代数(三)
根式计算(三)
——二次根式
【知识要点】
1.二次根式:
定义:()0a ≥叫做二次根式。
性质:①
()()2200a a a a =≥=≥,反之
()0a a =≥,反之)0a a =
≥
2.二次根式的乘、除法运算 (1)乘法运算:ab b a =
?()0,0a b ≥≥;
(2)0,0a b =≥> 3.二次根式的加、减法运算
(1)最简二次根式:
①被开方数的因数是整数,因式是整式即被开方数不含有分母。
②被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数。
(2)同类二次根式:
几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式。
判断同类二次根式时,注意以下三点:
①都是二次根式,即根指数都是2;
②必须先化成最简二次根式;
③被开方数相同。
(3)加减法步骤:
先把各根式化成最简二次根式,再合并同类二次根式。合并同类二次根式的方法与合并同类项类似。
4.分母有理化
把分母中的根号化去,叫做分母有理化。由分式的基本性质和二次根式的性质可以得到分母有理化的方法:
)0,0a b ===≥> 【典型例题】
例1 计算化简下列各题:
①(2
②2?? ③2-
⑤?- ?
例2 计算化简下列各题:
①(()20b ≥ ②(2
③212ab ?? ? ??? ④2
⑤()0,08543≥≥c a c b a )0ab ≥
例3 (1)下列根式中,哪些是最简二次根式?哪些不是?为什么?(其中0x >,0y >)。
,
(2)下列根式中,哪些是同类二次根式?为什么?
,
(3)下列根式中,哪些是同类二次根式?为什么?(题中字母都为正数)
,2x
例4 比较大小:(1)4 (2
例5 计算下列各题:
(1)?- ? (2)??- ??
(3)? ?
(4(5)3a
【练 习】
A 组
1(),0x y a =
>>。
2()0x y =
>≥ 3.化简:
(1(2
(3 (4? ?
4.计算:
(1)(2
(3(4(5
(6(7)
B 组
1)
A B.
2是同类根式的个数为()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3是同类二次根式的是()
A.只有② B.有②、③ C.有①、③ D.不存在
4.下列各组二次根式,同类二次根式是()
A. D,
5.填空题
(1)=;
(2)=;
(3)=;
(4)=;
(5)=;
(6)=;
(7)=;
板块一 二次根式与配方思想 【例1】 已知实数x ,y ,z 满足211 4412034x y y z z z -++++-+=,求2()y z x +?的值. 【巩固】 已知实数a ,b ,c 满足21 22102a b b c c c -+++-+=,求()a b c + 【例2】 已知正数a 和b ,有下列命题: ⑴若2a b +=,则1ab ≤; ⑵若3a b +=,则3 2ab ≤; ⑶若6a b +=,则3ab ≤. 根据以上三个命题所提供的规律,猜想若9a b +=,则ab ≤ . a b n +=,则ab ≤ ,并式证明上式成立. 【巩固】 已知非零实数a 、b 满足等式542 b a a b ab b a ++=+,求32b a b a ++的值. 【例3】 若正数m ,n 满足42443m mn m n n +--+=,求28 22002m n m n +-++ 第4讲:二次根式中的配方思想 例题精讲
【巩固】 计算()x y +÷. 【补充】已知正数a ,b ,且满足1=,求证:221a b += 【例4】 1()2 x y z =++,求x 、y 、z 的值. 【巩固】 设32 a b c +++=,求代数式222a b c ++的值. 【巩固】 如果实数a b c ,,满足2a b =2104ab +=的值. 【巩固】 设,,a b c 是实数,若14a b c ++=,则2bc =________. 【例5】 11a a b ab +-+ 板块二:多重二次根式 双重二次根式: 多重二次根式:二次根式的被开方数(式)中含有多于一个二次根式的式子叫多重二次根式.双(多)重二 次根式的解法:平方法、配方法、构造法、待定系数法. 【例6】
一、选择题 1.如果0,0a b <<,且6a b -=,则22a b -的值是( ) A .6 B .6- C .6或6- D .无法确定 2.下列计算正确的是( ) A .()2 22a b a b -=- B .()3 22x x 8x ÷=+ C .1a a a a ÷? = D . () 2 44-=- 3.下列二次根式中是最简二次根式的为( ) A .12 B .30 C .8 D . 12 4.如图,在矩形ABCD 中无重叠放入面积分别为16cm 2和12cm 2的两张正方形纸片,则图中空白部分的面积为( ) A .(8﹣43)cm 2 B .(4﹣23)cm 2 C .(16﹣83)cm 2 D .(﹣12+83)cm 2 5.计算() 21 273632 ÷+?--的结果正确的是( ) A .3 B .3 C .6 D .33- 6.已知,那么满足上述条件的整数的个数是( ). A .4 B .5 C .6 D .7 7.下列计算正确的是( ) A 366=± B .422222=C .83266= D a b ab =(a≥0,b≥0) 8.下列各式计算正确的是( ) A 235+=B .2 36=() C 824= D 236= 9.已知m =12n =12223m n mn +- ( ) A .±3 B .3 C .5 D .9 10.下列各组二次根式中,能合并的一组是( ) A 1a +1a -B 3和 1 3 C 2a b 2ab D 318
二、填空题 11.比较实数的大小:(1)5?-______3- ;(2)51 4 -_______12 12.计算(π-3)02-2 11(223)-4 --22 --() 的结果为_____. 13.对于任何实数a ,可用[a]表示不超过a 的最大整数,如[4]=4,[3]=1.现对72进行如下操作:72 [72]=8 [8]=2 [2]=1,类似地,只需进行3次操作 后变为1的所有正整数中,最大的是________. 14.已知a =﹣ 73 +,则代数式a 3+5a 2﹣4a ﹣6的值为_____. 15.已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示,化简2a ﹣|a ﹣c |+2()c b -﹣|﹣b |=_______. 16.把1 m m - _____________. 17.若a 、b 、c 均为实数,且a 、b 、c 均不为0432 52a c b =___________ 18.已知|a ﹣20072008a -=a ,则a ﹣20072的值是_____. 19.已知4a 2(3)|2|a a +--=_____. 20.3a ,小数部分是b 3a b -=______. 三、解答题 21.计算: (18322(2))((2 52253 82 +-+. 【答案】(1)52 【分析】 (1)先化简二次根式,再合并同类二次根式即可; (2)根据平方差公式化简,再化简、合并同类二次根式即可. 【详解】 (18322=22422 =52 (2) )((2 52253 82 +--+
湘教版2020八年级数学上册第五章二次根式自主学习基础过关测试卷(附答案详解) 1.下列运算正确的是( ) A .?233-=±3 B .27=3 C .?9=?3 D .?32=9 2.下列二次根式计算正确的是( ) A .-=1 B .+= C .×= D .÷= 3.函数12y x = --x 的取值范围是( ) A .21x ≥- B .12x ≤- C .12x ≥ D .12x ≤ 4.若38877665 a =----,则a 的取值范围为( ). A .0a ≥ B .01a << C .12a << D .2a > 5.已知:m 2+1,n 2﹣1223m n mn ++=( ) A .±3 B .﹣3 C .3 D 56423-为( ) A .43 B .23 C 31 D .1 7.下列运算正确的是( ) 1223=332=(53)(523)252319-+=-?=,④105)522-1(=; A .①② B .②③ C .①④ D .③④ 88n n 的最小值是( ) A .0 B .2 C .3 D .4 92x -x 满足条件( ) A .x >2. B .x ≥2 C .x <2 D .x ≤2. 10.2是同类二次根式的是( ) A 12 B 0.5 C 20 D 4x 11331123a x 、33x a 、33a x 34a x 3ax
次根式的是___________. 12π=_____________ 13.()(3)=_____. 14. =_____. 15.=_____. 16在实数范围内有意义,则x 的取值范围是_________________. 17______ . 18在实数范围内有意义,则x 的取值范围是______. 19.已知22x y+xy 的值为_____. 20.已知1y 3==___________ 21.计算 (1) (2)2 22)1x - 23.计算:(24.计算: (12 ; (2)? ?÷ 25.先化简,再求值:211211x x x x ??÷-= ?-+?? ,其中 26.把下列根式化成最简二次根式: (1; (2
16.2 二次根式的乘除 二次根式的乘法 基础训练 知识点1 二次根式的乘法法则 1.(河池)计算:×= . 2.(安徽)计算×的结果是( ) A. B.4 C. D.2 3.(中考·海南)下列各数中,与的积为有理数的是( ) A. B.3 C.2 D.2- 4.等式·=成立的条件是( ) A.x≥1 B.-1≤x≤1 C.x≤-1 D.x≤-1或x≥1 5.下列等式成立的是( ) A.4×2=8 B.5×4=20 C.4×3=7 D.5×4=20 6.(2016·长沙)下列计算正确的是( ) A.×= B.x8÷x2=x4
C.(2a)3=6a3 D.3a3·2a2=6a6 7.×的计算结果估计在( ) A.1至1.5之间 B.1.5至2之间 C.2至2.5之间 D.2.5至3之间 8.在△ABC中,BC=4 cm,BC边上的高为2 cm,则△ABC的面积为( ) A.6 cm2 B.4 cm2 C.8 cm2 D.16 cm2 知识点2 积的算术平方根的性质 9.若=·成立,则( ) A.a≥0,b≥0 B.a≥0,b≤0 C.ab≥0 D.ab≤1 10.若=·,则x的取值范围是( ) A.x≥-3 B.x≥2 C.x>-3 D.x>2 11.(重庆)化简的结果是( ) A.4 B.2 C.3 D.2
12.下列计算正确的是( ) A.=× B.=5a2b C.=8+5 D.=7 13.对于任意实数a,下列各式中一定成立的是( ) A.=· B.=a+6 C.=-4 D.=5a2 14.设=a,=b,用含有a,b的式子表示,则下列表示正确的是( ) A.0.3ab B.3ab C.0.1ab2 D.0.1a2b 15.将a根号外的因式移到根号内. 提升训练 16.计算:
第4讲二次根式及其运算一、选择题 1.(2020·杭州)2×3=(B) A.5B.6C.23D.32 2.下列二次根式化简后,与2的被开方数相同的是(D) A.12B.3 2C. 2 3D.18 3.(2020·聊城)计算45÷33×3 5的结果正确的是(A) A.1 B.5 3C.5 D.9 4.(2019·河池)下列式子中,为最简二次根式的是(B) A.1 2B.2C.4D.12 5.(2020·临沂)设a=7+2.则(C) A.2<a<3 B.3<a<4 C.4<a<5 D.5<a<6 6.若m 与6是同类二次根式,则m的值可以是(B) A.12 B.24 C.36 D.48 7.(2020·南通)下列运算,结果正确的是(D) A.5-3=2B.3+2=32 C.6÷2=3 D.6×2=23 8.(2020·黔东南州)实数210介于(C) A.4和5之间B.5和6之间 C.6和7之间D.7和8之间 9.若a,b为实数,且|a+1|+b-1=0,则-(-ab)2019的值是(C) A.1 B.2019 C.-1 D.-2019 10.(2020·武威)若一个正方形的面积是12,则它的边长是(A) A.23B.3 C.32D.4 二、填空题 11.(2020·扬州)代数式x+2 3在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是__x≥- 2__.
12.(2020·遵义)计算:12 -3 的结果是__3 __. 13.(2020·常德)计算:92 -12 +8 =__32 __. 14.(2020·北京)写出一个比2 大且比15 小的整数__2(或3)__. 15.(2020·威海)计算3 -12 -(8 -1)0的结果是__-3 -1__. 16.(北师八上P51T14改编)满足-3 八年级二次根式(教师讲义带答案) 第五章二次根式 【知识网络】 知识点一:二次根式的概念 形如()的式子叫做二次根式。 注:在二次根式中,被开方数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:因为负数没有平方根,所以是为二次根式的前提条件,如,,等是二次根式,而,等都不是二次根式。 知识点二:取值范围 1.二次根式有意义的条件:由二次根式的意义可知,当a≧0时,有意义,是二次根式,所以 要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可。 2.二次根式无意义的条件:因负数没有算术平方根,所以当a﹤0时,没有意义。 知识点三:二次根式()的非负性 ()表示a的算术平方根,也就是说,()是一个非负数,即0()。 注:因为二次根式()表示a 的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是 0,所以非负数( )的算术平方根是非负数,即 0( ),这个性质也就是非负数的算术 平方根的性质,和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多,如若,则 a=0,b=0;若 ,则a=0,b=0;若 ,则a=0,b=0。 知识点四:二次根式()的性质 () 文字语言叙述为:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注:二次根式的性质公式()是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过 来应用:若 ,则 ,如: , . 知识点五:二次根式的性质 文字语言叙述为:一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注: 1、化简 时,一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数,若是正数或0,则等于a 本身,即 ;若a 是负数,则等于a 的相反数-a,即 ; 2、中的a 的取值范围可以是任意实数,即不论a 取何值, 一定有意义; 3、化简 时,先将它化成 ,再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六: 与 的异同点 1、不同点: 与 表示的意义是不同的, 表示一个正数a 的算术平方根的平方,而表 示一个实数a 的平方的算术平方根;在 中 ,而 中a 可以是正实数,0,负实数。但 与 都是非负数,即, 。因而它的运算的结果是有差别的, ,而 2、相同点:当被开方数都是非负数,即 时, = ; 时, 无意义,而 . 知识点七:二次根式的运算 1.二次根式的乘除运算 (1)运算结果应满足以下两个要求:①应为最简二次根式或有理式;②分母中不含根号. (2)注意知道每一步运算的算理; (3)乘法公式的推广: 123123123(0000)n n n a a a a a a a a a a a a =????≥≥≥≥L L L L L L ,,,,八年级二次根式(教师讲义带答案)资料讲解
新人教版八年级数学下册二次根式同步练习解析