分期付款中的有关计算（二）
教学目的：通过“分期付款中的有关计算“的教学，使学生学会从数学角度对某些日常生活中的问题进行研究教学重点：分期付款问题进行独立探究的基本步骤教学难点：将实际问题转化为数学问题一、复习引入：1．研究性课题的基本过程：生活实际中的问题存在的可行方案启迪思维留有余地搜集整理信息独立探究个案提出解答并给答辩创建数学模型验证并使用模型结论分析2．分期付款使用模型：分期付款购买售价为a的商品,分n 次经过m个年（月）还清贷款,每年（月）还款x,年（月）利率为p,则每次应付款：二、例题讲解例1购买一件售价为a元的商品。采用分期付款时要求在m个月内将款全部付清，月利率为p，分n(n 是m的约数)次付款，那么每次付款数的计算公式为推导过程：设每次付款x则：第1期付款x元（即购货后个月时），到付清款时还差个月，因此这期所付款连同利息之和为：……第n期付款（即最后一次付款）x元时，款已付清，所付款没有利息.各期所付的款连同到最后一次付款时所生的利息之和为：货款到m个月后已增值为根据规定可得：即：解之得：例2 某人，公元XX年参加工作，考虑买
房数额较大。需做好长远的储蓄买房计划，打算在XX年的年底花50万元购一套商品房，从XX年初开始存款买房，请你帮我解决下列问题：方案1：从XX年开始每年年初到建设银行存入3万元，银行的年利率为1.98%，且保持不变，按复利计算（即上年利息要计入下年的本金生息），在XX年底，可以从银行里取到多少钱？若想在XX年底能够存足50万，每年年初至少要存多少呢？方案2：若在XX年初向建行贷款50万先购房，银行贷款的年利率为4.425%，按复利计算，要求从贷款开始到XX年要分XX年还清，每年年底等额归还且每年1次，每年至少要还多少钱呢？方案3：若在XX年初贷款50万元先购房，要求从贷款开始到XX年要分5期还清，头两年第1期付款，再过两年付第二期…，到XX年底能够还清，这一方案比方案2好吗？启迪思维，留有余地：问题1：按各种方案付款每次需付款额分别是多分别是多少？每次付款额是50万元的平均数吗？（显然不是，而会偏高）那么分期付款总额就高于买房价，什么引起的呢？（利息）问题2：按各种方案付款最终付款总额分别是多分别是多少？（事实上，它等于各次付款额之和，于是可以归结为上一问题）。于是，本课题的关键在于按各种方案付款每次需付款额分别是多分别是多少？——设为x。搜集、整理信息：(1)分期付款中规定每期所付
款额相同;(2)每年利息按复利计算,即上年利息要计入下年本金.例如,由于年利率为 1.98%，,款额a元过一个年就增值为a(1+1.98%)=1.0198a(元);再过一个月又增值为1.0198a(1+1.98%)=1.0198 a(元)独立探究方案1可将问题进一步分解为：1. 商品售价增值到多少？2. 各期所付款额的增值状况如何？3．当贷款全部付清时，房屋售价与各期付款额有什么关系？提出解答,并给答辩：按复利计算存XX年本息和（即从银行里取到钱）为：3×+3×+…+3×= ≈33.51（万元）设每年存入x万元，在XX 年底能够存足50万则：共2页，当前第1页12解得x=4.48（万元）通过方案1让学生了解了银行储蓄的计算，也初步掌握了等比数列在银行储蓄中的应用，储蓄买房时间长久，显然不切合我的实际，于是引出分期付款问题；独立探究方案2：分析方法1：设每年还x，第n年年底欠款为，则XX年底：=50（1+4.425%）–x XX年底：= （1+4.425%）–x=50 –（1+4.425%）·x–x …XX年底：= （1+4.425%）–x=50×–·x–…–（1+4.425%）·x–x=50×–解得：≈6.29（万元）分析方法2：50万元XX年产生本息和与每年存入x的本息和相等，故有购房款50万元十年的本息和：50 每年存入x万元的本息和：x·+x·+…+x= ·x从而有50 ＝·x解得：x=6.29（万元），
XX年共付：62.9万元。独立探究方案3：分析：设每期存入x万元，每一期的本息和分别为：第5期为x，第4期x，第3期x，第二期：x，第1期x，则有[1+ + + + ·x=50·解得：≈12.85（万元）此时，XX年共付：12.85×5=64.25（万元）创建数学模型：比较方案1、2、3结果，经过猜想得：分期付款购买售价为a的商品,分n次经过m个年还清贷款,每年还款x,年利率为p,则验证并使用模型：（略）结论分析：方案类别付（存）款次数付（存）款方法每期所付款表达式每期付款付款总额110每隔1年存款1次，存10次 4.4850210每年付款1次，付12次 6.2962. 935每隔2年付款1次，付5次12.8564.25方案3比方案2多付了：64.25-62.9=1.35(万元)。所以方案2更好。方案1每年虽存款少，但需等XX年后才能买房。由于6.29－4.48＝1.81(万元)，如若本地的年房租低于1.81(万元)就可以考虑先租XX年房后再买房的方案，当然还要考虑XX年后的房价是升还降的问题。四、小结：解决实际应用问题时，应先根据题意将实际问题转化为数学问题，即数学建模，然后根据所学有关数学知识求得数学模型的解，最后根据实际情况求得实际问题的解.五、课后作业：提出一个熟悉的日常生活中的分期
付款问题，并探究解决共2页，当前第2页12
课 题：分期付款中的有关计算（二） 教学目的： 通过“分期付款中的有关计算“的教学，使学生学会从数学角度对某些日常生活中的问题进行研究 教学重点：分期付款问题进行独立探究的基本步骤 教学难点：将实际问题转化为数学问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 研究性课题的教学有两个特点：一是不仅仅局限于书本知识，更有很多课外内容，如利率、复利计息、分期付款等专业术语的含义，以及现代网络技术的运用等，这样就使探究成败不决定于数学成绩的好坏，每一位学生都可以通过自己的思考与实践获得成功；其次，不仅仅拘泥于教师主演，也不仅仅注重研究的结果，更关注的是学生在学习过程中提出问题、分析问题、解决问题的能力和心理体验,这就为学生个性的发展，能力的提高，创新精神的培养提供了广阔的空间而正因有这样的特点，就导致了不仅仅该课题本身是开放的（具有解法和结论的不确定性），其教学本身也是开放性的，这就有可能出现教师事先没预料到的问题，从而也为促进教学相长提供了好机会研究性课题是应教改需要在新教材中新加的一个专题性栏目，为突出研究性课题的实践性，课前和课后都安排学生进行社会调查实践；为突出研究性课题的探究性，对学生适当启发引导，大胆放手，让学生独立分析和解决问题外以突出学生主体地位为根本去设计教学环节；以面向全体学生为原则而采取分层次的教学方式，并且采用了现代网络技术等多媒体教学手段辅助教学，提 高了课堂效率和教学效果 教学过程： 一、复习引入： 1．研究性课题的基本过程： 生活实际中的问题→存在的可行方案→启迪思维留有余地 →搜集整理信息→独立探究个案→提出解答并给答辩 →创建数学模型→验证并使用模型→结论分析 2．分期付款使用模型：分期付款购买售价为a 的商品,分n 次经过m 个年（月）还清贷款,每年（月）还款x,年（月）利率为p,则每次应付款： 1 ) 1(1)1()1(-+? ? ? ???-++= m n m m p p p a x
贵阳六中研究性学习开题报告 （以课题小组为单位填写） 年级：高一班级：7班
贵阳六中研究性学习中期报告 （以课题小组为单位填写） 年级：高一班级：7班
贵阳六中学研究性学习结题报告表（以课题小组为单位填写）
关于高一数学中分期付款问题单利与复利
例1、 按单利计算，如果存入本金a 元,每月的利率为%,试分别计算1月后,2月后,3个月后，……12个月后的本利和是多少 解:已知本金为a 元, 1月后的本利和为a(1+%) 2月后的本利和为a(1+2*%) 3月后的本利和为a(1+3*%) …… 12月后的本利和为a(1+12*%) 一般的，本金为a 元，每期利率为r ，设本利和为y ，存期为n ，本利和y 随存期n 变化的函数式为y=a （1+n*r ）。 例2、 按复利计算，如果存入本金a 元,每月的利率为%,试分别计算1月后,2月后,3个月后，……12个月后的本利和是多少 解:已知本金为a 元, 1月后的本利和为a(1+%) 2月后的本利和为a(1+%)2 3月后的本利和为a(1+%)3 …… 12月后的本利和为a(1+%)12 一般的，本金为a 元，每期利率为r ，设本利和为y ，存期为n ，本利和y 随存期n 变化的函数式为n r a y )1(+= 3、分期付款 例3、购买一件售价为5000元的商品，采用分期付款的办法，每期付款数相同，购买1个月后第1次付款，再过1个月第2次付款，如此下去，共付款5次后还清，如果按月利率%，每月利息按复利计算（上月利息要计入下月本金），那么每期应付款多少(精确到1元) 解法1 ：设每月应付款x 元， 购买1个月后的欠款数为5000·， 购买2个月后的欠款数为( 5000·· 即 5000·购买 3 个月后的欠款数为 (5000· 即 5000· –x ……
分期付款中的有关计算（第一课时）教学目的：1、知识目标:使学生掌握等比数列前n项和公式在购物付款方式中的应用;2、能力目标:培养学生搜集、选择、处理信息的能力，发展学生独立探究和解决问题的能力，提高学生的应用意识和创新能力;3、情感目标:通过学生之间、师生之间的交流与配合培养学生的合作意识和团队精神;通过独立运用数学知识解决实际问题培养学生勇于克服困难的坚强意志,也使学生体会学习数学知识的重要性,增强他们对数学学习的自信心和对数学的情感.教学重点：引导学生对例题中的分期付款问题进行独立探究教学难点：独立解决方案教学过程：一、引入：我国现代都市人的消费观念正在变迁——花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生；贷款购物,分期付款已深入我们生活.但是面对商家和银行提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样的方式好呢？。二、问题：某村民欲买一台售价为1万元的背投式电视，除一次性付款方式外，商家还提供在1年内将款全部还清的前提下三种分期付款方案(月利率为0.4575%)：⑴购买后2个月第1次付款,再过2个月第2次付款…购买后12个月第6次付款；⑵购买后1个月第1次付款, 过1个月第2次付款…购买后12个月第12次
付款；⑶购买后4个月第1次付款,再过4个月第2次付款,再过4个月第3次付款。你能帮他参谋选择一下吗？”三解决问题的过程：1．启迪思维，留有余地：问题1：按各种方案付款每次需付款额分别是多分别是多少？每次付款额是10000的平均数吗？（显然不是，而会偏高）那么分期付款总额就高于电视售价，什么引起的呢？（利息）问题2：按各种方案付款最终付款总额分别是多分别是多少？（事实上，它等于各次付款额之和，于是可以归结为上一问题）。于是，本课题的关键在于按各种方案付款每次需付款额分别是多分别是多少？——设为x。2．搜集、整理信息：(1)分期付款中规定每期所付款额相同;(2)每月利息按复利计算,即上月利息要计入下月本金.例如,由于月利率为0.4575%,款额a元过一个月就增值为a(1+0.4575%)=1.004575a(元);再过一个月又增值为1.004575a(1+0.4575%)=1.004575 a(元)3．独立探究方案1可将问题进一步分解为：1. 商品售价增值到多少？2. 各期所付款额的增值状况如何？3．当贷款全部付清时，电视售价与各期付款额有什么关系？4．提出解答,并给答辩：由商品价格=付款额，逆向思维：按利率0.4575%，从2月底起每2个月存入x元，到年底（也付x元）等于去年年底存入10000元的本息总和；得10000×
分期付款在数学中的应用 尚伟伟 长期以来，攒钱买东西一直是我们祖辈们的生活消费方式。现在，随着社会的进步，一种全新的消费方式已被广大群众所接受，那就是分期付款购房购车等。分期付款这种运作方式在今天的商业活动中，应用日益广泛，哪些实际问题采用分期付款比较划算？在分期付款的多种方案中，哪种方案最佳？商家采用的分期付款和课本中介绍的分期付款到底有多大的距离？实际问题中的分期付款是否只有复利计算。带着这些问题，我走访了一些相关人员进行了为期两周的调查研究。 一、分期付款的概念 分期付款有三个概念：一、分期付款：买方支付一笔定金或首付款后，其余款额在一段时间内付清。二、按揭付款：即购房抵押贷款，是购房者以所购房屋之产权作抵押，向银行分期支付本息的付款方式。三、一次还款：在贷款期限终了时，由借款人一次性付清本息，计算时间以天为单位。分期付款涉及面比较广，如购房、购车、购笔记本电脑，购手机及其它大件商品。 二、消费者的选择 “花明天的钱，圆今天的梦”，形容的就是分期付款中的贷款消费。在购买住房，轿车等商品时，一次性付款会超出许多居民的支付能力。绝大多数人愿意采用分期付款的方式购房，价格、环境、交通、位置是居民购房时要考虑的四大主要因素。对于如何支付高额的购房费用，48.3％的人希望选择十年分期付款，40％的人希望选择二十年分期付款，11.7％的人希望选择一次付性。这说明多数人已经认可分期付款的购房方式。 三、分期付款的方式 分期付款有多种方式，如果手头没有足够资金支付房款，但却有一定的支付潜力，选择分期付款方式较好。分期付款一般情况下是在购买期房时采用。购房人支付首期款时与开发商签订正式的房屋买卖契约，房屋交付使用时，交齐全部房款，办理产权过户。
研究性课题：分期付款中的有关计算·例题解析 【例1】 小芳同学若将每月省下的零花钱5元在月末存成月利按复利计算，月利为0.2%，每够一年就将一年的本和利改存为年利按复利计算，年利为6%，问三年后取出本利共多少元(保留到个位)？ 解析 先分析每一年存款的本利和，小芳同学一年要存款12次，每次存款5元，各次存款及其利息情况如下： 第12次存款5元，这时要到期改存，因此这次的存款没有月息； 第11次存款5元，过1个月即到期，因此所存款与利息之和为：5＋5×0.2%=5×(1＋0.2%)； 第10次存款5元，过2个月到期，因此存款与利息和为5×(1＋0.2%)2； …… 第1次存款5元，11个月后到期，存款与利息之和为5×(1＋0.2%)11． 于是每一年中各月的存款与利息的本利和为A ， A=5＋5×(1＋0.2%)＋5×(1＋0.2%)2＋…＋5×(1＋0.2%)11 =5(1＋1.002＋1.0022＋…＋1.00211) 第一年的A 元，改存后两年后到期的本利和为A(1＋6%)2； 第二年的A 元，改存后一年后到期的本利和为A(1＋6%)； 第三年的A 元，由于全部取出，这一年的存款没有利息． 三年后，取出的本利和为： A(1＋6%)2＋A(1＋6%)＋A ． 解：设每存一年的本利和为A ， 则 A=5×(1＋1.002＋1.0022＋…＋1.00211) 三年后取出的本利为y ， 则y=A ＋A(1＋6%)＋A(1＋6%)2 =A(1＋1.06＋1.062) =5×(1＋1.002＋1.0022＋…＋1.00211)(1＋1.06＋1.062) =5(1 1.06 1.06)2×·＋＋110021100212 --.. ≈193(元) 答：三年后取出本利共193元． 说明 这是应用问题，每月(年)存款到期后的本利和组成一个等比数列．
全国中文核心期刊· 财会月刊□2012．12中旬·· □一、分期付款的两种还款方式 分期付款这种消费方式和人们的生活密切相关。人们不仅用分期付款方式来买房、买车，还可以购买电脑、手机等。目前分期付款常见的还款方式有等额本息和等额本金两种还款方法。等额本息还款法是在还款期内每月偿还同等数额的贷款（包括本金和利息）。等额本息还款法本金逐月递增，利息逐月递减，月还款数不变。其相对于等额本金还款法的劣势在于支出利息较多，还款初期利息占每月供款的大部分，本金在供款中的比重逐渐增加。等额本金还款法是在还款期内把贷款数总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息，这样由于每月的还款本金额固定，而利息越来越少，贷款人起初还款压力较大，但是随时间的推移每月还款数 也越来越少。 二者相比，贷款期限、在贷款金额和利率相同的情况下，在还款初期，等额本金还款方式每月归还的金额要大于等额本息还款法。 但是按照整个还款期计算，等额本金还款方式会节省贷款利息的支出。总体来讲，等额本金还款方式适合有一定经济基础、能承担前期较大还款压力且有提前还款计划的借款人。等额本息还款方式因每月归还相同的款项，方便安排收支，适合经济条件不允许前期还款投入过大，收入较稳定的借款人。 二、等额本息与等额本金还款额计算的数学原理先介绍等额本息还款的数学原理。假设某人贷款总额为D 元，贷款分n 个月偿还，每个月的月末还款为P 元，月利率 分期付款的数学原理及计算方法 陈国栋（博士） （华北水利水电学院管理与经济学院郑州450011） 【摘要】本文分析了分期付款这种消费方式的数学原理和计算方法，并且用Excel 软件的公式与函数来计算分期付款还款额明细，结果清晰明了，可供实务工作者参考。 【关键词】分期付款Excel 等额本息等额本金□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 从表5列示的成本构成可以看出，在折旧费按全寿命周期计算后，单位吨水运行成本较可行性研究报告中的单位吨水运行成本高出20%多。 因此，不考虑污水处理厂固定资产的后续支出，必然导致折旧费以及按固定资产价值计提的修理费和大修费的低估，从而严重低估运行成本，高估盈利，致使盈利预测、经济可行性分析失去对污水处理项目投资决策的指导意义。 五、结论与建议 本文以采用A 2/O 工艺的某污水处理厂为例，通过计算其全寿命周期建设成本和单位吨水运行成本，并将这些成本与该厂可行性研究报告中的建设成本和单位吨水运行成本进行比较，可发现后者被严重低估，这在会计上就表现为盈利虚增，投资在全寿命周期内无法收回，长此以往污水处理厂将难以维持经营。而且，如果污水处理厂是采用BOT 或者TOT 方式运营的，则根据低估的运行成本确定的污水处理价格将不能弥补实际支出，同样导致污水处理厂难以为继。这也是我国当前很多污水处理厂面临的尴尬局面———花费大量资金建成却不能投入运行的根本原因所在。由于对运行成本估算不足，污水处理补贴不足以弥补实际运行成本，结果运行时间越长亏损越多，而减亏的唯一办法就是建成的污水处理厂不投入使用。 由此，可以进一步制定或者修改相关政策法规，从撰写可行性研究报告开始就强调正确计算污水处理厂全寿命周期建设成本和运行成本，使盈利预测、经济可行性分析更加符合实际情况，以便做出正确的投资决策，并为污水处理厂的满负荷运转奠定基础，为早日实现“资源节约型、环境友好型”社会做出贡献。 主要参考文献 1.建设部.市政工程投资估算编制办法.北京：中国计划出版社，2007 2.建设部，国家发展计划委员会.城市污水处理工程项目 建设标准.建标［2001］77号文，2001-04-16 3.福建省建设厅.福建省城镇污水处理厂运行管理标准. 闽建科［2007］79号文，2007-08-21 4.李伟民等.城镇污水处理厂可行性研究报告评审标准 的探讨.重庆建筑大学学报，2002；24 5.原培胜.城镇污水处理厂运行成本分析.环境科学与管 理，2008；33 6.陈功等.城市污水处理厂节能降耗途径.水处理技术，2012；38 7.柳丽红.浅析建设工程全寿命周期成本的控制.科技资 讯，2011；10 55
( 数学教案 ) 学校：_________________________ 年级：_________________________ 教师：_________________________ 教案设计 / 精品文档 / 文字可改 高一数学：分期付款中的有关计 算(教学设计) Mathematics is a tool subject, it is the basis for learning other subjects, and it is also a subject that improves people's judgment, analysis, and comprehension abilities.
高一数学：分期付款中的有关计算(教学设 计) 教学目的：1、知识目标:使学生掌握等比数列前n项和公式在购物付款方式中的应用;2、能力目标:培养学生搜集、选择、处理信息的能力，发展学生独立探究和解决问题的能力，提高学生的应用意识和创新能力;3、情感目标:通过学生之间、师生之间的交流与配合培养学生的合作意识和团队精神;通过独立运用数学知识解决实际问题培养学生勇于克服困难的坚强意志,也使学生体会学习数学知识的重要性,增强他们对数学学习的自信心和对数学的情感.教学重点：引导学生对例题中的分期付款问题进行独立探究教学难点：独立解决方案教学过程：一、引入：我国现代都市人的消费观念正在变迁——花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生；贷款购物,
分期付款已深入我们生活.但是面对商家和银行提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样的方式好呢？。二、问题：某村民欲买一台售价为1万元的背投式电视，除一次性付款方式外，商家还提供在1年内将款全部还清的前提下三种分期付款方案(月利率为0.4575%)：⑴购买后2个月第1次付款,再过2个月第2次付款…购买后12个月第6次付款；⑵购买后1个月第1次付款, 过1个月第2次付款…购买后12个月第12次付款；⑶购买后4个月第1次付款,再过4个月第2次付款,再过4个月第3次付款。你能帮他参谋选择一下吗？”三解决问题的过程： 1．启迪思维，留有余地：问题1：按各种方案付款每次需付款额分别是多分别是多少？每次付款额是10000的平均数吗？（显然不是，而会偏高）那么分期付款总额就高于电视售价，什么引起的呢？（利息）问题2：按各种方案付款最终付款总额分别是多分别是多少？（事实上，它等于各次付款额之和，于是可以归结为上一问题）。于是，本课题的关键在于按各种方案付款每次需付款额分别是多分别是多少？——设为x。 2．搜集、整理信息：
分期付款协议书 甲方：三一汽车起重机械有限公司 法定代表人： 住所地： 乙方： 身份证号码： 住所地： 年月日，在甲方与乙方签订的起重机产品买卖合同（合同编号：）中约定乙方通过银行按揭方式购买甲方生产的三一牌汽车起重机一台（设备编号：）。依照合同约定乙方应当向甲方支付首付款人民币元，现因乙方资金不足，乙方实际向甲方支付首付款人民币元，首付款不足部分人民币元，首付款不足部分乙方请求甲方先行为乙方垫付。 现甲、乙双方就甲方为乙方购买起重机所垫付款项的归还事宜经平等协商，达成如下协议： 1、乙方应当自年月开始还款，分月还清。 2、乙方每月应当偿还甲方人民币元，每月还款日为当月日之前。 3、如后期因银行调整利息或者其他原因导致乙方月还款增加的，甲方为乙方多垫付部分由乙方在年月日之前还清。
4、如乙方未及时、足额归还甲方为其垫付的款项，应当自违约之日次日起，向甲方支付违约金。违约金数额为还款不足额部分的万分之五/日，并计算复利，直至乙方还清全部垫付款之日止。 5、如乙方累计二个月未及时、足额归还甲方为其垫付的款项，则甲方有权采取任何形式的合法追偿，包括但不限于采取停止售后服务、锁机、诉讼或直接扣押该设备等措施，由此产生的所有费用均由乙方承担，乙方对此无异议。 6、甲方对乙方购买的设备采取停止售后服务、锁机、诉讼或直接扣押该设备等措施造成的乙方及相关第三方的一切损失，均有乙方承担，甲方不承担任何责任。 7、本协议产生纠纷，双方协商解决，协商不成，由甲方所在地法院管辖。 8、本协议自双方签字或盖章后生效。 9、本协议一式两份，甲、乙双方各执一份，各份具有相同的法律效力。 10、在签署本协议时，甲方就本协议的全部条款已向乙方、丙方进行了详细的说明和解释，三方对本协议的全部条款均无疑议，并对三方有关权利义务和责任限制或免除条款的法律有准确无误的理解。 甲方：（签章）乙方：（签章） 年月日年月日
2021年高考数学单元考点复习12 分期付款中的有关计算 教学目的： 通过“分期付款中的有关计算“的教学，使学生学会从数学角度对某些日常生活中的问题进行研究 教学重点：分期付款问题进行独立探究的基本步骤 教学难点：将实际问题转化为数学问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 研究性课题的教学有两个特点：一是不仅仅局限于书本知识，更有很多课外内容，如利率、复利计息、分期付款等专业术语的含义，以及现代网络技术的运用等，这样就使探究成败不决定于数学成绩的好坏，每一位学生都可以通过自己的思考与实践获得成功；其次，不仅仅拘泥于教师主演，也不仅仅注重研究的结果，更关注的是学生在学习过程中提出问题、分析问题、解决问题的能力和心理体验,这就为学生个性的发展，能力的提高，创新精神的培养提供了广阔的空间而正因有这样的特点，就导致了不仅仅该课题本身是开放的（具有解法和结论的不确定性），其教学本身也是开放性的，这就有可能出现教师事先没预料到的问题，从而也为促进教学相长提供了好机会 研究性课题是应教改需要在新教材中新加的一个专题性栏目，为突出研究性课题的实践性，课前和课后都安排学生进行社会调查实践；为突出研究性课题的探究性，对学生适当启发引导，大胆放手，让学生独立分析和解决问题另外以突出学生主体地位为根本去设计教学环节；以面向全体学生为原则而采取分层次的教学方式，并且采用了现代网络技术等多媒体教学手段辅助教学，提高了课堂效率和教学效果 教学过程： 一、复习引入： 1．研究性课题的基本过程： 生活实际中的问题存在的可行方案启迪思维留有余地 搜集整理信息独立探究个案提出解答并给答辩 创建数学模型验证并使用模型结论分析 2．分期付款使用模型：分期付款购买售价为a 的商品,分n 次经过m 个年（月）还清贷款,每年（月）还款x,年（月）利率为p,则每次应付款： 1 )1(1)1()1(-+? ?? ???-++= m n m m p p p a x
【例1】 小芳同学若将每月省下的零花钱5元在月末存成月利按复利计算，月利为0.2%，每够一年就将一年的本和利改存为年利按复利计算，年利为6%，问三年后取出本利共多少元(保留到个位)？ 解析 先分析每一年存款的本利和，小芳同学一年要存款12次，每次存款5元，各次存款及其利息情况如下： 第12次存款5元，这时要到期改存，因此这次的存款没有月息； 第11次存款5元，过1个月即到期，因此所存款与利息之和为：5＋5×0.2%=5×(1＋0.2%)； 第10次存款5元，过2个月到期，因此存款与利息和为5×(1＋0.2%)2； …… 第1次存款5元，11个月后到期，存款与利息之和为5×(1＋0.2%)11． 于是每一年中各月的存款与利息的本利和为A ， A=5＋5×(1＋0.2%)＋5×(1＋0.2%)2＋…＋5×(1＋0.2%)11 =5(1＋1.002＋1.0022＋…＋1.00211) 第一年的A 元，改存后两年后到期的本利和为A(1＋6%)2； 第二年的A 元，改存后一年后到期的本利和为A(1＋6%)； 第三年的A 元，由于全部取出，这一年的存款没有利息． 三年后，取出的本利和为： A(1＋6%)2＋A(1＋6%)＋A ． 解：设每存一年的本利和为A ， 则 A=5×(1＋1.002＋1.0022＋…＋1.00211) 三年后取出的本利为y ， 则y=A ＋A(1＋6%)＋A(1＋6%)2 =A(1＋1.06＋1.062) =5×(1＋1.002＋1.0022＋…＋1.00211)(1＋1.06＋1.062) =5(1 1.06 1.06)2×·＋＋110021100212 --.. ≈193(元) 答：三年后取出本利共193元．
2021年高考数学单元考点复习13 分期付款中的有关计算 教学目的： 通过“分期付款中的有关计算“的教学，使学生学会从数学角度对某些日常生活中的问题进行研究 教学重点：分期付款问题进行独立探究的基本步骤 教学难点：将实际问题转化为数学问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 研究性课题的教学有两个特点：一是不仅仅局限于书本知识，更有很多课外内容，如利率、复利计息、分期付款等专业术语的含义，以及现代网络技术的运用等，这样就使探究成败不决定于数学成绩的好坏，每一位学生都可以通过自己的思考与实践获得成功；其次，不仅仅拘泥于教师主演，也不仅仅注重研究的结果，更关注的是学生在学习过程中提出问题、分析问题、解决问题的能力和心理体验,这就为学生个性的发展，能力的提高，创新精神的培养提供了广阔的空间而正因有这样的特点，就导致了不仅仅该课题本身是开放的（具有解法和结论的不确定性），其教学本身也是开放性的，这就有可能出现教师事先没预料到的问题，从而也为促进教学相长提供了好机会 研究性课题是应教改需要在新教材中新加的一个专题性栏目，为突出研究性课题的
实践性，课前和课后都安排学生进行社会调查实践；为突出研究性课题的探究性，对学生适当启发引导，大胆放手，让学生独立分析和解决问题另外以突出学生主体地位为根本去设计教学环节；以面向全体学生为原则而采取分层次的教学方式，并且采用了现代网络技术等多媒体教学手段辅助教学，提高了课堂效率和教学效果 教学过程： 一、复习引入： 研究性课题的基本过程： 生活实际中的问题存在的可行方案启迪思维留有余地 搜集整理信息独立探究个案提出解答并给答辩 创建数学模型验证并使用模型结论分析 二、例题讲解 例某地区荒山2200亩，从1995年开始每年春季在荒山植树造林，第一年植树100亩，以后每一年比上一年多植树50亩 （1）若所植树全部都成活，则到哪一年可将荒山全部绿化? （2）若每亩所植树苗、木材量为2立方米，每年树木木材量的自然增长率为20%，那么全部绿化后的那一年年底，该山木材总量为S，求S的表达式. （3）若1.2≈4.3，计算S（精确到1立方米）. 分析：由题意可知，各年植树亩数为： 100，150，200，……成等差数列
2019-2020年高中数学第三章分期付款中的有关计算（1）教 案 教学目的： 1、知识目标:使学生掌握等比数列前n项和公式在购物付款方式中的应用; 2、能力目标:培养学生搜集、选择、处理信息的能力，发展学生独立探究和解决问题的能力，提高学生的应用意识和创新能力; 3、德育目标:使学生抓住社会现象的本质，用科学的、辨证的眼光观察事物,建立科学的世界观; 4、情感目标:通过学生之间、师生之间的交流与配合培养学生的合作意识和团队精神;通过独立运用数学知识解决实际问题培养学生勇于克服困难的坚强意志,也使学生体会学习数学知识的重要性,增强他们对数学学习的自信心和对数学的情感. 教学重点：引导学生对例题中的分期付款问题进行独立探究 教学难点：独立解决方案 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节课是等比数列的前n项和公式在购物方式上的一个应用.此前学生已掌握等比数列的通项公式及其前n项和公式,并学习了教材中的阅读材料:有关储蓄的计算(单利计息问题)，也就是说学生在知识和应用能力方面都有了一定基础其次，《全日制普通高中数学教学大纲（试验修订版）》将研究性课题列为必修内容，是为迎接知识经济的挑战而培养学生创新精神和创新能力的一项开创性工作研究性学习注重的是让学生学会学习和研究，关注的是研究过程，其核心是创新意识的培养本研究性课题,是所学知识的实际应用,因此对培养学生的应用意识也具有很高的价值.又由于它在本小节中首次出现,学生对如何学习研究性课题比较模糊,所以能否将研究性课题中以实际问题为载体，以学生独立探究为主体的特点突现出来，也影响着今后研究性课题的教学效果. 问题是数学的心脏.而爱因斯坦有句名言:提出问题比解决问题更重要.而培养学生提问题的能力就很有必要在研究课题之前让学生了解课题的产生背景.所以我利用现代网络技术等多媒体教学手段将学生带入问题情境，既自然地创建了轻松愉快的气氛和生动活泼的环境,更重要的是引起学生的认知冲突. 教学过程： 一、引入： 1．.幽默故事:一位中国老太太与一位美国老太太在黄泉路上相遇.美国老太太说,她住了一辈子的宽敞房子,也辛苦了一辈子,昨天刚还清了银行的住房贷款.
2019-2020年高考数学单元考点复习13 分期付款中的有关计算 教学目的： 通过“分期付款中的有关计算“的教学，使学生学会从数学角度对某些日常生活中的问题进行研究 教学重点：分期付款问题进行独立探究的基本步骤 教学难点：将实际问题转化为数学问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 研究性课题的教学有两个特点：一是不仅仅局限于书本知识，更有很多课外内容，如利率、复利计息、分期付款等专业术语的含义，以及现代网络技术的运用等，这样就使探究成败不决定于数学成绩的好坏，每一位学生都可以通过自己的思考与实践获得成功；其次，不仅仅拘泥于教师主演，也不仅仅注重研究的结果，更关注的是学生在学习过程中提出问题、分析问题、解决问题的能力和心理体验,这就为学生个性的发展，能力的提高，创新精神的培养提供了广阔的空间而正因有这样的特点，就导致了不仅仅该课题本身是开放的（具有解法和结论的不确定性），其教学本身也是开放性的，这就有可能出现教师事先没预料到的问题，从而也为促进教学相长提供了好机会 研究性课题是应教改需要在新教材中新加的一个专题性栏目，为突出研究性课题的实践性，课前和课后都安排学生进行社会调查实践；为突出研究性课题的探究性，对学生适当启发引导，大胆放手，让学生独立分析和解决问题另外以突出学生主体地位为根本去设计教学环节；以面向全体学生为原则而采取分层次的教学方式，并且采用了现代网络技术等多媒体教学手段辅助教学，提高了课堂效率和教学效果 教学过程： 一、复习引入： 研究性课题的基本过程： 生活实际中的问题→存在的可行方案→启迪思维留有余地 →搜集整理信息→独立探究个案→提出解答并给答辩 →创建数学模型→验证并使用模型→结论分析 二、例题讲解 例某地区荒山2200亩，从1995年开始每年春季在荒山植树造林，第一年植树100亩，以后每一年比上一年多植树50亩 （1）若所植树全部都成活，则到哪一年可将荒山全部绿化? （2）若每亩所植树苗、木材量为2立方米，每年树木木材量的自然增长率为20%，那么全部绿化后的那一年年底，该山木材总量为S，求S的表达式. （3）若1.28≈4.3，计算S（精确到1立方米）. 分析：由题意可知，各年植树亩数为： 100，150，200，……成等差数列 解：（1）设植树n年可将荒山全部绿化，则：100n+ 2)1 (- n n ×50=2200 解之得n=8或n=－11（舍去）
分期付款中的有关计算（二） 教学目的：通过“分期付款中的有关计算“的教学，使学生学会从数学角度对某些日常生活中的问题进行研究教学重点：分期付款问题进行独立探究的基本步骤教学难点：将实际问题转化为数学问题一、复习引入：1．研究性课题的基本过程：生活实际中的问题存在的可行方案启迪思维留有余地搜集整理信息独立探究个案提出解答并给答辩创建数学模型验证并使用模型结论分析2．分期付款使用模型：分期付款购买售价为a的商品,分n 次经过m个年（月）还清贷款,每年（月）还款x,年（月）利率为p,则每次应付款：二、例题讲解例1购买一件售价为a元的商品。采用分期付款时要求在m个月内将款全部付清，月利率为p，分n(n 是m的约数)次付款，那么每次付款数的计算公式为推导过程：设每次付款x则：第1期付款x元（即购货后个月时），到付清款时还差个月，因此这期所付款连同利息之和为：……第n期付款（即最后一次付款）x元时，款已付清，所付款没有利息.各期所付的款连同到最后一次付款时所生的利息之和为：货款到m个月后已增值为根据规定可得：即：解之得：例2 某人，公元XX年参加工作，考虑买
房数额较大。需做好长远的储蓄买房计划，打算在XX年的年底花50万元购一套商品房，从XX年初开始存款买房，请你帮我解决下列问题：方案1：从XX年开始每年年初到建设银行存入3万元，银行的年利率为1.98%，且保持不变，按复利计算（即上年利息要计入下年的本金生息），在XX年底，可以从银行里取到多少钱？若想在XX年底能够存足50万，每年年初至少要存多少呢？方案2：若在XX年初向建行贷款50万先购房，银行贷款的年利率为4.425%，按复利计算，要求从贷款开始到XX年要分XX年还清，每年年底等额归还且每年1次，每年至少要还多少钱呢？方案3：若在XX年初贷款50万元先购房，要求从贷款开始到XX年要分5期还清，头两年第1期付款，再过两年付第二期…，到XX年底能够还清，这一方案比方案2好吗？启迪思维，留有余地：问题1：按各种方案付款每次需付款额分别是多分别是多少？每次付款额是50万元的平均数吗？（显然不是，而会偏高）那么分期付款总额就高于买房价，什么引起的呢？（利息）问题2：按各种方案付款最终付款总额分别是多分别是多少？（事实上，它等于各次付款额之和，于是可以归结为上一问题）。于是，本课题的关键在于按各种方案付款每次需付款额分别是多分别是多少？——设为x。搜集、整理信息：(1)分期付款中规定每期所付
分期付款中的有关计算（2） 教学目的： 通过“分期付款中的有关计算“的教学，使学生学会从数学角度对某些日常生活中的问题进行研究 教学重点：分期付款问题进行独立探究的基本步骤 教学难点：将实际问题转化为数学问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 研究性课题的教学有两个特点：一是不仅仅局限于书本知识，更有很多课外内容，如利率、复利计息、分期付款等专业术语的含义，以及现代网络技术的运用等，这样就使探究成败不决定于数学成绩的好坏，每一位学生都可以通过自己的思考与实践获得成功；其次，不仅仅拘泥于教师主演，也不仅仅注重研究的结果，更关注的是学生在学习过程中提出问题、分析问题、解决问题的能力和心理体验,这就为学生个性的发展，能力的提高，创新精神的培养提供了广阔的空间而正因有这样的特点，就导致了不仅仅该课题本身是开放的（具有解法和结论的不确定性），其教学本身也是开放性的，这就有可能出现教师事先没预料到的问题，从而也为促进教学相长提供了好机会研究性课题是应教改需要在新教材中新加的一个专题性栏目，为突出研究性课题的实践性，课前和课后都安排学生进行社会调查实践；为突出研究性课题的探究性，对学生适当启发引导，大胆放手，让学生独立分析和解决问题环节；以面向全体学生为原则而采取分层次的教学方式，并且采用了现代网络技术等多媒体教学手段辅助教学，提高了课堂效率和教学效果 教学过程： 一、复习引入： 1．研究性课题的基本过程： 生活实际中的问题→存在的可行方案→启迪思维留有余地 →搜集整理信息→独立探究个案→提出解答并给答辩 →创建数学模型→验证并使用模型→结论分析 2．分期付款使用模型：分期付款购买售价为a 的商品,分n 次经过m 个年（月）还清贷款,每年（月）还款x,年（月）利率为p,则每次应付款： 1)1(1)1()1(-+??????-++=m n m m p p p a x 二、例题讲解
课 题：分期付款中的有关计算（一） 教学目的： 1、知识目标:使学生掌握等比数列前n 项和公式在购物付款方式中的应用; 2、能力目标:培养学生搜集、选择、处理信息的能力，发展学生独立探究和解决问题的能力，提高学生的应用意识和创新能力; 3、德育目标:使学生抓住社会现象的本质，用科学的、辨证的眼光观察事物,建立科学的世界观; 4、情感目标:通过学生之间、师生之间的交流与配合培养学生的合作意识和团队精神;通过独立运用数学知识解决实际问题培养学生勇于克服困难的坚强意志,也使学生体会学习数学知识的重要性,增强他们对数学学习的自信心和对数学的情感. 教学重点：引导学生对例题中的分期付款问题进行独立探究 教学难点：独立解决方案 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节课是等比数列的前n 项和公式在购物方式上的一个应用.此前学生已掌握等比数列的通项公式及其前n 项和公式,并学习了教材中的阅读材料:有关储蓄的计算(单利计息问题)，也就是说学生在知识和应用能力方面都有了一定基础 其次，《全日制普通高中数学教学大纲（试验修订版）》将研究性课题列为必修内容，是为迎接知识经济的挑战而培养学生创新精神和创新能力的一项开创性工作生学会学习和研究，关注的是研究过程，其核心是创新意识的培养本研究性课题,是所学知识的实际应用,因此对培养学生的应用意识也具有很高的价值.又由于它在本小节中首次出现,学生对如何学习研究性课题比较模糊,所以能否将研究性课题中以实际问题为载体，以学生独立探究为主体的特点突现出来，也影响着今后研究性课题的教学效果. 问题是数学的心脏.而爱因斯坦有句名言:提出问题比解决问题更重要.而培养学生提问题的能力就很有必要在研究课题之前让学生了解课题的产生背景.所以我利用现代网络技术等多媒体教学手段将学生带入问题情境，既自然地创建了轻松愉快的气氛和生动活泼的环境,更重要的是引起学生的认知冲突. 教学过程： 一、引入： 1．.幽默故事:一位中国老太太与一位美国老太太在黄泉路上相遇.美国老太太说,她住了一辈子的宽敞房子,也辛苦了一辈子,昨天刚还清了银行的住房贷款.而中国老太太却叹息地说,她三代同堂一辈子,昨天刚把买房的钱攒足. 指出：我国现代都市人的消费观念正在变迁——花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生；贷款购物,分期付款已深入我们生活.但是面对商家和银行提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样的方式好呢？2．基本公式： 1.等差数列的前n 项和公式： 2)(1n n a a n S +=， 2 )1(1d n n na S n -+=
分期付款中的有关计算（二）分期付款中的有关计算（二） 教学目的： 通过“分期付款中的有关计算“的教学，使学生学会从数学角度对某些日常生活中的问题进行研究 教学重点：分期付款问题进行独立探究的基本步骤 教学难点：将实际问题转化为数学问题 一、复习引入： 1．研究性课题的基本过程： 生活实际中的问题存在的可行方案启迪思维留有余地 搜集整理信息独立探究个案提出解答并给答辩 创建数学模型验证并使用模型结论分析 2．分期付款使用模型：分期付款购买售价为a的商品,分n次经过个年（月）还清贷款,每年（月）还款x,年（月）利率为p,则每次应付款： 二、例题讲解 例1购买一件售价为a元的商品。采用分期付款时要求在个月内将款全部付清，月利率为p，分n(n是的约数)次付款，那么每次付款数的计算公式为 推导过程：设每次付款x
则：第1期付款x元（即购货后个月时），到付清款时还差个月，因此这期所付款连同利息之和为： …… 第n期付款（即最后一次付款）x元时，款已付清，所付款没有利息. 各期所付的款连同到最后一次付款时所生的利息之和为： 货款到个月后已增值为 根据规定可得： 即： 解之得： 例2某人，公元2000年参加工作，考虑买房数额较大。需做好长远的储蓄买房计划，打算在2010年的年底花50万元购一套商品房，从2001年初开始存款买房，请你帮我解决下列问题： 方案1：从2001年开始每年年初到建设银行存入3万元，银行的年利率为1.98%，且保持不变，按复利计算（即上年利息要计入下年的本金生息），在2010年年底，可以从银行里取到多少钱？若想在2010年年底能够存足50万，每年年初至少要存多少呢？ 方案2：若在2001年初向建行贷款50万先购房，银行贷款
分期付款中的有关计算（1） 教学目的： 1、知识目标:使学生掌握等比数列前n 项和公式在购物付款方式中的应用; 2、能力目标:培养学生搜集、选择、处理信息的能力，发展学生独立探究和解决问题的能力，提高学生的应用意识和创新能力; 3、德育目标:使学生抓住社会现象的本质，用科学的、辨证的眼光观察事物,建立科学的世界观; 4、情感目标:通过学生之间、师生之间的交流与配合培养学生的合作意识和团队精神;通过独立运用数学知识解决实际问题培养学生勇于克服困难的坚强意志,也使学生体会学习数学知识的重要性,增强他们对数学学习的自信心和对数学的情感. 教学重点：引导学生对例题中的分期付款问题进行独立探究 教学难点：独立解决方案 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节课是等比数列的前n 项和公式在购物方式上的一个应用.此前学生已掌握等比数列的通项公式及其前n 项和公式,并学习了教材中的阅读材料:有关储蓄的计算(单利计息问题)，也就是说学生在知识和应用能力方面都有了一定基础 其次，《全日制普通高中数学教学大纲（试验修订版）》将研究性课题列为必修内容，是为迎接知识经济的挑战而培养学生创新精神和创新能力的一项开创性工作会学习和研究，关注的是研究过程，其核心是创新意识的培养本研究性课题,是所学知识的实际应用,因此对培养学生的应用意识也具有很高的价值.又由于它在本小节中首次出现,学生对如何学习研究性课题比较模糊,所以能否将研究性课题中以实际问题为载体，以学生独立探究为主体的特点突现出来，也影响着今后研究性课题的教学效果. 问题是数学的心脏.而爱因斯坦有句名言:提出问题比解决问题更重要.而培养学生提问题的能力就很有必要在研究课题之前让学生了解课题的产生背景.所以我利用现代网络技术等多媒体教学手段将学生带入问题情境，既自然地创建了轻松愉快的气氛和生动活泼的环境,更重要的是引起学生的认知冲突. 教学过程： 一、引入： 1．.幽默故事:一位中国老太太与一位美国老太太在黄泉路上相遇.美国老太太说,她住了一辈子的宽敞房子,也辛苦了一辈子,昨天刚还清了银行的住房贷款.而中国老太太却叹息地说,她三代同堂一辈子,昨天刚把买房的钱攒足. 指出：我国现代都市人的消费观念正在变迁——花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生；贷款购物,分期付款已深入我们生活.但是面对商家和银行提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样的方式好呢？ 2．基本公式： 1.等差数列的前n 项和公式： 2 )(1n n a a n S += ， 2)1(1d n n na S n -+=
excel现值、终值、分期付款、利率及还款期
一、现值计算PV、FV、PMT、RATE、NPER 在Excel中，计算现值的函数是PV，其语法格式为：PV（rate，nper，pmt，[fv]，[type]）。其中：参数rate为各期利率，参数nper为投资期（或付款期）数，参数pmt为各期支付的金额。省略pmt参数就不能省略fv参数；fv参数为未来值，省略fv参数即假设其值为0，也就是一笔贷款的未来值为零，此时不能省略pmt参数。type 参数值为1或0，用以指定付款时间是在期初还是在期末，如果省略type则假设值为0，即默认付款时间在期末。 案例1：计算复利现值。某企业计划在5年后获得一笔资金1000000元，假设年投资报酬率为10%，问现在应该一次性地投入多少资金？ 在Excel工作表的单元格中录入：=PV（10%，5，0，-1000000），回车确认，结果自动显示为620921.32元。 案例2：计算普通年金现值。购买一项基金，购买成本为80000元，该基金可以在以后20年内于每月月末回报600元。若要求的最低年回报率为8%，问投资该项基金是否合算？在Excel工作表的单元格中录入：=PV（8%/12，12*20，-600），回车确认，结果自动显示为71732.58元。71732.58元为应该投资金额，如果实际购买成本要80000元，那么投资该项基金是不合算的。 案例3：计算预付年金现值。有一笔5年期分期付款购买设备的业务，每年年初付500000元，银行实际年利率为6%.问该项业务分期付款总额相当于现在一次性支付多少价款？在Excel工作表的单元格中录入：=PV（6%，5，-500000，0，1），回车确认，结果自动显示为2232552.81元。即该项业务分期付款总额相当于现在一次性支付