1.生产计划问题
例：一个工厂有车床、刨床、钻床和铣床四种设备。生产A、B、C、D、E五种产品。每种设备每天生产时间为8小时，每年工作日为250天。各种设备的台数，全年能力（可用工时）、每种产品生产一件需要分别占用四种设备的工时（单位：小时）、五种产品可以获得的利润（单位：元/件）如表所示：
设备名称设备台数产品A产品B产品C产品D产品E设备能力（小时）车床120.230.440.170.080.3612*8*250＝24000刨床140.13-0.200.370.1911*8*250＝22000钻床8-0.250.34-0.188*8*250＝16000铣床60.550.72-0.61-6*8*250＝12000产品利润12394105132118
决策：现在，我们要确定这五种产品的生产数量，使得占用的设备工时不超过各种设备的能力，同时使总利润最大。
2.配料问题
例：化肥厂用四种原料A、B、C、D混合成复肥料M，这四种原料的单价以及复合肥料（M）所要求的氮（N）、磷（P）、钾（K）的最低百分含量（%）如表所示
A B C D M
氮（N）30 15 －15 15
磷（P）10 - 25 15 15
钾（K）- 20 15 15 10
单价（元/吨）115 97 82 76
要求：配1000吨复合肥料M，并假定在配制过程中物料没有损耗，求使得总成本最低的肥料配方
3.背包问题
例：一艘货船最大载重量为5000千克，现在A、B、C、D、E、F六种货物待装运，每种货物单件的价值和重量如表所示：
A B C D E F
价值（元/件） 2.75 3.22 4.55 4.73 5.01 5.50 330 420 530 550 590 640
重量（千克/
件）
要求：每种货物各装多少件，才能使用得货船中的货物总价值最大？
4.物流配送问题
例：某种产品有三个生产地A1、A2和A3，运往四个需求地B1，B2、B3和B4 。各生产地的生产量，各需要地的需求量、每个生产地到每个需求地每吨产品的运输价格如表：
运价（元/吨）B1B2B3B4生产量
A1 12 13 21 7 510
A2 14 17 8 18 470
A3 10 11 9 15 520
需求量（吨）200 400 600 300 1500
求：总运费最低的配送方案？
5.公司选择问题
例：一家控股公司要在下属的五家子公司中选择三家准备上市。这五家子公司的资产、负债和税后利润如下表。要求所选择的三家公司的总资产不低于10亿元、负债不超过5亿元，并使得新组建的公司税后利润最大
子公司A B C D E 资产（亿元） 3.48 5.627.33 6.27 2.14负债（亿元） 1.28 2.53 1.02 3.550.53
税后利润（亿元）5400230046003300980
6.指派问题
例：市政府有四项市政建设工程招标，经过初选，四家建设公司最后参与这四项工程竞标。每家公司对于每个工程的报价如表所示：
工程A工程B工程C工程D
甲公司920 480 650 340
乙公司870 510 700 350
丙公司880 500 720 400
丁公司930 490 680 410
市政策规定，每项工程只能有一家公司中标，每个公司只能承担一项工程。
求：总价最低的决策方案
线性规划模型及其举例 摘要：在日常生活中，我们常常对一个问题有诸多解决办法，如何寻找最优方案，成为关键，本文提出了线性规划数学模型及其举例，在一定约束条件下寻求最优解的过程，目的是想说明线性规划模型在生产中的巨大应用。 关键词：资源规划；约束条件；优化模型；最优解 在工农业生产与经营过程中，人们总想用有限的资源投入，获得尽可能多的使用价值或经济利益。如：当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标；企业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多，利润最大）。 一.背景介绍 如果产出量与投入量存在（或近似存在）比例关系，则可以写出投入产品的线性函数式： 1()n i ij j j f x a x ==∑，1,2,,,1i m m =+ (1) 若将（1）式中第（1m +）个线性方程作为待求的目标函数，其余m 个线性方程作为资源投入的限制条件（或约束条件），则（1）式变为： OPT. 1()n j j j f x c x ==∑ ST. 1 n ij j j a x =∑> ( =, < )i b , 1,2,,i m = (2) 0,j x ≥ 1,2,,j n =… （2）式特点是有n 个待求的变量j x （1,2,,j n =…）；有1个待求的线性目标函数()f x ，有m 个线性约束等式或不等式，其中i b （1,2,,i m =…）为有限的资源投入常量。将客观实际问题经过系统分析后，构建线性规划模型，有决策变量，目标函数和约束条件等构成。 1．决策变量（Decision Variable,DV ）在约束条件范围内变化且能影响（或限定）目标函数大小的变量。决策变量表示一种活动，变量的一组数据代表一个解决方案，通常这些变量取非负值。 2．约束条件（Subject To,ST ）在资源有限与竞争激烈的环境中进行有目的性的一切活动，都
近几年全国卷高考文科数学线性规划高考题汇 编 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
线性规划高考题 1.[2013.全国卷 2.T3]设,x y满足约束条件 10, 10, 3, x y x y x -+≥ ? ? +-≥ ? ?≤ ? ，则23 z x y =-的最小值是（） A.7- B.6- C.5- D.3- 2.[2014.全国卷2.T9]设x，y满足的约束条件 10 10 330 x y x y x y +-≥ ? ? --≤ ? ?-+≥ ? ，则2 z x y =+的最大值为（） A.8 B.7 C.2 D.1 3.[201 4.全国卷1.T11]设1，y满足约束条件 , 1, x y a x y +≥ ? ? -≤- ? 且z x ay =+的最小值为7，则a=（） A．-5 B. 3 C．-5或3 D. 5或-3 4. [2012.全国卷.T5] 已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=－x+y的取值范围是（） A.(1－3，2) B.(0，2) C.(3－1，2) D.(0，1+3) 5.[2010.全国卷.T11]已知ABCD的三个顶点为A（-1，2），B（3，4），C（4，-2），点（x，y）在ABCD的内部，则z=2x-5y的取值范围是（） A.（-14，16） B.（-14，20） C.（-12，18） D.（-12，20） 6. [2016.全国卷3.T13]设x，y满足约束条件 210, 210, 1, x y x y x -+≥ ? ? --≤ ? ?≤ ? 则z=2x+3y–5的最小值为 7．[2016.全国卷2.T14]若x，y满足约束条件 10 30 30 x y x y x -+≥ ? ? +-≥ ? ?-≤ ? ，则z=x-2y的最小值为
六种经典线性规划例 题
求线性目标函数的取值范围 x y [3,6] y 2 i O x=2 求可行域的面积 y y C 5 \ M O ) 13 x y x x O x y ) D y =2 x , 个 2 2 x + y -3 = 0s D 、无穷大 2 2 2 2 () y y y y 三、求可行域中整点个数 y x B A 2x + y =5 旦y =2 解：如图，作出可行域，△ OMBC 的面积减去梯 x L ' x + y =2 D 、( 3,5] ABC 的面积即为所求，由梯形 OMAC 的面积即可，选 B (x (x (xp 0 (xp 0 中整点(横纵坐标都是整数)有 、14个 A 、[2,6] B 、[2,5] C 解：如图，作出可行域，作直线 l 向右上方平移，过点 A ( 2,0 2，过点B ( 2,2 )时，有最大值 线性规划常见题型及解法 由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标 函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 例1、若x 、y 满足约束条件 例3、满足|x| + |y| <2的点 A 、9 个 B 、10 个 C 、 ，则z=x+2y 的取值范围是 2 0,y 0) 0, y p 0) y 0) yp 0) 作出可行域如右图，是正方形内部(包括边界)，容易得 到整点个数为 13个，选D () A 、 4 B 、 1 x 解：凶+ |y| <2等价于 y 6 y 3 0表示的平面区域的面积为 2 2x 例2、不等式组 x x+2y = 0，将 时，有最小值 6，故选A
不等式与线性规划 知识讲解 一、不等式的定义 1.定义：用不等号（><≠， ，≥，，…）连接的式子叫不等式 2.同解不等式变形：一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等 式，那么这种变形叫做同解不等式变形． 3.不等式的性质 1）a b b a >?<（反身性或对称性） 2）a b >，b c a c >?>（传递性） 3）a b a c b c >?+>+ 4）,a b c d >>，则a c b d +>+． 5）a b >，0c >，则ac bc >；如果a b >，0c <，则ac bc <． 6）00a b c d >>>>， ，则ac bd >． 7）0a b >>，则(,1)n n a b n n +>∈>N ． 8）0a b >> ,1)n n +∈>N 二、不等式的解法 1.一元二次不等式的解集如下表
2.分式不等式的解法 1） () 0()()0()f x f x g x g x >??> 2） () 0()()0()f x f x g x g x ≥??≥且()0g x ≠ 3） ()()() (00()[()()]0)()()f x f x ag x a a g x f x ag x g x g x ->≠?>?-> 3.无理不等式的解法 12()0 ()()0()[()] f x g x g x f x g x ?≥?>?≥??>?或()0 ()0f x g x ≥??时，||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-，||ax b c c ax b c +?∈，||ax b c x φ+
对线性规划整点问题的探究 厦门双十中学 郭俊芳 在人教版第二册（上）（2004年6月第一版，2006年4月第3次印刷）的高中数学教材第7.4节——简单线性规划。课本第61~62页给出两个线性规划的实际问题。分别代表两个类型：例3属于第一类：给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大；例4属于第二类：给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源最小。且例4还要求最优解是整数解。笔者在教学中发现，这个问题是学生的难点，学生仅靠阅读课本解答是不能完全理解怎样得到这个最优解的。笔者经过多次的教学实践和研究，试图找到解决这类问题的方法，以下是笔者认为行之有效的方法。 一、精确图解法求整数最优解 课本P88习题16 某运输公司有7辆载重量为6t 的A 型卡车与4辆载重量为10t 的B 型卡车，有9名驾驶员。在建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360t 沥青的任务。已知每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车8次，B 型卡车6次，每辆卡车每天往返的成本费A 型车160元，B 型车252元。每天派出A 型车和B 型车各多少辆公司所花的成本费最低？ 解：设每天派出A 型车x 辆、B 型车y 辆，公司所花的成本为z 元，则 0x 70y 4x y 9 68x 106y 360x,y Z ≤≤??≤≤?? +≤????+??≥?∈?? 即0x 70y 4x y 94x 5y 30x,y Z ≤≤??≤≤?? +≤??+≥?∈?? z=160x+252y. 如图可行域是ABCD 围成的区域， 作直线160x+252y=0，图形中两直线160x+252y=0和4x+5y=30接近平行， 比较直线斜率k=160252- >-4 5 , 平移直线160x+252y=0，由图可知在A （7， 2 5 ）处取到最小值，但A 不是整数解。 在可行域内共有（3，4），（4，3），（4，4），（5，2），（5，3），（6，2），（6，3），（7，1），（7，2）整数解，经检验只有（5，2）是最优解，此时z=160×5+252×2=1304元。 这种方法适用于区域是封闭区域，且区域内的整数点可数，坐标网络画出来容易在图上识别哪些整点在可行域内。 二、利用近似解估算整数最优解 课本P63例4 要将两种不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示： x+y=9 4x+5y=30 160x+252y=0 A B C D
2013年北京模拟真题--线性规划(理) 1（2013东城期末3-6）已知x ，y 满足不等式组0,0, ,2 4. x y x y s y x ≥??≥?? +≤??+≤?当35s ≤≤时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是( ) （A ）[6,15] （B ）[7,15] （C ）[6,8] （D ）[7,8] 2(2013丰台一模16-4）．已知变量,x y 满足约束条件1101x y x x y +≤??+≥??-≤? ，则2x y e +的最大值是( ) (A) 3 e (B) 2 e (C) 1 (D) 4 e - 3（2013顺义二模20-6）.设变量y x ,满足约束条件?????-≥-≤+≥+14,42,22y x y x y x 则y x -32的取值范围是( ) A.??? ?? ?21,42 B.?? ? ???64,21 C.?? ? ???64,42 D.?? ? ? ??22,641 4（2013丰台期末5-10）．已知直线y x b =+与平面区域||2, :||2x C y ≤??≤? 的边界交于A 、B 两 点，若||22AB >，则b 的取值范围是 ． 5（2013房山期末7）. 已知函数ln ,0, ()1,0, x x f x x x >?=? --≤?D 是由x 轴和曲线()y f x =及该 曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则3z x y =-在D 上的最大值为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 1- 6（2013房山二模5）.已知,M N 是不等式组1,1,10,6 x y x y x y ≥??≥? ?-+≥??+≤?所表示的平面区域内的两个不同 的点，则||MN 的最大值是（ ） A. 34 2 B. 17 C. 32 D. 172
简单的线性规划问题 高考要求： 能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以 解决。 知识梳理： 1．线性规划的基本概念： (1)二元一次不等式组是一组对变量y x ,的约束条件,这组约束条件都是关于y x ,的一次不等式,所以又 称为线性约束条件。 (2)by ax z +=),(R b a ∈是欲达到最大值或最小值所涉及的变量y x ,的解析式，叫做目标函数。由 于 by ax z +=又是y x ,的一次解析式，所以又叫线性目标函数。 (3)求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条 件的解),(y x 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。分别使目标函数by ax z +=取得最大值或 最小值的可行解叫做这个问题的最优解。 2．基本思想：数形结合 高考热点： 热点1：平面区域问题 1．设集合A ＝{),(y x |x ，y ，y x --1是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是 ( ) 热点2：目标函数的最值问题 2．若变量y x ,满足不等式组?? ? ??≥+≥-≥+-0203052y x x y x ，求下列目标函数的最值： （1）y x z 2+= （2）y x z +=3 （3）y x z -=3 （4）1 1 ++=x y z （5）22)1()1(+++=y x z 小结： 拓展延伸： （6）若),(y x M 为D 上的动点，点A 的坐标为)1,3(-，则z OM OA =? 的最大值为 （7）已知向量)3,(z x +=，),2(z y -=，且b a ⊥，则z 的取值范围是 （8）y x z 2+= （9）y x z 2+= （10）若y x ,在上述不等式组所表示的区域内变动，且t x y +=2，则实数t 的取值范围是 热点3：已知最优解逆向求解参数值或范围 3．（2010. 浙江理7）若实数x ，y 满足不等式组330,230,10,x y x y x my +-≥?? --≤??-+≥? 且x y +的最大值为9，则实 数m =（ ） （A ）2- （B ）1- （C ）1 （D ）2 变式1：若上述不等式组中1=m ，使目标函数y ax z +=取最大值的最优解有无穷多个时，a 的值为 。若最优解只有一个时，a 的取值范围是 。 变式2：若原题中不等式组不变，且目标函数y mx z +=的最大值为9，则a 的值为 。
课题：线性规划在实际生活中的应用 教学目标： 1．知识目标：会用线性规划的理论和方法解决一些较简单的实际问题； 2．能力目标：培养学生观察、分析、联想、以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，培养学生自主探究意识，提高学生“建模”和解决实际问题的能力； 3．情感目标：培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新，鼓励学生讨论，学会沟通，培养团结协作精神． 教学重、难点： 教学重点：把实际问题转化成线性规划问题，即建模，并给出解答． 教学难点：1．建立数学模型．把实际问题转化为线性规划问题； 2．寻找整点最优解的方法． 教具：多媒体、实物投影仪、印好的习题纸和直尺（习题纸附后） 教学方法：讲练结合、分组讨论法 教学过程： （一）讲解新课 1．实例1讲解 引入：李咏主持的《非常6＋1》是大家很喜欢的娱乐节目． （播放视频：李咏首支个人单曲MV《你是我们的大明星》） 当娱乐大哥大李咏把《非常6＋1》里的金蛋砸得金花四溅时，央视总编却在思考着另外一个问题： 例1：央视为改版后的《非常6＋1》栏目播放两套宣传片．其中宣传片甲播映时间为3分30秒，广告时间为30秒，收视观众为60万，宣传片乙播映时间为1分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万．广告公司规定每周至少有3.5分钟广告，而电视台每周只能为该栏目宣传片提供不多于16分钟的节目时间．电视台每周应播映两套宣传片各多少次，才能使得收视观众最多？ 应用题是同学们最头痛的题型之一，它的特点是文字多、数据多，条件复杂，要看懂题目意思，理清题目中的数据，可以采用什么方式？请学生回答． 分析：将已知数据列成下表 播放片甲播放片乙节目要求 片集时间（min） 3.5 1 ≤16 广告时间（min）0.5 1 ≥3.5 收视观众（万）60 20
年高考数学试题知识分类汇编线性规划问题 It was last revised on January 2, 2021
2007年高考数学试题汇编 线性规划问题 1、（2007湖北）设变量x y ，满足约束条件30023x y x y x -+?? +??-? ≥，≥，≤≤，则目标函数2x y +的最小值 为 ． 2、（2007福建）已知实数x y ，满足2203x y x y y +?? -??? ≥，≤，≤≤，则2z x y =-的取值范围是________． 3、（2007年天津文）设变量x y ，满足约束条件 142x y x y y --?? +??? ≥≤≥，则目标函数z ＝2x +4y 的最大值为（ ） （Ａ）10 （Ｂ）12 （Ｃ）13 （Ｄ）14 C 4、（2007全国I ）下面给出四个点中，位于1010x y x y +-?， 表示的平面区域内的点是 （ ） Ａ．(02)， Ｂ．(20)-， Ｃ．(02)-， Ｄ．(20)， C 5、（2007陕西）已知实数x 、y 满足条件?? ? ??≥≥≤--≥+-,0,0,033, 042y x y x y x 则y x z 2+=的最大值 为 . 8 6、（2007重庆）已知23000.x y x y y +?? -??? ≤≥，≥则3z x y =-的最小值为 ． y ＝2 x －y ＝－ x ＋y ＝4 图1
9 7、（2007四川）某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的 3 2 倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得万元的利润，该公司正确提财投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为 万元 万元 万元 万元 B 8、（2007浙江）2z x y =+中的x y ，满足约束条件250300x y x x y -+=?? -??+?，≥，≥，则z 的最小值 是 ． 9、（2007山东）本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为万元和万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？ 解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得3005002009000000.x y x y x y +?? +???≤，≤，≥，≥ 目标函数为30002000z x y =+． 二元一次不等式组等价于3005290000.x y x y x y +?? +??? ≤，≤，≥，≥ 如图： l
第三章 不等式 第三讲 线性规划问题 科目 高三数学 班级 姓名 时间 2015-10-02 一．复习目标： 1.能用二元一次不等式(组) 表示平面区域，会求表示区域的面积 2.会求目标函数最值及约束条件、目标函数中的参变量的取值范围. 3.能利用线性规划方法设计解决实际问题的最优方案． 二．学习过程： (一)知识梳理：阅读课本，自主梳理总结以下几个问题： 1.如何用二元一次不等式(组)表示平面区域？ 2.线性规划的相关概念 (1)什么是约束条件？目标函数？线性规划问题？ (2)什么是可行域？可行解？最优解？ 3.利用图解法解决线性规划问题的一般步骤 第一步：设出 ，列出 ，确立 ， 第二步：根据约束条件，画出 ， 第三步：作出目标函数的等值线(等值线是指 )． 第四步：求出 ．在可行域内平行移动目标函数等值线，从图中能判定问题有 ，或者是有 ，或是 ． 思考： (1)点P 1和P 2位于直线Ax ＋By ＋C ＝0的两侧(或异侧)的充要条件是什么？ (2)可行解与最优解有何关系？最优解是否唯一？ (二）题型分析与研究 考点一 二元一次不等式(组)表示平面区域 例1.不等式组?? ???≤≥-+≤-+203062y y x y x 表示的平面区域的面积为 考点二 求目标函数的最值 (常见的目标函数有哪些？) 例3.(1)设变量x ，y 满足约束条件?? ???≥≤--≥-+10202y y x y x ，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值 为
(2)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组?? ???≤-+≥-+≥--083012022y x y x y x ，所表示的区域上一动 点，则直线OM 斜率的最小值为 (3)变量x ，y 满足?? ???≥≤-+≤+-102553034x y x y x ,(1)设z ＝y x ，求z 的最小值;(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围． 考点三 求线性规划中的参数问题 例3.(1)x ，y 满足约束条件?? ???≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ,若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯．．一． ，则实数a 的值为 (2)当实数x ，y 满足?? ???≥≤--≤-+101042x y x y x 时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范 围是________． 考点四 线性规划的实际应用 例4.某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元． (1)用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y ，表示每天的利润W (元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？
线性规划题及答案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
线性规划题型及解法 一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题 例1、设变量x 、y 满足约束条件?? ???≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。 二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题 例2、已知1,10,220x x y x y ≥??-+≤??--≤? 则22x y +的最小值是 . “()()2221++-y x ”值域？ 三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。 例3、在约束条件0 024x y y x s y x ≥??≥??+≤??+≤?下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范 围是（） A.[6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8] 四、已知平面区域，逆向考查约束条件。 例4、已知双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（） (A)0003x y x y x -≥??+≥??≤≤? (B)0003x y x y x -≥??+≤??≤≤? (C) 0003x y x y x -≤??+≤??≤≤? (D) 0003x y x y x -≤??+≥??≤≤? 五、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。 例5已知变量x ，y 满足约束条件1422x y x y ≤+≤??-≤-≤? 若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为 。 六、设计线性规划，探求平面区域的面积问题 例６在平面直角坐标系中，不等式组20 200x y x y y +-≤??-+≥??≥? 表示的平面区域的面积是（） (A) 七、研究线性规划中的整点最优解问题 例7、某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件 ?? ???≤≥+-≥-.112, 932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值是(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95 八、比值问题 当目标函数形如b x a y z --= 时,可把z 看作是动点()y x P ,与定点()a b Q ,连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
2009-2013年北京高考真题--线性规划汇编 5年高考真题分类汇编-教师卷 △注意事项： 1.本系列试题包含2009至2013年北京市高考真题，并经过精心校对。 2.本系列文档包含全部试题分类汇编，命名规律为： 2009-2013年北京高考真题--******试题汇编。 3. 本系列试题涵盖北京高考所有学科，均有相关实体书出售。 i. 、填空题（本大题共2小题，共10分） 1.（2013年北京高考真题数学(文)）设D 为不等式组0 2030x x y x y ≥?? -≤??+-≤? 所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为。 【答案解析】 5 2.（2009年北京高考真题数学(文)）若实数,x y 满足20,4,5,x y x x +-≥?? ≤??≤? 则s x y =+的最大值为. 【答案解析】9 ii. 、选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。在每小题给出的四个选项中，只有一 个选项是符合题目要求的） 3.（2011年北京高考真题数学(文)）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元. 若每批生产x 件，则平均仓储时间为 8 x 天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均没见产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件 【答案解析】B 4.（2010年北京高考真题数学(文)）设不等式组 表示的平面区域为D ，若 110330530x y x y x y 9+-≥?? -+≥??-+≤? 姓名：__________班级：__________考号：__________ ●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●
《运筹学》线性规划部分练习题 一、思考题 1． 什么是线性规划模型，在模型中各系数的经济意义是什么？ 2． 线性规划问题的一般形式有何特征？ 3． 建立一个实际问题的数学模型一般要几步？ 4． 两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？ 5． 求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误？ 6． 什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。 7． 试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。 8． 试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。 9． 在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？ 10．大M 法中，M 的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什么？最大化问题呢？ 11．什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情况下，继续第二阶段？ 二、判断下列说法是否正确。 1． 线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点达到。 2． 线性规划的可行解集是凸集。 3． 如果一个线性规划问题有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。 4． 线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大。 5． 线性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。 6． 如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。 7． 用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与0 >j σ对应的变量都可以被选作换入变量。 8． 单纯形法计算中，如不按最小非负比值原则选出换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值是负的。 9． 单纯形法计算中，选取最大正检验数k σ对应的变量k x 作为换入变量，可使目 标函数值得到最快的减少。 10． 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。 三、建立下面问题的数学模型 1． 某公司计划在三年的计划期内，有四个建设项目可以投资：项目Ⅰ从第一年到 第三年年初都可以投资。预计每年年初投资，年末可收回本利120% ，每年又可以重新将所获本利纳入投资计划；项目Ⅱ需要在第一年初投资，经过两年可收回本利150% ，又可以重新将所获本利纳入投资计划，但用于该项目的最大投资额不得超过20万元；项目Ⅲ需要在第二年年初投资，经过两年可收回本利160% ，但用于该项目的最大投资额不得超过15万元；项目Ⅳ需要在第三年年初投资，年末可收回本利140% ，但用于该项目的最大投资额不得超过10万元。在这个计划期内，该公司第一年可供投资的资金有30万元。问怎样的投资方案，才能使该公司在这个计划期获得最大利润？ 2．某饲养场饲养动物，设每头动物每天至少需要700克蛋白质、30克矿物质、 100克维生素。现有五种饲料可供选用，各种饲料每公斤营养成分含量及单 价如下表2—1所示：
第 2 讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 [考纲解读] 1.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组．(重点) 2.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决．(难点) [考向预测] 从近三年高考情况来看,本讲是高考必考内容．预测2020 年的考查,主要命题方向为：在约束条件下求目标函数的最值或根据最值情况求参数,同时能用线性规划解决实际问题．试题以客观题形式呈现,属中档题型. 1．二元一次不等式(组)表示的平面区域 2．线性规划相关概念 3．重要结论 (1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成实线； 特殊点定域：若直线不过原点,特殊点常选原点；若直线过原点,则特殊点常选取(0,1)
或(1,0)来验证． (2)利用“同号上,异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域： 对于Ax＋By＋C>0 或Ax＋By＋C<0,则有 ①当B(Ax＋By＋C)>0 时,区域为直线Ax＋By＋C＝0 的上方； ②当B(Ax＋By＋C)<0 时,区域为直线Ax＋By＋C＝0 的下方． (3)最优解和可行解的关系 最优解必定是可行解,但可行解不一定是最优解．最优解有时唯一,有时有多个． 4．利用线性规划求最值,用图解法求解的步骤 (1)作可行域； (2)将目标函数进行变形； (3)确定最优解； (4)求最值． 1．概念辨析 (1)不等式Ax＋By＋C>0 表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0 的上方．( ) (2)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．( ) (3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( ) (4)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中,z的几何意义是直线ax＋by－z＝0 在y轴上的截距．( ) 参考答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．小题热身 (1)不等式组Error!表示的平面区域是( )
破解线性规划中的整点问题 河南省三门峡市卢氏一高（472200）赵建文 Email:zhaojw1968@https://www.doczj.com/doc/6911373828.html, 线性规划中的整点问题是高中数学线性规划中的重要一类问题，是高中数学的一个难点，本文将整数线性规划问题解法作以简单介绍供同学们学习时参考. 例 某商店计划同时销售某品牌电热水器和太阳能热水器，由于市场需求旺盛，这两种产品供不应求，因该商店根据具体情况（如成本、员工工资）确定产品的月采购量，具体数据如下，问这两种产品各采购多少时，才能使总利润最大？最大利润是多少？ 分析：本题是整数规划问题，设采购电热水器x 台、太阳能热水器y 台，列出约束条件和目标函数，用图解法解之. 解析：设月采购电热水器x 台、太阳能热水器y 台，月总利润为z 元，则 1000300030000100050011000 ,x y x y x y N +≤??+≤??∈? ，即330222 ,x y x y x y N +≤??+≤??∈?，目标函数为 z =800600x y + 作出可行域如图所示， 作直线l ：86x y +=0， 平移直线z =800600x y +知过M 3638( ,)55时，max z =10320，但x =365，y =385不是整数，所以可行域内点M 3638( ,)55不是整点最优解. 求整点最优解 解法一 网格平移法 首先在可行域内打网格，其次描出M 3638(,)55 附近的所有整点，接着平移直线l ：86x y +=0，会发现当移至（8，6）时，直线在y 轴上截距最大，即max z =10000元. 解法二 特值检验法 由图可知目标函数取得最大值的整点应分布在可行域右上侧靠近边界的区域，一次取得满足条件的整点，（0，10），（1，9），（2，9），（3，9）（4，8），（5，8），（6，8），（7，7），（8，6），（8，5），（9，4），（10，2），（10，1），（11，0）.将这些点分别代入z =800600x y +，求出各点对应的值，经验证可知，在整点(8,6)处max z =10000元. 解法三 调整最优法 单位产品所需资金 月资金供应量（百元） 电热水器 太阳能热水器 成本 10 30 300 工资 10 5 110 单位利润 8 6
简单的线性规划 -基础知识 (1)二元一次不等式表示的平面区域 设直线Ax By C 0,若A 0,则直线Ax By C 0左侧的区域为不等式 Ax By C 0表示的区域，右侧为不等式 Ax By C 0表示的区域；若A 0,则相 反；也可从系数 B 的角度去分析，此法可快速确定平面区域 虚线 练习快速确定下列不等式表示的平面区域： 2x 3y 6 0， 2x y 4， x 2, y 4 (2)二元一次不等式组表示的平面区域 即不等式组内所有不等式所表示平面区域的交集，技巧是逐个取交集 二题型总结 第一类 求线性目标函数的最值 此类型为最基本的题型，目标函数为 z ax by 型的， 解法 a i (1) 图解法；化为y x z ，若b 0，z 与该直线在y 轴上的截距成正比，b 0则 b b 成反比，从图像上观察直线的截距大小情况即可； (2) 边界点法：目标函数的最值必在可行域的顶点处取得，因此只需求出可行域的顶点， 将其坐标依次带入目标函数中计算，比较大小即可 x 4y 3 例：画出不等式3x 2y 2 令 3x 2y 2 0，令 x 0, y 1,y 0, 2 x 3 画出直线 3x 2y 2 0，因为3 0，故直线右侧为不等式 3x 2y 2 0表示的平面 注意：若不等式为 "，则直线画成实线，意为包括直线上的点，否则画 0表示的平面区域 区域
例、设x,y满足约束条件3x 5y 25，求z 5x 2y的最值 x 1 22 解：可行域是如图所示中ABC的区域，得A(5,2),B(1,1),C(1, ) 5
作出直线L o：5x+10y=0,再将直线L o平移 当L经过点B时，y轴截距最小，即z达到最小值，得z min7 当L经过点A时，y轴截距最大，即z达到最大值，得z max29 所以最大值是29，最小值是7 针对练习 x y > 0, 1、若x, y满足约束条件x y 3> 0,则z 2x y的最大值为____________________ . 0 < x < 3, x y 8, 2、若变量x,y满足约束条件2y x 4,且z=5y-x的最大值为a,最小值为b,则 x 0, y 0, a-b的值是____________ . (24) 3、已知正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3), 顶点C在第一象限,若点(x,y)在厶ABC内部，则z=-x+y的取值范围是()A (A)(1- 32) (B)(0,2) (C)( .3-1,2) (D)(0,1 + 3y 4.若实数x , y满足不等式组2x my 0, 0,且x 0, y的最大值为9,则实数m C (A) 2(B) 1(C) (D) 2 x 5.若x, y满足约束条件x 2x 1，目标函数z 2 ax 2y仅在点(1, 0)处取得最小值, 则a的取值范围是om B (A) ( 1, 2 ) (B) (4 , 2 )(C) (4,0] (D) (2,4) 6.函数f (x) ln x, 2x x 1, ,D是由x轴和曲线y f (x)及该曲线在点(1,0)处的切线 所围成的封闭区域，则z x 2y在D上的最大值为
线性规划在企业管理中的应用 摘要：随着运筹学广泛应用，作为其一重要分支的线性规划在企业的生产管理中起到了极其重要的作用。本文分别对线性规划和企业管理简单介绍，然后着重讨论线性规划在现代企业生产管理中的应用，并应用几种常见的解法对所提出的问题加以解答，从而获得最优解或制定最佳方案等。 关键词：线性规划企业管理数学建模线性求解 Linear Programming Be Used In Business Management Abstract：With the Operational Research has been widly used. As the major branch,The L inear Programming paly an important role in Business Management. This dissertation main introduce the L inear Programming and Business Management, then we will discuss the apply of L inear Programming in modem Business Managemen, and use some usual methods to solve this problems which we found and applied, so that we can gain the optimal solution or work out optimal schema. Keywords：Linear Programming，Business Managemen ，Mathematical Modelling，Deprecatory ，Apply 由于计算机技术的发展，许多利用运筹学处理的问题可在较短的时间内得出结果，线性规划作为运筹学的一重要分支，它的应用也日益广泛，如利用其数学方法，通过计算机软件应用于生产组织、几乎与管理中。线性规划所探讨的问题是在由所提出的问题的性质决定的一系列约束条件下，如何把有限的资源进行合理的分配，制定出最优实施方案。企业管理是对企业的生产经营活动进行组织、计划、指挥、监督和调节等一系列职能的总称。它运用各类策略与方法，对企业中的人、机器、原材料、方法、资产、信息、品牌、销售渠道等进行科学管理，从而实现组织目标的活动。在企业的各项活动中，如计划、生产、运输、技术等问题，为达到目的所采取的各种有效的方法手段，从各种限制条件的组合中，选择出最合理的计算方法，从而求得最佳结果。企业的最终目的是盈利，要获得较好的效益需要有足够的竞争力，竞争力来源于有效的管理，线性规划在企业管理中的应用对企业的管理起到了极其重要的作用。 1线性规划应用简介 1.1线性规划概念 线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.一般地，求线性目标函数在线
【例1】 设O 为坐标原点，(1,1)A ，若点B 满足2222101212x y x y x y ?+--+????≥≤≤≤≤， 则OA OB ?u u u v u u u v 的最小值为（ ） A ．2 B ．2 C ．3 D ．22+ 【例2】 已知变量,x y 满足120x y x y ????-? ≥≤≤，则x y +的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【例3】 不等式组0,10, 3260x x y x y ??--??--?≥≥≤所表示的平面区域的面积等于 ． 典例分析 线性规划
【例4】设变量,x y满足约束条件 3 1 x y x y + ? ? -- ? ≥ ≥ ，则目标函数2 z y x =+的最小值为（） A．1B．2C．3D．4 【例5】设变量,x y满足 0, 10 3260 y x y x y ? ? -- ? ?-- ? ≥ ≥ ≤ ，则该不等式组所表示的平面区域的面积等 于，z x y =+的最大值为． 【例6】目标函数2 z x y =+在约束条件 30 20 x y x y y +- ? ? - ? ? ? ≤ ≥ ≥ 下取得的最大值是________． 【例7】下面四个点中，在平面区域 4 y x y x <+ ? ? >- ? 内的点是（） A．(0,0)B．(0,2)C．(3,2) -D．(2,0) -
【例8】已知平面区域 1 ||1 (,)0,(,) 1 y x y x x y y M x y y x ?? + ? ?? -+ ? ?? ??? Ω== ?????? ? ?? ????? ? ?? ≤ ≤ ≥ ≥ ≤ ，向区域Ω内 随机投一点P，点P落在区域M内的概率为（） A．1 4 B． 1 3 C． 1 2 D． 2 3 【例9】若x，y满足约束条件 30 03 x y x y x + ? ? -+ ? ? ? ≥ ≥ ≤≤ ，则2 z x y =-的最大值为． 【例10】已知不等式组 y x y x x a ? ? - ? ? ? ≤ ≥ ≤ ，表示的平面区域的面积为4，点() , P x y在所给平面区 域内，则2 z x y =+的最大值为______．