微积分第三章答案
习题3-1 1. 验证函数f(x)?x4?x在区间[0,4]上满足罗尔定理的条件，并求出使得结论成立的点?。解：显然函数f(x)?x4?x在区间[0,4]上连续，在(0,4)上可导，且有f(0)?f(4)?0 所以函数在区间[0,4]上满足罗尔定理，则有f?(?)?4????24???0，??8。
32. 验证函数f(x)?x3?1在区间[1,2]上满足拉格朗日中值定理的条件，并求出使得结论成立的?。解：函数f(x)?x3?1在区间[1,2]上连续，在(1,2)上可导，则满足拉格朗日中值定理，则有7f(2)?f(1)?3?2，即??。2?133. 函数f(x)?x4?1与g(x)?x2在区间[1,2]上是否满足柯西中值定理的所有条件，如满足，求出满足定理的数值?。解：函数f(x)?x?1与g(x)?x在区间上连续，在区间(1,2)上可导，则满足柯西中值425f(2)?f(1)4?3定理，则有，
即??。?2g(2)?g(1)2?4. 若4次方程a0x4?a1x3?a2x2?a3x?a4?0有4个不同的实根，证明4a0x3?3a1x2?2a2x?a3?0 的所有根皆为实根。证明：设f(x)?a0x4?a1x3?a2x2?a3x?a4，f(x)?0的四个实根分别为x1,x2,x3,x4，且x1?x2?x3?x4，则函数f(x)在[xi,xi?1](i?1,2,3)上满足罗尔定理的条件，则在(xi,xi?1)内至少存在一点?i，使得f?(?i)?0。这说明方程4a0x3?3a1x2?2a2x?a3?0至少有3个实根，而方程为3次方，则最多也只有3个实根，所以结论得到证明。 5. 设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(1)?0，证明：存在??(0,1)，使得f?(?)??f(?)?。解：构造辅助函数F(x)?xf(x)，而F(x)?xf(x)满足罗尔定理的条件，所以有在(0,1)，至少存在一点?，f(?)??f?(?)?0即f?(?)??6. 试用拉格朗日中值定理证明：sinx2?sinx1?x2?x1；当x?0时，f(?)?。x?ln(1?x)?x。1?x 解：设f(x)?sinx，则f(x)在区间(x1,x2)
上满足拉格朗日中值定理，则有sinx1?sinx2sinx1?sinx2?cos?,??(x1,x2)，又因为cos??1，则?1，x1?x2x1?x2sinx1?sinx2?x1?x2。设f(x)?ln(1?x)，则f(x)在区间(0,x)上满足拉格朗日中值定理，则有ln(1?x)1111ln(1?x)??1，???1，则??(0,x)，又因为1?xx1?x1??x1??即x?ln(1?x)?x 1?x。7. 证明等式：arctanx?arccotx??2。证明：设f(x)?arctanx?arccotx，则有f?(x)?(arctanx?arccotx)??0，所以f(x)?c，代入x?0，得到arctanx?arccotx??2。
8.设f(x)在[1,2]上具有二阶导数f??(x)，且f(2)?f(1)?0。若F(x)?(x?1)f(x)。证明：至少存在一点??(1,2)，使得F??(?)?0。证明：因为F(1)?F(2)?0，在[1,2]上应用罗尔定理，有F?(?1)?0，又因为F?(1)?0，所以在[1,?1]上应用罗尔定理，有F??(?)?0，[1,?1]?[1,2]。9.设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，证明：在(a,b)内存在点?和?，使得
f?(?)?a?bf?(?)。2?证明：构造辅助函数g(x)?x2，f(x)与g(x)在(a,b)内满足柯西中值定理，即有f(b)?f(a)f?(?)f(b)?f(a)，??(a,b) ??22?g(b)? g(a)g(?)b?a而f(x)在(a,b)内满足拉格朗日中值定理，所以f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)，即f?(?)? a?bf?(?)。2?习题3-2 1. 用洛必达法则求下列极限：x3?3x?2sinaxx?sinxlim；lim；lim3；x?0sinbxx?0x?1x?x2?x?1x3ln(x?)(lnx)tan x2；lim；lim；lim??x????tanxxx?tan3xx?2221?limxex；
(8) limxcotx;lim(secx?tanx)；x?0x?022x??21x1tanx?)；lim?x；limxx；lim(x???x?1x?1x?0lnx1x11?xlim(1?sinx);
(14) limxx?0x?1 解：；limx?0sinbxx?0(sinbx)?x?0bcosbx0bx?sin x(x?sinx)?1?cosxsinx10lim?lim?lim?lim?；；332x?0x?0x?0x?00x(x)?3x6x6 ；
0x3?3x?2(x3?3x?2)?3x2?36x3lim32?lim3 2?lim2?lim?x?1x?x?x?1x?1(x?x?x?1)?x?1 3x?2x?1x?16x?22；；lim ?lim??lim?lim?3；?tan3x?cosxsi n3x?cosx??sinx?x?x?x?x?2222 ；lim?lim?limx???x????x(x)?x???22lnx?1x? 4limlnx?0；x???1x2xln(x?)(ln(x?))?cos2x?22 ；lim??lim??lim??0；??????tanx(tanx )x?x?x?222x?2112??1 ；limx2ex?limx?0e?limx?01x?0x2x?0x2ex(?
22)3x??；2?3x ；limxcotx?limx?0x?1；tanx ；lim(secx?tanx)?lim[x??2x??21sinx1?sinx? cosx?]?lim?lim?0；?sinxcosxcosxx ??cosxx?22 ；x1xlnx?(x?1)lnx ?)?lim?limx?1x?1x?1x?1 x?1lnx(x?1)lnxlnx?xxlnxlnx?11?lim?；
?limx?1xlnx?x?1x?1lnx?22 lim( ；limlnxtanxlimtanxlnxlnx?x?0cotxlimsin2x xx?0?lim
limx?x?0tanx?ex?0??ex?0?1?e?e?e0?1；
；limx?ex???x???01xlimlnxx?elnxx???xlim? e1x???xlim?e0?1；；? lim(1?sinx)?ex?01x1limln(1?sinx)xx?0?ex ?0lim1?xlnxlimxln(1?sinx)1?ex?0limln(1? sinx)x?ex?0lim1?sinxcosx?e；；limxx?1?11?x?e11?limlnxxx?1?ex?11?ex? 1?。elim?xl2.验证下列极限存在，但不能用洛必达法则求出。1x；limx?sinx。limx??x?0sinxxx2sin解：用洛必达法则求：11112xsin?x2cos(?2)x?limxxx?lim(2xsin1 ?cos1)，求不出limx?0sinxx?0x?0cosxxx1x2sinx?limx?xsi n1?limx?limxsin1?0；用一般的方法：limx?0sinxx?0sinxxx?0sinxx?0xx2sin用洛必达法则求：limx?sinx1?cosx?lim?lim(1?cosx)，求不出x??x??x??x1用一般的方法：limx?sinxsinx?lim(1?)?1?0?1。x??x??xx3.设f(x)在x?0处二阶可导，且
f(0)?0，试确定a的值使g(x)在x?0处可导，并求g?(0)，其中?f(x)x?0? g(x)??x x?0??a解：因为函数f(x)在x?0处二阶可导，则函数在x?0处一定连续，即有limf(x)?f(0)?0，x?0又因为函数g(x)在x?0处可导，所以函数在x?0处也一定连续，即有limg(x)?g(0),limx?0x?0f(x)f?(x)?lim?limf ?(x)?a x?0x?0x1根据导数的定义以及洛必达法则，有f(x)?ag(x)?g(0)f(x)?ax g?(0)?lim ?limx?lim2x?0x?0x?0xxx
f(?1)??1?0,f(0)?1?0。根据零点定理，f(x)在内有一零点，另一方面，对于任意实数x，有f?(x)?5x4?1?0，所以f(x)在(??,??)内单调增加，因此，曲线y?f(x)与x轴有且只有一个实根。
5. 求下列函数的的凹凸区间以及拐点：y?3x4?4x3?1；y?4?3x?9；y?xex；y?x?ln(1?x)；y? 解：函数的定义域为(??,??) 322又因为
y??12x?12x,y???36x?24x?36x(x?)?0，得到x?0,x?2xarctanx；. y?e21?x232 3在(??,0)内，y???0，所以函数在此区间上是凹的，在(0,)内，y???0，所以函数在此区间上是凸的。在(,??)内，y???0所以函数在此区间上是凹的。且点(0,1)和点(,2323211)是曲线的拐点。327函数的定义域为(??,??)。因为y???112，易见函数在x?9处不可导。,y???5333(x?9)29(x?9)当x?9时，y???0，曲线是凸的；当x?9时，y???0曲线是凹的。点(9,4)为曲线的拐点。函数的定义域为(??,??)。因为y??e?xe,y???e(x?2)?0，得x??2。当x??2时，y???0，曲线是凸的；当x??2时，y???0曲线是凹的。点(?2,?2e)为曲线的拐点。函数的定义域为(?1,??)。因为y??1??2xxx11,y????0。2x?1(1?x)所以当x??1时，y???0曲线是凹的。函数的定义域为(??,??) 2(1?x2)4x(x2?3)又因为y??2,y????0，得到x??3,x?0,x?3 23(x?1)(1?x)在(??,?3)内，
y???0，所以函数在此区间上是凸的在(3,0)内，y???0，所以函数在此区间上是凹的，在(0,3)内，y???0，所以函数在此区间上是凸的。在(3,??)内，y???0所以函数在此区间上是凹的。且点(?3,?33),(0,0),(3,)是曲线的拐点。22函数的定义域为(??,??)。earctanxearctanx(1?2x)1x?因为y??2，得。,y????0222x?1(1?x)1arctan1112)为曲当x?时，y???0，曲线是凸的；当x?时，y???0曲线是凹的。点(,e222线的拐点。
6. 利用函数图形的凹凸性，证明下列不等式：1nx?yn(x?yn)?() (x?0,y?0x,?y,n?；1 22x?ycosx?cosy???(,。)] cos[x,y??2222 证明：作辅助函数f(t)?t,t?(0,??) 当n?1时，f?(t)?ntn?1n,f??(t)?n(n?1)tn?2?0，所以f(t)在(0,??)内是凹的。1nx?yn(x?yn)?()22。凹性定义?x,y?(0,??),x?y，有作辅助函数f(x)?1?cosx,x?(???,)，22因为f?(x)??sinx,f??(x)??cosx?0，所以f(x)
在(?凸性定义?x,y?(???,)内是凸的。22??x?ycosx?cosy,),x?y，有cos?2222。
7. 问a及b为何值时，点(1,1)为曲线y?ax3?blnx的拐点？解：因为点(1,1)在曲线y?ax3?blnx上，所以有1?a。2又因为y??3ax,y???6ax?b x2且点(1,1)是曲线的拐点，所以有6a?b?0 即得b?6。
8. 试确定曲线y?ax3?bx2?cx?d中的a、b、
c、d，使得在x??2处曲线有水平切线，(1,?10)为拐点，且点(?2,44)在曲线上。解：因为曲线在处曲线水平切线，即y?x?2?(3ax?2bx?c)2x?2?0 得：12a?4b?c?0又因为(1,?10)为拐点，所以有y??x?2?(6ax?2b)x?2?0，得：6a?2b?0且(ax?bx?cx?d)32x?1??10 得：a?b?c?d??10点(?2,44)在曲线上，所以有(ax?bx?cx?d)32x??2?44。得：?8a?4b?2c?d?44联立方程得到：a?1,b??3,c??24,d?16。习题3-5 1．求下列函数的极值：2 y?x3?3x2?24x?20；y?(x?4)3(x?1)；
y?exsinx；y?x?ln(1?x)；y?tanx?x；y?1?x?13。2解：函数在(??,??)内连续，且y??3x?6x?24?3(x?4)(x?2)?0，得x??4,x?2，又因为y???6x?6，y??x??4??18?0,y??x?2?18?0，所以极大值f(?4)?60，极小值f(2)??48。函数在(??,??)内连续，且f?(x)?可导。5(x?1)?0，得x?1，在点x??1不33x?1在(??,?1)内，f?(x)?0；在(?1,1)内，f?(x)?0。所以x??1是一个极大值点；在(1,??)内，f?(x)?0，所以点x?1是一个极小值点。极大值为f(?1)?0，极小值为f(1)??334。xx(3) 函数在(??,??)内连续，且f?(x)?e(sinx?cosx)?e2sin(x??4)?0，得x?k???4x，又因为f??(x)?2ecosx，当x?k???4,k?2n?2,(n?1,2...)，2k???f??(x)?0，所以函数在这些点处取得极小值，极小值f(k??)??e4；42?当x?k???4,k?2n?1,(n?1,2...)，所以函数在这些点处取得极大值，极大值2k???f(k??)?e4。42? 函数在(?1,??)
内连续，且f?(x)?1?因为?2?(?1,??)，所以函数没有极值点。函数的定义域为x?R,(x?k??1?0，得x??2，x?1?2)，且f?(x)?sec2x?1?0，得x?2k?,x?(2k?1)?。又因为函数在这些点的左右两边都有f?(x)?0，所以函数没有极值点。1?4 函数在(??,0)?(0,??)内连续，且f?(x)?x3，因为f?(x)?0，所以函3数没有极值点。
2. 求下列函数的最值：y?2x?6x?18x?11，x?[?2,4]；y?x?(x?1)，x?[0,2]。解：函数在[?2,4]上连续且可导，2且f?(x)?6x?12x?18?6(x?3)(x?1)?0，得x??1,x?3。3223213因为f(?2)?7,f(?1)?21,f(3)??43,f(4)??29 所以在x??1有最大值f(?1)?21，在x?3处有最小值f(3)??43。2343 函数在[0,2]上连续，且f?(x)?2(x?1)?x1x??，得，且在?02312x3(x2?1)32点处不可导。x?0,x??1又因为f(0)?1,f(1)?34,f(1)?1,f(2)?34?33 2所以最大值为f(1)?34，最小值为f(2)?34?33。2
3.
试问a为何值时，函数f(x)?aex?e?x在x?0处取得极值？它是极大值还是极值？并求此极值。解：因为f?(x)?aex?e?x?0，得e2x?1，将x?0代入得a?1，a又因为f??(x)?aex，且f??(0)?1?0，所以函数在这点取得极小值，为f(0)?2。4. 一正方形铁皮，边长为厘米，从它的四角截去四个相等的小正方形，剩下的部分做成一个无盖的盒子，问被截去的小正方形的边长为多少厘米时，才能使盒子的容积最大？ 2 解：设截下的小正方形边长为x厘米，则盒子的容积为V?x(a?2x),(a,0?x?a) 2aaa,x??(0,) 622aaa又因为V???8(3x?a)，且V??()??4a?0，所以x?时，体积有极大值V()，而除此666aa之外之内，体积没有其他的极值，所以V()是最大值，当x?厘米时，盒子的最大体积66因为V??(a?2x)(a?6x)?0，得x?a2a3为V()?。6275. 某水厂要造一个容积为V的圆柱形带盖储水池，问如何确定底半径r和高h，使得所用的材料最省？2解：
圆柱体积及全表面积公式，得所需材料面积为A?2?r?2?rh，22又因为?rh?V，则A?2?r?2V，(0?r???) r下面求此函数的最小值:令A??4?r?2V?0，得r?r23V 2?
6. 某商店每年销售某种商品10000件，每次订货的手续费为40元，商品的进价为2 元/件，存储费是平均库存商品价格的10%，平均库存量是批量的一半，求最优订货批量。解：设订货批量为Q件，则年订货成本为40?10000Q元，年存储费为?2??元，商2Q品成本为20000元，于是，全年的总费用为C(Q)?40?10000??20000, Q令C?(Q)?(40?10000400000??20000)?????0，得Q?2000, QQ2而C??(Q)?800000?0 3Q 所以Q?2000是总费用函数的极小值点，也是最小值点，即当每次订货2000件时，总费用最小，最小费用为C(2000)?40?10000??1000?20000?20400。
2000
高等数学测试（第三章） 一. 选择题（每小题3分，共30分） 1．下列函数在[1,1]-上满足罗尔定理条件的是（ ） A ．x y e = B ．ln y x = C ．21y x =- D ．2 1 1y x = - 2．曲线3(y x = 3．已知函数f A ．一个 4．设函数(f x ） A 5．如果0()f x 'A ．0()f x C ．0()f x 6A . C . 7．若在[]1,1-A 8．曲线1=y 9．设()x f '在点0x 的某个邻域内存在，且()0x f 为()x f 的极大值，则()() =-+→h x f h x f h 000 2lim （ ） A ．０ B ．１ C ．２ D ．-２ 10．设()x f 在点3=x 的某个邻域内有定义，若()() () 133lim 2 3 -=--→x f x f x ，则在3=x 处（ ）
A . ()x f 的导数存在且()03≠'f B . ()x f 的导数不存在 C . ()x f 取得极小值 D . ()x f 取得极大值 二. 填空题（每小题3分，共15分） 11．函数ln(1)y x =+在[0,1]上满足拉格朗日定理的ξ=________． 12．函数4 y x = 13．函数()f x 14．曲线()f x 15．函数()f x 三. 计算题（16．（5 18．（5，讨论其
四. 应用题（每题10分，共20分） 20.（10分）某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20米长的墙壁，问应围成咋样的长方形才能使这间小屋的面积最大？ 21.（10 是多少？ 五. 证明题（ 22.（10
第四章 不定积分 习 题 4-1 1.求下列不定积分： （1）解：C x x x x x x x x x +-=-= -??- 25 232 122d )5(d )51( （2）解：?+x x x d )32(2 C x x x ++ ?+ =3 ln 29 6 ln 6 22 ln 24 （3）略. (4) 解：? ??-+ -= +-x x x x x x x d )1(csc d 1 1d )cot 1 1( 2 2 2 2 =C x x x +--cot arcsin (5) 解：?x x x d 2103 C x x x x x x += ==??80 ln 80 d 80 d 810 (6) 解：x x d 2 sin 2 ?=C x x x x ++= -= ?sin 2 12 1d )cos 1(2 1 (7)? +x x x x d sin cos 2cos C x x x x x x x x x x +--=-= +-= ?? cos sin d )sin (cos d sin cos sin cos 2 2 (8) 解：? x x x x d sin cos 2cos 2 2 ?? - = -= x x x x x x x x d )cos 1sin 1( d sin cos sin cos 2 2 2 2 2 2 C x x +--=tan cot (9) 解： ???-=-x x x x x x x x x d tan sec d sec d )tan (sec sec 2 =C x x +-sec tan (10) 解：},,1max{)(x x f =设?? ? ??>≤≤--<-=1,11,11,)(x x x x x x f 则. 上连续在),()(+∞-∞x f ， )(x F 则必存在原函数，???? ???>+≤≤-+-<+-=1,2 1 11, 1,21)(32212 x C x x C x x C x x F 须处处连续，有又)(x F )2 1(lim )(lim 12 1 21 C x C x x x +- =+-+-→-→ ，,2 1112C C +- =+-即
大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3分）定积分22 π π-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 20 1 lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. （6分）设2 ,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?
4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞ ? ?+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 22y x x π π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴 旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2 ;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →?= 5分 5 3 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分
> 第二章微积分运算 微积分是数学学习的重点和难点之一, 而微积分运算是Maple最为拿手的计算之一, 任何解析函数, Maple都可以求出它的导数来, 任何理论上可以计算的积分, Maple都可以毫不费力的将它计算出来. > > 随着作为数学符号计算平台的Maple的不断开发和研究, 越来越多的应用程序也 在不断地出现。 函数的极限和连续 1.1 函数和表达式的极限 在Maple中, 利用函数limit计算函数和表达式的极限. 如果要仅仅聋子耳朵,仅仅写出数学表达式, 则用惰性函数Limit. 若a可为任意实数或无穷大时, 求极限命令格式为: limit(f,x=a); 求时的命令格式为limit(f, x=a, right); 求时的命令格式为limit(f, x=a, left); 请看下述例子： > Limit((1+1/x)^x,x=infinity)=limit((1+1/x)^x,x=infinity); >
> > > > >
对于多重极限计算, 也用limit. 命令格式为: limit(f, points, dir); 其中, points是由一系列方程定义的极限点, dir(可选项)代表方向: left(左)、right(右)等. 例如: > limit(a*x*y-b/(x*y),{x=1,y=1}); > > restart: > plot3d(sin(x+y), x=-1..1, y=-1..1); > plot3d(x^2*(1+x)-y^2*(1-y)/(x^2+y^2),x=-1..1,y=-1..1); >
第二章 习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞ x n +k =a . 证：由lim n n x a →∞ =，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有 取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列 x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立. 证： 而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞ =， 所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) lim n →∞ 2221 11(1) (2)n n n ??+++ ?+??=0； (2) lim n →∞2! n n =0. 证：（1）因为 22222 2111 112 (1) (2)n n n n n n n n n n ++≤+++ ≤≤=+ 而且 21lim 0n n →∞=， 2lim 0n n →∞=， 所以由夹逼定理，得 22211 1lim 0(1)(2)n n n n →∞?? +++ = ?+? ? . （2）因为22222240!123 1n n n n n < =<-，而且4 lim 0n n →∞=， 所以，由夹逼定理得
第四章 习题参考解答 习题4-1 1、下列各方程中,哪些是微分方程,哪些不是微分方程?若是微分方程，请指出其阶数 （1）是一阶微分方程； （2）不是微分方程； （3）是一阶微分方程； （4）是二阶微分方程； （5）是一阶微分方程； （6）是一阶微分方程。 2、在下列各题所给的函数中，检验其中哪个函数是方程的解?是通解还是特解? （1）（B ）是特解 （C ）是通解； （2）(A)是特解 （B ）是通解； （3）（A ）是通解（B ）是特解 3、求下列各微分方程在指定条件下的特解 （1）解：x x x y xe dx xe e dx ==-?? (1)x y e x C ∴=-+ 将(0)1y =代入上式，得2C = 故满足初始条件的特解为：2)1(+-=x e y x （2）解：C x x dx y +==? ln 将(1)1y =代入上式，得1C = 故满足初始条件的特解为：1ln +=x y 4、写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程 （1）解：设曲线为)(x y y = 由条件得2x y =' （2） 解：设曲线为)(x y y =，则曲线上点),(y x P 处的法线斜率为y k '- =1 由条件知PQ 中点的横坐标为0，所以Q 点的坐标为)0,(x -，从而有 01 ()y x x y -=-' --
即：20yy x '+= 注：DQ PD k = 习题4-2 1、求下列微分方程的通解 （1）sec (1)0x ydx x dy ++= 解：原方程变形为：cos 1x ydy dx x =- + 积分：11 cos 1 x ydy dx x +-=-+?? 得：sin ln 1y x x C =-+++ 所求的通解为：C y x x =++-sin 1ln （2） 10x y dy dx += 解：原方程变形为： 1010 x y dy dx = 积分：1010x y dy dx =? ? 得：1111010ln10ln10 y x C -=+ 所求的通解为：1010x y C --= （3）ln y y y '= 解：原方程变形为： ln dy dx y y = 积分：1ln dy dx y y =? ? 得：ln ln y x C =+，2ln x y C e = 所求的通解为：x Ce y e = 注：21,2C C e C e C ==； （4）tan cot ydx xdy = 解：原方程变形为：cot tan ydy xdx =
微积分期末试卷 选择题（6×２） cos sin 1.()2 ,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π→-=--== >、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小 ３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1 X cos n = 2 00000001() 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()0 6x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线 Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、填空题 1d 12lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘ ｘ２ ２１ １、（ ）＝ ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝ 相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１４、ｙ拐点为：ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3
1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11 (1)() 1m lim lim 2 (1)(3) 3 4 77,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++== =-++∴=∴=-= 二、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0 sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设 函数ｆ(x)在 [] 0,1上二阶可导且 ' ()0A ' B ' (f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 3 3 2 (2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若3 4 ()(10),''(0)f x x f =+求 解：3 3 2 2 3 3 3 3 2 3 2 2 3 3 4 3 2 '()4(10)312(10) ''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim (cos )x x x →求极限
习题 3-1 1. 验证函数()f x =在区间[0,4]上满足罗尔定理的条件，并求出使得结 论成立的点ξ。 解：显然函数()f x =[0,4]上连续，在(0,4)上可导，且有(0)(4)0f f == 所以函数在区间[0,4]上满足罗尔定理，则有()0 f ξ'= =，83 ξ= 。 2. 验证函数3 ()1f x x =-在区间[1,2]上满足拉格朗日中值定理的条件，并求出使 得结论成立的ξ。 解：函数3 ()1f x x =-在区间[1,2]上连续，在(1,2)上可导，则满足拉格朗日中值定理，则 有2(2)(1) 321 f f ξ-=-，即ξ= 3. 函数4 ()1f x x =-与2 ()g x x =在区间[1,2]上是否满足柯西中值定理的所有条 件，如满足，求出满足定理的数值ξ。 解：函数4 ()1f x x =-与2 ()g x x =在区间上连续，在区间(1,2)上可导，则满足柯西中值 定理，则有3 (2)(1)4(2)(1)2f f g g ξξ -=-，即ξ= 4. 若4次方程432 012340a x a x a x a x a ++++=有4个不同的实根，证明 3201234320a x a x a x a +++= 的所有根皆为实根。 证明：设432 01234()f x a x a x a x a x a =++++，()0f x =的四个实根分别为1234,,,x x x x ， 且1234x x x x <<<，则函数()f x 在1[,](1,2,3)i i x x i +=上满足罗尔定理的条件，则在 1(,)i i x x +内至少存在一点i ξ，使得()0i f ξ'=。 这说明方程32 01234320a x a x a x a +++=至少有3个实根，而方程为3次方，则最多也只
微积分期末试卷 一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1 X cos n = 2 00000001 () 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 二、填空题 1 d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２ ２１１、（ ）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１ ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3
三、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设 函 数 ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求 5 3tan xdx ? 五、证明题。 1、 证明方程3 10x x +-=有且仅有一正实根。 2、arcsin arccos 1x 12 x x π +=-≤≤证明（） 六、应用题 1、 描绘下列函数的图形 21y x x =+
《微积分》第二章测试题 1. 【导数的概念】已知()23f '=，求()() 22lim h f h f h h →+-- 解()() ()() ()()()0 0222222lim lim 226h h f h f h f h f f h f f h h h →→+--+---??'=+== ?-?? 2. 设函数cos ln x y x e a -=++，求 d y d x 解 sin x dy x e dx -=-- 3. 设函数arctan x y e =，求 d y d x 解 d y d x () arctan arctan 1 1 1221x x e e x x x x =? ? = ++ 4. 设函数2 sin cos 2y x x =，求 d y d x ， x dy dx = 解()2 2 2 2 4 sin cos 2sin 12sin sin 2sin y x x x x x x ==-=- ()()3 2 2 2sin cos 8sin cos 2sin cos 14sin sin 214sin dy x x x x x x x x x dx =-=-=-， 0x dy dx == 5. 【函数的微分，记得加dx 】设函数2 sin 2x y x = ，求dy 解2 4 3 3 2cos 22sin 22cos 22sin 22cos 22sin 2,dy x x x x x x x x x x dy dx dx x x x ---== ∴= 6. 【高阶导数】设函数11 y x = -，求 n n d y dx 解 () () () () () () () 2 3 1 2 3 4 1 23 ! 11, 21, 3!1,, 1n n n n dy d y d y d y n x x x x dx dx dx dx x ----+' = -=--=-=--=-- 7.【隐函数求导】 设函数()y y x =由方程2 sin 20xy y -=确定，求 d y d x 解 等式两边同时对x 求导2 22sin 20,y xyy y y ''+-=则 () 2 2 2 2sin 222221dy y y y y dx y xy xy xy x y '== = = ---
第三章习题 3-1 1、对函数x y sin ln =在区间]6 5,6[ π π上验证罗尔定理 解答：（1、区间]6 5,6[ π π上连续 ； （2）函数x y sin ln =在区间)6 5,6(π π上可导； （3）、2ln 6sin ln )6(-==π πf ，2ln 6 5sin ln )65( -==π πf 所以满足Rolle 定理的条件。且由0sin cos == 'x x y 解得)6 5,6(4π ππξ∈= 2、证明：函数02=++=r qx px y 在任意区间上应用lagrange 中值定理求得的点ξ总是该区间的中点 证明：（1）02=++=r qx px y 在任意],[b a 上连续 ；02=++=r qx px y 在),(b a 上可导；所以满足lagrange 定理的条件。且由02=+='q px y 解得),(2 b a b a ∈+=ξ 所以求得的点ξ总是该区间的中点 3、证明：方程033 =+-c x x 在区间]1,0[内不可能有两个不同的实数根 证明：用反证法，设方程033 =+-c x x 在区间]1,0[内有两个不同的实数根21,x x （1）、函数c x x x f +-=3)(3在],[2x x x 连续 ；（2）、函数c x x x f +-=3)(3 在),(2x x x 可导；（3）、0)()(21==x f x f ， 所以满足Rolle 定理的条件，于是存在]1,0[),(21?=∈x x ξ。使0)(='ξf 但是由033)(2 =-='x x f 解得根为),(121x x x ?±=。矛盾 所以方程033 =+-c x x 在区间]1,0[内不可能有两个不同的实数根 4、若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中 b x x x a <<<<21，证明：在),(31x x 内至少存在一点ξ，使得0)(=''ξf :证明：由于函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中 b x x x a <<<<21，所以函数)(x f 分别在区间],[21x x 与],[32x x 上满足Rolle 定理的条 件，于是存在),(21x x ∈λ。使0)(='λf ，也存在),(32x x ∈?。使0)(='?f
第四章 不定积分 一、学习要求 1、理解原函数与不定积分的概念及性质。 2、掌握不定积分的第一类换元法、第二类换元法及分部积分法。 二、练习 1．在下列等式中，正确的结果是( C ). A. '()()f x dx f x =? B.()()df x f x =? C. ()()d f x dx f x dx =? D.[()]()d f x dx f x =? 2.若ln x 是函数()f x 的一个原函数，则()f x 的另一个原函数是（ A ）； A. ln ax B.1ln ax a C.ln x a + D.21(ln )2 x 3.设()f x 的一个原函数是2x e -，则()f x ＝（ B ）； A. 2x e - B. 22x e -- C. 24x e -- D. 24x e - 4．'' ()xf x dx =? （ C ）. A.'()xf x C + B. '()()f x f x C -+ C. '()()xf x f x C -+ D. '()()xf x f x C ++. 5 ．将 化为有理函数的积分，应作变换x =（ D ）. A. 3t B. 4 t C. 7 t D. 12 t 6.dx = 1/7 ()73d x -， 2cos 2dx x = 1/2 ()tan 2d x ，2 19dx x =+1/3 ()arctan3d x ； 7. 已知(31)x f x e '-=，则()f x =1 3 3x e c ++. 8.设()f x 是可导函数，则'()d f x x ?为()f x C +. 9.过点(1,2)且切线斜率为34x 的曲线方程为41y x =+ 10.已知()cos xf x dx x C =+?，则()f x =sin x x - 11.求下列不定积分 解: (1) 22 32tan 1tan tan tan 1sin 3 x dx xd x x c x ==+-?? (2) 22arctan 11 x x x x x x x dx e dx de e c e e e e -===++++??? 5 34 2 (3)t a n s e c t a n s e c s e c x x d x x x d x ? =??? 22 2(s e c 1)s e c s e c x x d x =-?? ()642sec 2sec sec sec x x x d x =-+?753121 sec sec sec 753 x x x c = -++
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ B ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ B ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ A ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ C ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ D ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ C ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ C ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ A ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ A ）.
第二章 一、选择题. 1. 函数1y x =+在0x =处 （ ） A 、无定义 B 、不连续 C 、可导 D 、连续但不可导 2. 设函数221,0(), 0x x f x x x +
7. (arctan 2)d x =________，[]ln(sin 2)d x =__________. 8. 函数32()39f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a =______. 9．设需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(p p q -=，则需求弹性E p =__________. 三、判断题. 1. 若()f x 在点0x 处可导，则()f x 在点0x 处连续. （ ） 2. dy 是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线纵坐标对应于x ?的改变量. （ ） 3. 函数()y f x =在0x 点处可微的充要条件是函数在0x 点可导. （ ） 4. 极值点一定是驻点. （ ） 5. 函数y x =在点0x =处连续且可导. （ ） 四、计算题. 1.求函数y =. 2. 求由方程0e e 2=+-+y x y x 所确定的隐函数()y f x =的导数y '. 3. 设e x y x =，求y '. 4. 求由方程cos()y x y =+所确定的隐函数()y f x =的二阶导数.y '' 五、求下列极限. （1）sin lim sin x x x x x →∞-+， （2）x x x x x x x --+-→4240sin 23lim ， （3）11lim 1ln x x x x →??- ?-? ?， (4）1lim(1)(0)x x a x a →∞->, （5）()10lim 1x x x →+, （6）1lim ()x x x x e →+∞+. 六、应用题. 1. 求函数32 ()391f x x x x =--+的单调性、极值与极值点、凹凸区间及拐点． 2.某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求量为100010q p =-（q 为需求量,p 为价格）．试求：(1）成本函数，收入函数；（2）产量为多少吨时利润最大？
微积分刘迎东编第四章习题4.6答案
4.6 有理函数的积分 习题4.6 求下列不定积分： （1）3 3 x dx x +? 解： ()()()33223227939272727ln 33239327327ln 3.32 x t t dxx t t t dt t t C x t x x x x C ??+=-+-=-+-+ ?+?? ++=-++-++?? （2）223310 x dx x x ++-? 解：()2222231310ln 310.310310 x dx d x x x x C x x x x +=+-=+-++-+-?? （3）2125x dx x x +-+? 解： ()()()()22222222511122412252252251211ln 25arctan .22 d x x d x x x dx dx x x x x x x x x x x C -+-+-+==+-+-+-+-+-=-+++???? （4）() 21dx x x +? 解：()()()()22 222222211111ln .2212111d x dx x d x C x x x x x x x ??==-=+ ?++++????? （5）331 dx x +? 解：
( )( )322222223121213ln 1111211131ln 1212121ln 1ln 1.2x x dx dx x dx x x x x x x d x x x dx x x x x x x C ---??=+=+- ?++-+-+?? -+=+-+-+??-+ ?? ???=+--+++????? （6）()() 221 11x dx x x ++-? 解：()()()222211111122ln 1.1121111x dx dx x C x x x x x x ?? ?+=+-=-++ ?-+++-+ ??? ?? （7）()()() 123xdx x x x +++? 解： ()()()13222123123132ln 2ln 1ln 3.22 xdx dx x x x x x x x x x C ??-- ?=++ ?++++++ ??? =+-+-++?? （8）5438x x dx x x +--? 解： ()()542233232 8811184332118ln 4ln 13ln 1.32x x x x dx x x dx x x x x x x x x dx x x x x x x x x x C ??+-+-=+++ ? ?-+-?? ??=+++-- ?+-?? =+++-+--+??? （9）()() 221dx x x x ++?
《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -?
微积分习题解答（第二章） 1写出下列数列的一般项，并通过观察指出其中收敛数列的极限值。 ()()11120, ,0, ,0, ,2 4 6 1 112n n u n ??= +-?? 解：一般项 该数列收敛，其极限为零。 () () 1111 3,,,,261220 11n u n n = + 解：一般项 该数列收敛，其极限为零。 ()2 510172642, ,,,,2345 1n n u n += 解：一般项 该数列发散。 3.利用定义证明下列极限；
()n n n n n -11lim 0 60-110661 ln ln 6 1ln 1,ln 6-106-1lim 0 6n n n N n N εε ε εε→∞ →∞ ?? = ? ?? >???? -=< ? ? ???? > ? ???=+>?? ???? ??-< ?????∴= ??? 证明：对于任给，要使 只要 取正整数当时 总有不等式 成立 ( )2 23lim 010111,0lim n n n N n N εε ε εε→∞ →∞ =>-= <> ?? = +>???? -<∴=证明：对于任给，要使 只要 取正整数 当时 总有不等式 成立 4.试判断下列论点断是否正确。
()() ()1, ,lim 1111 1lim 01 n n n n n u A u A n n n n →∞ →∞ -=?--= +=≠-如果越大越接近零则有 错误 例如 随着越大，而越加接近零，但 ()() {}1130lim 0N =N n >N 10lim n n n n n n n u A u A u u u A ε εεε→∞ →∞ >-=∠>-=<∴=如果对于任给，在数列中除有限项外，都满足不等式<， 则有 正确 设N 为题中的‘有限项’中的最大下标，由题意 对于任给，只要取正整数+1，当时， 总有不等式 满足 ()() {}5s in s in n n n u n u n u ?==≤有界数列必定收敛 错误 例如 显然1，但发散 6．利用定义证明下列极限： ()() ()()()()1 1 1lim 312 0312311,3 312lim 312 x x x x x x x x εε ε δδε →→-=>-- =-<= <-<-- <-=证明：对于任意给定的，要使 只需取，则当0时总有 成立，于是，由极限定义可知
第三章 导数与微分 同步练习 一、填空 1、若[]1cos 1)0()(lim =--→x f x f x x ，则)0(f '= 。 2、设)100()3)(2)(1()(----=x x x x x x f ，则)0(f '= 。 3、若)(x e f y -=，且x x x f ln )(='，则 1 =x dx dy = 。 4、若)()(x f x f =-，且3)1(=-'f ，则)1(f '= 。 5、设某商品的需求函数是Q=10-0.2p ，则当价格p=10时，降价10%，需求量将 。 6、设某商品的需求函数为：Q=100-2p ，则当Q=50时，其边际收益为 。 7、已知x x y ln =，则)10(y = 。 8、已知2arcsin )(),232 3( x x f x x f y ='+-=，则：0 =x dx dy = 。 9、设1 111ln 2 2++-+=x x y ，则y '= 。 10、设方程y y x =确定y 是x 的函数，则dy = 。 11、已知()x ke x f ='，其中k 为常数，求()x f 的反函数的二阶导数=22dy x d 。 二、选择 1、设f 可微，则=---→1 ) 1()2(lim 1 x f x f x （ ） A 、)1(-'-x f B 、)1(-'f C 、)1(f '- D 、)2(f ' 2、若2)(0-='x f ，则=--→) ()2(lim 000 x f x x f x x （ ） A 、 41 B 、4 1 - C 、1 D 、-1 3、设?? ???=≠=0001arctan )(x x x x x f ，则)(x f 在0=x 处（ ） A 、不连续 B 、极限不存在 Ｃ、连续且可导 Ｄ、连续但不可导 ４、下列函数在[]1,1-上可微的有（ ） Ａ、x x y sin 3 2+= Ｂ、x x y sin =
第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！
★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C --==-+? ★(2) dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 22 3311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。