泛函分析题1_4线性赋范空间p39
1.4.1 在2维空间 2中，对每一点z = (x, y)，令
|| z ||1 = | x | + | y |；|| z ||2 = ( x 2 + y 2 )1/2；|| z ||3 = max(| x |, | y |)；|| z ||4 = ( x 4 + y 4 )1/4；
(1) 求证|| · ||i( i = 1, 2, 3, 4 )都是 2的范数．
(2) 画出( 2, || · ||i )( i = 1, 2, 3, 4 )各空间中单位球面图形．
(3) 在 2中取定三点O = (0, 0)，A = (1, 0)，B= (0, 1)．试在上述四种不同的范数
下求出?OAB三边的长度．
证明：(1) 正定性和齐次性都是明显的，我们只证明三角不等式．
设z = (x, y), w = (u, v)∈ 2，s = z + w= (x + u, y + v )，
|| z||1 + || w||1 = (| x | + | y |) + (| u | + | v |) = (| x | + | u |) + (| y | + | v |)
≥ | x + u | + | y + v | = || z+ w||1．
( || z||2 + || w||2 )2 = ( ( x 2 + y 2 )1/2 + ( u 2 + v 2 )1/2 )2
= ( x 2 + y 2 ) + ( u 2 + v 2 ) + 2(( x 2 + y 2 )( u 2 + v 2 ))1/2
≥ ( x 2 + u 2 ) + ( y 2 + v 2 ) + 2( x u+ y v )
= ( x + u )2 + ( y + v)2 = ( || z+ w||2 )2．
故|| z||2 + || w||2 ≥ || z+ w||2．
|| z||3 + || w||3 = max(| x |, | y |) + max(| u |, | v |)
≥ max(| x | + | u |, | y | + | v |) ≥ max(| x + u |, | y + v |) = || z+ w||3．
|| ·||4我没辙了，没找到简单的办法验证，权且用我们以前学的Minkowski不等式(离散的情况，用H?lder不等式的离散情况来证明)，可直接得到．
(2) 不画图了，大家自己画吧．
(3) OA = (1, 0)，OB = (0, 1)，AB = (- 1, 1)，直接计算它们的范数：
|| OA||1 = 1，|| OB||1 = 1，|| AB||1 = 2；
|| OA||2 = 1，|| OB||2 = 1，|| AB||2 = 21/2；
|| OA||3 = 1，|| OB||3 = 1，|| AB||3 = 1；
|| OA||4 = 1，|| OB||4 = 1，|| AB||4 = 21/4．
1.4.2 设c[0, 1]表示(0, 1]上连续且有界的函数x(t)全体．?x∈c[0, 1]，令
|| x || = sup{| x(t) | | 0 < t≤ 1}．求证：
(1) || ·||是c[0, 1]空间上的范数．
(2) l∞与c[0, 1]的一个子空间是等距同构的．
证明：(1) 正定性和齐次性都是明显的，我们只证明三角不等式．
|| x || = sup{| x(t) | | 0 < t≤ 1}．
|| x || + || y || = sup{| x(t) | | 0 < t≤ 1} + sup{| y(t) | | 0 < t≤ 1}
≥ sup{| x(t) + y(t) | 0 < t≤ 1} = || x + y ||．
所以|| ·||是c[0, 1]空间上的范数．
(2) 任意取定(0, 1]中的一个单调递减列{a k }，满足
(i) a1 = 1；
(ii) lim k→∞a k = 0．
显然，在每个[a k + 1, a k]上为线性函数的f∈c[0, 1]是存在的．
设X = { f∈c[0, 1] | f在每个[a k + 1, a k]上为线性函数}．
容易验证X是c[0, 1]的子空间．
定义? : X →l∞，f #? ( f ) = ( f (a1), f (a2), ...)．
则? : X →l∞是线性双射，且
|| ? ( f ) ||∞= sup k ≥ 1 | f (a k) | = sup0 < t≤ 1 { | f (t ) | } = || f ||．
所以，? : X →l∞是等距同构．
因此，l∞与c[0, 1]的一个子空间是等距同构的．
1.4.3 在C1[a, b]中，令|| f ||1 = (?[a, b] ( | f(x) |2 + | f’(x) |2) dx )1/2 (?f∈C1[a, b])．
(1) 求证：|| · ||1是C1[a, b]上的范数．
(2) 问(C1[a, b], || · ||1)是否完备？
证明：(1) 正定性和齐次性都是明显的，和前面的习题一样，只验证三角不等式．我们先来证明一个比较一般的结果：
若线性空间X上的非负实值函数p, q都满足三角不等式：
p(x) + p(y) ≥p(x +y)，q(x) + q(y) ≥q(x +y)，?x, y∈X；
则函数h = ( p2 + q2 )1/2也满足三角不等式．
事实上，?x, y∈X，由Minkowski不等式，我们有
h(x) + h(y) = ( p(x)2 + q(x)2 )1/2 + ( p(y)2 + q(y)2 )1/2
≥ (( p(x)+ p(y))2 + ( q(x) + q(y))2 )1/2 ≥ ( p(x + y)2 + q(x + y)2 )1/2 = h(x + y)．
回到本题：若令p( f ) = (?[a, b] | f(x) |2dx )1/2，q( f ) = (?[a, b] | f’(x) |2dx )1/2，则
( p( f ) + p( g ))2 = ((?[a, b] | f(x) |2dx )1/2 + (?[a, b] | g(x) |2dx )1/2)2
= ?[a, b] | f(x) |2dx + 2(?[a, b] | f(x) |2dx )1/2 · (?[a, b] | g(x)|2dx )1/2 + ?[a, b] | g(x) |2dx
≥?[a, b] | f(x)|2dx + 2 ?[a, b] | f(x) | · | g(x)| dx + ?[a, b] | g(x)|2dx
= ?[a, b] ( | f(x) | + | g(x)| )2dx ≥?[a, b] ( | f(x) + g(x)| )2dx = ( p( f + g ))2．
所以有p( f ) + p( g ) ≥p( f + g )．
特别地，p( f’) + p( g’) ≥p( f’+ g’)，即q( f ) + q( g ) ≥q( f + g )．
因此，线性空间C1[a, b]上的非负实值函数p, q都满足三角不等式．
根据开始证明的结论，|| · ||1也满足三角不等式．
所以，|| · ||1是C1[a, b]上的范数．
(2) 在C1[- 1, 1]中，令f n(x) = (x2 + 1/n2 )1/2 ( ?x∈[- 1, 1] )．
则f’n(x) = 2x (x2 + 1/n2 )-1/2 ( ?x∈[- 1, 1] )．
显然，f n(x)几乎处处收敛于| x |，f’n(x)几乎处处收敛于2sign( x )．
因此，f n(x)依测度收敛于| x |，f’n(x)依测度收敛于2sign( x )．
则f’n(x) = 2x (x2 + 1/n2 )-1/2 ( ?x∈[- 1, 1] )．
显然，f n(x)几乎处处收敛于| x |，f’n(x)几乎处处收敛于2sign( x )．
因此，f n(x)依测度收敛于| x |，f’n(x)依测度收敛于2sign( x )．
故在L2[- 1, 1]中，f n(x) → | x |，f’n(x) → 2sign( x )．
因此，它们都是L2[- 1, 1]中的基本列，故
?[- 1, 1] | f n(x) -f m(x) |2 dx → 0(m, n→∞)；
?[- 1, 1] | f’n(x) -f m’(x) |2 dx → 0(m, n→∞)．
故|| f n-f m ||1 = (?[- 1, 1] ( | f n(x) -f m(x) |2 + | f’n(x) -f m’(x) |2 ) dx )1/2→ 0 (m, n→∞)．即{ f n }是C1[- 1, 1]中的基本列．
下面我们证明{ f n }不是C1[- 1, 1]中的收敛列．
若不然，设{ f n }在C1[- 1, 1]中的收敛于f∈C1[- 1, 1]．
因|| f n-f ||1 = (?[- 1, 1] ( | f n(x) -f(x) |2 + | f’n(x) -f’(x) |2 ) dx )1/2
≥ (?[- 1, 1] | f n(x) -f(x) |2dx )1/2，
故在L2[- 1, 1]中，f n(x) →f．
而在前面已说明L2[- 1, 1]中，f n(x) → | x |；
由L2[- 1, 1]中极限的唯一性以及f的连续性，知f(x) = | x |．
这样就得到f?C1[- 1, 1]，矛盾．
所以，{ f n }不是C1[- 1, 1]中的收敛列．
这说明C1[- 1, 1]不是完备的．
对一般的C1[a, b]，只要令f n(x) = (x - (a + b )/2)2 + 1/n2 )1/2( ?x∈[a, b] )就可以做同样的讨论，就可以证明C1[a, b]不是完备空间．
1.4.4 在C[0, 1]中，对每个f∈C[0, 1]，令
|| f ||1 = (?[0, 1] | f(x) |2dx )1/2，|| f ||2 = (?[0, 1] ( 1 + x) | f(x) |2dx )1/2．
求证：|| · ||1和|| · ||2是C[0, 1]中的两个等价范数．
证明：(1) 在习题1.4.3的证明中已经包含了|| · ||1是C[0, 1]中的范数的证明．
下面我们证明|| · ||2是C[0, 1]中的范数，我们仍然只要验证三角不等式．
|| f ||2 + || g ||2 = (?[0, 1] ( 1 + x) | f(x) |2dx )1/2 + (?[0, 1] ( 1 + x) | g(x) |2dx )1/2
= || (1 + x)1/2f(x) ||1 + || (1 + x)1/2g(x) ||1
≥ || (1 + x)1/2f(x) + (1 + x)1/2g(x) ||1
= || (1 + x)1/2 ( f(x) + g(x) ) ||1
≥ (?[0, 1] (1 + x) | f(x) + g(x) |2dx )1/2= || f + g ||2．
所以，|| · ||2也是C[0, 1]中的范数．
(2) 我们来证明两个范数的等价性．?f∈C[0, 1]
|| f ||1 = (?[0, 1] | f(x) |2dx )1/2 ≤ (?[0, 1] ( 1 + x) | f(x) |2dx )1/2 = || f ||2，
|| f ||2 = (?[0, 1] ( 1 + x) | f(x) |2dx )1/2 ≤ 2 (?[0, 1] | f(x) |2dx )1/2 = 2 || f ||1．
因此两个范数等价．
1.4.5 设BC[0, ∞)表示[0, ∞)上连续且有界的函数f(x)全体，对每个f ∈BC[0, ∞)及
a > 0，定义|| f ||a = (?[0, ∞) e-ax | f(x) |2dx )1/2．
(1) 求证|| ·||a是BC[0, ∞)上的范数．
(2) 若a, b > 0，a≠b，求证|| ·||a与|| ·||b作为BC[0, ∞)上的范数是不等价的．
证明：(1) 依然只验证三角不等式．
|| f ||a + || g ||a = (?[0, ∞) e-ax | f(x) |2dx )1/2 + (?[0, ∞) e-ax | g(x) |2dx )1/2
= || e-ax/2f(x)||L2 + || e-ax/2g(x)||L2
≤ || e-ax/2f(x)+ e-ax/2g(x)||L2
= || e-ax/2 ( f(x)+ g(x))||L2
= (?[0, ∞) e-ax | f(x)+ g(x) |2dx )1/2
= || f + g ||a，
所以|| ·||a是BC[0, ∞)上的范数．
(2) 设f n(x)为[n, +∞)上的特征函数．
则f n∈BC[0, ∞)，且
|| f n||a = (?[0, ∞) e-ax | f n(x) |2dx )1/2 = (?[n, ∞) e-ax dx )1/2 = ((1/a)e-an)1/2．
同理，|| f n||b = ((1/b)e-bn)1/2．
故若a < b，则
|| f n||a/|| f n||b = (b/a)1/2e-(b -a)n/2→ +∞ (n→+∞)．
因此|| ·||a与|| ·||b作为BC[0, ∞)上的范数是不等价的．
1.4.6 设X1, X2是两个B*空间，x1∈X1和x2∈X2的序对(x1, x2)全体构成空间X = X1?X2，并赋予范数
|| x || = max{ || x1 ||1, || x2 ||2 }，
其中x = (x1, x2)，x1∈X1，x2∈X2，|| · ||1和|| ·||2分别是X1和X2的范数．
求证：如果X1, X2是B空间，那么X也是B空间．
证明：(1) 先验证|| · ||的三角不等式．
设x = (x1, x2), y = (y1, y2)∈X1?X2，则
|| x + y || = || (x1 + y1, x2 + y2) || = max{ || x1 + y1 ||1, || x2 + y2 ||2 }
≤ max{ || x1 ||1 + || y1 ||1, || x2 ||2 + || y2 ||2 }
≤ max{ || x1 ||1, || x2 ||2 } + max{ || y1 ||1, || y2 ||2 }
= || (x1, x2) || + || (y1, y2) ||
= || x || + || y ||，
而|| · ||的正定性和齐次性是显然的，
所以，|| · ||是X1?X2的范数．
(2) 设X1, X2是B空间，我们来证明X也是B空间．
设x(n) = (x1(n), x2(n))是X = X1?X2中的基本列，
则|| x(n) -x(m) || = max{ || x1(n) -x1(m) ||1, || x2(n) -x2(m)||2 } ≥ || x1(n) -x1(m) ||1，
故{x1(n)}是X1中的基本列，同理，{x2(n)}是X2中的基本列．
因X1, X2是B空间，故{x1(n)}和{x2(n)}分别是X1, X2中的收敛列．
设x1(n) →x1∈X1，x2(n) →x2∈X2，令x = (x1, x2)．
则|| x(n) -x || = max{ || x1(n) -x1 ||1, || x2(n) -x2 ||2 }
≤ || x1(n) -x1 ||1 + || x2(n) -x2 ||2→ 0 (n→∞)．
所以，|| x(n) -x ||→ 0 (n→∞)．
即{ x(n) }为X = X1?X2中的收敛列．
所以X = X1?X2也是B空间．
1.4.7 设X是B*空间．求证：X是B空间，必须且只须
对?{x n}?X，∑n≥ 1 || x n || < +∞?∑n≥ 1x n 收敛．
证明：(?) ?{x n}?X，记S n = ∑1 ≤j≤n x j，B n = ∑1 ≤j≤n || x n ||，
则|| S n + p-S n || = || ∑1 ≤j≤n + p x j -∑1 ≤j≤n x j ||
= || ∑n +1 ≤j≤n + p x j ||
≤∑n +1 ≤j≤n + p || x j ||
= B n + p-B n → 0，(n→∞)．
故{ S n }为X中的Cauchy列．
由X完备，故{ S n }为X中的收敛列，即∑n≥ 1x n 收敛．
(?) 反证法．若(X, ρ)不完备，设(Y, d )为(X, ρ)的一个完备化．
不妨设(X, ρ)是(Y, d )的子空间，则存在y∈Y \ X．
因cl( X ) = Y，故?n∈ +，存在x n∈X，使得d(x n, y) < 1/2n．
则ρ(x n, x m) = d(x n, x m) ≤d(x n, y) + d(x m, y) ≤ 1/2n+ 1/2m → 0，
因此{x n}是X中的Cauchy列，但不是收敛列．
令z n = x n+1-x n，S n = ∑1 ≤j≤n z j；则z n, S n∈X．
因|| z n || = || x n+1-x n || = ρ(x n+1, x n) ≤d(x n+1, y) + d(x n+1, y) ≤ 1/2n+1+ 1/2n < 1/2n - 1，故∑n≥ 1 || z n || < +∞．
而S n = ∑1 ≤j≤n z j = ∑1 ≤j≤n ( x j+1-x j ) = x n+1-x1；
故∑n≥ 1z n 在中不收敛．矛盾．
1.4.8 记[a, b]上次数不超过n的多项式全体为 n．求证：?f(x)∈C[a, b]，存在
P0(x)∈ n，使得max a ≤x≤b| f(x) –P0(x) | = min{ max a ≤x≤b| f(x) –P(x) | | P∈ n }．证明：注意到 n是B*空间C[a, b]中的n+1维子空间．
{1, x, x2, ..., x n}是 n中的一个向量组，把它看成C[a, b]中的一个有限向量组．根据定理p35, 1.4.23，对任意?f(x)∈C[a, b]，存在最佳逼近系数{λ0, λ1, ..., λn}，使得|| f(x) –∑0 ≤j≤n λj x j || = min{ || f(x) –∑0 ≤j≤n a j x j || | (a0, a1, ..., a n)∈ n+1}．
令P0(x) = ∑0 ≤j≤n λj x j 就得到要证明的结论．
1.4.9 在 2中，对?x = (x1, x2)∈ 2，定义范数|| x || = max(| x1 |, | x2 |)，并设
|| x0–λ e1 ||．
e1 = (1, 0)，x0 = (0, 1)．求a∈ 适合|| x0–a e1 || = minλ∈
并问这样的a是否唯一？请对结果作出几何解释．
解：g(λ) = || x0–λ e1 || = || (0, 1) –λ(1, 0)|| = || (–λ, 1)|| = max(| λ |, 1) ≥ 1，
故g(λ) 当| λ| ≤ 1时取得最小值1．
所以a = 0满足要求．显然满足要求的a不是唯一的．
从几何上看就是某线段上的点到某定点的距离都是1．
1.4.10 求证范数的严格凸性等价于下列条件：
|| x + y || = || x || + || y || ( ?x≠θ, y≠θ) ?x = c y ( c > 0)．
证明：(?) 设范数是严格凸的，若x, y ≠θ满足|| x + y || = || x || + || y ||，
事实上，我们总有|| (x/|| x ||) || = || (y/|| y ||) || = 1．
因x, y ≠θ，故|| x || + || y || > 0，所以|| x + y || ≠ 0．
于是|| x ||/|| x + y || + || y ||/|| x + y || = 1．
假若x/|| x || ≠y/|| y ||，
由严格凸性，得到|| (|| x ||/|| x + y ||)(x/|| x ||) + (|| y ||/|| x + y ||)(y/|| y ||) || < 1，
即|| (( x + y )/|| x + y ||) || < 1，矛盾．
因此必然有x/|| x || = y/|| y ||，即x = (|| x ||/|| y ||) y．
(?) 设?x, y ≠θ，|| x + y || = || x || + || y ||蕴涵x = c y ( c > 0)．
下面证明范数是严格凸的．
设x≠y，且|| x || = || y || = 1，又设α, β∈(0, 1)，且α + β= 1．
我们知道|| α x + β y || ≤ || α x || + || β y || = α || x || + β|| y || = α + β= 1．
假若|| α x + β y || = 1，
根据我们的条件，就得到α x = c (β y)，其中c > 0．
那么，就有|| α x || = || c (β y) ||，
而|| x || = || y || = 1，所以α= c β；
故x = y，这就与x≠y相矛盾．
所以必然有|| α x + β y || < 1，即范数是严格凸的．
1.4.11 设X是线性赋范空间，函数? : X → 1称为凸的，如果不等式
?( λ x + (1 -λ) y ) ≤λ?( x ) + (1 -λ)?( y ) ( ? 0 ≤λ≤ 1)
成立．求证凸函数的局部极小值必然是全空间的最小值．
证明：设x0是凸函数?的一个局部极小点．
如果存在x∈X，使得?( x ) < ?( x0)，则? t ∈(0, 1)，
?( t x + (1 -t ) x0) ≤t ?( x ) + (1 -t )?( x0) < t ?( x0) + (1 -t )?( x0) = ?( x0)．而对x0的任意邻域U，都存在t ∈(0, 1)，使得t x + (1 -t ) x0∈U．
这就与x0是局部极小点相矛盾．
因此?x∈X，都有?( x0) ≤?( x )，即x0是?的最小点．
1.4.12 设(X, || · ||)是一线性赋范空间，M是X的有限维子空间，{e1, e2, ..., e n}是M的一组基，给定g∈X，引进函数F : n → 1．对?c = (c1, c2, ..., c n)∈ n，规
定
F(c) = F(c1, c2, ..., c n) = || ∑1 ≤i≤n c i e i-g ||．
(1) 求证F是一个凸函数；
(2) 若F的最小值点是c = (c1, c2, ..., c n)，求证f = ∑1 ≤i≤n c i e i给出g在M中的最佳逼近元．
证明：(1) 设c = (c1, c2, ..., c n), d = (d1, d2, ..., d n)∈ n, λ∈[0, 1]，
则F(λ c + ( 1 -λ) d ) = || ∑1 ≤i≤n ( λ c i + ( 1 -λ) d i ) e i-g ||
= || λ∑1 ≤i≤n c i e i + ( 1 -λ) ∑1 ≤i≤n d i e i- (λ g+ ( 1 -λ)g )||
= || λ(∑1 ≤i≤n c i e i -g) + ( 1 -λ) ( ∑1 ≤i≤n d i e i-g )||
≤λ|| ∑1 ≤i≤n c i e i -g || + ( 1 -λ) || ∑1 ≤i≤n d i e i-g ||
= λ F(c)+ ( 1 -λ)F(d)，
故F是一个凸函数．
(2) 因为{e1, e2, ..., e n}是M的一组基，
故M中的每个元h都可表示为h = ∑1 ≤i≤n d i e i，其中d = (d1, d2, ..., d n)∈ n．
因为F(c) ≤F(d)，故|| f-g || = F(c) ≤F(d) = || h-g ||．
那么f就是g在M中的最佳逼近元．
1.4.13 设X是B*空间，X0是X的线性子空间，假定?c∈(0, 1)使得?y∈X，有
inf { || y–x || | x ∈X0 } ≤c || y ||．求证：X0在X中稠密．
证明：设y∈X，?ε > 0，
?x1∈X0，s.t. || y–x1 || < c || y || + ε /4．
?x2∈X0，s.t. || (y–x1) –x2 || < c || y–x1 || + ε /8．
?x3∈X0，s.t. || (y–x1 –x2 ) –x3 || < c || y–x1 –x2 || + ε /16．
如此下去，可得到一个X0中的点列{ x n }，满足
|| y–∑1 ≤j≤n +1x j|| < c || y–∑1 ≤j≤n x j|| + ε /2n + 2(?n∈ +)．
那么，我们可以用数学归纳法证明
|| y–∑1 ≤j≤n x j|| < c n || y || + ε (∑1 ≤j≤n 1/2j + 1)．
当n = 1时，|| y–x1 || < c || y || + ε /4．结论成立．
当n = 2时，|| (y–x1) –x2 || < c || y–x1 || + ε /8
< c (c || y || + ε /4) + ε /8 < c 2 || y || + ε (1/4 + 1/8)，结论成立．
当n≥ 3时，若|| y–∑1 ≤j≤n x j|| < c n || y || + ε (∑1 ≤j≤n 1/2j + 1)成立，
则|| y–∑1 ≤j≤n +1x j|| < c || y–∑1 ≤j≤n x j|| + ε /2n + 2
< c (c n || y || + ε (∑1 ≤j≤n 1/2j + 1)) + ε /2n + 2
< c n+1 || y || + ε (∑1 ≤j≤n 1/2j + 1)) + ε /2n + 2
< c n+1 || y || + ε (∑1 ≤j≤n+ 11/2j + 1))，因此结论也成立．
由数学归纳法原理，?n∈ +，|| y–∑1 ≤j≤n x j|| < c n || y || + ε (∑1 ≤j≤n 1/2j + 1)．
因为c∈(0, 1)，故存在N∈ +，使得c N || y || < ε /2．
令x = ∑1 ≤j≤N x j，则x∈X0．
且|| y–x || < ε /2 + ε (∑1 ≤j≤N 1/2j + 1) < ε．
所以，X0在X中稠密．
[张峰同学的证明] 反证法．若不然，则cl(X0)是X的真闭线性子空间．
用Riesz引理，存在y∈X，使得|| y || = 1，且inf { || y–x || | x ∈ cl(X0)} > c．
故对此y∈X，有inf { || y–x || | x ∈X0 } > c || y ||，矛盾．
1.4.14 设C0表示以0为极限的实数全体，并在C0中赋以范数|| x || = max n≥1| ξn |，( ?x = (ξ1, ξ2, ..., ξn, ...)∈C0 )．又设M = {x = (ξ1, ξ2, ..., ξn, ...)∈C0 | ∑n ≥1 ξn/2n = 0}．
(1) 求证：M是C0的闭线性子空间．
(2) 设x0= (2, 0, 0, ...)，求证：inf z ∈M || x0–z || = 1，但?y∈M，有|| x0–y || > 1．证明：(1) 显然M ≠?，容易直接验证M是C0的线性子空间．
若x k = (ξ1(k), ξ2(k), ..., ξn(k), ...)为M中的点列，且x k→x = (ξ1, ξ2, ..., ξn, ...)∈C0．
则?ε > 0，存在N∈ +，使得?k > N，|| x k -x || < ε．
此时，?n∈ +，有|ξn -ξn(k)| ≤ max n≥1| ξn -ξn(k) | = || x k -x || < ε．
| ∑n ≥1 ξn/2n | = | ∑n ≥1 ξn/2n-∑n ≥1 ξn(k)/2n | = | ∑n ≥1 (ξn -ξn(k))/2n |
≤∑n ≥1 |ξn -ξn(k)|/2n≤∑n ≥1 ε/2n = ε．
所以，∑n ≥1 ξn/2n = 0，即x = (ξ1, ξ2, ..., ξn, ...)∈M．
所以M是C0的闭线性子空间．
(2) x0= (2, 0, 0, ...)，?z = (ξ1, ξ2, ..., ξn, ...)∈M，
|| x0–z || = max{| 2 -ξ1 |, | ξ2 |, | ξ3 |, ... }．
如果| 2 -ξ1 | > 1，则|| x0–z || > 1．
如果| 2 -ξ1 | ≤ 1，则| ξ1 | ≥ 1，我们断言{| ξ2 |, | ξ3 |, ... }中至少有一个大于1者．否则，假若它们都不超1，因为ξn → 0 (n→∞)，故它们不能全为1．
由∑n ≥1 ξn/2n = 0知| ξ1 |/2 = | ∑n ≥2 ξn/2n | ≤∑n ≥2 | ξn | /2n < ∑n ≥2 1/2n = 1/2，
这样得到| ξ1 | < 1，矛盾．
故{| ξ2 |, | ξ3 |, ... }中至少有一个大于1者．
因此也有|| x0–z || > 1．
综上所述，但?y∈M，有|| x0–y || > 1．
由此，立即知道inf z ∈M || x0–z || ≥ 1．
下面证明inf z ∈M || x0–z || ≤ 1．
?n∈ +，令z n= (1 - 1/2n, -1, -1, ..., -1, 0, 0, ...)．
( z n从第2个坐标开始有连续的n个-1，后面全部是0 )，
则(1 - 1/2n)/2 - 1/4 - 1/8 - ... - 1/2n + 1 = 0，因此z n∈M．
此时，|| x0–z n || = max{| 1 + 1/2n|, | 1/4|, | 1/8|, ... } = 1 + 1/2n．
故inf z ∈M || x0–z || ≥ inf n || x0–z n || = inf n (1 + 1/2n ) = 1．
所以，inf z ∈M || x0–z || = 1．
1.4.15 设X是B*空间，M是X的有限维真子空间，求证：?y∈X，|| y|| = 1，使得|| y–x || ≥ 1 ( ?x ∈M )．
证明：取定z∈X \ M，令Y = span{z} + M．记S = { y∈Y | || y || = 1 }．
则M是Y的真闭子空间，而S是Y中的单位球面．
由Riesz引理，?n∈ +，存在y n∈S，使得d( y n, M ) ≥ 1 - 1/n．
因为Y也是有限维的，故其中的单位球面为自列紧集．
存在{y n}的收敛子列．不妨设y n(k) →y∈S．
则d( y n(k), M ) ≥ 1 - 1/n(k)，故有d( y, M ) ≥ 1．
即|| y–x || ≥ 1 ( ?x ∈M )．
1.4.16 若f是定义在区间[0, 1]上的复值函数，定义
ωδ( f ) = sup{| f (x) – f (y) | | ?x, y∈[0, 1], | x–y | ≤δ}．
如果0< α≤ 1对应的Lipschitz空间Lipα，由满足
|| f || = | f(0) | + supδ > 0{δ–αωδ( f )} < +∞
的一切f组成，并且以|| f ||为模．又设
lipα = { f∈Lipα| lim δ→ 0 δ–αωδ( f ) = 0}．
求证Lipα是B空间，而且lipα是Lipα的闭子空间．
证明：(1) 显然，C1[0, 1]?Lipα，因此Lipα不空．
对区间[0, 1]上的复值函数f, g，?λ∈ ，我们有
ωδ( f + g ) = sup{| f (x) + g (x) – f (y) – g (y) | | ?x, y∈[0, 1], | x–y | ≤δ}
≤ sup{| f (x) – f (y) | + | g (x) – g (y) | | ?x, y∈[0, 1], | x–y | ≤δ}
≤ωδ( f ) + ωδ( g )．
ωδ( λ f ) = sup{|λ f (x) –λ f (y) | | ?x, y∈[0, 1], | x–y | ≤δ}
= | λ| sup{| f (x) – f (y) | | ?x, y∈[0, 1], | x–y | ≤δ}
= | λ| ·ωδ( f )．
若f, g∈Lipα，λ∈ ，则
|| f + g || = | f(0) + g(0) | + supδ > 0{δ–αωδ( f + g ) }
≤ | f(0) | + | g(0) | + supδ > 0{δ–α(ωδ( f ) + ωδ( g )) }
= | f(0) | + | g(0) | + supδ > 0{δ–αωδ( f ) + δ–αωδ( g ) }
≤ | f(0) | + | g(0) | + supδ > 0{δ–αωδ( f ) }+ supδ > 0{ δ–αωδ( g ) }
= || f || + || g || < +∞．
|| λ f || = | λ f(0) | + supδ > 0{δ–αωδ( λ f )}
= | λ| · | f(0) | + | λ| · supδ > 0{δ–αωδ( f )}
= | λ| · || f || < +∞．
因此，f + g, λ f∈Lipα，且上述两个不等式表明|| · ||有齐次性和三角不等式．显然，|| f || ≥ 0．
当|| f || = 0时，| f(0) | + supδ > 0{δ–αωδ( f )} = 0，
意味着f(0) = 0，且ωδ( f ) = 0(?δ> 0)．
而ωδ( f ) = 0(?δ> 0)则意味着f为常值．
所以，f = 0．即|| · ||有正定性．
综上所述，Lipα是B*空间．
(2) 我们首先证明集合Lipα?C[0, 1]．
?f∈Lipα，?x, y∈[0, 1]，x ≠y，记δ = | x -y |．
则| f (x) – f (y) | ≤ωδ( f )．
而δ–αωδ( f ) ≤ supδ > 0{δ–αωδ( f n-f m) } ≤ || f ||，
所以，| f (x) – f (y) | ≤ || f || δα= || f || · | x -y |α，
故f∈C[0, 1]．
我们再证明，?f∈Lipα，|| f ||C≤ || f ||，其中|| ·||C是C[0, 1]范数．
事实上，?x∈[0, 1]，| f (x) | ≤ | f (0) | + | f (x) – f (0) |，故
|| f ||C = max x∈[0, 1] | f (x) | ≤ | f (0) | + max x∈[0, 1] | f (x) – f (0) |
≤ | f (0) | + sup x∈(0, 1] | f (x) – f (0) |/| x |α
≤ | f (0) | + sup x∈(0, 1] { δ–αωδ( f ) } ≤ || f ||．
这说明，如果{ f n }是Lipα中的基本列，则它也必是C[0, 1]中的基本列．
而C[0, 1]是完备的，故存在f∈C[0, 1]，使得{ f n }一致收敛于f．
而{ f n }作为Lipα中的基本列，有
|| f n-f m || = | f n(0) -f m(0) | + supδ > 0{δ–αωδ( f n-f m) } → 0 (n, m→∞)，
因此?ε > 0，?N∈ +，使得?n, m > N，有
| f n(0) -f m(0) | + supδ > 0{δ–αωδ( f n-f m) } < ε．
因此supδ > 0{δ–αωδ( f n-f m) } < ε．
故?δ > 0，ωδ( f n-f m) < εδα．
即?x, y∈[0, 1]，| x -y | ≤δ，都有
| ( f n(x) -f m(x)) - ( f n(y) -f m(y)) | < εδα．
令m→∞，得到| ( f n(x) -f(x)) - ( f n(y) -f(y)) | ≤εδα．
因此，sup {| ( f n(x) -f(x)) - ( f n(y) -f(y)) | | x, y∈[0, 1]，| x -y | ≤δ}≤εδα．即?δ > 0，ωδ( f n-f ) ≤εδα．
故supδ > 0{δ–αωδ( f n-f ) } ≤ε．
同样地，对不等式| f n(0) -f m(0) | < ε令m→∞，就得到| f n(0) -f(0) | ≤ε．
所以，| f n(0) -f(0) | + supδ > 0{δ–αωδ( f n-f ) } ≤ 2ε．
这说明f n-f∈Lipα．
而f n∈Lipα，故f = ( f -f n ) + f n∈Lipα．
而前面的式子也表明|| f -f n || ≤ 2ε．
因此|| f n-f || → 0 (n→∞)，即{ f n }为Lipα中的收敛列．
所以，Lipα是Banach空间．
(3) 记lipα = { f∈Lipα| lim δ→ 0 δ–αωδ( f ) = 0 }．
?f, g∈lipα，?λ∈ ，我们有
δ–αωδ( f + g ) ≤δ–α(ωδ( f ) + ωδ( g ) ) = δ–αωδ( f ) + δ–αωδ( g ) → 0 (δ→ 0)．δ–αωδ( λ f ) = | λ| ·δ–αωδ( f ) → 0 (δ→ 0)．
故f + g, λ f∈lipα，因此，lipα是Lipα的线性子空间．
设{ f n }是lipα中的序列，且f n→f∈Lipα(n→∞)．
则{ f n }一致收敛于f．
?ε > 0，存在N∈ +，使得|| f N →f || < ε /2．
故有supδ > 0{δ–αωδ( f N-f ) } < ε /2．
因为lim δ→ 0 δ–αωδ( f N) = 0，
所以，?? > 0，使得?δ∈(0, ?)，有δ–αωδ( f N) < ε /2．
此时我们有δ–αωδ( f ) ≤δ–α(ωδ( f N) + ωδ( f -f N))
= δ–αωδ( f N) + δ–αωδ( f -f N)
< ε /2 + supδ > 0{δ–αωδ( f N-f ) } < ε．
所以，lim δ→ 0 δ–αωδ( f ) = 0，即f∈lipα．
所以lipα是Lipα的闭子空间．
1.4.17 (商空间) 设X是线性赋范空间，X0是X的闭线性子空间，将X中的向量分类，凡是适合x’-x’’∈X0的两个向量x’, x’’归于同一类，称其为等价类，把一个等价类看成一个新的向量，这种向量的全体组成的集合为X/X0表示，并称其为商空间．下列是关于商空间的命题．
(1) 设[ y ]∈X/X0，x∈X，求证：x∈[ y ]的充分必要条件是[ y ] = x + X0．
证明：设x’, x’’∈X，若它们归于同一类，则记为x’～x’’．
我们用[ x ]表示x所在的等价类（大家注意，题目形式已经作了相应的修改）．(?) 若x∈[ y ]，则x～y．
?u ∈[ y ]，u～y，故u～x，即u –x∈X0．因此u ∈x + X0．所以[ y ] ?x + X0．反过来，?u ∈x + X0，则u～x，故u～y．因此u ∈[ y ]．所以x + X0 ? [ y ]．
所以[ y ] = x + X0．
(?) 若[ y ] = x + X0，则y –x∈X0，即y～x．从而x∈[ y ]．
(2) 在X/X0中定义加法与数乘如下：
[ x ] + [ y ] = x + y + X0(?[ x ], [ y ] ∈X/X0 )
λ[ x ] = λ x + X0(?[ x ]∈X/X0 , ?λ∈ )
其中x和y分别表示属于等价类[ x ]和[ y ]的任一元素．又规定范数
|| [ x ] ||0 = inf z∈[ x ] || z || ( ?[ x ]∈X/X0 )
求证：(X/X0, || · ||0)是一个B*空间．
证明：第(1)部分说明了[ x ] = x + X0．容易看出加法与乘法的定义是合理的．进一步可以证明X/X0 构成数域 上的线性空间，且其零元为[ θ] = X0．
下面证明|| · ||0是X/X0 上的范数．
显然，?[ x ]∈X/X0，|| [ x ] ||0≥ 0．
若[ x ] = [ θ] = X0，则|| [ x ] ||0 = 0．
若|| [ x ] ||0 = 0，则inf z∈[ x ] || z || = 0．
存在z n∈[ x ]使得|| z n || → 0，即z n→θ (n→∞)．
那么，x-z n∈X0，x-z n→x (n→∞)，而X0是闭集，故x∈X0．
所以x～θ，即[ x ] = X0．
因此|| · ||0有正定性．
?[ x ]∈X/X0，?λ∈ ，
|| λ[ x ]||0 = || [ λ x ] ||0 = inf y∈[ x ] || λ y || = inf y∈[ x ] | λ| · || y ||
= | λ| · inf y∈[ x ] || y || = | λ| · ||[ x ]||0．
因此|| · ||0有齐次性．
?[ x ], [ y ]∈X/X0，
|| [ x ] + [ y ] ||0 = inf z∈[ x ] + [ y ] || z || = inf u∈[ x ], v∈[ y ] || u + v ||
≤ inf u∈[ x ], v∈[ y ] { || u || + || v || } ≤ inf u∈[ x ] { inf v∈[ y ] { || u || + || v ||} }
≤ inf u∈[ x ] { inf v∈[ y ] { || u || + || v ||} } = inf u∈[ x ] { || u || + inf v∈[ y ] || v || }
= inf u∈[ x ] || u || + inf v∈[ y ] || v || = || [ x ] ||0 + || [ y ] ||0．
因此|| · ||0的三角不等式成立．
所以，(X/X0, || · ||0)是一个B*空间．
(3) 设[ x ]∈X/X0, 求证对?y∈[ x ]有inf { || y -z || | z∈X0 } = || [ x ] ||0．
证明：|| [ x ] ||0 = inf u∈[ x ] || u || = inf u∈[ y ] || u || = inf { || u || | u∈y + X0 }
= inf { || y + v || | v∈X0 } = inf { || y -z || | z∈X0 }．
(4) 定义映射? : X →X/X0为? (x) = [ x ] = x + X0(?x∈X )．
求证?是线性连续映射．
证明：?x, y∈X，?α, β∈ ，
?( α x + β y ) = [α x + β y ] = [α x ] + [ β y ] = α [ x ] + β[ y ] = α? (x) + β? (y)．|| ? (x) -? (y) ||0 = || [ x ] - [ y ] ||0 = || [ x-y ] ||0 = inf z∈[ x-y ] || z || ≤ || x-y ||．
所以，?是线性连续映射．
(5) ?[ x ]∈X/X0，求证?y∈X，使得? (y) = [ x ]，且|| y || ≤ 2|| [ x ] ||0．
证明：因为|| [ x ] ||0 = inf z∈[ x ] || z ||，
若|| [ x ] ||0 = 0，则由|| · ||0的正定性，知[ x ] = X0，取y = θ即满足要求．
若|| [ x ] ||0≠ 0，则inf z∈[ x ] || z || = || [ x ] ||0 < 2 || [ x ] ||0，
存在?y∈[ x ]，使得|| y || ≤ 2|| [ x ] ||0．
此时显然有? (y) = [ x ] = [ y ]．
(6) 设(X, || · ||)完备，求证(X/X0, || · ||0)也是完备的．
证明：设{ [ x ]n }是X/X0中的基本列．
为证明它是收敛列，只需证明它存在收敛子列．
由基本列性质，可选出子列{ [ x ]n(k)}使得|| [ x ]n(k) - [ x ]n(k+1) ||0 ≤ 1/2k．
故∑k ≥ 1 || [ x ]n(k) - [ x ]n(k+1) ||0 收敛．
根据(5)，?k∈ +，?y k∈[ x ]n(k+1) - [ x ]n(k)，使得
|| y k || ≤ 2|| [ x ]n(k+1) - [ x ]n(k) ||0．
那么，∑k ≥ 1|| y k ||收敛．
由X的完备性，s k = ∑ 1 ≤j ≤k y j是X中的收敛列．设其极限为s．
由(5)中?的连续性，在X/X0中，?(s k) →?(s) ( k→∞ )．
而?(s k) = ?( ∑ 1 ≤j ≤k y j ) = ∑ 1 ≤j ≤k ?( y j )
= ∑ 1 ≤j ≤k ( [ x ]n(j+1) - [ x ]n(j)) = [ x ]n(k+1) - [ x ]n(1)．
故{[ x ]n(k+1) - [ x ]n(1)}收敛，因而{[ x ]n(k)}是收敛列．
因此X/X0中的基本列{ [ x ]n }存在收敛子列{[ x ]n(k)}，
所以，{ [ x ]n }是X/X0中的收敛列．
因此，(X/X0, || · ||0)是完备的．
(7) 设X = C[0, 1]，X0 = { f∈X | f (0) = 0 }，求证：X/X0 ? ，其中记号“?”表示
等距同构．
证明：显然，X0是C[0, 1]中的线性子空间．
记X0所确定的等价关系为～，则f～g ? f (0) = g (0)．
定义Φ : X/X0 → ，Φ([ f ]) = f (0)．显然定义是合理的．
?f, g∈X，?α, β∈ ，
Φ(α[ f ] + β[ g ]) = Φ([αf + β g ]) = (αf + β g )(0)
= αf (0)+ β g (0) = αΦ([ f ])+ βΦ([ g ])．
因此Φ是线性映射．
因Φ(X0) = 0，故Φ是单射．
而?c∈ ，若记所对应的常值函数为h c∈C[0, 1]，
则Φ( [ h c] ) = c．故Φ是满射．
综上所述，Φ : X/X0 → 是线性同构．
?f∈X，|| [ f ]||0 = inf g∈[ f ] { || g || } ≥ inf g∈[ f ] { | g (0) | }
= inf g∈[ f ] { | f (0) | } = | f (0) | = | Φ([ f ]) |．
另一方面，因为常值函数h f (0)∈[ f ]，
故|| [ f ]||0 = inf g∈[ f ] { || g || } ≤ || h f (0) || = | f (0) | = | Φ([ f ]) |．
所以，?f∈X，都有|| [ f ]||0 = | Φ([ f ]) |，因此Φ : X/X0 → 是等距同构．
[第4节完]
泛函分析答案： 1、 所有元素均为0的n ×n 矩阵 2、 设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x,y ∈L ，以及变数λ和μ均有λx ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。 3、 设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。 4、 设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x,y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的 λ和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。 5、 设x,y 是线性空间E 中的两个元素，d(x,y)为其之间的距离，它必须满足以下条件： （1） 非负性：d(x,y)＞0，且d(x,y)＝0＜―――＞x=y （2） d(x,y)=d(y,x) （3） 三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z) for every x,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义： 】 设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }T d 2(x,y)=( 21 ||n i i i x y =-∑)1/2 d 1(x,y)=1 ||n i i i x y =-∑ d p (x,y) = ( 1 ||n p i i i x y =-∑ )1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i n x y ≤≤- 6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)0(n ∞)，这时记作 0lim n n x x -->∞ =，或 简单地记作x n x 0 7、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件： （1）||x||≥0,且||x||＝0 iff x=0 （2）||λx||=λ||x||,λ为常数 （3）||x+y||≤||x||+||y||,for every x,y ∈E 8、设E 为线性赋范空间，｛x n ｝∞ n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0,总存在自然数N ，使得当n>N,m>N 时，均有|x m -x n |<ε,则称序列{x n }是E 中的基本列。若E 的基本列的收敛元仍属于E ，则称E 为完备的线性赋范空间，即为Banach 空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。 9、有限维的线性赋范空间必然完备，所以它必定是Banach 空间。 $ 10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备，则此内积空间称为Hilbert 空间。 11、L 2（a,b ）为定义在(a,b)上平方可积函数空间，即设f(t)∈L 2（a,b ）, 2|()|b a f t dt ? ＜∞。 当 L 2（a,b ）中内积的定义为（f,g ）= _____ ()()b a f t g t dt ? (其中f(t),g(t)∈L 2（a,b ）)时其为Hilbert 空间。 ★ 12、算子表示一种作用，一种映射。设X 和Y 是给定的两个线性赋范空间，集合D ?X ， 若对D 中的每一个x ，均有Y 中的一个确定的变量y 与其对应，则说这种对应关系确定
第2章 赋范线性空间 虽然不允许我们看透自然界本质的秘密, 从而认识现象的真实原因,但仍可能 发生这样的情形：一定的虚构假设 足以解释许多现象. Eurler L . (欧拉) (1707-1783,瑞士数学家) Schmidt E .在1908 年讨论由复数列组成的空间}||: ){(1 2∞<∑∞ =i i i z z 时引入记号 ||||z 来表示2 11 )(∑∞ =i i i z z ,||||z 后来就称为z 的范数.赋范空间的公理出现在Riesz F .在 1918 年关于],[b a C 上关于紧算子的工作中,但赋范空间的定义是在 1920到1922年间由 Banach S .（1892—1945）、Hahn H .（1879—1934）、Helly E .（1884—1943）和 Wiener N .（1894—1964）给出的,其中以Banach S .的工作最具影响. 2.1赋范空间的基本概念 线性空间是Peano Giuseppe 在1888年出版的书Geometrical Calculus 中引进的.Banach S .在1922年的工作主要是建立具有范数的完备空间,以后为了纪念他称之为 Banach 空间.他定义的空间满足三组公理,第一组公理定义了线性空间,第二组定义了范数, 第三组给出了空间的完备性. 定义 2.1.1 设K 是实数域R 或复数域C ,X 是数域K 上的线性空间,若||||?是X 到R 的映射,且满足下列条件： (1) 0||||≥x 且0||||=x 当且仅当0=x ; (2) ||||||||||x x λλ=,对任意X x ∈和任意K ∈λ ;
第二章 度量空间 作业题答案提示 1、 试问在R 上，()()2,x y x y ρ=- 能定义度量吗？ 答：不能，因为三角不等式不成立。如取 则有(),4x y ρ=,而(),1x z ρ=，(),1z x ρ= 2、 试证明：（1）()1 2 ,x y x y ρ= -;(2)(),1x y x y x y ρ-= +-在R 上都定 义了度量。 证：（1）仅证明三角不等式。注意到 2 11 22x y x z z y x z z y ?? -≤-+-≤-+- ? ?? 故有1 112 22 x y x z z y -≤-+- （2）仅证明三角不等式 易证函数()1x x x ?=+在R +上是单调增加的， 所 以 有 ()() a b a b ??+≤+,从而有 1111a b a b a b a b a b a b ++≤≤+ ++++++ 令,,x y z R ?∈,令,a z x b y z =-=- 即111y x z x y z y x z x y z ---≤+ +-+-+-
4.试证明在[]b a C ,1 上，)12.3.2()()(),(?-=b a dt t y t x y x ρ 定义了度量。 证：（1）0)()(0),(≡-?=t y t x y x ρ（因为x,y 是连续函数） 0),(≥y x ρ及),(),(x y y x ρρ=显然成立。 []) ,(),()()()()()()()()()()(),()2(y z z x dt t y t z dt t z t x dt t y t z dt t z t x dt t y t x y x b a b a b a b a ρρρ+≤-+-≤-+-≤-=???? 5.试由Cauchy-Schwarz 不等式证明 ∑∑==≤?? ? ??n i i n i i x n x 12 2 1 证：∑∑∑∑=====?≤?? ? ??n i i n i n i i n i i x n x x 12 12 122 11 8.试证明下列各式都在度量空间()11,ρR 和()21,R R 的Descartes 积 21R R R ?=上定义了度量 {}2 12/1222121,max ~~)3(;)(~)2(;)1(ρρρρρρρρρ=+=+= 证：仅证三角不等式。（1）略。 (2) 设12(,)x x x =，12(,)y y y =12R R ∈?，则
泛函分析答案： 1、所有元素均为0的n ×n 矩阵 2、设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x,y ∈L ，以及变数λ和μ均有λx ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。 3、设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。 4、设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x,y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的λ和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。 5、设x,y 是线性空间E 中的两个元素，d(x,y)为其之间的距离，它必须满足以下条件： （1） 非负性：d(x,y)＞0，且d(x,y)＝0＜―――＞x=y （2） d(x,y)=d(y,x) （3） 三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)foreveryx,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义： 设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }T d 2(x,y)=(21 ||n i i i x y =-∑)1/2 d 1(x,y)=1 ||n i i i x y =-∑ d p (x,y)=(1 ||n p i i i x y =-∑)1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i n x y ≤≤- 6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)?0(n ?∞)，这时记作 0lim n n x x -->∞ =，或简单地记作x n ?x 0 7、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件： （1）||x||≥0,且||x||＝0 iffx=0 （2）||λx||=λ||x||,λ为常数 （3）||x+y||≤||x||+||y||,foreveryx,y ∈E 8、设E 为线性赋范空间，｛x n ｝∞n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0,总存在自然数N ，使得当n>N,m>N 时，均有|x m -x n |<ε,则称序列{x n }是E 中的基本列。若E 的基本列的收敛元仍属于E ，则称E 为完备的线性赋范空间，即为Banach 空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。 9、有限维的线性赋范空间必然完备，所以它必定是Banach 空间。 10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备，则此内积空间称为Hilbert 空间。 11、L 2 （a,b ）为定义在(a,b)上平方可积函数空间，即设f(t)∈L 2 （a,b ）,2|()|b a f t dt ?＜∞。
第二章 线性赋范空间与内积空间 Normed Linear Spaces and Inner Product Spaces 前面介绍了度量空间及其性质，在那里通过定义距离的概念，引入了点列的极限，这种点列极限是微积分中数列极限在抽象空间的推广．然而只有距离结构，没有代数结构的空间在应用上受到许多限制．本章通过在线性空间中定义范数来赋予线性空间上的一种特殊距离，从而将收敛的概念引入到线性空间，由此导出线性赋范空间的概念，如果这种空间的两个向量再赋予类似欧氏空间的“内积”或“点积”的概念后，便是内积空间．因此本章的主要内容就是线性赋范空间与内积空间． 2.1 线性赋范空间的定义与极限 在学习高等代数时，我们已了解到线性空间的概念，线性赋范空间，简单地说，就是给线性空间赋予范数． 定义2.1.1 线性空间 设X 为一非空集合，R 表示实数域(或为复数域C )．在X 中定义了元素的加法运算以及实数(或复数)与X 中元素的乘法运算，且满足下列条件： 1. 关于加法“+”：,xy X ?∈，u X ?∈与之对应，记为u x y =+，称u 为x 与y 的和，且具 有,,x y z X ?∈， (1) x y y x +=+ (交换律)； (2) ()()x y z x y z ++=++ (结合律)； (3) 在X 中存在唯一元素θ，使得x X ?∈，有x x θ+=，则称θ为X 中零元素； (4) x X ?∈，存在唯一元素x '∈X ，使得x +x '=θ，称x '为x 的负元素，记为x -. 2. 对X 中每个元素x 及任何实数(或复数)a ，存在元素u ∈X 与之对应，记为u =a x ，称u 为a 与x 的数乘，且满足,x y X ?∈，,λμ?∈R (或C ) (1) ()x x x λμλμ+=+ (分配律)； (2) ()x y x y λλλ+=+ (数因子的分配律)； (3) ()()x x λμλμ= (结合律)； (4) 1x x = (单位1). 则称X 按上述加法和数乘运算成为线性空间或向量空间，X 中的元素称为向量.如果数乘运算只对实数(或只对复数)有意义，则称X 是实(或复)线性空间. 满足上述加法和数承运算的性质，统称为线性运算． 我们知道，n 维欧式空间n R 是线性空间；[,]C a b 在通常加法和数乘意义下构成线性空间；n 阶实矩阵在矩阵的加法和数乘意义下构成线性空间．
第七章 习题解答 1．设（X ，d ）为一度量空间，令 }),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？ 解 不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。 因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 2. 设 ],[b a C ∞是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义 证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 证明 （1）若),(g f d =0，则) ()(1)()(max ) () ()()(t g t f t g t f r r r r b t a -+-≤≤=0，即f=g （2）)()(1)()(max 2 1 ),()()()()(0t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞ =∑ =d （f ，g ）+d （g ，h ） 因此],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 3． 设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集ΛΛn o o o 21,包含B ，而且B o n n =?∞ =1 。 证明 令n n n o n n B x d Bo o .2,1},1 ),({K =<==是开集：设n o x ∈0，则存在B x ∈1，使 n x x d 1),(10<。设,0),(1 10>-=x x d n δ则易验证n o x U ?),(0δ，这就证明了n o 是 开集 显然B o n n ??∞=1 。若n n o x ∞ =?∈1 则对每一个n ，有B x n ∈使n x x d 1 ),(1< ，因此
泛函分析复习题2012 1．在实数轴R 上，令p y x y x d ||),(-=，当p 为何值时，R 是度量 空间，p 为何值时，R 是赋范空间。 解：若R 是度量空间，所以R z y x ∈?,,，必须有： ),(),(),(z y d y x d z x d +≤成立 即p p p z y y x z x ||||||-+-≤-，取1,0,1-===z y x ， 有2112=+≤p p p ，所以，1≤p 若R 是赋范空间，p x x x d ||||||)0,(==，所以R k x ∈?,， 必须有：||||||||||x k kx ?=成立，即p p x k kx ||||||=，1=p ， 当1≤p 时，若R 是度量空间，1=p 时，若R 是赋范空间。 2．若),(d X 是度量空间，则)1,m in(1d d =，d d d +=12也是使X 成为度量空间。 解：由于),(d X 是度量空间，所以X z y x ∈?,,有： 1）0),(≥y x d ，因此0)1),,(m in(),(1≥=y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2≥+= y x d y x d y x d 且当y x =时0),(=y x d ， 于是0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2=+=y x d y x d y x d 以及若
0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 或0) ,(1) ,(),(2=+= y x d y x d y x d 均有0),(=y x d 成立，于是y x =成立 2）),(),(y x d x y d =， 因此),()1),,(m in()1),,(m in(),(11y x d y x d x y d x y d === 和),() ,(1) ,(),(1),(),(22y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+= 3）),(),(),(z y d y x d z x d +≤，因此 }1),,(),(m in{)1),,(m in(),(1z y d y x d z x d z x d +≤= ),(),()1),,(m in()1),,(m in(11z y d y x d z y d y x d +=+≤ 以及设x x x f += 1)(，0)1(1)(2 >+='x x f ，所以)(x f 单增， 所以) ,(),(1),(),(),(1),(),(2z y d y x d z y d y x d z x d z x d z x d +++≤+= ),(),(1) ,(),(),(1),(z y d y x d z y d z y d y x d y x d +++++= ),(),() ,(1) ,(),(1),(22z y d y x d z y d z y d y x d y x d +=+++≤ 综上所述)1,m in(1d d =和d d d += 12均满足度量空间的三条件， 故),(1y x d 和),(2y x d 均使X 成为度量空间。
一、设) ,(y x d 为空间 X 上的距离，试证：) ,(1) ,(),(~x y d x y d x y d += 也是X 上的距离。 证明：显然 ,0),(~≥y x d 并且y x y x d y x d =?=?=0),(0),(~ 。 再者， ),(~) ,(1),(),(1),(),(~y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+=； 最后，由 t t t +- =+11 11的单调增加性及),(),(),(y z d z x d y x d +≤，可得 ) ,(),(1),(),(),(1),(),(),(1),(),(),(1),(),(~y z d z x d y z d y z d z x d z x d y z d z x d y z d z x d y x d y x d y x d +++ ++=+++≤+= ),(~),(~) ,(1) ,(),(1),(y z d z x d y z d y z d z x d z x d +=+++≤ 。 二 、设 1p ≥，1()()(, ,,)i n n p n x l ξξ=∈， ,2,1=n ，1(, ,,)p i x l ξξ=∈，则 n →∞时， 1()1(,)0p p n n i i i d x x ξξ∞ =? ?=-→ ??? ∑的充要条件为)1(n →∞时，()n i i ξξ→，1,2, i =； )2(0ε?>， 存在 0N >，使得 ()1 p n i i N ξε∞ =+<∑ 对任何自然数n 成立。 必要性证明：由1 () 1(,)0p p n n i i i d x x ξξ∞ =??=-→ ??? ∑可知，()n i i ξξ→，1,2,i =。 由 1(,,,)p i x l ξξ=∈可知， ε?>，存在 10 N >，使得 11 ()2 p p i i N εξ∞ =+<∑ ，并且 1 n N >时， () 1 ()2 p n p i i i εξξ∞=-<∑。 由此可得， 11 111() ()1 1 1p p p p p p n n p i i i i i N i N i N ξξξξε∞ ∞∞=+=+=+?????? ?≤-+< ? ? ??????? ∑ ∑∑对1n N >成立。 对于 11,2, n N =，存在20N >， 2()1 p n p i i N ξε∞ =+<∑ 。取 {}12max ,N N N =，则 ()1 p n p i i N ξ ε∞ =+<∑ 对任何自然数n 成立。 充分性证明：由条件可知， 0ε?>，存在0K >，使得 ()1 ()2p n p i i K ε ξ ∞ =+<∑ 对任何自然数 n 成立，并且 1 ()2 p p i i K εξ∞ =+<∑ 。 由 ()n i i ξ ξ→可知，存在0>N ，使得N n >时，()1 K p n p i i i ξ ξε=-<∑，并且
泛函分析题1_3列紧集p19 1.3.1 在完备的度量空间中，求证：为了子集A是列紧的，其充分必要条件是对?ε > 0，存在A的列紧的ε网． 证明：(1) 若子集A是列紧的，由Hausdorff定理， ?ε > 0，存在A的有限ε网N． 而有限集是列紧的，故存在A的列紧的ε网N． (2) 若?ε > 0，存在A的列紧的ε/2网B． 因B列紧，由Hausdorff定理，存在B的有限ε/2网C． 因C ?B ?A，故C为A的有限ε网． 因空间是完备的，再用Hausdorff定理，知A是列紧的． 1.3.2 在度量空间中，求证：紧集上的连续函数必是有界的，并且能达到它的上、下确界． 证明：设(X, ρ)是度量空间，D是紧子集，f : D→ 是连续函数． (1) 若f无上界，则?n∈ +，存在x n∈D，使得f (x n) > 1/n． 因D是紧集，故D是自列紧的． 所以{x n}存在收敛子列x n(k) →x0∈D (k→∞)． 由f的连续性，f (x n(k))→f (x0) (k→∞)． 但由f (x n) > 1/n知f (x n)→ +∞(n→∞)， 所以 f (x n(k))→ +∞ (k→∞)，矛盾． 故f有上界．同理，故f有下界． (2) 设M = sup x∈D f(x)，则?n∈ +，存在y n∈D，使得f (y n) > M- 1/n． {y n}存在子列y n(k) →y0∈D (k→∞)． 因此f ( y0 ) ≥M． 而根据M的定义，又有f ( y0 ) ≤M． 所以f ( y0 ) = M．因此f能达到它的上确界． 同理，f能达到它的下确界． 1.3.3 在度量空间中，求证：完全有界的集合是有界的，并通过考虑l 2的子集E = {e k }k≥ 1，其中e k = { 0, 0, ..., 1, 0, ... } (只是第k个坐标为1，其余都是0 )，来说明一个集合可以是有界的但不完全有界的． 证明：(1) 若A是度量空间(X, ρ)中的完全有界集． 则存在A的有限1-网N = { x0, x1, x2, ..., x n }． 令R = ∑1 ≤j≤nρ(x0, x j) + 1． 则?x∈A，存在某个j使得0 ≤j≤n，且ρ(x, x j) < 1． 因此，ρ(x, x0) ≤ρ(x, x j) + ρ(x j, x0) ≤ 1 + ∑1 ≤j≤nρ(x0, x j) = R． 所以A是度量空间(X, ρ)中的有界集． (2) 注意到ρ(e k , e j) = 21/2 ( ?k ≠ j )， 故E中任意点列都不是Cauchy列． 所以，E中任意点列都没有收敛子列(否则，该收敛子列就是Cauchy列，矛盾)．
1 泛函分析与应用-国防科技大学 第 一 章 第 一 节 3．设}{k x 是赋范空间E 中的Cauchy 列，证明}{k x 有界，即∞
第2章 度量空间与赋范线性空间 度量空间在泛函分析中是最基本的概念。事实上，它是n 维欧几里得空间n R 的推广，它为统一处理分析学各分支的重要问题提供了一个共同的基础。它研究的范围非常广泛，包括了在工程技术、物理学、数学中遇到的许多很有用的函数空间。因而，度量空间理论已成为从事科学研究所不可缺少的知识。 2.1 度量空间的基本概念 2.1.1 距离（度量）空间的概念 在微积分中，我们研究了定义在实数空间R 上的函数，在研究函数的分析性质，如连续性，可微性及可积性中，我们利用了R 上现有的距离函数d ，即对y x y x d R y x -=∈),(,,。度量是上述距离的一般化：用抽象集合X 代替实数集，并在X 上引入距离函数，满足距离函数所具备的几条基本性质。 【定义2.1】 设X 是一个非空集合，),(??ρ：[)∞→?,0X X 是一个定义在直积X X ?上的二元函数，如果满足如下性质： （1） 非负性 y x y x y x X y x =?=≥∈0,(,0),(,,ρρ； （2） 对称性 ),(),(,,x y y x X y x ρρ=∈ （3） 三角不等式 ),(),(),(,,,y z z x y x X z y x ρρρ+≤∈； 则称),(y x ρ是X 中两个元素x 与y 的距离（或度量）。此时，称X 按),(??ρ成为一个度量空间（或距离空间），记为),(ρX 。 注：X 中的非空子集A ，按照X 中的距离),(??ρ显然也构成一个度量空间，称为X 的子空间。当不致引起混淆时，),(ρX 可简记为X ,并且常称X 中的元素为点。 例2.1 离散的距离空间 设X 是任意非空集合，对X 中任意两点,,x y X ∈令 1 (,)0 x y x y x y ρ≠?=?=? 显然，这样定义的),(??ρ满足距离的全部条件，我们称(,)X ρ是离散的距离空间。这种距离是最粗的。它只能区分X 中任意两个元素是否相同，不能区分
第七章习题解答 1．设（X ，d ）为一度量空间，令}),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？ 解不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 2.设],[b a C ∞ 是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义 证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 证明（1）若),(g f d =0，则) ()(1)()(max ) () ()()(t g t f t g t f r r r r b t a -+-≤≤=0，即f=g （2）)()(1)()(max 21 ),()()()()(0 t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞ =∑ =d （f ，g ）+d （g ，h ） 因此],[b a C ∞ 按),(g f d 成度量空间。 3． 设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集 n o o o 21,包含B ，而且B o n n =?∞ =1。 证明令n n n o n n B x d Bo o .2,1},1 ),({ =<==是开集：设n o x ∈0，则存在B x ∈1，使n x x d 1 ),(10< 。设,0),(110>-=x x d n δ则易验证n o x U ?),(0δ，这就证明了n o 是开集 显然B o n n ??∞ =1 。若n n o x ∞ =?∈1则对每一个n ，有B x n ∈使n x x d 1 ),(1< ，因此)(∞?→??→? n x x n 。因B 是闭集，必有B x ∈，所以B o n n =?∞ =1 。 4.设d （x ，y ）为空间X 上的距离，证明) ,(1) ,(),(___ y x d y x d y x d += 是X 上的距离。 证明（1）若0),(___ =y x d 则0),(=y x d ，必有x=y （2）因),(),(),(z y d z x d y x d +≤而 t t +1在),[∞o 上是单增函数，于是) ,(),(1) ,(),(),(),(1),(),(___ ___ z y d z x d z y d z x d y x d y x d y x d y x d +++=≤+=
21．试在2([1,1])L -中将函数231,,,,t t t L 进行正交化. 解： 根据Schmidt 正交化过程, 可取 0()1u t =, 01000(,)()()(,) t u u t t u t u u =- 1111 1111t dt t t dt --?=- =??? ; 2 2 2 102101100(,)(,)()()()(,) (,) t u t u u t t u t u t u u u u =- - 112 2 2 111 1 1 1 1111t tdt t dt t t t tdt dt ----??=- -??? ? ? ? 2 13 t =- ; L L 再单位化可得 000()()|||| u t e t u = = = ; 111()()|||| 2 u t e t u = = = ; 2 22221()1()|||| 43t u t e t t u - ? = = = -??? ; L L . 解二： 引入如下形式的Legendre 正交多项式: 2 1,0, ()(1),1,2,. k k k k k u t d t k dt =?? =?-=??L 我们断言{}0()k k u t ∞ =是2 ([1,1])L -中由2 3 1,,,,t t t L 直交 化所得到的直交函数列。 首先我们断言{}0()k k u t ∞ =是直交的. 事实上, 不失一 般性, 可设l k ≥. (i) 如果0k =, 显然有 1 001((),())2u t u t dt -= =?; 而对于1,2,l =L 1 201 ((),())(1)l l l l d u t u t t dt dt -= -? 1 12 1 1 (1) 0l l l d t dt ---= -=. (ii) 对于1k ≥, 根据定积分的分部积分法，可以得到 1 221 ((),())(1)(1)k l k l k l k l d d u t u t t t dt dt dt -= -? -? 1 12 21 1 (1)(1)k l k l k l d d t d t dt dt ---= -?-? 1 1221 1 (1) (1) l k l k l k d d t t dt dt ---=-- 1 1221 1 (1)(1)l k l k l k d d t d t dt dt -----?-? 1 222 222 2 1 (1) (1)(1)l k l k l k d d t t dt dt dt -+-+-=--? -? =L 1 221 (1) (1)(1)k l l l k k l d t t dt dt ++-=--? -? ， (*) 当l k =时， 2222(1)(1)(2)!k l k k k k l k d d t t k dt dt ++-= -=， 因此 ((),())((),())k l k k u t u t u t u t = 12 1 (1) (1)(2)!k k t k dt -=--?? 1 20 (1)2(2)!(1)k k k t dt =--? /2 20 2(2)! (1sin )sin k k s d s π=-? /2 21 2(2)! cos k k sds π+=?
第 七 章 习 题 解 答 1．设（X ，d ）为一度量空间，令 }),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？ 解 不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。 因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 （23． n x 1)1<。设δ )∞。因B 4. 设d （x ，y ）为空间X 上的距离，证明) ,(1) ,(),(___ y x d y x d y x d += 是X 上的距离。 证明 （1）若0),(___ =y x d 则0),(=y x d ，必有x=y （2）因),(),(),(z y d z x d y x d +≤而 t t +1在),[∞o 上是单增函数，于是) ,(),(1) ,(),(),(),(1),(),(___ ___ z y d z x d z y d z x d y x d y x d y x d y x d +++=≤+=
= ) ,(),(1) ,(),(),(1),(z y d z x d z y d z y d z x d z x d +++++ ) ,(1),(),(1),(z y d z y d z x d z x d +++≤=),(),(___ __z y d z x d +。 5. 证明点列{n f }按习题2中距离收敛与],[b a C f ∞ ∈的充要条件为n f 的各阶导数在 [a ，b]上一致收敛于f 的各阶导数。 证明 若{n f }按习题2中距离收敛与],[b a C f ∞ ∈，即 t a ≤ ∑∞ +=o r r 即d A={f|当t 上)(t f n 一致收敛于f （t ）。设B t ∈，则0)(lim )(==∞ >-t f t f n n ，所以f ∈E ，这就证明了E 为闭集 充分性。当B 是闭集时，设f ∈A 。因f 在B 上连续而B 是有界闭集，必有B t ∈0，使 )(max )(0t f t f B t ∈=。设 0)(0>=-δt f a 。我们证明必有A f U ?),(δ。设),(δf U g ∈，则若B t ∈， 必有δ<-)()(t g t f ，于是a t f t f t g t f t g =+<+-≤)(||)(|)()(|)(|0δ，所以A g ∈，这样就证明了A 是开集 必要性。设A 是开集，要证明B 是闭集，只要证明对任意.....2,1,=∈n B t n 若0t t n >-)(∞?→? n ，
第五章习题第一部分01-15 1. M 为线性空间X 的子集，证明span( M )是包含M 的最小线性子空间． [证明] 显然span( M )是X 的线性子空间．设N 是X 的线性子空间，且M ? N ． 则由span( M )的定义，可直接验证span( M ) ? N ． 所以span( M )是包含M 的最小线性子空间． 2. 设B 为线性空间X 的子集，证明 conv(B ) = {∑=n i i i x a 1| a i ≥ 0, ∑=n i i a 1 = 1, x i ∈B , n 为自然数}． [证明] 设A = {∑=n i i i x a 1 | a i ≥ 0, ∑=n i i a 1 = 1, x i ∈B , n 为自然数}．首先容易看出A 为 包含B 的凸集，设F 也是包含B 的凸集，则显然有A ? F ，故A 为包含B 的最小凸集． 3. 证明[a , b ]上的多项式全体P [a , b ]是无限维线性空间，而E = {1, t , t 2, ..., t n , ...}是它的一个基底． [证明] 首先可以直接证明P [a , b ]按通常的函数加法和数乘构成线性空间， 而P [a , b ]中的任一个元素皆可由E 中有限个元素的线性组合表示． 设c 0, c 1, c 2, ..., c m 是m + 1个实数，其中c m ≠ 0，m ≥ 1． 若∑=m n n n t c 0= 0，由代数学基本定理知c 0 = c 1 = c 2 = ... = c m = 0， 所以E 中任意有限个元素线性无关， 故P [a , b ]是无限维线性空间，而E 是它的一个基底。 4. 在 2中对任意的x = (x 1, x 2)∈ 2 ，定义|| x ||1 = | x 1 | + | x 2 |，|| x ||2 = (x 12 + x 22)1/2， || x ||∞ = max{ | x 1 |, | x 2 | }．证明它们都是 2 中的范数，并画出各自单位球的图形． [证明] 证明是直接的，只要逐条验证范数定义中的条件即可．单位球图形略． 5. 设X 为线性赋范空间，L 为它的线性子空间。证明cl(L )也是X 的线性子空间． [证明] ?x , y ∈cl(L )，?a ∈ ，存在L 中的序列{ x n }, { y n }使得x n x ，y n y ． 从而x + y = lim x n + lim y n = lim (x n + y n )∈cl(L )，a x = a lim x n = lim (a x n ) ∈cl(L )． 所以cl(L )是X 的线性子空间． [注] 这里cl(L )表示子集L 的闭包． 6. 设X 为完备的线性赋范空间，M 为它的闭线性子空间，x 0? M ．证明： L = { a x 0 + y | y ∈M , a ∈ }也是X 的闭线性子空间． [证明] 若a , b ∈ ，y , z ∈ M 使得a x 0 + y = b x 0 + z ， 则(a - b ) x 0 = z - y ∈ M ，得到a = b ，y = z ；即L 中元素的表示是唯一的． 若L 中的序列{ a n x 0 + y n }收敛于X 中某点z ，则序列{ a n x 0 + y n }为有界序列． 由于M 闭，x 0? M ，故存在?r > 0，使得|| x 0 - y || ≥ r ，?y ∈ M ．则当a n ≠ 0时有 | a n | = | a n | · r · (1/r ) ≤ | a n | · || x 0 + y n /a n || · (1/ r ) = || a n x 0 + y n || · (1/r )， 所以数列{ a n }有界，故存在{ a n }的子列{ a n (k ) }使得a n (k ) a ∈ ．
度量空间和线性赋范空间
1 第六章 度量空间和线性赋范空间 第1次课 教学内容(或课题)： §6.1 度量空间的进一步例子 目的要求： 在复习第二章度量空间基本概念前提下，要求进一步掌握离散度量空间、序列空间、有界函数空间、可测函数空间等. 教学过程： 一 复习第二章度量空间的概念 设X 是个集合，若对于∈?y x ,X ，都有唯一确定的实数()y x d ,与之对应，且满足01 ()y x d ,0≥，()y x d ,=0y x =?;02 ()y x d ,≤()z x d ,+()z y d ,对∈?z y x ,,X 都成立， 则称(X ，d )为度量 空间或距离空间，X 中的元素称为点，条件02称为三点不等式. 欧氏空间n R 对n R 中任意两点()n x x x x ,,,21Λ=和 ()n y y y y ,,,21Λ=，规定距离为 ()y x d ,=()2 1 12??? ??-∑=n i i i y x . []b a C ,空间 []b a C ,表闭区间[]b a ,上实值(或复值)连续函数的全体.对[]b a C ,中任意两点y x ,，定义()y x d ,=()()t y t x b t a -≤≤max . 2 l 空间 记2l ={}? ??? ??∞<=∑∞ =∞ =12 1 k k k k x x x .设{}∞==1k k x x ，{}∞==1k k y y ∈2l ，定义 ()y x d ,=()2 112?? ? ??-∑∞ =i i i y x . 二 度量空间的进一步例子 例1 设X 是任意非空集合，对于∈?y x ,X ，令