《立体几何初步》测试题
、选择题（本大题共 10小题，每小题6分，共60 分）
1. 在空间四点中，无三点共线是四点共面的是（
）
A.
充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充分不必要条件
D.
既不充分又不必要条件
2. 若a // b , b c A ，则a, c 的位置关系是（
）
相交直线
相交直线或异面直线 a 的半圆面，那么此圆锥的轴截面是
B. 等腰直角三角形
D ?其他等腰三角形
4.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是 一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边 长为&高为4的等腰三角形?则该几何体的体积为（ ）
A 48
B 64
C 96
D 192
上，则这个球的表面积是（ A. 25 B ? 50
4、2 3
7.若I 、m n 是互不相同的空间直线，a 真命题的是（ ）
A.若 // ,l ,n ，则 I // n B C. 若 l ,l// ，贝U D
5.长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3,4,5，且它的 8个顶点都在同一球面
6.已知正方体外接球的体积是
32 3
那么正方体的棱长等于
（）
A.异面直线
B.
C.平行直线
D. 3 .圆锥的侧面展开图是直径为 （ ） A.等边三角形
C.顶角为30°的等腰三角形
? 125
?都不对
B 是不重合的平面，贝U 下列命题
中为 ?若 ,l ，则l
8.如图，在正方体ABCD A i BiGD i 中，E, F, G, H 分别为
AA , AB , BB i , B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的
角等于（）
A. 45°
B. 60°
C. 90°
D. 120°
9.已知两个平面垂直，下列命题
①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线;
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；
③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面
其中正确的个数是（）
10.平面与平面平行的条件可以是（
A.内有无穷多条直线与平行；
B.且a 的任何直线都与平行
）
直线a ,直线b
、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11.直观图（如右图）中，四边形O' A B' C为
菱形且边长为2cm,则在xoy坐标中四边形ABCD
为______ ，面积为________ ^.
12.长方体ABC—A1B1GD中，AB=2 BC=3 AA=5，则一只小虫从A点沿长方体的
表面爬到C点的最短距离是_____________ .
13.已知直线b
14. 正方体的内切球和外接球的半径之比为 ________
15. 如图，△ ABC是直角三角形，ACB=90 , PA 平面ABC此图
形中有—个直角三角形
16.将正方形ABC［沿对角线BD折成直二面角A- BD- C,有如下四个
结论：（1）ACL BD （2）^ACD是等边三
角形
（3）AB与平面BCD所成的角为60°;（4）AB与CD所成的角为
60 其中正确结论的序号为____
三、解答题（本大题共4小题，共60分）
17. （10分）如图，PA L平面ABC平面PAB1平面PBC 求证：AB丄BC
18. （10分）在长方体 ABCD AB 1C 1D 1中，已知DA DC 4, DD 1 3，求异面直线 A|B 与B ,C 所成角的
余弦值
。.
19. （ 12分）在四棱锥P-ABCD 中, △ PBC 为正三角形，AB 丄平面PBC AB// CD 1
AB=DC E 为PD 中点.
2
⑴求证：AE//平面PBC
（2）求证：AE !平面PDC.
AE PB 于 E , AF PC 于 F 求证：(1) BC 平面PAB ;
(2) AE 平面 PBC ;
(3) PC 平面 AEF .
21.
(14分)已知△ BCD 中，/ BCD 90°, BC=CD=1, A 吐平面 BCD
AE AF
/ ADB 60°, E 、F 分别是AC AD 上的动点，且 竺竺 (0
1).
AC AD
(I)求证：不论入为何值，总有平面
BEFL 平面ABC
20. （14分）如图，P 为 ABC 所在平面外一点，PA 平面ABC ,
ABC 90 ,
E
P
(H)当入为何值时，平面BEFL平面ACD
(0 1), 《立体几何初步》测试题参考答案
1-5 DDABB 6-10 DCBCD 11.矩形 8
12.
5?..2
13. 平行或在平面内;
14. 正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径， 设棱长是a
15. 4 16. ( 1)( 2)( 4)
17. 证明：过 A 作AD 丄PB 于D,由平面PABL 平面PBC ，得AD 丄平面PBC 故
ADL BC,
又BC L PA 故BC L 平面PAB 所以BC L AB
18. 连接AD ， AD//B 1C, BAQ 为异面直线A .B 与B “C 所成的角.
连接 BD ，在△ A ,DB 中，A ,B A ,D 5, BD 4 2， 2 2 2 A 1B 2 A 1
D 2 BD 2
25 25 32 9
则 cos BAD 1
1 .
2 A 1B A 1D
2 5 5
25
1
19. (1)证明：取PC 的中点M,连接EM 则EM/ CDEM 二DC 所以有EM/ AB 且 EM=AB,
2 则四边形ABM 是平行四边形.所以AE// BM,因为AE 不在平面PBC 内,所以AE//平 面 PBC.
(2)因为AB 丄平面PBC AB// CD 所以CDL 平面PBC CD L BM.由(1)得,BM 丄PC, 所以BML 平面PDC 又AE// BM 所以AEX 平面PDC. 20.证明 :(1) T PA 平面
ABC ，? PA BC ，- ?? ABC 90，
? AB BC ，
又PA AB A ? BC 平面 PAB.
⑵ T BC 平面 PAB 且AE 平面 PAB ，二BC AE ，又：PB AE ，且
BC PB B ，二 AE 平面 PBC.
⑶ T AE 平面 PBC ，二 AE PC ，又 T AF PC ，且 AE AF A ，二 PC
平面AEF .
21.证明：(I)T AB 丄平面 BCD ??? AB 丄 CD, T CDL BC 且 ABA BC=B ? CD 丄平面 ABC. 又 AE AF
AC AD
???不论入为何值，恒有 EF// CD ??? EF 丄平面 ABC EF 平面BEF, ???不论入为何值恒有平面 BEF 丄平面 ABC.
a 2r 内切球，r 内切球
|"a
2r
外接球
，r 外接球 2 , r 内切球：r 外接球
(H)由(I)知，BE丄EF,又平面BEF丄平面ACD
?BE丄平面ACD ? BE丄AC.
?/ BC=CD=1 / BCD=90，/ ADB=60 ,
?BD 2, AB , 2 tan 60 .. 6,
AC 呱AB―BC2v J7,由AB2=AE - AC 得AE _L, 些_6
盲’ AC 7
6 故当6时，平面BEF丄平面ACD.
7