C
B A 12.3.2等边三角形（2）导学案
学习目标：
1. 掌握含30o
角的直角三角形的性质，并能灵活运用这一性质解决实际问题。 2. 培养学生的推理能力和数学语言表达能力．
3. 感受数学的严谨性，激发学生的好奇心和求知欲。
学习重点：含30°角的直角三角形的性质定理的证明与运用． 学习难点：含30°角的直角三角形的性质定理的证明。
使用说明：先自学课本55页至56页练习，并独立完成学案，然后小组讨论交流。
一、导学
1. 复习回顾：
等边三角形的性质： 等边三角形的判定：1、 2、 2. 问题：用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角
形？?能拼出一个等边三角形吗？并说说你的理由．
3. 由2你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大
小关系？你能用不同于课本55页上的方法证明你的结论吗？ 4. 我们得到下面的性质定理：
在直角三角形中，如果一个锐角 ，那么它所对的直角边等于 符号语言：填空：如右图，在△ABC 中，
∵∠C=90o ，∠A=30o
∴BC=
1
2
（ ）
二、学以致用
1、如图3，AC ⊥BC ，∠ABC ＝30°，AB ＝4cm (1)求AC 的长．
2、如图4，AC ⊥BC ，∠ABC ＝30°，AB ＝4cm ，若D 是AB 的中点，DE ⊥BC ，求DE 的长．
3、如图5，AC ⊥BC ，∠ABC ＝30°，AB ＝4cm ，D 是AB 的中点，连结DC ，求DC 的长．
三、能力提升
1、如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC 、DE 垂直于横梁AC ，AB=7.4m ，∠A=30°，立柱BC 、DE 要多长？
2、如下图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，CD ⊥AB ，AB=4．则BC ＝______，∠BCD=______， BD ＝______。
3、如图，已知Rt △ABC 中，∠A=30°，∠ACB ＝90°，BD 平分∠ABC ，求证：AD ＝2DC
4、如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠C ＝30°，AB ⊥AD ，AD ＝2cm ．求BC 的长．
5.如图， △ABC 为等边三角形，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，且AD=CE ，AE 与BD 相交于点P ，B F ⊥AE 于点F
求证:BP=2PF
6、拓展提高 如图：等边三角形ABC 的边长为4cm ，点D 从点C 出发沿CA 向A 运动，点E 从B 出发沿AB 的延长线BF 向右运动，已知点D 、E 都以每秒0.5cm 的速度同时开始运动，运动过程中DE 与BC 相交于点P (1). 运动几秒后，△ADE 为直角三角形？
（2）.求证：在运动过程中，点P 始终为线段
中点。 (提示：过点D 作AF 的平行线) D C
A
E
B E
桃溪中学师生共用导学案 内容：解直角三角形（1） 执笔： 【学习目标】 ⑴： 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会使用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 ⑵： 通过综合使用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的水平． ⑶： 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 【学习重点】 直角三角形的解法． 【学习难点】 三角函数在解直角三角形中的灵活使用 【导学过程】 一、自学提纲： 知识回顾： 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，a ，b ，c ，分别为∠A,∠B,∠C 所对的边， 则边之间的关系为 ，角之间的关系为 ， 角与边之间的关系为 ， 自主预习： 1．在三角形中共有几个元素？ 2、解直角三角的概念： 有直角三角形中 求出 元素的过程，叫做解直角三角形。 3、解直角三角形的两种情况。 （1）已知 ，求第三边及两锐角。 （2）已知 和一个 ，求其它两边及另一锐角。 导学探究： 1、在Rr △ABC 中，共有六个量，三条边a ，b ，c ，三个角∠A ，∠B ，∠C ，其中∠C 是已知的，其它的五个量都是未知的。 （1） 已知∠A ，∠B ，能求出其它的三个量a ，b ，c 吗？ （2） 已知两条边的长，能求出其它的三个量吗？ （3） 已知一角和一边，能求出其它的三个量吗？ 你有什么发现？ 2、直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就能够写成. (2)三边之间关系 (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°． a 2 +b 2 =c 2 (勾股定理) 以上三点正是解直角三角形的依据． 二、合作交流： 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角一般要满足， (如图).现有一个长6m 的梯子，问： (1)使用这个梯子最高能够安全攀上多高的墙(精确到0. 1 m) (2)当梯子底端距离墙面2.4 m 时，梯子与地面所成的角等于多少(精确到1o ) 这时人是否能够安全使用这个梯子 b a A c b A c a A = = = ; tan ; cos ; sin a b B c a B c b B = = = ; tan ; cos ; sin ； 的邻边 的对边 ； 斜边 的邻边 ； 斜边 的对边 α α α α α α α ∠ ∠ = ∠ = ∠ = tan cos sin
２. 一定是直角三角形吗 班级：__________组号：________ 姓名：___________ 【教学目标】 1．理解勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念； 2．能根据所给三角形三边的条件判断三角形是否是直角三角形； 【教学重难点】理解勾股定理逆定理的具体内容。 【教学过程】 第一环节：情境引入 情境：1．直角三角形中，三边长度之间满足什么样的关系？ 2．如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是否 就是直角三角形呢？ 第二环节：合作探究 内容1：探究 下面有三组数，分别是一个三角形的三边长c b a ,,，①5，12，13；②7，24，25；③8，15，17；并回答这样两个问题： 1．这三组数都满足222c b a =+吗？ 2．分别以每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？学生分为４人活动小组，每个小组可以任选其中的一组数。 如果一个三角形的三边长c b a ,,，满足222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形 满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。 活动2：反思总结 1．同学们还能找出哪些勾股数呢？ 2．今天的结论与前面学习勾股定理有哪些异同呢？ 3．到今天为止,你能用哪些方法判断一个三角形是直角三角形呢? 第三环节：小试牛刀 1．下列哪几组数据能作为直角三角形的三边长？请说明理由。 ①9，12，15； ②15，36，39； ③12，35，36； ④12，18，22 2．一个三角形的三边长分别是cm cm cm 25,20,15，则这个三角形的面积是（ ） A 250 2cm B 1502cm C 200 2cm D 不能确定 3．如图，在ABC ?中，BC AD ⊥于D ，20,12,9===AC AD BD ， 则ABC ?是（ ） A 等腰三角形 B 锐角三角形 C 直角三角形 D 钝角三角形 4．将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是 （ ） A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 不能确定
7.4 认识三角形（1） 学习目标 1、进一步认识三角形的概念及其基本要素，会用字母表示三角形 2、通过实验、操作，理解三角形三边之间的关系 3、了解三角形的分类 学习重点：认识三角形，会用字母表示三角形；三角形三边之间的关系 学习难点：了解三角形的分类 学习过程： 一、情境创设 1、出示“帆船”、“金字塔”等含有三角形的图案实物 （1）这些图案实物中，有同学们熟悉的图形吗？ （2）举出一些生活中常见的某些三角形，并与同学交流 二、探索归纳 1、三角形的定义： 由3条不在同一直线上的线段，首尾依次相接组成的图形称为三角形 如右边的图形就是一个三角形 2、三角形的各组成部分 边：组成三角形的三条线段 如右所示：线段AB 、AC 、BC 就是三角形的三条边 顶点：三角形任意两边的交点 如右所示：点A 、B 、C 均为三角形的顶点 通常情况下，我们用三角形的三个顶点加以一个“△”来表示一个三角形，在表示三角形时，三个字母之间并无顺序关系，如上图中，此三角形可以表示为△ABC ，或△ACB 或△BAC 等等。 内角：三角形两边所夹的角，称为三角形的内角，简称角 例如△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 都是三角形的内角 边BC 称为∠A 所对的边，或顶点A 所对的边，边BC 也可以表示为a 那么边AB ，AC 呢？ 3、三角形的分类 1）按角分 2）按边分 4、课本P 20 议一议 5、数学实验室 问：是不是任意三条线段都能够组成三角形？ A B C 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形 直角三角形：有一个角为直角的三角形 钝角三角形：有一个角为钝角的三角形 三角形 不等边三角形：三条边均不相等 等腰三角形：有两条边相等的三角形 等边三角形：三边均相等的三角形 三角形
12.3.2 等边三角形学案 学习目标：1．理解等边三角形的性质与定理。 2．会证明一个三角形是等边三角形； 3．灵活运用等边三角形的性质与判定解决相关的几何问题。 学习过程：一、知识回顾 1、在△ABC 中， 若AB=AC ，则 ； 若∠B=∠C ，则 。 2、在△ABC 中，若AB=AC ，AD 是BC 边上的高，则有 ∠____=∠_____;____=____ 二、探究新知 〈一〉、三条边都相等的三角形，我们把这样的 三角形叫做 〈二〉、观察与讨论：如图，把等腰三角形的性质用于等边三角形， 你能得到什么结论? 1.等边三角形的内角都 ,且等于 2.等边三角形是 图形，有 条对称. 3.等边三角形各边上中线,高和所对角的 都三 线合一. 〈三〉、类似地，你又能得到哪些等边三角形的判定方法? 1.等边三角形的三个角都相等，并且每个角都是60°，反之，如 果我告诉你一个三角形三个角都相等，你能确定这是等边三角形 C A
吗？理由呢？ 得出结论：（1）. 理由： 2.实践应用 如图,课外兴趣小组在一次测量活动中,测得∠APB=60°, AP=BP=200m,他们便得出了一个结论:池塘最长处不小于200m.他 们的结论对吗? 解：∵AP=BP ， ∠APB=60° ∴∠ =∠ = ∴ ∠ = ∠ =∠ 从而△APB 是 ，AB 的长是 m, 由此可以得出兴趣小组的结论是 的。 3．你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？? 结论：（2）. 4、动手操作，感悟新知 在等边三角形ＡＢＣ的边ＡＢ,ＡＣ上分别截取 ＡＤ＝ＡＥ,△ ＡＤＥ是等边三角形吗？试说明理由。 三、课堂练习 1.等边三角形的 相等， 相等。 2. 如下图，△ＡＢＣ为等边三角形，ＢＤ为高，ＣＥ为角平分线， _C _A _B
《解直角三角形（一）》学案 学习目标： 1、 理解三角函数的有关概念，掌握特殊角的三角函数值； 2、 弄清解直角三角形的含义，掌握直角三角形中的边角关系，会应用这些关系解直角三角形； 3、 能够利用构造直角三角形的方法解决求角度和线段长度的问题； 4、 在弄清基本概念、基础知识、基本题型的同时，不断归纳数学思想和方法，进一步深刻理解数形结合、转化在数学学习中的作用。 一、知识点归纳 1、锐角α的三角函数定义: ∠α的正弦：sin α= ∠α的余弦：cos α= ∠α的正切：tan α= 思考：根据三角函数的定义，你能正确填空吗你是怎样得到的 ① ＜sin α＜ ② ＜cos α＜ “ ③ ＜tan α＜ ④sin α+ cos α 1 ⑤tan α sin α（填“＜”或“＞”） ②观察表格，猜想：随着∠α的增大，sin α ；cos α ； tan α 。（填增大或减小） 3、由直角三角形中的已知元素（边和角），求出其它所有未知元素的过程，叫 做 。其主要依据如下： ⑴边的关系： ； ⑵角的关系： ； ⑶边角之间的三角函数关系： SinA= cosA= tanA= SinB= cosB= tanB= 思考：解直角三角形有哪几种基本类型在练习本上列举出来，并进行口头解答。 二、热点示例与题组练习 目标1、特殊角三角函数值 题组一 1、已知∠A 为锐角，且sinA= 23，则sin 2 A = . 2、计算：0 030 60sin cos -tan450 的值是 。 3、若tan α= 3 1 tan600,则α的度数是 。 4、在△ABC 中，若-+A B cos 21 -（sin 2 3)2=0，则∠C 的度数是 。 目标2、解直角三角形 题组二 在Rt △ABC 中，∠C=90° ①已知 a=23,b=2,则∠A= ； ②已知a=10, ∠B=600，则C = 。 ③已知BC=6cm,sinA=5 3 ,则AB 的长是 cm 。 ④已知cosB=5 3 ,则tanA= ; 题组三 1、如图，在△ABC 中，∠C=90°，BD 是∠ABC 的平分线，BD=63，BC=9，求 AC 的长。 c b a C B A c a C B A D A B C
课题：1.2《直角三角形》（第2课时）导学案 学习目标： 1、能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性。 2、利用“HL’’定理解决实际问题。 3、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力。 学习重点、难点：HL定理的推导及应用。 学法指导： 1、先利用10分钟阅读并思考P23—P24页教材内容，思考教材提出的问题，能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，利用“HL’’定理解决实际问题。 2、将存在疑问的地方标出来，准备课堂上质疑。 3、A、B层同学掌握导案所有内容，并完成探究案；C层同学能基本掌握学习目标，合作完成探究案。 一、自主探究： 1、两边及其中一边的对角对相等的两个三角形全等，若不全等，举出反例。 2、证明：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 二、合作探究 探究点一：应用 1、判断下列命题的真假，并说明理由：(1)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等； (2)斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等； (3)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等； (4)一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等。 2、如图，在已知∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM=ON，再过点M作OA的垂线，过点N作OB的垂线，两垂线交于点P，那么射线OP就是么∠AOB的平分线 请你证明OP平分∠AOB 探究点二：综合应用 1、如图，已知∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB≌BDA，还需要什么条件?把它们分别写出来。 D C A O B
2、如图，在△ABC 与△A′B ′C ′中，CD ，C ′D ′分别是高，并且AC ＝A ′C ′， CD=C ′D ′．∠ACB=∠A′B ′C ′． 求证：△ABC ≌△A ′B ′C ′ 3、如图，一架2.5米长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AC 上，这时梯足B 到墙底端C 的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？ 拓展：折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕（对角线）BD ，再折叠AD 边与对角线BD 重 合，得折痕DG ，如图3所示，若AB =2，BC =1，求AG 的长。 三、随堂练习 1、直角三角形两直角边长分别为6和 8，则斜边上的高为_________； 2、在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，则a ∶b ∶c =_________； 3、Rt △ABC 中，∠C =90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，若∠A =60°，AB =4 cm ，则CD =_________. 4、在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =CB ，CD 是斜边AB 的中线，若AB =22，则点D 到BC 的距离为（ ） A.1 B.2 C.2 D.22 四、作业（★B 层同学选做题，☆C 为层同学选做题）（自己画图） 1、课本24页知识技能第1题 2、课本24页问题解决第2题 3、课本25页联系拓广第3题 谈谈自己的收获： 'C C A D B '''B D A
13.1.1认识三角形 学习目标： 1.理解三角形及它的边、角、顶点等相关概念. 2．掌握三角形的符号表示和读法. 3.理解锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等腰三角形、等边三角形等概念，能按照角的大小或边长的关系对三角形进行分类. 一.自学探究 （一）自学提示 课本：p130 时间：2min 1.三角形的定义，以及组成元素的定义 2.怎么分别用图形语言、符号语言和文字语言来表示三角形 自学检测 （1）如图是用三根细棍组成的图形，其中符合三角形概念的图形是（） A B C D （2）如图1，这个三角形中有几条边，几个顶点，几个角呢？ 它们分别如何表示？ 边：__________条，表示：_____________________ 顶点：_________个，表示：________________________ 角：___________个，表示：_________________________ 图1 跟踪训练 如图2，线段AC与BD相交于点E，连接AD，BD，BC， （1）指出图中有几个三角形，并用字母表示出来. （2）∠AED是哪个三角形的角？∠DBC呢？图2 （3）AE是哪两个三角形的公共边？AB是哪几个三角形的公共边？图中还有哪些三角形有公共边？（4）∠D是哪两个三角形的公共角？图中还有哪些三角形有公共角？ （二）自学提示 课本p131--132 时间：4mi n 1.讨论完成课本P131实验与探究（1）--（6） 2.按最大角的大小三角形分为几类 总结： 三个角都是______的三角形叫做锐角三角形。 ________________________三角形叫做直角三角形。 ________________________三角形叫做钝角三角形。 3.按边的关系分为几类
第 1 页 学案----- 课题：13.3.2等边三角形（第一课时） 学习目标：1.了解等边三角形的概念，认识等边三角形是轴对称图形。 2．经历探究等边三角形性质和判定的过程，理解等边三角形的性质和判定的证明。 3.掌握等边三角形的性质和判定，能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明。 一．认识等边三角形 定义： 等边三角形是特殊的等腰三角形, 即：腰=底 二．探究等边三角形的性质 1.结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应的结论吗？ （完成表格） 2.论证结论 对“等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°”这一结论进 行证明. 已知：△ABC 是等边三角形 求证：∠A =∠B =∠C = 60°． 证明： 三．探究等边三角形的判定 问题1:一般三角形应满足什么条件是等边三角形？ 添加条件： 论证结论 已知：在△ABC 中，∠A=∠B=∠C 求证：△ABC 是等边三角形． 证明： 等边三角形的判定定理 1： 。 问题2：一个等腰三角形满足什么条件是等边三角形？ 添加条件： 。 （1） 已知：在△ABC 中，AC =BC 且∠A =60°．（当60°为底角时） 求证：△ABC 是等边三角形． 证明： （2）已知：在△ABC 中，AC =BC 且∠C=60°．（当60°为顶角时） 求证：△ABC 是等边三角形． 证明： 等边三角形的判定定理2： 。 四．学以致用 例1.如图，△ABC 是等边三角形，DE ∥BC, 分别交AB ，AC 于点D ，E ． 求证：△ADE 是等边三角形. 证明： 变式1 若点D 、E 在边AB 、AC 的延长线上，且 DE ∥BC ，结论还成立吗？ 变式2 若点D 、E 在边AB 、AC 的反向延长线上，且DE ∥BC ，结论依然 成立吗？ 五．说一说：今天你有什么收获？你学到了什么？ 六.基础检测
28.2.2 解直角三角形的应用举例（1） 【学习目标】 1.了解仰角、俯角概念，提高计算能力，能应用解直角三角形解决观测中的 实际问题. 2.学会把实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形 的问题）. 3.经历用解直角三角形解决实际问题的过程，体会数学与生活的密切联系. 【重点难点】 重点：应用解直角三角形的有关知识解决观测中的实际问题. 难点：能够准确分析问题并将实际问题转化为数学模型． 预习案 (一)温故知新 1.如图1，在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？ （1）锐角之间的关系： 边之间的关系： 角与边之间的关系(以∠A为例)： (2)至少知道五个元素中的几个，就可以求其余元素？图1 2.请写出30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值： （二）问题导学 1.如图2，当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为________. 当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称_________. 图2 2.如图3，2016年10月19日，“神舟”十一号载人航天飞船与“天宫”二号目标飞行器成功实现交会对接. “神舟”十一号与“天宫”二号的组合体在离地 球表面393km的圆形轨道上运行.如图,当组合体运行到地球表面上P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置?最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km，π取3.142，结果取整数,参考数据：cos18.16°≈0.9502,cos19.59°≈0.9421，cos21.35°≈0.9314)？ 图3 探究案
探究：利用视角解直角三角形 例: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为100m ，这栋高楼有多高（结果取整数）？ 变式：直升飞机在高为63米的郑州二七纪念塔AB 斜上方P 点处，从塔的顶部和底部测得飞机的仰角为31°和42°，求飞机的高度PO (参考数据sin31°≈0.52，cos31°≈0.86,tan31°≈0.60, sin42°≈0.67，cos42°≈0.74,tan42°≈0.90) 训练案 （C 级做1～4题，B 级、A 级全做） 1.如图1所示，已知楼房AB 高为50m ，铁塔塔基距楼房地基间的水平距离BD ? O B
直角三角形导学案 〖教学目标〗 (-)知识目标 1.会用边长的平方等等量关系来识别一个三角形是直角三角形. 2.知道什么叫勾股数，记住一些常见的勾股数. (二)能力目标 1.经历由边的数量关系识别直角三角形的探索过程，提高合情推理和试验验证的能力. 2.通过勾股定理与其逆定理的比较，提高学生的辨析能力.(三)情感目标 1.在有关活动中发展学生的合情推理意识、主动探究的习惯。 2.提高由已知数学知识探究与获取新的数学知识的能力，并从中增强学习数学的兴趣 〖教学重点〗 探索并掌握直角三角形的判别条件.准确 〖教学难点〗 运用直角三角形判别条件解题时(即在用勾股定理的逆定理时)，分不清哪一条边作斜边，因此在用勾股定理的逆定理判断三角形的形状时而出错;另外，在解决有关综合问题时，要将给的边的数量关系经过代数变化，最后达到一个目标 式，这种转化对学生来讲也是一个困难的地方. 〖教学过程〗 一、课前布置
1.自学：阅读课本P83~P84，试着做一做本节练习，提出在自学中发现的问题(鼓励提问). 2.查阅有关勾股数的有关资料 二、师生互动 (一)一起交流课本P83的一起探究与例题 1.你用12根火柴棒，任意摆出一个三角形，能摆出几种三角形? 学生动手操作，共摆出3种，边长分别是：2，5，5;3，4，5;4，4，4 思考：如果火柴的长度为1，那么 (1)图中哪个三角形的三边具有两边的平方和等于第三边的平方的关系? (2)其中哪个三角形是直角三角形? (3)请你用量角器进行度量，验证你的判断。 2.小活动： (1)画一个三角形，使它的边长分别为5cm，12cm，13cm。 (2)边长5，12，13之间有怎样的关系?( ) (3)用量角器度量这个三角形内角，它是什么三角形?(直角三角形) 思考：通过以上我们的试验，我们可否知道怎样由边的关系识别一个三角形为直角三角形呢? 结论：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。如3，4，5;5，12，13 练习 1.已知a、b、c是△ABC的三边，
第四章 三角形 4.1 认识三角形（1） 学习目标：1、通过观察、想象、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力； 2、能证明出“三角形内角和等于180°”，能发现“直角三角形的两个锐角互余”； 3、按角将三角形分成三类。 学习重难点：三角形内角和定理推理和应用。 学习设计： （一） 预习准备 （1）预习书62－65页 （2）思考①三角形的角之间的关系①三角形的分类 （3）预习作业 三角形中角的关系：（1）三角形的三个内角之和是 ；（2）直角三角形的两个锐角 三角形的分类：按角分为三类： 三角形； 三角形和 三角形。 （二） 学习过程 例1 证明三角形的内角和为180° 例2 在①ABC 中，（1）0 82,42,C A B ∠=∠=∠则= （2）5,A B C C ∠+∠=∠∠那么= （3）在①ABC 中，C ∠的外角是120°，B ∠的度数是A ∠度数的一半，求①ABC 的三个内角的度数
变式训练：在①ABC 中（1）00 78,25,B A C ∠=∠=∠则= (2)若C ∠=55°，010B A ∠-∠=,那么A ∠= ,B ∠= 例3 已知①ABC 中，::1:2:3A B C ∠∠∠=,试判断此三角形是什么形状？ 变式训练：已知①ABC 中，0 90,2,A B B C ∠-∠=∠=∠试判断此三角形是什么形状？ 例4 如图，在①ABC 中，090ACB ∠=,CD ①AB 于点D ， 1,2?A B ∠∠∠∠与有何关系与呢 例5 如图，已知0 60,30,20,A B C BOC ∠=∠=∠=∠求的度数。 2 1D C B A O C B A
13.3.2等边三角形（第一课时）学案 学习目标：1、理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法； 2、能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题。 学习重点：等边三角形判定定理的发现与证明。 学习难点：等边三角形性质和判定的应用。 学习过程： 一、知识回顾 1、等腰三角形的性质： （1）等腰三角形的 相等； （2）等腰三角形 、 、 互相重合。 2、等腰三角形中有一种特殊的等腰三角形是 三角形，即 叫等边三角形。 二、自主探索： （一）等边三角形的性质和判定方法： 1、思考： （1）把等腰三角形的性质（等腰三角形的两个底角相等）用到等边三角形，能得到什么结论？ （2）一个三角形满足什么条件就是等边三角形？ （3）你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？ 2、归纳： （1）等边三角形的性质：等边三角形的 （2）等边三角形的判定：1. 2. 3. （3）你会证明以上结论吗？ （二）应用： 1、如图，△ABC 是等边三角形，DE ∥BC ，交AB ，AC 于D ，E 。 求证△ADE 是等边三角形。 E D C A B
2、探究：等边三角形三条中线相交于一点。画出图形，找出图中所有的全等三角形，并证明它们全等。 证明：∵∠A=∠B， ∴BC=AC（）． 又∵∠A=∠C， ∴BC=AC（）． ∴AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形。 （）。 例如图13.3-7，△ABC是等边三角形，DE//BC，分别交于AB,AC于点D，E。求证：△ADE是等边三角形。 证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=（） ∵DE//BC，∴∠ADE=∠B, ∠AED=（） ∴∠A=（）=∠AED, ∴△ADE是等边三角形。。。。 巩固练习：教科书上第80页练习 1.试画出等边三角形的三条对称轴，你能发现什么？ 2.如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，∠BDE= ∠CDF=60°， 结合图形，你能得出那些结论？ 结论： 线：BD=DC=BE= （）=DF=CF=（）=AE 角：∠ADE= ∠ADF= （）= ∠DAF= 30° 形：△ADE和△ADF是（） △BED和△CFD是等边三角形 其他：DE∥AC，DF∥AB等． 总结反思。 （1）等边三角形的性质：等边三角形的 （2）等边三角形的判定：1. 2. 3.
解直角三角形及其应用 导学案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
九年级（上）数学导学案 课题：23.2 解直角三角形及其应用（2）编号9S046 教学思路（纠错栏） 教学思路（纠错栏）学习目标： 1.知道仰角、俯角等有关概念； 2.能把实际问题转化为数学问题来解决. 学习重点：利用三角函数解决实际问题； 学习难点：把实际问题转化为数学问题. ☆预习导航☆ 一、链接：什么叫解直角三角形在解直角三角形时用到的边、角数量关系有哪些 二、导读： 1.阅读课本126页，重点思考如何把实际问题转化为数学问题来解答，边角之间的关系有： sinA = ______ , cosA = ________ , tanA = _______ . 2.仰角、俯角的定义： 从低处观测高处的目标时， 视线与水平线所成的锐角叫做仰 角； 从高处观测低处的目标时， 视线与水平线所成的锐角叫做俯 角． ☆合作探究☆ 1. 上海东方明珠塔于1994 年10 月1 日建成，在各国广播电视塔的排名榜 中，当时其高度列亚洲第一、世界第 三．与外滩的“万国建筑博览群”隔江相 望．在塔顶俯瞰上海风景，美不胜 收．运用本章所学过的知识，能测出东 方明珠塔的高度来吗？ 为了测量东方明珠塔的高度，小亮和同学们在距离东方明珠塔200 米处的地面上，用高1.20 米的测角仪测得东方明珠塔顶的仰角为60°48 ′． A B E C D
根据测量的结果，小亮画了一张示意图，其中AB表示东方明珠塔，DC为测角仪的支架，DC=1.20米，CB=200米，∠ADE=60°48 ′ 根据在前一学段学过的长方形对边相等的有关知识，你能求出AB 的长吗？ 2. 如图，厂房屋顶人字架的跨度为10 米，上弦AB＝BD，∠A = 260 ．求中柱BC 和上弦AB 的长（精确到0 . 01 米）. ☆归纳反思☆ ☆达标检测☆ 1 ．如图，在电线杆上离地面6 米处 用拉线固定电线杆，拉线和地面之间的 夹角为60° , 求拉线AC 的长和拉线下 端点A 与线杆底部D 的距离（精确到 0 . 1 米）. 2．如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子顶 端到地面的距离BC = 3.2 米，底端到墙 根的距离AC = 2.4 米． (1)求梯子的长度和梯子与地面所成角的大小(精确到1 ' ) ; (2) 如果把梯子的底端到墙角的距离减少0 . 4 米，那么梯子与地面所成的角是多少？ 6 米 A B C D A C B
子洲三中 “双主”高效课堂 数学 导学案 2014-2015学年第一学期 姓名： 组名： 使用时间2014年 月 日 年 级 科 目 课 题 主 备 人 备 课 方 式 负责人（签字） 审核领导（签字） 序号 八（3） 数学 第2节 一定是直角三角形吗 乔智 一、【学习目标】 1 掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单的应用。 2 掌握勾股数的概念，探索常用勾股数的规律。 二、【学习过程】 （一）、学习准备 1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 ． 2、如果a 、b 和c 分别表示直角三角形两直角边和斜边，则有 。 3、阅读教材：第2节 一定是直角三角形吗 （二）、教材精读 4、已知：三角形ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且满足a 2 +b 2 =c 2 ；求证：三角形ABC 是直角三角形。 证明：画一个直角三角形A 1B 1C 1,使B 1C 1=a ， A 1C 1=b ，∠C 1=90°， 在Rt △A 1B 1C 1中，A 1B 12 = B 1C 12 + A 1C 12 = ， 又a 2 +b 2 =c 2 ∴A 1B 1= ， 在△ABC 和△A 1B 1C 1中， AB=c=A 1B 1， BC=a=B 1C 1，AC=b=A 1C 1 ∴△ABC △A 1B 1C ∴∠C= = 。 归纳：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2 +b 2 =c 2 ，那么这个三角形是 。 实践练习：下列哪几组数据能作为直角三角形的三边长？请说明理由。 ①9，12，15； ②15，36，39； ③12，35，36； ④12，18，22。 解： 5、满足222c b a =+的三个正整数，称为 。 常见的勾股数有：①3，4，5；②9，40，41；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15。勾股数有无数组。一组勾股数中，各数的相同整数倍得到一组新的勾股数。 注意：（1）勾股数必须都是正整数；（2）判断一组数是不是勾股数，看较小两个数的平方和是否等于最大数的平方。 实践练习：.判断下列各组数，哪些是勾股数？ ①15、36、39； ②3、－4、5； ③8、15、17； ④10、20、26；⑤0.3、0.4、0.5。 是勾股数有： 。 （三）、教材拓展 6、例1 一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中DBC A ∠∠,都应是直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸如图2所示，这个零件符合要求吗？ 二、合作探究 7、例2 如图，在正方形ABCD 中，AB=4，AE=2，DF=1， 图中有几个直角三角形，你是如何判断的？ 实践练习： 如图所示，∠C=900 ，AC=3，BC=4，AD=12，BD=13，问：AD⊥AB 吗？试说明理由． 三 、形成提升 1、已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？ ⑴a=9，b=41，c=40； ⑵a=15，b=16，c=6；⑶ a=5k ，b=13k ，c=12k （k ＞0）。
《三角形的特性》导学案 教学目标： 、通过动手操作和观察比较，使学生认识三角形，知道三角形的特征及三角形高和底的含义，会在三角形内画高。 2、通过实验，使学生知道三角形的稳定性及其在生活中的应用。 3、培养学生观察、操作的能力和应用数学知识解决实际问题的能力。 4、体会数学与生活的联系，培养学生学习数学的兴趣。 教学重点、难点： 重点：理解三角形的含义，掌握三角形的特征、特性。 难点：三角形高的确定及画法。 教具、学具准备： 教师准备：多媒体，硬纸条制作的长方形和三角形，三角板，作业纸等。 学生准备：学具小棒、彩色笔、三角板，直尺等。 教学过程： 一、联系生活，情境导入 师：为了上好今天这节课，老师特意拍了一些漂亮的图片，考考你们，看你们能否发现你比较熟悉的图形？（播放：三角形的木梯、空调外机的支架和电视塔） 学生自由汇报。
师：老师很高兴你们都有一双智慧的眼睛。 师：你还能说出生活中哪些物体上有三角形吗？ 生：红领巾、房梁、自行车、交通标志牌、电视接收塔、高压线塔…… 师：从你们的回答中老师感受到你们都是善于观察、善于发现的好孩子！三角形在我们的生活中应用很广泛，而且把我们的生活装扮的很漂亮，今天这节课我们就来进一步认识三角形。（板书课题：三角形的特性） 二、操作感知，理解概念 三角形对大家来说并不陌生，老师带来几个与三角形有关的问题，敢不敢挑战一下？（敢） 出示问题 （1）画一个你喜欢的三角形，想一想三角形有几条边？几个角？几个顶点？把各部分名称标在你画的三角形上。 （2）判断：你认为下列图形中哪些是三角形请用“√”标记 （3）结合画三角形和判断三角形的过程，在小组内说一说你认为什么样的图形叫做三角形？ （要求：独立完成后在小组内交流。） 学生汇报： 生1：三角形有三条边，三个角，三个顶点。
八年级上期数学导学案 12.3 等边三角形（第一课时） 撰稿人：章华铃审稿人：使用人：时间：年期周 【学习目标】 1．了解等边三角形是特殊的等腰三角形，掌握等边三角形的性质及判定方法； 2．正确运用等腰三角形的轴对称性进行计算和说理，并能在解决等腰三角形的边、角问题时，恰当运用分类思想． 【课前导学】 1．（1）已知等腰三角形的两边长分别是4和6，则第三边的是______________； （2）已知等腰三角形的两边长分别是4和9，则周长是__________________ 2．等腰三角形一个顶角等于80°，底角是______________ 等腰三角形一个角等于70°，则它的底角是______________ 3．已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（）. （A）80°（B）20°（C）80°或20°（D）不能确定 4.满足什么样条件的三角形是等边三角形？ 【课堂研讨】 一、1、等腰三角形的性质： （1）等腰三角形的相等 （2）等腰三角形、、互相重合 2、等腰三角形中有一种特殊的等腰三角形，即三角形叫做等边三角形。 二、学习新知 （一）等边三角形的性质和判定方法 1、提出问题： （1）把等腰三角形的性质（等腰三角形的两个底角相等）用到等边三角形，能得到什么结论？ （2）一个三角形满足什么条件就是等边三角形？ （3）你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？ 教师通过引导学生，让学生试着归纳出等边三角形的性质与判定。 2、归纳： 60。 （1）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于? 60的等腰三角形 （2）等边三角形的判定：①三个角都相等的三角形，②有一个角是? 练习：1、等边三角形是轴对称图形，它有条对称轴，他们是。 2、AD是等边三角形ABC的高，BE是AC边上的高，AD于BE交于点F，
28.2 解直角三角形及其应用 28.2.1 解直角三角形 一、新课导入 1.课题导入 如图是意大利的比萨斜塔，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线 的交点为A ，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2米，AB=54.5米，你能根据上述条件求出图中∠A的度数吗？这就是我们这节课要研究的问题. 2.学习目标 （1）知道解直角三角形的概念，理解直角三角形中除直角以外的五个元素之间的关系. （2）能综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. 3.学习重、难点 重点：直角三角形中除直角以外的五个元素之间的关系，解直角三角形. 难点：合理选用三角函数关系式解直角三角形. 二、分层学习 1.自学指导 （1）自学内容：教材P72~P73例1上面的内容. （2）自学时间：8分钟. （3）自学要求：完成探究提纲. （4）探究提纲： ①在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把由直角三角形中的已知元素求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. ②在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？ 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，设∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： a.两锐角互余,即∠A＋∠B＝90 °. b.三边关系满足勾股定理，即a2+b2=c2 . c.边角关系：sinA＝a c ，sinB＝ b c ； cosA＝b c , cosB＝ a c ； tanA＝a b , tanB＝ b a .
③已知直角三角形中除直角外的五个元素中的几个元素，才能求出其余所有未知元素？（提示：可从“确定一个直角三角形，至少需要哪些条件？”来思考） 已知其中两个元素（其中至少有一个是边）. 2.自学：学生可结合自学指导进行自学. 3.助学 （1）师助生： ①明了学情：了解学生自学提纲的答题情况（特别是第②、③题）. ②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导. （2）生助生：小组内相互交流、研讨、纠正错误. 4.强化 （1）直角三角形中除直角外的五个元素之间的关系（要板书出来）. （2）解直角三角形的条件：必须已知除直角外的两个元素（其中至少有一个是边）. ①已知两边：a.两直角边；b.一直角边和斜边. ②已知一边和一锐角：a.一直角边和一锐角；b.斜边和一锐角. 1.自学指导 （1）自学内容：教材P73例1、例2. （2）自学时间：8分钟. （3）自学方法：先独立解答，再同桌之间互评互纠. （4）自学参考提纲： ①在教材P73例1中，已知的元素是两条直角边AC 、BC ，需求出的未知元素是：斜边AB 、锐角A 、锐角B. 方法一：∵tanA = BC AC ∴∠A= 60 °,∠B=90°- ∠A = 30 °. ∵，,∴AB = 方法二：∵，,∴由勾股定理可得AB= sinA= BC AB A= 60 °,∴∠B=90°-∠A = 30 °. 这里∠B 的度数也可用三角函数来求，你会吗？ ②比较上述解法，体会其优劣. ③在教材P73例2中，已知的元素是一直角边b 和一锐角B ，则要求的未知元素有直角边a 、斜边c 、锐角A. ④例2还有别的解法吗？请试一试，并留意你的答案与例题的答案是否存在误差.
认识三角形 【学习目标】 认识三角形，能用符号语言表示三角形，并把三角形分类 【学习重难点】 重点：概括三角形的概念，认识三角形各部分的名称，知道三角形的底和高。 难点：会画三角形的高。 【学习过程】 一、基础知识回顾 三角形基本要素及基本性质 1． 三角形概念及表示 （1）由 的三条 首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 如图中三角形，可以记作 ，它有三边 ； 三个角 ；三个顶点 。 2． 与三角形有关的三边、角性质 （1）三边关系：三角形的任意两边之和 第三边；任意两边之差 第三边。 （2）三角形的内角之和为 。直角三角形两锐角 。 （3）三角形的三边关系决定了三角形具有 性。 3． 三角形的分类 （1）按三角形角的大小分，有?? ???钝角三角形直角三角形 锐角三角形 （2）按边的相等关系分，有?? ??????形底与腰不等的等腰三角等边三角形等腰三角形不等边三角形 4． 三角形重要的特殊线段 （1）三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个顶 点和交点之间的线段叫做 。如图AD 是∠BAC 的角平分线，
（D 在BC 所在直线上），那么∠BAD= =21 。 三角形的三条角平分线一定在三角形的内部，且它们都交于 。 （2）三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做 。 如图，AE 是BC 边上的中线（E 在BC 所在直线上）， 那么BE= = BC ． 三角形的三条中线一定在三角形的内部，且它们 都交于 。 （3）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的 叫做 三角形的高。三角形的三条高都交于 。其中，锐角三角形的三条高在 交于一点； 直角三角形的三条高在 交于一点；钝角三角形的三条高在 交于一点。 二、图形全等概念、特征、图案设计 能够 图形称为全等图形；全等图形的 都相等。 三角形是特殊的图形，全等三角形的概念与全等图形的概念是一致的。 全等三角形的对应边 ，对应角 。 三、探索三角形全等的条件 根据全等三角形的定义说明两个三角形全等，要求各边、各角都要对应相等。要使两 个三角形全等，至少需要 个条件（其中须有边的条件）。探索三角形全等的条件可以 归纳为： 1． 对应相等（简记为“SSS ”）； 2． 对应相等（简记为“SAS ”）； 3． 对应相等（简记为“ASA ”）； 4． 对应相等（简记为“AAS ”）； 四、探索直角三角形全等的条件 直角三角形全等的条件除了上述的“SSS ”、“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”之外，还可以 利用“HL ”来判断，即 和 对应相等的两个三角形全等。 特别说明：全等条件 “HL ”不能用于非直角三角形使用。 五、三角形全等的应用 （1）会用尺规作三角形，以及与全等三角形有关的图形； （2）会利用全等三角形测量距离。复习时注意理解尺规作三角形的依据就是全等三角形，还要关尺规作与全等三角形有关的图形；掌握用全等三角形进行实际测量的基本方法。 二、主要思想方法 转化思想 例1 如图1，工人师傅要检查人字梁的∠B 和∠C 是否相等，但他没有量角器，只有一把
等边三角形 学习目标： 1、理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法 2、能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题 3.掌握含30o角的直角三角形的性质，并能灵活运用这一性质解决实际问题。 4.极度热情、享受成功、感受数学就在身边。 重点：等边三角形判定定理的发现与证明 含30°角的直角三角形的性质定理的证明与运用． | 难点：等边三角形性质和判定的应用 预习案 使用说明&学法指导 1．诵读教材的内容，进行知识梳理；熟记基础知识, 2．完成教材助读设置的问题，然后结合课本基础知识的例题，完成与预习自测。3．建议15分钟完成预习案，将预习中不能解决的问题标出来，并填写到后面的我的疑惑处。 Ⅰ旧知回顾 1、等腰三角形性质 2、等腰三角形判定 、 Ⅱ教材助读 认真阅读课本，完成预习自测。 1、等边三角形的性质 2、等边三角形的判定 3、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，… 探究案 探究： 例1、如图，△ABD，△AEC都是等边三角形， 求证BE＝DC - 例2、如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC 于D，求∠DBC的度数。 ？ 例3等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高 ] 例4如图，△ABC为等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点， 且AD=CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F 求证:BP=2PF ' 自我检测 如图：等边三角形ABC的边长为4cm，点D从点C出发沿CA 向A运动，点E从B出发沿AB的延长线BF向右运动，已知点 D、E都以每秒0.5cm的速度同时开始运动，运动过程中DE与 BC相交于点P (1)运动几秒后，△ADE为直角三角形 （2）求证：在运动过程中，点P始终为线段DE的中点。 P F E > B A P D C B A E F