第二节 证明（二）
——垂直平分线与角平分线
【知识要点】
1．你知道线段的垂直平分线如何运用尺规作图吗?从做法上你得到什么启示? 2．你知道如何运用尺规作图做已知角的平分线吗?从做法上你得到什么启示? 3．你能说明为什么三角形的外心和心相交于一点吗?
4．你能举出一些运用三角形外心和心来解决实际生活问题的例子吗?
【典型例题】
# 例1 如图，AB=AC ，DE 垂直平分AB 交AB 于D ，交AC
于E ．若 ABC ?的周长为28，BC=8，求BCE ?的周长．
# 例2 如图，AB ＞AC ，A ∠的平分线与BC 的
垂直平分线DM 相交于D ，自D 作AB DE ⊥于E ，
AC DF ⊥于F ．求证：BE=CF
A
D
E B
# 例3 如图，在ABC ?中，ο108=∠A ，
AB=AC ，21∠=∠．求证：BC=AC+CD
# 例4 如图，AB=AC ，C B ∠=∠，BAC ∠的平分线AF
交DE 于F ．求证：AF 为DE 的垂直平分线．
A
E F
B
D C
例5 如图，P 为ABC ?的BC 边的垂直平分线PG 上
一点，且A PBC ∠=∠2
1
．BP ，CP 的延长线分别交
AC ，AB 于点D ，E ．求证：BE=CD
例6 如图，在ABC ?中，C ABC ∠=∠3，
21∠=∠，BD AD ⊥．求证：AC=AB+2BD
C
G
A
E
B
D
P
例7 如图，已知AD 是ABC ?中A ∠的平分线，DE//AC 交AB 于E ，DF//AB 交AC 于F ． 求证：点E ，F 关于直线AD 对称
* 例8 如图，在ABC ?中，AB ＞BC ，ο60=∠B ，BAC ∠，
ACB ∠的平分线交于点G ．
（1）图中是否有相等的线段？若 有，请写出相等的线段，并证明．（2）图中线段AC 是否等于 其他两条线段的和？若有，请写出等式，并证明；若无，请 说明理由．
* 例9 如图，ABC ?是边长为1的正三角形，BDC ?
是顶角ο
120=∠BDC 的等腰三角形，以D 为顶点作一 个ο
60角，角的两边分别交AB 于M ，交AC 于N ，连接 MN ，形成AMN ?．求证：AMN ?的周长等于2
* 例10 设ABC ?的外心为O ，在其边AB 和BC 上分别
取点M 和点N ，使得AOC MON ∠=∠2． 求证：MBN ?的周长不小于边AC 的长．
大展身手
： 成绩：
# 1．如图，已知AC 平分PAQ ∠，点B ，B ′分别在边
AP ，AQ 上，如果添加一个条件，即可推出AB=AB ′，那么 该条件可以是（ ） A ．B B ′⊥AC
B ．BC= B ′
C C ．ACB ∠=AC ∠ B ′
D ．ABC ∠=∠A B ′C
# 2．M ，N ，A ，B 是同一平面上的四个点，如果MA=MB ，NA=NB ，
则点 、 在线段 的垂直平分线上．
# 3．设线段AB 的垂直平分线MN 交AB 于点C ，P 是MN 上不同
于点C 的一点，那么PAB ?是 三角形，PC 是PAB ?的 线、 线和 ．．
# 4．在ABC ?中，E 为BC 中点，BC DE ⊥交AB 于点D ，
若ο
25=∠B ，AD=CD ，则ο
25=∠B ，AD=CD ，则ADC ∠ ，
ACB ∠= ．
# 5．在ABC ?中，AB=AC ，DE 是AB 边的中垂线，垂足为E ，
交AC 于D ．若BDC ?的周长为24，AB=14，则BC= ； 若ο
40=∠A ，则DBC ∠= ．
# 6．在ABC ?中，ο120=∠BAC ．PM 为AB 边的中垂线，
垂足为M ，交BC 于P ；QN 为AC 边的中垂线，垂足为N ，交BC 于Q ，则PAQ ∠= ，或BC=9cm ，则APQ ?的周长为 cm.
# 7．在ABC ?中，B ∠，C ∠的平分线交于D 点，已知
ο100=∠BDC ．则A ∠的度数为 ．
# 8．在ABC ?中，B ∠，C ∠的平分线交于D 点，过D 作
EF ∥BC ，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，若AB=6，AC=5，则AEF ? 的周长为 ．
# 9．如图，在ABC Rt ?中，ο90=∠C ，BE 平分
ABC ∠，交AC 于E ，DE 是斜边AB 的垂直平分线，
且DE=1cm ，则AC= cm.
10．如图，P 为正方形外一点，ο15=∠=∠PBC PAD ， 求证：PDC ?为等边三角形．
11．在ABC ?中，AC BC B C 2,2=∠=∠．求A ∠的度数．
12．如图，在ABC ?中，ABC ∠的平分线与ACB ∠ 的外角平分线相交于点D ，过D 作DE ∥BC ，分别交 AB ，AC 于E ，F ．求证：EF=BE-CF
13．如图，在ABC ?中，AB=AC ，ο
36=∠A ，
21∠=∠，E 为AB 中点，ED 、BC 延长线交于点F ．
求证：AB=CF
* 14．如图，ABC ?中，21∠=∠，AB=2AC ，DA=DB ．
求证：AC ⊥CD
* 15．如图，在ABC ?中，ο90=∠ABC ，ο60=∠ACB ，
BAC ∠和ABC ∠的平分线AD ，BE 相交于点F ．求证：EF=DF
A
B
F E G
C
D
H
* 16．A，B两港在大岸，C港在大岸．A，B，C三港
恰为一等边三角形的三个顶点．A港的甲船与B港的乙船同时出发都沿直线向C港匀速行驶，当乙船行驶出40千米时，甲、乙两船与C港位置恰是一个直角三角形的三个顶点；而当甲船行驶达C港时，乙船尚距C港20千米．问：A，B两港之间的距离是多少千米？
七年级线段的垂直平分线与角平分线 一、线段垂直平分线 (一）、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 例题 1、如图，已知AB = AC = 14cm ，AB 的垂直平分线交AC 于D 。 1）若△DBC 的周长为24cm ，则BC = （ ） cm ； 2）若BC = 8cm ，则△BCD 的周长是（ ）cm 。 课堂练习 1、在△ABC 中，BC=10，边BC 的垂直平分线分别交AB ，BC 于点E ，D ，BE=6，则△BCE 的周长是 ． （1题图） （2题图） （3题图） 2、如图,AB 是△ABC 的一条边，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为E ，并交BC 于点D ，已知AB=8cm,BD=6cm,那么EA=________, DA=____. 3、如图，在△ABC 中，AB=AC=16cm ，AB 的垂直平分线交AC 于D ，如果BC=10cm ，那么 △BCD 的周长是_______cm. 4、如图，已知点D 在AB 的垂直平分线上，如果AC=5cm,BC=4cm,那么△BDC 的周长是 cm 。 5、如图（2），在ABC Rt ?中，090=∠ABC ，030=∠B ，BC 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ，则图中等于060的角有 个，分别是： . C B A D E 300 D E B C A 图（2）
6、如图（3），在ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点N ，则 . 7、如图，∠ABC=50°，AD 垂直且平分BC 于点D ，∠ABC 的平分线BE 交AD 于点E ，连接EC ，则∠AEC 的度数是( ) 8、已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线 交AC 于D ，垂足为E ．若∠A=30°，DE=2，求∠DBC 的度数和CD 的长． 9、如图，已知P 点是∠AOB 平分线上一点，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足为C 、D ， （1）∠PCD=∠PDC 吗？ 为什么？ （2）OP 是CD 的垂直平分线吗？ 为什么？ 10、如图所示，点A 、点B 和点C 三点表示三个工厂，现要建一供水站，使它到这三个 工厂的距离相等，请在图中标出供水站的位置P ，请给予说明理由。 A B C 500B C N A 图（3）
l.如图1，点H在QR边上，PH所在的直线是△PQR的对称轴，PQ≠QR，MH∥PR交PQ于点M，下列结论:①HM=PM; ②HM=QM;③M是PQ的中点; ④HM平分∠PHQ;⑤HM⊥PQ，其中正确的结论是(填序号) 2.如图2，在△ABC中.直线l为BC边的垂直平分线，直线l与∠ACB的角平分线相交于点P，如果∠ACP=15°，∠BAC = 100°，那么∠A BP = 3.如图3，在△AB C中，∠C=90°，AD为角平分线，BC=32cm，BD:CD = 9:7，加点D到AB的距离为 4.如图4，△ABC绕顶点A旋转到△ADE的位置，BC与DE相交于点F. 给出下列结论:①BC=DE;②③FA平分∠CFD;④∠CAE=∠BAD;⑤∠CAE =∠BFD;⑥AC=CF.其中正确的结论有 5.(1) ABC中， ED AC于点D，交 AB于E，AC=5，BC=4，求△BCD的周长 (2)如图，在△ABC中，DE⊥BC.交AC于点E.垂足为D.若BC=10cm.△A BE的周长为15cm，△ABC的周长为25cm.判断D 是BC的中点. 6.(1)如图在△ABC中，AB=AC，BC=12，∠BAC = 120°，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点G，垂足分别为D，F.求∠EAG的度数和△AEG的周长. (2)如图，在△ABC中，BC=12，∠BAC = 100°，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点G，求∠EAG的度数和△AEG的周长. (3)如图，△ABC中，BC=12，∠BAC =70°，AB的垂直平分线交BC边于点E，垂足为D，AC的垂直平分线交BC边于点G，垂足为F.能否求出∠EAG的度数和△AEG的周长?
垂直平分线与角平分线 主讲教师：傲德 我们一起回顾 1、垂直平分线 2、角平分线 重难点易错点解析 垂直平分线 题一：AC=AD，BC=BD，则有（） A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB 角平分线 题二：如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（） A．P A=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP 金题精讲 题一：如图，AB=AC，AC的垂直平分线MN交AB于D，交AC于E． （1）若∠A=40°，求∠BCD的度数； （2）若AE=5，△BCD的周长17，求△ABC的周长． 题二：在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，∠ABC，∠ACB的平分线交于P点，PE⊥BC于E 点，求PE的长． 题三：如图，AD为△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点E、交BC的延长线于点F，AC于EF交于点O． （1）求证：∠3=∠B；（2）连接OD，求证：∠B+∠ODB=180°． 题四：如图，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的角平分线．求证：AC+CD=AB． 思维拓展 题一：小傲做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中AB=AD，CB=CD． （1）小德同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为AC⊥B D，垂足为点E，并且BE=ED，你同意小德的判断吗？为什么？ （2）设AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积． 学习提醒 重点： 垂直平分线 性质——垂直平分线上一点到线段两端距离相等 判定——到线段两端距离相等的点在其垂直平分线上 角平分线 性质——角平分线上一点到角两边距离相等 判定——到角两边距离相等的点在角平分线上
§5.6 几何证明举例（2） 教学目标： 1. 学生能够证明等腰三角形的性质定理和判定定理。 2. 会运用等腰三角形的性质和判定进行有关的证明和计算。 3. 应用等腰三角形的性质和判定进一步认识等边三角形。 4. 培养学生分析问题和逻辑推理的能力。 教学重、难点： 重点：会证明等腰三角形的性质定理和判定定理。 难点：等腰三角形的性质定理和判定定理的应用。 教学准备： 电子白板、直尺、圆规、直角三角板 教学过程 一、情境导入、复习回顾 1、等腰三角形的性质是什么，这个命题的逆命题是什么？ 二、交流展示(鼓励学生自己写出证明的过程，注意几何证明的三步) （1）“等腰三角形的两个底角相等”是真命题吗？怎样证明。 证明：等腰三角形的两个底角相等。 已知：如图，在△ABC中，AB=AC 求证：∠B=∠C 法1 证明：过点A作∠BAC的角平分线交BC于点D ∴∠BAD = ∠CAD (角平分线定义) 在△BAD与△CAD中 ∵AB = AC (已知) ∠BAD = ∠CAD (已证) AD = AD (公共边) ∴△BAD≌△CAD(SAS) ∴∠ B = ∠ C (全等三角形对应角相等) 法2 证明：作BC边上的中线 AD ∴ BD = CD (中线定义) 在△BAD与△CAD中 ∵AB = AC (已知) BD = CD （已证） AD = AD (公共边) ∴△BAD≌△CAD( SSS )
∴∠B = ∠ C (全等三角形对应角相等) （2）“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是真命题吗，怎样证明它的正确性？ 证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形。 已知：如图，在如图，在△ABC中，∠B=∠C 求证：AB=AC 证明：作AD⊥BC,垂足为D 则∠ADB=∠ADC=90°(垂直的定义)， 在△ABD和△ACD中， ∵∠B=∠C (已知)， ∠ADB=∠ADC=90°(已证) AD=AD (公共边) ∴△ABD≌△ACD (AAS) ∴AB=AC(全等三角形的对应边相等) (3) 利用等腰三角形的性质定理和判定定理证明： (鼓励学生当老师讲给其他同学听) ①等边三角形的每个内角都是60° ②三个角都相等的三角形是等边三角形。 三、精讲点拨： 1、等腰三角形的性质： 性质1： 性质2： 2、数学语言表达： 性质1：性质2： 在△ABC ∵ AB=AC ∵ AB=AC ∴∠B= ∠C ① AD平分∠BAC （等边对等角） ②AD⊥BC ③ BD=DC ( ①,② ,③均可作为一个条件，推出其他两项 ) （三线合一） 四、典例精析 例1 已知，D是△ABC内的一点，且DE=DC，BD平分∠ABC,CD平分∠ACB 求证：AB=AC
第二节 证明（二） ——垂直平分线与角平分线 【知识要点】 1．你知道线段的垂直平分线如何运用尺规作图吗?从做法上你得到什么启示? 2．你知道如何运用尺规作图做已知角的平分线吗?从做法上你得到什么启示? 3．你能说明为什么三角形的外心和内心相交于一点吗? 4．你能举出一些运用三角形外心和内心来解决实际生活问题的例子吗? 【典型例题】 # 例1 如图，AB=AC ，DE 垂直平分AB 交AB 于D ，交AC 于E ．若 ABC ?的周长为28，BC=8，求BCE ?的周长． # 例2 如图，AB ＞AC ，A ∠的平分线与BC 的 垂直平分线DM 相交于D ，自D 作AB DE ⊥于E ， AC DF ⊥于F ．求证：BE=CF A
# 例3 如图，在ABC ?中，ο108=∠A ， AB=AC ，21∠=∠．求证：BC=AC+CD # 例4 如图，AB=AC ，C B ∠=∠，BAC ∠的平分线AF 交DE 于F ．求证：AF 为DE 的垂直平分线． A E F B D C
例5 如图，P 为ABC ?的BC 边的垂直平分线PG 上 一点，且A PBC ∠=∠2 1 ．BP ，CP 的延长线分别交 AC ，AB 于点D ，E ．求证：BE=CD 例6 如图，在ABC ?中，C ABC ∠=∠3， 21∠=∠，BD AD ⊥．求证：AC=AB+2BD C G A E B D P
例7 如图，已知 AD 是 ABC ?中A ∠的平分线， DE ABC ?ο 60=∠B BAC ∠ACB ∠ABC ?BDC ?ο120=∠BDC ο60AMN ?AMN ?ABC ?AOC MON ∠=∠2MBN ?AC PAQ ∠ACB ∠AC ∠ABC ∠PAB ?PAB ?ABC ?BC DE ⊥ο25=∠B ο25=∠B ADC ∠ACB ∠ABC ?BDC ?ο40=∠A DBC ∠ABC ?ο120=∠BAC PAQ ∠9cm APQ ? # 7．在ABC ?中，B ∠，C ∠的平分线交于D 点，已知 ο100=∠BDC ．则A ∠的度数为 ． # 8．在ABC ?中，B ∠，C ∠的平分线交于D 点，过D 作 EF ∥BC ，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，若AB=6，AC=5，则AEF ? 的周长为 ． # 9．如图，在ABC Rt ?中，ο90=∠C ，BE 平分 ABC ∠，交AC 于E ，DE 是斜边AB 的垂直平分线， 且DE=1cm ，则AC= cm. 10．如图，P 为正方形外一点，ο15=∠=∠PBC PAD ， 求证：PDC ?为等边三角形．
角平分线与垂直平分线知识点 一、角平分线 1.角平分线可以得到两个相等的角。（角平分线的定义） ∵AD是∠CAB的角平分线 1∠CAB ∴∠CAD=∠B AD= 2 2.角平分线上的点到角两边的距离相等。（角平分线的性质） ∵AD是∠CAB的角平分线，DC⊥AC ，DB⊥AB ∴DC=DB 3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。三角形的内心到三角形三边的距离相等。 4.到角两边的距离相等的点在角平分线上。（角平分线的判定） ∵DC⊥AC ，DB⊥AB，DC=DB ∴点D在∠CAB的角平分线上。 二、角平分线图模（对称性） 1、角平分线作垂线 角平分线+垂直一边：“图中有角平分线，可向两边作垂线，作完垂线全等必出现” 若PA⊥OM于点A，可以过P点作PB⊥ON于点B，则PB=PA。利用角平分线的性质定理，可以得到?OAP≌?OBP（AAS）。
2、角平分线+垂线：“角分垂必延长”垂直角分线，等腰全等现。 若AP⊥OP于点P，可延长AP交ON于点B，构造△AOB是等腰三角形，P是底边AB的中点，三线合一，?OAP≌?OBP（ASA）。 3、角平分线+斜线：“截等长构造全等” 若点A是射线OM上任意一点，可以在ON上截取OB=OA，连接PB，构造△OPB≌△OPA（SAS）。 4、角平分线+平行线：“角平分线+平行线，等腰三角形必出现” 若过P点作PQ∥ON交OM于点Q，利用平行的内错角相等及等角对等边 可以得到△POQ是等腰三角形。 5、角平分线+对角互补：“截长补短构造全等”
6、夹角模型 ①双内角角平分线模型：BP、CP分别是∠ABC、∠ACE的角平分线，则： ∠P=90°+1 2∠A． ②内角和外交角平分线模型：BP、CP分别是∠ABC、∠ACE的角平分线，则： ∠P=1 2∠A． ③双外角角平分线模型：BP、CP分别是∠CBD、∠BCD的角平分线，则： ∠D=90°-1 2∠B． 在∠AOB中，画角平分线： 1.以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交∠AOB两边于点M，N。 2.分别以点M，N为圆心，以大于1 2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P。 3.作射线OP。射线OP就是所求作的∠AOB的角平分线。 三、垂直平分线（中垂线）
几何证明举例——等腰三角形教学设计 教学目标 1、初步掌握等腰三角形的性质及简单应用。 2、理解等腰三角形和等边三角形的性质定理之间的关系。 3、培养分类讨论、方程的思想和添加辅助线解决问题的能力。 教学重点和难点 重点是等腰三角形性质的应用； 难点是等腰三角形的“三线合一”性质的灵活运用。 教学过程设计 一、探索并证明等腰三角形的三条性质复习引入新课： 动手操作 你还记得八(上)用折叠的方法探索命题“等腰三角形的两个底角相等”的过程吗？（学生事先准备好纸剪的等腰三角形操作）。展示等腰三角形折叠动画。 二、新课探索新课探索一：等腰三角形的性质定理和判定定理 1、回答下面的问题，并与同学交流： (1)“等腰三角形的两个底角相等”是真命题吗?怎样证明? (2)说出命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题； (3)这个逆命题是真命题吗?怎样证明它的正确性? 2、知识点1：等腰三角形的性质定理1 等腰三角形的两个底角相等。(等边对等角) （1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） （2）符号语言：如图，在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C 温馨提示一： 回顾八(上)用折叠的方法探索命题“等腰三角形的两个底角相等”的过程。由当时的操作，如何添加辅助线，然后给出证明。注意作辅助线的方法可有多种，如作底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线，相应地，在判定两个三角形全等时的依据也不同。 例4如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。 3、方法点拨 （3）证明一：取BC的中点D，连接AD 在△ABD和△ACD中 ∴△ABD≌△ACD（SSS） ∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等)
线段的垂直平分线与角的平分线 一、选择题 1．如图1，在△ABC 中，AD 平分∠CAE ，∠B=30?，∠CAD=65?，则∠ACD 等于 （ ） A ．50? B ．65? C ．80? D ．95? 2．如图2，在△ABD 中，AD=4，AB=3，AC 平分∠BAD ，则:A B C A C D S S ?? = （ ） A ．3:4 B ．4:3 C ．16:19 D ．不能确定 3．如图3，在△ABC 中，∠C=90?，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，则下列结论：①AD 平分∠CDE ； ②∠BAC=∠BDE ；③DE 平分∠ADB ；④BE+AC=AB 。其中正确的有 （ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．1个 4．如图4，AD ∥BC ，∠D=90?，AP 平分∠DAB ，PB 平分∠ABC ，点P 恰好在CD 上，则PD 与PC 的大小关系是 （ ） A ．PD>PC B ．PD
5.角平分线、垂直平分线 知识考点： 了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。 精典例题： 【例题】如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝300，AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：CF ＝2BF 。 分析一：要证明CF ＝2BF ，由于BF 与CF 没有直接联系，联想题设中EF 是中垂线，根据其性质可连结AF ，则BF ＝AF 。问题转化为证CF ＝2AF ，又∠B ＝∠C ＝300，这就等价于要证∠CAF ＝900，则根据含300角的直角三角形的性质可得CF ＝2AF ＝2BF 。 分析二：要证明CF ＝2BF ，联想∠B ＝300，EF 是AB 的中垂线，可过点A 作AG ∥EF 交FC 于G 后，得到含300角的Rt △ABG ，且EF 是Rt △ABG 的中位线，因此BG ＝2BF ＝2AG ，再设法证明AG ＝GC ，即有BF ＝FG ＝GC 。 例题图1 F E C B A 例题图2 G F E C B A 分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作AD ⊥BC 于D ，则BD ＝CD ，考虑到∠B ＝300，不妨设EF ＝1，再用勾股定理计算便可得证。 以上三种分析的证明略。 例题图3 D F E C B A 问题图 3 2 1E D C B A 探索与创新： 【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题： 三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。如图，△ABC 中，AD 是角平分线。求证： AC AB DC BD = 。 分析：要证 AC AB DC BD = ，一般只要证BD 、DC 与AB 、AC 或BD 、AB 与DC 、AC 所在三角形相似，现在B 、D 、C 在同一条直线上，△ABD 与△ADC 不相似，需要考虑用别的方法换比。我们注意到在比例式 AC AB DC BD =中，AC 恰好是BD 、DC 、AB 的第四比例项，所以考虑过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E ，从而得到BD 、CD 、AB 的第四比例项AE ，这样，证明 AC AB DC BD =就可以转化为证AE ＝AC 。 证明：过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E
垂直平分线与角平分线 【专题简介】 我们生活在一个充满对称的世界中,从自然景观到艺术作品,从建筑物到交通标志,甚至日常生活用品中,人们都可以找到对称的影子.中垂线和角平分线是重要的轴对称条件,与之相关的辅助线技巧也非常丰富 【学习目标】 1.理解中要线的性质及其常规辅助线 2.找找与角平分线相关的辅助线证法 模块一 垂直平分线的性质和判定 平分线的性质和判定 垂直平分线的定义:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线 垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 垂直平分线的判定:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 【例1】如图,AB=AC,BD=CD,E 是AD 廷长线上一点,求证:BE=CE B C A E 【练1】证明:三角形三边的垂直平分线交于一点 【例2】△ABC 的两边AB 和AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E ；若∠BAC+∠DAE=150°,求∠BAC D E A B C
【练2】△ABC 中，∠B=22.5°，边AB 的垂直平分线交BC 于D ，DF ⊥AC 于F ，交BC 边上高于G ，求证：EG=EC E D B C A 模块二 角平分线 角平分线的性质与判定: （1）定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线 （2）角平分线的性质定理 如果一条射线是一个角的平分线,那么它把这个角分成两个相等的角.在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 （3）角平分线的判定定理 如果一条射线的端点与角的顶点重合,且把一个角分成两个等角,那么这条射线是这个角的分线:在角的内部,到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。 强化挑战 【例3】△ABC 中,D 为BC 中点,DE ⊥BC 交∠BAC 的平分线于点E,EF ⊥AB 于F ；EG ⊥AC 的延长线于G.求证:BF=CG.
线段的垂直平分线与角平分线(1) 知识要点详解 1、线段垂直平分线的性质 （1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等. 定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC. 定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线性质定理的逆定理 （1）线段垂直平分线的逆定理： 到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上. 定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上 . 3、关于三角形三边垂直平分线的定理 （1）关于三角形三边垂直平分线的定理： 三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC. 定理的作用：证明三角形内的线段相等. （2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系： 图1 图2
若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形. 经典例题： 例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm 课堂笔记： 针对性练习： ：1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点 E ，如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC= 2) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果 BC=8cm ，那么△EBC 的周长是 3） 如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28 度，那么∠EBC 是 例2. 已知： AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点，求证：BE=CE 。 课堂笔记： 针对性练习： 已知：在△ABC 中，ON 是AB 的垂直平分线,OA=OC 求证：点O 在BC 的垂直平分线 例3. 在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC 的底 B D E B A C O N A
角平分线垂直平分线及辅 助线专题 Prepared on 22 November 2020
1在ABC 中，90C ∠=°，AD 是CAB ∠的平分线，DE AB ⊥于E ，且4BE cm =，5BD cm =则，BC =＿＿＿＿＿＿＿ 2.如图，已知,AC BC AD ⊥平分,BAC DE AB ∠⊥，下列结论正确的是（ ） A BD+ED=BC B DE 平分ADB ∠ C DA 平分EDC ∠ D D E AC AD +> 3.如图ABC 中，90C ∠=°，AD 平分BAC ∠，交BC 于D ，若 10,6BC BD ==，则点D 到AB 的距离是 4.如图所示，ABC 中，90C ∠=°，,AC BC AD =平分CAB ∠，交BC 与点D ，DE AB ⊥垂足与E ，且6AB cm =，则DEB 的周长为＿＿＿＿ 5.在ABC 中，90ACB ∠=°，4,3AC BC ==，AD 平分CAB ∠，交BC 于点D ，若DE AB ⊥，垂足为E ，求BDE 的周长＿＿＿＿＿
6.如图，ABC 中，90C ∠=°， ,AC BC AD =平分CAB ∠交BC 于点D ， DE AB ⊥，垂足为E ，且4AB =，则DEB 的周长为＿＿＿ 7.如图，在ABC 中，90ACB ∠=°，BE 平分 ,ABC DE AB ∠⊥于D ，如果 6,10,BC cm AB cm ==求①AE DE +的长②DE 的 长 8.如图所示，105BAC ∠=°，若PM 和NQ 分别垂直平分AB 和AC ，求PAQ ∠的度数 9.如图，ABC 中，125BAC ∠=°，AB 边的垂直平分线交BC 于E ，垂足为M ，AC 边的垂直平分线交BC 于F ，垂足为N ，求EAF ∠的度数
角平分线和垂直平分线 [知识目标] 1、角平分线 （1）性质：角平分线上的点到角两边距离相等。 （2）判定：到角两边距离相等的点在角平分线上。 角平分线是到角两边距离相等的所有点的集合 2、垂直平分线： （1）性质：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等。 （2）判定：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。 线段的垂直平分线是到线段两端点距离相等的点的集合。 3、轴对称的特征： （1）全等：形状大小完全相同 （2）对称点的连线被对称轴垂直平分。 [典型例题] 角平分线和垂直平分线的尺规作图： 1、如图，a,b表示两条公路，A，B表示两个城镇，要建一座电视信号发射塔，使发射塔至两条公路的距离相等，到两个城镇的距离也相等，发射塔应建在何处？在图上找到它的位置。 b 2、如图，请你找出一个点P，使P点到A、B两点的距离相 等，并且使P在∠ACB的平分线上。 C 3、如图所示，M、N为三角形ABC边AB与AC上两点，在BC上求作一点P，使三角 形PMN的周长最小。 4、如图，已知E、F分别是△ABC的边AB和AC上的两个定点，问在BC上能否找到 一点M，使得△EFM的周长最小？
● 角平分线的性质与判定 1、如图所示，已知AB=AC ，PB=PC ，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别是D 、E ，求证：PE=PD 2、如图所示,△ABC 中,∠C=900,AC=BC,DA 平分∠CAB 交BC 于D 点,部能否在AB 上确定一点E,使△BDE 的周长等于AB 的长,请说明理由. 4、如图, ∠C=∠B=900,M 为BC 的中点,AM 平分∠DAB,(1)求证:DM 平分∠ADC(2)求∠DMA 的度数 5、如图,已知,P 为∠AOB 内一点,过点P 的两条直线PD ⊥OB,PC ⊥OA,垂足分别是D 、C ，交OA 、OB 于M 、N 。 （1） 若点P 在∠AOB 的平分线上，求证：MD=NC （2） 若MD=NC ，求证：点P 在∠AOB 的平分线上 ● 角平分线的对称性 3、如图,在△ABC 中, ∠C=2∠B, ∠1=∠2,求证:AB=AC+CD A A B E C A B M N B C D
几何证明举例——有关全等三角形的证明 第一课时 教学目标： 1、会证明“AAS”定理，并会应用三角形全等的判定方法证明 三角形全等。 2、根据判定两个三角形是否全等，进而推证有关线段和角相等。 3、知道证明的过程有不同的表达形式，学会综合法证明的书写 格式。 4、在证明过程中体会数学的转化思想。 学习过程 一、复习引入 1、同学们还记得有关全等三角形的几个基本事实吗? 2、全等三角形的判定方法有哪些？它有什么性质？ 其中哪些是基本事实？ 3、几何证明的步骤是什么？ 二、探究证明 1、求证：如果一个三角形的两角及其中一角的对边与另一个三角形的两角及其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等。
2、 例 已知：如图，AB =AC ，DB =DC . 求证：∠B =∠C . 3、变式1、 已知：如上图，AB =AC ，∠B =∠C . 求证： DB =DC . 练习、已知：如图，PB =PC ，CE 、BD 相交于点P ，∠BDA =∠CEA. 求证：AB =AC. A C B D
5、合作与探究 两个全等三角形的对应边上的高线、对应边上的中线、对应角的平分线有什么性质呢？ 三、课堂小结 1、判定三角形全等的方法有:————————————————————————————。 2、证明全等的思路： 3、利用三角形全等可以得到线段相等或角相等. 4、证明两条线段（或角）相等的方法： C A B D P E
四、当堂达标 1、如图,已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（）A．甲和乙Ｂ．乙和丙Ｃ．只有乙Ｄ．只有丙 2．如图,已知MB＝ND,∠MBA＝∠NDC,下列不能判定△ABM≌△CDN的条件是（） A．∠M＝∠N B．AB＝CD C．AM＝CN D．AM∥CN 3．某同学把一块三角形的玻璃打碎也成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是（） A．带①去B．带②去 c . 带③去 D．带①和②去 4：如图，AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD
垂直平分线与角平分线（讲义） 知识点睛 1.垂直平分线相关定理： ①线段垂直平分线上的点到这条线段___________________； ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平 分线上． 2.角平分线相关定理： ①角平分线上的点到这个角的_____________________； ②在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平 分线上． 精讲精练 1.如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，交AC于点 E，垂足为点D．若BE+CE=12，BC=8，则△ABC的周长为___________． 第1题图第2题图 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，DE是线段AB 的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E．若DE=1，则线段AC的长为________． 3.如图，在△ABC中，DE，GF分别是AC，BC的垂直平分线， AD=8，BG=10．若AD⊥CD，则DG的长为_______．
4.如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE． 求证：OE垂直平分BD． 5.如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AB=8，BC=6．若 S△ABC=14，则DE=__________． 第5题图第6题图 6.如图，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，且PC=PD，点E 在射线OA上，若∠AOB=60°，∠OPE=80°，则∠AEP的度数为_________． 7.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交 于点O，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为点D，E． 求证：OD=OE．
8.已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于 点F，求证：点F在∠DAE的平分线上． 9.如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，点C在x 轴正半轴上，且OC=OB，点D位于x轴上点C的右侧，连接BC，∠BAO和∠BCD的平分线AP，CP相交于点P，连接BP，则∠PBC的度数为__________．
第4讲角平分线、垂直平分线 本讲知识归纳 1．(1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； (2)与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 2．三角形三条边的垂直平分线交于一点（称为三角形的外心），这点到三角形三顶点的距离相等． 基础回顾 例1 已知，如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，P是AD上任一点．求证：PE=PF． · 例2 如图，在平面直角坐标系中，AF、BE为角平分线，MN⊥AF交y轴于N点． (1)求∠AME； (2)求证：AM=MN； (3)连FG，问FG与AB的位置关系并证明， 练习 1．如图，AD为△ABC,的高，∠B=2∠C．求证：CD=AB+BD. [ 2．如图，A（-1，0），B（0，3），∠AB0=30°，∠OAB的角平分线与OB的垂直平分线相交于P点． (1)求P点的坐标； (2)作∠ABO的平分线交AP于M，判断△PBM的形状．
方法运用 例3 如图，∠AOB= 30°，点P是∠AOB内一点，P0=8，在∠AOB的两边上分别有点R、Q(均不同于O). (1)求△PQR周长的最小值； （ (2)当△PQR周长取最小值时，求∠QPR的值． 分析：由对称变换作出符合要求的点Q与R，根据对称的性质，结合已知条件求出∠PQR的周长与∠QPR的值． ) 例4 如图，已知直线MN与MN异侧两点A、B，在MN上求作一点P，使PA-PB最大，并说明理由. … 练习 3．已知，如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB= 90°．D是BC上一点，CD=2，BD=BE，
∠DBE=90°，连接CE，交AB于M，且CE=6．在AB上找一点P，使△PCD周长最小，并求出这个最小值． 4．如图，长方形台球桌ABCD上，一球从AB边上某处P点出发，分别撞击球桌的边BC、CD、DA各一次后，又回到出发点P处，每次球撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所 成的角相等(如图中∠α=∠β).已知AB=3，BC=4，求此球所走路线的总长度. $ 问题探究 例5 如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（-1，0），点C的坐标是(1，0)，点D为y轴上一点，点A为第二象限内一动点，且∠BAC=2∠BDO，过D作DM⊥AC于M． (1)求证：∠ABD=∠ACD； (2)若点E在BA延长线上，求证：AD平分∠CAE； (3)当A点运动时，AC AB AM - 的值是否发生变化若不变，求其值，若变化，请说明理 由． … 例6已知等腰△ABC和等腰△ADE的顶点公共，B、A、E在同一条直线上，∠BAC=∠DAE，PB=PD,PC=PE．
3.线段的垂直平分线 4.角平分线 例1：（1）在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线交AB 于N ，交BC 的延长线于M ，∠A ＝0 40，求∠NMB 的大小 （2）如果将（1）中∠A 的度数改为070，其余条件不变，再求∠NMB 的大小 （3）你发现有什么样的规律性？试证明之. （4）将（1）中的∠A 改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改 例2：在△ABC 中，AB 的中垂线DE 交AC 于F ，垂足为D ，若AC=6，BC=4，求△BCF 的周长。 例3：如图所示，AC=AD ，BC=BD ，AB 与CD 相交于点E 。求证：直线AB 是线段CD 的垂直平分线。 例4：如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=1200，D 、F 分别为AB 、AC 的中点，DE AB FG AC ⊥⊥，，E 、G 在BC 上，BC=15cm ，求EG 的长度。 例5:：如图所示，Rt △ABC 中，，D 是AB 上一点，BD=BC ，过D 作AB 的垂线交AC 于点E ，CD 交BE 于点F 。求证：BE 垂直平分CD 。 例6:：在⊿ABC 中，点O 是AC 边上一动点，过点O 作直线M N ∥BC ，与 ∠ACB 的角平分线交于点E ，与∠ACB 的外角平分线交于点F ，求证：OE=OF D ，自D 作D E AB ⊥于M=20°； AB 的垂直平分线与底边BC 则有∠B= 1/2（180°-α），∠M=90°- 1/2（180°-α）= 1/2α． （4）改为钝角后规律成立．上述规律为：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半． 例2：解：连接BF ，由线段的垂直平分线的性质可得，FB ＝FA 又因为AC ＝AF+CF ＝6，所以BF+CF ＝6△BCF 的周长＝BC+CF+BF ＝4+6＝10 例3：证明：因为AC=AD 所以A 在线段CD 的垂直平分线上 又因为BC=BD 所以B 在线段CD 的垂直平分线上 所以直线AB 是线段CD 的垂直平分线 例4：解：作AH ⊥BC 于H ，HC=15/2 ∵等腰 A B C N M A B C N M A B C N M
八年级数学《线段的垂直平分线与角平分线》练习题 班级姓名 一、选择题 1．如图1，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交 边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 2.如图，AC=AD，BC=BD，则（） A.CD垂直平分AD B.AB垂直平分CD C.CD平分∠ACB D.以上结论均不对 3.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部， 那么，这个三角形是（） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 4.下列命题中正确的命题有（） ①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5 cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（） A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm 二．填空题 1、如图，（1)、AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E， 如果△EBC的周长是24cm，那么BC= （2）、AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E， 如果BC=8cm，那么△EBC的周长是 （3）、AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E， 如果∠A=28°，那么∠EBC是 2.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线 ．．．．．相交所成锐角为50°， △ABC的底角∠B的大小为_______________。 3. △ABC中，AB=AC，AC的中垂线交AB于E，△EBC的周长为21cm，AB=2BC，则腰长为________________。 三．解答题 1、已知：在△ABC中，ON是AB的垂直平分线,OA=OC，求证：点O在BC的垂直平分线上
C A B C D E P 图 ⑴ 5.6 几何证明举例 1、已知：在△ABC 中，∠A=900，AB=AC ，在BC 上任取一点P ，作PQ ∥AB 交AC 于Q ，作PR ∥CA 交BA 于R ，D 是BC 的中点，求证：△RDQ 是等腰直角三角形. C B 2、已知：在△ABC 中，∠A=900，AB=AC ，D 是AC 的中点，AE ⊥BD ，AE 延长线交BC 于F ，求证：∠ADB=∠FDC. 3、已知：在△ABC 中BD 、CE 是高，在BD 、CE 或其延长线上分别截取BM=AC 、CN=AB ，求证：MA ⊥NA. 4、已知：如图(1)，在△ABC 中，BP 、CP 分别平分∠ABC 和∠ACB ，DE 过点P 交AB 于D ，交AC 于E ，且DE ∥BC ．求证：DE －DB=EC ．
5、在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，O为BC的中点. (1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系(不要求证明)； (2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN＝BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论. 6、如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，AE=BD， 连结EC、ED，求证：CE=DE 7、如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC 且BC＝10，求△DCE的周长. A B C O M N
几何证明习题答案 1. 连接AD,由△ABC为等腰直角三角形可得AD垂直AC,且 AD=BD,∠DAQ=∠DBR=45度, 又由平行关系得,四边形RPQA为矩形,所以AQ=RP, △BRP也是等腰直角三角行,即BR=PR,所以AQ=BR 由边角边,△BRD全等于△AQD,所以∠BDR=∠ADQ,DR=DQ, ∠RDQ=∠RDA+∠ADQ=∠RDA+∠BDR=90度, 所以△RDQ是等腰RT△. 2. 作AG平分∠BAC交BD于G ∵∠BAC=90°∴∠CAG= ∠BAG=45° ∵∠BAC=90°AC=AB ∴∠C=∠ABC=45° ∴∠C=∠BAG ∵AE⊥BD ∴∠ABE+∠BAE=90° ∵∠CAF+∠BAE=90°∴∠CAF=∠ABE ∵ AC=AB ∴△ACF ≌△BAG ∴CF=AG ∵∠C=∠DAG =45°CD=AD ∴△CDF ≌△ADG ∴∠CDF=∠ADB 3. 易证△ABM≌△NAC．∠NAM＝∠NAE＋∠BAM＝∠NAE＋ANE＝90° 4. 略 5.（1）因为直角三角形的斜边中点是三角形的外心， 所以O到△ABC的三个顶点A、B、C距离相等； （2）△OMN是等腰直角三角形. 证明：连接OA，如图， ∵AC=AB，∠BAC=90°，∴OA=OB，OA平分∠BAC，∠B=45°， ∴∠NAO=45°，∴∠NAO=∠B， 在△NAO和△MBO 中，