数学美欣赏
(内容选自《数学美拾趣》、《数学聊斋》和《直观几何》)
课程简介了解数学的趣味性，初步懂得数学在理论和实际中的应用，欣赏数学的绚丽多彩的艺术世界.
学习要求
1. 用U盘复制电子讲稿，并打印.
2. 课后认真阅读讲稿.
3. 适当安排若干次课堂独立作业. 做课堂作业时, 允许参考本讲稿, 可以摘录讲稿内容.
考核要求
1. 进行期中考试和期末考试，均为开卷.
2. 期末总评成绩=期中考试成绩×50%+期末考试成绩×50%.
3. 期中考试、期末考试和课堂独立作业中没有任何计算题和证明题，也没有填空题和选择题, 题型均为问答题.
第1讲
第1章数学的简洁性
序言
著名科学家伽利略说过：“数学是上帝用来书写宇宙的文字”.
简洁本身就是一种美，而数学的首要特点在于它的简洁.
数学家莫德尔说：在数学美的各个属性中，首先要推崇的大概是简单性了.
自然界原本就是简洁的：
光是沿直线方向传播的——这是光传播的最捷路线.
植物的叶序排布是植物叶子通风、采光最佳的布局.
某些攀缘植物如藤类，它们绕着攀依物螺旋式的向上生长，它们所选的螺线形状对于植物上攀路径来讲是最节省的.
大雁迁徙时排成的人字形，一边与其飞行方向夹角是 ，从空气动力学角度看，这个角度对于大雁队伍飞行是54448'''
最佳的，即阻力最小(顺便一提：金刚石晶体中也蕴含这种
角度).
，这种比值
的分支导流系统经流体动力学研究表明，它在输导液体时能量消耗最少.
生物学家和数学家们(如著名科学家开普勒、数学家列厄木、柯尼希等)在研究蜂房构造时发现：在体积一定的条件下，蜂房的构造是最省材料的.
这些最佳、最好、最省、……的事实，来自生物的进化与自然选择，然而它同时展现了自然界的简洁，而且也展现了自然界的和谐. 宇宙万物如此，数学，它作为用来描述宇宙的文字和工具也应当是简洁与和谐的.
诗人但丁曾赞美道：“圆是最美的图形”．太阳是圆的、满月是圆的、水珠看上去(投影)是圆的、……，圆的线条明快、简练、对称.
近代数学研究还发现圆的等周极值性质：在周长给定的封闭图形中，圆所围的面积最大.
无论是古人，还是今人，人们对圆有着特殊亲切的情感，都因为圆的简洁美.
数学中人们对于简洁的追求是永无止境的：建立公理体系时，人们试图找出最少的几条(抛弃任何多余的赘物)；对命题的证明，人们力求严谨、简练(因而人们对某些命题的证明在不断地改进)；对计算的方法，人们要求尽量便捷、明快(因而人们不断地在探索计算方法的创新)，……，数学拒绝繁冗.
正如牛顿所说：数学家不但更容易接受漂亮的结果，不喜欢丑陋的结论，而且他们也非常推崇优美与雅致的证明，而不喜欢笨拙与繁复的推理.
数学大师欧拉曾研究过天平砝码最优(少)配置问题，并且证明了：若有1，2，2
2，3
2， (2)
克的砝码，只允许其放
在天平的一端，利用它们可称出1——()
1
1
2
2122
221n n
n +--=+++++ 之间
的任何整数克重物体的重量.
例如，当3n =时，我们有4个砝码：1克，2克，2
2克和3
2克，
即1克，2克，4克和8克. 利用它们，我们可称出1克——31
21
+-克
(即15克)之间的任何整数克重物体的重量, 即可称出1克，
2克, 3
克, …, 15克的重量. 这由下表可以明白.
这个问题其实与数的二进制有关. 进而，欧拉还证明了(它与数的三进制有关)：有1，3，2
3，3
3， (3)
克重的砝码，
允许其放在天平两端， 利用它们可以称出
1
----
()
1
1
2
3
1
3
3
3312
n n
n +--=+++++ 之间任何整数克重物体的重量.
例如，当2n =时，我们有3个砝码：1克，3克和2
3克，即1克，
3
克和9克. 利用它们，我们可称出1克——
21
3
1
2
+-克(即13克)之
间的任何整数克重物体的重量, 即可称出1克, 2克, 3克, …,
13
克的重量. 这由下表可以明白.
以上两个事实是“以少应付多”的典范，这也是数学简洁
性使然. 下面的所谓“省刻度尺问题”, 尽管人们尚未对此得出一般结论，但目前仅有的结果也足以使人倍感兴趣：
一根6cm 长的尺子，只须刻上两个刻度(在1cm 和4cm 处)，就可量出1cm ——6cm 之间任何整数厘米长的物体长，即可量出1cm ，2cm ，3cm ，4cm ，5cm 和6cm 的长度(下简称“完全度量”).
若用a b →表示从a 量到b 的话，那么具体度量如下：
1
(01→)，2(46→)，3(14→)，4(04→)，5(16→)，6(06→).
一根13cm 的尺子，只须在1cm ，4cm ，5cm 和11cm 四处刻上刻度，便可完成1——13cm 的完全度量. 具体度量如下：
1
(01→), 2(1113→), 3(14→), 4(04→), 5(05→), 6(511→), 7
(411→), 8(513→), 9(413→), 10(111→), 11(011→), 12(113→), 13
(013→).
对于22cm的尺子，只须刻上六个刻度，即在：1cm，2cm，3cm，8cm，13cm和18cm；或者1cm，4cm，5cm，12cm，14cm 和20cm处刻上刻度，可完成1——22cm的完全度量.
对于23cm的尺子来讲，也只须六个刻度：1cm，4cm，10cm，16cm，18cm和21cm，便可完成1——23cm的完全度量.
一根36cm的尺子，只须在1cm，3cm，6cm，13cm，20cm，27cm，31cm和35cm处刻上八个刻度，便可完成1cm——36cm 的完全度量.
对于40cm的尺子，刻上九个刻度：1cm，2cm，3cm，4cm，10cm，17cm，24cm，29cm和35cm，即可完成1——40cm 的完全度量.
这类问题与应用数学中所谓最优化方法有关，这门学科的核心是最省、最好(对效益讲是最大).
用“少”去表现“多”，或者求极大、极小等，均是数学简洁性的另类表现. 比如“植树问题”. 英国数学家、物理学家牛顿曾经很喜欢下面一类题目：9棵树栽9行，每行栽3棵，如何栽? 乍看此题似乎无解，其实不然，看了左下图(图中黑点表示树的位置，下同)，你会恍然大悟！
牛顿还发现：9棵树每行栽3棵，可栽行数的最大值不是9，而是10，见右上图. 左下图给出10棵树，栽10行，每行栽3棵的栽法.
其实，10棵树，每行栽3棵，可栽的最多行数也不是10，而是12，见右上图.
英国数学家、逻辑学家道奇生在其童话名著《艾丽丝漫游仙境》中也提出下面一道植树问题：10棵树，栽成5行，每行栽4棵，如何栽? 此题答案据说有300种之多，下面诸图给出了其中的几种.
十九世纪末，英国的数学游戏大师杜登尼在其所著《520个趣味数学难题》中也提出了下面的问题：16棵树，栽成15行，
每行栽4棵，如何栽? 杜登尼的答案见左下图.
美国趣味数学大师山姆·洛伊德曾花费大量精力研究“20棵树，每行栽4棵，至多可栽多少行”，他给出了可栽18行的答案，见右下图.
几年前人们借助于电子计算机给出了上述问题可栽20行的最佳方案，见左下图.
稍后曾见报载，国内有人给出可栽21行的方案(右上图)，然而严格的验证工作恐非易事——这些点是否真的共线?
既便结论无误，但它是否是可栽的最多行数，人们尚不得而知.
在英国数学家薛尔维斯特在临终前几年(1893年)提出了一个貌似简单的问题：对于在平面上不全共线的任意n个点，总可以找到一条直线，使其仅过其中的两个点.
直到1933年，人们才找到一个繁琐的证明. 此后，1944年、1948年又先后有人给出了证明. 1980年前后，《美国科学新闻》杂志重提旧事时，又一次向人们介绍了薛尔维斯特问题和凯利于1948年给出的证明.
我们很容易体会到：一个定理(或习题)证明(或解法)的简化，将认为是做了一件漂亮的工作，即它是美妙的. 由于简洁，数学语言(包括图形)不仅能描述世界上的万物，而且也能为世界上所有文明社会所接受和理解，甚至还将成为与其它星球上的居民(如果存在的话)交流思想的工具.
在为美国发射的在茫茫太空中去寻觅地球外文明的“先驱者号飞船”(探测器)征集所携带的礼物时，我国已故著名数学家华罗庚曾建议带上数学中用以表示勾股定理(毕达哥拉
斯定理)的简单、明快的数形图，它似乎应为宇宙所有文明生物所理解.
22
5
=
2
17
数学中的简洁性的例子是不胜枚举的：比如三角形，尽管它有千姿百态，但人们却可用
12S ah
=
(a 为底边长，h 为该边上高)
或海伦公式
S =
为三角形半周长)
去表达所有三角形的面积.
数学的简洁性系指其抽象性、概括性和统一性. 正是因为数学具有抽象性和统一性，因而其形式应当是简单的. 实现数学的简单性(抽象、统一)的重要手段是使用数学符号.
附录 有趣的数制
十进制数
543210
809306810000001000091000310001061
810010910310010610.
=?+?+?+?+?+?=?+?+?+?+?+?
210123562.4083510610210410010810310.
----
=?+?+?+?+?+?+
?
特点: 十进制数由十个数字0 1 2 3 4 5 6 7 8 9，，
，，，，，，，组成. 二进制数
4
3
2
1
110111212021212
=?+?+?+?+?.
3210
1
2
3
4
1110.11011212120212
12
02
12
----=?+?+?+?+?+?+?+?,
特点: 二进制数由两个数字0和1组成. 三进制数
4
3
2
1
1
2
3
12101.221132313031323
23
13
---=?+?+?+?+?+?+?+?.
特点: 三进制数由两个数字0,1和2组成. 前面讲过, 利用四个砝码: 1g , 2g
,
4g
, 8g , 可以称出1g —
—15g 的整数克重量. 把重量用二进制表示, 可以得到相应的
砝码组合方式.
用四个砝码1g ,
2g
, 4g ,
8g
可以称出1g ——15g 的整数克重量
前面还讲过, 利用三个砝码: 1g, 3g, 9g, 可以称出1g——13g的整数克重量(允许砝码放在天平的两个托盘中). 把重量用三进制表示, 可以得到相应的砝码组合方式. 下表中加下标3的数(如3101)表示三进制数, 不加下标3的数为十进制数.
用三个砝码1g, 3g, 9g可以称出1g——13g的整数克重量
1.1 数学符号
人总想给客观事物赋予某种意义和价值，利用符号认识新事物，研究新问题，从而使客观世界秩序化，这便创造了科学、技术、文化、艺术、……. 符号就是某种事物的代号，人们总是探索用简单的记号去表现复杂的事物，符号也正是这样产生的. 文字是表达事物的符号，一个语种就是一个“符号系统”. 这些符号的组合便是语言. 人们试图用“精密”的方法研究艺术，这在很大程度上依靠符号.
符号对于数学的发展来讲更是极为重要的，它可使人们摆脱数学自身的抽象与约束，集中精力于主要环节，这在事实上增加了人们的思维能力. 没有符号去表示数及其运算，数学的发展是不可想象的.
数学语言是困难的，但又是永恒的(纽曼语). 数是数学乃至科学的语言，符号则是记录、表达这些语言的文字. 正如没有文字，语言也难以发展一样，几乎每一个数学分支都是靠一种符号语言而生存，数学符号是贯穿于数学全部的支柱.
古代数学的漫长历程, 今日数学的飞速发展，十七世纪、十八世纪欧洲数学的兴起, 我国几千年数学发展进程的
缓慢，这些在某种程度上都归咎于数学符号的运用得当与否. 简练、方便的数学符号对于书写、运算、推理来讲，是何等重要! 反之，没有符号或符号不恰当、不简练，势必影响到数学的推理和演算. 然而，数学符号的产生、使用和流传却经历了一个十分漫长的过程. 在这个过程中，始终贯穿着人们对于自然、和谐与美的追求.
古埃及和我国一样，是世界上四大文明古国之一. 早在四千多年以前，埃及人已懂得了数学，在数的计算方面还会使用分数，不过, 他们用的是“单位分数”(分子是1的分数). 此外，他们还能计算直线形和圆的面积. 他们知道了圆周率约为3.16，同时也懂得了棱台和球的体积计算等. 可是，他们却是用下面的符号记数的：
这样书写和运算起来都不方便，比如写数2314，就要用符号
表示. 后来他们把符号作了简化而成为
古代巴比伦人(巴比伦即当今希腊一带地方)计数使用的是六十进制，当然它也有其优点，因为60有约数2，3，4，5，6，10，12，15，30，60等，这样，在计算分数时会带来某种方便(现在时间上的小时、分、秒制及角度制，仍是六十进制). 巴比伦人已经研究了二次方程和某些三次方程的解法，他们在公元前2000年就开始将楔形线条组成符号(称为楔形文字)，且将它们刻在泥板上，然后放到烈日下晒干以备保存. 同样，他们也是用楔形文字来表示数，无论是用来记录还是运算，都相对来说方便了许多.
我国在纸张没有发明以前，已经开始用算筹进行记数和运算了. 算筹是指计算时使用的小竹棍(或木棍、骨棍)，这也是世界上最早的计算工具. 用算筹表示数的方法是：
记数时, 个位用纵式，其余位纵横相间，故有“一纵十横，百立千僵”之说. 数字中有0时，将其位置空出，比如86021可表示为：
在甲骨文中，数字是用下面的符号表示的(形象、自如)：
码”的记数方法(方便、明快)：
在计数上欧洲人开始使用的是罗马数字：
阿拉伯数字据说是印度人发明的，后传入阿拉伯国家，
经阿拉伯人改进、使用，因其简便性而传遍整个世界，成为通用的记数符号.
我们再来看看方程用符号表示的历史(代数学的产生与方程研究关系甚密) . 在埃及出土的3600年前的莱因特纸草上有下面一串符号：
它既不是什么绘画艺术，也不是什么装饰图案，它表达的是
一个代数方程式，用今天的符号表示，即211137327x ??
+++= ???
. 宋、元时期我国也开始了相当于现代方程论的研究，当时记 数仍使用算筹. 在那时出现的数学著作中，就是用下图中的记号来表示二次三项式2
412136
x x -+的, 其中，x 的系数旁边注以
“元”字，常数项注以“太”字，筹上画斜线表示“负数”．
建筑中的数学美 【课题确定】数学是没有生命的，而当数学遇到建筑时就会有奇妙的化学反应，产生出意料之外的奇迹。古今中外，过去现在，世界上为人们所熟知的伟大建筑中，无不体现着数学的美。数学美和建筑美究竟是怎么摩擦出如此奇妙的火花？数学究竟为这些瑰丽堂皇的建筑注入了什么魔法？将我们如痴如醉？就让我们深入探究建筑中的数学美，体会数学在建筑中的表现形式。 【摘要】当我们徜徉在人类建筑的历史长廊中流连忘返的时候，怎不为将这粗陋简单的泥砖土瓦雕琢成传世永恒与辉煌的鬼斧神工所感动、所钦佩？但是，当我们在享受着这一件件艺术瑰宝带来的惠泽时，可曾想到这些宏大的建筑珍品里面隐藏着数学的奥秘？本文主要介绍了数学在古今中外建筑形式中的表现。 【关键词】古代现代中外数学之美建筑设计 【主体内容】 建筑是根据功能和美感的需求，对土地、材料和结构进行堆积与组合，比例决定着建筑中个体、局部与整体的数学关系，因此比例是建筑的核心和灵魂。比例在数学上并不具有美感，但“黄金分割”的比例分割之美在各种艺术作品都得到充分的展现。现代设计师仍然最常见地使用黄金分割法则构造着适用性和艺术性统一的新颖建筑。 一、古今中外建筑中的数学之美 1、中国古建筑 中国建筑，具有悠久的历史传统和光辉的成就。我国古代的建筑艺术也体现着数学美。而要体会到其中的数学美，除了需要理解建筑艺术的主要特征外，还要了解中国古代建筑艺术的一些重要特点，然后再通过比较典型的实例，进行具体的分析研究。 中国古代建筑的屋顶对建筑立面起着特别重要的作用。他那远远伸出的屋檐、富有弹性的屋檐曲线、由举架形成的稍有反曲的屋面、微微起翘的屋角（仰视屋角，角椽展开犹如鸟翅，故称“翼角”）以及硬山、悬山、歇山、庑殿、攒尖、十字脊、盝顶、重檐等众多屋顶形式的变化，加上灿烂夺目的琉璃瓦，使建筑物产生独特而强烈的视觉效果和艺术感染力。通过对屋顶进行种种组合，又使建筑物的体形和轮廓线变得愈加丰富。而从高空俯视，屋顶效果更好，也就是说中国建筑的“第五立面”是最具魅力的。 2、西方古建筑 古埃及时期的金字塔，建造者们从几何学选取元素，将一块块巨型石块一层一层叠置起来，最终组合成宏伟的金字塔；拜占庭时期的建筑师们将正方形、圆、立方体和带拱的半球等概念优雅地组合起来，就像他们在康士坦丁堡的索菲娅教堂里所运用的那样；文艺复兴时期的石建筑物，显示了一种在明暗和虚实等方面都堪称精美和文雅的对称。 3、现代建筑 随着新建筑材料的发现，适应于这些材料最大潜力发挥的新的数学思想也应运而生。用各种各样可以得到的建筑材料，诸如石头、木材、砖块合成材料等等，建筑师们能够设计出实质为任何形状的建筑物。在近代，我们能亲眼见到双曲抛物体形式的建筑物(旧金山圣玛丽大教堂)、抛物线型的机棚、模仿游牧部落帐篷的立体组合结构、支撑东京奥林匹克运动大厅的悬链线缆，以及带有椭圆顶天花板的八角形房屋，中国北京的奥林匹克运动会的主场馆鸟巢与水立方的遥相辉映等等。 4、未来建筑 随着科技的进步，人们想象中的未来建筑越来越有可能成为现实，虽然在现实中，我们还不能见到存在于想象中的建筑，但在游戏世界中未来建筑所组成的美妙画卷已展现在我们面前。通过游戏虚拟的世界，
欣赏数学美，创造数学美 ——《利用圆设计图案》教学案例与反思一、案例背景 本节课的主要目的是通过图案设计加深对圆的特征的认识。能力的培养是渗透在知识的教学之中进行的。在设计图案的过程中培养学生的观察能力、分析能力，促进学生空间想象能力的提升也是本课的主要目的之一。学生第一眼看到的是几个水滴形（也有学生称之为电风扇叶片）环绕在圆内，可能无法直达图形的本质，不能敏锐地发现每个水滴形是由三个大小不同的半圆组成的。教师有意识地引导学生思考：你看到了几个圆？它们的大小有什么联系？通过将组合图形分解为基本图形，理解图形的设计方法，并最终加深对圆的特征的理解──圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 二、教学案例 【片段一】准备部分 师：一个人的力量很有限，一群人的力量可以很强大；一个圆很单调，一堆圆会怎样呢？让我们一起去看一看吧。（课件出示图片） 师：构成这些图案的基本图形都是圆，你想用圆来设计一个美丽的图案吗？ 【片段二】新授部分 1、出示例题。 用圆可以设计出许多漂亮的图案。下面的图形就是用圆规和直尺一步一步画出来的。
2、探究画法。 师：请同学们拿出圆规和尺子在练习纸上试一试。 生尝试后，教师选择典型性错误在黑板上展示，引导学生分析错误原因。 师：这位同学遇到了什么困难？怎么帮助他？ 生：他画的圆太大了。 师：说明要完成图形，对圆的大小有要求。圆的大小由什么决定呢？ 生：半径。 师：请看屏幕，通过观察分解图，你能确定圆的半径吗？ 生：在圆内画一个最大的正方形，正方形的边长就是小圆的直径。 师：如何画出圆内的最大的正方形呢？ 师：可以以圆心为交点，画两条互相垂直的直径。这两条直径分别与圆相交，所形成的4个交点，就是正方形的四个顶点。（也可以把这个过程反过来，先画两条互相垂直的线段，再以垂足为圆心画圆，圆与两条垂线分别相交，连接4个交点，即可得到圆内最大的正方形。）
数学之美 数学是美丽的，哪里有数哪里就有美。数学的美不在于华丽的外表，不在于精致的妆容，而在于它的文化韵味，它丰富的知识、精巧的方法、博大的思想。爱美之心，人皆有之，在培根眼里一切绝妙的美都显示出奇异的均衡关系，海森堡则将各部分之间以及各部分与整体之间固有的和谐视为美的真谛。数学家阐述的语言虽然有所不同，但是归结起来可以这样说：数学的美表现在简单、对称、完备、统一和谐和奇异。 数学的美是无处不在的：数学家们对动植物的生长进行研究，发现总结了斐波那契数列；在美术艺术、建筑艺术中遵循的黄金比例；以及自然界中的分形几何等等，美好的事物中蕴藏着数学的奥妙。 作为数学教师，我们有义务也应该带领学生去领略数学的美，在小学阶段对数学美感的教育可以从以下几方面入手： 在教育教学中渗透数学的简洁概括之美，数学是研究自然科学的工具，它简洁、概括，生活中的许多问题都可以抽象成数学模型来解决。我们在小学阶段学习的公式、运算定律等，用简洁的字母，表示了复杂的数量关系，正是体现了数学的简洁之美。在教学中渗透数学之美，不仅可以培养学生的美感，而且可以帮助学生更好地理解和运用数学公式和定律。 在教育教学中还要渗透数学的和谐对称之美，自然界五颜六色的花朵，精致的蝴蝶，展现出的是对称的美，雄伟的帕特农神庙，埃及的金字塔还有许多的建筑都遵循着黄金比例，对称和黄金比例在服装、绘画、建筑等方面的运用正是数学美的又一体现。在图形的教学中让学生在欣赏美的过程中，提高感受美和创造美的能力。 最后在教学中还应渗透数学的严谨之美和对真理不懈追求的精神。数学是严谨的，但绝不是冰冷的，作为数学教师，我们不仅要向学生展示数学的原理和结论，更重要的是要带领学生经历探求这些原理和结论的过程。从祖冲之研究圆周率，到陈景润研究哥德巴赫猜想……让数学家走进学生的生活，用他们对数学的热爱，以及坚持不懈追求真理的精神来教育学生，培养学生正确的学习观和人生观。 伽里略说：数学是上帝用来描述时间的语言。让我们带领学生一起走进数学的世界，感受数学之美，同时学会运用数学创造更多的美！
数学课堂语言的精炼和简约
数学课堂语言的精炼和简约 语言是传递信息、沟通情感、组织教学活动的工具。斯托利亚尔在《小学数学语言艺术》一书中指出：“数学教学也就是数学语言的教学”。前苏联教育学家苏霍姆林斯基也曾说过：“教师的语言素质在极大程度上决定着学生在课堂上的脑力劳动效率”。可见，教师在课堂教学中语言表达能力的水准将制约着课堂教学质量的高低。作为一名数学教师，要上好课、教好学生，不但要有深邃的思想、渊博的知识和娴熟的教学方法，还要讲究教学语言的艺术。课堂上用生动的语言去讲述内容，能激起学生的兴趣；用准确的语言去讲解知识，能激发学生的求知欲；用理性的合逻辑的充满激情的语言去讲演主题，能启迪学生的智慧陶冶学生的心灵。讲授中语句的停顿能引起学生的注意，语言的渲染可调动学生的情绪；明显的疑问语气好像在告诉学生“要动脑筋想一想”，有意识地放慢语速意思是说“这里是重点千万别错过”。寓情于理和寓理于情的语言，能够解开学生的万千心结；有条有理和层次分明的语言，能消除学生的重重疑惑。用语言去发蒙，用语言去启智，用语言去激励，用语言去引悟，用语言去赞美，用语言去督促。总之，教师要运用教学语言的魅力去打动学生的理智与心灵，引导他们在知识的海洋中扬帆远航，教师要运用教学语言的魅力，对学生产生震撼力、吸引力和感染力，组织他们开展探究性的数学活动，体验成功的愉悦。本文拟就提高小学数学教师的语言艺术作些粗浅的探讨。 一、准确明晰，具有科学性。 教学语言要准确无误，不违反科学性。具有科学性的语言应当周到严密、含义准确、措词精当、不生歧义。这样才能正确揭示客观事物的本质特征，给学生以清晰明彻的正确认识。如果辞不达意、模糊不清，或用语含混，模棱两可，只能使学生信疑不定，甚至引起判断上的失误，从而搅乱学生的思维。如把“除以几”表达为“除几”，漏了一个“以”字，就把除数与被除数颠倒了。又如，有人认为自然数既然分为奇数和偶数两类，那么“奇数或偶数的个数当然都比自然数的个数少”、“奇数和偶数各占自然数的一半”。其实，这两句话都违反了科学性，因而都是错误的。因为，在有限的情况下成立的结论，在无限的情况下不一定成立。自然数、奇数、偶数都有无限多个，因而，不存在谁多谁少的问题，也不存在谁是谁的一半的问题。
数学中美的欣赏 摘要：爱美之心人人皆有，也正是这样人们才会对美的事物不断的追求。数学家孜孜不倦的研究数学，和他们对美的追求是分不开的。数学美应是“数学中能带给人愉悦的东西”。学生学习数学觉得枯燥的一个重要原因是没有体会到“数学美”，不懂得欣赏数学美或缺少欣赏数学美的能力。因此，本文就主要从数学美的概念数学美与其它美的区别以及它的内容和在数学教育中的体现等方面充分挖掘数学美。通过对学生进行数学美的教育，有助于学生树立学习的信心，提高学习的兴趣，激发学习潜能，在学习中获得愉悦感。 关键词：数学美；对称性；简单性；统一性；奇异性 数学美是一种蕴涵的美，它需要从深处去挖掘。关于数学美的内容很多,本文是为了从浅层阐述数学的美,让学生初步感受数学中美的存在，所以本文就主要从数学美的概念、数学美与其它美的区别、数学美的内容和它在数学教育中的体现这几个方面作以下的阐述。 一、数学美的概念 美是人类创造性实践活动的产物，是人类本质力量的感性显现。通常我们所说的美以自然美、社会美以及在此基础上的艺术美、科学美的形式存在。数学美是自然美的客观反映，是科学美的核心。简言之数学美就是数学中奇妙的有规律的让人愉悦的美的东西。 历史上许多学者、数学家对数学美从不同的侧面作过生动的阐述。 普洛克拉斯早就断言：“哪里有数，哪里就有美。” 亚里士多德也曾讲过：“虽然数学没有明显地提到善和美，但善和美也不能和数学完全分离。因为美的主要形式家是“秩序、匀称和确定性”，这些正是数学研究的原则。” 徐利治教授说：“作为科学语言的数学，具有一般语言文字与艺术所共有的美的特点，即数学在其内容结构上和方法上也都具有自身的某种美，既所谓数学美。数学美的含义是丰富的，如数学概念的简单性、统一性，结构关系的协调性，对称性，数学命题与数学模型的概括性、典型性和普遍性，还有数学中的奇异性等等都是数学美的具体内容。 以上的论述可见，数学中充满着美的因素，数学美是数学科学的本质力量的感性和理性的呈现，它不是什么虚无飘渺、不可捉摸的东西，而是有其确定的客观内容。 二、数学美与其它美的区别 数学美有别与其它的美，它没有鲜艳的色彩，没有美妙的声音，没有动感的画面，它却是一种独特的美。 美国数学家克莱因曾对数学美作过这样的描述：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科技可以改善物质生活，但数学却能提供以上一切。” 数学美与其它美的区别还在于它是蕴涵在其中的美。打个比方来说，大家一定都有这种感觉，绝大部分同学对音体美容易产生兴趣，而对数学感兴趣的不多。我认为，这主要有两个方面的原因：一是音体美中所表现出来的美是外显的，这种美同学们比较容易感受、认识和理解；而数学中的美虽然也有一些表现在数学对象的外表，如精美的图形、优美的公式、巧妙的解法等等，但总的来说数学中的美还是深深地蕴藏在它的基本结构之中，这种内在的理性美学生往往难以感受、认识和理解，这也是数学区别于其它学科的主要特征之一。二是长期以来，我们的数学教材过分强调逻辑体系和逻辑推演，忽视数学美感、数学直觉的作用，长此以往，学生将数学与逻辑等同起来。一味注重数学的逻辑性而忽视了数学本身的美，学习的过程中就会感到枯燥无味缺乏兴趣。 三、数学美的内容 随着数学的发展和人类文明的进步，数学美的概念会有所发展，分类也不相同，但它的基本内容是相对稳定的，这就是：对称性、简单性、统一性和奇异性。 （一）对称性
数学的美 着名数学家陈省身先生曾不止一次地 提出：“数学是美的。”数学的美体现在方方面面，也许美在她是探求世间现象规律的出发点，也许美在她用几个字母符号就能表示若干信息的简单明了，也许美在她大胆假设和严格论证的伟大结合，也许美在她对一个问题论证时殊途同归的奇妙感受，也许美在数学家耗尽终生论证定理的锲而不舍，也许美在她在几乎所有学科中的广泛应用。 而美的数学，在自古崇尚诗书传世的中国，竟也浸染着扑鼻的书香。中国悠久历史所积淀出来的文学底蕴，为中国的数学染上了一层夺目的别样颜色，这就是数学的文采。 自然美 刘勰《文心雕龙》以为文章之可贵，在尚自然。文章是反映生活的一面镜子，脱离生活的文学是空洞的，没有任何用处。数学也是这样。 数学存在的意义，在于理性地揭示自然界的
一些现象规律，帮助人们认识自然，改造自然。可以这样说，数学是取诸生活而用诸生活的。数学最早的起源，大概来自古代人们的结绳记事，一个一个的绳扣，把数学的根和生活从一开始就牢牢地系在了一起。后来出现的记数法，是牲畜养殖或商品买卖的需要，古代的几何学产生，是为了丈量土地。中国古代的众多数学着作中，几乎全是对于某个具体问题的探究和推广。 在中国，数学源于生活，在外国，历代数学家也都宗法自然。阿基米德的数学成果，都用于当时的军事、建筑、工程等众多科学领域，牛顿见物象而思数学之所出，即有微积分的创作。费尔玛和尤拉对变分法的开创性发明也是由探索自然界的现象而引起的。 简洁美 世事再纷繁，加减乘除算尽； 宇宙虽广大，点线面体包完。 这首诗，用字不多，却到位地概括出了数学的简洁明了，微言大义。数学和诗歌一样，有着独特的简洁美。 诗歌的简洁，众所周知——着寥寥几字，却
数学也是美的 ——感悟《数学思想与数学文化》 胡桥乡第一初级中学郎青梅 说起来惭愧，教了十几年的数学，但本身的数学知识非常有限，对数学的认识也非常肤浅。 本学期，数学组共读的书是《数学思想与数学文化》。我一看到她，就爱不释手。这本书深入浅出的讲述了数学的魅力、数学与生活、艺术、经济等的关系。整本书通俗易懂，让我受益匪浅！ 书中说:数学教师要把激发学生数学兴趣作为教学的首要任务。我相信每位教师都有这样的理念，我也相信广大教师在课堂上不断的实践着。对于我来说，激发兴趣和教学内容之间，似乎隔着一座大山，有种心有余而力不足的感觉。找不到之间的切入点。说白了，还是知识储备不足呀！尤其是课改以来，有了“预——探——展——清”的课堂模式，更加不知道如何融入“激发兴趣”。很长时间，为了迎合模式，把这件事丢在了一边，数学课上得枯燥无味。书中告诉我们：教师要包装数学知识，采用合适的方式，引导学生欣赏数学之美……也就是说，教师要根据教学内容，巧妙的设计教学情境，不留痕迹的融合在一起。书中列举了很多和数学有关的有趣例子，这些例子完全可以为我所用，比如《西游记》中的数学知识，《刘三姐》中的数学知识等等。
在以前的数学教学中，过分的注重数学是思维的工具，以及数学知识的实用功能。忽视了数学的审美功能。通过学习这本书，我认识到了数学的美。数学的美有这几种：对称美、简洁美、和谐美、突变美、奇异美、完备美、抽象美、类比美、统一美。并且通过举例子介绍，让我们真真切切的感悟美的存在。作为数学老师，首先自己没有感悟到数学的美，又怎能让学生感受到数学的美呢？以前，一直羡慕语文老师，整天和学生一起赏析名篇名著。说美的语言、写优美的文字、提升美的思想……就是老师也越来越美！我只是没有发现数学的美。我们也要提高自己的语言，也要学会用诗一样的语言去分析，把学生带入美的境地…… 书中还介绍了精通数学和文学的大家，震撼了我。我国东汉时期的张衡是文学家也是数学家。唐朝伟大的文学家僧一行，研究天文和数学也很有成就。还有俄国大文豪托尔斯泰，法国著名作家巴尔扎克等等都对数学有兴趣，有的甚至对数学的发展做出了贡献。像法国著名的数学家帕斯卡、英国著名数学家罗素、德国数学家高斯、我国当代数学家华罗庚等等都精通文学。文学和数学原来是相通的。 书中还介绍了数学中的哲学思想，比如唯物辩证法思想、矛盾的转化、运动等观点在数学中的重要作用。 总之，这本书使我对数学的方方面面的认识有很大的提高，也提高了我的从教信心。也希望在学校的引领下，能读更多这样的书。在以后的工作中，要把学到的知识运用到课堂上，打造高
彰显数学课堂简约之美 【内容摘要】：随着新课程改革一路走来，数学课堂教学发生了可喜的变化。但我们也明显感受到。数学课堂尤其是公开课可谓花样百出、精雕细刻、金玉其外。课堂变得繁杂、臃肿、凌乱，承受着不能承受之重，结果却因40分钟的教学时间所限，要么仓促收兵，要么严重拖堂，课堂缺乏深度，缺乏灵动，缺乏艺术性；饱满、臃肿中显现出肤浅、低效，教师教得辛苦，学生学得疲惫。因此数学课堂教学应该从以前不断添加各种因素的做“加法”转变为删繁就简地做“减法”，简约的数学课堂必然是我们数学教学的终极归宿之一。我们呼唤一种更为朴素高效的课堂、追寻一种“简约而不简单”的境界、追求一种简约之美。 【关键词】：数学课堂 简约之美 在《中国教育报》上看到一句话——“教师教得很辛苦，学生学得很痛苦”。这句话很形象地描述了我们当今教育的现状。近几年来，面对纷繁涌起的数学“春潮”，数学课堂尤其是公开课可谓花样百出、精雕细刻、金玉其外。在教学理念上追求全新，在教学手段的选择上追求先进，在教学流程的设计上追求亮点，在教学效果的预设上追求完美，全无瑕疵可言。表面上似乎将课堂交给了学生，以学生为主体性的，实际上学生成了教师表演的配角，学生的主体性地位无法真正彻底发挥，课堂变得繁杂、臃肿、凌乱，承受着不能承受之重，结果要么仓促收兵，要么严重拖堂，课堂缺乏深度，缺乏灵动，缺乏艺术性。庄子曰“文灭质，博溺心。”庄子说得本意是对写文章而言的，就我们目前的教学而言，何尝不是如此。数学课堂教学应该从以前不断添加各种因素的做“加法”转变为删繁就简地做“减法”，简约的数学课堂必然是我们数学教学的终极归宿之一。 简约数学教学是指数学教学中要遵循“简约”的原则，体现“简约”的要求，凸显“简约”的风格，追寻“简约而不简单”的境界，追求一种简约之美。简约的课堂对于教师的要求非但没有降低甚至还更高了，教师要以先进的课程理念和教学思想为指导，对繁琐的数学课堂教学进行反思、调整、提升，不要过分追求教学环节的完美，不要过分强调面面俱到，不要注重多授其鱼，而应侧重授之以渔，从而达到审美化、艺术化、高效化的课堂教学境界。借用一位哲人所说的“简单到极致，就是美丽”。简约之美，美在简洁，美在意蕴，美在灵动，美在创造。 一、教学语言简练 凸显简约美 恩格斯曾说过：“言简意赅的句子，一经了解就能记住，变成口语，这是冗长的论述绝对做不到的。”数学给人的第一感觉就是简约，通过数学图形与数学符号把很多文字表示的内容很简单的表达出来，给人以简洁之美。但有些教师上课像念讲义，以书面语言代替课堂教学语言，怕学生听不懂，返来复去、拖泥带水，导致教师唇焦口燥， 学生却如坠云里雾里。
对数学美的感悟 数学中的美不同于美术中的线条、造型、色彩的视觉美，不同于体育中的体形、动作、力量的运动美，也不同于各种的音响、节奏、旋律的听觉美。数学本身的内在美瑰丽多姿，充分挖掘数学中的美，我们应当仔细地进行体验并感悟，激发自身的学习兴趣。从狭义的意义上来说，有对称美、和谐美等。我主要给大家来介绍对称美。 对称美是形式美的法则之一,按古希腊毕达哥拉斯学派的观 点:“美是和谐与比例”,对称美应是“和谐与比例”的具体表现形式之一。达·芬奇也认为:“美感完全建立在各部分之间神圣的比例关系上。”在美的分类上,它当属于艺术美——一种人为的美,是艺术家按照一定的审美理想,审美观点,遵循美的规律,对现实生活中的自然美和社会 美进行集中、概括,通过一定的物质手段把它表现出来,也就是说,它具有社会美的内容,又具有自然美的形式。数学知识中的对称美体现在很多方面：如等腰三角形、矩形；中心对称美，如平行四边形、圆等；形式上对称美，如正（+）与负（+）、加法与减法、乘法与除法、正比与反比等。在学习中我们可以联系实际生活，练习生物体结构，如衣服、裤子人体是轴对称的，揭示了对称美。如在数学对称图形时，一幅幅对称美丽的画面，为什么大家对这些图形都说美，是数学中对称的神奇力量。我们因此透过美的现象，感悟到数学的对称美。又如在教学加法结合律时，用语言是这样叙述的：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或先把后两个数相加，再加第一个数，
它们的和不变。用字母来概括就是(ɑ＋b)＋c=ɑ＋(b＋c)，通过进行比较。用数学方法来表示太简洁了，从而感悟到数学中的简洁美。当然数学中还有许多的美（如统一美、奇异美等），我们应充分挖掘这些美的资源，激发自身学习兴趣。 数学正如罗素所说：“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且有至高的美。”我们应当平时多注意观察生活中的点点滴滴发现数学的美，这样会提高我们对数学的学习兴趣。
数学课堂之美――简约扎实灵动 《数学课程标准》（2011版）指出：数学是人类生活的工具;数学是人类用于交流的语言;数学能赋予人创造性;数学是一种人类文化。那么：数学课堂应该是学生从数学活动的亲身实践中去体验、探索知识的过程。如今的数学课堂追求的已不是华而不实的课堂，而是再现更多的既简约而灵动的真实课堂。其实，简简单单的数学课堂同样精彩，它能把丰富的内涵和思想用简单的数学语言表达出来，学生学得既轻松又快乐！我认为在小学数学课堂教学研究中，我们要努力寻找一条崭新理念的教研之路，那就是数学课堂教学应是简约、扎实、灵动。 一、简约而不简单 数学课堂应是呈现出高度凝练的简约，但简约并不等于简单。相反地，简约的背后包含着太多的“不简单”。 1、情境创设，精“简”有趣。 “情境创设”是数学教学中常用的一种策略，它有利于解决数学的高度抽象性和小学生思维的具体形象性之间的矛盾。但创设情境不必追求表面的繁华，忽视内在的思考性、高效性。因此，情境创设追求的是简单、高效。比如，在教学《动手做（一）》这一课时，我创设了学生喜欢的好
朋友笑笑、淘气和智慧老人带领他们畅游智慧王宫这一情境，课始学生学习的积极性极高，他们渴望在王宫里探密，寻求数学知识。此时再呈现国王的三幅简笔画，让学生复习学过的平面图形，既有助于学生想象力的发展，又为新授的动手拼图做好铺垫，这样学生就会学得轻松、有趣。 2、教学方法，灵“活”有序。 《课标》指出：“数学教学是数学活动的教学”。为此，在教学《搭配中的学问》这一课中，我设计符合学生的认知规律，由浅入深，由易到难，具有层次性。学生在整个活动过程中，通过小组合作，自主探究，发现搭配方法的多样性，同时感受到合作的乐趣，起到互相启发，共同提高的功效。首先让学生借助学具衣服，通过动手配一配，议一议，写一写，找到多样化解决问题的方法。初步感悟要使搭配的方法不重复，不遗漏，需要有顺序、有条理的思考。再通过路线的搭配，发现用字母表示搭配路线的方法具有优越性。从而使学生的思维由具体自然过渡到抽象，思维能力得到提高。最后通过游艺项目价格的搭配和数字的组合方法，让学生自主试一试，说一说，让每个学生都有独立尝试成功的机会，从而进一步体会有顺序、有条理搭配的好处。使学生在自主寻求解决问题方法的基础上，知识得到迁移应用。 二、扎实而不零乱 课堂教学要注重实效，这是我国数学教育的优良传
立意：简约化数学课堂教学的内涵界定 所谓“简约”，《辞源》上的解释就是“简易”“简单”。但从其广泛的实际应用可以看出，“简约”并不是简单的压缩和简化，相反，它是一种更深广的丰富，在去繁就简中又极其完美地保留了事物本身的经典内核。同样，我们所倡导的简约教学也不是简单、简易的教学，它是指教师通过对课堂教学的情景创设、素材选择、活动组织、结构安排、媒体使用等教学要素的精确把握和经济妙用，使数学课堂变得更为简洁、清晰、流畅、丰富、深刻，进而实现课堂教学的优质和高效。 ◆追问：简约化数学课堂教学的价值辨析 从数学学科的本质特征看，实施简约化的数学课堂教学是数学学科本身的需要。数学本就是倡导简约的：数学的公式定理讲究简明，问题解决的思路讲究简单，数学的语言讲究简洁……虽然当前很多学科都在谈“简约”，但是“简约”无疑更贴近数学学科的本质，与数学有着先天的“姻缘”。 从课程改革的进程来分析，新一轮的课程改革已经逐渐走出“蜜月期”，步入“反思期”，面对“声光电”闪烁的数学课堂，综合得像个“大杂烩”的数学课堂……很多有识之士都大声疾呼：数学课堂迫切需要从冗繁走向凝练，从紧张走向舒缓，从杂乱走向清晰，从肤浅走向深邃！追寻简约无疑是课改之后课堂教学反思调整的积极举措。此外，当下基础教育界最响亮的口号就是“减负增效”，“简约教学”无疑是通向“有效”的一条捷径，它所追求的就是最大可能地走出“形式化”的误区，实现教学的高效化和儿童数学学习的最优化。 总之，“简约化数学课堂教学”既表达了数学学科的本质特征，又是课改之后数学课堂教学反思调整的积极举措，更是基于“有效”的数学课堂教学的理性回归。 ◆探索：简约化数学课堂教学的形式特征 （一）目标——简洁明了 不少人认为，备课时写上教学目标仅仅是个形式，因而拟定的目标往往不切实际、空话连篇。其实，教学目标既是教师规划课堂教学全程的起点，也是反思教学效果的基准。教学目标的拟定应该“简洁明了、实实在在、易于达成、便于反馈”。 案例：教学“年、月、日”时，我拟定了如下的教学目标： 1.以了解每个月的天数为载体，通过手势演示等方式，达到识记每月天数的目标。 2.以计算全年的天数为载体，通过自主尝试、全班交流的方式，达到算法多样化基础上的合理优化的目标。 3.以大月、小月、平月的区分为载体，通过观察、比较、分析的方式，达到渗透分类思想的目标。 4.以理解二月份的特殊性为载体，通过自然常识、历史资料介绍的方式，达到传播数学文化的目标。 既关注了目标的全面性又关注了目标的达成性，尝试用“以（）为载体，通过（）方式，达到（）目标”的形式来撰写教学目标，使每一条目标都实在、具体、明晰，利教、利学、利评。 （二）环节——简化自然 简约化的数学课堂应该是过程简洁、思路清晰的，扣紧“主线”展开，层层向前推进，清新，自然，娓娓道来。案例：教学“同分母分数的加减法”，我设计了如下的教学流程： 1.复习铺垫（复习分数的相关知识，引入加减法）—— 2.探索加法（研究加法的算法、算理）—— 3.自学减法（迁移加法的学习思路，自己学习减法）—— 4.解决问题（综合应用，适度开放，延伸至连加、连减）—— 5.反思小结（关注体验，反思学法） 设计这样五步的教学流程，使得整个的教学思路简洁明朗，每一环节的教学任务精当明晰。 （三）指导——简要到位 孩子在数学学习的过程中离不开教师的指导：当学生出现偏差、走入误区时，要“引导”；当学生思路不清、认识肤浅时，要“开导”；当学生遇到困难、思路卡壳时，要“辅导”。我们认为，老师对学生的指导应当力求简要到位：指导得精当，指导得明白，指导得科学，指导的内容要具有提示性、启发性和示范性。 案例：教学“三角形的认识”，当三角形斜着放的时候，作这条底边上的高，学生往往容易出错（如图1）。 （图1）（图2） 这是学生学习中最常见的错误，原因是生活中人们讲“楼房有多高”“身高是多少”的“高”往往都是以地平线为参照，垂直于地面。而数学上所讲的“三角形的高”，是垂直于指定的边的（也就是底），是以底边为参照的（如图2）。“数学里的高”并不等同于“生活中的高”！当我给孩子们对这两种意义的“高”进行辨析后，他们画三角形高的时候就很少出错了，这样的指导才点在问题的“要害处”。 （四）媒体——简单实用
数学美的内容 数学美有别与其它的美，它没有鲜艳的色彩，没有美妙的声音，没有动感的画面，它却是一种独特的美。 美国数学家克莱因曾对数学美作过这样的描述：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科技可以改善物质生活，但数学却能提供以上一切。 随着数学的发展和人类文明的进步，数学美的概念会有所发展，分类也不相同，但它的基本内容是相对稳定的，这就是：对称美、简洁美、统一美和奇异美。 1、对称美 所谓对称性，既指组成某一事物或对象的两个部分的对等性，从古希腊的时代起，对称性就被认为是数学美的一个基本内容。毕达哥拉斯就曾说过：“一切平面图形中最美的是圆，在一切立体图形中最美的是球形。”这正是基于这两种形体在各个方向上都是对称的。 中国的建筑就很好的应用了数学的对称美，有许多的园林建筑都应用了这一点。 数学中的这种对称处处可见：几何中具有的对称性（中心对称、轴对称、镜象对称等）的图形很多，都给我们一种舒适优美的感觉。几何变换也具有对称性。 杨辉三角更组成美丽的对称图案 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 …… 分析：在杨辉三角的图案中每一行的除了首尾的数字是1以外，其他的数字是左上角和右上角的数字的和。这样就构成了有规律的并且是成对称的形状的三角图案了。 集合运算中的下面两个公式的对称性也是极其优美的： C（A ）=CA CB C (A B ) =CA CB 两个集合的并（交）的补集就是两个集合补集的交（并）。 数学的解题中也体现对称美： 例1、 解：原式=111111111×111111111 =12345678987654321 分析：等式的一边是九个1乘以九个1，另一边是九个数字的排列并且成对称的，结果也是九个数字组成的对称的结构，真是太出人意料了太美妙了 例2、0×9+1=1 1×9+2=11 12×9+3=111 123×9+4=1111 1234×9+5=11111 …………………
数学美之名言 硬说数学科学无美可言的人是错误的。美的主要形式是秩序、匀称与明确。——亚里斯多德 感觉到数学的美，感觉到数与形的协调，感觉到几何的优雅，这是所有真正的数学家都清楚的真实的美的感觉。——庞加莱 数学之美是很自然明白地摆着的。——哈尔莫斯我认为，说数学家选择课题的准则以及判断他是否成功的准则，主要的是美学准则，这是正确的。——冯.诺伊曼 我的工作总是力图把真与美结合起来，但是，当我不得不选择其中的一种时，我通常选择美。——韦尔 在数学定理的评价中，审美标准既重于逻辑的标准，也重于实用的标准：在对数学思想的评价时，美与优雅比是否严密、正确，比是否有用都重要得多。——斯蒂恩 纯粹数学可以是实际有用的，而应用数学也可以是优美高雅 的。——哈尔莫斯 对早已正确认定的定理做进一步的研究，探索它的新证法，只不过是因为现有的证明欠缺美的魅力。——克莱因 数学家如画家或诗人一样，是款式的制造者．．．．．．数学家的款式，如同画家或诗人的款式，必须是美的……世上没有丑陋数学的永久立身之地。——哈代 一种奇特的美统治着数学王国，这种美不像艺术之美与自然之美那么相类似，但她深深地感染着人们的心灵，激起人们对她的欣赏，与艺术之美是十分相象 的。——库默 难道不可以把音乐描绘成感觉的数学，而把数学描绘成理性的音乐吗？这样，音乐家感觉到数学，数学家想到音乐——音乐是梦想，数学是工作的一生——每一方都经由对方达到尽善尽美的境地，那时，人类的智慧达到完美的典型，将在某个未来的莫扎特——狄利克雷或贝多芬——高斯的歌颂下而光彩夺目。这种联合已经在一个赫姆霍尔兹的天才和工作中清楚地预示出来了。——西尔弗斯特 一般地说，我更想把数学视为是艺术，而不是科学。因为我们可以说，数学家的活动，当他受外部的理性世界所引导，而不是被控制时，不断地进行创造性的活动，与一个艺术家、一个画家的活动相类似，有着实在的，不是虚幻的相似点。数学家这一方面的严密演绎推理可以比喻为画家那一方面的绘画技巧。恰如没有一定技巧的人不能成为一位好画家一样，没有一定的精密推理能力的人不能成为一位好的数学家。但是，这些尽管是他们的基本特质，还不足以使一个画家或数学家名副其实，画图技巧与推理能力，说实在的，终究不是最重要的因素。远为敏感的，为二者都是主要的一类特质是想象力，它才能造就一名杰出的艺术家或杰出的数学家。——博歇
简约课堂，简单教学 （伊金霍洛旗第一小学张璐） 读了许卫兵老师的《简约数学教学》一书，收获很多。明白了数学的本质在于化繁为简。在许老师幽默风趣的言语中，我感受到了他对数学的执着和睿智，对教学的激情。 作为学科教学的一个分支，数学教学应该遵循普通教育学的一般原理与规律，遵循儿童学习的心理学原理和成长规律，同时也应该和数学学科特点相适应，即用“数学的方式”来教数学、学数学。 但是根据平常的课堂来说，常规课堂总是存在一个问题：课堂教学的烦琐和低效。教师在课堂上总有说不完的话，讲不完的题，总是觉得整节课都是重点和难点，所以一节新知教学课，在讲完例题的时候往往40分钟便结束了，让学生没有时间去做、去练。应该说，有效教学、效益课堂一直是数学教学的永恒追求。在这种追求中，我们始终努力寻求着一种平衡，那就是，如何在有限的40分钟的课堂教学时空中，通过科学、有序的教学组织活动，让知识背景、智力水平、个性品质等各不相同的学生真正在数学学习中学“有价值的数学”，获得“必需的教学”，实现“不同的人在数学上得到不同的发展”。这一平衡的建立，在某种意义上能标示着数学课堂教学进入了佳境。然而，现实告诉我们，建立这一平衡有着太多的困难。
简约数学教学是指数学教学中要遵循“简约”的原则，体现“简约”的要求，凸显“简约”的风格，追求“简约而不简单”的境界。教学作为一个生态系统，既涉及教师如何教、教什么，学生如何学、学什么，也涉及教和学的相互关系、必要的环境、设施设备等，还涉及更为上位的教学目标定位、教学价值追求等。因而，对“简约数学教学”进行界定，既要综合对各种教学要素的考虑和把握，又要实现一种整体性的意义建构。其实所谓“简约数学教学”，是指教师对数学课堂教学的情境创设、素材选择、活动组织、结构安排、媒体使用等教学要素做到精确把握和经济妙用，使课堂变得更为简洁、清晰、流畅、丰富、深刻，进而达到优质和高效，最终实现学生数学基础学力的发展、数学素养的提升、健全人格的生成。 简约数学课堂追求的是从繁复(或从“过于简单”)走向简约，并从简约抵达丰富的课堂。如果说“简约”是从目标到环节、从方法到语言都不枝不蔓、干干净净，那么，“丰富”则是指在教学过程中所呈现的思想的张力、思维的张力、情感的张力、文化的张力以及师生智慧的张力。主要表现在教学目标简明——基于教材，立足学情，有的放矢；教学素材简练——经济高效，少而精当；教学过程简化——清晰明快，层层递进，环环相扣；教学方法简括——灵活多变，彰显智慧；教学语言简朴——言简意赅，深入浅出；教学指导精当到位；教学媒体直观实用；教师教得轻松自然，学生学得愉悦主动。 所谓的简约教学必须从以下几点做起：第一，教学目标简
数学美的名人名言 1、美是到处都有的。对于我们的眼睛，不是缺少美，而是缺少发现。——罗丹(法国) 2、美，是道德上的善的象征。——康德 (德国) 3、美都是从灵魂深处发出的。——别林斯基 (俄国) 4、美的事物是永恒的喜悦。——英国诗人济慈 5、美必须干干净净，清清白白，在形象上如此，在内心中更是如此。——孟德斯鸠 (法国) 6、最能直接打动心灵的还是美。美立刻在想象里渗透一种内在的欣喜和满足。——爱迪生(美) 7、世间的活动，缺点虽多，但仍是美好的。——罗丹 8、充实之为美。——孟子富有生机就是美(威·布来克) ●端庄即至美，严肃乃极乐(威·沃森) ●如果不保持一定程度的陌生感，就不会有出类拔萃的美 ----(培根) ●不能说凡是合理的都是美的，但凡是美的确实都是合理的----(德国) ●扬帆的航船，全副武装的男人和腹部隆起的孕妇，是世上最美的三种景象(詹·豪厄尔) ●一切精美的东西都有其深沉的内涵(约瑟夫·鲁) ●美的文词就是思想的光辉(朗吉弩斯) ●唯有不要我们操心的事物才是美好的(王尔德)
●美，什么是美?在人生每一个有趣的方面都有大量的美。然而，美既不能充饥，也不能养家糊口(马·埃利奥特) ●美有三个要素：第一是一种完整或完美，凡是不完整的东西就是丑的;其次是适当的比例或和谐;第三是鲜明，所以鲜明的颜色是公认为美的(托·阿奎那) ●美本身必须是真的(德国) ●失去了真，同时也就失去了美(苏联) ●富于美之中的真要比真本身更高尚深奥(法朗士) ●美就是真，真就是美(济慈) ●美与真是一回事，这就是说美本身必须是真的(黑格尔) ●美具有引人向善的作用和力量(柏拉图) ●至善方能至美(拉丁语) ●美是善的标准语汇中的一部分(爱略特) ●美是善的另一种形式(彼翁) ●我一向认为，只有把善付诸行动才称得上是美的(卢梭) ●善较之美价值更高(阿尔拉) ●美高于善，善胜过丑(王尔德) ●假如认为美就是善，那是多么离奇的幻想啊!(托尔斯泰) ●美是一种善，其所以引起快感正因为它是善(亚里士多德) ●地球上一切美丽的东西都于太阳，而一切美好的东西都于人(普利什文) ●你以为美与善是截然不同的两回事吗?你不知道凡是从某个观点看来是美的东西，从这同一以观点看来也就是善的吗?---(苏格拉底)
让数学课堂绽放出简约之美 发表时间：2017-03-14T15:40:59.387Z 来源：《素质教育》2016年12月总第225期作者：杜兆义 [导读] 教学目标既是教师规划课堂教学全程的起点，也是反思教学效果的基准。 甘肃省会宁县教育局教学研究室730799 课改以来，超越于传统的诸多新课程理念，如目标多元、尊重差异、重视过程、讲求合作、关注体验等，得到了老师们的积极响应，也给数学课堂带来了勃勃生机。但是，繁华背后，我们看到不少数学课特别是公开课追求内容上的大全、形式上的新异，却因教学时间有限，饱满、臃肿中显现出肤浅、低效；加之教学调控不力，缺乏深度，缺乏灵动，缺乏艺术，结果教者教得辛苦，学者学得疲惫。因此，努力让课堂从冗繁走向凝练、从紧张走向舒缓、从杂乱走向清晰、从肤浅走向深邃，在满足功能的基础上做到最大程度的简洁，应该成为我们当下对课堂教学反思调整的积极举措。 一、目标——简洁明了，一目了然 教学目标既是教师规划课堂教学全程的起点，也是反思教学效果的基准。教学目标的拟定应该“简洁明了、实实在在、易于达成、便于反馈”。如教学“年、月、日”时，我们拟定了如下的教学目标：1.以了解每个月的天数为载体，通过手势演示等方式，达到识记每月天数的目标；2.以计算全年的天数为载体，通过自主尝试、全班交流的方式，达到算法多样化基础上的合理优化的目标；3.以大月、小月、平月的区分为载体，通过观察、比较、分析的方式，达到渗透分类思想的目标；4.以理解二月份的特殊性为载体，通过自然常识、历史资料介绍的方式，达到传播数学文化的目标。这样既关注了目标的全面性又关注了目标的达成性，用“以（）为载体，通过（）方式，达到（）目标”的形式来撰写教学目标，使每一条目标都实在、具体、明晰，利教、利学、利评。 二、环节——简化流畅，清新明朗 简约化的数学课堂应该是过程简洁、思路清晰的，扣紧“主线”展开，层层向前推进，清新自然，有“娓娓道来”的感觉。比如《轴对称图形》一课的引入环节，一位教者通过课件先播放了一段雅典奥运会开幕式录像，然后提问：从刚才的录像中你看到了什么？学生个个兴趣盎然，纷纷回答：我看到了姚明；我看到了奥运五环旗；我看到中国运动员很多；我看到奥运会火炬……几分钟过去了，仍在没完没了。老师只好继续引导：“姚明手中拿的是什么？”有学生立即回答：“国旗。”“上面有什么呢？”“五角星！”学生齐答。听到这儿我才明白老师原来是要让学生能够从录像中找到“五角星”这个轴对称图形。相对于一节课40分钟而言，用五、六分钟的时间才将探究的内容“千呼万唤始出来”，实在没有必要，也没多少价值可言。而另一位教者组织班上女生摆出了一个“千手观音”的造型，唤起了学生对春节晚会这个节目的回忆，进而引导学生观察：这个节目美轮美奂，带给人们很强的视觉冲击力和艺术享受，你觉得节目中这些造型有什么特点？教师的适时点拨非常自然地引出了生活中的“对称现象”，经济，简约，有效。 三、指导——简要到位，恰到好处 在数学学习的过程中离不开教师的指导：当学生出现偏差、走入误区时，要“引导”；当学生思路不清、认识肤浅时，要“开导”；当学生遇到困难、思路卡壳时，要“辅导”。老师对学生的指导应当力求简要到位：指导得精当，指导得明白，指导得科学，指导的内容要具有提示性、启发性和示范性。 四、媒体——简单实用，以一当十 从当年的热烈追捧到现在的理性对待，实践反复证明，多媒体课件不是万能的。从教学成本的角度来看，有时不恰当的使用甚至是一种浪费。实践再次告诉我们，大多数的日常课堂，还是使用常规媒体来教学，并且只要教师认真吃透教材，把握学生，以“用教材教”的理念来教学，课堂照样可以很成功、很精彩。现在常见的课堂三“无”现象（无板书、无看书、无书面作业）恐怕多少也和多媒体课件的使用过滥有关。 五、语言——简练深刻，字字珠玑 “话不在多，到位就行。”数学老师的教学语言应该简练深刻：问题语言要导向明确，过渡语言要自然流畅，评价语言要扼要坦诚，字字句句都要给学生以明亮清澈的感觉。如教学“可能性”时，我们通常有这样的感觉，如果你问：“抛3次硬币，有1次正面朝上，有2次反面朝上，那么抛第4次硬币结果是什么？”不少同学都会选择“正面朝上”，理由是：正面和反面朝上的可能性相等，都是二分之一，共抛了4次，不就应该是正面和反面各2次吗？所以，第4次应该是正面朝上。在教学中，先让学生充分讨论，然后借用“硬币是没有记忆的”这句数学名言对此作了点评，简明、形象、深刻地指出：每一次活动都是一个独立的随机事件，每一次抛硬币的结果都无法确定。数学课的评价语言力戒廉价表扬、肉麻吹捧，要是非分明、真实坦诚，这样的语言才有份量。语言的力量是无穷的，它是教师教学个性与风格充分展示的一个重要方面，在追求简约化课堂的过程中更为重要。它对于学生数学学习的激励、召唤、调节、启迪作用是不可估量的。教师需要不断磨炼教学语言，使之走向高度凝练、成熟，具有大家风范与个性神采。 简约给人的是一种明了、凝练的感觉，“简约”是对冗繁的数学课堂的一种“清洗”，是对数学学习本质的一种“回归”。“删繁就简三秋树，标新立异二月花。”归根到底，简约化的教学所追寻的就是“还原数学本色、复归学科本位”，就是“倡简、务本、求实、有度”，着力追寻一种“大道至简”的教学境界。总之，希望大家能将这次活动的心得真正运用到实际教学中，更好地为学生服务。