DSE 金牌数学专题系列 经典专题系列第 4讲
矩形、菱形、正方形
一、 导入
老先生与服务生
老先生常到一家商店买报纸，那里的服务生总是一脸傲慢无礼的样子，就连基本的礼貌都没有。做事追求效率固然重要，可是缺乏礼貌一定会流失客人，没有了客人服务速度再快，又有什么用？ 朋友对老先生说，为何不到其他地方去买？ 老先生笑着回答：“为了与他赌气，我必须多绕一圈，浪费时间，徒增麻烦，再说礼貌不好是他的问题，为什么我要因为他而改变自己的心情?”
大道理：不要因为别人的不好而影响了自己做事情时候的心情，也不要因外界的不如人意而影响了一生的幸福快乐。想想美好的一面，心情也会是很快乐的。
二、 知识点回顾
矩形、菱形、正方形
1.性质：
（1）矩形：①矩形的四个角都是直角．②矩形的对角线相等．③矩形具有平行四边形的所有性质．
（2）菱形：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线
平分一组对角．③具有平行四边形所有性质．
（3）正方形：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等．②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直
平分，每条对角线平分一组对角．
2．判定：
（1）矩形：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的
平行四边形是矩形．③有三个角是直角的四边形是矩形．
（2）菱形：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等
的平行四边形是菱形．③四条边都相等的四边形是菱形．
（3）正方形：①有一个角是直角的菱形是正方形．②有一组邻边相等
的矩形是正方形．③对角线相等的菱形是正方形．④对角线互相垂直的矩形是正方形． 3.面积计算：
（1）矩形：S=长×宽；（2）菱形：121
2
S l l =?（12l l 、是对角线） （3）正方形：S=边长2
三、 专题讲解
考点一、特殊平行四边形的性质
【例１】如图,矩形ABCD 的对角线相交于点O ，OF ⊥BC ，CE ⊥BD ，OE ∶BE=1∶3，OF=4，求∠ADB
的度数和BD 的长.
解：由矩形的性质可知OD=OC.
又由OE ∶BE=1∶3可知E 是OD 的中点.
又因为CE ⊥OD ，根据三线合一可知OC=CD,即OC=CD=OD ，即△OCD 是等边三角形,故∠CDB=60°. 所以∠ADB=30°.
又由矩形是轴对称图形得CD=2OF=8, 即BD=2OD=2CD=16.
把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠,EM 、FM 为折痕,折叠后的C 点落在B′M 或B′M 的延长线上,那么∠EMF 的度数是( )
A.85°
B.90°
C.95°
D.100° 解析：∠EMF=∠EMB′+∠FMB′=
21∠BMC′+21∠CMC′=2
1
×180°=90°答案:B 考点二、会用“阶梯型”思路判定特殊平行四边形
【例 ２】如图,在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE 垂直平分BC ，垂足为D ，交AB 于点E.
又点F 在DE 的延长线上，且AF=CE.求证：四边形ACEF 是菱形. 答案:证明：∵∠ACB=90°，DE 是BC 的中垂线， ∴E 为AB 边的中点. ∴CE=AE=BE. ∵∠BAC=60°， ∴△ACE 为正三角形.
在△AEF 中，∠AEF=∠DEB=∠BAC=60°，而AF=CE ， 又CE=AE, ∴AE=AF.
∴△AEF 也为正三角形. ∴∠CAE=∠AEF=60°. ∴AC EF.
∴四边形ACEF为平行四边形.
又CE=AC，∴平行四边形ACEF为菱形.
如图，在Y ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠1=∠C，AD=CB，AB=CD．
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE=1
2
AB，CF=
1
2
CD．
∴AE=CF．
∴△ADE≌△CBF．
（2）当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∵AG∥BD，
∴四边形AGBD是平行四边形．
∵四边形BEDF是菱形，
∴DE=BE．
∵AE=BE，
∴AE=BE=DE．
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴2∠2+2∠3=180°．
∴∠2+∠3=90°．
即∠ADB=90°，
∴四边形AGBD是矩形．
考点三、作辅助线构造特殊平行四边
【例3】如图E是矩形ABCD的边AD上一点，BE=ED，P是对角线BD上任意一点，PF⊥BE,PG⊥AD,垂足分别为F,G.求证：PF+PG=AB
如图，点M是矩形ABCD的边AD中点，点P是BC边上一动点，PE⊥MC，
PF⊥BM，垂足分别为E、F，
（1）当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长与宽应满足什么条件？
（2）在（1）中，当点P运动到什么位置时，四边形PEMF变为正方形？为什
么？
考点四、会解决与特殊平行四边形有关的动手操作问题
【例4】如图,在一张长12 cm 、宽5 cm 的矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点
的方法折出菱形EFGH （见方案一），张丰同学按照沿矩形的对角线AC 折出∠CAE=∠DAC ，∠ACF=∠ACB 的方法得到菱形AECF （见方案二），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？
解：（方案一）S 菱形=S 矩形-4S △AEH =12×5-4×21
×6×2
5=30（cm 2）. （方案二）设BE=x ，则CE=12-x, ∴AE=22225x AB BE +=
+.
因为四边形AECF 是菱形，则AE 2=CE 2, ∴25+x 2=(12-x)2. ∴x=
24
119
. ∴S 菱形=S 矩形-2S △ABE =12×5-2×2
1×5×
24
119
≈35.21(cm 2). 经比较可知，(方案二)张丰同学所折的菱形面积较大.
如图，在矩形纸片ABCD 中，3BC=6，沿EF 折叠后，点C 落在AB 边上的点P
处，点D 落在点Q 处，AD 与PQ 相交于点H ，∠BPE=30°．
（1）求BE、QF的长．（2）求四边形PEFH的面积．
【分析】折叠型试题是近年中考试题的热点，要想解好此类题，考
生必须有想像力，抓住折叠的角与边不发生变化，必要时需要考生剪一个四边形实际折叠一下帮助理（1）BE=2，QF=1 （2）73
四、巩固练习：
（1）填空题
1．如图1，在菱形ABCD中，已知AB=10，AC=16，那么菱形ABCD的面积为________．
2．（黄冈市）如图2,将边长为8cm的正方形ABCD的四边沿直线L向右滚动（不滑动），当正方形滚动两周时，正方形的顶点A所经过的路线的长是________cm．
(1) (2) (3)
3．用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；
⑥等边三角形；一定可以拼成的是________（只填序号）．
4．如图3，点E、F是菱形ABCD的边BC、CD上的点，请你添加一个条件（?不得另外添加辅助线和字母），使AE=AF，你添加的条件是________．
(5) (6) (7) (8)
（2）填空题
6．（广安市）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）
A．对角线相等B．对角线互相垂直平分 C．对角线平分一组对角D．四条边相等7．如图5，在菱形ABCD中，E、F分别是AB，AC的中点，如果EF=2，那么菱形ABCD?的周长是（）
A．4 B．8 C．12 D．16
8．（江阴市）已知如图6，则不含阴影部分的矩形的个数是（）
A．15 B．24 C．25 D．16
9．（潍坊市）如图7，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30?°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）
A．1
2
B．
3
3
C．1-
3
3
D．1-
3
4
10．（淄博市）将一矩形纸片按如图8方式折叠，BC、BD为折痕，折叠后A?′B与E′B在同一条直线上，则∠CBD的度数（）
A．大于90° B．等于90° C．小于90° D．不能确定
（3）解答题
12．（泉州市）如图，在矩形ABCD中，E、F分别
是BC、AD上的点，且
BE=DF．
求证：△ABE≌△CDF．
13．（沪州市）如图，在矩形ABCD中，点E是BC
上一点，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F．线段DF
与图中哪一条线段相等？先将你的猜想出的结
论填写在下面的横线上，然后再加以证明．
即DF=________．（写出一线段即可）
14．已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC?分别相交于E、F，求证：四边形AFCE是菱形．
五、拓展训练
15．（河南省）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3．D是
BC边上一点，?直线DE⊥BC于D，交
AB于E，CF∥AB交直线DF于F．设CD=x．
（1）当x取何值时，四边形EACF是菱形？请说明理由；
（2）当x取何值时，四边形EACD的面积等于2？
考点精练
1．96 2．16π2π 3．①②⑤
4．∠BAE=∠DAF（答案不唯一）
5．B（4，0），（32），C（4，3），433334
-+
）
6．A 7．D 8．C 9．C 10．B
12．根据SAS 证△ABE ≌△CDF 13．DF=DC ．证略
14．证△AOE ≌△COF ．?即得AE //FC ．四边形AFCE 是平行四边形． 又AC ⊥EF ，∴四边形AFCE 是菱形 15．解：?（?1）?∵∠ACB=90°，
∴AC ⊥BC ．又∵DE ⊥BC ，∴EF ∥AC ．
又∵AE ∥CF ，∴四边形EACF?是平行四边形． 当CF=AC 时，四边形ACFE 是菱形．
此时，CF=AC=2，BD=3-x ，tan ∠B=23，ED=BD ·tan ∠B=2
3
（3-x ）， ∴DF=EF-ED=2-
23（3-x ）=2
3
x ． 在Rt △CDF 中，CD 2+DF 2=CF 2，
∴x 2+（
23x ）2=22，∴x=±6
1313（?负值不合题意，舍去），
即当x=6
13
13时，四边形ACFE 是菱形
（2）由已知得，四边形EACD 是直角梯形，S 梯形EACD =
12×（4-23
x ）·x=-13x 2+2x ． 依题意，得-
13
x 2
+2x=2，整理得，x 2-6x+6=0．解之，得x 1=3-3，x 2=3+3． ∵x=3+3>BC=3， ∴x=3+3舍去，
∴当x=3-3时，梯形EACD 的面积等于2．
六、反思总结
当堂过手训练 （快练5分钟，稳准建奇功）
1、如图,工人师傅砌门时,常用木条EF 固定矩形门框ABCD,使其不变形,这种做法的根据是( )
A.两点之间线段最短
B.矩形的对称性
C.矩形的四个角都是直角
D.三角形的稳定性 解析：因钉上EF 后,构成△CEF,根据三角形的稳定性使其不变形.答案:D
1图
E
O
D
C B
A
（1题图） （2题图） （ 3题图）
2、 如图，已知矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE ⊥BD ，垂足为E ，∠DAE ∶∠BAE ＝3∶1，∠
EAC= °
分析：本题充分利用矩形对角线把矩形分成四个等腰三角形的基本图形进行求解。 解略，答案450。 3、如图是一块矩形ABCD 的场地，长AB=102 m ，宽AD=51 m ，从A 、B 两处入口的中路宽都为1 m ，两小路会合处路宽为2 m ，其余部分为草坪，则草坪面积为 ( )
A.5 050 m 2
B.4 900 m 2
C.5 000 m 2
D.4 998 m 2
解析：根据平移的性质：平移不改变图形的大小.本题可将两侧的草坪分别向中间平移1 m ，向下平移1 m ，三块草坪拼成了一个长为100 m ，宽为50 m 的矩形，因此草坪的面积为100×50=5 000 m 2.答案:C 4、如图，矩形ABCD 中，M 是AD 的中点． （1）求证：△ABM ≌△DCM ；
（2）请你探索，当矩形ABCD 的一组邻边满足何种数量关系时，有BM ⊥CM 成立，说明你的理由．
．（1）略 （2）AB=
1
2
AD 时，?BM ⊥CM
5、如图,在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH 为菱形，并说明理由.
解：添加条件：对角线相等.理由：连结AC 、BD.在△ABC 中， ∵AE=BE ，BF=CF ， ∴EF 为△ABC 的中位线. ∴EF=
AC 21.同理可得FG=BD 21，GH=AC 21，HE=BD 2
1
. 又∵AC=BD （添加条件）,
∴EF=FG=GH=HE.故四边形EFGH 为菱形.
6.如图,已知过平行四边形ABCD 的对角线交点O 作互相垂直的两条直线EG 、FH 与平行四边形ABCD 各边分别相交于点E 、F 、G 、H.求证：四边形EFGH 是菱形. 答案:证明：在
ABCD 中，OD=OB ，OA=OC ，AB ∥CD ，
∴∠OBG=∠ODE. 又∵∠BOG=∠DOE ， ∴△OBG ≌△ODE.∴OE=OG .
同理OF=OH.∴四边形EFGH 是平行四边形. 又∵EG ⊥FH ，∴四边形EFGH 是菱形.
7、如图,已知平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F.求证:四边形AFCE 是菱形.
答案:证明：∵EF垂直平分AC,
∴EF⊥AC,AO=CO.
∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC.∴∠AEO=∠CFO. ∴△AOE≌△COF.
∴OE=OF.
∴四边形AECF是平行四边形.
又∵AC⊥EF,
∴四边形AFCE是菱形.
中考数学复习矩形、菱形、正方形教案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址章节 第五章 课题 课型 复习课 教法 讲练结合 教学目标（知识、能力、教育） .掌握菱形、矩形、正方形的概念，了解它们之间的关系． 2.掌握菱形、矩形、正方形、的有关性质和常用的判别方法． 3.进一步掌握综合法的证明方法，能够证明与矩形、菱形以及正方形等有关的性质定理及判定定理，并能够证明其他相关的结论． 4.体会在证明过程中，所运用的归纳、转化等数学思想方法 教学重点 菱形、矩形、正方形的概念及其性质 教学难点
数学思想方法的体会及其运用。 教学媒体 学案 教学过程 一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】 .性质： （1）矩形：①矩形的四个角都是直角．②矩形的对角线相等．③矩形具有平行四边形的所有性质． （2）菱形：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角．③具有平行四边形所有性质． （3）正方形：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等．②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 2.判定： （1）矩形：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形．③有三个角是直角的四边形是矩形． （2）菱形：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等的平行四边形是菱形．③四条边都相等的四边形是菱形．
（3）正方形：①有一个角是直角的柳是正方形．②有一组邻边相等的矩形是正方形．③对角线相等的菱形是正方形．④对角线互相垂直的矩形是正方形． 3.面积计算： （1）矩形：S=长×宽；（2）菱形：（是对角线） （3）正方形：S=边长2 4.平行四边形与特殊平行四边形的关系 （二）：【课前练习】 .下列四个命题中，假命题是（ ） A．两条对角线互相平分且相等的四边形是正方形 B．菱形的一条对角线平分一组对角 c．顺次连结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形 D．等腰梯形的两条对角线相等 2.将矩形ABcD沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠=60°，则∠AED的大小是（ ） A．60°. B．50°. c．75°. D．55°
八年级数学下册 9.4 矩形、菱形、正方形学案 2（新版）苏科版 9、4矩形、菱形、正方形（2）自主空间学习目标理解矩形的判定条件并且能应用相关定理来证明矩形，知道解决矩形问题的基本思想是化为三角形问题来解决，掌握数学转化思想学习重难点矩形的判定方法的理解及综合应用教学流程预习导航问题： 1、有3个角是直角的四边形是矩形吗？为什么？如图，四边形ABCD中∠A=∠B=∠C=90,四边形ABCD是矩形吗？为什么？ 2、对角线相等的平行四边形是矩形吗？为什么？ 如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相等，平行四边形ABCD是矩形吗？为什么？_D_C_B_合作探究 一、概念探究 1、观察桌面、黑板面：它们是什么四边形？如何检验它们是矩形？ 2、如何检验木工做成的一个平行四边形窗框是否是矩形？说说你的想法与理由、 【大家充分讨论、交流，发表各自的见解、】 3、小结：矩形的判定定理：（1）（2）
二、例题分析：例2 如图，在△ABC中，点D在AB上，且AD=CD=BD，DE、DF分别是∠BD C、∠ADC的平分线。四边形FDEC是矩形吗？为什么？问题1：这里有几个等腰三角形？它有什么特殊性质？问题2：由DE、DF分别是∠BD C、∠ADC的平分线,你能想到什么？ 变式：如上图，在△ABC中，∠ACB=90，点D在AB上，DE、DF分别垂直平分B C、AC，探索EF与AB之间的数量关系。 三、展示交流： 1、有一个角是的平行四边形是矩形；有＿＿＿个角是直角的四边形是矩形；对角线的平行四边形是矩形；对角线＿＿＿＿＿＿＿＿的四边形是矩形、 2、用刻度尺检查一个四边形零件是矩形，你的方法是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3、如图，矩形ABCD中，对角线A C、BD相交于点O，点E、F、G、H分别在O A、O B、O C、OD上，且AE=BF=CG=DH。探索四边形EFGH的形状并说明理由。
矩形、菱形、正方形及其性质、判定 第1题. （贵州省贵阳市，10分）如图，在ABCD 中，E F ，分别为边AB CD ，的 中点，连接DE BF BD ，，． （1）求证：ADE CBF △≌△．（5分） （2）若AD BD ⊥，则四边形BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论．（5分） 答案：（1）在平行四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ，AD ＝CB ，AB ＝CD ． ∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点 ∴AE =CF 在AED △和CFB △中，AD CB A C AE CF =?? ∠=∠??=? (SAS)AED CFB ∴ △≌△． （2）若AD ⊥BD ，则四边形BFDE 是菱形． 证明：AD BD ⊥ ， ABD ∴△是Rt △，且AB 是斜边（或90ADB ∠= ） E 是AB 的中点， 1 2 D E A B B E ∴= =． 由题意可知EB DF ∥且EB DF =， ∴四边形BFDE 是平行四边形， ∴四边形BFDE 是菱形． 第2题. (湖北省黄冈市,7分)已知：如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 上任意一点，过 点D 作DF DE ⊥交BC 的延长线于点F ．求证：DE DF =． 答案：证明：四边形ABCD 是正方形， AD CD = ，A DCF ∠=∠=90ADC ∠= ， DF DE ⊥ ，90EDF ∴∠= ． ADC EDF ∴∠=∠．即1323∠+∠=∠+∠． 12∴∠=∠． 在ADE △与CDF △中12AD CD A DCF ∠=∠?? =??∠=∠? ， ，， A D E C D F ∴ △≌△．DE DF ∴=． A B C D E F A E B C F D 1 2 3
1.矩形ABCD对角线是10cm，那么矩形的周长最大是_______，此时两条对角线分成的四个小三角形的周长的和是 2.如图矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠BAE=30°，BE=1cm，那么DE的长为_ 3、直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm，则它的面积为___ 4.如图，△ABC中，∠ACB=90度，点D、E分别为AC、AB的中点，点F在BC 延长线上，且∠CDF=∠A，求证：四边形DECF是平行四边形； 5.已知:如图，在△ABC中，∠BAC≠90°∠ABC=2∠C，AD⊥AC，交BC或CB的延长线D。试说明:DC=2AB. 6、在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD=BD，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F。求证：DE=DF 7、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N 分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_______． 8．若菱形的周长为24 cm，一个内角为60°，则菱形的面积为__。 9、菱形的周长为40cm，两条对角线长的比是3：4。求两对角线长分别是。 10、已知如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AE=2。 求（1）∠ABC的度数；（2）对角线AC、BD的长；（3）菱形ABCD的面积。 11、已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．求证：四边形AEDF是菱形； 12、如图，边长为a的菱形ABCD中，∠DAB=60度，E是异于A、D两点的动点，F是CD 上的动点，满足AE+CF=a。证明：不论E、F怎样移动，△BEF总是正三角形。 13、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于E，又点F在DE的延长线上，且AF=CE，求证：四边形ACEF是菱形。
矩形、菱形、正方形 模块一 矩形的定义、性质及判定
【例1】 ⑴ 如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，60AOB ∠=?， 2AB =，则矩形的对角线AC 的长是（ ） A ．2 B ．4 C ． D ． ⑵ 矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，如果ABC △的周长比 AOB △的周长大10cm ，则边AD 的长是 ． ⑶ 如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O ，AE BD ⊥ 于E ，31DAE BAE ∠∠=∶∶，则EAC ∠=_______． ⑷ 矩形ABCD 中， AE 平分∠BAD 且交BC 边于点E ，若点E 分BC 的长为3和4两部分，则矩形ABCD 的周长为_______． 【例2】 如图，在ABC △中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF BD =，连接BF ． ⑴求证：BD CD =． ⑵如果AB AC =，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论． E O D C B A O D C B A F E D C B A
模块二菱形的定义、性质及判定 【例3】⑴如图所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH的长 等于． H O D B A
⑵ 如图1所示，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ） A ．210cm B ．220cm C ．240cm D ．280cm 图1 D C B A ⑶ 菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，且AE BC ⊥， AF CD ⊥，那么EAF ∠的度数为 ． ⑷ 已知菱形的一个内角为60?，一条对角线的长为则另一条对角线的长为 ． 【例4】 如图，四边形ABCD 中，AB CD ∥，AC 平分BAD CE AD ∠，∥交AB 于E ． ⑴ 求证：四边形AECD 是菱形； ⑵ 若点E 是AB 的中点，试判断△ABC 的形状，并说明理由． 模块三 正方形的定义、性质及判定 E D C B A
学生做题前请先回答以下问题 问题1：矩形的定义是什么？正方形的定义是什么？ 问题2：矩形有哪些性质？正方形有哪些性质？ 问题3：矩形的判定定理是什么？ 问题4：正方形的判定定理是什么？ 矩形、正方形的性质和判定（北师版） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.下列说法，错误的是( ) A.矩形的对边互相平行 B.矩形的对角相等 C.矩形的对角线相等 D.矩形的对角线平分一组对角 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：矩形的性质 2.矩形具有而平行四边形不具有的性质是( ) A.对角线互相平分 B.邻角互补 C.对角线相等 D.对角相等 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：矩形的性质 3.矩形、正方形、菱形的共同性质是( ) A.对角线相等 B.对角线互相垂直 C.对角线互相平分 D.每一条对角线平分一组对角 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：菱形的性质 4.如图，矩形ABCD的对角线AC=8，∠AOD=120°，则AB的长为( ) A. B.2 C. D.4 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：矩形的性质 5.如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，且EF⊥EC，EF=EC，AF=2，矩形的周长为16，则AE的长为( ) A.3 B.4 C.5 D.7 答案：A 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：矩形的性质 6.在等腰三角形ABC中，AB=AC，分别延长BA，CA到点D，E，使DA=AB，EA=CA，则四边形 BCDE是( ) A.任意四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：矩形的判定 7.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC:∠EDA=1:3，且AC=10，则DE的长为( )
/ 平行四边形、矩形、菱形、正方形 1．已知：如图，在?ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．求证：BF∥DE． 2．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，EF过点O且与BC、AD分别交于点E、F．试猜想线段AE、CF的关系，并说明理由． ` 3．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、AD上的点，∠1＝∠2．求证：AF＝CE． "4．已知：如图，在平行四边形ABCD中，点M在边AD上，且AM＝DM．CM、BA的延长线相交于点E．求证： （1）AE＝AB； （2）如果BM平分∠ABC，求证：BM⊥CE． / 5．如图，在?ABCD中，点E、F在BD上，且BE＝AB，DF＝CD． 求证：四边形AECF是平行四边形． ,
6．在?ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，AF．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长． } 7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点E，点E是BD的中点，延长CD到点F，使DF＝CD，连接AF， （1）求证：AE＝CE； （2）求证：四边形ABDF是平行四边形； ； （3）若AB＝2，AF＝4，∠F＝30°， 则四边形ABCF 的面积为．8．如图，在?ABCD中，E，F分别是AC上两点，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形BEDF 为平行四边形． ~ 9．已知：如图，点E、F在线段BD上，AB＝CD，∠B＝∠D，BF＝DE． 求证：（1）AE＝CF；（2）AF∥CE． ~
八年级数学下册9.4 矩形、菱形、正方形学案 1（新版）苏科版 9、4 矩形、菱形、正方形（4）学习目标： 1、掌握四边形是菱形的条件 2、在探索四边形是菱形的条件的过程中，发展自己的探究意识和有条理的表达能力 3、能正确地应用四边形是菱形的条件解决问题重点、难点：能正确地应用四边形是菱形的条件解决问题学习过程一、【预学指导】 初步感知、激发兴趣 1、下列命题正确的是（） A、对角线相等且互相平分的四边形是菱形 B、对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D、对角线相等的四边形是等腰梯形 2、如果平行四边形满足条件： （填写一个合适的条件），那么它的四条边都相等。 3、在平行四边形ABCD中，对角线A C、BD相交于点O，下列条件中，不能判定平行四边形ABCD 是菱形的是（）
A、AB=BC B、AC⊥BD C、∠A=∠D D、CA平分∠BCD二、 【问题探究】 问题1：如何确定一个四边形为菱形呢？可以根据什么去判断？菱形的判定： 的平行四边形是菱形的平行四边形是菱形。 的四边形是菱形。几何语言：（如图）从“平行四边形”的角度考虑①∵□ABCD中， = ∴四边形ABCD为菱形（）②∵□ABCD中，⊥ ∴四边形ABCD为菱形（）从“四边形”的角度考虑③∵在四边形ABCD中， = = = ∴四边形ABCD为菱形（）ADBCEFO问题2：已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的垂直平分线与边A D、BC分别相交于点 E、 F、求证：四边形AFCE是菱形、个人复备ADBCEFG问题3：已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90，CD是高，AE是角平分线，交CD于F，EG⊥AB，G是垂足，四边形CEGF 是菱形吗？为什么？三、 【拓展提升】 如图，取矩形纸片ABCD，将矩形纸片折叠，使C点与A重合，折痕为EF。（1）你能否说明四边形AECF是菱形？（2）若AB=6cm，BC=8cm，则折痕EF的长是多少？
,、考点分析: 矩形、正方形和菱形是特殊的平行四边形，是考试中重 要的考 点。 二、教学目标： 1.掌握矩形、正方形和菱形的判定方法 三、教学内容 正方形巩固练习 例题1如图,正方形ABCD 勺边长为12,点E 是BC 上的一点，BE=5,点F 是BD 上 一动点?（ 1） AF 与FC 相等吗？试说明理由.（2）设折线EFC 的长为y ,试求 y 的最小值，并说明点F 此时的位置. 【解】（1） AF 与FC 相等,其理由如下： 可证：△ ABF ^△ CBF 二 AF=CF （2）连接AE,则AE 与BD 的交点就是此时F 点的位置 此时y 有最小值,最小值为.122 52 =13. 例题2 如图，正方形ABCD 中, P 是对角线AC 上一动点，PEIAB PF ⊥ BC 垂 足分别为 E 、F 小红同学发现：PD ⊥ EF ,且PD=EF 且矩形 PEBF 的周长不 变?不知小红的发现是否正确，请说说你的看法. 【解】小红的发现是正确，其理由如下： D 第28题图
连接BP,延长DP交EF于Q. （1）：四边形ABCD是正方形 ??? CB=CD∠ BCP∠ DCP=45 ???△ BCP^△DCP ??? PD=PB 又???PEIAB PF⊥ BC， ???∠ BEP=/ BFP=Z EBF=90 ,二四边形BEPF是矩形
???PB=EF,??? PD=EF (2)：PEIAB PF⊥ BC ???△ AEP^n△ CFP^均为等腰直角三角形 ??? AE=PE,CF=PF ???矩形PEBF的周长=AB+BC=2AB为定值) (3)：PF// CD ???∠ FPQ∠ PDC ???△ BCP^△ DCP ?∠PDC∠ PBF ???四边形PEBF是矩形,?∠PBF=/ PEF ?∠PEF=Z FPQ 又τ∠ PEF+∠ PFE=90 , ?∠ FPQ∠ PFE=90 ?∠PQF=90 ,??? PDL EF. 【另证】延长EP交CD于点R,则CFPF为正方形 ?可证△ PEF^△ RDF ?∠PEF=Z PDR 又τ∠ DPR∠ EPQ 而∠ PDR∠ DPR=90 ,?∠ PEF+∠ EPQ=90 ?∠EQP=90°,??? PD L EF. 课堂练习1如图1,在边长为5的正方形 ABCD 中，点E、F分别是 BC 、 DC 边上的点，且AE — EF, BE =2 (1)如图2 ,延长EF交正方形外角平分线CP于点P ,试判断AE与EP的大小关系，并说明理由； (2)在图2的AB边上是否存在一点M ,使得四边形DMEP是平行四边形? 若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由? 梯形 图1 图2
第19章 矩形、菱形与正方形测试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、关于四边形ABCD ①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③有一组对边平行且相等；④对角线AC 和BD 相等；以上四个条件中可以判定四边形ABCD 是平行四边形的有（ ）。 （A ） 1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 2、若顺次连结四边形ABCD 各边中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD 必定是（ ） A 、菱形 B 、对角线相互垂直的四边形 C 、正方形 D 、对角线相等的四边形 3、如图1，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S 1、S 2，那么S 1、S 2的大小关系是（ ） A.S 1 > S 2 B.S 1 = S 2 C.S 1平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定 一、判定定理 二、平行四边形的判定 例1：（定义）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合的部分构成了一个四边形．线段AD 和BC 的长度有什么关系？ 例2：（一组对边平行且相等）已知：如图，AD ∥BC ，ED ∥BF ，且AF ＝CE ．求证：四边形ABCD 是平行四边形． 练习：如图, □ABCD 中,G 是CD 上一点,BG 交AD 延长线于E,AF=CG, 100=∠DGE ． (1)试说明DF=BG; (2)试求AFD ∠的度数． A B C D F E G
例3：（两组对边分别相等）已知如图所示，在四边形ABCD 中，AB CD BC AD E F ==，，、是对角线AC 上两点，且AE CF =．求证：BE DF =． 练习：（1）、在平行四边形ABCD 中，E 、F 为对角线BD 上的三等分点。求证：四边形AFCE 是平行四边形。 （2）已知，如图所示，在□ABCD 中，BN DM =，BE DF =．求证：四边形MENF 是平行四边形． 例4：（对角线互相平分）如图所示，□ABCD 中，AC BD 、相交于点O E F ，、在对角线BD 上，且BE DF =．试说明四边形AECF 的形状． 三、平行四边形判定综合 1、如图，在□ABCD 中，E F G H 、、、各点分别在AB BC CD DA 、、、上，且A E B F C G D ===，请说明：EG 与FH 互相平分． A E F B C D A E B C F D O Ｎ Ａ Ｍ Ｆ Ｃ Ｂ Ｅ Ｄ Ａ Ｂ Ｅ Ｆ Ｃ Ｈ Ｇ
八年级数学下册19.3矩形菱形正方形学案新 版沪科版 19、3 矩形菱形正方形学习目标： 1、经历探索矩形有关判定的过程，掌握其判定定理，并能运用其解决简单的问题； 2、在积极参与教学的过程中，掌握矩形的有关判定定理； 3、在认识几种特殊的平行四边形的过程中，学习观察事物的方法，体会事物特殊与一般间的联系与区别。学习重点：矩形的判定定理学习难点：运用矩形的判定定理解决问题一、学前准备 1、矩形的对边，矩形的角，矩形的对角线。 2、以上三个定理的逆命题分别为： 1、 2、 3、 __ 3、对角线________的________形是平行四边形。二、师生互动探究新知 （一）独立思考解决问题判定方法1：对角线相等的平行四边形是矩形。已知：如图所示，在平行四边形ABCD中，AC=BD，求证：平行四边形 ABCD是矩形。已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，点D是AC的中点，直线AE∥BC，过点D作直线EF∥AB，
分别交AE、BC，于点E、F，求证：四边形AECF是矩形。判定方法2：有三个角是直角的四边形为矩形。 （二）师生探究合作交流例1：在平行四边形ABCD中,对角线AC BD相交于O,EF过O,且AF⊥BC, 求证:四边形AFCE是矩形例2：求证：平行四边形四个内角平分线的交点所围成的图形是矩形。小结： 1、有一个角的平行四边形为矩形。 2、有三个角是四边形为矩形。 3、对角线的平行四边形为矩形。课堂检测：下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？ （1）有四个角是直角的四边形是矩形；（）（2）四个角都相等的四边形是矩形；（）（3）有一个角是直角的四边形是矩形；（）（4）对角线相等的四边形是矩形；（）（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（）（6）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（）（7）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（）（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（）（9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形、 ( )三、自我测试 1、下列说法错误的是（）（A）有一个内角是直角的平行四边形是矩形（B）矩形的四个角都是直角，并且对角线相等（C）对角线相等的平行四边形是矩形（D）有两个角是直角的四边形是矩形
一次函数与反比例函数综合题 一、选择题 1. 已知函数1 y x =的图象如图所示，当1x -≥时， y 的取值范围是（ ） A. 1y <- B. 1y -≤ C. 1y -≤或0y > D. 1y -<或0y ≥ 2. 如图，在矩形ABCD 中，AB =4，BC=3，点P 从起点B 出发， 沿BC 、CD 逆时针方向向终点D 匀速运动.设点P 所走过 路程为x ，则线段AP 、AD 与矩形的边所围成的图形面积为y ， 则下列图象中能大致反映y 与x 函数关系的是（ ） 3. 反比例函数x y 6 = 图象上有三个点)(11y x ，，)(22y x ，，)(33y x ，，其中3210x x x <<<，则1y ，2y ，3y 的大小关系是( ) A ．321y y y << B ．312y y y << C ．213y y y << D ．123y y y << 4. 直线y = x + 3与y 轴的交点坐标是（ ） A ．（0，3） B ．（0，1） C ．（3，0） D ．（1，0） 5. 已知函数5 2)1(-+=m x m y 是反比例函数，且图像在第二、四象限内，则m 的值是 （ ） A. 2 B. -2 C.±2 D. 2 1 - 6. 如图，已知双曲线(0)k y k x =<经过直角三角形OAB 斜边 OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为（ ） A ．12 B ．9 C ．6 D ．4 7. 如图，反比例函数()0k y x x =>的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ， 分别与AB BC 、相交于点.D E 、若四边形ODBE 的面积为6，则k 的值为（ ） A ．1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，小球从点A 运动到点B ，速度v （米/秒）和时间t （秒）的函数关系式是v ＝2t ．如果小球运动到点B 时的速度为6米/秒，小球从点A 到点B 的时间是（ ）． A .1秒 B.2秒 C.3秒 D.4秒
矩形、菱形与正方形专题训练(含答案) 班级________姓名________成绩________ 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°， 则矩形ABCD的面积是( ) A．12 B．24 C．12 3 D．163 第1题图第2题图第3题图第4题图 2．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( ) A．14 B．15 C．16 D．17 3．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与点C′重合．若AB＝2，则C′D的长为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E分别是边AB，AC的中点．将△ADE绕点E旋转180°得△CFE， 则四边形ADCF一定是( ) A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 5．由菱形的两条对角线的交点向各边引垂线，以各垂足为顶点的四边形是( ) A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 6．如图，?ABCD的周长为16 cm，AC，BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则△DCE的周长为( ) A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm 第6题图第9题图第10题图 7．菱形的周长为8 cm，高为1 cm，则菱形两邻角度数比为( ) A．3∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．6∶1 8．用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，⑤等 腰三角形，⑥等边三角形，一定能拼成的图形是( ) A．①④⑤ B．②⑤⑥ C．①②③ D．①②⑤ 9．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1＋ S2的值为( ) A．16 B．17 C．18 D．19 10．如图，F为正方形ABCD的边AD上一点，CE⊥CF交AB的延长线于点E，若正方形ABCD的面积 为64，△CEF的面积为50，则△CBE的面积为( )
矩形、菱形、正方形 【教学内容】 矩形 【课时安排】 2课时 【第一课时】 【教学目标】 1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系。 2．会运用矩形的概念和性质来解决有关问题。 【教学重难点】 1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系。 2．会运用矩形的概念和性质来解决有关问题。 【教学过程】 （一）情境导入 1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片（推拉门、活动衣架、篱笆、井架等），想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？ 2．思考：拿一个活动的平行四边形教学准备，轻轻拉动一个点，不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？（动画演示拉动过程如图） 3．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形（小学学过的长方形），引出本课题及矩形定义。 矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都是矩形。 有一个角是直角的平行四边形是矩形。矩形是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形，矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质。 （二）合作探究 探究点一：矩形的性质
性质1：矩形的四个角都是直角。 例1：如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC。若BE＝4，AC＝15，则△AEC的面积为（） A．15 B．30 C．45 D．60 解析：如图，过E作EF⊥AC，垂足为F。 ∵AE平分∠BAC，EF⊥AC，BE⊥AB， ∴EF＝BE＝4 ∴S△AEC＝AC·EF＝×15×4＝30 故选B。 方法总结：矩形的四个角都是直角，常作为证明或求值的隐含条件。 性质2：矩形的对角线相等。 例2：如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝2，则AC 的长是（） A．2 B．4 C．2 3 D．4 3 解析：根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC＝OD＝OA＝AC，由∠AOD＝60°得△AOD为等边三角形，即可求出AC的长。故选B。 方法总结：矩形的两条对角线互相平分且相等，即对角线把矩形分成四个等腰三角形，当两条对角线的夹角为60°或120°时，图中有等边三角形，可以利用等边三角形的性质解题。
华师大版八年级下册第１９章矩形菱形正方形单元复习题 一、选择题（４分×１２＝４８分） １、下列图形中，是中心对称但不一定是轴对称图形的是（Ｄ） A．等边三角形B．矩形C．菱形D．平行四边形 ２、下列命题正确的是（Ｄ） A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 B．对角线相等的四边形一定是矩形 C．两条对角线互相垂直的四边形一定是正方形 D．两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形 ３、矩形，菱形，正方形都具有的性质是（Ｃ） A．每一条对角线平分一组对角B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 ４、如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（Ｄ） A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形 C．当∠ABC=90°时，它是矩形D．当AC=BD时，它是正方形 ５、如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（Ｂ） A．2cm B．3cm C．4cm D．3cm ６、菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（Ｃ） A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1
７、如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8， AB=4，则DE的长为（Ｃ） A．3 B．4 C．5 D．6 ８、平行四边形ABCD中，AB≠BC，其四个内角的角平分线所围成的四边形一定是（Ｄ）A．有一个角为30°的平行四边形 B．有一个角为45°的平行四边形 C．有一个角为60°的平行四边形 D．矩形 ９、（2015辽宁省朝阳）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE 沿AE折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时， 则点B′到BC的距离为（Ａ） A．1或2 B． 2或3C． 3或4D． 4或5 １０、如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（Ｃ） A．28°B．52°C．62°D．72°
八年级数学下册《9.4 矩形、菱形、正方形》 学案2（新版）苏科版 9、4矩形、菱形、正方形班级：_______________姓名： _______________学习目标： 1、理解掌握矩形的判定条件，提高矩形的判定在实际生活中的应用能力； 2、知道解决矩形问题的基本思想是化为三角形问题来解决，渗透转化思想、学习重难点：矩形判定方法的灵活应用、学习过程： 一、问题导入、激发兴趣 1、矩形是________图形，它有____条对称轴，它也是 ________图形、2、在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若对角线AC=10cm，?边BC=?8cm，则△ABO的周长为______、3、想一想：矩形有哪些性质？在这些性质中那些是平行四边形所没有的？列表进行比较、平行四边形矩形边角对角线 二、自主探究、合作交流探索一：下面给大家介绍一下工人制作窗框的过程、先截出两对符合规格的铝合金窗料如图，使 AB=CD，EF=GH、1、摆成四边形（图2），此时窗框的形状是 __________，理由是________________________、2、将直角尺紧靠窗框的一个角（图3），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角
边与窗框无缝隙时，说明窗框合格，这时窗框的形状是________（图4），理由是_______________________、探索二：已知，如图，在四边形ABCD中，∠A=90，∠B=90，∠C= 90、求证：四边形ABCD是矩形、结论：三个角是______的四边形是矩形、探索三：已知，如图，在□ABCD，AC=B D、求证：四边形ABCD是矩形、结论：对角线_______的 ____________是矩形、探究四：归纳矩形判定方法：文字语言图示几何语言判定有一个角是______的____________是矩形、（定义）∵_______________________∴四边形ABCD是矩形、三个角是______的四边形是矩形、∵_______________________∴四边形ABCD是矩形、对角线_______的____________是矩形、 ∵_______________________∴四边形ABCD是矩形、 三、学以致用、巩固新知 1、下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（）（2）有四个角是直角的四边形是矩形；（）（3）四个角都相等的四边形是矩形；（）（4）对角线相等的四边形是矩形；（） (5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（）（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（）（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（）（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（）（9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形、（）
平行四边形的性质： 1、对边相等且平行 2、对角相等 3、对角线互相平分 平行四边形的判定： 1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3、两组对角相等的四边形是平行四边形 4、对角线互相平分的四边形是平行四边形 5、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 矩形的性质： 1、矩形是中心对称图形，也是轴对称图形. 2、矩形的四个内角都是直角. 3、矩形的对角线相等且互相平分. 矩形的识别方法： 1、有一个角是直角的平行四边形是矩形. 2、对角线相等的平行四边形是矩形. 3、有三个角是直角的四边形是矩形. 菱形的概念：四条边都相等的四边形是菱形. 菱形的特征: 1、菱形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有特征. 2、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形. 3、菱形的四条边都相等. 4、菱形的两条对角线互相垂直平分，并且分别平分每一组对角. 菱形的识别: 1、四条边都相等的四边形是菱形. 2、有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 正方形的性质： 1、对边平行，４边相等. 2、４个角都是直角. 3、对角线相等、垂直且互相平分，每一条对角线平分一组对角. 4、既是中心对称图形，又是轴对称图形． 正方形的识别： 1、有一组邻边相等的矩形是正方形. 矩形菱形正方形同步测试
一、填空 1. 菱形的两个邻角之比为2：3，周长为4a ，则较短的对角线的长为___________. 2. 正方形ABCD 中，对角线BD 的长为20cm ，点P 是AB 上任意一点，则点P 到AC 、BD 的距 离之和是_______________-. 3. 如图，在矩形ABCD 中，CE ⊥BD ，E 为垂足，∠DCE:∠ECB=3：1，那么∠AEC=_________. 4.矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，则对角线的长为_______. 5.如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别在AB 、CD 上，BF ∥DE ，若AD=12cm,AB=7cm ，AE:EB=5:2,则阴影部分的面积为________cm 2 . 6.如图，以正方形ABCD 的对角线AC 为一边作菱形AECF ，则∠FAB=____________. 7.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，∠AOB=60°，AE 平分∠BAD ，AE 交BC 于E ，则∠BOE 的度数是_______________. 8.已知如图菱形ABCD 中，∠B=60°，AB=4，则以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为_____ 9.已知菱形ABCD 的边长为6，∠A=60°，如果点P 是菱形内一点，且PB=PD=32,那么AP 的长为_______. 10.在四边形ABCD 中，给出四个条件：（1）AB=CD(2)AD ∥BC （3）AC ⊥BD(4)AC 平分 ∠BAD ，由其中三个条件可以推出四边形ABCD 为菱形你认为这三个条件是___________. 二、选择 11.在矩形ABCD 中AD 与BD 相交于点O ，作AP ⊥BD ，垂足为P,若PD=3PB,则∠AOB 的度数是 C B E O 第3题图 D C A B F 第5题图 C B E F 第6题图 O D C A E 第7题图 F D C A B E 第8题图 F D E C 第12题图
（第10 F A B C D H E ① ② ③ ④ ⑤ 矩形、菱形与正方形 练习题 一、选择题 1.如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH （不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm 2 ，四边形ABCD 面积是11cm 2 ，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（ ） （A ）48cm （B ）36cm （C ）24cm （D ）18cm 2.图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），……，则第n 个图形的周长是 （A ）2n （B ）4n （C ）12n +（D ）22n + 3.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1，S 2，则S 1+S 2的值为 A.17 B.17 C.18 D.19 4.如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC =3，则折痕CE 的长为 A.2 3 B. 33 2 C. 3 D.6 5.（2011浙江衢州，1,3新颜，如图为一农村民居侧面截图，屋坡AF AG 、分别架在墙体的点B 、点C 处，且AB AC =,侧面四边形BDEC 为矩形，若测得 100FAG ∠=?，则FBD ∠=( ) A. 35° B. 40° C. 55° D. 70° 6.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ．已知∠AOB = 60°，AC ＝16，则图中长度为8的线段有( ) A ．2条 B ．4条 C ．5 条 D ．6条 图1 图2 图3 ……
第31课时矩形、菱形、正方形学案基训题目 1、在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，B(3 2 -，0)，C(0，2-)，D(3 2，0)，则以这四个点为顶点的四边形ABCD是( ) A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形 2、如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF， M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC上．小明认为： 若MN = EF，则MN⊥EF；小亮认为: 若MN⊥EF， 则MN = EF．你认为 ( ) A．仅小明对B．仅小亮对 C．两人都对D．两人都不对 3、在下列命题中，是真命题的是( ) A．两条对角线相等的四边形是矩形 B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 4、下列命题中正确的是( ) A．矩形的对角线相互垂直B．菱形的对角线相等 C．平行四边形是轴对称图形D．等腰梯形的对角线相等 5、正方形有条对称轴． *6、如果用4个相同的长为3宽为1的长方形，拼成一个大的长方形，那么这个大的长方形的周长可以是_____________． 7、在四边形A B C D中，对角线A C与BD 互相平分，交点为O．在不添加任何辅助线 的前提下，要使四边形A B C D成为矩形，还 需添加一个条件，这个条件可以是． o B C D A
* 8、如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点， △ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA 的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为 怎样的四边形，并证明你的结论． 9、请填写下列表格 图形平行四边形矩形菱形正方形 对称中心对角线交点 定义 性质边 角 对角线 判定边 既是矩形 又是菱形角 对角线 2011.3.24