直线和圆锥曲线常考题型
运用的知识： 1、中点坐标公式：1212,y 22
x x y y
x ++=
=，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。 2、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上，
则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，
AB ===
=
或者AB =
==
= 3、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =- 两条直线垂直，则直线所在的向量120v v =
4、韦达定理：若一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c x x x x a a
+=-=。 常见的一些题型：
题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系
例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22
:
14x y C m
+=始终有交点，求m 的取值范围
解：根据直线:1l y kx =+的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆22
:
14x y C m +=过动点04m ≠（，且，如
果直线:1l y kx =+和椭圆22
:
14x y C m
+=14m ≥≠，且，即14m m ≤≠且。 规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：
:101l y kx =+?过定点（，） :(1)1l y k x =+?-过定点（，0） :2(1)1l y k x -=+?-过定点（，2）
题型二：弦的垂直平分线问题
例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2
y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。
解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。
设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。 由2
(1)y k x y x
=+??
=?消y 整理，得2222
(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2
2
4
2
(21)4410k k k ?=--=-+> 即2
1
04
k <<
② 由韦达定理，得：212221,k x x k -+=-121x x =。则线段AB 的中点为22211
(,)22k k k
--。 线段的垂直平分线方程为：
221112()22k y x k k k --=--令y=0,得021122x k =-，则2
11
(,0)22
E k -
ABE ?为正三角形，∴211
(
,0)22
E k -到直线AB 的距离d 。
AB =2
2
1k k =
+d =
2
1
k +=
解得k =05
3
x =。 题型三：动弦过定点的问题
例题3、已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为2，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。
（I ）求椭圆的方程；
（II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论
解：（I ）由已知椭圆C
的离心率2c e a ==，2a =,则得1c b ==。从而椭圆的方程为
2
214
x y += （II ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线1A M 的斜率为1k ,则直线1A M 的方程为1(2)y k x =+，由122
(2)
44y k x x y =+??
+=?
消y 整理得2
2
2
1
2
1
(14
)161640k x k x k +++-
=12x -和是方程的两个根，21121164214k x k -∴-=+则2
112
1
2814k x k -=+，1121414k y k =+，即点M 的坐标为211
22
11
284(,)1414k k k k -++， 同理，设直线A 2N 的斜率为k 2，则得点N 的坐标为2
22
22
22
824(,)1414k k k k --++ 12(2),(2)p p y k t y k t =+=-12122
k k k k t -∴
=-+，直线MN 的方程为：121121
y y y y x x x x --=--，
∴令y=0，得211212x y
x y x y y -=
-，将点M 、N 的坐标代入，化简后得：4x t
=
又
2t >，∴402t
<
<椭圆的焦点为0)4
t
∴
=t =
故当3
t =
时，MN 过椭圆的焦点。
题型四：过已知曲线上定点的弦的问题
例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22
221x y a b
+= (0)a b >>上的三点，其中点A 是椭圆的右顶点，直线BC
过椭圆的中心O ，且0AC BC =，2BC AC =，如图。(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程；(II)若椭圆E 上存在两点
P 、Q ，使得直线PC 与直线QC 关于直线x =
PQ 的斜率。
解：(I)
2BC AC =，且BC 过椭圆的中心O
OC AC
∴=0AC BC =2
ACO π
∴∠=
又
A (23,0)∴点C 的坐标为。
A 是椭圆的右顶点，a ∴=22
2112x y b
+=
将点C 代入方程，得2
4b =，∴椭圆E 的方程为22
1124
x y +=
(II)
直线PC 与直线QC 关于直线x =
∴设直线PC 的斜率为k ，则直线QC 的斜率为k -，从而直线PC 的方程为：
(y k x =-，即)y kx k =+-，由22)3120
y kx k x y ?=-??
+-=??消y ，整理得：
222(13)(1)91830
k x k x k k ++-+--=3x =是方程的一个根，
2
29183
313P
k k x k --∴=+即2
P x =同理可得：2
Q x =
))P Q P Q y y kx k kx k -=-++
＝()P Q k x x +-
22P Q x x -=
13P Q PQ
P Q y y k x x -==- 则直线PQ 的斜率为定值13
。 题型五：共线向量问题
例题5、设过点D(0,3)的直线交曲线M ：22
194
x y +=于P 、Q 两点，且DP DQ l =uuu r uuu r ,求实数l 的取值范围。
解：设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),Q DP DQ l =uuu r uuu r
\(x 1,y 1-3)=l (x 2,y 2-3)即121
23(3)x x y y l l ì=??í
?=+-??? 判别式法、韦达定理法、配凑法
设直线PQ 的方程为：3,0y kx k =+≠，
由22
3
4936y kx x y =+??+=?
消y 整理后，得 22(49)54450k x kx +++=
P 、Q 是曲线M 上的两点
22(54)445(49)k k ∴?=-?+＝2144800k -≥
即2
95k ≥ ① 由韦达定理得：
121222
5445
,4949k x x x x k k
+=-
=++ 21212
1221
()2x x x x x x x x +=++
222
2
54(1)45(49)k k λλ
+∴=+ 即2222
36944
15(1)99k k k λλ+==++ ②
由①得211
095
k <
≤
，代入②，整理得
2369
15(1)5
λλ<
≤+，
解之得
1
55
λ<< 当直线PQ 的斜率不存在，即0x =时，易知5λ=或15
λ=。 总之实数l 的取值范围是1,55??
????
。
题型六：面积问题
例题6、已知椭圆C ：12222=+b
y a x （a ＞b ＞0）的离心率为,36
短轴一个端点到右焦点的距离为3。 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为
2
3
，求△AOB 面积的最大值。
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c
，依题意c a
a ?=???=?
1b ∴=，∴所求椭圆方程为
2
213
x y +=。 （Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，。（1）当AB x ⊥
轴时，AB =。（2）当AB 与x 轴不垂直时，
设直线AB 的方程为y kx m =+
2
23
(1)4
m k =+。 把y kx m =+代入椭圆方程，整理得2
2
2
(31)6330k x kmx m +++-=，
122631km x x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+。22221(1)()AB k x x ∴=+-222222
23612(1)(1)(31)31k m m k k k ??-=+-??++??
22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++24222121212
33(0)341961
23696k k k k k k
=+=+
≠+=++?+++≤。 当且仅当2
2
1
9k k
=
，即k =时等号成立。当0k =
时，AB =， 综上所述max 2AB =。
∴当AB 最大时，AOB △
面积取最大值max 1222
S AB =
??=。 题型七：弦或弦长为定值问题
例题7、在平面直角坐标系xOy 中，过定点C （0，p ）作直线与抛物线x 2=2py （p>0）相交于A 、B 两点。
（Ⅰ）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求△ANB 面积的最小值；（Ⅱ）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l
被以AC 为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由。
（Ⅰ）依题意，点N 的坐标为N （0,-p ）,可设A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2），直线AB 的方程为y=kx+p,与x 2=2py 联立得
???+==.
22p kx y py x 消去y 得x 2-2pkx-2p 2=0.由韦达定理得x 1+x 2=2pk,x 1x 2=-2p 2
.于是21221x x p S S S ACN
BCN ABN -?=+=??? ＝212
21214)(x x x x p x x p -+=-＝.22842
2222+=+k p p k p p
222min 0p S k ABN ==∴?）时，（当.
（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y=a,AC 的中点为为直与AC t O ,'径的圆相交于点P 、Q ，PQ 的中点
为H ，则）点的坐标为（
2,2,11p y x O PQ H O +'⊥'2121)(2121p y x AC P O -+==' ＝22
12
1p y +. ,221211p y a p y a H O --=+-
='222H O P O PH '-'=∴=21221)2(4
1)(41
p y a p y ---+ ＝),()2
(1a p a y p
a -+-
22)2(PH PQ =∴=.)()2(42??
?
???-+-a p a y p a
令02=-
p a ，得p PQ p a ==此时,2为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2
p
y =， 即抛物线的通径所在的直线. 解法2：
（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得
22222122122128414)(11p k p k x x x x k x x k AB +?+=-+?+=-+=
＝.21222+?+k k p 又由点到直线的距离公式得2
12k
p d +=
.
从而，,22122122121222
22+=+?+?+?=??=
?k p k p
k k p AB d S ABN .22max 02p S k ABN ==∴?）时，（当
（Ⅱ）假设满足条件的直线t 存在，其方程为y=a ，则以AC 为直径的圆的方程为
,0))(())(0(11=-----y y p y x x x 将直线方程y=a 代入得
).
(1)2(4))((4,
0))((12
1
112a p a y p a y a p a x y a p a x x x -+?????
?
-=---?=----＝则 设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为P （x 2,y 2）,Q （x 4,y 4）,则有
.)()2(2)()2(41143a p a y p a a p a y p a x x PQ -+-=??
?
???-+-=-=
令p PQ p a p a ===-
此时得,2,02为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2
p
y =. 即抛物线的通径所在的直线。
题型八：角度问题
例题8、（如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN +=（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）若2
·1cos PM PN MPN
-∠＝
,求点P 的坐标.
解：(Ⅰ)由椭圆的定义，点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，长轴长2a =6的椭圆. 因此半焦距c =2，长半轴a =3，从而短半轴
b 22
1.95
x y += (Ⅱ)由2
,1cos PM PN MPN
=
-得cos 2.PM PN MPN PM PN =- ①
因为cos 1,MPN P ≠不为椭圆长轴顶点，故P 、M 、N 构成三角形.在△PMN 中，4,MN =由余弦定理有 2
22
2cos .MN
PM PN PM PN MPN =+- ②
将①代入②，得 2
2
2
42(2).PM PN PM PN =+--
故点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为2
213
x y -=上.
由(Ⅰ)知，点P 的坐标又满足22
195
x y +=，所以 由方程组2222
5945,3 3.x y x y ?+=??+=??
解得x y ?=????
=?? 即P
点坐标为.
问题九：四点共线问题
例题9、设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>
过点M
，且着焦点为1(F
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB =，证明：点Q 总在某定直线上
解 (1)由题意：
2222222211c a b
c a b
?=?
?+=???=-? ，解得22
4,2a b ==，所求椭圆方程为 22142x y += (2)方法一
设点Q 、A 、B 的坐标分别为1122(,),(,),(,)x y x y x y 。 由题设知,,,AP PB AQ QB 均不为零，记AP AQ PB
QB
λ=
=
,则0λ>且1λ≠
又A ，P ，B ，Q 四点共线，从而,AP PB AQ QB λλ=-=
于是 12
41x x λλ-=-， 12
11y y λλ-=-
12
1x x x λλ
+=+， 12
1y y y λλ
+=
+
从而
222
12
2
41x x x λλ-=-，（1）
222
122
1y y y λλ-=-，（2）
又点A 、B 在椭圆C 上，即
22
1124,
(3)x y += 22
2224,
(4)x y +=
（1）+（2）×2并结合（3），（4）得424s y += 即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上 方法二
设点1122(,),(,),(,)Q x y A x y B x y ，由题设，,,,PA PB AQ QB 均不为零。 且
PA PB AQ
QB
=
又 ,,,P A Q B 四点共线，可设,(0,1)PA AQ PB BQ λλλ=-=≠±,于是
1141,11x y
x y λλλλ--=
=
-- （1） 2241,11x y
x y λλλλ
++==++ （2） 由于1122(,),(,)A x y B x y 在椭圆C 上，将（1），（2）分别代入C 的方程2
2
24,x y +=整理得
222(24)4(22)140x y x y λλ+--+-+= （3） 222(24)4(22)140x y x y λλ+-++-+= (4)
(4)－(3) 得 8(2
2)0x y λ+-=
0,220x y λ≠+-=∵∴
即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上
问题十：范围问题（本质是函数问题）
设1F 、2F 分别是椭圆14
22
=+y x 的左、右焦点。 （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求1PF ·2PF 的最大值和最小值；
（Ⅱ）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围。
解：
（Ⅰ）解法一：易知2,1,a b c ===
所以(
))
12
,F F ，设(),P x y ，则
(
))
2212,,
,3PF PF x y x y x y ?=--=+-()22
21
133844
x x x =+--=-
因为[]2,2x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ?有最小值2- 当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ?有最大值1
解法二：易知2,1,a b c ===
(
))
12
,F F ，设(),P x y ，则
2
2
2
1212
12
1212121
2
cos 2PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF +-?=??∠=??
?
((2
2
2
2221
1232x y x y x y ??=+++-=+-?
???
（以下同解法一）
（Ⅱ）显然直线0x =不满足题设条件，可设直线()()1222:2,,,,l y kx A x y B x y =-，
联立22
2
1
4
y kx x y =-???+=??，消去y ，整理得：22
14304k x kx ??+++= ???
∴12122243,114
4
k x x x x k k +=-
?=
+
+
由()2
2
14434304k k k ???=-+
?=-> ?
?
?
得：2k <
或2k >- 又00
0090cos 000A B A B OA OB <∠??> ∴12120OA OB x x y y ?=+>
又()()()2
121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++2
2223841144k k k k -=++++221
14
k k -+=+
∵
2223
1
01144
k k k -++>++
，即24k < ∴22k -<<
故由①、②得22k -<<-
或
22
k <<
问题十一、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m ，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）
设椭圆E: 22
221x y a b
+=（a,b>0）过M （2
） ，
,1)两点，O 为坐标原点，
（I ）求椭圆E 的方程；
（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
解:（1）因为椭圆E: 22
221x y a b
+=（a,b>0）过M （2
） ，
,1)两点,
所以2222421611a b a b +=+=???????解得2211
8114
a b ?=????=??所以2284a b ?=?=?椭圆E 的方程为22184x y += （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥,设该圆的切线
方程为y kx m =+解方程组2218
4x y y kx m
+==+?????得222()8x kx m ++=,即222
(12)4280k x kmx m +++-=,
则△=2
2
2
2
2
2
164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22
840k m -+>
122212241228
12km x x k m x x k ?
+=-??+?-?=?+?
,22222222212121212222(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++要使OA OB ⊥,需使12120x x y y +=,即22222
28801212m m k k k --+=++,所以22
3880m k --=,所以223808
m k -=≥又2
2
840k m -+>,所以22238
m m ?>?≥?,所以2
83m ≥,
即m ≥
或m ≤,因为直线y kx m =+为圆心在原点的
圆的一条切线,
所以圆的半径为r =,222
228381318
m m r m k ===-++
,3r =,所求的圆为22
83x y +=,此时圆的切线y kx m =+
都满足3m ≥
或3m ≤-,
而当切线的斜率不存在时切线为3
x =±与椭圆22
184
x y +=的两个交点
为(33±
或(,)33-±满足OA OB ⊥,综上, 存在圆心在原点的圆
228
3
x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥.
因为122
2
1224122812km x x k m x x k ?
+=-??+?-?=?+?
, 所以2222
2
21212122222
4288(84)
()()4()41212(12)
km m k m x x x x x x k k k --+-=+-=--?=+++,
||AB ===
==,
①当0k ≠
时||AB =
因为2
2
1448k k +
+≥所以2211
01844k k
<≤++, 所以2
232321[1]1213344
k k
<+≤++
,
||AB <≤
k =”=”. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ②
③ 当0k =时
,||AB =
④ 当AB 的斜率不存在时
,
两个交点为
或(,
所以此时||AB =综上, |AB
|
||AB ≤
: ||AB ∈