立体几何小题难题训练 一．选择题 1．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则过点A与AB、BC、CC1所成角均相等的直线有（） A．1条 B．2条 C．4条 D．无数条 2．如图，平面PAB⊥平面α，AB?α，且△PAB为正三角形，点D是平面α内的动点，ABCD是菱形，点O为AB中点，AC与OD交于点Q，I?α，且l⊥AB，则PQ与I所成角的正切值的最小值为（） A．B．C．D．3 3．如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列说法中正确的有（） ①存在点E使得直线SA⊥平面SBC； ②平面SBC内存在直线与SA平行 ③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行； ④存在点E使得SE⊥BA． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，∠BCA=90°，BC=CA=2，若该棱柱的所有顶点都在体积为的球面上，则直线B1C与直线AC1所成角的余弦值为（） A． B．C．D．
5．已知异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一点，则过点P与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有（） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 6．已知矩形ABCD，AB=1，BC=．将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（） A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直 B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直 C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直 7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（） A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条 8．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在对角线BD1上，给出以下命题： ①当P在BD1上运动时，恒有MN∥面APC； ②若A，P，M三点共线，则=； ③若=，则C1Q∥面APC； ④若过点P且与正方体的十二条棱所成的角都相等的直线有m条；过点P且与直线AB1和A1C1所成的角都为60°的直线有n条，则m+n=7． 其中正确命题的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4
数学立体几何练习题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上 的点，A 1M ＝AN ＝ 2a 3 ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定 2．将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面CBD ，E 是CD 中点，则AED ∠的大小为（ ） A.45 B.30 C.60 D.90 3．PA ，PB ，PC 是从P 引出的三条射线，每两条的夹角都是60o，则直线PC 与平面PAB 所成的角的余弦值为（ ） A ． 12 B C D 4．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1与CC 1的中点，则直线ED 与D 1F 所成角的余弦值是 A ． 15 B 。13 C 。 12 D 5． 在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC 、 AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于（ ） A ．510 B ．3 2 C ．55 D ．515 6．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2，A A 1=1，则点A 到平面A 1BC 的距离为（ ） A ． 4 3 B ． 2 3 C ． 4 3 3 D ．3 7．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2BB 1,则AB 1与C 1B 所成的角的大小为 （ ） A.60o B. 90o C.105o D. 75o 8．设E ，F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面 A 1ECF 成60°角的对角线的数目是（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则 sin 〈CM ，1D N 〉的值为_________. 10．如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点， A 、B 、M 是顶点， 那么点M 到截面ABCD 的距离是 . A B M D C
2017-2019高考文数真题分类解析 ----立体几何（选择题、填空题） 1．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 【答案】B 【解析】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件，由面面平行性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件，故选B ． 【名师点睛】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,a b a b αβ??∥，则αβ∥”此类的错误． 2．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则 A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 【答案】B 【解析】如图所示，作EO CD ⊥于O ，连接ON ，BD ，易得直线BM ，EN 是三角形EBD 的中线，是
相交直线. 过M 作MF OD ⊥于F ，连接BF ， Q 平面CDE ⊥平面ABCD ，,EO CD EO ⊥?平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ， MFB ∴△与EON △均为直角三角形．设正方形边长为2，易知12EO ON EN ===,， 5 ,22 MF BF BM = =∴=BM EN ∴≠，故选B ． 【名师点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角形.解答本题时，先利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题． 3．【2019年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是 A ．158 B ．162 C ．182 D ．324 【答案】B 【解析】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，
六、立体几何选择填空题 1．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点E ，F 分别是线段AB ，11C D 上的动点，点P 是上底面1111A B C D 内一动点，且满足点P 到点F 的距离等于点P 到平面11ABB A 的距离，则当点P 运动时，PE 的最小值是（ ） A ．5 B ．4 C ． D ． 2．如图在一个二面角的棱上有两个点 A ， B ，线段,A C B D 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，=46,AB cm AC cm =， 8,BD cm CD ==，则这个二面角的度数为（ ） A ．30? B ．60? C ．90? D ．120? 3．如图，P 是正方体1111ABCD A B C D -对角线1AC 上一动点， 设 AP 的长度为x ，若PBD ?的面积为(x)f ，则(x)f 的图象大致是（ ） 4．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1 A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线A B 与1C C 所成的角的余弦值为（ ） （A （B （C （D ）34 5．正方形ABCD 的边长为2，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且1AE =，1 2 BF = ，将此正 方形沿DE 、DF 折起，使点A 、C 重合于点P ，则三棱锥P DEF -的体积是（ ） A ． 13 B C D 6．如图所示，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝PD.则棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值是（ ） A. 2:1 B. 1:1 C. 1:2 D. 1:3 7．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，有如下四个结论： ①AC ⊥BD ;②△ACD 是等边三角形;③AB 与平面BCD 所成的角为60°; ④AB 与CD 所成的角为60°.其中错误．． 的结论是 A ．① B ．② C ．③ D ．④ 8．如图是正方体或四面体,P,Q,R,S 分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图是( ) 9．如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为1的正方形， 若∠A 1AB=∠ A 1AD=60o，且A 1A=3，则A 1C 的长为（ ） A B ． C D 10．如图，在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝BC ＝1， 动点P ，Q 分别在线段C 1D ，AC 上，则线段PQ 长度的最小值是( )． B. C. 23 11．如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2 的等边三角形，侧棱长为3，则BB 1与平面AB 1C 1所成的角为( )． A. 6π B. 4π C.3π D. 2 π 12．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1A B 上存在 一点P 使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为 （ ） A ．2 B ．2 C ．2 D
立体几何 选填题 一、选择题 1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．3π B ．4π C ．24π+ D ．34π+ 2．设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α?，m β?（ ） A ．若l β⊥，则αβ⊥ B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若//l β，则//αβ D ．若//αβ，则//l m 3．如下图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一正方体被截去一部分后所得几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A.54 B.162 C.54183+162183+ 4．设直线,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则//αβ的一个充分条件是（ ） A.//,//,m n m n αβ⊥ B.//,,//m n m n αβ⊥ C.,//,m n m n αβ⊥⊥ D. ,,//m n m n αβ⊥⊥ 5．已知,αβ是两个不同的平面，,m n 为两条不重合的直线，则下列命题中正确的为（ ） A ．若αβ⊥，n αβ=I ，m n ⊥，则m α⊥ B ．若m α?，n β?，//m n ，则//αβ C ．若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥ D ．若//m α，//n β，//m n ，则//αβ 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．23 B ．1 C ．43 D ．2 8．已知两个不同的平面a ，β和两条不重合的直线m ，n ，则下列四个命题中不正确的是（ ） A ．若//m n ，m a ⊥，则n a ⊥ B ．若m a ⊥，m β⊥，则//a β C ．若m a ⊥，//m n ，n β?，则a β⊥ D ．若//m a ，a n β=I ，则//m n 9．已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为（ ） 10．已知直线m ?平面β，直线l 平面α，则下列结论中错误的是（ ） A ．若l β⊥，则//m α B ．若//l m ，则αβ⊥ C ．若//αβ，则l m ⊥ D ．若αβ⊥，则//l m 11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A ．103 B ．163 C ．5 D ．10 12．下列命题正确的是（ ） A ．两两相交的三条直线可确定一个平面 B ．两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面一定平行 C ．过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行 D ．和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线 13．某椎体的三视图如图所示，则该棱锥的最长棱的棱长为（ ）
立体几何多项选择题专项训练及详解多项选择题：本题共 4小题，每题 5分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求 .全部选对的得 5 分，部分选对的 得 3 分，有选错的得 0 分 . 1．等腰直角三角形直角边长为 1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体 的表面积可以为（） A ．B．C．D． 解析：若绕一条直角边旋转一周时，则圆锥的底面半径为 1，高为 1，所以母线长 l ＝，这时表面积为 ?2π?1?l +π?12＝（ 1+ ）π； 若绕斜边一周时旋转体为 L 两个倒立圆锥对底组合在一起，且由题意底面半径为，一个圆锥的母线长为 1，所以表面积 S＝ 2 2 ?1＝，综上所述该几何体的 表面积为， 答案： AB 2．已知α，β是两个不重合的平面， m，n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（） A ．若 m∥ n， m⊥ α，则 n⊥ αB．若 m∥ α，α∩ β＝ n，则 m∥n C．若 m⊥ α， m⊥ β，则α∥βD．若 m⊥α，m∥ n， n∥ β，则 α∥β 解析： A．由 m∥ n，m⊥ α，则 n⊥ α，正确； B．由 m∥ α，α∩ β＝n，则 m与 n 的位置关系不确定； C．由 m⊥ α，m⊥β，则α∥β正确 D ．由 m⊥α，m∥n， n∥β，则α⊥β，因此不正确． 答案： AC
3．已知菱形 ABCD 中，∠ BAD ＝60°， AC与BD 相交于点 O．将△ ABD 沿 BD 折起，使顶点 A 至点 M ，在折起的过程中，下列结论正确的是（） A ．BD⊥ CM B ．存在一个位置，使△ CDM 为等边三角形 C ．DM 与 BC 不可能垂直 D ．直线 DM 与平面 BCD 所成的角的最大值为 60°
A 1 C B A B 1 C 1 D 1 D O 高三数学·单元测试卷(九) 第九单元 [简单几何体]，交角与距离 (时量:120分钟 150分) 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有 A ．18对 B ．24对 C ．30对 D ．36对 2．．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为 A ．π28 B ．π8 C ．π24 D ．π4 3．设三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点，且PA ＝QC 1，则四棱锥B －APQC 的体积为 A ．V 6 B ．V 4 C ．V 3 D ．V 2 4．如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE 、△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为 A ． 3 2 B ． 3 3 C ．3 4 D ．32 5．设α、β、γ为平面，l n m 、、为直线，则β⊥m 的一个充分条件是 A ．l m l ⊥=?⊥,,βαβα B ．γβγαγα⊥⊥=?,,m C ．αγβγα⊥⊥⊥m ,, D ．αβα⊥⊥⊥m n n ,, 6．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 的中心，则O 到平面ABC 1D 1的距离为 A ．12 B ．24 C ．22 D ．32 7．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有 A ．3个 B ．4个 C ．6个 D ．7个 8．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AB 、C 1D 1的中点，则直线A 1B 1与平面A 1ECF
《立体几何 》练习题 一、 选择题 1、一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（ ） A 、垂直 B 、平行 C 、相交不垂直 D 、不确定 2. 在正方体1111ABCD A B C D -中, 与1A C 垂直的是（ ） A. BD B. CD C. BC D. 1CC 3、线n m ,和平面βα、，能得出βα⊥的一个条件是( ) A.βα//n ,//m ,n m ⊥ B.m ⊥n ,α∩β=m ,n ?α C.αβ?⊥m n n m ,,// D.βα⊥⊥n m n m ,,// 4、平面α与平面β平行的条件可以是（ ） A.α内有无穷多条直线与β平行； B.直线a//α,a//β C.直线a α?,直线b β?,且a//β,b//α D.α内的任何直线都与β平行 5、设m 、n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n //α，则m n ⊥ ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m //α，n //α，则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ 其中正确命题的序号是( ) A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④ 6.点P 为ΔABC 所在平面外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O,若PA=PB=PC ， 则点O 是ΔABC 的（ ） A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 7. 若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面， 则下列命题中为真命题的是（ ） A ．若//,,l n αβαβ??，则//l n B ．若,l αβα⊥?，则l β⊥ C. 若,//l l αβ⊥，则αβ⊥ D ．若,l n m n ⊥⊥，则//l m 8. 已知两个平面垂直，下列命题中正确的个数是（ ） ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面； ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面. A.3 B.2 C.1 D.0 9． 设m.n 是两条不同的直线,α.β是两个不同的平面, （ ） A ．若m∥α,n∥α,则m∥n B ．若m∥α,m∥β,则α∥β C ．若m∥n,m⊥α,则n ⊥α D ．若m∥α,α⊥β,则m⊥β
立体几何选择填空训练题1 一、选择题 1、已知正四棱锥1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦 值等于 （ ） A ．2 3 B C D ．1 3 【答案】A 2、已知正四棱锥ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于 （A ）23 （B ） （C （D ）1 3 3、设l 为直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是 （ B ） A ．若//l α,//l β,则//αβ B ．若l α⊥,l β⊥,则//αβ C ．若l α⊥,//l β,则//αβ D ．若αβ⊥,//l α,则l β⊥ 4、平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为 （ B ） （A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π 5已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中 ，2AB =，1CC =E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为 ( D ) （A ）2 （B （C （D ）1 6、设l 是直线，a ，β是两个不同的平面 A. 若l ∥a ，l ∥β，则a ∥β B. 若l ∥a ，l ⊥β，则a ⊥β C. 若a ⊥β，l ⊥a ，则l ⊥β D. 若a ⊥β, l ∥a ，则l ⊥β 【答案】B 7、下列命题正确的是（ ） A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 【答案】C 8、已知三棱柱ABC - A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影
三年高考（2014-2016）数学（理）试题分项版解析 第十章立体几何 一、选择题 1.【2014高考北京理第8题】如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上．若EF＝1，A1E＝x，DQ＝y，DP＝z(x，y，z大于零)，则四面体P—EFQ的体积( ) A．与x，y，z都有关 B．与x有关，与y，z无关 C．与y有关，与x，z无关 D．与z有关，与x，y无关 【答案】D
考点：点到面的距离;锥体的体积. 【名师点睛】本题考查空间下几何体中相应点的坐标以及四面体的体积，点到面的距离，本题属于基础题，要准确确定三角形的底和高，利用锥体的体积求出多面体的体积. 2. 【2014高考北京理第7题】在空间直角坐标系Oxyz 中,已知 (2,0,0)(2,2,0),(0,2,0),(1,1,2)A B C D .若123,,S S S 分别是三棱锥D ABC -在 ,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ） A ．123S S S == B ．21S S =且23S S ≠ C ．31S S =且32S S ≠ D ．32S S =且31S S ≠ 【答案】D 【解析】 试题分析：三棱锥ABC D -在平面xoy 上的投影为ABC ?，所以21=S ， 设D 在平面yoz 、zox 平面上的投影分别为2D 、1D ，则ABC D -在平面yoz 、zox 上的投影分别为2OCD ?、1OAD ?，因为)2,1,0(1D ，)2,0,1(2D ，所以212=-S S ， 故选D. 考点：三棱锥的性质，空间中的投影，难度中等. 【名师点睛】本题考查空间直角坐标系下几何体的位置和相应点的坐标以及正投影的概念，正投影的位置、形状和面积，本题属于基础题，要准确写出点的坐标，利用坐标求出三角形的面积. 3. 【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条 相互垂直的半径.若该几何体的体积是 283 π ,则它的表面积是（ ） （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π
立体几何基础选择题 1 l ， m 是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题正确的是 （ ） ：设 A 、若 l m ， m ，则 l B 、若 l ， l ∥ m ，则 m C 、若 l ∥ ， m ，则 l ∥ m D 、若 l ∥ ， m ∥ ，则 l ∥ m 2：在空间，下列命题正确的是 ( ) A 、平行于同一平面的两条直线平行 B 、平行于同一直线的两个平面平行 C 、垂直于同一平面的两个平面平行 D 、垂直于同一平面的两条直线平行 3：用 a 、 b 、 c 表示三条不同的直线， 表示平面，给出下列命题正确的有： ( ) ①若 a ∥ b ， b ∥ c ，则 a ∥ c ； ②若 a ⊥ b ， b ⊥ c ，则 a ⊥ c ； ③若 a ∥ ， b ∥ ，则 a ∥ b ；④若 a ⊥ ， b ⊥ ，则 a ∥ b . A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④ 4：给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行； ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 . 其中，为真命题的是 （ ） A ．①和② B ．②和③ C ．③和④ D ．②和④ 5：设 , 是两个不同的平面， l 是一条直线，以下命题正确 （ ） A ．若 l , ，则 l B ．若 l ∥ , ∥ ，则 l C ．若 l , ∥ ，则 l D ．若 l ∥ , ，则 l 6：已知 m, n 是两条不同直线， , , 是三个不同平面，下列命题中正确的是 （ ） A ． 若 m ∥ , n ∥ ,则 m ∥ n B ． 若, ,则 ∥ C ． 若 m ∥ , m ∥ ,则 ∥ D ．若 m , n ，则 m ∥ n 7：设有直线 m, n 和平面 , . 下列四个命题中，正确的是 ( ) A. 若 m ∥ ,n ∥ , 则 m ∥ n B. 若 m ,n ,m ∥ ,n ∥ , 则 ∥ C. 若 ， m , 则 m D. 若 ， m ， m , 则 m ∥ 8：已知直线 m, n 与平面 , ，给出下列三个命题： ①若 m ∥ ， n ∥ ，则 m ∥ n ； ② 若 m ∥ ， n ，则 m n ； ③ 若 m ， m ∥ ，则 ． 其中真命题的个数是 ( ) A ．0 B ．1 C ． 2 D ． 3 9：在正四面体 P － ABC 中， D ， E ， F 分别是 AB ， BC ， CA 的中点，下列不成立 的是 （ ） ．．． A 、 BC // , l , n l // n , l l 若 l n, m n ，则 l // m D ．若 l, l // ，则 11：设 a ， b 为两条直线， ， 为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是 （ ） A 、若 a ，b 与 所成的角相等， 则 a ∥ b B 、若 a ∥ ，b ∥ ， ∥ ，则 a ∥ b C 、若 a ， b ， a ∥ b ，则 ∥ D 、若 a ， b ， ，则 a b 12：设 m,n 是不同的直线， 、 、 是不同的平面，有以下四个命题 // // ；② m m m// n m // ① m// ；③ ；④ ； // m // n 其中正确的命题是 （ ） Ａ．①④； Ｂ．②③； Ｃ．①③； Ｄ．②④； 13：已知直线 m 、 n ，平面 、 , 给出下列命题 :
高三数学立体几何练习 题及答案 Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】
江苏省盐城高级中学2009届高三数学立体几何周练一．填空题 1 平面图形的面积是 2 方体木块的个数是 5 ． 3．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得到这个几何体的体积是___________ 4 3 π ____3 cm． 4．已知m n 、是不重合的直线，αβ 、是不重合的平面，有下列命题：（1）若,// n m n αβ=，则//,// m m αβ； （2）若, m m αβ ⊥⊥，则// αβ； （3）若//, m m n α⊥，则nα ⊥； （4）若, m n αα ⊥?，则. m n ⊥ 其中所有真命题的序号是(2)(4)． 俯视 主视图左视图 主视图左视图 俯视图 x′
5．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 1345 （写出所有正确结论的编号．． ）。 ①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体。 6. 已知一正方体的棱长为m ，表面积为n ；一球的半径为,p 表面积为q ，若 2m p =，则n q = 6π 7．给出下列四个命题： ⑴ 过平面外一点，作与该平面成θ00(090θ<≤）角的直线一定有无穷多 条； ⑵ 一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行； ⑶ 对确定的两条异面直线，过空间任意一点有且只有唯一的一个平面与这两条异面直线都平行； ⑷ 对两条异面的直线,a b ，都存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等； 其中正确命题的序号为_____24________（请把所有正确命题的序号都填上）． ８．已知三条不重合的直线两个不重合的平面，有下列命题： ①若||,m n n α?，则||m α；②若,l m αβ⊥⊥，且||l m ，则||αβ；③若 ,,||,||,m n m n ααββ??则||αβ；④若 ,,,m n n m αβαββ⊥=?⊥，则n α⊥。 其中正确的序号为 ②④ 9.有两个相同的直三棱柱，高为a 2 ，底面 三角形的三边长分别为)0(5,4,3>a a a a 用 它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是____0 高考立体几何专练训练 一、选择题：（只有一个选项是正确） 1、平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动 点C 的轨迹是A （A ）一条直线 （B ）一个圆（C ）一个椭圆 （D ）双曲线的一支 2、过平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB 1D 1平行的直线有D A.4条 B.6条 C.8条 D.12条 3、棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图1, 则图中三角形(正四面体的截面)的面积是C A.22 B.32 2 3 4、过半径为2的球O 表面上一点A 作球O 的截面，若OA 与该截面所成的角是60°则该截面的面积是A A ．π B. 2π C. 3π D. π32 5、如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题．．． 是B A ．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 B ．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 C ．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D ．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 6、已知平面α外不共线的三点A,B,C 到α的距离都相等,则正确的结论是D A.平面ABC 必平行于α B.平面ABC 必与α相交 C.平面ABC 必不垂直于α D.存在△ABC 的一条中位线平行于α或在α内 7、已知球O 的半径是1，A 、B 、C 三点都在球面上，A 、B 两点和A 、C 两点的球面距离都是4π，B 、C 两点的球面距离是3 π，则二面角B OA C --的大小是C （A ）4π B ）3π （C ）2π （D ）23 π 8、正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与面ACC 1A 1所成角的正弦等于A (A) 64 10 (C) 22 (D) 32 9、设n m l ,,均为直线,其中n m ,在平面α内，则“l ⊥α”是“l m l n ⊥⊥且”的A (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件 10、把边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角, 折成直二面角后, 在A ,B ,C ,D 四点所在的球面上, B 与D 两点之间的球面距离为 C (A)22π (B)π (C)2π (D) 3 π 11、棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别 是棱AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为D A 2 B ．1 C ．21+ D 2 12、正方体1AC 的棱长为1，过点A 作平面1A BD 的垂线，垂足为H ，则下列命题中错误．．的命D A ．点H 是1A BD △的垂心 B ．AH 垂直平面11CB D C ．AH 的延长线经过点1C D ．直线AH 和1BB 所成角为45 F E D C B A 立体几何专题复习 热点一：直线与平面所成的角 例1．（2014，广二模理 18） 如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形， EF ∥平面ABCD ， 1EF =，,90FB FC BFC ?=∠=，3AE =. （1）求证：AB ⊥平面BCF ； （2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值. 变式1：（2013湖北8校联考）如左图，四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，2,1,5,DB DC BC === 2.AB AD ==将左图沿直线BD 折起，使得二面角A BD C --为60,?如右图. （1）求证：AE ⊥平面;BDC （2）求直线AC 与平面ABD 所成角的余弦值. 变式2：[2014·福建卷] 在平面四边形ABCD 中，AB ＝BD ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD .将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图1-5所示． (1)求证：AB ⊥CD ； (2)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值． 热点二：二面角 例2．[2014·广东卷] 如图1-4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E. (1)证明：CF⊥平面ADF；(2)求二面角D-AF-E的余弦值． 变式3：[2014·浙江卷] 如图1-5，在四棱锥A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝ 2. (1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求二面角B-AD-E的大小． 变式4：[2014·全国19] 如图1-1所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC 上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2. (1)证明：AC1⊥A1B; (2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3，求二面角A1 -AB -C的大小． 立体几何基本概念选择三十题 姓名：_________________ 正确个数：_________________ 选择题（共30小题） 1．（2012?浙江）设l是直线，α，β是两个不同的平面（） A ．若l∥α，l∥β，则α∥ β B ． 若l∥α，l⊥β，则α⊥ β C ． 若α⊥β，l⊥α，则l⊥ β． 若α⊥β，l∥α，则l ⊥β 2．（2011?浙江）若直线l不平行于平面α，且l?α，则（） A ．α内存在直线与l异面B ． α内存在与l平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与l平行D ． α内的直线与l都相交 3．（2011?浙江）下列命题中错误的是（） A ． 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B ． 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C ． 如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γ D ． 如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 4．（2010?浙江）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（） A若l⊥m，m?α，则l⊥α B若l⊥α，l∥m，则m⊥α C若l∥α，m?α，则l∥m D若l∥α，m∥α，则l∥m 5．（2010?江西）如图，M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题 ①过M点有且只有一条直线与直线 AB、B1C1都相交； ②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直； ③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交； ④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行． 其中真命题是（） A ．②③④B ． ①③④C ． ①②④D ． ①②③ 6．（2008?江西）设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是（）A ． 在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直 B ． 过直线m有且只有一个平面与平面α垂直 C与直线m垂直的直线不可能与平面α平行 高考立体几何试题——选择填空 1．(安徽文把边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角,折成直二面角后,在A,B,C,D四点所在的球面上,B与D两点之间的球面距离为（C ） (A (B (C (D 2．（北京文）平面平面的一个充分条件是（） Ａ．存在一条直线 Ｂ．存在一条直线 Ｃ．存在两条平行直线 Ｄ．存在两条异面直线 3．（福建理）已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ D ） A． B． C． D． 4．（福建理）顶点在同一球面上的正四棱柱中，，则两点间的球面距离为（ B ） A． B． C． D． 5．（湖北理）平面外有两条直线和，如果和在平面内的射影分别是和，给出下列四个命题： ①；②；③与相交与相交或重合； ④与平行与平行或重合．其中不正确的命题个数是（Ｄ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 6．（湖北文）在棱长为1的正方体中，分别为棱的中 点，为棱上的一点，且．则点到平面的距离为（ D ） Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ． 7．（湖南理）棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱 ，的中点，则直线被球截得的线段长为（ D ） A． B． C． D． 8．（湖南文）如图1，在正四棱柱中， 分别是，的中点，则以下结论中不成立的是（ D ） A．与垂直 B．与垂直 C．与异面 D．与异面 9．（江苏）已知两条直线，两个平面．给出下面四个命题： ①，；②，，； ③，；④，，． 其中正确命题的序号是（C） Ａ．①、③Ｂ．②、④Ｃ．①、④Ｄ．②、③ 10．（江西理）如图，正方体的棱长为，过点作平面的垂线，垂足为点，则以下命题中，错误的命题是（）D Ａ．点是的垂心 高考立体几何试题——选择填空 高考立体几何试题——选择填空 1．(安徽文)把边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角,折成直二面角后,在A ,B ,C ,D 四点所在的球面上,B 与D 两点之间的球面距离为（C ） (A)22π (B)π (C) 2 π (D) 3 π 2．（北京文）平面α∥平面β的一个充分条件是（ ） Ａ．存在一条直线a a ααβ，∥，∥ Ｂ．存在一条直线a a a αβ?，，∥ Ｃ．存在两条平行直线a b a b a b αββα??，，，，∥，∥ Ｄ．存在两条异面直线a b a a b αβα?，，，∥，∥ 3．（福建理）已知m n ，为两条不同的直线，αβ，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ D ） A ．m n m n ααββαβ???，，∥，∥∥ B ．m n m n αβαβ???∥，，∥ C ．m m n n αα?⊥，⊥∥ D ．n m n m αα?∥，⊥⊥ 4．（福建理）顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD A B C D ''''-中，1AB AA '==，A C ，两点间的球面距离为（ B ） A ． π4 B ． π2 C ． 4 π D ． 2 π 5．（湖北理）平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是m '和n '，给出下列四个命题： ①m n m n ''⊥?⊥； ②m n m n ''⊥?⊥； ③m '与n '相交?m 与n 相交或重合； ④m '与n '平行?m 与n 平行或重合． 其中不正确的命题个数是（ Ｄ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 6．（湖北文）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别为棱11AA BB ，的中点，G 为棱11A B 上的一点，且1(01)A G λλ=≤≤．则点G 到平面1D EF 的距离为（ D ） 高考数学高效复习优质专题及经典解析 立体几何选择填空压轴题专练 一、选择题 1．如图，矩形ABCD 中， 2AB AD =， E 为边AB 的中点，将ADE ?沿直线DE 翻转成1A DE ?（1A ?平面ABCD ）．若M 、O 分别为线段1A C 、DE 的中点，则在ADE ?翻转过程中，下列说法错误的是（ ） A. 与平面1A DE 垂直的直线必与直线BM 垂直 B. 异面直线BM 与1A E 所成角是定值 C. 一定存在某个位置，使DE MO ⊥ D. 三棱锥1A ADE -外接球半径与棱AD 的长之比为定值 【答案】C 【解析】取CD 的中点F ，连BF,MF,如下图： 可知面MBF// 1A DE ,所以 A 对。 取1A D 中点G,可知//EG BM ，如下图，可知B 对。 点A 关于直线D E 的对为F,则DE ⊥面1A AF ，即过O 与DE 垂直的直线在平面1A AF 上。故C 错。 三棱锥1A ADE -外接球的球心即为O 点，所以外接球半径为 2 AD 。故D 对。选C 2．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为 ，则h =（ ） A ．． 【答案】B 【解析】 由三视图可知该几何体是三棱锥，其中底面是矩形，边长为6，5，高为h ，所以体积 1 563 V h h =???==3．如图，矩形ABCD 中,AB=2AD,E 为边AB 的中点，将△ADE 高考数学高效复习优质专题及经典解析 沿直线DE 翻折成△A 1DE ．若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻折过程中，下面四个命题中不正确的是 A ．｜BM ｜是定值 B ．点M 在某个球面上运动 C ．存在某个位置，使DE ⊥A 1 C D ．存在某个位置，使MB//平面A 1D E 【答案】C 【解析】 取CD 中点F ，连接MF ，BF ，则MF//A 1D 且MF=2 1A 1D,FB//ED 且 FB=ED 所以DE A MFB 1∠=∠，由余弦定理可得MB 2=MF 2+FB 2 -2MF ?FB ?cos ∠MFB 是定值，所以 M 是在以B 为圆心，MB 为半径的球上，可得①②正确．由MF//A 1D 与 FB//ED 可得平面MBF ∥平面A 1DE ，可得④正确；A 1C 在平面ABCD 中的射影为AC ，AC 与DE 不垂直，可得③不正确．故答案为：①②④． 4．如图，正四面体D ABC -的顶点A 、B 、C 分别在两两垂直的三条射线Ox ， Oy ， Oz 上，则在下列命题中，错误的是 ( ) A. O ABC -是正三棱锥 B. 直线OB 与平面ACD 相交立体几何选择填空专练
(完整版)立体几何典型例题精选(含答案)
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