运算作成群，可找
一个已知群，并通过同态来实现.
性质2 设Φ是群G 到群F 的一个同态映射（不一定是满射）.则群G 的单位
元的像是群F 的单位元，G 的元素a 的逆元的像是a 的像的逆元.即
11--=a a 或 ()
()11--Φ=Φa a 例1 令{=G 全体正负奇数
}，代数运算为数的普通乘法；又{}1,1-=G 关
于数的普通乘法作成群，令 :Φ正奇数1→，
负奇数1-→.
则易知Φ是G 到G 的一个同态满射，故G ∽G .G 是群，但G 却不是群.
例2 证明：{}3,2,1,0=G 对代数运算
r b a = （r 为b a +用4除所得余数）
作成一个群.
证明 令Z 是整数加群，则易知
':x x →Φ )(Z x ∈?
是Z 到G 得一个同态满射，其中'x 为x 整数用4除所得余数.
由于Z 是群，故由性质1知，G 也是群. 这样在证明G 是一个群时，可以减少一些麻烦的验算过程.
性质3 设Φ是群G 到G 的一个同态映射（不一定是满射），则
⑴ 当H ≤G ①时，有()G H ≤Φ，且H ∽()H Φ；
⑵ 当G H ≤时，有()G H ≤Φ-1，,且在Φ之下诱导出()H 1-Φ到H 的一个同态
映射.
证明 ⑴ 任取()H b a Φ∈,，且在Φ之下令 b b a a →→,，
其中H b a ∈,.由于G H ≤，故H ab ∈，且 b a ab →. 从而()H b a Φ∈，即()H Φ对G 的乘法封闭，且
H ∽()H Φ
但H 是子集，从而()H Φ也是群且是G 的子群.
⑵ 当G H ≤时，由于()H 1-Φ显然非空，任取()
H b a 1,-Φ∈，且在Φ之下令 b b a a →→,.
则
11--→b a ab ，
①
符号“G H ≤”表示群H 是群G 的子群，即H 是G 的非空子集，如果H 本身对G 的乘法也做成一个群，则称H 为群G 的子群.
其中H b a ∈,，而G H ≤，故H b a ∈-1，从而
()H ab 11--Φ∈. 即()G H ≤Φ-1，且显然Φ诱导出()H 1-Φ到H 的一个同态映射.
性质4 群G 到群G 的同态映射Φ是单射[]2的充要条件是，群G 的单位元e
的逆像只有e .
证明 必要性显然，下证充分性.
设Φ是群G 到群G 的任一同态映射，且在Φ之下e 的逆像只有e ，又设在Φ之
下 b b a a →→,，
当b a ≠时，必有b a ≠：因若b a =，则由于 e b a ab =→--11，
故b a e ab ==-,1，矛盾.因此，Φ是单射.
性质5 设N 是群G 的任一正规子群①，则
G ∽N G ，
即任何群都与其商群②同态.
证明 在群G 与商群N G 之间建立以下映射：
)(:G a aN a ∈?→τ，
这显然是G 到N G 的一个满射.
① 正规子群的定义：设N 是群G 的一个子群，若果对G 中每个元素a 都有 Na aN =，
即N aNa
=-1，则称N 是群G 的一个正规子群（或不变子群）. ② 商群的定义：将正规子群H 及其全部陪集作为元素，以陪集乘法定义为群乘法而形成
的新群称之G 相对正规子群H 的商群，通常记为H G /.商群的单位元素为H ，各个陪集是
商群的其它元素.
又任取G b a ∈,，则有
))(()(bN aN N ab ab =→，
即τ是G 到N G 的同态满射，故G ∽N G .
今后称群G 到商群N G 的这个同态满射τ为G 到商群N G 的自然同态.
2.2 群同态基本定理
群同态基本定理： 设Φ是群G 到群G 的一个同态满射，则Φ=Ker N 是G 的
正规子群，且 G N G ?/.
证明 首先，由于G 的单位元是G 的一个正规子群，由此可知，其所有逆象
的集合，即ΦΦ=Ker N 的核也是G 的一个正规子群.
其次，设 a a →Φ: ),(G a G a ∈∈ 则在G 与N G /间建立以下映射： )(:a a aN Φ=→σ
⑴ 设bN aN =，则N b a ∈-1.于是 b a e b a b a ===--,11
即N G /中的每个陪集在σ之下在G 中只有一个象，因此，σ确N G /为到G 的一
个映射；
⑵ 任取G a ∈，则因Φ是满射，故有G a ∈使a a =Φ)(.从而在σ之下元素a 在N G /中有逆象aN ，即σ为到G 的一个满射；
⑶ 又若bN aN ≠，则N b a ?-1，从而b a e b a ≠≠-,1
，即σ为N G /到G 的一个
单射.
因此，σ是N G /到G 的一个双射.
又由于有 b a ab abN bN aN =→=))((
故σ为同构映射，从而G N G ?/.
应注意，本定理中的Φ是一个同态满射.如果Φ只是一个同态映射（不一定是
满射），虽然也有ΦKer 是群G 的正规子群，但最后结论应改为 ΦKer G ≌()Φ=ΦIm G .
由上一节的性质5和群同态基本定理知：
G G ?→?Φ，
)(a a a Φ=→；
又
G N G G ?→??→?στ，
)(a a aN a Φ=→→，
其中Φ=Ker N .因此，στ=Φ.
上一节的性质5表明，任何群都同它的商群同态[]3；本节群同态基本定理表
明，如果一个群G 同另一个群G 同态，则这个群G 在同构意义下是G 的一个商群.
因此，在同构意义下，两个的意思是：每个群能而且只能同它的商群同态.
这是群论中最重要的结论之一，在很多场合下，都要经常用到这个事实.
另外，由群同态基本定理的证明知，若G ∽G ，且同态核①是N ，则G 中每
个元素的全体逆象恰好是关于N 的一个陪集.G 中元素与陪集的这种对应不仅是
一个双射，而且是一个同构映射.
2.3 群同构基本定理
这部分我们将介绍三个定理，这三个定理在群论的研究中都很重要，它们的
证明有多种方法，其中有的与群同态基本定理有直接的关系.
① 设Φ是群G 到群Ｆ的一个同态映射，G 的单位元在Φ之下所有逆像作成的集合，叫
作Φ的核，记为ΦKer .
定理 1（第一同构定理[]4） 设Φ是群G 到群'G 的一个同态满射，又N
Ker ?Φ是G 的正规子群，)(N N Φ=，则
N G /?N G /
证明 令τ：N G G →
()N a a Φ→ （G a ∈?）
⑴ τ是映射：设b a =（G b a ∈,），因为Φ是同态映射，故
()()b a Φ=Φ
从而()()N b N a Φ=Φ，即τ是G 到N G 的映射.
⑵ τ是满射：任取N G N a ∈（G a ∈），则因Φ是满同态，故有G a ∈使()a
a =Φ从而在τ之下N a 有逆像a ，即τ是满射.
⑶ τ保持运算：在τ之下有
()()()()()N b N a N b a N ab ab b a Φ?Φ=ΦΦ=Φ→=?，
故τ为G 到N G 的同态满射.
又因为
τKer ={G a ∈|()}N a =τ={G a ∈|()}N N a =Φ
={G a ∈|()}N a ∈Φ={G a ∈|()}N a 1-Φ∈
={G a ∈|()}
N ΦΦ-1={G a ∈|}N a ∈=N
故由群同态基本定理知 N G ≌N G .
以上的同构当然也可以写成 N G ≌()()N G ΦΦ
但应注意，定理1中的Φ必须是满同态而且N 必须是G 的包含核Φker 的正
规子群. 另外，此定理的证明也可以是找一个τ是商群N G 到N G 的一个同构映射，
依次证明τ是映射，是单射，满射且保持运算.
定理2（第二同构定理） 设G 是群，又G H ≤，N 是G 的正规子群，则N
H 是H 的正规子群，并且
)/(/N H H N HN ?
证明 因为G H ≤，N 是G 的正规子群，故G HN ≤，且N 是HN 的正规子
群，又易知
xN x →Φ: )(H x ∈?
是子群H 到商群N HN /的同态满射，且核为N H ，故由群同态基本定理知：
N H 是H 的正规子群且 N H H ≌N HN
从而结论成立.
定理3（第三同构定理[]5） 设G 是群，又N 是G 的正规子群，N G H /≤.则
⑴ 存在G 的惟一子群H ?N ，且N H H /=；
⑵ 又当H 是N G /的正规子群时，有惟一的H 是G 的正规子群使 N H H /=且 N H N G H G ///?
证明 ⑴ 设在自然同态
G :σ∽N G / 之下H 的逆象为H ，则G H H N ≤=?-)(1σ，且因σ是满同态，故可知 []
H H H ==-)()(1σσσ
但又知，N H H /)(=σ故 N H H /=
由同态基本定理的定理，由于G 中含N 的不同子群其象也不同，故可知这样的H
也是惟一的.
⑵ 当H 是N G /的正规子群时，由2.3.1中的定理2可知，G 有惟一正规子
群N H ?使N H H /=，又由于在自然同态
G ∽N G /
之下有N H ?，且H 的象是N H /，故由第一同构定理知， N H H G H G ///?
此定理表明，商群N G /的子群仍为商群，且呈N H /形，其中H 是G 的含N
的子群；又H 是G 的正规子群当且仅当N H /是N G /的正规子群.
通过群同构三大定理的证明过程我们看出，群同态基本定理是群同构三大定
理的基础，通过群同态基本定理只要找准同态核就能很容易的找出一对具有同构
关系的群.
2.4 群同态与同构的意义
由群同态基本定理知，在同构的意义下，任何群都能而且只能与其商群同态.
所以要特别强调一下群同构的意义[]6.
设}{ ,,,c b a M =是一个有代数运算 的群，而M {
} ,,,c b a =是另一个有代数运算 的群.如果M ≌M ，且在这个同构之下， c c b b a a →→→,,…
则根据同构的定义，c b a = 当且仅当c b a = .这就是说，除去元素本身的性
质和代数运算名称与所用的符号不同之外，从运算的性质看，M 与M 并没有任何
实质性的差别.更具体的说，就是由M 仅根据代数运算所推演出来的一切性质和
结论.都可以自动地全部转移到与M 同构的一切代数系统上去.因此，在近世代数
中常把同构的代数系统等同起来，甚至有时候不加区分.这正表现出这门学科所研
究的问题的实质所在.
3.有限群理论重要定理
有限群是代数学的一个重要分支，它在群的理论中占有非常重要的地位.有限
群之所以重要，不仅因为这种理论对数学本身特别是群产生重要影响，而且在实
际应用中，例如在理论物理、量子力学、量子化学以及结晶学等方面都有广泛应
用，所以本节将集中介绍有限群理论中两个最基本最重要的内容，即Sylow 定理
和有限交换群①基本定理.
3.1 Sylow 定理
为了证明Sylow 定理，下面先介绍重陪集概念及其简单性质.
定义1 设K H ,为群G （不一定有限）的两个子集，又令G x ∈，则称G 的
子集
{hxk HxK =|}K k H h ∈∈,
为群G 关于子群K H ,的重陪集.
简称HxH 为关于子群H 的一个重陪集.
引理1 对群G 的任二重陪集Hxk 与HyK ，若
≠H y K H x K
φ， 则必有HyK HxK =.
证明 由于≠HyK HxK φ，故有元素∈a HyK HxK .令
()K k H h yk h xk h a i i ∈∈==,2211
则HyK k yk h h x ∈=--112211.从而对任意K k H h ∈∈,，有
H y K
k k k y h hh hxk ∈=--)()(112211 ① 如果对群G 中任意二元素b a ,均有a b b a =，即群的代数运算满足交换律，则称G
为交换群.而且群G 中只含有有限个元素，则称群G 为有限交换群.
因此，HyK HxK ?.
同理有HxK HyK ?.故HyK HxK =.
下面的引理回答了包含在重陪集HxK 内的H 右陪集有多少个.
引理2 在群G 的重陪集HxK 中，含子群H 的右陪集的个数等于
（H :K Hx x 1- ）；含子群K 的左陪集的个数等于（H :1-xKx H ）.
证明 设
{H x k S =|}K k ∈， {k Hx x K T )(1-= |}K k ∈；
并令
)()(:1K k k Hx x K Hxk ∈?→Φ-
如果),(2121K k k Hxk Hxk ∈=，则
Hx x k k H x k xk 11211121,
----∈∈?，
从而Hx x K k k 1121--∈ .因此 2111)()(k Hx x K k Hx x K --= ，
这说明Φ是S 到T 的一个映射.
类似证明，可知Φ是单射，又显然Φ是满射.
因此Φ是S 到T 的一个双射.
同理可证引理中的另一结论.
引理3[]7 设H Hx H Hx H Hx G r 21=是有限群G 关于子群H 的重陪集
分解，则对任意)(H N Ha ?，都有某个j Hx 使
)1(r j Hx Ha j ≤≤=.
证明 因为任何右陪集必含于某个重陪集之中，故不妨设
H Hx Ha j ?，r j ≤≤1，
于是H Hx a j ∈.令),(2121H h h h x h a j ∈=，则1211--=ah h x j .据此，
并根据)(H N Ha a ?∈与Ha aH =便可得Ha Hx j =，即
j Hx Ha =.
定理1（ 第一Sylow 定理——存在性和包含性[]8 ） 设G 是有限群，且
m p G s =，其中p 是素数，s 是正整数，p 不整除m .则对G 的每个
)1,,1,0(-=s i p i 阶子群H ，总存在G 的1+i p 阶子群K ，使H 是K 的正规子群.
证明 设G 关于)0(s i p i <≤阶子群H 的重陪集分解为
H Hx H Hx H Hx G r 21=， ⑴
且H Hx j 是由j t 个H 的右陪集所组成.于是由引理2及⑴知：
.,,2,1),:(1r j Hx x H H t j j j ==-
⑵
r t t t H G +++= 21):( ⑶ 又因为)0(s i p G i <≤=，故
):():(H G p H G H m p G i s ===，
从而p |):(H G ，于是分别由⑶及⑵得
p |r t t t +++ 21，j t |r j p i
,,2,1 = ⑷ 下证：j t =1 )(H N Hx j ??.
1) 设j t =1 .由⑵得1=):(1j j Hx x H H -
，因此
j j j j Hx x Hx x H H 11--
?= . 但是j j Hx x H 1-
=，故j j Hx x H 1-=，)(,H N x Hx H x j j j ?=.
从而
)(H N Hx j ?
2）设)(H N Hx j ?，由于j j Hx x ∈，故H Hx x Hx H x j j j j ==-
1,.从而
1):(1==-
j j j Hx x H H t .
由引理3，正规化子集)(H N 内的右陪集均呈j Hx 形，故以上说明：在r
t t t ,,21
中1=j t 的个数就是)(H N 中右陪集的个数，也就是指数):)((H H N ,从而由⑷知：
p |):)((H H N 或 p |H H N )(. 于是商群H H N )(有p 阶子群.又由群的第三同构定理，此p 阶子群设为
H K （H 为K 的正规子群且)(H N K ≤）
，从而H 为K 的正规子群且 1+=?=?=i i p p p H H K K .
于是当0=i 时10=p 阶子群（即单位元群）总存在，从而以上论证表明
s p p p ,,,2 阶子群总是存在的，且其中的i p 还是1+i p 阶子群的正规子群.特别其中
的s p 阶子群就是G 的Sylow p -子群.
定理2（第二Sylow 定理——共轭性[]9） 设G 是有限群，p 是素数.则G 的所
有Sylow p -子群恰好是群G 的一个共轭子群类.
证明 设,m p G s =p 不整除m .显然，与Sylow p -子群共轭的子群都是
Sylow p -子群.
下面进一步证明：G 的任意二Sylow p -子群必共轭.
设K H ,是群G 的任二Sylow p -子群，从而
s p K H ==.
根据引理1，设G 关于K H ,的重陪集分解为
K Hx K Hx K Hx G r 21=，
且重陪集中H 的右陪集的个数为
r i Hx x K K t i i i ,,2,1)
:(1 ==-.
由此得
r t t t H G +++= 21):(. ⑴ 由于):(H G H G =和s p H =，故p 不整除):(H G ；又因为每个i t 都是p 的
非负整数次幂，故由⑴知，至少有一个1=i t .例如不妨设11=t ，即
1):(111=-Hx x K K ，
从而111111Hx x Hx x K K --?= .但是s p Hx x K ==-111，故
111Hx x K -=，
即H 与K 共轭.
因此，G 的全体Sylow p -子群恰好是一个共轭子群类.
例3 求出三元对称群3S 的所有Sylow p -子群.
解 由于3263?==S ，故当素数3,2≠p 时，
3S 的Sylow p -子群就是3S 的10=p 阶子群，即{})1(.3S 的Sylow2-子群（p =2）有3个，即
{}{}{})23(),1(,)13(),1(,)12(),1(321===H H H .
它们是3S 的一个共轭子群类.最后，3S 的Sylow3-子群（p =3）只有一个，即
{})132(),123(),1(4=H .它当然是3S 的一个正规子群.
定理3（第三Sylow 定理——计数定理[]10） 设G 是有限群，且m p G s =，其
中p 是素数，p 不整除m .若的Sylow p -子群共有k 个，则k |G 且p |1-k ，即
)(m o d 1p
k ≡. 证明 首先，设H 是群G 的一个Sylow p -子群，则
))(:(H N G k =.
从而k |G .
其次，根据引理1，设
H Hx H Hx H Hx G r 21=
是G 关于H 的重陪集分解，并设
):(1i i i Hx x H H t -= ),,2,1(r i =
平面几何中几个重要定理及其证明 一、 塞瓦定理 1．塞瓦定理及其证明 定理：在?ABC 内一点P ，该点与?ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交?ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 三点均不是?ABC 的顶点，则有 1AD BE CF DB EC FA ??=． 证明：运用面积比可得ADC ADP BDP BDC S S AD DB S S ????==． 根据等比定理有 ADC ADC ADP APC ADP BDP BDC BDC BDP BPC S S S S S S S S S S ??????????-=== -， 所以APC BPC S AD DB S ??=．同理可得APB APC S BE EC S ??=，BPC APB S CF FA S ??=． 三式相乘得 1AD BE CF DB EC FA ??=． 注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高” A B C D F P
还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”． 2．塞瓦定理的逆定理及其证明 定理：在?ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F ，且D 、 E 、 F 均不是?ABC 的顶点，若1AD BE CF DB EC FA ??=，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点． 证明：设直线AE 与直线BF 交于点P ，直线CP 交AB 于点D /，则据塞瓦定理有 / / 1AD BE CF D B EC FA ??=． 因为 1AD BE CF DB EC FA ??=，所以有/ /AD AD DB D B =．由于点D 、D /都在线段AB 上，所以点D 与D /重合．即得D 、E 、F 三点共线． 注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证． 二、 梅涅劳斯定理 A B C D E F P D /
对热力学第三定律的理解及应用 在学习了物理书中的“热学”篇后，对于书中提到的热力学四大定律很感兴趣。其中热力学第一定律与热力学第二定律在书中都有了较为详尽的介绍，并且我们也认真地做了相关的习题，可以说对于这两个定律较为熟悉，而对于热力学第零定律与第三定律却了解不多。因此，在课下，我查阅了相关资料。对于这两个定律有了一定了解。 热力学第零定律表述为：“如果两个热力学系统中的每一个都与第三个热力学系统处于热平衡(温度相同)，则它们彼此也必定处于热平衡。” 热力学第三定律表述为：“热力学系统的熵在温度趋近于绝对零度时趋于定值，特别地，对于完整晶体，这个定值为零。”可以用这一公式表达，0)(lim 0=?=s t 而另一种表述为：“不可能通过有限的步骤，将一个物体冷却到绝对温度的零度。” 对于第三定律中提到的，“不能通过有限步骤，达到绝对零度”我感到了困惑与好奇。 对于这一定律有这么一种解释：理论上，若粒子动能低到量子力学的最低点时，物质即达到绝对零度，不能再低。然而，绝对零度永远无法达到，只可无限逼近。因为任何空间必然存有能量和热量，也不断进行相互转换而不消失。所以绝对零度是不存在的，除非该空间自始即无任何能量热量。 另一种解释是：当原子达到绝对零度后，就会处于静止状态，而这违反了海森堡不确定原理指出的“不可能同时以较高的精确度得知一个粒子的位置和动量”。
尽管，绝对零度在实际生活中似乎无法达到，但科学家还是不遗余力的尝试着接近绝对零度。据报道，由德国、美国、奥地利等国科学家组成的一个国际科研小组在实验室内创造了仅仅比绝对零度高0.5纳开尔文的温度纪录，而此前的纪录是比绝对零度高3纳开。这是人类历史上首次达到绝对零度以上1纳开以内的极端低温。 而通过研究物体在接近绝对零度度过程中材料属性的变化，可以为工程应用提供材料，而在微观领域也可研究低温环境对于原子产生的影响，比如原子在接近绝对零度时是如何运动的，物体呈现一种什么样的状态，这对于原子物理的发展有巨大促进作用。 热力学第三定律在生活中也得到了应用。比如在研究过程中，发现了一些物体存在着超导现象，这一发现对于降低能耗，减少能源浪费都有着不可估量的意义。将一个金属样品放置在通有高频电流的线圈上时，高频电磁场会在金属材料表面产生一高频涡流，这一高频涡流与外磁场相互作用，使金属样品受到一个洛沦兹力的作用。在合适的空间配制下，可使洛沦兹力的方向与重力方向相反，通过改变高频源的功率使电磁力与重力相等，即可实现电磁悬浮。即磁悬浮。对于磁悬浮技术的应用，主要是磁悬浮列车，其优点在于耗能不仅低于普通火车，更大大低于汽车和飞机。在驱动功率相同时，其耗能仅为汽车的1/3，飞机的1/4，而降低能耗是环境保护的最主要问题。 通过科学家对于绝度零度都不断的追求，我们可以看出科学永无止境，作为科学工作者要有一种锲而不舍的精神。
营销学四大经典理论：4P、4C、4R、4I 4P理论 即产品（product）、价格（price）、促销（promotion）、渠道（place）四要素 由密西根大学教授杰罗姆?麦卡锡（E.Jerome Mccarthy）1960年提出，“它的伟大在于它把营销简化并便于记忆和传播”。 产品包含核心产品、实体产品和延伸产品。广义的产品可以是有形的实体，也可以是无形的服务、技术、知识或智慧等。 价格的制定手段很多，竞争比较法、成本加成法、目标利润法、市场空隙法，这些方法的目标是使产品成为可交换的商品。企业以盈利为目标，所以定价要具有兼顾销售效率和企业效益的双重考虑，打价格战是一种定价和竞争策略，但价格低并非总是凑效，曾经就有一个朋友，面临玉兰油的同一个产品在两个不同商家销售价格不同的购买选择，一家是按全价销售，另一个则是八折销售。结果却是选择了原价购买。信息不对称，使价格中蕴涵了太多的附加臆测信息，品质、期限、真伪、质量、效用，价格不仅与产品本身相关联，也与品牌的附加内涵和价值相关联，与市场的供求关系相关联，与所选择的购物场所的信誉相联系。 传统意义的促销是人员推广、广告、攻关活动和销售促进。这些方式在营销过程中有着非常广泛的应用。 渠道是产品从生产方到消费者终端所经历的销售路径。普通消费品会经过代理商、批发商、商场或零店的环节。B2C模式中也有电话直销、电视直销、网络直销、人员直销、专卖店直销等模式。直销模式大大缩减了从厂家到买家的中间环节，将中间利润让渡给消费者或作为新的营销模式所产生的额外费用的补偿。B2B模式中也可能采取厂家对厂家的直接销售或选取代理商的中间销售模式。 4P’s之后，因为服务业在70年代迅速发展，有学者又增加了第5个“P”，即“人”(Peopl e)；又因为包装在包装消费品营销中的重要意义，而使“包装”(Packaging)成为又一个“P”；7 0年代，“营销管理之父”科特勒在强调“大营销”的时候，又提出了两个“P”，即公共关系(Pub lications)和政治(Politics)。当营销战略计划受得重要的时候，科特勒又提出了战略计划中的4P过程，即研究(Probing)、划分(Partitioning)即细分(Segmentation)、优先(Prioritizing)、定位(Positioning)，营销组合演变成了12P’s。但4P’s依然作为营销基础工具，依然发挥着非常重要的作用。 4C理论
1、勾股定理（毕达哥拉斯定理） 2、射影定理（欧几里得定理） 3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分 4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点 5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。 6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。 7、三角形的三条高线交于一点 8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL 9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线（欧拉线）上。 10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上， 11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上 12、库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆） 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。 13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s为三角形周长的一半 14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点 15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2) 16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2 17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n（值不为1）的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上 19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD 20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，
《热力学定律及其微观本质》读后感 能电院电气四班丁小柳0905020414 读了《热力学定律及其围观本质》这篇论文，体会和收获还是蛮多的。它很有条理的从它的宏观表达和具体应用后，然后应用分子动理论和统计物理学知识揭示了他们的微观本质。 一、热力学四大定律（虽然我们现在只学了两大定律）： 1、热力学第零定律——能量守恒定律在热学形式的表现。 如果两个热力学系统中的每一个都与第三个热力学系统处于热平衡(温度相同)，则它们彼此也必定处于热平衡。这一结论称做“热力学第零定律”。热力学第零定律的重要性在于它给出了温度的定义和温度的测量方法。定律中所说的热力学系统是指由大量分子、原子组成的物体或物体系。它为建立温度概念提供了实验基础。这个定律反映出：处在同一热平衡状态的所有的热力学系统都具有一个共同的宏观特征，这一特征是由这些互为热平衡系统的状态所决定的一个数值相等的状态函数，这个状态函数被定义为温度。而温度相等是热平衡之必要的条件。 另一种表述：处于热力学平衡状态的所有物质均具有某一共同的宏观物理性质。 2、热力学第一定律——能量守恒定律在热学形式的表现。 我们知道热力学第一定律的表达式是ΔU = Q+ W（这里的W是外界对系统做的功），也就是说物体吸收的热量等于物体对外界做的功与物体内能增加之和。这从另一个角度体现了能量守恒定律 （1）能量守恒定律 大量事实证明：各种形式的能都可以相互转化，并且在转化过程中守恒。 能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到别的物体；在转化和转移过程中其总量不变．这就是能量守恒定律。在学习力学知识时，学习了机械能守恒定律。机械能守恒定律是有条件限制的定律，而且实际现象中是不可能实现的。而能量守恒定律是存在于普遍自然现象中的自然规律。这规律对物理学各个领域的研究，如力学、电学、热学、光学等都有指导意义。它也对化学、生物学等自然科学的研究都有指导作用。 （2）永动机不可能制成 历史上不少人希望设计一种机器，这种机器不消耗任何能量，却可以源源不断地对外做功。
. 一．平面几何 1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边 的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍． 2． 射影定理（欧几里得定理） 3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则 有)(22222BP AP AC AB +=+； 中线长：2 222 22a c b m a -+= 4． 垂线定理：2 2 2 2 BD BC AD AC CD AB -=-?⊥ 高 线 长 ： C b B c A a bc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---= 5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线 段与这个角的两边对应成比例． 如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则AC AB DC BD =；（外角平分线定 理） 角平分线长：2 cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=-+= （其中 p 为周长一半） 6． 正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin ===， （其中R 为三角形外接圆半径） 7． 余弦定理：C ab b a c cos 2222 -+= 8． 张角定理：AB DAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin 9． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2 ·DC +AC 2 ·BD －AD 2 ·BC ＝BC ·DC ·BD 10． 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一 半．（圆外角如何转化？） 11． 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角 12． 圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定 理）：切线长定理：） 13． 布拉美古塔（Brahmagupta ）定理： 在圆内接四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，自对角线的交点P 向一边作垂线，其延长线必平分对边 14． 点到圆的幂：设P 为⊙O 所在平面上任意一点，PO =d ，⊙ O 的半径为r ，则d 2－r 2就是点P 对于⊙O 的幂．过P 任作 一直线与⊙O 交于点A 、B ，则PA ·PB = |d 2 －r 2 |．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点． 15． 托勒密（Ptolemy ）定理：圆内接四边形对角线之积等于两 组对边乘积之和，即AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB ·CD +AD ·BC ≥AC ·BD 16． 蝴蝶定理：AB 是⊙O 的弦，M 是其中点，弦CD 、EF 经过 点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，求证：MP =QM ． 17． 费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近 两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距 离．定理2 三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点 18． 拿破仑三角形：在任意△ABC 的外侧，分别作等边△ABD 、 △BCE 、△CAF ，则AE 、AB 、CD 三线共点，并且AE ＝BF ＝ CD ，这个命题称为拿破仑定理． 以△ABC 的三条边分别向 外作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 1 、⊙ A 1 、⊙ B 1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙ C 1 、 ⊙A 1 、⊙B 1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC 的三条边分别向△ABC 的内侧作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心 19． 九点圆（Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形 中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如: （1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半 （2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点 （3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕 20． 欧拉（Euler ）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心 依次位于同一直线（欧拉线）上． 21． 欧拉（Euler ）公式：设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半 径为r ，外心与内心的距离为d ，则d 2 =R 2 －2Rr ． 22． 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各 边距离的和． 23． 重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分 成2：1的两部分；)3 ,3(C B A C B A y y y x x x G ++++ 重心性质：（1）设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC
阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根 4I 4S 44营销学四大经典理论4、 理论1\4P ）四要素）、渠道（placeproduct）、价格（price）、促销（promotion即产品（、定位(Prioritizing)(Segmentation)、优先过程，即研究(Probing)、划分(Partitioning)即细分2\4P(Positioning) 理论3\4c顾客购买所愿意支付的成本）的满足，从价格到综合权衡顾客需求（Consumer's Needs ，从通路Communication）Cost），从促销的单向信息传递到实现与顾客的双向交流与沟通（（）。的产品流动到实现顾客购买的便利性（Convenience 4r理论4、侧“的4R新说，、节省(Relationship)(Retrenchment)、关联(Relevancy)和报酬(Rewards)关系。重于用更有效的方式在企业和客户之间建立起有别于传统的新型关系”理论5、4i互动原则、InteractionInterests利益原则、4I原则：Interesting趣味原则、网络整合营销Individuality 个性原则。4s理论6、。(speed)、速度、诚意(sincerity)分别是:满意(satisfaction)、服务（service)它的伟大在于它把营“1960年提出，?由密西根大学教授杰罗姆麦卡锡 （E.Jerome Mccarthy） ”。销简化并便于记忆和传播产品包含核心产品、实体产品和延伸产品。广义的产品可以是有形的实体，也可以是无形 的服务、技术、知识或智慧等。价格的制定手段很多，竞争比较法、成本加成法、目标利润法、市场空隙法，这些方法的 目标是使产品成为可交换的商品。企业以盈利为目标，所以定价要具有兼顾销售效率和企业效益的双重考虑，打价格战是一种定价和竞争策略，但价格低并非总是凑效，曾经就有一个朋友，面临玉兰油的同一个产品在两个不同商家销售价格不同的购买选择，一家是按全价销售，另一个则是八折销售。结果却是选择了原价购买。信息不对称，使价格中蕴涵了太多的附加臆测信息，品质、期限、真伪、质量、效用，价格不仅与产品本身相关联，也与品牌的附加内涵和价值相关联，与市场的供求关系相关联，与所选择的购物场所的信誉相联系。传统意义的促销是人员推广、广告、攻关活动和销售促进。这些方式在营销过程中有着非 常广泛的应用。法拉兹·日·阿卜——学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。． 阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根 渠道是产品从生产方到消费者终端所经历的销售路径。普通消费品会经过代理商、批发商、商场或零店的环节。B2C模式中也有电话直销、电视直销、网络直销、人员直销、专卖店直销等模式。直销模式大大缩减了从厂家到买家的中间环节，将中间利润让渡给消费者或作为新的营销模式所产生的额外费用的补偿。B2B模式中也可能采取厂家对厂家的直接销售或选取代理商的中间销售模式。 4P's之后，因为服务业在70年代迅速发展，有学者又增加了第5个“P”，即“人”(People)；又因为包装在包装消费品营销中的重要意义，而使“包装”(Packaging)成为又一个“P”；70年代，“营销管理之父”科特勒在强调“大营销”的时候，又提出了两个“P”，即公共关系(Publications)和政治(Politics)。当营销战略计划受得重要的时候，科特勒又提出了战略计划中的4P过程，即研究(Probing)、划分(Partitioning)即细分(Segmentation)、优先(Prioritizing)、定位(Positioning)，营销组合演变成了12P's。但4P's
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1\4P理论 即产品（product）、价格（price）、促销（promotion）、渠道（place）四要素 2\4P过程，即研究(Probing)、划分(Partitioning)即细分(Segmentation)、优先(Prioritizing)、定位(Positioning) 3\4c理论 顾客需求（Consumer’s Needs）的满足，从价格到综合权衡顾客购买所愿意支付的成本（Cost），从促销的单向信息传递到实现与顾客的双向交流与沟通（Communication），从通路的产品流动到实现顾客购买的便利性（Convenience）。 4、4r理论 关系(Relationship)、节省(Retrenchment)、关联(Relevancy)和报酬(Rewards)的4R新说，“侧重于用更有效的方式在企业和客户之间建立起有别于传统的新型关系”。 5、4i理论 网络整合营销4I原则：Interesting趣味原则、Interests利益原则、Interaction互动原则、Individuality 个性原则。 6、4s理论 分别是:满意(satisfaction)、服务（service)、速度(speed)、诚意(sincerity)。 由密西根大学教授杰罗姆?麦卡锡（E.Jerome Mccarthy）1960年提出，“它的伟 大在于它把营销简化并便于记忆和传播”。 产品包含核心产品、实体产品和延伸产品。广义的产品可以是有形的实体，也可以是无形的服务、技术、知识或智慧等。 价格的制定手段很多，竞争比较法、成本加成法、目标利润法、市场空隙法，这些方法的目标是使产品成为可交换的商品。企业以盈利为目标，所以定价要具有兼顾销售效率和企业效益的双重考虑，打价格战是一种定价和竞争策略，但价格低并非总是凑效，曾经就有一个朋友，面临玉兰油的同一个产品在两个不同商家销售价格不同的购买选择，一家是按全价销售，另一个则是八折销售。结果却是选择了原价购买。信息不对称，使价格中蕴涵了太多的附加臆测信息，品质、期限、真伪、质量、效
1 题目：浅谈热力学定律 班级：11物理学本科班 姓名：徐春山 学号：110800048 指导老师：廖昱博
浅谈热力学定律 1 引言 热物理学是整个物理学理论的四大柱石之一，热力学是热学理论的一个重要组成部分，也就是热现象的宏观理论。热力学主要是从宏观角度出发按能量转化的观点来研究物质的热性质，热现象和热现象所服从的规律。它揭示了能量从一种形式转换为另一种形式时遵从的宏观规律。热力学是总结物质的宏观现象而得到的热学理论，不涉及物质的微观结构和微观粒子的相互作用，具有高度的可靠性和普遍性，无论是在热力学理论中或在热工技术中，都有重要的作用。 2 热力学第零定律 什么是温度？人们在日常生活中，凭自己的感觉就能判断一个物体是冷还是热。感到热就认为温度高一些，感到冷就认为温度低一些。当然这种感觉是不可靠的。于是人们就简单地建立起了有关温度的初步概念。温度是描述物体冷热程度的物理量。 在不受外界影响的情况下，只要A物体和B物体同时与C物体处于热平衡，即使A和B没有热接触，他们仍然处于热平衡状态，这种规律称为热平衡定律，也称为热力学第零定律。 热力学第零定律告诉我们，互为热平衡的物体之间必存在一个相同的特征——它们的温度是相同的。实验也证实，在外界条件不变的情况下把已经达到热平衡的系统中的各个部分相互分开，是绝不会改变每个部分本身的热平衡状态的. 3 热力学第一定律 热力学第一定律是能量守恒和转化定律在热力学上的具体表现，能量守恒与转换定律的发现与其他物理规律的发现最大不同之处在于它不是某一位科学家独立研究而提出的，而是由许多科学家在不同的研究领域分别发现的。 自然界一切物体都具有能量，能量有各种不同形式，它能从一种形式转化为- 2 -
初中数学知识重点整理 －平面几何四个重要定理 四个重要定理： 梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线） △ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R，则P、Q、 R共线的充要条件是。 塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点） △ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R，则AP、BQ、CR共点的 充要条件是。 托勒密(Ptolemy)定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该 四边形内接于一圆。 西姆松(Simson)定理（西姆松线） 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是 该点落在三角形的外接圆上。 例题： 1．设AD是△ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。求证： 。
【分析】CEF截△ABD→（梅氏定理） 【评注】也可以添加辅助线证明：过A、B、D之一作CF的平行线。 2．过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F， 交CB于D。 求证：。 【分析】连结并延长AG交BC于M，则M为BC的中 点。 DEG截△ABM→（梅氏定理） DGF截△ACM→（梅氏定理） ∴===1 【评注】梅氏定理 3． D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上， ，AD、BE、CF交成△LMN。 求S△LMN。 【分析】 【评注】梅氏定理 4．以△ABC各边为底边向外作相似的 等腰△BCE、△CAF、△ABG。求证：AE、BF、 CG相交于一点。
【分析】 【评注】塞瓦定理 5．已知△ABC中，∠B=2∠C。求证：AC2=AB2+AB·BC。 【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D，连结BD。则 CD=DA=AB，AC=BD。 由托勒密定理， AC·BD=AD·BC+CD·AB。 【评注】托勒密定理 6．已知正七边形A 1A2A3A4A5A6A7。 求证：。（第21届全苏数学竞赛） 【分析】 【评注】托勒密定理 7．△ABC的BC边上的高AD的延长线交 外接圆于P，作PE⊥AB于E，延长ED交 AC延长线于F。 求证：BC·EF=BF·CE+BE·CF。 【分析】 【评注】西姆松定理（西姆松线） 8．正六边形ABCDEF的对角线AC、CE分别被内分点M、N分成的比 为AM：AC=CN：CE=k，且B、M、N共线。 求k。（23-IMO-5） 【分析】 【评注】面积法 9． O为△ABC内一点，分别以d a、d b、d c表示O到BC、CA、AB的距离，以R a、R b、R c表示O到A、B、C的距离。
专题平面几何的四个重 要定理 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
竞赛专题讲座06 －平面几何四个重要定理 四个重要定理： 梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线） △ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R，则P、 Q、R共线的充要条件是。 塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点） △ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R，则AP、BQ、CR共点 的充要条件是。 托勒密(Ptolemy)定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该 四边形内接于一圆。 西姆松(Simson)定理（西姆松线） 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是 该点落在三角形的外接圆上。 例题： 1．设AD是△ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。求 证：。
【分析】CEF截△ABD→（梅氏定理） 【评注】也可以添加辅助线证明：过A、B、D之一作CF的平行线。 2．过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F， 交CB于D。 求证：。 【分析】连结并延长AG交BC于M，则M为BC的 中点。 DEG截△ABM→（梅氏定理） DGF截△ACM→（梅氏定理） ∴===1 【评注】梅氏定理 3． D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上， ，AD、BE、CF交成△LMN。 求S△LMN。 【分析】 【评注】梅氏定理 4．以△ABC各边为底边向外作相似的 等腰△BCE、△CAF、△ABG。求证：AE、 BF、CG相交于一点。
【分析】 【评注】塞瓦定理 5．已知△ABC中，∠B=2∠C。求证：AC2=AB2+AB·BC。 【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D，连结BD。则 CD=DA=AB，AC=BD。 由托勒密定理， AC·BD=AD·BC+CD·AB。 【评注】托勒密定理 6．已知正七边形A 1A2A3A4A5A6A7。 求证：。（第21届全苏数学竞赛） 【分析】 【评注】托勒密定理 7．△ABC的BC边上的高AD的延长线交 外接圆于P，作PE⊥AB于E，延长ED交 AC延长线于F。 求证：BC·EF=BF·CE+BE·CF。 【分析】 【评注】西姆松定理（西姆松线） 8．正六边形ABCDEF的对角线AC、CE分别被内分点M、N分成的 比为AM：AC=CN：CE=k，且B、M、N共 线。求k。（23-IMO-5） 【分析】 【评注】面积法 9． O为△ABC内一点，分别以d a、d b、d c表示O到BC、CA、AB的距离，以R a、 R b、R c表示O到A、B、C的距离。
从四大定律角度对热力学学习的认识 2013级物理萃英班洪熹宇 摘要： 热力学是一门研究热运动的宏观理论，它与统计物理学的研究目的，都在于研究运动的规律，同时研究与热运动有关的物性，以及宏观物质系统的演化过程。但是它与统计物理学的研究方法上有着很大的不同，统计物理学侧重于从微观角度分析和解决问题，而热学的基础则是建立在宏观的基础上。它是一种唯象的宏观理论，具有较高的普适性和一般性。本文由学生在热力学学习过程中，将自己的体会与知识相结合，从四大定律着手给出学生对于热力学研究意义的思考和认识。 关键词：热力学三大定律，热平衡定律，能量守恒，自由能，熵，绝对零度 正文： 一、热力学四大定律的发现与形式 宏观角度看待问题的是经典的，因此热力学总是能给出一个条件给定系统的最终平衡状态的各个参数。人们在对热力学研究的基础上，总结出了热力学的三大定律，加上热平衡定律，便构成了热力学最主要的四个结论。 首先，能量守恒与转换定律是自然界最普遍、最基本的规律之一。它指出，自然界中的一切物质都具有能量，能量有各种不同的形式，这种不同形式的能量都可以转移（从一个物体传递到另一个物体），也可以相互转换(从一种能量形式转变为另一种能量形式)，但在转移和转换过程中，它们的总量保持不变。这一规律成为能量守恒与转换定律。能量守恒与转换定律应用在热力学中，或者说应用在伴有热效应的各种过程中，便是热力学第一定律。历史上，焦耳在绝热过程中所做的两个实验，首先认识到外界对于系统所做的功，仅仅与系统的初态和末态是相关联的。在此人们定义了一个内能的概念，它的意义是，系统在末态和初态的内能之差，等于在过程中外界对系统所做的功与系统从外界吸收的热量之和，这便是热力学第一定律的数学表达形式。此外，在工程热力学上，热力学第一定律也可表述成“热是能的一种，机械能变热能或热能变机械能时，它们之间的比值是一定的”，或者“热可以变功，功可以变热。一定量的热消失时必定产生相应量的功；消耗一定量的功时必定出现与之相应量的热”。 其次，人们在各类实验基础上又发现了热力学第二定律。卡诺在研究中发现，各种热机运动最终都服从于卡诺关于可逆热机的两个定理。然而卡诺在热机工作过程的认知上并不正确，由此克劳修斯和开尔文分别提出了热力学第二定律的两种表述：开尔文提出了“利用无生命物质的作用，把物质任何部分冷到比它周围最冷的客体以下，以产生机械效应，这是不可能的”。现在表述为“不可能从单一热源吸取热量，使之完全变为有用的功，而不产生其它影响”，克劳修斯提出了“不可能把热量，从低温物体传到高温物体，而不引起其他变化。”，二者分别从不同角度说明了热力学第二定律的实质，即任何与热现象有关的实际过程都有着其自发进行的方向，是不可逆的。这两种表述也可以相互进行逻辑上的论证，由此也发现了不同种类的不可逆过程本质上其实是可以互相进行推断的。特别的，在孤立系统下，由热力学第二定律可以推出重要的熵增加原理，为今后判断孤立系统的稳定平衡条件提供了依据。 随着科学研究的深入和对于低温条件获取的需要，人们在思考，究竟可不可以通过有限的过程实现绝对零度？20世纪初,人们通过对低温下热力学现象的研究,确定了物质熵值的零点,逐步建立起了热力学第三定律,进而提出了规定熵的概念,为解决一系列的热力学问题提供了极大的方便。热力学第三定律可以准确、简洁的表述为:0K时,任何完美晶体的熵值为0。也可以表达为，绝对零度不能达到。
4P、4C、4R和4A营销理论 自从20世纪50年代美国的杰瑞?麦卡锡创立了4P营销理论，奠定了现代营销理论的基础，世界的市场营销理论就得了了丰富的发展，80年美国的劳特朋在4P的基础上，提出4C营销理论，美国营销大师唐?舒尔茨在4C的基础上提出4R理论，并进一步总结提出了大家熟悉的整合营销传播理论（IMC）。 随着中国在90年代陆续进入现代营销，以上这些理论陆续传入到中国大陆，而最为普及的，当然是4P，4C，IMC三大理论。值得肯定的是，这三大理论是以时间为先后，对前面理论的升级和丰满，其基础是4P理论。 然而，随着人类社会从农业、工业进入到服务业、信息业，现代营销理论的发展也从单向、静态，发展到动态和双互的理论上来，现有的三大理论也显出了它的缺点来，不能跟上现代营销市场发展的实际。 4P营销理论 1．企业能提供什么样的产品（Product）。包括能够提供给市场被人们使用和消费并满足人们某种需要的任何东西，包括形产品、服务、人员、组织、观念或它们的组合。 2.企业销售的价格（Price），是指顾客购买产品时的价格，包括折扣、支付期限等。价格或价格决策，关系到企业的利润、成本补偿、以及是否有利于产品销售、促销等问题。 3.企业在什么渠道销售（Place），所谓销售渠道是指在商品从生产企业流转到消费者手上的全过程中所经历的各个环节和推动力量之和。 4．企业对产品的推广促销（Promotion），促销是公司或机构用以向目标市场通报自己的产品、服务、形象和理念，说服和提醒他们对公司产品和机构本身信任、支持和注意的任何沟通形式。广告、宣传推广、人员推销、销售促进是一个机构促销组合的四大要素。 4P理论为企业的营销提供了一个基础框架。不过，4P是站在企业立场上的，而不是客户的立场，这远远不能满足在以客户为导向的市场基础。由此又出现了4C理论。 4C理论： 4C营销理论是对4P营销理论的升级
第十九讲平面几何中的几个著名定理 几何学起源于土地测量，几千年来，人们对几何学进行了深入的研究，现已发展成为一门具有严密的逻辑体系的数学分支．人们从少量的公理出发，经过演绎推理得到不少结论，这些结论一般就称为定理．平面几何中有不少定理，除了教科书中所阐述的一些定理外，还有许多著名的定理，以这些定理为基础，可以推出不少几何事实，得到完美的结论，以至巧妙而简捷地解决不少问题．而这些定理的证明本身，给我们许多有价值的数学思想方法，对开阔眼界、活跃思维都颇为有益．有些定理的证明方法及其引伸出的结论体现了数学的美，使人们感到对这些定理的理解也可以看作是一种享受．下面我们来介绍一些著名的定理． 1．梅内劳斯定理 亚历山大里亚的梅内劳斯(Menelaus，约公元100年，他和斯巴达的Menelaus是两个人)曾著《球面论》，着重讨论球面三角形的几何性质．以他的名子命名的“梅内劳斯定理”现载在初等几何和射影几何的书中，是证明点共线的重要定理． 定理一直线与△ABC的三边AB，BC，CA或延长线分别相交于X，Y，Z，则 证过A，B，C分别作直线XZY的垂线，设垂足分别为Q，P，S，见图3－98．由△AXQ∽△BXP得
同理 将这三式相乘，得 说明(1)如果直线与△ABC的边都不相交，而相交在延长线上，同样可证得上述结论，但一定要有交点，且交点不在顶点上，否则定理的结论中的分母出现零，分子也出现零，这时定理的结论应改为 AX×BY×CZ=XB×YC×ZA， 仍然成立． (2)梅内劳斯定理的逆定理也成立，即“在△ABC 的边AB和AC上分别取点X，Z，在BC的延长线上取点Y，如果 那么X，Y，Z共线”．梅内劳斯定理的逆定理常被用来证明三点共线． 例1 已知△ABC的内角∠B和∠C的平分线分别为BE和CF，∠A的外角平分线与BC的延长线相交于D，求证：D，E，F共线． 证如图3－99有 相乘后得
【认识平面几何的61个著名定理，自行画出图形来学习，★部分要求证明出来】 ★1、勾股定理（毕达哥拉斯定理） ★2、射影定理（欧几里得定理） ★3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分 4、四边形两边中心的连线和两条对角线中心的连线交于一点 5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。 ★6、三角形各边的垂直平分线交于一点。 ★7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点 8、设三角形ABC 的外心为O ，垂心为H ，从O 向BC 边引垂线，设垂足不L ，则AH=2OL 9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。 10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上， 11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上 12、库立奇大上定理：（圆内接四边形的九点圆） 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。 ★13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式： ()()()s c s b s a s r ---=，s 为三角形周长的一半 ★14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点 15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC 的边BC 的中点为P ，则有AB 2+AC 2=2(AP 2+BP 2) 16、斯图尔特定理：P 将三角形ABC 的边BC 分成m 和n 两段，则有n×AB 2+m×AC 2=BC×（AP 2+mn ） 17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD 的对角线互相垂直时，连接AB 中点M 和对角线交点E 的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A 、B 的距离之比为定比m:n （值不为1）的点P ，位于将线段AB 分成m:n 的内分点C 和外分点D 为直径两端点的定圆周上 ★19、托勒密定理：设四边形ABCD 内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD
托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组 对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之 和)． 即：ABCD AB CD AD BC AC BD ?+?≥? 定理：在四边形中，有： ABCD 并且当且仅当四边形内接于圆时，等式成立； () ABCD E BAE CAD ABE ACD AB BE ABE ACD AB CD AC BE AC CD AB AE BAC EAD ABC AED AC AD BC ED AD BC AC ED AC AD AB CD AD BC AC BE ED AB CD AD BC AC BD E BD A B C ∠=∠∠=∠ ??∴=??=? =∠=∠∴?? ∴=??=? ∴?+?=?+ ∴?+?≥? 证：在四边形内取点，使， 则：和相似 又且和相似 且等号当且仅当在上时成立，即当且仅当、、、 一、直接应用托勒密定理 例1如图2，P是正△ABC外接圆的劣弧上任一点(不与B、C重合)， 求证：PA=PB＋PC． 分析：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为 繁冗．若借助托勒密定理论证，则有PA·BC=PB·AC＋PC·AB， ∵AB=BC=AC．∴PA=PB+PC． 二、完善图形借助托勒密定理 例2证明“勾股定理”：在Rt△ABC中，∠B=90°，求证：AC2=AB2＋BC2 证明：如图，作以Rt△ABC的斜边AC为一对角线的矩形ABCD，显然ABCD是 圆内接四边形． 由托勒密定理，有AC·BD=AB·CD＋AD·BC．① 又∵ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，AC=BD．② 把②代人①，得AC2=AB2＋BC2． 例3如图，在△ABC中，∠A的平分线交外接∠圆于D，连结BD， 求证：AD·BC=BD(AB＋AC)． 证明：连结CD，依托勒密定理，有AD·BC＝AB·CD＋AC·BD． ∵∠1=∠2，∴BD=CD． 故AD·BC=AB·BD＋AC·BD=BD(AB＋AC)． 三、构造图形借助托勒密定理 例4若a、b、x、y是实数，且a2＋b2=1，x2＋y2=1．求证：ax＋by≤1． 证明：如图作直径AB=1的圆，在AB两边任作Rt△ACB和Rt△ADB， 使AC＝a，BC=b，BD＝x，AD＝y． 由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的． 据托勒密定理，有AC·BD＋BC·AD=AB·CD． ∵CD≤AB＝1，∴ax＋by≤1． 四、巧变原式妙构图形，借助托勒密定理 例5已知a、b、c是△ABC的三边，且a2=b(b ＋c)，求证：∠A=2∠B． 分析：将a2=b(b＋c)变形为a·a=b·b＋bc，从而联想到托勒密定理，进 而构造一个等腰梯形，使两腰为b，两对角线为a，一底边为c． 证明：如图，作△ABC 的外接圆，以A为圆心，BC为半径作弧交圆于 D，连结BD、DC、DA．∵AD=BC，ACD BDC =∴∠ABD=∠BAC． 又∵∠BDA=∠ACB(对同弧)，∴∠1=∠2． 依托勒密定理，有BC·AD=AB·CD＋BD·AC．① 而已知a2=b(b＋c)，即a·a=b·c＋b2．② ∴∠BAC=2∠ABC． 五、巧变形妙引线 借肋托勒密定理 例6在△ABC中，已知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4， 分析：将结论变形为AC·BC＋AB·BC=AB·AC，把三角形和圆联系起 来，可联想到托勒密定理，进而构造圆内接四边形． 如图，作△ABC的外接圆，作弦BD=BC，边结AD、CD． 在圆内接四边形ADBC中，由托勒密定理， 有AC·BD＋BC·AD=AB·CD 易证AB=AD，CD=AC，∴AC·BC＋BC·AB=AB·AC， 1.已知△ ABC 中，∠ B=2∠ C。求证：AC2=AB2+AB·BC。 【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D，连结BD。 则CD=DA=AB，AC=BD。由托勒密定理，AC·BD=AD·BC+CD·AB。 2.ABC BC P BC AC AB PK PL PN BC AC AB PK PL PM ? =+ 由外接圆的弧上一点分别向边、与作垂线、和， 求证：