现代控制理论第版课后
习题答案
Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT
《现代控制理论参考答案》
第一章答案
1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 解：系统的模拟结构图如下： 系统的状态方程如下： 令y s =)(θ，则1x y =
所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为
1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =
有电路原理可知：?
?
?
+==+=++3
213
222231111x C x x x x R x L u
x x L x R 既得
2
221332
2222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-
=+-=+--
=?
?
?
写成矢量矩阵形式为：
1-4 两输入1u ，2u ，两输出1y ，2y 的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。 解：系统的状态空间表达式如下所示： 1-5系统的动态特性由下列微分方程描述
列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。 解：令..
3.
21y x y x y x ===，，，则有
相应的模拟结构图如下： 1-6 （2）已知系统传递函数2
)3)(2()
1(6)(+++=s s s s s W ,试求出系统的约旦标准型的实现，
并画出相应的模拟结构图
解：s
s s s s s s s s W 31
233310)3(4)3)(2()1(6)(22++++-
+
+-=+++= 1-7 给定下列状态空间表达式
[]???
?
?
?????=????
??????+????????????????????----=??????????321321321100210311032010x x x y u x x x x x x ‘
（1） 画出其模拟结构图 （2） 求系统的传递函数 解：
（2）????
??????+-+-=-=31103
201
)()(s s s A sI s W 1-8 求下列矩阵的特征矢量
（3）????
??????---=6712203
010
A 解：A 的特征方程 0611667122301
23=+++=??
??
??????+---=-λλλλλλλA I 解之得：3,2,1321-=-=-=λλλ
当11-=λ时，????
??????-=????????????????????---3121113121116712203
010p p p p p p 解得： 113121p p p -== 令111=p 得 ?????
?????--=??????????=1113121111p p p P
（或令111-=p ，得?????
?????-=??????????=1113121111p p p P ） 当21-=λ时，????
??????-=????????????????????---32221232221226712203
010p p p p p p 解得： 123212222
1
,2p p p p =-= 令212=p 得 ????
?
?????-=??????????=1423222122p p p P
（或令112=p ，得?
???
?
?
??????-=??????????=21213222122p p p P ）
当31-=λ时，????
??????-=????????????????????---33231333231336712203
010p p p p p p 解得： 133313233,3p p p p =-= 令113=p 得 ????
?
?????-=??????????=3313323133p p p P
1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）
（2）??
??
?
??????????
?=??????????
??????+????????????????????--=??????????32121321321110021357213311201214x x x y y u x x x x x x
解：A 的特征方程 0)3)(1(31121
2142=--=??????????------=-λλλλλλA I 当31=λ时，????
?
?????=????????????????????--312111312111331120
1214p p p p p p 解之得 113121p p p == 令111=p 得 ?????
?????=??????????=1113121111p p p P
当32=λ时，????
?
?????+??????????=????????????????????--111331120
1214312111312111p p p p p p 解之得 32222212,1p p p p =+= 令112=p 得 ?????
?????=??????????=0013222122p p p P
当13=λ时，????
?
?????=????????????????????--33231333231331120
1214p p p p p p 解之得
3323132,0p p p =
= 令133=p 得 ????
?
?????=??????????=1203323133p p p P
约旦标准型
1-10 已知两系统的传递函数分别为W 1(s)和W 2(s)
试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果 解：（1）串联联结 （2）并联联结
1-11 （第3版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为
求系统的闭环传递函数
解：
1-11（第2版教材） 已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为
求系统的闭环传递函数 解：
1-12 已知差分方程为
试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u 的系数b(即控制列阵)为
（1）???
???=11b
解法1： 解法2：
求T,使得??????=-111B T 得??????=-10111T 所以 ?
??
???-=1011T 所以，状态空间表达式为
第二章习题答案
2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数At e 。
（2） A=1141??
???
解：第一种方法： 令 0I A λ-= 则
1
1
04
1
λλ--=-- ，即()2
140λ--=。
求解得到13λ=，21λ=-
当13λ=时，特征矢量11121p p p ??
=????
由 111Ap p λ=，得11112121311341p p p p ????
??=??????
?????? 即112111112121343p p p p p p +=??+=?，可令112p ??=????
当21λ=-时，特征矢量12222p p p ??=????
由222Ap p λ=，得121222221141p p p p -????
??=??????-?????? 即122212122222
4p p p p p p +=-??+=-? ，可令212p ??=??-??
则1122T ??=??-??
，1
1
1241124T -??
??=????-???
?
第二种方法，即拉氏反变换法： 第三种方法，即凯莱—哈密顿定理 由第一种方法可知13λ=，21λ=-
2-5 下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A 阵。
（3）()22222222t t
t t t t
t t e e e e t e e
e e --------??--Φ=??--?? （4）()()()()3333112412t t t t t t
t t e e e e t e e e e ----??+-+??Φ=????-++????
解：（3）因为 ()10001I ??
Φ==??
??，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件 （4）因为()10001I ??
Φ==????，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件 2-6 求下列状态空间表达式的解：
初始状态()101x ??
=????
，输入()u t 时单位阶跃函数。
解： 0100A ??
=??
??
因为 01B ??
=????
，()()u t I t =
2-9 有系统如图所示，试求离散化的状态空间表达式。设采样周期分别为T=和1s ，而
1u 和2u 为分段常数。
图 系统结构图 解：将此图化成模拟结构图 列出状态方程
则离散时间状态空间表达式为 由()At
G T e =和()0T
At H T e dtB =?得：
当T=1时 ()()()()1111
1001111k e e x k x k u k e ke ----??-??
+=+????--??????
当T=时 ()()()()()0.1
0.10.10.1
100
1110.90.1k e e x k x k u k e k e ----??-????+=+????---????
第三章习题
3-1判断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中a,b,c,d 的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取值条件如何 （1）系统如图所示： 解：由图可得： 状态空间表达式为：
由于?
2x 、?
3x 、?
4x 与u 无关，因而状态不能完全能控，为不能控系统。由于y 只与3x 有关，因而系统为不完全能观的，为不能观系统。
（3）系统如下式：
解：如状态方程与输出方程所示，A 为约旦标准形。要使系统能控，控制矩阵b 中相对于约旦块的最后一行元素不能为0，故有0,0≠≠b a 。
要使系统能观，则C 中对应于约旦块的第一列元素不全为0，故有0,0≠≠d c 。 3-2时不变系统
试用两种方法判别其能控性和能观性。 解：方法一：
方法二：将系统化为约旦标准形。
??????=1-111T ，????
??
????-=21212121T 1
- B T -1中有全为零的行，系统不可控。CT 中没有全为0的列，系统可观。 3-3确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数i i βα和 解：构造能控阵：
要使系统完全能控，则211αα≠+，即0121≠+-αα 构造能观阵：
要使系统完全能观，则121αα-≠-，即0121≠+-αα 3-4设系统的传递函数是
（1）当a 取何值时，系统将是不完全能控或不完全能观的 （2）当a 取上述值时，求使系统的完全能控的状态空间表达式。 （3）当a 取上述值时，求使系统的完全能观的状态空间表达式。 解：(1) 方法1 ：)
6)(3)(1()()()(++++==
s s s a
s s u s y s W
系统能控且能观的条件为W(s)没有零极点对消。因此当a=1,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。 方法2：
系统能控且能观的条件为矩阵C 不存在全为0的列。因此当a=1,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。
（2）当a=1, a=3或a=6时，系统可化为能控标准I 型
（3）根据对偶原理，当a=1, a=2或a=4时，系统的能观标准II 型为 3-6已知系统的微分方程为：u y y y y 66116.
..
=+++
试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。 解：63611603210=====b a a a a ，，，， 系统的状态空间表达式为 传递函数为
其对偶系统的状态空间表达式为： 传递函数为6
1166
)(23+--=
s s s s W
3-9已知系统的传递函数为 试求其能控标准型和能观标准型。
解：3
45
213486)(222++++=++++=s s s s s s s s W
系统的能控标准I 型为 能观标准II 型为
3-10给定下列状态空间方程，试判别其是否变换为能控和能观标准型。
解：[]100210311032010=??
??
?
?????=??????????----=C b A ，， 3-11试将下列系统按能控性进行分解
（1）[]111,100,340010121-=??
??
?
?????=??????????--=C b A 解：
[
]
??
??
?
?????--==9310004102b A Ab b
M rankM=2<3，系统不是完全能控的。 构造奇异变换阵c R ：????
?
?????=??????????-==??????????==010*********R Ab R b R ，，，其中3R 是任意的，只要满足c R 满秩。
即??????????-=031100010c R 得??
??
?
?????-=-010*******c R 3-12 试将下列系统按能观性进行结构分解
（1） []111,100,340010121-=??
???
?????=??????????--=C b A 解： 由已知得[]111,100,340010121-=??
??
?
?????=??????????--=C b A 则有?????
?????---=???
???????=4742321112CA CA C N
rank N=2<3，该系统不能观
构造非奇异变换矩阵10R -，有10111232001R --??
??=-??
???? 则0311210001R --??
??=-??
????
3-13 试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解
（1）[]211,221,102322001=??
??
?
?????=??????????-=C b A 解：由已知得211121226202M A Ab Ab ??
????==??????-??
rank M=3，则系统能控 rank N=3，则系统能观
所以此系统为能控并且能观系统
取211121226202c T ????=????-??
，则12173441732
15344c T -??
-???
???=--??????-????
则002105014A ????=-??????，12100c B T b -??
??==??
????
，[]271323c c cT == 3-14求下列传递函数阵的最小实现。
（1） ()111111w s s ??
=??+??
解： 01α=，01111B ??=????
，1001c A -??=??
-??
1001c B ??=????，1111c C ??=????，0000c D ??
=???? 系统能控不能观
取1
01101R -??=????，则01101R -??=??
??
所以10010?01A R AR --??==??-??，1011?01c B R B -??==??
?? 010?10c C C R ??==????，00?00D ??=????
所以最小实现为?1m A =，[]?11m B =，1?1m C ??=????，00?00m D ??=???? 验证：()
()1
111???111m m
m C sI A B w s s -??-==??+??
3-15设1∑和2∑是两个能控且能观的系统
（1）试分析由1∑和2∑所组成的串联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数； （2）试分析由1∑和2∑所组成的并联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数。 解： （1）
1
∑和
2
∑串联
当1∑的输出1y 是2∑的输入2u 时，331222x x x x =-++
010*********x x u ????
????=--+????
????-????
，[]001y x = 则rank M=2<3，所以系统不完全能控。 当2∑得输出2y 是1∑的输入1u 时
011034100021x x u ????
????=--+????
????-????
，[]210y x =
因为 2001016124M b
Ab
A b ??
????==-??????--??
rank M=3 则系统能控
因为2210321654c N cA cA ????
????==--????????????
rank N=2<3 则系统不能观 （2）1∑和2∑并联
010*********x x u ????
????=--+????
????-????
，[]211y x = 因为rank M=3，所以系统完全能控 因为rank N=3，所以系统完全能观
现代控制理论第四章习题答案
4-1判断下列二次型函数的符号性质：
（1）22212
3122313()31122Q x x x x x x x x x x =---+-- （2）22212
3122313()4262v x x x x x x x x x x =++--- 解：（1）由已知得
110?=-<，211201
3
-?=
=>-，31
111711
30241
111
2
--?=--=-<--
- 因此()Q x 是负定的 （2）由已知得
110?=>，211
301
4
-?=
=>-，3111
143160131
--?=--=-<-- 因此()Q x 不是正定的 4-2已知二阶系统的状态方程：
试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条件。
解：方法（1）：要使系统在平衡状态处大范围渐进稳定，则要求满足A 的特征值均具有负实部。
即：
有解，且解具有负实部。 即：1122112212210a a a a a a +<>且
方法（2）：系统的原点平衡状态0e x =为大范围渐近稳定，等价于T A P PA Q +=-。
取Q I =，令11
1212
22P
P P P P ??=????
，则带入T A P PA Q +=-，得到 若 11
2112
11222111221122122112
22
220
4()()00
22a a a a a a a a a a a a a a +=+-≠，则此方程组有唯一解。即 其中11221221det A A a a a a ==- 要求P 正定，则要求 因此11220a a +<，且det 0A >
4-3试用lyapunov 第二法确定下列系统原点的稳定性。
（1）1123x x -??
=??-?? （2）1111x x -??=??
--??
解：（1）系统唯一的平衡状态是0e x =。选取Lyapunov 函数为22
12
()0V x x x =+>，则 ()V x ?
是负定的。x →∞，有()V x →∞。即系统在原点处大范围渐近稳定。
（2）系统唯一的平衡状态是0e x =。选取Lyapunov 函数为22
12
()0V x x x =+>，则 ()V x ?
是负定的。x →∞，有()V x →∞。即系统在原点处大范围渐近稳定。
4-6设非线性系统状态方程为： 试确定平衡状态的稳定性。
解：若采用克拉索夫斯基法，则依题意有： 取P I =
很明显，()Q x 的符号无法确定，故改用李雅普诺夫第二法。选取Lyapunov 函数为
22
12()0V x x x =+>，则
()V x ?
是负定的。x →∞，有()V x →∞。即系统在原点处大范围渐近稳定。
4-9设非线性方程：
试用克拉索夫斯基法确定系统原点的稳定性。 解：（1）采用克拉索夫斯基法，依题意有：
x →∞，有()V x →∞。 取P I =
则212
1013()132x Q x x ??
-+=??-+??
，根据希尔维斯特判据，有： 222
11212
10
310310132
x x x -?=?=
=->-+，（），()Q x 的符号无法判断。 （2）李雅普诺夫方法：选取Lyapunov 函数为42
1233()042
V x x x =
+>，则 ()V x ?
是负定的。x →∞，有()V x →∞。即系统在原点处大范围渐近稳定。
4-12试用变量梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数
解：假设()V x 的梯度为： 计算()V x 的导数为：
选择参数，试选112212211,0a a a a ====，于是得：
12x V x ???= ???，显然满足旋度方程12122121,0V V x x
x x x x ??????===????即，表明上述选择的参数是允许的。则有：
如果121211202
x x x x -><或，则()V x ?是负定的，因此，121
2x x <是12x x 和的约束条件。
计算得到()V x 为：
()V x 是正定的，因此在1212
1
1202
x x x x -><即范围内，0e x =是渐进稳定的。 现代控制理论第五章习题答案
5-1已知系统状态方程为：
试设计一状态反馈阵使闭环系统极点配置为-1，-2，-3。 解：依题意有：
2011012112M b
Ab
A b ??
????==????????
3rankM =，系统能控。 系统0(,,)A b C =∑的特征多项式为：
则将系统写成能控标准I 型，则有010*********x x u ????
????=+????
????--????
。 引入状态反馈后，系统的状态方程为：()x A bK x bu =++，其中3K ?为1矩阵，设
[]0
12K k k k =，则系统(,,)K A bK C =∑的特征多项式为：
根据给定的极点值，得到期望特征多项式为：
比较*()()f f λλ与各对应项系数，可解得：012599k k k =-=-=-，则有：
[]-5-9-9K =。 5-3有系统：
（1） 画出模拟结构图。
（2） 若动态性能不满足要求，可否任意配置极点 （3） 若指定极点为-3，-3，求状态反馈阵。 解（1）系统模拟结构图如下：
（2）系统采用状态反馈任意配置极点的充要条件是系统0(,,)A b C =∑完全能控。 对于系统0(,,)A b C =∑有： []0111M b
Ab ??
==??
-??
2rankM =，系统能控，故若系统动态性能不满足要求，可任意配置极点。
（3）系统0(,,)A b C =∑的特征多项式为：
则将系统写成能控标准I 型，则有010231x x u ????
=+????
--????
。 引入状态反馈后，系统的状态方程为：()x A bK x bu =++，设[]0
1K k k =，则系统
(,,)K
A bK C =∑
的特征多项式为：
根据给定的极点值，得到期望特征多项式为：
比较*()()f f λλ与各对应项系数，可解得：[]017373k k K =-=-=--，。 5-4设系统传递函数为
试问能否利用状态反馈将传递函数变成
若有可能，试求出状态反馈K ，并画出系统结构图。
解：6
522
)3)(2)(1()2)(1()(2
32--+-+=+-++-=s s s s s s s s s s s W 由于传递函数无零极点对消，因此系统为能控且能观。 能控标准I 型为 令[] 21
k k k K =为状态反馈阵，则闭环系统的特征多项式为
由于状态反馈不改变系统的零点，根据题意，配置极点应为-2，-2，-3，得期望特征多项式为
比较 )(λf 与 )(*λf 的对应项系数，可得 即[]52118---=K 系统结构图如下：
5-5使判断下列系统通过状态反馈能否镇定。
（1）1222 A 011,01011b ---????
????=-=????
????-????
解：系统的能控阵为：
2240010115M b
Ab
A b -??
????==??????-??
3rankM =，系统能控。 由定理5.2.1可知，采用状态反馈对系统0(,,)A b C =∑任意配置极点的充要条件是0(,,)A b C =∑完全能控。又由于3rankM =，系统0(,,)A b C =∑能控，可以采用状态反馈将系统的极点配置在根平面的左侧，使闭环系统镇定。 5-7设计一个前馈补偿器，使系统 解耦，且解耦后的极点为1,1,2,2----。 解：0()()() d W s W s W s =
5-10已知系统：
试设计一个状态观测器，使观测器的极点为-r ，-2r(r>0)。
解：因为1001c N cA ????
==????????
满秩，系统能观，可构造观测器。 系统特征多项式为[]21det det 0I A λλλλ-??-==????，所以有10010,0,10a a L ??===??
?? 于是11
001100x T ATx T bu x u --????=+=+???????? 引入反馈阵12g G g ??
=????，使得观测器特征多项式：
根据期望极点得期望特征式： 比较()f λ与()*f λ各项系数得：
即223r G r ??=????，反变换到x 状态下2201321023r r G TG r r ??????===????
???????? 观测器方程为：