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【题目名称、来源】
数字三角形ioi94-1
【问题描述】
数字三角形
７
３８
８１０
２７４４
４５２６５
（图３.１－１）
（图３.１－１）示出了一个数字三角形。请编一个程序计算从顶至底的某处的一条路径，使该路径所经过的数字的总和最大。
●每一步可沿左斜线向下或右斜线向下走；
●1＜三角形行数≤100；
●三角形中的数字为整数0，1，…99；
输入数据：
由INPUT.TXT文件中首先读到的是三角形的行数。
在例子中INPUT.TXT表示如下：
5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
输出数据：
把最大总和（整数）写入OUTPUT.TXT文件。
上例为：
30
【所属专题】
动态规划
【适合学习阶段】
第二阶段
【解题思路】
问题分析：
简单的动态规划，类似于从方阵左上角走到右下角，只允许向下或者向右走。
设c[i,j]代表从最底层走到点(i,j)的经过数字最大和，则
C[i,j]=max{c[i-1,j]+num[i,j]，c[i-1,j-1]+num[i,j]}
用两个一维数组轮换赋值可节省空间
存储结构：【测试数据】
【源程序】
动态规划算法原理及其应用研究 系别：x x x 姓名：x x x 指导教员： x x x 2012年5月20日
摘要：动态规划是解决最优化问题的基本方法，本文介绍了动态规划的基本思想和基本步骤，并通过几个实例的分析，研究了利用动态规划设计算法的具体途径。关键词：动态规划多阶段决策 1.引言 规划问题的最终目的就是确定各决策变量的取值，以使目标函数达到极大或极小。在线性规划和非线性规划中，决策变量都是以集合的形式被一次性处理的；然而，有时我们也会面对决策变量需分期、分批处理的多阶段决策问题。所谓多阶段决策问题是指这样一类活动过程：它可以分解为若干个互相联系的阶段，在每一阶段分别对应着一组可供选取的决策集合；即构成过程的每个阶段都需要进行一次决策的决策问题。将各个阶段的决策综合起来构成一个决策序列，称为一个策略。显然，由于各个阶段选取的决策不同，对应整个过程可以有一系列不同的策略。当过程采取某个具体策略时，相应可以得到一个确定的效果，采取不同的策略，就会得到不同的效果。多阶段的决策问题，就是要在所有可能采取的策略中选取一个最优的策略，以便得到最佳的效果。动态规划是一种求解多阶段决策问题的系统技术，可以说它横跨整个规划领域（线性规划和非线性规划）。在多阶段决策问题中，有些问题对阶段的划分具有明显的时序性，动态规划的“动态”二字也由此而得名。动态规划的主要创始人是美国数学家贝尔曼（Bellman）。20世纪40年代末50年代初，当时在兰德公司（Rand Corporation）从事研究工作的贝尔曼首先提出了动态规划的概念。1957年贝尔曼发表了数篇研究论文，并出版了他的第一部著作《动态规划》。该著作成为了当时唯一的进一步研究和应用动态规划的理论源泉。在贝尔曼及其助手们致力于发展和推广这一技术的同时，其他一些学者也对动态规划的发展做出了重大的贡献，其中最值得一提的是爱尔思（Aris）和梅特顿（Mitten）。爱尔思先后于1961年和1964年出版了两部关于动态规划的著作，并于1964年同尼母霍思尔（Nemhauser）、威尔德（Wild）一道创建了处理分枝、循环性多阶段决策系统的一般性理论。梅特顿提出了许多对动态规划后来发展有着重要意义的基础性观点，并且对明晰动态规划路径的数
数字三角形 一：问题描述 7 3 8 8 1 0 2 7 4 4 4 5 2 6 5 上图给出了一个数字三角形。从三角形的顶部到底部有很多条不同的路径。对于每条路径，把路径上面的数加起来可以得到一个和，和最大的路径称为最佳路径。你的任务就是求出最佳路径上的数字之和。 注意：路径上的每一步只能从一个数走到下一层上和它最近的左边的数或者右边的数。 输入数据： 输入的第一行是一个整数 N (1 < N <= 100)，给出三角形的行数。下面的 N 行给出数字三角形。数字三角形上的数的范围都在 0和 100之间。 输出要求 输出最大的和。 输入样例 5 7 3 8 8 1 0 2 7 4 4 4 5 2 6 5 输出样例 30 解题思路 这道题目可以用递归的方法解决。基本思路是： 以 D( r, j)表示第 r行第 j 个数字(r，j都从 1开始算 ) 以 MaxSum(r, j) 代表从第 r 行的第 j 个数字到底边的最佳路径的数字之和，则本题是要求 MaxSum(1, 1) 。 从某个 D(r, j)出发，显然下一步只能走 D(r+1, j)或者 D(r+1, j+1)。如果
走 D(r+1, j)，那么得到的 MaxSum(r, j)就是 MaxSum(r+1, j) + D(r, j)；如果 走 D(r+1, j+1)，那得到的 MaxSum(r, j)就是 MaxSum(r+1, j+1) + D(r, j)。 所以，选择往哪里走，就看 MaxSum(r+1, j)和 MaxSum(r+1, j+1)哪个更大了。程序如下： 上面的程序，效率非常低，在 N值并不大，比如 N=100的时候，就慢得几乎永远算不出结果了。为什么会这样呢？是因为过多的重复计算。我们不妨将
行测图形形式数字推理知识点储备 一、考情分析 图形形式数字推理是在数列形式数字推理基础上演变而成的新题型。其变化情况相对有限，难度略低于数列形式数字推理。它主要考查图形中数字之间的运算关系。 二、基本概念 (一)表格形式数字推理 表格形式数字推理的题干是一个表格。表格的显著特点是被分成了几行、几列，其中的数字推理规律也是关于每行或每列几个数字的运算关系或表格中数字表现出的整体规律。 1.行间规律 行间运算规律是指每行两个数字简单运算得到第三个数。主要有下面三种形式：(1)每行前两个数运算得到第三个数;(2)每行后两个数运算得到第一个数;(3)每行第一个数和第三个数运算得到中间数字。 2.列间规律 列间运算规律是指每列两个数字简单运算得到第三个数。主要有下面三种形式： 3.整体规律 整体运算规律是指表格中的数字按某种方式排列可构成一个简单的数列。主要有下面四种形式： (二)圆圈形式数字推理 圆圈形式数字推理的题干通常是几个带有数字的圆圈，圆圈的形式有两种。第一种，将一个圆圈分成了上、下、左、右4部分，其中的数字推理规律通常是将这4个数字分为两组，然后每组经过一种运算，最后得到相同的
结果。且在题干几个图形中，这种数字的分组和运算方式都是相同的。第二种，将一个圆圈分成5个部分，四周4个数字、中心1个数字，其中的数字推理规律通常是四周4个数字通过某种运算得到中心数字。且在题干几个图形中，这种运算方式是相同的。带中心数字的圆圈中，数字在运算过程中，通常也要进行分组，这是两种圆圈形式数字推理之间的联系。 (三)三角形式数字推理 三角形数字推理的题干是几个带数字的三角形，三角形的三个角上各有一个数字(后面的叙述中称为顶角数字、左底角数字、右底角数字)，此外还有一个中心数字。这和带中心数字的圆圈形式数字推理很类似。其中的数字推理规律是三个角上的数字运算得到中心数字。和带中心数字的圆圈形式数字推理相比，由于少一个数字，变化的方式就少了很多，难度相对较低。 三、例题精讲
1.如图2-1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P、Q两点移动的过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值． 知识点一（等腰三角形的存在性问题） 【知识梳理】 如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况． 已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线． 解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快． 几何法一般分三步：分类、画图、计算． 代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验． 【例题精讲】 例1.如图1-1，在平面直角坐标系xOy中，已知点D的坐标为(3, 4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标． 图1-1 【解析】分三种情况讨论等腰三角形△DOP：①DO＝DP，②OD＝OP，③PO＝PD． ①当DO＝DP时，以D为圆心、DO为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P，此时点D在OP的垂直平分线上，所以点P的坐标为(6, 0)（如图1-2）． ②当OD＝OP＝5时，以O为圆心、OD为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P(5, 0) （如图1-3）．
③当PO＝PD时，画OD的垂直平分线与x轴的正半轴交于点P，设垂足为E（如图1-4）． 在Rt△OPE中， 3 cos 5 OE DOP OP ∠==， 5 2 OE=，所以 25 6 OP=． 此时点P的坐标为 25 (,0) 6 ． 图1-2 图1-3 图1-4 上面是几何法的解题过程，我们可以看到，画图可以帮助我们快速找到目标P，其中①和②画好图就知道答案了，只需要对③进行计算． 代数法先设点P的坐标为(x, 0)，其中x＞0，然后罗列△DOP的三边长（的平方）． DO2＝52，OP2＝x2，PD2＝(x－3)2+42． ①当DO＝DP时，52＝(x－3)2+42．解得x＝6，或x＝0． 当x＝0时既不符合点P在x轴的正半轴上，也不存在△DOP． ②当OD＝OP时，52＝x2．解得x＝±5．当x＝－5时等腰三角形DOP是存在的，但是点P此时不在x轴的正半轴上（如图1-5）． ③当PO＝PD时，x2＝(x－3)2+42．这是一个一元一次方程，有唯一解，它的几何意义是两条直线（x轴和OD的垂直平分线）有且只有一个交点． 代数法不需要画三种情况的示意图，但是计算量比较大，而且要进行检验． 图1-5 【课堂练习】 1.如图2-1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P、Q两点移动的过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值．
动态规划讲解大全 动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。1957年出版了他的名著Dynamic Programming，这是该领域的第一本著作。 动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。 虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划(如线性规划、非线性规划)，只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。 动态规划程序设计是对解最优化问题的一种途径、一种方法，而不是一种特殊算法。不象前面所述的那些搜索或数值计算那样，具有一个标准的数学表达式和明确清晰的解题方法。动态规划程序设计往往是针对一种最优化问题，由于各种问题的性质不同，确定最优解的条件也互不相同，因而动态规划的设计方法对不同的问题，有各具特色的解题方法，而不存在一种万能的动态规划算法，可以解决各类最优化问题。因此读者在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，必须具体问题具体分析处理，以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。我们也可以通过对若干有代表性的问题的动态规划算法进行分析、讨论，逐渐学会并掌握这一设计方法。 基本模型 多阶段决策过程的最优化问题。 在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。当然，各个阶段决策的选取不是任意确定的，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展，当各个阶段决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线，如图所示：（看词条图） 这种把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题就称为多阶段决策问题。 记忆化搜索 给你一个数字三角形, 形式如下: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 找出从第一层到最后一层的一条路,使得所经过的权值之和最小或者最大. 无论对与新手还是老手，这都是再熟悉不过的题了，很容易地，我们写出状态转移方程：f(i, j)=a[i, j] + min{f(i+1, j)，f(i+1, j + 1)} 对于动态规划算法解决这个问题，我们根据状态转移方程和状态转移方向，比较容易地写出动态规划的循环表示方法。但是，当状态和转移非常复杂的时候，也许写出循环式的动态规划就不是那么
（易错题精选）初中数学三角形难题汇编附答案 一、选择题 1．如图，直线a b ∥，点A 、B 分别在直线a 、b 上，145∠?＝，若点C 在直线b 上，105BAC ∠?＝，且直线a 和b 的距离为3，则线段AC 的长度为（ ） A ．32 B ．33 C ．3 D ．6 【答案】D 【解析】 【分析】 过C 作CD ⊥直线a ，根据30°角所对直角边等于斜边的一半即可得到结论． 【详解】 过C 作CD ⊥直线a ，∴∠ADC =90°． ∵∠1=45°，∠BAC =105°，∴∠DAC =30°． ∵CD =3，∴AC =2CD =6． 故选D ． 【点睛】 本题考查了平行线间的距离，含30°角的直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键． 2．△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，最小边BC ＝4cm ，则最长边AB 的长为( )cm A ．6 B ．8 C 5 D ．5 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知条件结合三角形的内角和定理求出三角形中角的度数，然后根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可. 【详解】 设∠A ＝x ， 则∠B ＝2x ，∠C ＝3x ， 由三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C ＝x+2x+3x ＝180°， 解得x ＝30°，
即∠A＝30°，∠C＝3×30°＝90°， 此三角形为直角三角形， 故AB＝2BC＝2×4＝8cm， 故选B． 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握“直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半”是解题的关键. 3．如图,已知△ABD和△ACD关于直线AD对称；在射线AD上取点E,连接BE, CE,如图:在射线AD上取点F连接BF, CF,如图,依此规律，第n个图形中全等三角形的对数是（） A．n B．2n-1 C． (1) 2 n n D．3(n+1) 【答案】C 【解析】 【分析】 根据条件可得图1中△ABD≌△ACD有1对三角形全等；图2中可证出△ABD≌△ACD， △BDE≌△CDE，△ABE≌△ACE有3对全等三角形；图3中有6对全等三角形，根据数据可分析出第n个图形中全等三角形的对数． 【详解】 ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD=∠CAD. 在△ABD与△ACD中， AB=AC， ∠BAD=∠CAD， AD=AD， ∴△ABD≌△ACD. ∴图1中有1对三角形全等； 同理图2中,△ABE≌△ACE， ∴BE=EC， ∵△ABD≌△ACD. ∴BD=CD， 又DE=DE， ∴△BDE≌△CDE， ∴图2中有3对三角形全等； 同理：图3中有6对三角形全等；
三角形中的三角函数问题 一、引言 （一）本节的地位：运用正弦定理、余弦定理解三角形是高考的考查内容，高考考纲中就明确提出要加强对正、余弦定理的考查． （二）考纲要求：通过本节的学习掌握正弦定理、余弦定理；并能够应用正弦定理、余弦定理解决问题；同时在运用两个定理解决一些实际问题的过程中，要学会用数学的思维方式去解决问题，增强应用意识；注意数形结合和代数思想方法的运用，不断提高分析问题和解决问题的能力． （三）考情分析：应用正弦定理、余弦定理解三角形、求值、求参数范围、恒等变形与其它知识交汇等．对数形结合、函数与方程思想、分类与整合思想、转化与化归等重要思想重点考查． 二、考点梳理 1．正弦定理:在ABC ?中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，R 为ABC ?的外接圆的半径，则有 2sin sin sin a b c R A B C ===． 变形应用:::sin :sin :sin a b c A B C =；2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =． 2．余弦定理：在ABC ?中，有2 2 2 2cos a b c bc A =+-， 2222cos b a c ac B =+-；2222cos c a b ab C =+-． 变形应用:如222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2b a c C ba +-= 222 cos 2a c b B ac +-= ． 3．三角形的有关公式： （1）射影公式如：cos cos a b C c B =+． （2）三角形面积公式：1111 sin sin sin 2222 a S ah a b C a c B cb A ?= ===． 4．熟练掌握下列知识对解三角形有帮助： （1）sin()sin A B C +=；cos()cos A B C +=-；sin cos 22 A B C +=等． （2）三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；等角对等边，大边对大角， 大角对大边． （3）在ABC ?中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若2 2 2 a b c +=，则90C =?； 若2 2 2 a b c +>，则90C ?． 三、典型问题选讲 例1．（1）在ABC ? 中，sin :sin :sin 21)A B C =，则角A 度数是 。 （2）在△ABC 中，A ，B ，C 所对边长分别为a 、b 、c ，且3 π =A ，b c + ，则)6 sin(π + B 的 值是 。 （3）在锐角三角形ABC 中，若B=2A ，则 a b 的取值范围是_________________。 （4）△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,△ABC 的外接圆半径为3,且满足 B C A B C sin sin sin 2cos cos -= ,
数字和几何图形 结合数字?1?，我们画了一个圆，学习数字2，画了一个圆，中间一分为二。学生也可以尝试画太极图。学习数字3，把圆三等分或圆里画个三角形，数字4，四等分圆，数字5，画了圆里的五角星，或者把圆五等分，或者画五边形。数字6，在圆里画了六角形，七角形比较难画。我在黑板上演示给学生看，学生目睹我画的过程，发出一片赞叹声。我说如果有学生愿意挑战自己，可以周末在家里试试。全班只有一位孩子尝试了七角形。我想七角形那么难画，学到8，我最初没有打算画八角形，结果有孩子问：?怎么不画八角形了？?这一问，激励我继续带孩子们画八角形。 我们还练习把长方形四等分、六等分、九等分，九等分即九宫格。不过练习长方形的几等分，灵感来自邱振中的《愉快的书法——进入书法的24个练习》，书中有这样的练习题，给定的二条平行横线，请在二条线之间画一条横线、二条横线、三条横线等。我觉得有了事先给定的二条横线做参考，再练习画横线，会容易一些。于是我让孩子以小黑板的边框作为参考，把小黑板四等分、六等分——。这既可以理解为形线画，横竖线的练习，也可以作为空间几何的练习，还可以作为写汉字的预备，练好横竖线，有益写好字。 毕竟是一年级的学生，画圆只能画个大概的模样，但通过练习他们知道如何把圆八等分。一位家长告诉我：?孩子过生日那天，有8个人，一块圆蛋糕怎么切，可以分给8个人？没有想到在场的三个孩子异口同声的说：‘我们知道！’。?学以致用，给这位家长留下了深刻的印象。这让我也暗自惊奇，教几等分的时候一点没有想到实际的应用。
结合冬至节，孩子们画光芒四射的太阳，在太阳的圆形上先找八个均匀分布的点。然后画出8条射线，8条射线之间可以再增加一条射线，这样画出的太阳，周边的光芒是均匀分布的。 讲到数字?3?，我发了三根棉签，让学生们拼出尽可能多的对称图形。以后每介绍一个数字，都会给他们相应数字的棉签，让学生拼对称图形。这时特别能够感受到班级人数多的好处，可以互相启发。我把他们拼出的图形画在黑板上，供大家参考。 我们还用12根棉签拼三角形、正方形、长方形，最后拼出一个圆。开始孩子们拼的是多边形，有一个孩子最先发现把12根棉签如时钟的12个小时所指，变成中心一个小圆，然后放射出12条?射线?。射线的端点连起来的话，也是一个圆。 我们在本子上画三角形、菱形、正方形和长方形，画了六角形和八角形后，再用剪刀剪下来。 一些学生画圆有困难，我就用棋子和宝石让他们拼出圆形。比如10个白棋子、10个黑棋子和4个宝石，拼出一个圆形。这也涉及到黑白棋子如何对称分布，四个宝石放在什么位臵上，使得拼出的圆形从色彩上看也是对称的。 我还让学生在小黑板上画九宫格，然后在第一个格子里放一个小石子，第二个格子放2个小石子，直到第九个格子放九个小石子。每
《算法设计》课程报告 课题名称：算法设计 课题负责人名（学号）： -- 同组成员名单（角色）： -- 指导教师： --- 评阅成绩： 评阅意见： 提交报告时间：2014年 6 月 17 日
三角形问题 计算机科学与技术专业 学生-- 指导老师--- [题目描述] 给定一个由n 行数字组成的数字三角形，如下图所示。试设计一个算法，计算出从三角形的顶到底的一条路径，使该路径经过 的数字总和最大。 7 3 8 8 1 0 2 7 4 4 4 5 2 6 5 编程任务：对于给定的由n 行数字组成的数字三角形，编程计算从三角形的顶到底的路径经过的数字和的最大值。 数据输入：由文件input.txt 提供输入数据。文件的第 1 行是数字三 角形的行数n，1≤n≤100。接下来n 行是数字三角形各行中的数字。所有数字在0~99 之间。 结果输出：程序运行结束时，将计算结果输出到文件output.txt 中。 文件第 1 行中的数是计算出的最大值。 输入文件示例输出文件示例 Input.txt output.txt 5 30 7 3 8
8 1 0 2 7 4 4 4 5 2 6 5 [关键词] 数字三角形数字和路径
[算法分析] 采用分治算法自底向上递推即可，二维数组v存放输入的三角形序列，二维数组submax[i][j]保存第i层第j列的所有子树的值，很容易得出递推式为submax[i][j]=v[i][j]+ max{submax[i+1][j],submax[i+1][j+1]}; 递推得到的submax[1][1]即为所求最大值 时间复杂度为O(n^2) 空间复杂度为O(n^2) [程序实现] #include
动态规划与递推——动态规划是最优化算法 动态规划的实质是分治和解决冗余，因此动态规划也是递归思想的应用之一。但是，动态规划和递归法还是有区别的。一般我们在实际应用中遇到的问题主要分为四类：判定性问题、构造性问题、计数问题和最优化问题。动态规划是解决最优化问题的有效途径，而递推法在处理判定性问题和计数问题方面是一把利器。下面分别就两个例子，谈一下递推法和动态规划在这两个方面的联系。 [例13]模四最优路径问题 在下图中找出从第1点到第4点的一条路径，要求路径长度mod 4的余数最小。 这个图是一个多段图，而且是一个特殊的多段图。虽然这个图的形式比一般的多段图要简单，但是这个最优路径问题却不能用动态规划来做。因为一条从第1点到第4点的最优路径，在它走到第2点、第3点时，路径长度mod 4的余数不一定是最小，也就是说最优策略的子策略不一定最优——这个问题不满足最优化原理。 但是我们可以把它转换成判定性问题，用递推法来解决。判断从第1点到第k点的长度mod 4为s k的路径是否存在，用f k(s k)来表示，则递推公式如下：
边界条件为 这里len k,i表示从第k-1点到第k点之间的第i条边的长度，方括号表示“或(or)”运算。最后的结果就是可以使f4(s4)值为真的最小的s4值。 这个递推法的递推公式和动态规划的规划方程非常相似，我们在这里借用了动态规划的符号也就是为了更清楚地显示这一点。其实它们的思想也是非常相像的，可以说是递推法借用了动态规划的思想解决了动态规划不能解决的问题。 有的多阶段决策问题（像这一题的阶段特征就很明显），由于不能满足最优化原理等使用动态规划的先决条件，而无法应用动态规划。在这时可以将最优指标函数的值当作“状态”放到下标中去，从而变最优化问题为判定性问题，再借用动态规划的思想，用递推法来解决问题。 [例14]钉子与小球(NOI'99) 有一个三角形木板,竖直立放，上面钉着n(n+1)/2颗钉子，还有(n+1)个格子（当n=5时如下图a）。每颗钉子和周围的钉子的距离都等于d，每个格子的宽度也都等于d，且除了最左端和最右端的格子外每个格子都正对着最下面一排钉子的间隙。
问题描述： 给定一个由n行数字组成的数字三角形如下图所示。(第n行有n个数字)试设计一个算法，计算出从三角形的顶至底的一条路径， 使该路径经过的数字总和最大。对于给定的由n行数字组成的数字三角形，编程计算从三角形的顶至底的路径经过的数字和的最大值。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数据输入： 输入的第1行是数字三角形的行数n，1≤n≤100。接下来n行是数字三角形各行中的数字。所有数字在0..99之间，第n行有n个数字。 数据输出： 输出的第1行中的数是计算出的最大值。 输入示例： 5 7 3 8 8 1 0 2 7 4 4 4 5 2 6 5 输出示例： 30 代码： //三角路径求最大值 #define MAXN 100 #define LOCAL int a[MAXN][MAXN]; int b[MAXN][MAXN]; voidlujing(){ //如果定义了LOCAL就执行文件重定向 #ifdef LOCAL freopen("data.in","r",stdin); freopen("data.out","w",stdout); #endif
intn,i,j; scanf("%d",&n);//输入行数 for(i= 0 ;i
/*数字塔-数字三角形问题-动态规划算法练习 功能：给定一个由N行数字组成的数字三角形，计算出从三角形的顶至底的一条路径，使该路径经过的数字总和最大，以及路径。 作者：猪来投胎 时间：2012-7-10 */ #include 初二数学三角形测试题目总结 初二数学三角形测试题 一、填空 1、(1)全等三角形的_________和_________相等； (2)两个三角形全等的判定方法有:______________________________； 另外两个直角三角形全等的判定方法还可以用：_______； (3)如右图，已知AB=DE，∠B=∠E， 若要使△ABC≌△DEF，那么还要需要一个条件， 这个条件可以是：_____________，理由是：_____________； 这个条件也可以是：_____________，理由是：_____________； (4) 如右图，已知∠B=∠D=90°，，若要使△ABC≌△ABD，那么还要需要一个条件， 这个条件可以是：_____________，理由是：_____________； 这个条件也可以是：_____________，理由是：_____________； 这个条件还可以是_____________，理由是：_____________； 2．如图5，⊿ABC≌⊿ADE，若∠B=40°，∠EAB=80°， ∠C=45°，则∠EAC= ，∠D= ，∠DAC= 。 3．如图6，已知AB=CD，AD=BC，则≌，≌。 4．如图7，已知∠1=∠2，AB⊥AC，BD⊥CD，则图中全等三角形 有 _____________； 5．如图8，若AO=OB，∠1=∠2，加上条件，则有ΔAOC≌ΔBOC。 7、如图,在一小水库的两测有A、B两点，A、B间的距离不能直接测得，采用方法如下：取一点可以同时到达A、B的点C，连结AC并延长到D，使AC=DC；同法，连结BC并延长到E，使BC=EC；这样，只要测量CD的长度，就可以得到A、B的距离了，这是为什么呢？根据以上的描述，请画出图形，并写出已知、求证、证明。 利用JavaScript输出数字三角形 1 1 2 1 1 2 3 2 1 1 2 3 4 3 2 1 1 2 3 4 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 7 6 5 4 3 2 1 解体思路：先输出一个梯形的星星，再去掉左边的三角形， i 191 1 2 1102 1 2 3 2 1113 1 2 3 4 3 2 1124 1 2 3 4 5 4 3 2 1135 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1146 1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1157 1 2 3 4 5 6 7 8 7 6 5 4 3 2 1168 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 7 6 5 4 3 2 1179 星星的个数为i+8 星星梯形的代码如下 for(var i=1;i<=9;i++){ for(var j=1;j<=i+8;j++){ document.write("* "); } document.write(""); } 效果如下 下面我们需要去掉左边的三角形 i：12345678 9 空格：876543210 可知，空格数等于9-i 代码如下： for(var i=1;i<=9;i++){ for(var j=1;j<=i+8;j++){ if(j<=9-i){ document.write(" "); }else{ document.write("* "); } } document.write(""); } 效果如下 数字三角形问题描述： 有一个形式如下的数字三角形： 7 3 8 8 1 0 2 7 7 4 4 5 2 6 5 从三角形顶点，沿左斜线方向或右斜线方向下降到三角形底边的路线是一条合法路径。 例如，图中用红色标出的路径就是合法的；我们可以将这条路径记为“LLRL”，它经过了7,3,8,7,5这5个数字，它们的和是30。 请编写一个程序，求解一条合法路径，使这条路径上经过的各数字的总和最大，并把这个最大的总和以及你的路径输出出来。如果路径不止一条，则优先选择向左走。 分析： 问题可以看成如下： 7 3 8 8 1 0 2 7 4 4 4 5 2 6 5 编写一个程序计算从顶至底的某处的一条路径，使该路径所经过的数字的总和最大。每一步可沿直线向下或右斜线向下走。 （由上至下编号） 1、最优子结构：从下往上看，最底层到底n-1 层的最优解包含最底层到底n 层的最优解。 2、重叠子问题：要求得从最底层到n 层的解需求的从最低层到n-1 层的解 3、由以上两个性质，本题最适合用动态规划解 4、状态转移方程： res[i-1][j] = max{(array[i-1][j] + res[i][j]),(array[i-1][j] + res[i][j+1]} 说明：res：结果数组。表示第i层第j个数字到最低端的最优解。 程序代码如下：（c++） [cpp]view plaincopy 1.#include 人教版初中数学三角形难题汇编含答案 一、选择题 1．如图，已知A ,D,B,E在同一条直线上，且AD = BE, AC = DF,补充下列其中一个条件后，不一定能得到△ABC≌△DEF 的是（） A．BC = EF B．AC//DF C．∠C = ∠F D．∠BAC = ∠EDF 【答案】C 【解析】 【分析】 根据全等三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】 ∵BE＝CF， ∴BE＋EC＝EC＋CF， 即BC＝EF，且AC = DF， ∴当BC = EF时，满足SSS，可以判定△ABC≌△DEF； 当AC//DF时，∠A=∠EDF，满足SAS，可以判定△ABC≌△DEF； 当∠C = ∠F时，为SSA，不能判定△ABC≌△DEF； 当∠BAC = ∠EDF时，满足SAS，可以判定△ABC≌△DEF， 故选C. 【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL． 2．AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．S△ABC=7， DE=2，AB=4，则AC长是（） A．4 B．3 C．6 D．2 【答案】B 【解析】 首先由角平分线的性质可知DF=DE=2，然后由S △ABC =S △ABD +S △ACD 及三角形的面积公式得出结果． 【详解】 解：AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线， ∠EAD=∠FAD DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ， ∴DF=DE ， 又∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ，DE=2，AB=4， 11742222 AC ∴=??+?? ∴AC=3. 故答案为：B 【点睛】 本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质、灵活运用所学知识是解题的关键. 3．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，D 、E 分别是AB 、AC 上一点，且AD ＝AE ，连接DE 并延长交BC 的延长线于点F ，若DF ＝BD ，则∠A 的度数为（ ） A ．30 B ．36 C ．45 D ．72 【答案】B 【解析】 【分析】 由CA=CB ，可以设∠A=∠B=x ．想办法构建方程即可解决问题； 【详解】 解：∵CA=CB ， ∴∠A=∠B ，设∠A=∠B=x ． ∵DF=DB ， ∴∠B=∠F=x ， ∵AD=AE ， ∴∠ADE=∠AED=∠B+∠F=2x ， ∴x+2x+2x=180°， ∴x=36°， 故选B ． “贾宪三角”——中国的帕斯卡三角形 中国的数学发展到宋元时期，终于走到了它的高峰。在这个数学创新的黄金时期中，各种数学成果层出不穷，令人目不暇接。其中特别引人注目的，当首推北宋数学家贾宪创制的“贾宪三角”了。 由于史书没有贾宪的传记，所以我们今天对这位数学家的生平事迹已经无法搞清楚了。只知道他曾经当过宋代”左班殿直”的小官，是当时天文数学家楚衍的学生，还写过两部数学著作，可惜这两部著作现在都失传了。幸亏南宋数学家杨辉在他的书中引述了贾宪的许多数学思想资料，才使我们今天得以了解贾宪在数学上的重大贡献。 贾宪最著名的数学成就，是他创制了一幅数字图式，即“开方作法本源图”（见下图）。这幅图现见于杨辉的书中，但杨辉在引用了这幅图后特意说明：“贾宪用此术”。所以过去我国数学界把这幅图称为“杨辉三角”，实际上是不妥当的，应该称为“贾宪三角”才最为 图1-6-1开方作法本源图 用现代的数学术语来说，这幅“开方作法本源图”实际上是一个指数为正整数的二项式定理系数表。稍懂代数的读者都知道： 如果把以上式子中等号右边的各个系数排列起来，则可得： 这正好与“开方作法本源图”上的数字完全相符。 这样一种二项式系数的展开规律，在西方数学史上被称为“帕斯卡三角形”。帕斯卡是法国数学家，他是在１６５４年所著的书中给出类似于贾宪“开方作法本源图”的数字三角形表的（见图1-6-1）。其实在欧洲，类似的数字三角形也并非帕斯卡最先发明，只是开始没有广泛流传罢了。西方最古的此类数字三角形，可以上溯到1527年；但与贾宪的这个图相比，已经晚了四百多年。因此我们完全有理由把这项中国人最先发明的数学成果称为“贾宪三角”而载人史册。 不仅如此，贾宪的这个图还蕴含了图中数字的产生规律。细心的读者也许已经发现，这个三角形的两条斜边都是由数字１所组成的，而其他的数都等于它肩上的两个数相加。按此规律，这个数字三角形可以写到任意多层；也就是说，二项式任意正整次幂的系数展开都可以按照这个图很容易地得到。 动态规划算法介绍——概念、意义及应用、例题(2012-05-14 21:54:37)转载▼标签：杂谈 动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。1957年出版了他的名著Dynamic Programming，这是该领域的第一本著作。 动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。 虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划(如线性规划、非线性规划)，只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。 动态规划程序设计是对解最优化问题的一种途径、一种方法，而不是一种特殊算法。不象前面所述的那些搜索或数值计算那样，具有一个标准的数学表达式和明确清晰的解题方法。动态规划程序设计往往是针对一种最优化问题，由于各种问题的性质不同，确定最优解的条件也互不相同，因而动态规划的设计方法对不同的问题，有各具特色的解题方法，而不存在一种万能的动态规划算法，可以解决各类最优化问题。因此读者在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，必须具体问题具体分析处理，以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。我们也可以通过对若干有代表性的问题的动态规划算法进行分析、讨论，逐渐学会并掌握这一设计方法。 基本模型 多阶段决策过程的最优化问题。 在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。当然，各个阶段决策的选取不是任意确定的，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展，当各个阶段决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线，如图所示：（看词条图） 这种把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题就称为多阶段决策问题。 记忆化搜索 给你一个数字三角形, 形式如下: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 找出从第一层到最后一层的一条路,使得所经过的权值之和最小或者最大. 无论对与新手还是老手，这都是再熟悉不过的题了，很容易地，我们写出状态转移方程：f(i, j)=a[i, j] + min{f(i+1, j)，f(i+1, j + 1)} 对于动态规划算法解决这个问题，我们根据状态转移方程和状态转移方向，比较容易地写出动态规划的循环表示方法。但是，当状态和转移非常复杂的时候，也许写出循环式的动态规划就不是那么简单了。初二数学三角形难题汇总
数字三角形(循环输出图形_javascript)
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“贾宪三角”——中国的帕斯卡三角形
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