二次函数中动点与特殊四边形综合问题解析与训练
一、知识准备：
抛物线与直线形的结合表形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊四边形，有以下常风的基本形式
（1）抛物线上的点能否构成平行四边形
（2）抛物线上的点能否构成矩形，菱形，正方形
特殊四边形的性质与是解决这类问题的基础，而待定系数法，数形结合，分类讨论是解决这类问题的关键。
二、例题精析
㈠【抛物线上的点能否构成平行四边形】
例一、（2013河南）如图，抛物线2
y x bx c
=-++与直线
1
2
2
y x
=+交于,C D两点，其
中点C在y轴上，点D的坐标为
7
(3,)
2
。点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作
PE x
⊥轴于点E，交CD于点F.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以,,,
O C P F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。
【解答】（1）∵直线
1
2
2
y x
=+经过点C,∴(0,2)
C
∵抛物线2
y x bx c
=-++经过点(0,2)
C，D
7 (3,)
2
∴22727
332
2c b b c c =??
=?
?∴??=-++??=?? ∴抛物线的解析式为2
7
22
y x x =-++ （2）∵点P 的横坐标为m 且在抛物线上
∴2
71
(,2),(,2)22
P m m m F m m -+
++ ∵PF ∥CO ，∴当PF CO =时，以,,,O C P F 为顶点的四边形是平行四边形
① 当03m <<时，2
271
2(2)322
PF m m m m m =-+
+-+=-+ ∴2
32m m -+=，解得：121,2m m ==
即当1m =或2时，四边形OCPF 是平行四边形 ② 当3m ≥时，2
217
(2)(2)32
2
PF m m m m m =+--+
+=- 232m m -=
，解得：123322
m m +=
=（舍去）
即当132
m +=
时，四边形OCFP 是平行四边形 练习1：（2013?盘锦）如图，抛物线y=ax 2+bx+3与x 轴相交于点A （﹣1，0）、B （3，0），
与y 轴相交于点C ，点P 为线段OB 上的动点（不与O 、B 重合），过点P 垂直于x 轴的直线与抛物线及线段BC 分别交于点E 、F ，点D 在y 轴正半轴上，OD=2，连接DE 、OF ． （1）求抛物线的解析式；
（2）当四边形ODEF 是平行四边形时，求点P 的坐标；
考点：二次函数综合题．
分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）平行四边形的对边相等，因此EF=OD=2，据此列方程求出点P的坐标；
解答：
解：（1）∵点A（﹣1，0）、B（3，0）在抛物线y=ax2+bx+3上，
∴，
解得a=﹣1，b=2，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3．
（2）在抛物线解析式y=﹣x2+2x+3中，令x=0，得y=3，∴C（0，3）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，将B（3，0），C（0，3）坐标代入得：
，
解得k=﹣1，b=3，
∴y=﹣x+3．
设E点坐标为（x，﹣x2+2x+3），则P（x，0），F（x，﹣x+3），
∴EF=y E﹣y F=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x．
∵四边形ODEF是平行四边形，
∴EF=OD=2，
∴﹣x2+3x=2，即x2﹣3x+2=0，
解得x=1或x=2，
∴P点坐标为（1，0）或（2，0）．
点评：本题是二次函数的综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、平行四边形的性质、中心对称的性质等知识点．第（3）问中，特别注意要充分利用平行四边形中心对称的性质，只要求出其对称中心的坐标，即可利用待定系数法求出所求直线的解析
式．
练习2：已知抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一交点为B。
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边
形为平行四边形，求D点的坐标；
(3)连接OA、AB，如图②，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB
相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。
A A
B B
O O
x x y y
图①
练习3:（本题满分12分）如图，抛物线
3
2++=bx ax y 与y 轴交于点C ，与x 轴交于A 、B
两点，
31
tan =
∠OCA ，6=?ABC S ．
（1）求点B 的坐标；
（2）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（3）设点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，如果A 、C 、E 、F 构成平行四边形，请写出点E 的坐标（不必书写计算过程）．
答案：24、解：（1）∵ 32
++=bx ax y
∴C (0,3) ………………………………………………1分 又∵tan∠OCA=
3
1 ∴A（1，0）……………………………………………1分 又∵S △ABC =6 ∴
632
1
=??AB ∴AB=4 …………………………………………………1分 ∴B（3-，0）…………………………………………1分 （2）把A （1，0）、B （3-，0）代入32
++=bx ax y 得：
??
?+-=++=3
3903
0b a b a …………………………………………1分
∴1-=a ，2-=b
∴322
+--=x x y ……………………………………2分
∵4)1(2
++-=x y
∴顶点坐标（1-，4）………………………………1分
（3）①AC 为平行四边形的一边时
E 1析(1-，0) ………………………………………1分 E 2（-
-27，0）………………………………1分
E3（+
-27，0）………………………………1分
②AC为平行四边形的对角线时
E4（3，0）…………………………………………1分
练习4:（2011南宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B （0，﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．
（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．
（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．
（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题；解一元二次方程－因式分解法；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的判定．.
专题：压轴题；存在型．
分析：
（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分别代入y=x2+mx+n 与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可；
（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长，即PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，然后根据二次函数的最值得到
当t=﹣=3
2
时，PM最长为=
9
4
，再利用三角形的面积公式利用
S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可；
（3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当
P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值．
解答：
解：（1）把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x2+mx+n，得
解得，所以抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3．
设直线AB的解析式是y=kx+b，
把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得，解得，
所以直线AB的解析式是y=x﹣3；
（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），
因为p在第四象限，
所以PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，
当t=﹣=3
2
时，二次函数的最大值，即PM最长值为=
9
4
，
则S△ABM=S△BPM+S△APM==．
（3）存在，理由如下：
∵PM∥OB，
∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，
①当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有9
4
，所以不可能有PM=3．
②当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得t1=，t2=（舍去），所以P点的横坐标是；
③当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，解得t1=（舍去），t2=，所以P点的横坐标是．
所以P点的横坐标是或．
㈡【抛物线上的点能否构成矩形，菱形，正方形】
y
A
O
B
三、形成提升训练（下面两题难度较大）
1、（2007义乌市）如图，抛物线2
23y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2． （1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平 行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；
（3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、 C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．
2、如图，抛物线经过5(1,0),(5,0),(0,)2
A B C --三点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点P ，使PA+PC 的值最小，求点P 的坐标；
(3)点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A,C,M,N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由.
A
（第26题图）
解析：解：（1）设抛物线的解析式为 2
y ax bx c =++，
根据题意，得0,2550,5.2a b c a b c c ?
?-+=?
++=???=-?，
解得1,22,5.
2a b c ?
=??
=-???=-?
∴抛物线的解析式为：215
2.22
y x x =
-- ………(3分) （2）由题意知，点A 关于抛物线对称轴的对称点为点B,连接BC 交抛物线的对称轴于点P ，
则P 点 即为所求.
设直线BC 的解析式为y kx b =+，
由题意，得50,5
.2
k b b +=??
?=-??解得 1,2
5.2
k b ?
=???
?=-?? ∴直线BC 的解析式为15
.22
y x =- …………(6分) ∵抛物线215
222
y x x =
--的对称轴是2x =， ∴当2x =时，153
.222y x =-=-
∴点P 的坐标是3
(2,)2
-. …………(7分)
（3）存在 …………………………(8分)
(i)当存在的点N 在x 轴的下方时，如图所示，∵四边形ACNM 是平行四边形，∴CN ∥x 轴，
二次函数中动点与特殊四边形综合问题解析与训练 一、知识准备： 抛物线与直线形的结合表形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊四边形，有以下常风的基本形式 （1）抛物线上的点能否构成平行四边形 （2）抛物线上的点能否构成矩形，菱形，正方形 特殊四边形的性质与是解决这类问题的基础，而待定系数法，数形结合，分类讨论是解决这类问题的关键。 二、例题精析 ㈠【抛物线上的点能否构成平行四边形】 例一、（2013河南）如图，抛物线2 y x bx c =-++与直线 1 2 2 y x =+交于,C D两点，其 中点C在y轴上，点D的坐标为 7 (3,) 2 。点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作 PE x ⊥轴于点E，交CD于点F. （1）求抛物线的解析式； （2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以,,, O C P F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。 【解答】（1）∵直线 1 2 2 y x =+经过点C,∴(0,2) C ∵抛物线2 y x bx c =-++经过点(0,2) C，D 7 (3,) 2
∴22727 332 2c b b c c =?? =? ?∴??=-++??=?? ∴抛物线的解析式为2 7 22 y x x =-++ （2）∵点P 的横坐标为m 且在抛物线上 ∴2 71 (,2),(,2)22 P m m m F m m -+ ++ ∵PF ∥CO ，∴当PF CO =时，以,,,O C P F 为顶点的四边形是平行四边形 ① 当03m <<时，2 271 2(2)322 PF m m m m m =-+ +-+=-+ ∴2 32m m -+=，解得：121,2m m == 即当1m =或2时，四边形OCPF 是平行四边形 ② 当3m ≥时，2 217 (2)(2)32 2 PF m m m m m =+--+ +=- 232m m -= ，解得：123322 m m += =（舍去） 即当132 m += 时，四边形OCFP 是平行四边形 练习1：（2013?盘锦）如图，抛物线y=ax 2+bx+3与x 轴相交于点A （﹣1，0）、B （3，0）， 与y 轴相交于点C ，点P 为线段OB 上的动点（不与O 、B 重合），过点P 垂直于x 轴的直线与抛物线及线段BC 分别交于点E 、F ，点D 在y 轴正半轴上，OD=2，连接DE 、OF ． （1）求抛物线的解析式； （2）当四边形ODEF 是平行四边形时，求点P 的坐标；
第24题 二次函数综合题 类型1 二次函数与特殊三角形判定 1. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx －3a (a >0)经过点A (－1，0)、C (0，3)，与x 轴交于另一点B ，抛物线的顶点为D . (1)求此二次函数解析式； (2)连接DC 、BC 、DB ，求证：△BCD 是直角三角形； (3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 第1题图 (1)解：∵二次函数y ＝ax 2＋bx －3a 的图象经过点A (－1，0)、C (0， 3)， ∴根据题意，得?????a －b －3a ＝0－3a ＝3 ， 解得?????a ＝－1b ＝2 ， ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3； (2)证明：由y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4得，点D 的坐标为(1，4)，点B 的坐标为(3，0)， 如解图，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点C 作CF ⊥DE 于点F ， ∵D (1，4)，B (3，0)，C (0，3)，
∴OC ＝OB ＝3，DE ＝4，BE ＝2，CF ＝DF ＝1， ∴CD 2＝CF 2＋DF 2＝2，BC 2＝OC 2＋OB 2＝18，BD 2＝DE 2＋BE 2＝20， ∴CD 2＋BC 2＝BD 2， ∴△BCD 是直角三角形； 第1题解图 (3)解：存在． 抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3对称轴为直线x ＝1. i )如解图，若以CD 为底边，则P 1D ＝P 1C ， 设点P 1的坐标为(x ，y )，根据勾股定理可得P 1C 2＝x 2＋(3－y )2，P 1D 2＝(x －1)2＋(4－y )2， ∴x 2＋(3－y )2＝(x －1)2＋(4－y )2， 即y ＝4－x . 又∵P 1(x ，y )在抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3上， ∴4－x ＝－x 2＋2x ＋3， 即x 2－3x ＋1＝0， 解得x 1＝3＋52，x 2＝3－52<1(舍去)， ∴x ＝3＋52，
二次函数（平行四边形） 1.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x﹣m）2﹣m2+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴．（1）当m=2时，求点B的坐标； （2）求DE的长？ （3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？ 解答：解：（1）当m=2时，y=（x﹣2）2+1， 把x=0代入y=（x﹣2）2+1，得：y=2， ∴点B的坐标为（0，2）． （2）延长EA，交y轴于点F， ∵AD=AC，∠AFC=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE， ∴△AFC≌△AED， ∴AF=AE， ∵点A（m，﹣m2+m），点B（0，m）， ∴AF=AE=|m|，BF=m﹣（﹣m2+m）=m2， ∵∠ABF=90°﹣∠BAF=∠DAE，∠AFB=∠DEA=90°， ∴△ABF∽△DAE， ∴=，即：=， ∴DE=4． （3）①∵点A的坐标为（m，﹣m2+m）， ∴点D的坐标为（2m，﹣m2+m+4）， ∴x=2m，y=﹣m2+m+4， ∴y=﹣?++4， ∴所求函数的解析式为：y=﹣x2+x+4， ②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，
（Ⅰ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图1）， 点P的横坐标为3m， 点P的纵坐标为：（﹣m2+m+4）﹣（m2）=﹣m2+m+4， 把P（3m，﹣m2+m+4）的坐标代入y=﹣x2+x+4得： ﹣m2+m+4=﹣×（3m）2+×（3m）+4， 解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=8．（Ⅱ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图2）， 点P的横坐标为m， 点P的纵坐标为：（﹣m2+m+4）+（m2）=m+4， 把P（m，m+4）的坐标代入y=﹣x2+x+4得： m+4=﹣m2+m+4， 解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=﹣8，综上所述：m的值为8或﹣8．
特殊四边形动点问题专题训练及答案解析 （一）已知，如图，点D是△ABC的边AB的中点，四边形BCED是平行四边形， （1）求证：四边形ADCE是平行四边形； （2）当△ABC满足什么条件时，平行四边形ADCE是矩形？ 证明：（1）因为四边形BCED是平行四边形， 所以BD=CE且BD∥CE， 又因为D是△ABC的边AB的中点， 所以AD=BD，即DA=CE， 又因为CE∥BD， 所以四边形ADCE是平行四边形． （2）当△ABC为等腰三角形且AC=BC时，四边形ADCE是矩形 理由：∵AC=BC，D是△ABC的边AB的中点 ∴CD⊥AD，即∠ADC=90°， 由（1）可知，四边形ADCE是平行四边形 ∴四边形ADCE是矩形． （二）如图，已知E是?ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F．（1）求证：△ABE≌△FCE． （2）连接AC、BF，若∠AEC=2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形．
（三）如图，O为△ABC的边AC上一动点,过点O的直线MN∥BC，设MN分别交 ∠ACB的内、外角平分线于点E、F。 （1）求证：OE=OF （2）若CE=12，CF=5，求OC的长 （3）当点O在AC边上运动到何处时，四边形AECF是矩形？证明你的结论 （4）在（3）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF为正方形，并说明你的理由。 （1）证明：∵CE平分∠ACB ∴∠ACE＝∠BCE ∵MN∥BC ∴∠OEC＝∠BCE， ∴∠ACE＝∠OEC， ∴OE＝OC， 同理：OF＝OC ∴OE＝OF （2）∵CE平分∠ACB ∴∠ACE＝∠ACB/2 ∵CF平分∠ACD ∴∠ACF＝∠ACD/2 ∴∠ECF＝∠ACE+∠ACF＝∠ACB/2+∠ACD/2＝（∠ACB+∠ACD）/2＝180/2＝900 在Rt△ECF中，EF2= CE2+ CF2= 122+ 52=169 ∴EF=13 由（1）可知OE＝OF ∴OC=EF/2=13/2 (3)、当O运动到AC的中点时，AECF是矩形 证明： ∵O是AC的中点 ∴AO＝CO ∵OE＝OF ∴四边形AECF是平行四边形 由（2）可知∠ECF＝900 ∴四边形AECF是矩形 3、△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90时，四边形AECF是正方形 证明： ∵∠ACB＝900，MN∥BC ∴∠AOM＝∠ACB＝900，
72 x = B(0,4) A(6,0) E F x y O 二次函数与四边形综合压轴题专题汇编 一．二次函数与四边形的形状 例1.(浙江义乌市) 如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2． （1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平 行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值； （3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由． 练习1.(河南省实验区) 23．如图，对称轴为直线7 2 x = 的抛物线经过点 A （6，0）和 B （0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； ①当平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？ ②是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． A
练习 2.（四川省德阳市）25.如图，已知与x 轴交于点(10)A ，和(50)B ，的抛物线1l 的顶点为 (34)C ，，抛物线2l 与1l 关于x 轴对称，顶点为C '． （1）求抛物线2l 的函数关系式； （2）已知原点O ，定点(04)D ，，2l 上的点P 与1l 上的点P '始终关于x 轴对称，则当点P 运动到何处时，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形？ （3）在2l 上是否存在点M ，使ABM △是以AB 为斜边且一个角为30 的直角三角形？若存， 求出点M 的坐标；若不存在，说明理由． 练习3.（山西卷）如图，已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是(40)A -， ，(20)B -，，(08)E ，． （1）求抛物线1 C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式； （2）设抛物线1C 的顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于 C D ，两点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ，四边形MDNA 的 面积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M ，点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写 出自变量t 的取值范围； （3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，并求出此最大值； （4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由． 5- 4- 3- 2- 1- 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 A E B C ' 1- O 2l 1l x y
二次函数综合（动点与三角形）问题 一、知识准备： 抛物线与直线形的结合表现形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊三角形，有以下常见的基本形式。 （1）抛物线上的点能否构成等腰三角形； （2）抛物线上的点能否构成直角三角形； （3）抛物线上的点能否构成相似三角形； 解决这类问题的基本思路：假设存在，数形结合，分类归纳，逐一考察。 二、例题精析 ㈠【抛物线上的点能否构成等腰三角形】 例一．（2013?地区）如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c 经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）求△ABC的面积； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标． 分析：（1）根据直线解析式求出点A及点B的坐标，然后将点A及点B的坐标代入抛物线解析式，可得出b、c的值，求出抛物线解析式； （2）由（1）求得的抛物线解析式，可求出点C的坐标，继而求出AC的长度，代入三角形的面积公式即可计算； （3）根据点M在抛物线对称轴上，可设点M的坐标为（﹣1，m），分三种情况讨论， ①MA=BA，②MB=BA，③MB=MA，求出m的值后即可得出答案． 解：（1）∵直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点， ∴可得A（1，0），B（0，﹣3）， 把A、B两点的坐标分别代入y=x2+bx+c得：，
解得：． ∴抛物线解析式为：y=x2+2x﹣3． （2）令y=0得：0=x2+2x﹣3， 解得：x1=1，x2=﹣3， 则C点坐标为：（﹣3，0），AC=4， 故可得S△ABC=AC×OB=×4×3=6． （3）抛物线的对称轴为：x=﹣1，假设存在M（﹣1，m）满足题意： 讨论： ①当MA=AB时，， 解得：， ∴M1（﹣1，），M2（﹣1，﹣）； ②当MB=BA时，， 解得：M3=0，M4=﹣6， ∴M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣6）， ③当MB=MA时，， 解得：m=﹣1， ∴M5（﹣1，﹣1）， 答：共存在五个点M1（﹣1，），M2（﹣1，﹣），M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣6），M5（﹣1，﹣1）使△ABM为等腰三角形． 点评：本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的性质及三角形的面积，难点在第三问，注意分类讨论，不要漏解． ㈡【抛物线上的点能否构成直角三角形】 例二．（2013）如图，已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y=ax2+bx+c 的图象交于y轴上的一点B，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．
【例1】 已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线3 64 y x =-+与x 轴、y 轴的交点分 别为A B 、， 将OBA ∠对折，使点O 的对应点H 落在直线AB 上，折痕交x 轴于点.C （1）直接写出点C 的坐标，并求过A B C 、、三点的抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为D ，在直线BC 上是否存在点P ，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由； （3）设抛物线的对称轴与直线BC 的交点为T Q ， 为线段BT 上一点，直接写出QA QO -的取值范围. 【例2】 如图，点O 是坐标原点，点(0)A n ，是x 轴上一动点(0)n <.以AO 为一边作矩形AOBC ，点C 在第二象限，且2OB OA =．矩形AOBC 绕点A 逆时针旋转90?得矩形AGDE ．过点A 的直线y kx m =+(0)k ≠交y 轴于点F ，FB FA =．抛物线2y ax bx c =++过点E 、F 、G 且和直线AF 交于点H ，过点H 作HM x ⊥轴，垂足为点M ． ⑴ 求k 的值； ⑵ 点A 位置改变时，AMH ?的面积和矩形AOBC 的面积的比值是否改变？说明你的理由． 【例3】 如图1，Rt ABC ?中，90A ∠=?，3 tan 4 B = ，点P 在线段AB 上运动，点Q 、R 分别在线段BC 、AC 上，且使得四边形APQR 是矩形．设AP 的长为x ，矩形APQR 的面积为y ，已知y 是x 的函数，其图 象是过点()1236，的抛物线的一部分（如图2所示）． （1）求AB 的长； （2）当AP 为何值时，矩形APQR 的面积最大，并求出最大值． R Q B C A 二次函数与平行四边形综合
二次函数与三角形的存在性问题 一、预备知识 1、坐标系中或抛物线上有两个点为P（ x1，y），Q（x2，y） x 1x 2 x 2 (1) 线段对称轴是直线 (2)AB 两点之间距离公式：PQ(x1x2 ) 2( y1 y2 )2 中点公式：已知两点P x 1 , y 1 x1 x 2 , y 1y2 ,Q x2 ,y 2，则线段 PQ的中点 M为22。 Q P G O 2 、两直线的解析式为y k 1 x b 1 与y k 2 x b2 如果这两天两直线互相垂直，则有k1k21 3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1L2 ：y=k2x+b2 （1）当 k1=k2， b1≠b2，L1∥ L2 （2）当 k1≠ k2，，L1 与 L2 相交 （3）K1×k2= -1时，L1 与L2垂直 二、三角形的存在性问题探究： 三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形 （一）三角形的性质和判定： 1、等腰三角形 性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。 判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。2、直角三角形 性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。 判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。 3、等腰直角三角形 性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于 45°。判定： 具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形4、等边三 角形 性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。
判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是 60°的等腰三角形是等 边三角形。 总结：（ 1）已知 A、B 两点，通过“两圆一线”可以找到所有满足条件的等腰三角形，要求 的点（不与 A、B 点重合）即在两圆上以及两圆的公共弦上 （2）已知 A、B 两点，通过“两线一圆” 可以找到所有满足条件的直角三角形，要求的点（不与A、B 点重合）即在圆上以及在两条与直径 AB垂直的直线上。 （二）关于等腰三角形找点（作点）和求点的不同， 1、等腰三角形找点（作点）方法：以已知边为边长，作等腰三角形，运用两园一线法，在图 上找出存在点的个数，只找不求。 2、等腰三角形求点方法：以已知边为边长，在抛物线或坐标轴或对称轴上找点，与已知点构 成等腰三角形，先设所求点的坐标，然后根据两点间的距离公式求出三点间的线段长度，然后分 顶点进行讨论， 如：已知两点 A、B，在抛物线上求一点 C，使得三角形 ABC 为等腰三角形 解法：这是求点法：先运用两点间的距离公式分别求出线段AB BC AC的长度， 第二步，作假设，（1）以点 A 为顶点的两条腰相等，即AB=AC（2）以点B为顶点的两条腰相等，即 BA=BC （ 3）以点 C为顶点的两条腰相等，即CA=CB 第三步，根据以上等量关系，求出所求点的坐标 第四步进行检验，这一步是非常重要的，因为求出的有些点是不符合要求的。 如：已知两点 A、 B，在抛物线上求一点C，使得三角形 ABC 为等腰三角形 解法：这是求点法：先运用两点间的距离公式分别求出线段AB BC AC的长度， 第二步，作假设，（1）以点 A 为顶点的两条腰相等，即 AB=AC （2）以点 B 为顶点的两条腰相等，即 BA=BC （3）以点 C 为顶点的两条腰相等，即CA=CB 第三步，根据以上等量关系，求出所求点的坐标 第四步，进行检验，这一步是非常重要的，因为求出的有些点是不符合要求的。 （三）关于直角三角形找点和求点的方法 1、直角三角形找点（作点）方法：以已知边为边长，作直角三角形，运用两线一园法，在图 上找出存在点的个数，只找不求。所谓的两线就是指以已知边为直角边，过已知边的两个端点分 别作垂线与抛物线或坐标轴或对称轴的交点，就是所求的点；一圆就是以已知边为直径，以已知 边的中点作圆，与抛物线或坐标轴或对称轴的交点即为所求的点。 2、具体方法 （ 1） k1 k21； （2）三角形全等（注意寻找特殊角，如 30°、 60°、 45°、 90 °） （3）三角形相似；经常利用一线三等角模型 （4）勾股定理； 当题目中出现了特殊角时，优先考虑全等法三、二 次函数的应用：
二次函数平行四边形存在性问题例题 一．解答题（共9小题） 1．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标； （3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）． （1）求抛物线的解析式及点B坐标； （2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值； （3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． 3．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点
分别为A、B两点，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x 轴于点C． （1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）若（1）中抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）若把（1）中的抛物线向左平移3.5个单位，则图象与x轴交于F、N（点F 在点N的左侧）两点，交y轴于E点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使点Q到E、N两点的距离之差最大？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 4．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C． （1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QA ﹣QO|的取值范围． 5．如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，
特殊的平行四边形讲义 知识点归纳 矩形，菱形和正方形之间的联系如下表所示： 矩形 菱形 正方形 性 质 边 对边平行且相等 对边平行，四边相等 对边平行，四边相等 角 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角 对角线 互相平分且相等 互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角 互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角 判定 ·有三个角是直角; ·是平行四边形且有一个角是直角; ·是平行四边形且两条对角线相等. ·四边相等的四边形； ·是平行四边形且有一组 邻边相等； ·是平行四边形且两条对 角线互相垂直。 ·是矩形，且有一组邻边相等； ·是菱形，且有一个角是直角。 对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形
专题一：特殊四边形的判定 【知识点】 1.平行四边形的判定方法： （1）______________ （2）______________ （3）______________ （4）______________ （5）______________ 2.矩形的判定方法： （1）______________ （2）______________ （3）______________ 3.菱形的判定方法： （1）______________ （2）______________ （3）______________ 4.正方形的判定方法： （1）______________ （2）______________ （3）______________ 5.等腰梯形的判定方法： （1）______________ （2）______________ （3）______________ 【练一练】 一．选择题 1．能够判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（）． A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠D C．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD 2．具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（）． A．相邻的角互补 B．两组对角分别相等 C．一组对边平行，另一组对边相等 D．对角线交点是两对角线中点 3.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是( ) A.一组对边平行，另一组对边相等 B.一组对边平行，一组对角相等 C.一组对边平行，一组邻角互补 D.一组对边相等，一组邻角相等 4．如下左图所示，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（）． A．若AO=OC，则ABCD是平行四边形; B．若AC=BD，则ABCD是平行四边形; C．若AO=BO，CO=DO，则ABCD是平行四边形; D．若AO=OC，BO=OD，则ABCD是平行四边形 5．不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（） A．AB=CD，AD=BC B．AB∥CD，AB=CD C．AB=CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC 6.四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判断它为矩形的题设是（） A．AO=CO，BO=DO B．AO=BO=CO=DO C．AB=BC，AO=CO D．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD 7.四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（） A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD 8.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列条件能判定这个四边形是正方形的是（） A、AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B、AD∥BC，∠A＝∠C C、AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D、AC＝CO，BO＝DO，AB＝BC
二次函数与特殊四边形判定 ★1.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线W 的表达式为y ＝14x 2－x ， D 是抛物线W 的顶点. (1)将抛物线W 向右平移4个单位，再向下平移32个单位，得到抛物线 W ′，求抛物线W ′的表达式及其顶点F 的坐标； (2)若点M 是x 轴上的一点，点N 是抛物线W ′上的一点，则是否存在这样的点M 和点N ，使得以D 、F 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
★2.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点A(－1，0)、B(0，1)，且与x轴有唯一交点. (1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的表达式； (2)若将(1)中的抛物线沿y轴向下平移m个单位后与x轴的两个交点分别为C、D(点C在点D的左边)，当∠CBD＝90°时，求m的值； (3)在(2)中平移后的抛物线上是否存在一点E，使以C、D、B、E为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
★3.已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，顶点M关于x轴的对称点是M′. (1)求抛物线的表达式； (2)若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积； (3)是否存在抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点在过A(－1，0)，B(3，0)两点，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ 为正方形？若存在，求出此抛物线的表达式；若不存在，请说明理由.
★4.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABE的边AB在x轴上，A(－1，0)，OB＝4OA，OE＝2，抛物线C经过△ABE的三个顶点． (1)求抛物线C的表达式； (2)将抛物线C向下平移m个单位得到抛物线C′，使抛物线C′与直线BE有且只有一个公共点M，试求点M的坐标及m的值； (3)若点P是抛物线C′上一点，Q是y轴上一点，是否存在这样的点P，使得以点A、P、Q、M为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第4题图
●探究 （1）在图1中，已知线段AB，CD，其中点分别为E，F。 ①若A（-1，0），B（3，0），则E点坐标为__________； ②若C（-2，2），D（-2，-1），则F点坐标为__________； （2）在图2中，已知线段AB的端点坐标为A（a，b），B（c，d），求出图中AB中点D的坐标（用含a，b，c，d的代数式表示），并给出求解过程； ●归纳 无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置， 当其端点坐标为A（a，b），B（c，d），AB中点为D（x，y）时，x=_________，y=___________；（不必证明） ●运用 在图2中，一次函数y=x-2与反比例函数的图象交点为A，B。 ①求出交点A，B的坐标； ②若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点P的坐标。
图 2 图 3 图1 以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高．对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决．由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解．为此，笔者另辟蹊径，借助探究平行四边形顶点坐标公式来解决这一类题． 1 两个结论，解题的切入点 数学课标，现行初中数学教材中没有线段的中点坐标公式，也没有平行四边形的顶点坐标公式，我们可帮助学生来探究，这可作为解题的切入点。 1.1 线段中点坐标公式 平面直角坐标系中，点A 坐标为(x 1,y 1)，点B 坐标为(x 2,y 2)，则线段AB 的中点坐标为(221x x +,2 21y y +). 证明 ： 如图1，设AB 中点P 的坐标为(x P ,y P ).由x P -x 1=x 2-x P ，得x P = 2 21x x +，同理y P =221y y +，所以线段AB 的中点坐标为(221x x +,221y y +). 1.2 平行四边形顶点坐标公式 □ABCD 的顶点坐标分别为A (x A ,y A )、B (x B ,y B )、C (x C ,y C )、D (x D ,y D )，则：x A +x C =x B +x D ；y A +y C =y B +y D . 证明： 如图2，连接AC 、BD ，相交于点E ． ∵点E 为AC 的中点， ∴E 点坐标为(2C A x x +,2 C A y y +). 又∵点E 为B D 的中点， ∴ E 点坐标为( 2D B x x +,2D B y y +). ∴x A +x C =x B +x D ；y A +y C =y B +y D . 即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等． 2 一个基本事实，解题的预备知识 如图3，已知不在同一直线上的三点A 、B 、C ，在平面内另找一个点D ，使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形．答案有三种：以AB 为对角线的□ACBD 1，以AC 为对角线的□ABCD 2，以BC 为对角线的□ABD 3C ．
特殊四边形综合题 1．如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP． （1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？ （2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明； （3）在平移变换过程中，设y=S ，BP=x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出 △OPB y的最大值． 2．已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E，点P是线段DE 上一定点（其中EP＜PD） （1）如图1，若点F在CD边上（不与D重合），将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD、PF分别交射线DA于点H、G． ①求证：PG=PF；②探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．（2）拓展：如图2，若点F在CD的延长线上（不与D重合），过点P作PG⊥PF，交射线DA 于点G，你认为（1）中DF、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由．
3．已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．设CE=a，CF=b． （1）如图1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值； （2）当△AEF是直角三角形时，求a、b的值； （3）如图3，探索∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由． 4．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于点E，F，且∠MAN始终保持45°不变． （1）求证：=； （2）求证：AF⊥FM； （3）请探索：在∠MAN的旋转过程中，当∠BAM等于多少度时，∠FMN=∠BAM？写出你的探索结论，并加以证明．
第十八讲二次函数与平行四边形综合 一、教学内容 1.二次函数的表示 , 二次函数图像与性质； 2.平行四边形的性质和判定； 3.函数图像与平行四边形的综合应用，典型应用、图像题； 二、例题细看 【例 1】已知：如图，在平面直角坐标系 将OBA 对折，使点O的对应点xOy 中，直线 y 3 与 x 轴、y轴的交点分别为 A、B ， x 6 4 H 落在直线 AB 上，折痕交x 轴于点C. （ 1）直接写出点 C 的坐标，并求过A、B、C 三点的抛物线的解析式； （ 2）若抛物线的顶点为 D ，在直线BC上是否存在点P ，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由； （ 3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为 T ，Q 为线段BT上一点，直接写出 QA QO 的取值范围 . 【考点分析】二次函数综合题 y B H 1 O1 C A x D T 【PEC分析】（ 1）点 A 的坐标是纵坐标为 0，得横坐标为 8，所以点 A 的坐标为（ 8， 0）； 点B 的坐标是横坐标为 0，解得纵坐标为 6，所以点 B 的坐标为（ 0， 6）； 由题意得： BC是∠ ABO的角平分线，所以OC=CH， BH=OB=6 ∵AB=10，∴ AH=4，设 OC=x，则 AC=8-x 由勾股定理得： x=3 ∴点 C 的坐标为（ 3， 0）将此三点代入二次函数一般式，列的方程组即可求得；
（ 3）如图，由对称性可知QO=QH，|QA-QO|=|QA-QH| ．当点 Q与点 B 重合时， Q、 H、 A 三点共线，|QA-QO|取得最大值4（即为 AH的长）；设线段OA的垂直平分线与直线 BC的交点为 K，当点 Q与点 K 重合时， |QA-QO|取得最小值 0． 【跟踪练习】例 1.(浙江义乌市 ) 如图，抛物线y x22x 3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线 l 与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2． （ 1）求 A 、 B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （ 2）P 是线段 AC 上的一个动点，过 P 点作 y 轴的平行线交抛物线于 E 点，求线段 PE 长度的最大值； （ 3）点 G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F，使 A 、C、 F、 G 这样的四个点为顶点的四边 形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的 F 点坐标；如果不存在，请说明理由． A 【例 2】如图，点O是坐标原点，点A(n ，0) 是 x 轴上一动点(n 0) .以 AO 为一边作矩形AOBC ，点C在第二象限，且OB 2OA ．矩形AOBC 绕点 A 逆时针旋转90 得矩形AGDE ．过点 A 的直线 y kx m ( k 0) 交y轴于点F，FB FA ．抛物线y ax 2bx c 过点E、F、G且和直线AF 交于点 H ，过点 H 作 HM x 轴，垂足为点M ． ⑴求 k 的值； ⑵点 A 位置改变时，AMH 的面积和矩形AOBC的面积的比值是否改变？说明你的理由． y C B D G M F E A O x H 【 PEC分析】（ 1 ）由题意知O B=2OA=2n，在直角三角形AEO 中， OF=OB-BF=-2n-AF，因此可用勾股定理求出AF 的表达式，也就求出了FB 的长，由于 F 的坐标为（ 0 ， m ）据此可求出m ， n 的关系式，可用 n 替换掉一次函数中m 的值，然后将 A 点的坐标代入即可求出k 的值． （ 2 ）思路同（ 1）一样，先用n 表示出 E、 F、 G 的坐标，然后代入抛物线的解析式中，得出 a ，b ， c 与n 的函数关系式，然后用n 表示出二次函数的解析式，进而可用n 表示出 H 点的坐标，然后求出△AMH
冲刺中考《二次函数动点成特殊三角形问题》压轴专题 1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝－ 1 3 x2＋bx＋c的图象与坐标轴交于A，B， C三点，其中点A的坐标为(－3，0)，点B的坐标为(4，0)，连接AC，BC.动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ. (1)填空：b＝________，c＝________； (2)在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由； (3)在x轴下方的二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由． 第1题图 解：(1)1 3 ，4； 【解法提示】∵二次函数y＝－1 3 x2＋bx＋c与x轴交于A(－3，0)，B(4，0)， ∴ b c= b c= --+ ? ? ? -++ ?? 330 16 40 3 ，解得 b= c= ? ? ? ?? 1 3 4 ， 1
(2)可能是，理由如下： ∵点P在AC上以每秒1个单位的速度运动， ∴AP＝t， ∵点Q在OB上以每秒1个单位的速度运动，∴OQ＝t， ∴AQ＝t＋3， ∵∠PAQ<90°，∠PQA<90°， ∴若要使△APQ是直角三角形，则∠APQ＝90°， 在Rt△AOC中，OA＝3，OC＝4， ∴AC＝5， 如解图①，设PQ与y轴交于点D， 第1题解图① ∵∠ODQ＝∠CDP，∠DOQ＝∠DPC＝90°， 2
72 x = B(0,4) A(6,0) E F x y O 二次函数与四边形综合专题 一．二次函数与四边形的形状 例1. 如图，抛物线2 23y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2． （1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值； （3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由． 解：（1）令y=0，解得11x =-或23x =∴A （-1，0）B （3，0）；将C 点的横坐标x=2代入2 23y x x =-- 得y=-3，∴C （2，-3）∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1 （2）设P 点的横坐标为x （-1≤x ≤2）则P 、E 的坐标分别为： P （x ，-x-1），E （2(,23)x x x -- ∵P 点在E 点的上方，PE=22(1)(23)2x x x x x -----=-++ ∴当12x =时，PE 的最大值=9 4 （3）存在4个这样的点F ，分别是1234(1,0),(3,0),(470),(47,0)F F F F -+-， 练习1.如图，对称轴为直线7 2 x = 的抛物线经过点A （6，0）和B （0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； ①当平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？ ②是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． A
中考培优课程 1 二次函数与特殊三角形 知识目标 模块一 二次函数与等腰直角三角形 知识导航 如图，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，可构造如图所示的三垂直全等模型“△ACD ≌△BAE ”，从而可以转化为水平线段长度与点坐标的基本计算. 若已知等腰直角三角形三个顶点坐标中的两个便可通过此方法求第三顶点坐标. 一般情况下，已知直角顶点坐标计算量会小很多. 在上述结论的基础上，加上二次函数的背景思路依然不变. 题型一 从45度到等腰直角三角形 知识导航 二次函数中经常会出现45度的条件，其中有一种常见思路就是把45度放入直角三角形中就变成了等腰直角三角形，再利用三垂直的算法就可以达到解题的效果. 例1 如图，抛物线y =ax 2+bx －4a 经过A (－1，0)、C (0，4)两点，与x 轴交于另一点B .点D (3，4)在第一象限的抛物线上，点P 为抛物线上一点，且∠DBP =45°，求点P 的坐标.
练习 如图，抛物线y=x2－4x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC，将直线AC向右平移交抛物线于点P，交x轴于Q点，且∠CPQ=135°，求直线PQ的解析式. 例2 如图，抛物线y=－x2+2x+3与x轴交于A、B两点，交y轴正半轴于点C，D为抛物线的顶点，在抛物线上有一动点P，使得∠PCB=∠CBD，求点P的坐标.
练习 如图，抛物线y=x2－4x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC，在抛物线上有一动点P，使得∠PCB=∠ACO，求点P的坐标. 题型二等腰直角三角形分类讨论 例3 如图，抛物线y=ax2－2ax－3a(a≠0)交x轴于A、B两点(A在y轴左侧)，交y轴正半轴于点C，且OC=3OA. (1)求此抛物线的解折式； (2)设点P的坐标为(t，1)，将线段AP绕点P逆时针旋转90°得线段P A1，若A1在抛物线上，求点P 的坐标； 练习 若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C1：y1=－2x2+4x+2与抛物线C2：y=－x2+mx+n为“友好抛物线”. (1)求抛物线C2的解析式. (2)设抛物线C2的顶点为C.点B的坐标为(－1，4)，问在C2的对称轴上是否存在点M，使线段MB 绕点M逆时针旋转90°得到线段MB′，且点B′恰好落在抛物线C2上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.