DSE 金牌数学专题系列 经典专题系列第 4讲
矩形、菱形、正方形
一、 导入
老先生与服务生
老先生常到一家商店买报纸,那里的服务生总是一脸傲慢无礼的样子,就连基本的礼貌都没有。做事追求效率固然重要,可是缺乏礼貌一定会流失客人,没有了客人服务速度再快,又有什么用? 朋友对老先生说,为何不到其他地方去买? 老先生笑着回答:“为了与他赌气,我必须多绕一圈,浪费时间,徒增麻烦,再说礼貌不好是他的问题,为什么我要因为他而改变自己的心情?”
大道理:不要因为别人的不好而影响了自己做事情时候的心情,也不要因外界的不如人意而影响了一生的幸福快乐。想想美好的一面,心情也会是很快乐的。
二、 知识点回顾
矩形、菱形、正方形
1.性质:
(1)矩形:①矩形的四个角都是直角.②矩形的对角线相等.③矩形具有平行四边形的所有性质.
(2)菱形:①菱形的四条边都相等.②菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线
平分一组对角.③具有平行四边形所有性质.
(3)正方形:①正方形的四个角都是直角,四条边都相等.②正方形的两条对角线相等,并且互相垂直
平分,每条对角线平分一组对角.
2.判定:
(1)矩形:①有一个角是直角的平行四边形是矩形.②对角线相等的
平行四边形是矩形.③有三个角是直角的四边形是矩形.
(2)菱形:①对角线互相垂直的平行四边形是菱形.②一组邻边相等
的平行四边形是菱形.③四条边都相等的四边形是菱形.
(3)正方形:①有一个角是直角的菱形是正方形.②有一组邻边相等
的矩形是正方形.③对角线相等的菱形是正方形.④对角线互相垂直的矩形是正方形. 3.面积计算:
(1)矩形:S=长×宽;(2)菱形:121
2
S l l =?(12l l 、是对角线) (3)正方形:S=边长2
三、 专题讲解
考点一、特殊平行四边形的性质
【例1】如图,矩形ABCD 的对角线相交于点O ,OF ⊥BC ,CE ⊥BD ,OE ∶BE=1∶3,OF=4,求∠ADB
的度数和BD 的长.
解:由矩形的性质可知OD=OC.
又由OE ∶BE=1∶3可知E 是OD 的中点.
又因为CE ⊥OD ,根据三线合一可知OC=CD,即OC=CD=OD ,即△OCD 是等边三角形,故∠CDB=60°. 所以∠ADB=30°.
又由矩形是轴对称图形得CD=2OF=8, 即BD=2OD=2CD=16.
把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠,EM 、FM 为折痕,折叠后的C 点落在B′M 或B′M 的延长线上,
那么∠EMF 的度数是( )
A.85°
B.90°
C.95°
D.100° 解析:∠EMF=∠EMB′+∠FMB′=
21∠BMC′+21∠CMC′=2
1
×180°=90°答案:B 考点二、会用“阶梯型”思路判定特殊平行四边形
【例 2】如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,DE 垂直平分BC ,垂足为D ,交AB 于点E.
又点F 在DE 的延长线上,且AF=CE.求证:四边形ACEF 是菱形. 答案:证明:∵∠ACB=90°,DE 是BC 的中垂线, ∴E 为AB 边的中点.
∴CE=AE=BE. ∵∠BAC=60°, ∴△ACE 为正三角形.
在△AEF 中,∠AEF=∠DEB=∠BAC=60°,而AF=CE , 又CE=AE, ∴AE=AF.
∴△AEF 也为正三角形. ∴∠CAE=∠AEF=60°. ∴AC EF.
∴四边形ACEF 为平行四边形.
又CE=AC,∴平行四边形ACEF为菱形.
如图,在ABCD中,E、F分别为边AB、CD的中点,BD是对角线,AG∥DB交CB的延长线于G.(1)求证:△ADE≌△CBF;
(2)若四边形BEDF是菱形,则四边形AGBD是什么特殊四边形?并证明你的结论.【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠1=∠C,AD=CB,AB=CD.
∵点E、F分别是AB、CD的中点,
∴AE=1
2
AB,CF=
1
2
CD.
∴AE=CF.
∴△ADE≌△CBF.
(2)当四边形BEDF是菱形时,四边形AGBD是矩形.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.
∵AG∥BD,
∴四边形AGBD是平行四边形.
∵四边形BEDF是菱形,
∴DE=BE.
∵AE=BE,
∴AE=BE=DE.
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°,
∴2∠2+2∠3=180°.
∴∠2+∠3=90°.
即∠ADB=90°,
∴四边形AGBD是矩形.
考点三、作辅助线构造特殊平行四边
【例3】如图E是矩形ABCD的边AD上一点,BE=ED,P是对角线BD上任意一点,PF⊥BE,PG⊥AD,垂足分别为F,G.求证:PF+PG=AB
如图,点M是矩形ABCD的边AD中点,点P是BC边上一动点,PE⊥MC,
PF⊥BM,垂足分别为E、F,
(1)当四边形PEMF为矩形时,矩形ABCD的长与宽应满足什么条件?
(2)在(1)中,当点P运动到什么位置时,四边形PEMF变为正方形?为什
么?
考点四、会解决与特殊平行四边形有关的动手操作问题
【例4】如图,在一张长12 cm 、宽5 cm 的矩形纸片内,要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点
的方法折出菱形EFGH (见方案一),张丰同学按照沿矩形的对角线AC 折出∠CAE=∠DAC ,∠ACF=∠ACB 的方法得到菱形AECF (见方案二),请你通过计算,比较李颖同学和张丰同学的折法中,哪种菱形面积较大?
解:(方案一)S 菱形=S 矩形-4S △AEH =12×5-4×21
×6×2
5=30(cm 2). (方案二)设BE=x ,则CE=12-x, ∴AE=22225x AB BE +=
+.
因为四边形AECF 是菱形,则AE 2=CE 2, ∴25+x 2=(12-x)2. ∴x=
24
119
. ∴S 菱形=S 矩形-2S △ABE =12×5-2×2
1×5×
24
119
≈35.21(cm 2). 经比较可知,(方案二)张丰同学所折的菱形面积较大.
如图,在矩形纸片ABCD 中,AB=33,BC=6,沿EF 折叠后,点C 落在AB 边上的点P
处,点D 落在点Q 处,AD 与PQ 相交于点H ,∠BPE=30°. (1)求BE 、QF 的长.(2)求四边形PEFH 的面积.
【分析】折叠型试题是近年中考试题的热点,要想解好此类题,考
生必须有想像力,抓住折叠的角与边不发生变化,必要时需要考生剪一个四边形实际折叠一下帮助理(1)BE=2,QF=1 (2)73
四、巩固练习:
(1)填空题
1.如图1,在菱形ABCD中,已知AB=10,AC=16,那么菱形ABCD的面积为________.
2.(黄冈市)如图2,将边长为8cm的正方形ABCD的四边沿直线L向右滚动(不滑动),当正方形滚动两周时,正方形的顶点A所经过的路线的长是________cm.
(1) (2) (3)
3.用两个全等的直角三角形拼下列图形:①平行四边形;②矩形;③菱形;④正方形;⑤等腰三角形;
⑥等边三角形;一定可以拼成的是________(只填序号).
4.如图3,点E、F是菱形ABCD的边BC、CD上的点,请你添加一个条件(?不得另外添加辅助线和字母),使AE=AF,你添加的条件是________.
(5) (6) (7) (8)
(2)填空题
6.(广安市)正方形具有而菱形不一定具有的性质是()
A.对角线相等B.对角线互相垂直平分 C.对角线平分一组对角D.四条边相等7.如图5,在菱形ABCD中,E、F分别是AB,AC的中点,如果EF=2,那么菱形ABCD?的周长是()
A.4 B.8 C.12 D.16
8.(江阴市)已知如图6,则不含阴影部分的矩形的个数是()
A.15 B.24 C.25 D.16
9.(潍坊市)如图7,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30?°到正方形AB′C′D′,图中阴影部分的面积为()
A.1
2
B.
3
3
C.1-
3
3
D.1-
3
4
10.(淄博市)将一矩形纸片按如图8方式折叠,BC、BD为折痕,折叠后A?′B与E′B在同一条直线上,则∠CBD的度数()
A.大于90° B.等于90° C.小于90° D.不能确定
(3)解答题
12.(泉州市)如图,在矩形ABCD中,E、F分别是BC、AD上的点,且BE=DF.
求证:△ABE≌△CDF.
13.(沪州市)如图,在矩形ABCD中,点E是BC 上一点,AE=AD,DF⊥AE,垂足为F.线段DF 与图中哪一条线段相等?先将你的猜想出的结论填写在下面的横线上,然后再加以证明.
即DF=________.(写出一线段即可)
14.已知:如图,平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC?分别相交于E、F,求证:四边形AFCE是菱形.
五、拓展训练
15.(河南省)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=3.D是BC边上一点,?直线DE⊥BC于D,交AB于E,CF∥AB交直线DF于F.设CD=x.
(1)当x取何值时,四边形EACF是菱形?请说明理由;
(2)当x取何值时,四边形EACD的面积等于2?
考点精练
1.96 2.16π+162π 3.①②⑤
4.∠BAE=∠DAF(答案不唯一)
5.B(4,0),(23,2),C(4,3),(433334
,
22
-+
)
6.A 7.D 8.C 9.C 10.B 12.根据SAS证△ABE≌△CDF 13.DF=DC.证略
14.证△AOE ≌△COF .?即得AE //FC .四边形AFCE 是平行四边形. 又AC ⊥EF ,∴四边形AFCE 是菱形 15.解:?(?1)?∵∠ACB=90°,
∴AC ⊥BC .又∵DE ⊥BC ,∴EF ∥AC .
又∵AE ∥CF ,∴四边形EACF?是平行四边形. 当CF=AC 时,四边形ACFE 是菱形.
此时,CF=AC=2,BD=3-x ,tan ∠B=23,ED=BD ·tan ∠B=2
3
(3-x ), ∴DF=EF-ED=2-
23(3-x )=2
3
x . 在Rt △CDF 中,CD 2+DF 2=CF 2, ∴x 2+(
23x )2=22,∴x=±6
1313(?负值不合题意,舍去),
即当x=6
13
13时,四边形ACFE 是菱形
(2)由已知得,四边形EACD 是直角梯形,S 梯形EACD =
12×(4-23x )·x=-13
x 2+2x . 依题意,得-
13
x 2
+2x=2,整理得,x 2-6x+6=0.解之,得x 1=3-3,x 2=3+3. ∵x=3+3>BC=3, ∴x=3+3舍去,
∴当x=3-3时,梯形EACD 的面积等于2.
六、反思总结
当堂过手训练 (快练5分钟,稳准建奇功)
1、如图,工人师傅砌门时,常用木条EF 固定矩形门框ABCD,使其不变形,这种做法的根据是( )
A.两点之间线段最短
B.矩形的对称性
C.矩形的四个角都是直角
D.三角形的稳定性 解析:因钉上EF 后,构成△CEF,根据三角形的稳定性使其不变形.答案:
D
1图
E
O
D
C B
A
(1题图) (2题图) ( 3题图)
2、 如图,已知矩形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O ,AE ⊥BD ,垂足为E ,∠DAE ∶∠BAE =3∶1,∠EAC= °
分析:本题充分利用矩形对角线把矩形分成四个等腰三角形的基本图形进行求解。 解略,答案450。
3、如图是一块矩形ABCD 的场地,长AB=102 m ,宽AD=51 m ,从A 、B 两处入口的中路宽都为1 m ,两小路会合处路宽为2 m ,其余部分为草坪,则草坪面积为 ( )
A.5 050 m 2
B.4 900 m 2
C.5 000 m 2
D.4 998 m 2
解析:根据平移的性质:平移不改变图形的大小.本题可将两侧的草坪分别向中间平移1 m ,向下平移1 m ,三块草坪拼成了一个长为100 m ,宽为50 m 的矩形,因此草坪的面积为100×50=5 000 m 2.答案:C
4、如图,矩形ABCD 中,M 是AD 的中点. (1)求证:△ABM ≌△DCM ;
(2)请你探索,当矩形ABCD 的一组邻边满足何种数量关系时,有BM ⊥CM 成立,说明你的理由.
.(1)略 (2)AB=
1
2
AD 时,?BM ⊥CM
5、如图,在四边形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点,请添加一个条件,使四边形EFGH 为菱形,并说明理由.
解:添加条件:对角线相等.理由:连结AC 、BD.在△ABC 中, ∵AE=BE ,BF=CF , ∴EF 为△ABC 的中位线. ∴EF=
AC 21.同理可得FG=BD 21,GH=AC 21,HE=BD 2
1
. 又∵AC=BD (添加条件),
∴EF=FG=GH=HE.故四边形EFGH 为菱形.
6.如图,已知过平行四边形ABCD 的对角线交点O 作互相垂直的两条直线EG 、FH 与平行四边形ABCD 各边分别相交于点E 、F 、G 、H.求证:四边形EFGH 是菱形. 答案:证明:在
ABCD 中,OD=OB ,OA=OC ,AB ∥CD ,
∴∠OBG=∠ODE. 又∵∠BOG=∠DOE ,
∴△OBG ≌△ODE.∴OE=OG .
同理OF=OH.∴四边形EFGH 是平行四边形. 又∵EG ⊥FH ,∴四边形EFGH 是菱形.
7、如图,已知平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F.求证:四边形AFCE 是菱形.
答案:证明:∵EF 垂直平分AC,
∴EF ⊥AC,AO=CO.
∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC.∴∠AEO=∠CFO. ∴△AOE≌△COF.
∴OE=OF.
∴四边形AECF是平行四边形.
又∵AC⊥EF,
∴四边形AFCE是菱形.
19章矩形、菱形、正方形复习课 一;学习目标 1.熟练掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定方法,并能灵活运用解决一些简单的问题,提高逻辑推理能力; 2.通过小组讨论,探究,结合具体题目的训练,体验特殊平行四边形有关知识的联系和区别. 3.培养合作探究的能力,养成科学严谨的数学思维习惯. 教学重点:矩形、菱形、正方形的性质和判定的应用 教学难点:灵活应用特殊四边形判定方法解决问题 二考点知识梳理 考点一矩形、菱形、正方形的性质和判定 1、矩形的定义: 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,通常也叫长方形。 2、矩形的性质: ①矩形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的一切性质; ②矩形既是轴对称图形也是中心对称图形,对称轴是对边中点连线所在直线,有两条,对称中心是对角线的交点。 ③矩形的对角线相等; ④矩形的四个角都是直角。 2、矩形的判定: ①有一个角是直角的平行四边形是矩形; ②对角线相等的平行四边形是矩形; ③有3个角是直角的四边形是矩形。 4、菱形的定义: 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
5、菱形的性质: ①菱形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的一切性质; ②菱形既是轴对称图形也是中心对称图形,对称轴是两条对 角线所在直线,对称中心是对角线的交点。 ③菱形的四条边相等; ④菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角。 6、菱形的判定:①有一组邻边相等的平行四边形是菱形; ②四边都相等的四边形是菱形; ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 7、菱形的面积:S菱形=AC·BD 8、正方形的定义:、有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 9、正方形的性质: ①正方形具有矩形的性质,同时又具有菱形的性质。 ②正方形既是轴对称图形也是中心对称图形,对称轴有四条,对称中心是对角线的交点。 10、正方形的判定:、 ①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形; ②有一组邻边相等矩形形是正方形; ③有一个角是直角的菱形是正方形。 考点二平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系 考点训练------快速反应
道坪中心小学数学公开课教案 (2018——2019学年度第一学期) 课题:三年级上册《长方形和正方形的认识》 时间:2018年10月18日 执教人:侯步钧 教学课题长方形和正方形的认识 教学内容:教材第80页例相关内容及练习题 教学目标: 知识与技能: 1. 进一步认识长方形和正方形的特征。 2. 熟练辨认各种图形。 过程与方法:通过观察和实践探讨,掌握长方形和正方形的特征。 情感态度价值观: 1.体会到数学知识与实际生活紧密联系,感受到生活中处处有数学。 2.培养学生动手实践的能力以及学习数学的兴趣和自信心。 教学重难点: 重点:认识长方形和正方形的特征。 难点:认识长方形和正方形的特征。 教学方法:观察思考、动手实践 教、学具准备: 教师:多媒体课件,直尺、量角器等。 学生:直尺、量角器。 教学过程: 一、复习导入 1.出示所学各种图形图,复习讲解四边形的定义和特征。 ⑴四边形的定义:即是有4条直的边围成的四个角的图形叫四边形。 ⑵四边形的特征:有四条直的边;有四个角(不一定是直角) 启发学生交流,引导学生观察和发现。 2.导入新课 上述四边形中,对边两两相等且四边不相等,且四个角都是直角的图形,我们称为长方形;四边都相等且四个角都是直角的图形,我们称为正方形。 [板书课题:长方形和正方形] 二、探究新知——长方形和正方形 教学题例2 1.长方形:
特点:对边相等且4边不相等,4个角都是直角。 2.正方形: 特点:4条边相等,4个角都是直角。 三、情感体验 1、请画出一个长6格、宽3格的长方形和一个边长3格的正方形。 四、数学医生 观察下面各图,是长方形和正方形的在()里打√,不是的在()里打×。 五、学以致用——课堂巩固 “练习十七第1、2、3、4 题”。 六、知识反馈 本节课我们认识了长方形和正方形,其特点是: 长方形:对边相等且4边不相等,4个角都是直角。 正方形:4条边相等,4个角都是直角。 七、社会实践探索 “练习十七第 5、6、7、8 题”。 板书设计; 《长方形和正方形》 长方形:对边相等且4边不相等,4个角都是直角。 正方形:4条边相等,4个角都是直角。
长方形正方形面积计 算教案
一创设情境导入新课 师:今天老师想给大家介绍一位新朋友,它叫做小老虎,这位小老虎可喜欢照相了,他昨天照了一张大头贴,看!这张好片老师用手这么一拉,它发生了什么变化? 生1:面积变大了, 师:是吗?还有吗 生2:周长变大了变大了 生3:长变大了,寛也变大了 师:长变大了,寛也变大了,面积也变大了,那么长方形的长、宽和它的面积有什么关系呢? 这一节课我们一起来研究长方形与正方形的面积计算(板书课题) 二小组合作主动探索 在刚才老师发给大家的信封当中,有一张小老虎的照片,还有12个面积是1平方厘米的小正方形,还有一把尺子,请同学们小组合作,利用这些材料,想方法求出小老虎照片面积是多少。好,现在开始活动。 1,学生小组合作,师指导 下面我请一个组的同学上来汇报一下你们组是用什么方法把照片的面积求出来的。 摆正方形 用尺子量 4×3 长×宽
如果我想求课本表面的面积,其他长方形的面积,是不是也可以用这种方法来记算呢? 我看有的同学说是,也有的同学怀疑对不对?那接下来,我们一起来验证一下吧! 2 接下来的任务我们就来解决大部分同学的疑问长方形的面积是不是真的等于长×宽 接下来请同学们利用手中的这12个小正方形拼成不同的长方形,观察一下长方形的长、宽,还有它的面积有什么关系,并且完成表格1,开始! 表扬33组,表扬22组。。。××组行了吗?好,那接下来我请一个同学代表他的小组来说说他们组是怎么摆的。 生1:长摆4个,宽摆3个小正方形 师:那你告诉同学们长是?宽是?面积是?这是你们小组的其中一种方法是吗?你先回去,我再请一个小组 生2:我摆的长方形长是6个小方形,宽是两个小正方形 师:是不是这种?(多媒体出示)那这个长方形的长是?宽是?生:。。。 师:非常棒!感谢你们组,还有哪个小组想说的? 生3:把12个小正方形全部摆成一行。。。。 3总结公式 师:同学们观察一下,这张表格你发现了长方形的长、宽和面积有什么关系?
篇一:新人教版菱形教学设计 菱形(1)教学设计说明 一、教学内容分析 本节选自《义务教育课程标准实验教科书初中数学》人教版八年级下册第97页19.2.2《菱形》的第一课时. 本节是在学习了平行四边形和特殊的平行四边形矩形的基础上进行学习的,它是本章乃至整个初中几何的重要内容之一。菱形是平行四边形基础上的深化,与矩形一样都是特殊的平行四边形,又是正方形的基础,这些知识是计算和证明线段、角、面积等问题的重要依据。因此,菱形在本章起到了承上启下的作用。它进一步丰富了学生对图形的认识和感受。在本节通过证明菱形的基本性质,让学生进一步体会证明的必要性,理解证明的基本过程。 二、学生学习情况分析 学生在小学已初步掌握了平行四边形的一些简单性质,并知道菱形是特殊的平行四边形,在初中的学习中又学习了相交线、平行线、三角形、轴对称图形以及平行四边形、矩形等知识,在学习过程中,学生多次进行了观察、测量、画图、拼图、折叠、图形设计等活动,积累了丰富的数学活动经验和感受,也具备了一定的观察、操作、推理、概括等能力. 三、教学目标 根据教学内容特点和学生的实际情况,我把本节课的教学目标定为以下三条: 1、知识与技能:理解菱形的定义;经历菱形的性质的探究过程,掌握菱形的性质,并学会简单运用。 2、过程与方法: (1)经历菱形的性质的探究过程,培养学生的动手实验、观察推理的意识,发展学生的形象思维 和逻辑推理能力. (2)根据菱形的性质进行简单的证明,培养学生的逻辑推理能力和演绎能力. 思考的习惯。 四、教学重点和难点 重点:菱形性质的探究、证明与简单运用. 难点:菱形性质2的探究、证明. 五、教具学具准备 教具准备:长方形纸片、剪刀、三角板、多媒体课件学具准备:长方形纸片、剪刀、计算器等 六、教学过程 1.展示图片(世博会上的法国馆等)从中发现菱形,引出课题。 2.通过类比矩形的定义,并运用多媒体动态地展示将平行四边形的较短一边进行平移的过 程,让学 生观察,抽象出菱形的定义。 b a c 3、菱形还有哪些性质呢?请同学分组讨论,然后全班交流。(1)菱形的四条边都相等. (2)菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角. (3)菱形的面积等于对角线乘积的一半等。 【设计意图】:通过动手操作,经历探究对图形的对折,即对轴对称图形的再认识,感受动手实验的乐趣,培养猜想的意识,感受直观操作得出猜想的便捷性,培养学生的观察、实验、猜想等合情推理能力. 4、这还只是我们直观折纸得出来的,那么如何证明它们呢?(性 质1很好证明,性质2是个难点,所以着重证明性质2)