高中数学新课标典型例题：研究性课题：分期付款中的有关计
算
【例1】 小芳同学若将每月省下的零花钱5元在月末存成月利按复利计算，月利为0.2%，每够一年就将一年的本和利改存为年利按复利计算，年利为6%，问三年后取出本利共多少元(保留到个位)？
解析 先分析每一年存款的本利和，小芳同学一年要存款12次，每次存款5元，各次存款及其利息情况如下：
第12次存款5元，这时要到期改存，因此这次的存款没有月息；
第11次存款5元，过1个月即到期，因此所存款与利息之和为：5＋5×0.2%=5×(1＋0.2%)；
第10次存款5元，过2个月到期，因此存款与利息和为5×(1＋0.2%)2； ……
第1次存款5元，11个月后到期，存款与利息之和为5×(1＋0.2%)11． 于是每一年中各月的存款与利息的本利和为A ，
A=5＋5×(1＋0.2%)＋5×(1＋0.2%)2＋…＋5×(1＋0.2%)11
=5(1＋1.002＋1.0022＋…＋1.00211)
第一年的A 元，改存后两年后到期的本利和为A(1＋6%)2；
第二年的A 元，改存后一年后到期的本利和为A(1＋6%)；
第三年的A 元，由于全部取出，这一年的存款没有利息．
三年后，取出的本利和为：
A(1＋6%)2＋A(1＋6%)＋A ．
解：设每存一年的本利和为A ，
则 A=5×(1＋1.002＋1.0022＋…＋1.00211)
三年后取出的本利为y ，
则y=A ＋A(1＋6%)＋A(1＋6%)2
=A(1＋1.06＋1.062)
=5×(1＋1.002＋1.0022＋…＋1.00211)(1＋1.06＋1.062)
=5(1 1.06 1.06)2×·＋＋110021100212
--..
≈193(元)
答：三年后取出本利共193元．
说明 这是应用问题，每月(年)存款到期后的本利和组成一个等比数列．
【例2】 某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营能使每年资金平均增长率为50%，但每年年底都要扣除消费基金x 万元，余下基金投入再生产，为实现经过5年资金达到2000万元(扣除消费基金后)，那么每年应扣除消费基金多少万元(精确到万元)？
解 第一年余下的基金为
1000(150%)x =1000x a =1000x 1×＋－×－令×－，第二年余下的基金为3232 (1000x)(150%)x =1000a =10002×－·＋－×即×32
321323213222⎛⎝ ⎫⎭⎪-+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪-+⎛⎝ ⎫⎭
⎪x x
依此类推，得
a =1000a =100034××321323232132323232423⎛⎝ ⎫⎭⎪-++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎛⎝ ⎫⎭⎪-++⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥x x
a =10005×321323232325234⎛⎝ ⎫⎭⎪-++⎛⎝ ⎫⎭
⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥x 为了经过5年使资金达到2000万元，令
a 5=2000
于是得关于消费基金x 的方程：
1000x =20005234×32132323232⎛⎝ ⎫⎭⎪-++⎛⎝ ⎫⎭
⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥ 解这个方程，得
3211323222433225
554⎛⎝ ⎫⎭⎪--⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪32
x =10002000x =1000·×－×
211 16179 32
16 211179
32
x=1000
x=1000×
∴××
x≈424
答：每年约扣除消费基金424万元
