极限思想在小学数学教材中的渗透
教育科学学院小学教育专业100401056 赵倩
指导教师苏明强副教授
【摘要】数学教学既要教授知识技能，也要重视学生对数学思想的感悟。极限思想作为小学数学常见的数学思想之一，蕴含在小学数学的诸多知识领域中。本文将立足于小学这一教育阶段，以北师大版小学数学教材为例，针对“极限思想”在教材中的渗透进行初步探索，挖掘教材中所蕴含的极限思想，为教师进行教材分析，设计教学方案提供参考。
【关键词】极限思想；小学数学；教材；北师大版
在《义务教育数学课程标准（2011年版）》课程目标中的“总目标”明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”[1]其中新增的“基本思想”则对应三维目标中的“过程与方法”，注重在学生学习数学知识的过程中体会数学思想。从这一变化上可以看出，课程标准重视在数学教学中渗透数学的基本思想，重视数学思想对学生思维发展的作用。
极限思想是一种重要的数学思想，在小学数学教材中十分常见。所谓极限思想是用联系变动的观点，把所考察的对象看作是某个对象在无限变化过程中变化结果的思想。它体现了“从有限中找到无限，从暂时中找到永久，并且使之确定起来”的一种运动辩证思想。[2]极限思想蕴含在小学数学诸多知识领域中。基于此，本文将立足于小学这一特定的教育阶段，针对“极限思想”在小学数学教材中的渗透进行初步探索，挖掘不同教学内容中所蕴含的极限思想，为教师的教学设计提供参考。
一、极限思想在数与代数中的渗透
（一）数的认识中的蕴含的极限思想
《数学》三年级下册P2。教材以学生最为熟知的买文具的生活情境进行导入，以呈现商品价格来引出小数。“像3.50,1.06,16.85……这样的数，都是小数。”通过用省略号来表示余下的小数，由此可以知道，小数的个数有无数个。小数可以越来越大，也可以越来越小，小数是数不完的。在教学中可以从“数量”上突出“无限多”，渗透极限的数学思想。
《数学》三年级下册P4。小数有无限多个与其等值的小数。例如：与0.5相同的小数有无限多个。因此，在比较两个小数的大小时，可以转化成与原小数等值的小数进行比较。
《数学》三年级下册P54。分数的个数是无限多的。教材以分苹果，分割圆片为例，引出分数的表示方法。把一张纸等分为四份，其中一份用
41表示，其中的两份用4
2
表示……随着份数的逐渐增加，则可用于表示的分数也增加。如果将物体一直分下去，那么这是一个
“无限”的过程。在这个无限“分”的过程中产生的分数越来越多，直至无限多个。因此，分数的个数是无限多的。分数可以无穷大，也可以无穷小。这里蕴含着极限的数学思想，教学时可以适时让学生体会分数的个数有无数个。
《数学》四年级上册P4。数可以越来越大，没有尽头。教材以数位表的形式展示数的
无限多。数级从个级开始，往左逐次增大，没有尽头；数位从个位开始，往左依次增大，没有尽头；计数单位从个位开始，同样往左依次增大，没有尽头。无论是数级、数位还是计数单位，它们都是依次增大，没有尽头，数可以无限大、是无限多的。
《数学》四年级上册P89。正数与负数有无数个，是数不完的。教材使用了学生所熟知的温度计引出正数和负数。温度计上的刻度可抽象成数轴的一部分。正数、负数与0都在这条数轴上。正数与负数是一组相对发展的数，它们以“0”这个特殊的数字为分界点，沿着数轴正向与反向变化。正数沿数轴正方向无限增大，负数沿数轴反方向是无限减小。因此，正数与负数有无数个，是数不完的。不存在最大的正数和最小的负数，在教学中，可以适时让学生体会正数、负数的个数有无数个，让学生感悟极限的数学思想。
《数学》四年级下册P5。教材以数位顺序表的形式呈现出小数的特点。在数位顺序表中可以看出，整数部分与小数部分以小数点为分界点，数位分别向小数点左右两端无限增加。整数部分从个位开始，往左数位逐次增加；小数部分则从十分位开始，往右数位逐次增加。通过数位的变化来体现数值的变化。
《数学》四年级下册P69。教材围绕“蜘蛛与蜗牛平均每分钟谁爬得快？”这个问题列出73÷3=24.3333…与9.4÷11=0.85454…这两个算式，并追问学生“你们为什么不往下除了？发现了什么？”引出循环小数。通过除法计算，让学生感知循环小数循环节中的数字反复出现，是写不完的，是无限多的，体会循环小数小数部分的位数有无数个。
《数学》五年级上册P2。自然数、整数有无限多个；一个数的倍数有无限多个。教材以“像0、1、2、3……这样的数是自然数”以及“像-3、-2、-1、0、1、2、3……这样的数是整数”利用描述式定义法来界定自然数、整数的概念。通过省略号来说明自然数、整数的个数有无数个，是数不完的。关于倍数，教材以7为例，14是7的倍数；77是7的倍数，以此追问学生：“你还能找到7的其他倍数吗？”让学生从数量上感知一个数的倍数的个数，体会极限思想。
《数学》五年级上册P4。教材以表格的形式呈现出1—100这100个数字，让学生通过表格寻找2、3、5倍数的特征。借助表格可以让学生直观地感知，发现数的特征：2的倍数的特点是个位上的数字有0、2、4、6、8；5的倍数的特点是个位上通常是0或者5；3的倍数同样具有它独特的特点。通过推理发现这些规律并不只局限于100以内的数字，对于更大的数依然成立。数有无数个，因此有无数个数满足2、3、5的倍数特征。
《数学》五年级上册P5。能被2整除的数即为偶数。反之，不能被2整除的数即为奇数。由于数有无数个，因此2的倍数有无数个。进而推出偶数的个数有无数个。反之，奇数也有无数个，也是数不完的。
《数学》五年级上册P38。无论是真分数、假分数还是带分数，它们都无数个。教材仍然是以“像
21、41、32、43……这样的分数叫做真分数”以及“像23、33、45、4
9
……这样的分数叫做假分数”同样是运用了描述式定义法来界定这两种分数的概念。同样是利用省
略号来说明了假分数与真分数的个数是无限多的，是数不完的。由于数的个数有无数个，数可以越来越大。因此在真分数中，用于表示分母的数可以无限多也可以无限大，那么用于表示分子的数也会变得无限多。在保证是真分数的条件下，使得真分数的个数有无数个。同理
假分数也是这样。带分数是由一个整数和一个真分数构成，因为真分数与整数的个数有无数个，所以带分数的个数也有无数个。
《数学》五年级上册P51。教材以表格的形式列出50个数字，要求学生将4的倍数用三角形表示， 6的倍数用圆形表示。同时标有三角形和圆形的数表示公倍数，即为4和6的公倍数。在有限数字的情况下，我们只能找到有限个4与6的公倍数。但是数是有无限多的，在不限数字范围的情况下，有无数个4与6公倍数。公倍数可以无穷大，可以无限多。但有且只有一个确定的数为两数的最小公倍数。
《数学》五年级上册P71。分数有无限多个与其等值的分数。因此在小数与分数的互相
转化中，一个小数可以转化成无数个与其等值的分数。对于0.4与
4
1
的比较，教材中对0.4做了相应转化，即0.4＝208104=。20541=，因为205208>
，所以0.4大于4
1
。但是0.4可转化成的分数并不是只有这两个，而是无限多的。同样地，也可以把分数转化成无限多个
与其大小相等的小数。
《数学》五年级下册P64。百分数是一类特殊的分数。百分数具有这样的特征：分母为100，分子不一定都是整数。而满足此条件的数有无数个，因此百分数的个数也是无限多的。教材中对于百分数的定义是“像22%，28%，90%，117.5%……这样的数叫做百分数。”教材同样利用省略号来说明百分数是写不完的。
（二）数的运算中蕴含的极限思想
表1-2：北师大版小学数学“数的运算”教学内容中蕴含极限思想统计表
800÷200=4，8000÷2000=4。这四个算式以一竖列的形式排列，引导学生分别“从上往下看”以及“从下往上看”观察算式的变化，探索发现商不变规律。被除数8和除数2同时乘以10，100，1000后，做除法计算所得到的结果始终不变。而数的个数是无限多的，在10，100，1000这三个数外，8和2还可以同时乘以或除以其他相同的数，它们做除法所得到的商也是不变的。
《数学》四年级下册P40。小数的大小随着小数点的移动，数值不断发生变化。数的个数是无限多，因此小数点左移的位数是无限多的，小数随着小数点无限左移而变得无穷小。同理，小数点右移的位数同样是无限多的，小数随着小数点无限右移而变得无穷大。
《数学》五年级上册P43。分数有无限多个与其等值的分数。教材以4
3
为例，将分子分母同乘以2，同乘以4后所得到
86，其大小与43
是相等的。数的个数是无限多的，在2和4这两个数外，还存在其他的数。4
3
的分子3和分母4还可以同乘或同除其他的“数”（0除
外），所得到的新分数的大小与原分数是等值的。因此有无限多个与4
3
相等的分数。
《数学》五年级上册P54。把一组分数通分后可以得到无数组与原分数大小相等，并且分母一致的分数。教材以操场和教学楼引入，让学生比较它们谁的占地面积比较大，即比较
92与41的大小。可以将这两个分数通分变成368与369进行比较，也可以通分成7216与7218；10824与108
29……进行比较。 《数学》五年级下册P7页。教材首先呈现的是我国古代著名哲学著作《庄子·天下》中截取木棍的说法，通过语言文字的形式为极限思想做铺垫。其次教材采用几何直观的手段，
将语言文字转换成数学符号。以一张长方形纸条为例，首先截取它的2
1
，再截取剩余部分的21，此时剩下的部分占这张纸条的几分之几？最后再截取剩余纸条的2
1
，那么此时余下的纸条占这张纸条的多少？可以得出算式：21×21=□→□×21
=□。如果将这张纸条一直
剪下去，那么就会有这样一个算式：21×21×2
1
……=□，其结果是一个趋于0的数，但是
始终不为0。
二、极限思想在图形与几何中的渗透
（一）图形认识中蕴含的极限思想
表2-1：北师大版小学数学“图形认识”教学内容中蕴含极限思想统计表
《数学》二年级下册P67。角的两条边是射线，具有无限延伸的性质。
《数学》四年级上册P16。教材以学生熟知的斑马线、聚光灯、铁轨引出对于线段、射线以及直线的认识。线段有两个端点；线段不能向两端无限延伸。射线有一个端点；射线可
以向一端无限延伸。直线没有端点；直线可以向两端无限延伸。由线段到射线再到直线的认
识，层层递进，符合学生的认知发展水平。同时，本节课也是学生从对有限的认识发展到对无限的感知，是学生第一次明确地接触“无限”这一数学名词。
《数学》四年级上册P18。构成平行线必须要满足三个条件：（1）同一平面；（2）两条直线；（3）两条直线不相交。直线具有向两端无限延伸的性质，因此平行线具有无限延伸后永不相交的特征。
《数学》四年级上册P24。这是对角的进一步认识。教材通过介绍五种常见的角，让学生感知角的特征。角的两条边是射线，感受角的边无限延伸的特征，感悟极限思想。
《数学》六年级上册P2。圆是圆周上无数个点的集合。圆有无数条半径、直径。教材呈现了多种画圆的方法，其中之一是以人手作为圆规，拇指顶住圆心，拇指到食指间的距离为半径画圆，食指走过的每个点的痕迹最终构成了一个圆。以此让学生感知无数个点的集合
构成了圆的一周这一特征。
（二）图形度量中蕴含的极限思想
《数学》四年级上册P27。角的两条边是射线，延长角的两边不会改变角的大小。因此，
在测量角的大小时，可以适当延长角的两条边，再进行测量。通过延长角的两条边，感悟角两边无限延伸的性质，渗透极限的数学思想。
《数学》四年级上册P29。在画角的时候，每个学生画出的角的边长不一定一样长，但是所画出的角的大小是一样的。在教学过程中要让学生充分理解角的特点：角的大小只和角的开口有关，延长角的两边不会改变角的大小，并且角的两条边可以无限延长，适时让学生体会极限的数学思想。
《数学》五年级上册P24。由平行四边形的面积公式可知，在确定底和高的情况下，可以画出无数个等底等高的平行四边形，并且它们的面积都相等。
《数学》五年级上册P26。由三角形的面积公式S=
2
1
ah 可知，在确定底和高的情况下，可以画出无数个等底等高的三角形，并且它们的面积都相等。
《数学》五年级上册P30。由梯形的面积公式可以看出，在确定底和高的情况下，可以画出无数个等底等高的梯形，并且它们的面积都相等。
（三）图形计算中蕴含的极限思想
与圆的周长有关因素。通过回顾正方形边长与周长的关系，类比圆的直径与周长关系。再分别测量几个大小不同的圆的周长与直径，将圆的周长与相应直径作商，观察结果的变化。通过计算、观察、比较可以发现圆的周长除以直径的商在一定数值范围内变化，但变化的幅度并不大，总体上趋于一定数值。圆周率 小数部分的位数有无数个，没有尽头，并且各数位上的数字不尽相同。圆周率是让学生感悟极限思想很好的教学内容。
《数学》六年级上册P17。在探究圆的面积时，先将圆形纸片平均分成8份，将每份剪下后再将它们拼接为近似的平行四边形。将圆形纸片继续等分，分为16份，采用同样的方法拼接。观察图形形状可以发现，相比等分为8份时,拼出的图形形状更加接近平行四边形。当圆形纸片等分的份数逐步增加时，每个小扇形的曲边逐渐趋于直边，用它们拼出的图形形状越来越接近长方形。当圆均分的份数逐步增加，直至无限多时，所拼出的图形形状趋于矩形。再根据矩形的面积公式推导出圆的面积公式。这个推导过程在使用的方法上体现了极限的数学思想。
《数学》六年级下册P8。在学习圆柱体积公式时，将圆柱从底面开始沿着圆柱的高进行等分，再拼成一个近似的长方体，当圆柱等分的份数逐步增加，直至无限多时，所拼成的图形形状无限逼近长方体。再根据已学的体积公式推导出圆柱的体积公式。在教学过程中，可以从方法上进行渗透，突出“无限逼近”的方法，感悟极限思想。
（四）图形运动中蕴含的极限思想
表2-4：北师大版小学数学“图形运动”教学内容中蕴含极限思想统计表
对称轴是直径所在的直线，因此圆有无数条对称轴。
三、极限思想在问题解决中的渗透
（一）数的认识
表3-1：北师大版小学数学“数的认识”问题解决中蕴含极限思想统计表
分位上的数，可以写出9个满足要求的小数。往百分位的右边继续增加数位，填上符合条件的数便可以写出更多的小数。小数的小数部分的位数有无数个，小数部分的位数增加所能写出的小数也随之增加。此外（3.5,3.6）是一个不可数数集，因此其中元素的个数是无限的。
《数学》五年级上册P6。9的倍数是无限的。教材将1-100这个100个数字排列在一个表格内。通过观察表格可以发现，9的倍数在表格中呈一条斜线排列，并且9的倍数具有这样一个特征：将每一个数位上的数字相加，得出的结果正好能被9整除。通过推理发现这些规律并不只局限于100以内的数字，对于更大的数依然成立。数有无数个，因此9的倍数同样有无数个。
《数学》五年级上册P13。123，234，345，456，567，……它们都是3的倍数。在这些数中，将每一个数位上的数字相加，得出的结果恰好能被3整除，因此它们都是3的倍数。数的个数有无数个，故满足上述条件的数也是无限多的。
《数学》五年级上册P36。从图中可知，“1”被等分的份数逐渐增加，所得的分数单位将逐步减小。分的份数逐渐增加，直到无数多份时，这便是一个无限的过程。在这无限的过程中，分的份数是无限多的，而所得的每份就是无穷小的分数单位。不论怎么分都不能达到最小值，因此也就不存在最小的分数单位。
《数学》五年级上册P72。题目中数轴上的
2
1
对应的小数可以是0.5，也可以是0.50、0.500……小数的“形”发生了改变，但小数的数值不变。小数的小数部分的位数有无数个，在保证小数数值大小不变的情况下，改变小数的“形”，得到的小数的个数有无数个。。题目中数轴上的1.2对应的分数可以是56，还可以是1012，15
18
……数是有无限多的，分数有无数个与其等值的分数。
《数学》五年级上册P73。5
3转化成小数为0.6。寻找比0.6小的小数相当于在()6.0,∞-中任取一个数。()6.0,∞-是一个不可数数集，因此其中元素的个数是无限的，故比
5
3小的小数有无数个。
《数学》五年级上册P94。数的个数是无限多的，故3、6、8的倍数是无限的，两个数的公倍数也有无限多个。在没有限定数的范围时，教材要求学生掌握的是会找出一些数的最小公倍数。而在数量有限的范围中，则要求学生在有限数中找出两个数所有的公倍数。通过限定数的范围来让学生从数量上感悟极限思想。
（二）数的运算
表3-2：北师大版小学数学“数的运算”问题解决中蕴含极限思想统计表
《数学》五年级上册P44。等值分数的个数有无限多个。
()()
=12
8
这一题让学生认识到分数值相同的分数有无限多个。这不仅让学生学会如何使用分数的基本性质，同时提高学生对“有限与无限”认识。
（三）图形认识
表
3-3：北师大版小学数学“图形认识”问题解决中蕴含极限思想统计表
《数学》六年级上册P22。教材设计让学生尝试动手画螺旋线，将正方形作为辅助图形，以它的边长作为半径画弧线，依次旋转地画下去，并将每段弧连接。螺旋线的长度随着正方形边长的增加而增加。螺旋线间不相交，在纸张允许的情况下，可以无限延伸下去。画螺旋线不仅让学生积累了操作活动经验，而且渗透了极限的数学思想，让学生认识到螺旋线的无限延伸性。
（四）图形运动
《数学》六年级上册P8。过圆心的线段是圆的直径。而过圆心的线段可以画出无数条，故圆的直径有无数条。因此，圆的直径不会因为圆的旋转而改变。
四、启发与思考
笔者通过整理研究小学数学教材中的极限思想，发现小学阶段的极限思想主要集中在“数与代数”以及“图形与几何”这两大知识领域。极限思想在教材中的渗透主要以这三种形式呈现：（1）从“数量”上看“无限多”；（2）从“图形”上看“无限延伸”；（3）从“方法”上看“无限逼近”。笔者在前文研究中了解到人们对于极限的认识离不开对无限的认识，认识无限则又是从有限开始的。教材的编排遵循了这一认识特点。教师在设计教学方案，进行课堂教学时，首先要让学生感知有限；其次在有限认识的基础之上帮助学生构建知识表象，结合想象让学生体验无限；最后在感受无限的过程中飞跃到感知极限，从而感悟极限思想。
在小学阶段的教学中怎样才能使学生感悟极限思想？笔者在上文研究分析的基础上，做出进一步思考，给出以下三点建议：
第一，研究教材，充分挖掘蕴涵的极限思想。极限思想作为小学数学常见的数学思想之一，蕴含在小学数学的诸多知识领域中。极限思想主要集中在小学数学教材中“数与代数”以及“图形与几何”这两大知识领域。在小学数学教学中，要让学生能够很好地感悟极限思想，教师首先要分析教材的脉络，研究教学的内容。教师在进行教材分析时，既要关注一节课的基础知识、基本技能，也要带着“数学思想”的眼光，深入分析、挖掘出教材中蕴含的数学思想。在“数与代数”与“图形与几何”这两个知识领域，教材中关于极限思想的渗透比较全面，教师在进行教材分析时要着重关注并做好相应的记录。同时，认真琢磨应该怎样结合教材内容，利用学生已有的经验进行极限思想的渗透。
第二，学情分析，为极限思想的渗透作铺垫。小学阶段的学生思维主要以具体形象思维为主，抽象思维逐步发展，但在理解抽象事物的时候仍要以具体形象做基础。小学生的认知特点使得他们更易理解具体形象的事物。思维发展停留在“有限”的认识阶段。而对于数量无限的、抽象的事物较难把握。因此教师在设计教学方案时，要充分把握学生的认知特点、知识基础和经验基础，为教学中极限思想的渗透奠定基础。对于极限思想的感悟，需要让学生经历这样一个过程：即先从认识“有限”开始，再建立对“无限”的认识，最后过渡到对“极限”的认识。教师的教学任务就是结合具体的教学内容让学生逐步经历这一认识过程，并且在其中逐步积累经验，逐步感悟极限思想。
第三，整体规划，系统分析极限思想的脉络。小学数学教材中蕴涵的极限思想主要以三种形式体现：（1）从“数量”上看“无限多”；（2）从“图形”上看“无限延伸”；（3）从“方法”上看“无限逼近”。极限思想在“数与代数”知识领域中，主要以“数”的形式，体现数量上的无限多。通过认识常见的数，知道数的个数有无限多个，感悟极限思想。在“图形认识”与“图形度量”中，主要体现的是图形的无限延伸性。在“图形计算”中，运用无限逼近的方法推导出圆的面积公式、圆柱体积公式，进而从方法上感悟极限思想。教师在教学时要结合具体的教学内容，注重从“数量”、“图形”、“方法”的角度渗透极限思想。同时，教师还应注重帮助学生梳理极限思想的脉络，适当归纳总结，让学生更好地感悟极限思想。
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The Permeation of Limitation in Mathematic Teaching Materials for Primary School
Education Science College Quanzhou Normal University
Primary Education 100401056 Zhao Qian
Tutor: Su Mingqiang Associate Professor
【abstract】Mathematic teaching should not only impart knowledge and skills but also should pay special attention to students’comprehension of mathematic ideas. As one of the most common mathematic ideas in math teaching at primary school, Limitation permeates varies kinds of mathematic teaching materials for primary school. This thesis would focus on the period of primary school and take mathematic teaching materials for primary school published by Beijing Normal University Press as an example. By preliminary exploration of the permeation of Limitation in teaching materials and exploration of Limitation involved in teaching materials, this thesis will provide teachers with analysis of teaching materials as well as references for designing teaching schemes.
【key words】Limitation; primary mathematics; teaching material; Beijing Normal University Press
中小学数学很重要的20种常见思想方法 1、对应思想方法 对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。如直线上的点(数轴)与表示具体的数是一一对应。 2、假设思想方法 假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。 3、比较思想方法 比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。 4、符号化思想方法 用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)来描述数学内容，这就是符号思想。如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。如定律、公式、等。 5、类比思想方法 类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式。类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟般自然和简洁。 6、转化思想方法 转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，而其本身的大小是不变的。如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等，在计算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙。 7、分类思想方法 分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数;按约数的个数分质数和合数。又如三角形可以按边分，也可以按角分。不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。对数学对象的正确、合理分类取决于分类标准的正确、合理性，数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。
小学数学教学中渗透数学思想方法的策略
小学数学“教学中培养学生学习习惯研究”课题实施方案 王凤楼镇中心小学低年级数学教研组 一、问题提出的背景与意义 1、关注数学思想方法教学的重要性 （1）《数学课程标准》的期待。《数学课程标准》（最新稿）不仅把“数学思考”作为总体目标之一提出，同时，还将“双基”扩展为“四基”，即基础知识、基本技能、基本数学思想、基本活动经验。由此可见，数学思想方法教学变得越来越重要（2）数学教育专家的观点。（3）哲学角度的理解。从数学哲学的角度讲，数学科学中最有生命力统摄力的是数学观和数学方法论，即数学思想方法；从数学教育哲学的角度讲，决定一生数学修养的高低，最为重要的标志是看他能否用数学的思想方法去解决数学问题以至日常生活问题。 2、关注小学数学思想方法教学的必需性 一种数学思想的形成绝不是一朝一夕可以做到的，古往今来世人留下的数学思想方法非常丰富，这些数学思想方法有难的但也有容易的，所以，数学思想方法的教学不只是中学、大学教师的事，小学阶段进行数学基础知识的教学时，适时适度渗透数学思想方法，不仅成为一种可能，也成为一种必需。 二、研究的价值： 1、在学生方面： 可以培养学生的数学素养，养成用数学眼光看待和分
析周围的事物的习惯和能力。数学思想渗透在数学知识之中，这样就造成教师在教学中只重视讲授表层知识，而不注重渗透数学思想、方法的教学，学生所学的数学知识往往是孤立、零散的东西，不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高，加重了学生的学习负担；数学思想方法是数学的精髓，在学生学习数学知识的同时渗透数学思想和方法的教学，让学生在掌握表层知识的同时，领悟到深层知识，学习层次实现质的“飞跃”，学生所学的知识成为一个相互联系的，组织得很好的知识结构，这样学生才能摆脱“题海”之苦，焕发其生命力和创造力。 2、在教师方面： 本课题的研究可以有效改变教师的教学行为，养成深入钻研教材的习惯，提升对数学的认识以及对数学教学的认识，不断提高教学质量，促进教师的专业发展。有利于更好的推进学校素质教育。 三、研究的目标和主要内容 目标： 1、通过调查，剖析当前小学教师的数学思想方法教学存在的问题和原因，为探索改进方法提供依据。 2、系统梳理苏教版教材中蕴涵的数学思想方法，为教师在教学中渗透数学思想方法提供便利。 3、探索在教学中数学渗透思想方法的策略。
《小学数学与数学思想方法》读后感 读完《小学数学与数学思想方法》这本书，对数学思想方法有了更系统和更全面的认识。知道了什么是数学思想，什么是数学方法，知道了数学思想与数学方法的内在联系与区别。知道数学思想是数学方法进一步提炼和概括，数学思想的抽象概括程度要高一些，而数学方法的操作性更强一些。人们实现数学思想往往要靠一定的数学方法，而人们选择的数学方法，又要以一定的数学思想为依据。由此可见，数学思想方法是数学的灵魂，那么，要想学好数学，用好数学，就要深入到数学的“灵魂深处”。 数学思想方法如此严重，从这本书中还知道了教师如何进行数学思想方法的教学： 重视思想方法目标的落实。 教师在备课撰写教学设计时，把数学思想方法作为与知识技能同等地位的目标呈现出来。而不是可有可无或者总是进行渗透，并利用动词进行描述和评价，使数学思想方法的教学目标落到实处。 2.在知识形成过程中体现数学思想方法。 现在的数学课堂教学中，很多教师精讲多练，急于把概念、公式、法则等知识传授给学生，然后按照考试的要 求进行训练，轻视了知识的形成过程。这样，既浪费了时间，又没有真正培养学生的思维能力、思想方法和学习兴趣，导致很多学生害怕数学。我曾经在讲《除法的初步认识—平均分》时，通过让学生动手操作引导他们经历知识的形成过程。读过这本书才知道自己忽略了数学思想方法的渗透，在这个教学过程中，教师可以引导学生感受从直观操作的详尽情境中抽象出除法概念的抽象思想，认识用除法符号表达的具有简洁性的符号化思想，体会用实物、图形帮助理解除法的具有直观性的数形结合思想，知道除法是一种严重的模型思想，体会在除法中商随着被除数、除数的变化而变化的函数思想。
极限思想在小学数学教学中的渗透-小学数学论文-教育期刊 网 极限思想在小学数学教学中的渗透 浙江湖州市织里镇轧村小学（３１３００８）陆小琴 极限思想作为社会实践的产物，在近代数学中有着极其重要的地位，它主要是通过极限概念分析和解决数学问题，由于其本身固有的思维功能，在现代数学中有着广泛的应用，更是微积分的基本思想。 一、数学教学中融合极限思想 小学数学作为小学生的启蒙学科，正确教学方法的运用有利于学生在以后高等数学中顺利学习。这就要求教师在教学中融合极限思想，使学生养成良好的思维惯式。 如在四年级下册中有关循环小数的学习中，我首先在黑板中写出１与３两个数相除，运算得出结果为０．３３３……，以此为基准，得出循环小数概念，即在小数点后某一位开始依次不断重复出现的前一个或一节数字的十进制无限小数，叫做循环小数。随后，我再提出“０．９９９……是否等于１”的问题，学生普遍认为：无论小数点后的９的数量如何增加，它也只能无限接近于１，但始终不等于１。于是，我以代数法进行证明： 假设x＝０．９９９…… １０x＝９．９９９…… １０x－x＝９．９９９……－０．９９９…… 即９x＝９，所以x＝１。 这种在教授新的知识点中融合极限思想的教学方法，能够使学生在脑海中对无限
等概念形成较为直观的印象，并由此加深记忆。 二、数学概念推导中渗透极限思想 数学公式、定理和概念是学生解答题目的前提和关键，但是数学概念和公式定理通常短小精悍，这是小学数学教学中的难题。而在数学概念中渗透极限思想不仅能够加深学生对数学概念的理解，还能够激发学生学习数学的兴趣。 如小学六年级“平面图形的周长和面积”一章中，一般学生需要记住周长和面积的公式，但是公式过于抽象化，容易造成学生不求甚解，生搬硬套。例如在对圆的面积公式进行推导时，以小组为单位，我让学生把一个圆形纸片进行数次对折，并讨论：圆形纸片在对折过程中有什么变化规律。学生在对折过程中发现圆在进行对折后越来越接近于三角形。当把圆形展开后，学生更加惊讶地发现：折痕把一个完整的圆分成了无数个等腰三角形，而且三角形的腰长与圆形的半径是相等的。通过计算三角形的周长和面积，学生最终自己得出了圆形的周长和面积，并且利用这一极限规律，推导出了整个圆形的面积公式。随后，我引导学生对圆形进行剪裁组合。学生发现，把圆形沿折痕进行剪裁后，就可以把圆转化为长方形、梯形等。这样，学生独自推导出的公式自然会深深印在脑海中。 随后，在进行第二单元“圆柱和圆锥”的学习时，不同于平面图形的学习，这里要求学生具有空间想象能力。因此在进行圆柱体积公式推导时，我引导学生在观察有限分割的基础上，建立起无限分割的想象，并通过图形分割拼合的变化趋势，最终想象出图形的最终形态。在教学中，我把学生分成几个小组，要求学生对圆柱体模型进行自主切割拼合，并进行小组成果汇报。有的学生发现，圆柱的底面是一个圆形，那把它平均分成无数份，最终可以拼合成一个长方形，而圆柱体就变成了一个长方体，由此可以得出：圆柱的体积＝底面积×高。另外也有学生从
小学数学“教学中培养学生学习习惯研究”课题实施方案 王凤楼镇中心小学低年级数学教研组 一、问题提出的背景与意义 1、关注数学思想方法教学的重要性 （1）《数学课程标准》的期待。《数学课程标准》（最新稿）不仅把“数学思考”作为总体目标之一提出，同时，还将“双基”扩展为“四基”，即基础知识、基本技能、基本数学思想、基本活动经验。由此可见，数学思想方法教学变得越来越重要（2）数学教育专家的观点。（3）哲学角度的理解。从数学哲学的角度讲，数学科学中最有生命力统摄力的是数学观和数学方法论，即数学思想方法；从数学教育哲学的角度讲，决定一生数学修养的高低，最为重要的标志是看他能否用数学的思想方法去解决数学问题以至日常生活问题。 2、关注小学数学思想方法教学的必需性 一种数学思想的形成绝不是一朝一夕可以做到的，古往今来世人留下的数学思想方法非常丰富，这些数学思想方法有难的但也有容易的，所以，数学思想方法的教学不只是中学、大学教师的事，小学阶段进行数学基础知识的教学时，适时适度渗透数学思想方法，不仅成为一种可能，也成为一种必需。 二、研究的价值： 1、在学生方面： 可以培养学生的数学素养，养成用数学眼光看待和分析周围的事物的习惯和能力。数学思想渗透在数学知识之中，这样就造成教师在教学中只重视讲授表层知识，而不注重渗透数学思想、方法的教学，学生所学的数学知识往往是孤立、零散的东西，不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高，加重了学生的学习负担；数学思想方法是数学的精髓，在学生学习数学知识的同时渗透数学思想和方法的教学，让学生在掌握表层知识的同时，领悟到深层知识，学习层次实现质的“飞跃”，学生所学的知识成为一个相互联系的，组织得很好的知识结构，这样学生才能摆脱“题海”之苦，焕发其生命力和创造力。 2、在教师方面：
摘要：本文对数学极限思想在解题中的应用进行了诠释，详细介绍了数学极限思想在几类数学问题中的应用，如在数列中的应用、在立体几何中的应用、在函数中的应用、在三角函数中的应用、在不等式中的应用和在平面几何中的应用，并在例题中比较了数学极限思想与一般解法在解题中的不同。灵活地运用极限思想解题，可以避开抽象、复杂的运算，优化解题过程、降低解题难度。极限思想有利于培养学生从运动、变化的观点看待并解决问题。 关键词：极限思想，应用 Abstract: In this paper, the application of the limit idea in solving problems is explained. What’s more, the applications in several mathematic problems, such as the application in series of numbers, the application in solid geometry, the application in function, the application in trigonometric function, the application in inequalities, the application in plane geometry are introduced in detail. The mathematic limit idea is compared with a common solution in a example, showing their differences in solving a problem. Solving problem by applying the limit idea can avoid abstract and complex operation, optimize the process of solving problem and reduce difficulty of solving problem. Students will benefit from the limit idea, treating and resolving problems from views of the movement and the change. Keywords:the limit idea，application
如何在小学数学教学中应渗透数学思想方法探讨 发表时间：2019-09-05T15:20:41.650Z 来源：《中小学教育》2019年7月4期作者：邹琴 [导读] 在我国当前小学数学的教学中，对学生潜移默化地渗透数学思想，不仅仅能够提高学生当前数学的学习效率与学习水平，对日后学生学习数学的方法与思想的形成也有着十分重要的意义。 邹琴（岳池县兴隆中学校四川岳池 638300） 摘要：作为数学的精髓，数学思想是我国自数学科目出现后历经多代数学家不懈研究与探索所总结出来的一种思想文化，是十分可贵的。在我国当前小学数学的教学中，对学生潜移默化地渗透数学思想，不仅仅能够提高学生当前数学的学习效率与学习水平，对日后学生学习数学的方法与思想的形成也有着十分重要的意义。 关键词：小学数学教学；数学思想方法；渗透 中图分类号：G623.24 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982（2019）07-207-01 小学数学是义务教育的一门重要学科，它是为学生后续学习打基础的，它蕴含着许多与高等数学相通的数学思想方法。因此，根据《课标》倡导的精神，在小学数学教学中很有必要有目的、有意识地向学生渗透一些基本的数学思想方法。 1小学数学教学中渗透数学思想方法的认识 所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识。所谓数学方法，是指解决数学具体问题时所采用的方式、途径和手段，也可以说是解决数学问题的策略和手段。小学数学教学中可以把数学思想和方法看成一个整体，称之为数学思想方法。向学生渗透一些基本的数学思想方法，是数学教学改革的新视角，是进行数学素质教育的突破口，是培养学生分析问题和解决问题的重要途径，是促进学生数学思维能力发展的重要方法。 2小学数学教学中应渗透哪些基本数学思想方法 在数学领域中数学思想方法不计其数，每一种数学思想方法都闪烁着人类智慧的火花。但小学生的年龄特点决定有些数学思想方法他们不易接受，而且要想把那么多的数学思想方法都渗透给学生也不现实。因此，应该有选择地渗透一些数学思想方法。 2.1符号思想 西方较早地在数学研究中引进了符号，十六世纪数学家韦达对数学符号作了很多改进，并且第一个有意识地系统地用字母表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数研究的重大拓展，奠定了符号代数的基础，后来大数学家笛卡儿对韦达使用的字母又作了改进。用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学的内容，这就是符号思想。如乘法分配律（a+b）×c=a×c+b×c。就把复杂的语言文字叙述用简洁明了的字母公式表示出来，便于记忆、便于运用。正如华罗庚所说的"数学的特点是抽象，正因为如此，用符号表示就更具有广泛的应用性与优越性。" 2.2分类思想方法 分类是根据教学对象的本质属性的异同按某种标准，将其划分为不同种类，即根据教学对象的共同性与差异性，把具有相同属性的归入一类，把具有不同属性的归入另一类进行分析研究。分类是数学发现的重要手段，在教学中，如果对学过的知识恰当地进行分类，就可以使大量纷繁的知识具有条理性。一般分类时要求满足互斥，无遗漏、最简便的原则。如整数以能否被2整除为例，可分为奇数和偶数；若以自然数的约数个数来分类，则可分为质数、合数和1。几何图形中的分类更常见，如学习"角的分类"时，涉及到许多概念，而这些概念之间的关系渗透着量变到质变的规律。其中几种角是按照度数的大小，从量变到质变来分类的，由此推理到在三角形中以最大一个角大于、等于和小于90°为分类标准，可分为钝角三角形、直角三角形和锐角三角形。而三角形以边的长短关系为分类标准，又可分为不等边三角形和等边三角形，等边三角形又可分为正三角形和等腰三角形。通过分类，建构了知识网络，不同的分类标准会有不同的分类结果，从而产生新的数学概念和数学知识的结构。 3小学数学教学中渗透数学思想方法的策略 "渗透"就是把一些抽象的数学思想方法逐渐"融进"具体的数学知识内容之中，使学生对这些思想有一些初步的感知或直觉，但还没有从理性上开始认识它们。因此，在教学中，可以采取以下策略。 3.1在知识形成过程中渗透 数学概念、法则、公式、性质等知识都明显地写在教材中，是有"形"的，而数学思想方法却隐含在数学知识体系里，是无"形"的，并且不成体系地分散在教材各章节之中。因此数学思想方法必须通过具体的教学过程加以实现。在教学中，要把握好教学过程中进行数学思想方法教学的契机，在概念形成的过程中，结论推导的过程中，方法思考的过程中，思路探索的过程中和规律揭示的过程中等，要注意自然渗透，要有意识地潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学知识之中的种种数学思想方法。在概念、定理、性质、法则、公式、规律等的教学中要引导学生积极参与探索，让学生经历发现、推导的过程，在数学思想方法指导下，弄清每个结论的因果关系，最后再引导学生归纳得出结论。 3.2在反复运用过程中渗透 在抓住学习重点、突破学习难点及解决具体数学问题中，数学思想方法是处理这些问题的精髓，这些问题的解决过程，无一不是数学思想方法反复运用的过程，因此，时时注意数学思想方法的运用既有条件又有可能，这是进行数学思想方法教学行之有效的普遍途径.数学思想方法也只有在反复运用中，得到巩固与深化。 总之，重视加强对学生进行数学思想方法的渗透不但有利于提高课堂教学效率，而且有利于提高学生的数学文化素养和思维能力。但是，对学生数学思想方法的渗透不是一朝一夕就能见到学生数学能力提高的，而是有一个过程。因此，在教学过程中，要有机地结合数学知识的内容，做到持之以恒、循序渐进和反复训练，才能使学生真正地领悟数学思想方法。 参考文献 [1]施华玲.论小学数学教学中数学思想方法之渗透[A].福建教育学院学报，1673-9884（2014）06-0068-03. [2]姜嫦君，刘静霞.小学数学教学中数学思想方法的渗透[A].延边教育学院学报，1673-4564（2010）02-0106-03. [3]钱岳新.小学数学教学中数学思想和方法渗透的实践与思考[A].科学大众（科学教育），1006-3315（2010）.
极限思想在小学数学教材中的渗透 教育科学学院小学教育专业100401056 赵倩 指导教师苏明强副教授 【摘要】数学教学既要教授知识技能，也要重视学生对数学思想的感悟。极限思想作为小学数学常见的数学思想之一，蕴含在小学数学的诸多知识领域中。本文将立足于小学这一教育阶段，以北师大版小学数学教材为例，针对“极限思想”在教材中的渗透进行初步探索，挖掘教材中所蕴含的极限思想，为教师进行教材分析，设计教学方案提供参考。 【关键词】极限思想；小学数学；教材；北师大版 在《义务教育数学课程标准（2011年版）》课程目标中的“总目标”明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”[1]其中新增的“基本思想”则对应三维目标中的“过程与方法”，注重在学生学习数学知识的过程中体会数学思想。从这一变化上可以看出，课程标准重视在数学教学中渗透数学的基本思想，重视数学思想对学生思维发展的作用。 极限思想是一种重要的数学思想，在小学数学教材中十分常见。所谓极限思想是用联系变动的观点，把所考察的对象看作是某个对象在无限变化过程中变化结果的思想。它体现了“从有限中找到无限，从暂时中找到永久，并且使之确定起来”的一种运动辩证思想。[2]极限思想蕴含在小学数学诸多知识领域中。基于此，本文将立足于小学这一特定的教育阶段，针对“极限思想”在小学数学教材中的渗透进行初步探索，挖掘不同教学内容中所蕴含的极限思想，为教师的教学设计提供参考。 一、极限思想在数与代数中的渗透 （一）数的认识中的蕴含的极限思想
《数学》三年级下册P2。教材以学生最为熟知的买文具的生活情境进行导入，以呈现商品价格来引出小数。“像3.50,1.06,16.85……这样的数，都是小数。”通过用省略号来表示余下的小数，由此可以知道，小数的个数有无数个。小数可以越来越大，也可以越来越小，小数是数不完的。在教学中可以从“数量”上突出“无限多”，渗透极限的数学思想。 《数学》三年级下册P4。小数有无限多个与其等值的小数。例如：与0.5相同的小数有无限多个。因此，在比较两个小数的大小时，可以转化成与原小数等值的小数进行比较。 《数学》三年级下册P54。分数的个数是无限多的。教材以分苹果，分割圆片为例，引出分数的表示方法。把一张纸等分为四份，其中一份用 41表示，其中的两份用4 2 表示……随着份数的逐渐增加，则可用于表示的分数也增加。如果将物体一直分下去，那么这是一个 “无限”的过程。在这个无限“分”的过程中产生的分数越来越多，直至无限多个。因此，分数的个数是无限多的。分数可以无穷大，也可以无穷小。这里蕴含着极限的数学思想，教学时可以适时让学生体会分数的个数有无数个。 《数学》四年级上册P4。数可以越来越大，没有尽头。教材以数位表的形式展示数的
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/6c6086533.html, 小学数学转化思想的渗透方法 作者：黄辉成 来源：《学习与科普》2019年第14期 摘要：经济和科技的快速发展使得教育业也有很大的进步，其中数学这门学科是家长关 注的重点. 将数学学习好，需要有着良好的数学思维以及思想方式，这样可以大大提高学习效率，提高学生的能力. 故教师在进行数学教学的时候要讲解转化思想，增强他们对于知识的进一步理解. 本篇文章将就数学中的转化思想进行思考讨论. 关键词：小学数学；转化思想；实践方式 在小学数学的学习过程中，转化思想是一种重要的学习方式. 它主要是通过将一些复杂的问题通过转化变成容易求解的题目，最终达到解决问题的目的. 学生通过转化思想可以更好地思考和解决问题，一方面，是对他们自身能力的提升，另一方面，也是培养学生的思维能力. 在小学数学教学中要将转化思想让学生尽可能地理解，为他们未来的学习打好基础，可以用正确的思想方式解决问题. 一、数形结合———诱导学生转化思想 小学生的年龄比较小，有着很强的好奇心和实践性，教师要合理利用这一特点来开展教学内容. 小学生对于形状等比较敏感，可以通过转化的思想将一些抽象化的数字转化成可理解的图形，但是因为他們的理解能力有限，会使得很多学生产生思维定式的问题，这个时候就需要利用转化思想使得学生可以走出困境，让他们对于问题有更清楚的认识，这在一定程度上可以大大提高学习的效率，也很好地培养了学生的思考方式. 定式思维会束缚学生的创造性思维.像在解决一些应用题的时候，学生对于题干的理解会使得他们的答题方向也产生偏差，教师通过数形结合，互相转化让他们可以进行正确的思考. 比如，鸡兔同笼的问题， 鸡和兔子脚的数量都是不一样的，教师可以通过用不同的图形来代表他们，将数学的计算问题转化成图形的问题，这样学生既可以解决问题，也可以培养他们的转化思想，使得教学质量提高，对于学生和教师都是双赢的结局. 二、作业融合———加强锻炼转化思想 教师仅仅在课堂上对学生的转化思想进行锻炼是不够的，课下的作业就是一个很好的机会，通过作业教师也可以清楚了解学生对于转化思想的理解程度，作业批改后可以进一步对一些薄弱的部分多进行讲解，使得学生可以更加了解. 课下作业也不一定使用作业本等，教师也可以自己布置一些习题，或者是根据课上讲的一些习题进行改编，学生没有办法完全按照上课的模板套用，这样一方面，学生可以锻炼自己的能力，另一方面，也是对课堂知识点的进一步
小学数学基本思想方法的渗透之我见 问题是数学的心脏，方法是数学的行为，思想是数学的灵魂，未来的数学课程体系是“数学思想方法与数学知识”的合理组合。美国教育心理学家布鲁纳指出：掌握基本的数学思想和方法，能使数学更易于理解和更利于记忆，领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的“光明之路”。在一个人的一生中，最有用的不但是数学知识，更重要的是数学的思想和数学的意识。所以在小学数学的教学中要不失时机地对学生实行数学思想方法的渗透。要在小学阶段渗透数学基本思想方法能够从以下几个方面入手：（一）在确定教学目标、实施教学过程、落实教学效果中,有意识地体现数学思想方法，在掌握重点、 突破难点中,有意识地使用数学思想方法。 （二）在回顾整理中,有意识地画龙点睛，突出数学思想方法，适时地对某种数学思想方法实行揭示概括和强化,对它的名称、内容、规律、使用等有意识地点拨,不但能够使学生从数学思想方法的高度把握知识的本质和内在的规律,而且可使学生逐步体会数学思想方法的精神实质。 （三）使用一些渗透数学思想方法的题目有意识地从教学目标的确定、教学过程的实施,教学效果的落实等各个方面来体现,使每节课的教学目标获得和谐的统一。 数学的基本思想方法对于小学数学教材中培养学生的创新精神、科学精神和实践水平都有极其重要的 意义 古往今来，数学思想方法很多，每一种数学思想方法都闪烁着人类智慧的火花。根据小学生的年龄特点，结合自己的教学，下面介绍几种小学数学中常用的思想方法： （一）化归思想。 化归思想是把一个实际问题通过某种转化、归结为一个数学问题，把一个较复杂的问题转化、归结为一个较简单的问题。理应指出，这种化归思想不同于一般所讲的“转化”、“转换”。它具有不可逆转的 单向性。 例1 ：狐狸和黄鼠狼实行跳跃比赛，狐狸每次可向前跳41/2米，黄鼠狼每次可向前跳23/4米。它们每秒种都只跳一次。比赛途中，从起点开始，每隔123/8米设有一个陷阱,当它们之中有一个掉进陷阱时，另 一个跳了多少米？ 这是一个实际问题，但通过度析知道,当狐狸（或黄鼠狼）第一次掉进陷阱时，它所跳过的距离即是它每次所跳距离41/2（或23/4）米的整倍数，又是陷阱间隔123／8米的整倍数，也就是41/2和123/8的“最小公倍数”（或23/4和123/8的“最小公倍数”）。针对两种情况，再分别算出各跳了几次，确定谁先掉入陷阱，问题就基本解决了。上面的思考过程，实质上是把一个实际问题通过度析转化、归结为一个求“最小公倍数”的问题，即把一个实际问题转化、归结为一个数学问题，这种化归思想正是数学水平的表现之 一。 （二）类比思想。 数学上的类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想，它能够解决一些表面上看似复杂困难的问题。类比思想不但使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟得自然和简洁，从而能够激发起学生的创造力，正如数学家波利亚所说：“我们应该讨论一般化和特殊化和类比的这些过程本身，它们是获得发现的伟大源泉。” 如由加法交换律a＋b＝b＋a的学习迁移到乘法分配律a×b=b×a的学习。 （三）分类思想 分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。如三角形能够按边分，也能够按角分。不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。对数学对象的准确、合理的分类取决于分类标准的准确、合理性，数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建 构。
小学数学常见数学思想方法归纳与整理 1、对应思想方法 对应是人们对两个集合元素之间的联系的一种思想方法。小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。如直线（数轴）上的点与表示具体大小的数的一一对应，又如分数应用题中一个具体数量与一个抽象分数（分率）的对应等。对应思想也是解答一般应用题的常见方法。 2、转化思想方法： 这是解决数学问题的重要策略。是由一种形式变换成另一种形式的思想方法。如几何形体的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等。在计算中也常常用到转化，如甲÷乙（零除外）=甲×，又如除数是小数的除法可以转化成除数是整数的除法来计算。在解应用题时，常常对条件或问题进行转化。通过转化达到化难为易、化新为旧、化繁为简、化整为零、化曲为直等。 3.符号化思想方法： 数学的思维离不开符号的形式（图、表），这样可大大地简化和加速思维的进程。符号化语言是数学高度抽象的要求。如定律a.b=b.a，公式S=vt等都是用字母表示数和量的一般规律，而运算的本身就是符号化的语言。所以说，符号化思想方法是数学信息的载体，也是人们进行定量分析和系统分析的一种载体。 4、分类思想方法： 分类的思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。如对自然数的分类，若按能否被2整除可分为奇数和偶数，若按约数的个数分则可分为质数、合数和1。又如三角形既可按角分，也可按边分。不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。对数学对象的正确、合理分类取决于分类标准的正确、合理性。数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。 5、比较思想方法 比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。 6、类比思想方法
小学数学教学中渗透的数 学思想与方法 Newly compiled on November 23, 2020
小学数学教学中渗透的数学思想与方法 【摘要】小学数学是小学阶段的必学学科也是重要的学科之一，教师在教学时需要注意对学生进行数学教学方法的渗透，让小学生在学习数学学科时能够发展他们的思维模式并提高他们的创新思维能力。 【关键词】小学数学教学渗透数学思想与方法 【中图分类号】【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）04-0132-02 随着现代化科技的发展，学习学习数学学科不仅仅是学习数学的基础知识，更重要的是掌握学习的技能，以及在生活中能够加以运用数学，这也是教师教学的主要目的，让学生具有更高的教学素养。 一、小学数学教学中应渗透的数学思想方法 1.归纳思想 所谓归纳就是由具体的一些例子推理出一个结论或者犯法，这是一个推理的过程，归纳的重要性是在细心的观察中得到一些总结，这种总结也是基于在实践中得到的，小学数学学科中需要重视对小学生的归纳能力的培养。首先是让学生在一系列操作以及分析对比下获取知识，让学生在教师的引导下将知识由模糊变得清晰，这样将学生的思维进行升华和提高。在此基础上找出实际的案例，对案例进行分析，最后进行归纳总结。例如在对小学生讲授年月日时，可以对小学生对年历进行引导性的带入观察，
归纳出一年的31天的大月有几个月，30天的月份有几个月，以及二月份是28还是29天，这都是归纳法的运用。 2.分类的思想方法 分类的思想方法就是将整体变为几个小部分，在一个整体中进行划分，对划分的内容进行具体的分析，这样可以让整体变为小的分支，从而更好地解决问题。在小学数学中分类的方法运用的很多，并且使用也很广泛，一般都是对比较复杂的思想方法进行分类，让数学思想在复杂中被简易化，在分类思想下，可以将相同的思想方法以及不同的思想方法进行分类，让小学生深刻的理解数学知识中的含义，对数学的概念等会有更加全面系统的理解。例如学生在学习三角形这一课时，可以运用分类的方法将三角形分为锐角直角和钝角，这样的分类学生就会更加清晰的知道这三者类别之间的区别。 3.单位思想 数学学科中最常见的就是单位的使用，教师可以在讲授计数这些问题时采用计数单位，将计数单位合理的运用也是学好小学数学的基础之一。例如在学习升和毫升时，教师在讲课时会事先提问学生水壶的容量，并且给学生做个小测试，让实例使学生了解容量单位，实际操作时用小的杯子盛满水，放入大的杯子中，观察小的杯子盛几杯大的杯子会满，从而来计算出杯子的容量，这样可以让学生对单位有更深刻的认知。 二、渗透数学思想方法的教学策略
小学数学中常见的几种数学思想方法 我们的教学实践表明：小学数学教育的现代化，主要不是内容的现代化，而是数学思想及教育手段的现代化，加强数学思想的教学是基础数学教育现代化的关键。所谓数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，它直接支配着数学的实践活动。所谓数学方法，是指某一数学活动过程的途径、程序、手段。数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段。以上合称为数学思想方法。一、小学数学教学中渗透数学思想方法的必要性小学教学教材是数学教学的显性知识系统，数学思想方法是数学教学的隐性知识系统。许多重要的法则、公式，教材中只能看到漂亮的结论，许多例题的解法，也只能看到巧妙的处理，而看不到由特殊实例的观察、试验、分析、归纳、抽象概括或探索推理的心智活动过程。虽然数学知识本身是非常重要的，但是它并不是唯一的决定因素，真正对学生以后的学习、生活和工作长期起作用，并使其终生受益的是数学思想方法。因此，向学生渗透一些基本的数学思想方法，是数学教学改革的新视角，是进行数学素质教育的突破口。二、在小学数学课堂中如何运用数学思想方法 1.符号思想用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学的内容，这就是符号思想。符号思想是将复杂的文字叙述用简洁明了的字母公式表示出来，便于记忆，便于运用。把客观存在的事物和现象及它们相互之间的关系抽象概括为数学符号和公式，有一个从具体到表象再抽象的过程。在数学中各种量的关系，量的变化以及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式来表达大量的信息。例1：“六一”联欢会上，小明按照3个红气球、2个黄气球、1个蓝气球的顺序把气球串起来装饰教室。你能知道第24个气球是什么颜色的吗?解决这个问题可以用书写简便的字母a、b、c分别表示红、黄、蓝气球，则按照题意可以转化成如下符号形式：aaabbc aaabbc aaabbc……从而可以直观地找出气球的排列规律并推出第24个气球是蓝色的。这是符号思想的具体体现。 2.化归思想化归思想是数学中最普遍使用的一种思想方法，其基本思想是：把甲问题的求
小学数学教学中渗透数学思想方法的策略研究
小学数学教学中渗透数学思想方法的策略研究 上海市三新学校徐顺龙重视数学“双基”教学，是我国中小学数学教学的传统优势；但毋庸置疑，其本身也存在着诸多局限性。如何继承和发展“双基”教学，是当前数学教育研究的一个重要课题。《上海市中小学数学课程标准》对此明确指出，“应与时俱进地重新审视数学基础”，并提出了新的数学基础观，其中把数学思想方法作为数学基础知识的一项重要内容。中国科学院院士、著名数学家张景中曾指出：“小学生学的数学很初等，很简单。但尽管简单，里面却蕴含了一些深刻的数学思想。”与以往教材相比，上海市小学数学新教材更加重视数学思想方法的教学，把基本的数学思想方法作为选择和安排教学内容的重要线索。让学生通过基础知识和基本技能的学习，懂得有条理地思考和简明清晰地表达思考过程，运用数学的思想方法分析和解决问题，以更好地理解和掌握数学内容，形成良好的思维品质，为学生后续学习奠定扎实的基础。面对新课程背景下渗透数学思想方法教学的新要求，作为新教材的实施者，下面就小学数学课堂教学中渗透数学思想方法的策略，谈谈自己的一些认识与实践。 一、小学数学教学中渗透数学思想方法的着眼点 1、渗透数学思想方法应加强过程性 渗透数学思想方法，并不是将其从外部注入到数学知识的教学之中。因为数学思想方法是与数学知识的发生发展和解决问题的过程联系在一起的内部之物。教学中不直接点明所应用的数学思想方法，而应该引导学生在数学活动过程中潜移默化地体验蕴含其中的数学思想方法，切忌生搬硬套、和盘托出。例如学生写出几个商是2的除法算式，通过观察可以归纳出被除数、除数和商之间的关系，大胆猜想出商不变的规律：可能是被除数和除数同时乘以或除以同一个数（零除外），商不变；也可能是同时加上或减去同一个数，商不变。到底何种猜想为真？学生带着问题运用不完全归纳举例验证自己的猜想，最终得到了“商不变性质”。所以学生获得“商不变性质”的过程，又是归纳、猜想、验证的体验过程，绝不是从外部加上一个归纳猜想验证。学生一旦感悟到这种思想，就会联想到加减法和乘法是否也存在类似的规律，从而把探究过程延续到
读《小学数学与数学思想方法》心得 体会 读《小学数学与数学思想方法》心得体会 一、教学进一步的升华 读《小学数学与数学思想方法》，对数学老师是一次思想和教学的提升，让我们能够明白数学的本质是什么？做为一名小学数学老师，我们究竟该进行怎样的教学？王教授告诉我们当面对新一轮课程改革，我们需要转变观念，逐步培养重视数学思想的意识,同时又需要在数学的专业素养上的提高自己，这样才能更好地落实“四基”目标。这也让我们明白不能纯粹地教会学生一些知识，一些解决问题的技巧，更重要的是关注学生的思维，帮助学生初步地学会数学思想。 全书分为上篇和下篇两部分，上篇主要阐述与小学数学有关的数学思想方法，下篇是义务教育人教版小学数学中的数学思想方法案例解读。本书思想脉络清晰，上篇主要帮助教师认识数学思想方法，具有理论指导意义，下篇旨在通过生动形象的案例，
让教师感悟如何传授数学思想，具有实践指导意义。 二、我和大家一起分享我学习第二节“数学思想方法的教学”的心得 此书读过之后，我发现王教授阐述二年级下册《表内除法（一）》的教学过程，回想起自己所教的还是发现自己有很多不足，我只顾教学生数学方法，忽略传授数学思想，例如从文中了解到除法在教学的过程中分五个模块让学生经历除法概念的形成过程做了很多铺垫，如设计参观科技园准备分食物的大情境，如图1-3，通过例1把6块糖果分成3份理解平均分，通过例2和例3体验平均分有两种实际情况及平均分的过程、方法与结果，再通过例4把12个竹笋平均分成4盘引出除法、除号的概念，最后通过例5把20个竹笋每4个放一盘引出被除数、除数和商的概念。整个教学过程非常丰富，有观察、操作、演示、语言表达、画图、书写、符号特征、思考等多种活动，学生在已有的生活经验和积累的活动经验的基础上，逐步抽象出除法，初步理解除法的概念。再通过适当的练习和利用乘法口诀求商，进一步理解除法的概念。 在这教学过程中，只有引导学生感受从直观操
在小学数学中渗透数学思想方法 数学是我国在课程开设中唯一一门从幼儿教育到高等教育都有着重要地位的学科，业界各个领域都在研究一个问题，为什么学习数学那么多年，真正有用的仍然只是那些简单的运算形式，而初、高中以至大学阶段的高等数学基本上在生活应用中没有得以体现。其实，数学课程的开设目的并不是单纯讲授数学知识，而是通过知识使学生建立起一种严谨的逻辑思维，这种思维的建立，可以培养学生的问题分析能力、问题解决能力，也就是说，数学是在教我们对待生活、工作的态度。这种解决问题能力的培养被我们称为是数学思想渗透。 思想渗透的教育方式一直以来都是广大教育工作者所关注的重点，它是在遇到需要解决的问题时首先构建系统的知识架构，然后根据架构模式逐一解决问题的难点，达到最终攻克问题的目的。国内外的一些教育专家们对于这个问题的研究已经取得了很大的进展。目前，世界各国都在培养学生们解决问题的这种能力，并且将其作为一项很重要的教育指标。我国教育经历了多年的教学改革，不断提出新的要求，在培养学生积极主动学习的学习态度方面主要通过渗透教学方式开展，将学生作为教育的主体，发挥出他们的主体性，当遇到问题时，首先要学会自己分析问题，然后结合数学的思想去解决问题。然而，数学思想并不是单独的一个知识点，不能像别的知识一样传授给学生，它是隐藏在一些基础知识之中，需要老师对其加以分析，通过分析之后进行总结才能将其显露出来。 而现如今，在小学的数学教学中，将数学思想渗透其中老师们已经达成了共识。在新课标的修订之下，根据新课标修订的理念要求，学生必须学会探究和领悟，这才是渗透数学思想的关键问题。尤其是针对小学中段学生的教育，年龄体系大多在8－10岁左右，这个年龄段刚刚开始建立自我解决问题的能力，对于数学渗透思维的培养尤为重要，因此，老师们将数学思想渗透其教学中的的重视程度也决定了是否能有效地开发出学生们的数学天赋，提高学生们的数学素养，进而提供学生的学习质量。 渗透思想在小学中高段教学中的应用 根据最新改革的《小学数学课程标准》来看，在小学数学解题的过程中，涉及到的思想方法有：符号化思想、化归思想、分类思想以及数学模型等，学生们经常用到这些方法不仅仅来解数学题，而且可以解决实际问题。结合多年来的
小学数学思想方法 教育 2009-12-16 23:07 阅读32 评论0 字号：大中小 1、对应思想方法 对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。如直线上的点（数轴）与表示具体的数是一一对应。 2、假设思想方法 假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。 3、比较思想方法 比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。 4、符号化思想方法 用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学内容，这就是符号思想。如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。如定律、公式、等。 5、类比思想方法 类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式。类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟的自然和简洁。 6、转化思想方法 转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，而其本身的大小是不变的。如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等，在计算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙。 7、分类思想方法 分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数；按约数的个数分质数和合数。又如三角形可以按边分，也可以按角分。不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。对数学对象的正确、合理分类取决于分类标准的正确、合理性，数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。 8、集合思想方法 集合思想就是运用集合的概念、逻辑语言、运算、图形等来解决数学问题或非纯数学问题的思想方法。小学采用直观手段，利用图形和实物渗透集合思想。在讲述公约数和公倍数时采用了交集的思想方法。 9、数形结合思想方法 数和形是数学研究的两个主要对象，数离不开形，形离不开数，一方面抽象的数学概念，复杂的数量关系，借助图形使之直观化、形象化、简单化。另一方面复杂的形体可以用简单的数量关系表示。在解应用题中常常借助线段图的直观帮助分析数量关系。 10、统计思想方法： 小学数学中的统计图表是一些基本的统计方法，求平均数应用题是体现出数据处理的思想方法。 11、极限思想方法： 事物是从量变到质变的，极限方法的实质正是通过量变的无限过程达到质变。在讲“圆的面积和周长”时，“化圆为方”“化曲为直”的极限分割思路，在观察有限分割的基础上想象它们的极限状态，这样不仅使学生掌握公式还能从曲与直的矛盾转化中萌发了无限逼近的极限思想。 12、代换思想方法： 它是方程解法的重要原理，解题时可将某个条件用别的条件进行代换。如学校买了4张桌子和9把椅子，共用去504元，一张桌子和3把椅子的价钱正好相等，桌子和椅子的单价各是多少？ 13、可逆思想方法： 它是逻辑思维中的基本思想，当顺向思维难于解答时，可以从条件或问题思维寻求解题思路的方法，有时可以借线段图逆推。如一辆汽车从甲地开往乙地，第一小时行了全程的1/7，第二小时比第一小时多行了16千米，还有94千米，求甲乙之距。