算法与分析课程设计报告
题目：数字三角问题专业：
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太原工业学院计算机工程系
2012年11 月21 日
一、算法问题描述
给定一个由n行数字组成的数字三角形。试设计一个算法，计算出从三角形的顶至底的一条路径，使该路径经过的数字总和最大。
二、算法问题形式化表示
对于给定的由n行数字组成的数字三角形，编程计算从三角形的顶至底的路径经过的数字和的最大值。
三、期望输入与输出
期望输入：第一行输入数字三角形的行数n，1≤n≤100。接下来n行是数字三角形各行中的数字，所有数字在0~99之间。
期望输出：输出的数是计算出来的最大值。
四、算法分析与步骤描述
最优子结构：从下往上看，最底层到底 n-1 层的最优解包含最底层到底 n 层的最优解；重叠子问题：要求得从最底层到 n 层的解需求的从最低层到 n-1 层的解；由以上两个性质，本题最适合用动态规划解；状态转移方程：res[i-1][j] = max{(array[i-1][j] + res[i][j]),(array[i-1][j+1] + res[i][j])}说明：。array：原数组，res：结果数组。表示第i层第j个数字到最低端的最优解五、问题实例及算法运算步骤
如一个n=4的数字三角形，
5
4 6
8 5 1
3 5 7 2
找一条路径从数字三角形的顶点到底边，是走过路径的数字之和最大。
采用自底向上的递归计算，从n-1行逐次向上递加，舍去一个较小的，最
后只剩顶点和最后一行，即可求出做经过路径的最大值。
六、算法运行截图
七、算法复杂度分析
外层循环用时n，内层用时1、2、。。。。、n，
故总用时1+2+3+。。。。+n=（1+n）*n/2=O（n^2)。
动态规划算法原理及其应用研究 系别：x x x 姓名：x x x 指导教员： x x x 2012年5月20日
摘要：动态规划是解决最优化问题的基本方法，本文介绍了动态规划的基本思想和基本步骤，并通过几个实例的分析，研究了利用动态规划设计算法的具体途径。关键词：动态规划多阶段决策 1.引言 规划问题的最终目的就是确定各决策变量的取值，以使目标函数达到极大或极小。在线性规划和非线性规划中，决策变量都是以集合的形式被一次性处理的；然而，有时我们也会面对决策变量需分期、分批处理的多阶段决策问题。所谓多阶段决策问题是指这样一类活动过程：它可以分解为若干个互相联系的阶段，在每一阶段分别对应着一组可供选取的决策集合；即构成过程的每个阶段都需要进行一次决策的决策问题。将各个阶段的决策综合起来构成一个决策序列，称为一个策略。显然，由于各个阶段选取的决策不同，对应整个过程可以有一系列不同的策略。当过程采取某个具体策略时，相应可以得到一个确定的效果，采取不同的策略，就会得到不同的效果。多阶段的决策问题，就是要在所有可能采取的策略中选取一个最优的策略，以便得到最佳的效果。动态规划是一种求解多阶段决策问题的系统技术，可以说它横跨整个规划领域（线性规划和非线性规划）。在多阶段决策问题中，有些问题对阶段的划分具有明显的时序性，动态规划的“动态”二字也由此而得名。动态规划的主要创始人是美国数学家贝尔曼（Bellman）。20世纪40年代末50年代初，当时在兰德公司（Rand Corporation）从事研究工作的贝尔曼首先提出了动态规划的概念。1957年贝尔曼发表了数篇研究论文，并出版了他的第一部著作《动态规划》。该著作成为了当时唯一的进一步研究和应用动态规划的理论源泉。在贝尔曼及其助手们致力于发展和推广这一技术的同时，其他一些学者也对动态规划的发展做出了重大的贡献，其中最值得一提的是爱尔思（Aris）和梅特顿（Mitten）。爱尔思先后于1961年和1964年出版了两部关于动态规划的著作，并于1964年同尼母霍思尔（Nemhauser）、威尔德（Wild）一道创建了处理分枝、循环性多阶段决策系统的一般性理论。梅特顿提出了许多对动态规划后来发展有着重要意义的基础性观点，并且对明晰动态规划路径的数
解题技巧专题：共顶点的等腰三角形 ——形成精准思维模式，快速解题 ◆类型一共顶点的等腰直角三角形 1．如图，已知△ABC和△DBE均为等腰直角三角形． (1)求证：AD＝CE； (2)猜想：AD和CE是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只要写出结论，不用写理由． 2．如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB＝CD，延长CA 至点E，使AE＝AC，延长CB至点F，使BF＝BC.连接BD，AD，AF，DF，EF.延长DB 交EF于点N.求证： (1)AF＝AD； (2)EF＝BD. ◆类型二共顶点的等边三角形
3．如图，△APB与△CDP是两个全等的等边三角形，且P A⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC＝15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直．其中正确的有() A．0个B．1个C．2个D．3个 第3题图第4题图 4．如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，BD，交于点O，则∠AOB的度数为________． 5．如图①，等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE. (1)△DBC和△EAC全等吗？请说明理由； (2)试说明AE∥BC的理由； (3)如图②，将(1)中动点D运动到边BA的延长线上，其他条件不变，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想． 参考答案与解析
1．(1)证明：∵△ABC 和△DBE 均为等腰直角三角形，∴AB ＝BC ，BD ＝BE ，∠ABC ＝∠DBE ＝90°，∴∠ABC －∠DBC ＝∠DBE －∠DBC ，即∠ABD ＝∠CBE ，∴△ABD ≌△CBE ，∴AD ＝CE . (2)解：垂直．理由如下：延长AD 分别交BC 和CE 于G 和F .由(1)知△ABD ≌△CBE ，∴∠BAD ＝∠BCE .∵∠BAD ＋∠ABC ＋∠BGA ＝∠BCE ＋∠AFC ＋∠CGF ＝180°，∠BGA ＝∠CGF ，∴∠AFC ＝∠ABC ＝90°，∴AD ⊥CE . 2．证明：(1)∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴∠ABF ＝180°－∠ABC ＝135°，∠ACD ＝∠ACB ＋∠BCD ＝135°，∴∠ABF ＝∠ACD .∵CB ＝CD ，CB ＝BF ，∴BF ＝CD ，∴△ABF ≌△ACD (SAS)，∴AF ＝AD . (2)由(1)知△ABF ≌△ACD ，AF ＝AD ，∴∠F AB ＝∠DAC .∵∠BAC ＝∠BAD ＋∠DAC ＝90°，∠EAB ＝∠EAF ＋∠F AB ＝90°，∴∠EAF ＝∠BAD .∵AE ＝AC ，AB ＝AC ，∴AE ＝AB ，∴△AEF ≌△ABD (SAS)，∴EF ＝BD . 3．D 4．120° 解析：设AC 与BD 交于点H .∵△ACD ，△BCE 都是等边三角形，∴CD ＝CA ，CB ＝CE ，∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠ACD ＋∠ACB ＝∠BCE ＋∠ACB ，即∠DCB ＝∠ACE ，∴△DCB ≌△ACE ，∴∠CDB ＝∠CAE .∵∠DCH ＋∠CHD ＋∠BDC ＝180°，∠AOH ＋∠AHO ＋∠CAE ＝180°，∠DHC ＝∠OHA ，∴∠AOH ＝∠DCH ＝60°，∴∠AOB ＝180°－∠AOH ＝120°. 5．解：(1)△DBC 和△EAC 全等．理由如下：∵△ABC 和△EDC 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠ACB ＝60°，∠DCE ＝60°，∴∠BCD ＝60°－∠ACD ，∠ACE ＝60°－∠ACD ， ∴∠BCD ＝∠ACE .在△DBC 和△EAC 中，∵?????BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，DC ＝EC ， ∴△DBC ≌△EAC (SAS)． (2)由(1)知△DBC ≌△EAC ，∴∠EAC ＝∠B ＝60°.又∵∠ACB ＝60°，∴∠EAC ＝∠ACB ，∴AE ∥BC . (3)仍有AE ∥BC .证明如下：∵△ABC ，△EDC 为等边三角形，∴BC ＝AC ，DC ＝CE ，∠BCA ＝∠DCE ＝60°，∴∠BCA ＋∠ACD ＝∠DCE ＋∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE .在△DBC 和△EAC 中，∵?????BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，CD ＝CE ， ∴△DBC ≌△EAC (SAS)，∴∠EAC ＝∠B ＝60°.又 ∵∠ACB ＝60°，∴∠EAC ＝∠ACB ，∴AE ∥BC .
数字三角形 一：问题描述 7 3 8 8 1 0 2 7 4 4 4 5 2 6 5 上图给出了一个数字三角形。从三角形的顶部到底部有很多条不同的路径。对于每条路径，把路径上面的数加起来可以得到一个和，和最大的路径称为最佳路径。你的任务就是求出最佳路径上的数字之和。 注意：路径上的每一步只能从一个数走到下一层上和它最近的左边的数或者右边的数。 输入数据： 输入的第一行是一个整数 N (1 < N <= 100)，给出三角形的行数。下面的 N 行给出数字三角形。数字三角形上的数的范围都在 0和 100之间。 输出要求 输出最大的和。 输入样例 5 7 3 8 8 1 0 2 7 4 4 4 5 2 6 5 输出样例 30 解题思路 这道题目可以用递归的方法解决。基本思路是： 以 D( r, j)表示第 r行第 j 个数字(r，j都从 1开始算 ) 以 MaxSum(r, j) 代表从第 r 行的第 j 个数字到底边的最佳路径的数字之和，则本题是要求 MaxSum(1, 1) 。 从某个 D(r, j)出发，显然下一步只能走 D(r+1, j)或者 D(r+1, j+1)。如果
走 D(r+1, j)，那么得到的 MaxSum(r, j)就是 MaxSum(r+1, j) + D(r, j)；如果 走 D(r+1, j+1)，那得到的 MaxSum(r, j)就是 MaxSum(r+1, j+1) + D(r, j)。 所以，选择往哪里走，就看 MaxSum(r+1, j)和 MaxSum(r+1, j+1)哪个更大了。程序如下： 上面的程序，效率非常低，在 N值并不大，比如 N=100的时候，就慢得几乎永远算不出结果了。为什么会这样呢？是因为过多的重复计算。我们不妨将
1.如图2-1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P、Q两点移动的过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值． 知识点一（等腰三角形的存在性问题） 【知识梳理】 如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况． 已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线． 解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快． 几何法一般分三步：分类、画图、计算． 代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验． 【例题精讲】 例1.如图1-1，在平面直角坐标系xOy中，已知点D的坐标为(3, 4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标． 图1-1 【解析】分三种情况讨论等腰三角形△DOP：①DO＝DP，②OD＝OP，③PO＝PD． ①当DO＝DP时，以D为圆心、DO为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P，此时点D在OP的垂直平分线上，所以点P的坐标为(6, 0)（如图1-2）． ②当OD＝OP＝5时，以O为圆心、OD为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P(5, 0) （如图1-3）．
③当PO＝PD时，画OD的垂直平分线与x轴的正半轴交于点P，设垂足为E（如图1-4）． 在Rt△OPE中， 3 cos 5 OE DOP OP ∠==， 5 2 OE=，所以 25 6 OP=． 此时点P的坐标为 25 (,0) 6 ． 图1-2 图1-3 图1-4 上面是几何法的解题过程，我们可以看到，画图可以帮助我们快速找到目标P，其中①和②画好图就知道答案了，只需要对③进行计算． 代数法先设点P的坐标为(x, 0)，其中x＞0，然后罗列△DOP的三边长（的平方）． DO2＝52，OP2＝x2，PD2＝(x－3)2+42． ①当DO＝DP时，52＝(x－3)2+42．解得x＝6，或x＝0． 当x＝0时既不符合点P在x轴的正半轴上，也不存在△DOP． ②当OD＝OP时，52＝x2．解得x＝±5．当x＝－5时等腰三角形DOP是存在的，但是点P此时不在x轴的正半轴上（如图1-5）． ③当PO＝PD时，x2＝(x－3)2+42．这是一个一元一次方程，有唯一解，它的几何意义是两条直线（x轴和OD的垂直平分线）有且只有一个交点． 代数法不需要画三种情况的示意图，但是计算量比较大，而且要进行检验． 图1-5 【课堂练习】 1.如图2-1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P、Q两点移动的过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值．
专题化学符号周围数字的 意义 Prepared on 21 November 2021
2、化合价的应用 依据：在化合物中，正、负化合价的代数和为零。 ⑴根据化学式判断元素的化合价；例如：高锰酸钾（KMnO4）中钾的化合价为+1价，则锰元素的化合价是 ___________。H2O2中氧元素的化合价为_____价。 ⑵根据元素的化合价推求实际存在物质的化学式。 ⑶检验化学式的正误。 3、元素化合价的一般规律 （1）氢元素的化合价通常显+1价，氧元素的化合价显-2价。 （2）在化合物中，正、负化合价的代数和为零。 （3）在单质中元素的化合价为零。 4、牢记常见元素的化合价： 5、常见根（原子团）的化合价 原子团的化合价就是组成该原 子团的各元素的化合价的代数和。如氢氧根的化合价 6、原子结构、化合价及离子的关系（以氧和镁为例） 五、化学符号周围数字的意义： 1、符号（化学式、元素符号、离子符号）前的数字只表示粒子（分子、原子、离子）个数。 通式为：mX──表示m个X分子、原子或离子。 例：①2H──2个氢原子；【元素符号前面的数字只表示原子的个数】注意：千万别理解为两个氢元素。元素是宏观概念，只讲种类，不讲个数。 ②2H2O?──2个水分子；【化学式前面的数字只表示分子的个数】 ③2Mg2+──2个镁离子；【离子符号前面的数字只表示离子的个数】
④2SO42-──2个硫酸根离子；【离子符号(原子团)前面的数字只表示离子的个数】 2、符号右下角的数字只表示一个（或每个）粒子中某元素原子的个数或原子团的个数。 通式为：X m──表示一个X分子（或原子团）中原子的个数为m． 例：①H2──１个氢分子由2个氢原子构成；【化学式中元素右下角的数字只表示一个分子中所含原子的个数】②2H2O──每个水分子由2个氢原子和1个氧原子构成；【前面的2只表示2个水分子，化学式中元素符号右下角的2和省略的1则表示在这2个水分子中，每一个水分子中所含的氢原子和氧原子的个数】 ③SO4──１个硫酸根原子团中含有１个硫原子和４个氧原子；【原子团中元素符号右下角的数字只表示１个原子团中原子的个数】 注意：原子团只是化合物的组成部分，不能把原子团符号当成化学式。3、元素符号右上角的数字只表示离子所带的电荷。 通式为：X m+──表示一个X离子带m个单位的正（或负）电荷． 例：①Mg2+──１个镁离子带2个单位的正电荷； ②2SO42-──每个硫酸根离子带2个单位的负电荷；（不要理解为两个硫酸根离子带两个单位的负电荷） 4、元素符号正上方的数字只表示某物质中元素或原子团的化合价。例：──氧化镁中，镁元素的化合价为+2； 5、原子结构示意图和粒子结构示意图中数字的意义 （1）弧线上的数字表示：某原子（离子）核外第几电子层上有个电子。 （2）圆圈内的数字表示：某原子（离子）原子核中有几个带正电的质子。 考点练习 1．（2013.鞍山市）依据国家相关法
各类等腰三角形难题 例1. 在⊿ABC中,AB=AC,且∠A=20°,在为AB上 一点,AD=BC,连接CD. 试求:∠BDC的度数. 分析:题中出现相等的线段,以此为突破口,构造 全等三角形. 解:作∠DAE=∠B=80°,使AE=BA,(点D,E在AC两侧) 连接DE,CE. ∵AE=BA;AD=BC;∠DAE=∠B. ∴⊿DAE≌⊿CBA(SAS),DE=AE;∠DEA=∠BAC=20°. ∠CAE=∠BAE-∠BAC=60°,又AE=AB=AC. ∴⊿AEC为等边三角形,DE=CE;∠DEC=∠AEC-∠DEA=40°. 则:∠CDE=70°;又∠ADE=80°.故∠ADC=150°,∠BDC=30°. 例2.已知,如图:⊿ABC中,AB=AC,∠BAC=20°. 点D和E分别在AB,AC上,且∠BCD=50°,∠CBE=60°. 试求∠DEB的度数.
本题貌似简单,其实不然. 解:过点E作BC的平行线,交AB于F,连接CF交BE于点 G,连接DG.易知⊿GEF,⊿GBC均为等边三角形. ∴∠FEG=∠EFG=60°;∠AFG=140°,∠DFG=40°; ∵∠BCG=50°;∠CBD=60°. ∴∠BDC=50°=∠BCD,则BD=BC=BG;又∠ABE=20°. 故∠BGD=80°,∠DGF=180°-∠BGD-∠FGE=40°. 即∠DGF=∠DFG,DF=DG;又EG=EF;DE=DE. ∴⊿DGE≌⊿DFE(SSS),得:∠DEG=∠DEF=30°. 所以,∠DEB=30°. 例3.已知,等腰⊿ABC中,AB=AC,∠BAC=20°,D和E分 别为 AB和AC上的点,且∠ABE=10°,∠ACD=20°. 试求:∠DEB的度数. 本题相对于上面两道来说,难度又增加了许多.且看我下面的解答.
动态规划讲解大全 动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。1957年出版了他的名著Dynamic Programming，这是该领域的第一本著作。 动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。 虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划(如线性规划、非线性规划)，只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。 动态规划程序设计是对解最优化问题的一种途径、一种方法，而不是一种特殊算法。不象前面所述的那些搜索或数值计算那样，具有一个标准的数学表达式和明确清晰的解题方法。动态规划程序设计往往是针对一种最优化问题，由于各种问题的性质不同，确定最优解的条件也互不相同，因而动态规划的设计方法对不同的问题，有各具特色的解题方法，而不存在一种万能的动态规划算法，可以解决各类最优化问题。因此读者在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，必须具体问题具体分析处理，以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。我们也可以通过对若干有代表性的问题的动态规划算法进行分析、讨论，逐渐学会并掌握这一设计方法。 基本模型 多阶段决策过程的最优化问题。 在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。当然，各个阶段决策的选取不是任意确定的，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展，当各个阶段决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线，如图所示：（看词条图） 这种把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题就称为多阶段决策问题。 记忆化搜索 给你一个数字三角形, 形式如下: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 找出从第一层到最后一层的一条路,使得所经过的权值之和最小或者最大. 无论对与新手还是老手，这都是再熟悉不过的题了，很容易地，我们写出状态转移方程：f(i, j)=a[i, j] + min{f(i+1, j)，f(i+1, j + 1)} 对于动态规划算法解决这个问题，我们根据状态转移方程和状态转移方向，比较容易地写出动态规划的循环表示方法。但是，当状态和转移非常复杂的时候，也许写出循环式的动态规划就不是那么
（易错题精选）初中数学三角形难题汇编附答案 一、选择题 1．如图，直线a b ∥，点A 、B 分别在直线a 、b 上，145∠?＝，若点C 在直线b 上，105BAC ∠?＝，且直线a 和b 的距离为3，则线段AC 的长度为（ ） A ．32 B ．33 C ．3 D ．6 【答案】D 【解析】 【分析】 过C 作CD ⊥直线a ，根据30°角所对直角边等于斜边的一半即可得到结论． 【详解】 过C 作CD ⊥直线a ，∴∠ADC =90°． ∵∠1=45°，∠BAC =105°，∴∠DAC =30°． ∵CD =3，∴AC =2CD =6． 故选D ． 【点睛】 本题考查了平行线间的距离，含30°角的直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键． 2．△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，最小边BC ＝4cm ，则最长边AB 的长为( )cm A ．6 B ．8 C 5 D ．5 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知条件结合三角形的内角和定理求出三角形中角的度数，然后根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可. 【详解】 设∠A ＝x ， 则∠B ＝2x ，∠C ＝3x ， 由三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C ＝x+2x+3x ＝180°， 解得x ＝30°，
即∠A＝30°，∠C＝3×30°＝90°， 此三角形为直角三角形， 故AB＝2BC＝2×4＝8cm， 故选B． 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握“直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半”是解题的关键. 3．如图,已知△ABD和△ACD关于直线AD对称；在射线AD上取点E,连接BE, CE,如图:在射线AD上取点F连接BF, CF,如图,依此规律，第n个图形中全等三角形的对数是（） A．n B．2n-1 C． (1) 2 n n D．3(n+1) 【答案】C 【解析】 【分析】 根据条件可得图1中△ABD≌△ACD有1对三角形全等；图2中可证出△ABD≌△ACD， △BDE≌△CDE，△ABE≌△ACE有3对全等三角形；图3中有6对全等三角形，根据数据可分析出第n个图形中全等三角形的对数． 【详解】 ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD=∠CAD. 在△ABD与△ACD中， AB=AC， ∠BAD=∠CAD， AD=AD， ∴△ABD≌△ACD. ∴图1中有1对三角形全等； 同理图2中,△ABE≌△ACE， ∴BE=EC， ∵△ABD≌△ACD. ∴BD=CD， 又DE=DE， ∴△BDE≌△CDE， ∴图2中有3对三角形全等； 同理：图3中有6对三角形全等；
化学符号及其周围数字的意义 【知识点的认识】化学符号及其周围数字的意义分别是指元素符号、化学式和离子符号等及其周围的四种数字所表示的含义．具体内容如下： 1．元素符号宏观上表示元素，微观上表示该元素的一个原子．例如，H既表示氢元素，还表示一个氢原子；另外，还有一种特殊情况；那就是，部分元素符号还能表示由它所组成的物质等；不过，这些物质必须是由原子构成的才行．实际上，此时元素符号所表示的物质意义，其实是该元素符号的兼职身份（即该物质的化学式）所表示的意义．也就是说，由原子构成的物质的化学式就是组成该物质的元素的元素符号，因此，这类元素符号所表示的意义也就不只是那两个基本意义了；它还能表示物质及其组成或构成等．例如，Fe除了表示铁元素和一个铁原子以外，还能表示铁这种物质、铁是由铁元素组成的、铁是由铁原子构成的等． 2．化学式宏观上表示物质及其组成，微观上表示该物质的构成．如果构成该物质的粒子是原子，那么它还能表示元素和一个该原子；如果构成该物质的粒子是分子，它除了表示一个该分子外，还表示该分子的构成；等等．当然，有时根据物质的化学式，结合所给的原子的相对原子质量，还能计算出该物质的相对分子质量、其中的元素质量比或某元素的质量分数，等等．具体的表述是这样的：（1）由原子构成的物质的化学式的意义，以铁（Fe）为例，它除了表示铁这种物质、铁由铁元素组成、铁由铁原子构成以外，还能表示铁元素和一个
铁原子，等等．（2）由分子构成的物质的化学式的意义，以水（H2O）为例，如图所示：另外，根据水的化学式（H2O）还可以计算出：①水的相对分子质量是18；②水中氢元素与氧元素的质量比是1：8； ③水中氢元素的质量分数是11.11%，氧元素的是88.89%；等等．（3）由离子构成的物质的化学式的意义，以氯化钠（NaCl）为例，它既表示氯化钠这种物质，又表示氯化钠由钠元素和氯元素组成，还表示氯化钠由钠离子和氯离子构成，等等． 3．离子符号整体上表示一个该离子，右上角表示一个该离子带几个单位的正或负电荷． 4．四种数字的含义是这样的：（1）化学符号前面的数字，表示微粒的个数．例如，2H2表示2个氢分子；2H表示两个氢原子，2H+表示两个氢离子，等等．（2）化学符号右下角的数字，表示一个该微粒中所含该原子的数目．例如，H2表示一个氢分子中含有二个氢原子；SO4表示一个硫酸根中含有四个氧原子；等等．（3）化学符号右上角的数字，表示一个该离子所带的电荷数．例如，H+表示一个氢离子带一个单位的正电荷；SO42-表示一个硫酸根离子带二个单位的负电荷；等等．（4）化学符号正上方的数字，表示在该化合物里该元素或原子团所显的化合价．例如，H2O-2表示在水中氧元素显-2价；NaOH-1表示在氢氧化钠中氢氧根显-1价；等等．
三角形中的三角函数问题 一、引言 （一）本节的地位：运用正弦定理、余弦定理解三角形是高考的考查内容，高考考纲中就明确提出要加强对正、余弦定理的考查． （二）考纲要求：通过本节的学习掌握正弦定理、余弦定理；并能够应用正弦定理、余弦定理解决问题；同时在运用两个定理解决一些实际问题的过程中，要学会用数学的思维方式去解决问题，增强应用意识；注意数形结合和代数思想方法的运用，不断提高分析问题和解决问题的能力． （三）考情分析：应用正弦定理、余弦定理解三角形、求值、求参数范围、恒等变形与其它知识交汇等．对数形结合、函数与方程思想、分类与整合思想、转化与化归等重要思想重点考查． 二、考点梳理 1．正弦定理:在ABC ?中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，R 为ABC ?的外接圆的半径，则有 2sin sin sin a b c R A B C ===． 变形应用:::sin :sin :sin a b c A B C =；2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =． 2．余弦定理：在ABC ?中，有2 2 2 2cos a b c bc A =+-， 2222cos b a c ac B =+-；2222cos c a b ab C =+-． 变形应用:如222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2b a c C ba +-= 222 cos 2a c b B ac +-= ． 3．三角形的有关公式： （1）射影公式如：cos cos a b C c B =+． （2）三角形面积公式：1111 sin sin sin 2222 a S ah a b C a c B cb A ?= ===． 4．熟练掌握下列知识对解三角形有帮助： （1）sin()sin A B C +=；cos()cos A B C +=-；sin cos 22 A B C +=等． （2）三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；等角对等边，大边对大角， 大角对大边． （3）在ABC ?中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若2 2 2 a b c +=，则90C =?； 若2 2 2 a b c +>，则90C ?． 三、典型问题选讲 例1．（1）在ABC ? 中，sin :sin :sin 21)A B C =，则角A 度数是 。 （2）在△ABC 中，A ，B ，C 所对边长分别为a 、b 、c ，且3 π =A ，b c + ，则)6 sin(π + B 的 值是 。 （3）在锐角三角形ABC 中，若B=2A ，则 a b 的取值范围是_________________。 （4）△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,△ABC 的外接圆半径为3,且满足 B C A B C sin sin sin 2cos cos -= ,
化学符号及化学符号中数字的意义分层训练 A组 1.用化学符号表示： 两个氧分子两个氢分子两个氮分子两个氯分子 两个氧原子两个氢原子两个氯原子两个氮原子 两个氯离子两个氧离子两个氢离子两个铁离子 两个亚铁离子两个铵根离子两个钠离子 氢单质氢单质氢单质氢单质 +2价铜元素-2价硫元素 2.写出下列符号表示的意义： +2 Mg ；2Cl－； 3N2；4H2O ； Ca2+；2H ； 2SO42－；2OH－； 3.写出下列符号表示的意义： ⑴O2；⑵O2－； -2 ⑶O ；⑷2O ； ⑸2O2，。 4.判断下列化学用语中数字“2”的所表示的意义，将其序号填在相应的横线上： ①Cu2+②CO2③MgO ④2CO ⑤2NO3－⑥CO32－ ⑴表示分子或离子个数的是⑵表示元素化合价的是 ⑶表示每个分子中该原子个数的是⑷表示离子的电荷数的是。 5.关于“H2”表示的意义，下列说法中，错误的是（） A.表示氢气这种物质 B.表示2个氢原子 C.表示1个氢分子 D.表示1个氢分子里有2个氢原子 6.“2O”表示的化学意义正确的是（） A.两个氧分子 B.两种氧元素 C.两种氧原子 D.氧气
7.下列符号中，表示两个氢分子的是（） A.2H B.2H2 C.H2 D.H+ 8.符号“2Cl”表示（） A.两个氯元素 B.一个氯分子 C.两个氯分子 D.两个氯原子 9.下面关于“2”涵义的解释中，正确的是（） A.Mg2+中的“2”表示镁带有2个单位的正电荷 B.2H2O中的“2”表示水分子中有2个氢原子 C.H2SO4中的“2”表示一个硫酸分子中含有2个氢原子 -2 D.Al2(SO4)3中的“2”表示3个硫酸根的化合价为－2价 B组 10.下列符号中既能表示一种元素，又能表示该元素的一个原子，还能表示一种单质的是（） A.H2 B.CO C.Ar D.H 11.下面的符号中，既能表示一种元素，又能表示一种元素的一个原子，还能表示由一种元素组成的单质的是（） A.C B.Ar C.CO D.N 12.下面的符号中，既能表示一种元素，又能表示该元素的一个原子，还能表示由该元素组成的单质的是（） A.H B.O2 C.Mg D. S2－ 13.下列粒子中，能保持氢气化学性质的是（） A. +1 1 B.H+ C.H2 D.H2O 14.下列符号表示意义最少的是（） A.2Fe B.O2 C.CO2 D.H 15.下列化学符号表示的粒子在化学反应中不能再分的是（） A.H2 B.H C.H2O D.HgO 16.关于O2表示的意义有以下几种说法：①表示氧气这种物质；②表示氧元素；③表示2个氧原子；④表示1个氧分子；⑤表示1个氧分子由2个氧原子构成；⑥表示氧气是一种无色
北师版八年级数学下册 解题技巧专题：共顶点的等腰三角形 ——形成精准思维模式，快速解题 ◆类型一共顶点的等腰直角三角形 1．如图，已知△ABC和△DBE均为等腰直角三角形． (1)求证：AD＝CE； (2)猜想：AD和CE是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只要写出结论，不用写理由． 2．如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB＝CD，延长CA 至点E，使AE＝AC，延长CB至点F，使BF＝BC.连接BD，AD，AF，DF，EF.延长DB 交EF于点N.求证： (1)AF＝AD； (2)EF＝BD.
◆类型二共顶点的等边三角形 3．如图，△APB与△CDP是两个全等的等边三角形，且P A⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC＝15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直．其中正确的有() A．0个B．1个C．2个D．3个 第3题图第4题图 4．如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，BD，交于点O，则∠AOB的度数为________． 5．如图①，等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE. (1)△DBC和△EAC全等吗？请说明理由； (2)试说明AE∥BC的理由； (3)如图②，将(1)中动点D运动到边BA的延长线上，其他条件不变，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．
参考答案与解析 1．(1)证明：∵△ABC 和△DBE 均为等腰直角三角形，∴AB ＝BC ，BD ＝BE ，∠ABC ＝∠DBE ＝90°，∴∠ABC －∠DBC ＝∠DBE －∠DBC ，即∠ABD ＝∠CBE ，∴△ABD ≌△CBE ，∴AD ＝CE . (2)解：垂直．理由如下：延长AD 分别交BC 和CE 于G 和F .由(1)知△ABD ≌△CBE ，∴∠BAD ＝∠BCE .∵∠BAD ＋∠ABC ＋∠BGA ＝∠BCE ＋∠AFC ＋∠CGF ＝180°，∠BGA ＝∠CGF ，∴∠AFC ＝∠ABC ＝90°，∴AD ⊥CE . 2．证明：(1)∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴∠ABF ＝180°－∠ABC ＝135°，∠ACD ＝∠ACB ＋∠BCD ＝135°，∴∠ABF ＝∠ACD .∵CB ＝CD ，CB ＝BF ，∴BF ＝CD ，∴△ABF ≌△ACD (SAS)，∴AF ＝AD . (2)由(1)知△ABF ≌△ACD ，AF ＝AD ，∴∠F AB ＝∠DAC .∵∠BAC ＝∠BAD ＋∠DAC ＝90°，∠EAB ＝∠EAF ＋∠F AB ＝90°，∴∠EAF ＝∠BAD .∵AE ＝AC ，AB ＝AC ，∴AE ＝AB ，∴△AEF ≌△ABD (SAS)，∴EF ＝BD . 3．D 4．120° 解析：设AC 与BD 交于点H .∵△ACD ，△BCE 都是等边三角形，∴CD ＝CA ，CB ＝CE ，∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠ACD ＋∠ACB ＝∠BCE ＋∠ACB ，即∠DCB ＝∠ACE ，∴△DCB ≌△ACE ，∴∠CDB ＝∠CAE .∵∠DCH ＋∠CHD ＋∠BDC ＝180°，∠AOH ＋∠AHO ＋∠CAE ＝180°，∠DHC ＝∠OHA ，∴∠AOH ＝∠DCH ＝60°，∴∠AOB ＝180°－∠AOH ＝120°. 5．解：(1)△DBC 和△EAC 全等．理由如下：∵△ABC 和△EDC 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠ACB ＝60°，∠DCE ＝60°，∴∠BCD ＝60°－∠ACD ，∠ACE ＝60°－∠ACD ， ∴∠BCD ＝∠ACE .在△DBC 和△EAC 中，∵?????BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，DC ＝EC ， ∴△DBC ≌△EAC (SAS)． (2)由(1)知△DBC ≌△EAC ，∴∠EAC ＝∠B ＝60°.又∵∠ACB ＝60°，∴∠EAC ＝∠ACB ，∴AE ∥BC . (3)仍有AE ∥BC .证明如下：∵△ABC ，△EDC 为等边三角形，∴BC ＝AC ，DC ＝CE ，∠BCA ＝∠DCE ＝60°，∴∠BCA ＋∠ACD ＝∠DCE ＋∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE .在△DBC 和△EAC 中，∵?????BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，CD ＝CE ， ∴△DBC ≌△EAC (SAS)，∴∠EAC ＝∠B ＝60°.又 ∵∠ACB ＝60°，∴∠EAC ＝∠ACB ，∴AE ∥BC .
《算法设计》课程报告 课题名称：算法设计 课题负责人名（学号）： -- 同组成员名单（角色）： -- 指导教师： --- 评阅成绩： 评阅意见： 提交报告时间：2014年 6 月 17 日
三角形问题 计算机科学与技术专业 学生-- 指导老师--- [题目描述] 给定一个由n 行数字组成的数字三角形，如下图所示。试设计一个算法，计算出从三角形的顶到底的一条路径，使该路径经过 的数字总和最大。 7 3 8 8 1 0 2 7 4 4 4 5 2 6 5 编程任务：对于给定的由n 行数字组成的数字三角形，编程计算从三角形的顶到底的路径经过的数字和的最大值。 数据输入：由文件input.txt 提供输入数据。文件的第 1 行是数字三 角形的行数n，1≤n≤100。接下来n 行是数字三角形各行中的数字。所有数字在0~99 之间。 结果输出：程序运行结束时，将计算结果输出到文件output.txt 中。 文件第 1 行中的数是计算出的最大值。 输入文件示例输出文件示例 Input.txt output.txt 5 30 7 3 8
8 1 0 2 7 4 4 4 5 2 6 5 [关键词] 数字三角形数字和路径
[算法分析] 采用分治算法自底向上递推即可，二维数组v存放输入的三角形序列，二维数组submax[i][j]保存第i层第j列的所有子树的值，很容易得出递推式为submax[i][j]=v[i][j]+ max{submax[i+1][j],submax[i+1][j+1]}; 递推得到的submax[1][1]即为所求最大值 时间复杂度为O(n^2) 空间复杂度为O(n^2) [程序实现] #include
关于数字和标点符号的规范用法 一、规范使用数字 1．书写公历世纪、年代、年、月、日和时刻，应当使用阿拉伯数字。如:21世纪90年代公元前221年1949年10月1日10时30分。 注意以下四点: ①年份不能简写，如:1996年不能写作96年，1921—1971年不能写作1921—71年，“—”前的“年”可省；同一年某月至某月，前面的“月”可省；同月某日至某日，前面的“日”可省；某年月日至不同年月日，则“年”、“月”、“日”都不能省。 ②星期几一律用汉字。如:星期五。 ③农历和清代历史纪年用汉字。如:正月十五丁丑年四月十八日太平天国庚申十年九月二十四日(清咸丰十年九月二十日，公元1860年11月2日)。 ④中华民国纪年和日本年号纪年使用阿拉伯数字。如:民国38年昭和16年。 2．计数与计量(包括正负整数、分数、小数、百分比、约数等)，使用阿拉伯数字。 注意以下四点: ①不是出现在一组表示科学计量和统计意义数字中的一位数(一、二、……九) 可以用汉字。 ②4位和4位以上的数字，采用国际通行的三位分节法，节与节之间空半个阿拉伯数字的位置。 ③5位以上的数字，尾数零多的，可改写为以万、亿作单位的数，不能以百、千作单位，即不得阿拉伯数与汉字数混用。如:345000000公里，可写作3.45亿公里或34500万公里，但不能写作3亿4500万里或3亿4千5百万公里。 ④一个用阿拉伯数字书写的多位数不能移行。 3．数字作为词素构成定型的词、词组、惯用语、缩略语或具有修辞色彩的语句，应当使用汉字。如:一律十月革命某部五连二排六班“九五”期间白发三千丈十二分满意实现“四化”五省市。 注意:表示序数的数字要用汉字。如:第三中学、七O三研究所。
动态规划与递推——动态规划是最优化算法 动态规划的实质是分治和解决冗余，因此动态规划也是递归思想的应用之一。但是，动态规划和递归法还是有区别的。一般我们在实际应用中遇到的问题主要分为四类：判定性问题、构造性问题、计数问题和最优化问题。动态规划是解决最优化问题的有效途径，而递推法在处理判定性问题和计数问题方面是一把利器。下面分别就两个例子，谈一下递推法和动态规划在这两个方面的联系。 [例13]模四最优路径问题 在下图中找出从第1点到第4点的一条路径，要求路径长度mod 4的余数最小。 这个图是一个多段图，而且是一个特殊的多段图。虽然这个图的形式比一般的多段图要简单，但是这个最优路径问题却不能用动态规划来做。因为一条从第1点到第4点的最优路径，在它走到第2点、第3点时，路径长度mod 4的余数不一定是最小，也就是说最优策略的子策略不一定最优——这个问题不满足最优化原理。 但是我们可以把它转换成判定性问题，用递推法来解决。判断从第1点到第k点的长度mod 4为s k的路径是否存在，用f k(s k)来表示，则递推公式如下：
边界条件为 这里len k,i表示从第k-1点到第k点之间的第i条边的长度，方括号表示“或(or)”运算。最后的结果就是可以使f4(s4)值为真的最小的s4值。 这个递推法的递推公式和动态规划的规划方程非常相似，我们在这里借用了动态规划的符号也就是为了更清楚地显示这一点。其实它们的思想也是非常相像的，可以说是递推法借用了动态规划的思想解决了动态规划不能解决的问题。 有的多阶段决策问题（像这一题的阶段特征就很明显），由于不能满足最优化原理等使用动态规划的先决条件，而无法应用动态规划。在这时可以将最优指标函数的值当作“状态”放到下标中去，从而变最优化问题为判定性问题，再借用动态规划的思想，用递推法来解决问题。 [例14]钉子与小球(NOI'99) 有一个三角形木板,竖直立放，上面钉着n(n+1)/2颗钉子，还有(n+1)个格子（当n=5时如下图a）。每颗钉子和周围的钉子的距离都等于d，每个格子的宽度也都等于d，且除了最左端和最右端的格子外每个格子都正对着最下面一排钉子的间隙。
解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法 ——形成精准思维模式，快速解题 ◆类型一利用“三线合一”作辅助线 一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线) 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE于点E，且∠ABE＝∠ABC.若BE＝2，则BC ＝________. 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF.求证：DE＝DF. 3．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，E是AD上一点，且EA＝EC，连接EB.求证：EB⊥AB. 二、构造等腰三角形
4．如图，在△ABC中，BP平分∠BAC，且AP⊥BP于点P，连接CP.若△PBC的面积为2，则△ABC的面积为() A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E.求证：BD＝2CE. ◆类型二巧用等腰直角三角形构造全等 6．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上．求证：DE＝DF. ◆类型三等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：BC
＝AB＋CD. 8．如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，且P A＝CQ，连接PQ交AC于点D. (1)求证：PD＝DQ； (2)若△ABC的边长为1，求DE的长．【方法8】 参考答案与解析 1．4 2．证明：连接AD.∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠EAD＝∠F AD.在△AED和△AFD