高考复习专题：简单的线性规划
专题要点
简单的线性规划：能从实际问题中抽象出二元一次不等式组。 理解二元一次不等式组表示平面的区域，能够准确的画出可行域。能够将实际问题抽象概括为线性规划问题，培养应用线性规划的知识解决实际问题的能力。
线性规划等容已成为高考的热点，在复习时要给于重视,另外，不等式的证明、繁琐的推理逐渐趋于淡化,在复习时也应是注意。
考查主要有三种：一是求给定可行域的最优解；二是求给定可行域的面积；三是给出可行域的最优解，求目标函数（或者可行域）中参数的围。多以选择填空题形式出现，不排除以解答题形式出现。 考纲要求
了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；了解线性规划的意义并会简单应用。 典例精析
线性规划是高考热点之一,考查容设计最优解,最值,区域面积与形状等,通常通过画可行域,移线,数形结合等方法解决问题。
考点1：求给定可行域的最优解
例1.（2012文）已知变量x 、y 满足约束条件1110x y x y x +≤??
-≤??+≥?
,则2z x y =+的最小值为
（ ）
A ．3
B ．1
C ．5-
D ．6-
解析:C.画出可行域,可知当代表直线过点A 时,取到最小值.联立1
1x y x =-??=-?
,
解得12x y =-??=-?
,所以2z x y =+的最小值为5-.
例2.（2009）设变量x ，y 满足约束条件：3
123x y x y x y +≥??
-≥-??-≤?
.则目标函数z=2x+3y
的最小值为
（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）23
解析：画出不等式3123x y x y x y +≥??
-≥-??-≤?
表示的可行域，如右图，
让目标函数表示直线3
32z
x y +-
=在可行域上平移，知在点B 自目标函数取到最小值，解方程组
??
?=-=+323
y x y x 得)1,2(，所以734min =+=z ，故选择B. 8
6
4
2
-2
-4
-551015
2x-y=3x-y=1
x+y=3
A
B
发散思维：若将目标函数改为求x y z =
的取值围；或者改为求3
+=x y
z 的取值围； 或者改为求2
2y x z +=的最大值；或者或者改为求()22
1y x z ++=的最大值。
方法思路：解决线性规则问题首先要作出可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，数形结合找出目标函数达到最值时可行域的顶点（或边界上的点），但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决。
练习 1.（2012）设变量,x y 满足约束条件??
?
??≤-≥+-≥-+010420
22x y x y x ,则目标函数32z x y =-的最小值为
（ ）
A ．5-
B ．4-
C ．2-
D ．3
【解析】做出不等式对应的可行域如图,由y x z 23-=得223z x y -=
,由图象可知当直线2
23z x y -=经过点)2,0(C 时,直线2
23z
x y -=
的截距最大,而此时y x z 23-=最小为423-=-=y x z ,选B.
练习2．在约束条件???
0≤x ≤1，
0≤y ≤2，
2y －x ≥1，
下，x －1
2
＋y 2的最小值为________．
解析 在坐标平面画出题中的不等式组表示的平面区域，注意到x －12＋y 2可视为该区域的点(x ，y )与点(1,0)之间距离，结合图形可知，该距离的最小值等于点(1,0)到直线2y －x ＝1的距离，即为
|－1－1|5
＝255. 答案 25
5
练习3、（2011文、理数）已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组给定．若M （x ，y ）为D
上的动点，点A 的坐标为，则z=?的最大值为（ ） A 、3 B 、4 C 、3 D 、4 解答：解：首先做出可行域，如图所示：
z=?=，即y=﹣x+z 做出l 0：y=﹣x ，将此直线平行移动，当直线y=﹣x+z 经过点A 时，直线在y 轴上截距最大时，z 有最大值． 因为A （，2），所以z 的最大值为4故选B
练习4.（2011）已知O 是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x ，y)为平面区域???
x ＋y≥2，x≤1，
y≤2
上的一个
动点，则OA →·OM →
的取值围是( )
A ．[－1,0]
B ．[0,1]
C ．[0,2]
D ．[－1,2]
【分析】 由于OA →·OM →
＝－x ＋y ，实际上就是在线性约束条件???
x ＋y≥2，x≤1，
y≤2下，求线性目标函数z
＝－x ＋y 的最大值和最小值．
【解析】 画出不等式组表示的平面区域(如图)，又OA →·OM →
＝－x ＋y ，取目标函数z ＝－x ＋y ，即y ＝x ＋z ，作斜率为1的一组平行线．
当它经过点C(1,1)时，z 有最小值，即zmin ＝－1＋1＝0；当它经过点B(0,2)时，z 有最大值，即zmax ＝－0＋2＝2.
∴z 的取值围是[0,2]，即OA →·OM →
的取值围是[0,2]，故选C.
考点2：求给定可行域的面积
例3．在平面直角坐标系中，不等式组??
?
??≤+≥+≥43430y x y x x 表示的平面区域的面积为（ ）
A ．
23 B ．32 C ．34 D ．4
3 答案c
考点3：给出最优解求目标函数（或者可行域）中参数
例4．(2012一模文数)在平面直角坐标系中，若不等式组20,20,x y x y x t +-??
-+???
≥≥≤表示的
平面区域的面积为4，则实数t 的值为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 答案B
练习5.（2009卷文）在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥??
-≤??-+≥?
（α为常数）所表示的平面区
域的面积等于2，则a 的值为
A. -5
B. 1
C. 2
D. 3
解析解析 如图可得黄色即为满足010101=+-≥-+≤-y ax y x x 的可行域，而与的直线恒过（0，1），故看作直线绕点（0，1）旋转，当a=-5时，则可行域不是一个封闭区域，当a=1时，面积是1；a=2时，面积是
2
3
；当a=3时，面积恰好为2，故选D.
练习6. 设二元一次不等式组??
?
??≤-+≥+-≥-+0142,080192y x y x y x ，所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图
象过区域M 的a 的取值围是c
（A ）[1,3] (B)[2,10] (C)[2,9] (D)[10,9]
练习7．设z ＝x ＋y ，其中x 、y 满足???
x ＋2y ≥0
x －y ≤0
0≤y ≤k
，若z 的最大值为6，则z 的最小值为
A ．－3
B ．3
C ．2
D ．－2
解析 如图所示，作出不等式组所确定的可行域△OAB ，目标函数的几何意义是直线x ＋y －z ＝0在y 轴上的截距，由图可知，当目标函数经过点A
时，取得最大值，由?
??
x －y ＝0，
y ＝k ，解得A (k ，k )，故最大值为z ＝k ＋k ＝2k ，
由题意，得2k ＝6，故k ＝3.当目标函数经过点B 时，取得最小值，由
?
??
x ＋2y ＝0，
y ＝3，解得B (－6,3)，故最小值为z ＝－6＋3＝－3.故选A. 答案 A 练习8.（2012课标文）已知正三角形ABC 的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C 在第一象限,若点(x ,y )在△ABC
部,则z x y =-+的取值围是 （ ） A ．(1-3,2) B ．(0,2) C ．(3-1,2) D ．(0,1+3)
【命题意图】本题主要考查简单线性规划解法,是简单题.
【解析】有题设知C(1+3,2),作出直线0l :0x y -+=,平移直线0l ,有图像知,直线:l z x y =-+过B 点时,max z =2,过C 时,min z =13-,∴z x y =-+取值围为(1-3,2),故选A.
练习9.（2012文）若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m
+-≤???
--≤??≥??,则实数m 的最大值为
（ ） A ．-1
B ．1
C ．
3
2
D ．2
【答案】B
【解析】30x y +-=与2y x =的交点为(1,2),所以只有1m ≤才能符合条件,B 正确.
【考点定位】本题主要考查一元二次不等式表示平面区域,考查分析判断能力.逻辑推理能力和求解能力.
练习10.（2012理）若函数2x
y =图像上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m
+-≤???--≤??≥??,则实数m 的最大
值为（ ）
A ．
1
2
B ．1
C ．
32
D ．2
【答案】B
【解析】30x y +-=与2x
y =的交点为(1,2),所以只有1m ≤才能符合条件,B 正确.
【考点定位】本题主要考查一元一次不等式组表示平面区域,考查分析判断能力、逻辑推理能力和求解计算能力
考点四：实际应用与大题
例5（2009卷理）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得
利润3万元，该企业在一个生产周期消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是
A. 12万元
B. 20万元
C. 25万元
D. 27万元 解析：设甲、乙种两种产品各需生产x 、y 吨，可使利润z 最大，故本题即
已知约束条件????
???≥≥≤+≤+001832133y x y x y x ，求目标函数y x z 35+=的最大值，
可求出最优解为?
??==43
y x ，故271215max =+=z ，故选择D 。
练习11. （2012理）某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原
料2千克;生产乙产品1桶需耗A 原料2千克,B 原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是 （ ） A ．1800元 B ．2400元 C ．2800元 D ．3100元 [答案]C
[解析]设公司每天生产甲种产品X 桶,乙种产品Y 桶,公司共可获得 利润为Z 元/天,则由已知,得 Z=300X+400Y
且???????≥≥≤+≤+0
0122122Y X Y X Y X
画可行域如图所示,目标函数Z=300X+400Y 可变形为
Y=400
z
x 43+
-
这是随Z 变化的一族平行直线 解方程组???=+=+12y 2x 12y x 2 ???==∴4
y 4
x 即A(4,4) 280016001200max =+=∴Z
[点评]解决线性规划题目的常规步骤:一列(列出约束条件)、二画(画出可行域)、三作(作目标函数变形
式的平行线)、四求(求出最优解).
练习12.食物类型
甲 乙 丙 维生素C （单位/kg ） 300 500 300 维生素D （单位/kg ）
700 100 300 成本（元/kg ）
5
4
3
.xkg ykg zkg 、、
（1）试以,x y 表示混合食物的成本P ;
（2）若混合食物至少需含35000单位维生素C 及40000单位维生素D ，问,,x y z 取什么值时，混合食物的成本最少？
(本小题主要考查线性规划等知识, 考查数据处理能力、运算求解能力和应用意识) （1）解：依题意得100,
543.
x y z P x y z ++=??
=++? …………… 2分