26 线段的和差倍分计算(2)
1.如图26-1,C 是线段AB 上的一点,M 是线段AC 的中点,N 是线段BC 的中点.
(1)如果AB=10 cm,AM=3 cm,求CN 的长;
(2)如果MN=6 cm,求AB 的长.
图26-1
2.如图26-2,已知线段AB 和CD 的公共部分BD=13AB=14CD ,线段AB ,CD 的中点E ,F 之间的距离是10 cm,求AB ,CD 的长.
图26-2
教师详解详析
1.解:(1)因为M 是AC 的中点,所以AC=2AM.
因为AM=3 cm,所以AC=2×3=6(cm).
因为AB=10 cm,所以BC=AB-AC=10-6=4(cm).
又因为N 是BC 的中点,
所以CN=12BC=12×4=2(cm).
(2)因为M 是AC 的中点,所以MC=12AC. 因为N 是BC 的中点,所以NC=12BC.
所以MC+NC=12AC+12BC=12(AC+BC )=12AB ,即MN=12AB. 又因为MN=6 cm,所以AB=2×6=12(cm).
2.解:设BD=x cm,则AB=3x cm,CD=4x cm,AC=6x cm .
因为E ,F 分别为AB ,CD 的中点,
所以AE=12AB=1.5x cm,CF=12CD=2x cm .所以EF=AC-AE-CF=2.5x cm . 又因为EF=10 cm,所以2.5x=10,解得x=4.
所以AB=12 cm,CD=16 cm .
证题技巧之三一一证明线段或角的和差倍分 一、证明线段或角的倍分 1、方法：①长（或大）折半 ②短（或小）加倍 2、判断：两种方法有时对同一个题都能使用，但存在易繁的问 题，因此，究竟是折半还是加倍要以有利于利用已知条件为准。 3、添线：①为折半或加倍而添；②为折半或加倍后创造条件或 利于利用已知条件而添。 4、传递：在加倍或折半后，还不易或不能证明结论，则要找与 被证二量有等量关系的量来传递，或者添加这个量来传递。此时，添 线从两方面考虑：①造等量②为证等量与被证二量相等而添。参考例 4、例 5、例6。 例1 AD 是^ ABC 的中线，ABEF 和ACGH 是分别以AB 和 AC 为边向形外作的正方形。求证：FH=2AD / BAC+ / ACN=180 证明：延长AD 至N 使AD=DN 则ABNC 是平行四边形 CN=AB=FA AC=AH 又/ FAH+ / BAC=180 ???△ FAHY NCA ??? FH=AN 例 2、△ ABC 中，/ B=2 / C , AD 是高，M 是BC 边上的中点。 $ ???
1 求证：DM=2 AB / 2=Z B ???/ 2=2Z 1 ???/ 1 = / DNM 又 AN=DN=ND ? DM=2 A B 1 贝J BFAC ??? BF=AE ???△ AEC 心 BFD ?DF 二CE 二 CD=2CE 作业: 1、在△ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，BE 的延长 1 线交AC 于F ,求证：AF=2 FC 2、AB 和AC 分别切? O 于B 和C, BD 是直径。求证/ BAC 二Z CBD 3、圆内接△ ABC 的AB=AC ,过C 作切线交AB 的延长线于D , DE 垂直于AC 的延长线于E 。求证：BD=2CE 例4从平行四边形的钝角顶点 A 向BC 边作垂线，垂足为E , 证明：取AB 的中点N ，连接MN 、DN 贝J MN // AC / 1 = / C ??? DM=DN 例 3 △ ABC 中，AB=AC , E 是 AB 的中点，D 在AB 的延长线上，且 DB=AC 。求证：CD=2CE 证明：过B 作CD 的中线BF V AB=AC , E 是AB 的中点 又 DB=AC
专题八__线段与角的和差倍分计算__[学生用书A62] 一线段的和差倍分计算 教材P153作业题第4题) 已知线段AB＝a(如图1)，延长BA至点C，使AC＝1 2AB.D为线段BC的中点． (1)求CD的长； (2)若AD＝3 cm，求a的值． 在一条直线上顺次取A，B，C三点，已知AB＝5 cm，点O是线段AC 的中点，且OB＝1.5 cm，则BC的长是() A．6 cm B．8 cm C．2 cm或6 cm D．2 cm或8 cm 如图2，某汽车公司所运营的公路AB段有四个车站依次是A，C，D，B， AC＝CD＝DB.现想在AB段建一个加油站M，要求使A，C，D，B站的各一辆汽车到加油站M所花的总时间最少，则M的位置在() A．在AB之间B．在CD之间C．在AC之间D．在BD之间如图3，点D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，若AB＝4 cm， 求线段CD的长度． 如图4，已知点C是线段AB上一点，AC＜CB，D，E分别是AB，CB 的中点，AC＝8，EB＝5，求线段DE的长．
如图5，线段AC ∶CD ∶DB ＝3∶4∶5，M ，N 分别是CD ，AB 的中点， 且MN ＝2 cm ，求AB 的长． 如图6，点C 分线段AB 为5∶7，点D 分线段AB 为5∶11，已知CD ＝ 2 cm ，求AB 的长． 如图7，已知线段AB 上有两点C ，D ，且AC ＝BD ，M ，N 分别是线段 AC ，AD 的中点．若AB ＝a cm ，AC ＝BD ＝b cm ，且a ，b 满足(a －10)2＋???? ??b 2－4＝0.求线段MN 的长度． 二 角的和差倍分计算 如图10，已知直线AB 上一点O ，∠AOD ＝44°，∠BOC ＝32°，∠EOD ＝90°，OF 平分∠COD ，求∠FOD 与∠EOB 的度数． 已知∠α和∠β互为补角，并且∠β的一半比∠α小 30°，求∠α，∠β. 如图11，从点O 引出6条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，且∠AOB ＝100°，OF 平分∠BOC ，∠AOE ＝∠DOE ，∠EOF ＝140°，求∠ 的度数．
角的和差倍分专项训练题2 1.如图，已知OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，如果∠AOE=140°，∠BOC比∠COD的2倍还多10°，那么∠AOB是多少度？ 2.如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．（1）如果∠AOB=50°，∠DOE=30°，那么∠BOD是多少度？（2）如果∠AOE=160°，∠COD=30°，那么∠AOB是多少度？ 3.如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线．∠DOE= －（1）∠AOC= ＋；∠BOD= ＋；∠DOE= －；∠AOB= －；（2）如果∠AOB=400，∠DOE=300，那么∠BOD是多少度？（3）如果∠AOE=1400，∠COD=300，那么∠AOB是多少度？ 4.如图，已知∠AOC：∠BOC=1：3，∠AOD：∠BOD=5：7，若∠COD=150，求∠AOB的度数
5.将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起.（1）如果∠DCE=36°，则∠ACB的度数为；（2）写出图中相等的角．如果∠DCE≠36°，它们还会相等吗？（3）若∠DCE变小，∠ACB如何变化？（4）在下图中利用能够画直角的工具再画一个与∠DCB相等的角 6.如图，将两块直角三角尺的直角顶点O叠放在一起．（1）若∠BOC=400，试求∠AOD的度数．（2）若∠AOD=1350，试求∠BOC的度数．（3）若∠BOC=α，∠AOD=β，请写出α与β的大小关系式，并说明理由 7.如图，将一副三角尺的两个直角顶点O重合在一起，在同一平面内旋转其中一个三角尺．（1）如图1，若∠BOC=700，则∠AOD= ；（2）如图2，若∠BOC=500，则∠AOD= ；（3）如图1，请猜想∠BOC与∠AOD 的关系，并写出理由 8.如图所示，将两块三角尺的直角顶点重合，（1）写出以C为顶点的相等的角；（2）若∠A=1500，求∠DCE的度数；（3）写出∠ACB与∠DCE之间所具有的数量关系；（4）当三角尺ACD不动，将三角尺ECB的EC边与AC边重合，然后绕点C按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当∠ACE（00＜∠ACE ＜900）等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出∠ACE角度的所有可能值，不用说明理由
线段的和差倍分专项训练题2 1.如图，已知线段AB 长为40mm ，C 是AB 的中点，延长AB 到D 点，使CD=3CB ；E 点在线段AB 的反向延长线上，且BD=2EA ，求线段ED 的中点M 到C 点的距离． 2.如图，已知线段AB=3cm ，请读题、画图、计算并作答：（1）根据下列语句画出图形：在线段AB 上取一点K ，使AK=BK ，在线段AB 的延长线上取一点C ，使AC=3BC ，在线段BA 的延长线上取一点D ，使AD=AB ；（2）在（1）所画出的图形中，求线段BC 、DC 的长；（3）在（1）所画出的图形中，点K 是哪些线段的中点？请写出来． 3.如图，已知线段AB ，点C 在AB 的延长线上，AC=35BC ，D 在AB 的反向延长线上，BD=5 3DC ．（1）在图上画出点C 和点D 的位置；（2）设线段AB 长为x ，则BC=；AD=；（用含x 的代数式表示）（3）若AB=12cm ，求线段CD 的长 4.已知线段AB=4，将线段AB 延长至C ，使BC= 2 1AB ，D 为AC 的中点，反向延长AB 至E ，使EA=AD ，根据题意画出图形并求AE 的长
5.如图，延长线段AB 至点C ，使BC=21AB ，反向延长AB 至D ，使AD=3 1AB ．（1）依题意画出图形，求BC ：AD 的结果；（2）若点E 为BC 的中点，且BD-2BE=10，求AB 的长 6.已知线段AB=a ，小明在线段AB 上任意取了点C 然后又分别取出AC 、BC 的中点M 、N ，的线段MN （如图1），小红在线段AB 的延长线上任意取了点D ，然后又分别取出AD 、BD 的中点E 、F ，的线段EF （如图2）.（1）试判断线段MN 与线段EF 的大小，并说明理由；（2）若EF=x ，AD=4x+1，BD=x+3，求x 的值 7.如图，C 为线段AB 上一点，D 是线段AC 的中点，E 为线段CB 的中点．（1）如果AC=6cm ，BC=4cm ，试求DE 的长；（2）如果AB=a ，试探求DE 的长度；（3）若C 在线段AB 的延长线上，且满足AC ﹣BC=bcm ，D ，E 分别为AC ，BC 的中点，你能猜想DE 的长度吗？直接写出你的结论，不需要说明理由 8.已知：点A 、B 、C 在直线l 上，线段AB=10，M 是线段AC 的中点，N 是线段BC 的中点．（1）如图①，若点C 在线段AB 上，且AC=6，求线段MN 的长；（2）若点C 是线段AB 上任一点，其他条件不变，能求出线段MN 的长度吗？请说明理由；（3）若点C 在线段AB 外，M 、N 仍分别是AC 、BC 的中点，你能猜想MN 的长度吗？请在备用图②、③中画出相应的图形，写出你的结论，并说明理由
部分内容来源于网络，有侵权请联系删除！ 怎样证明线段的和差倍分问题 怎样证明线段的倍分问题 【典型例题】 常规题型1、已知：如图所示，点D 、E 分别是等边ABC ?的边AC 、BC 上的点，AD=CE ，BD 、AE 交于点P ，AE BQ ⊥于Q ．求证：PB PQ 2 1 = ． 常规题型2、已知：如图所示，在ABC ?中，AB=AC ，?=∠120A ，AB 的垂直平分线MN 分别交BC 、AB 于点M 、N ．求证：CM=2BM ． 能力挑战1、如图所示，在ABC ?中，BC AB 2 1 =，D 是BC 的中点，M 是BD 的中点．求证：AC=2AM ． 能力挑战2、已知：如图所示，在ABC ?中，BD 是AC 边上的中线，BH 平分BH AF CBD ⊥∠,，分别交BD 、BH 、BC 于E 、G 、F ．求证：2DE=CF ． A D P C B Q M A D B A M N B C A E G B D H
部分内容来源于网络，有侵权请联系删除！ 【经典练习】 1、如图所示，已知ABC ?中，21∠=∠，AD=DB ，AC DC ⊥．求证：AB AC 2 1 = ． 2、已知：如图所示，D 是ABC ?的边BC 上一点，且CD=AB ，BAD BDA ∠=∠，AE 是ABD ?的中线．求证：AC=2AE ． 3、已知：如图所示，在ABC ?中，AB=AC ，?=∠120BAC ，D 是BC 的中点，AB DE ⊥于E ．求证：EB=3EA ． 4、已知：如图所示，在ABC ?中，AB=AC ，?=∠120BAC ，P 是BC 上一点，且?=∠90BAP ．求证：PB=2PC ． 5、已知：如图所示，锐角ABC ?中，C B ∠=∠2，BE 是角平分线，BE AD ⊥，垂足是D ．求证：AC=2BD ． A B E D E CE A D E B C A D E B A P B C A D B C 1 2
角度闭合差的计算和调 整 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
①角度闭合差的计算和调整 闭合导线一律测内角，N边形内角和应满足∑β 理 =（N-2）*180° 角度闭合差：f β=∑β 测 -∑β 理 =∑β 测 -(N-2)*180° 角度闭合差的容许值：f β容 =±40″√n (图根) f β容 =±20″√n （一级） 当满足该条件时：f β≤f β容 ，进行闭合差的分配。 闭合差的分配原则：当β为左角时，反号平均分配 当β为右角时，直接平均分配 注：当改正数不能平均分配完时，应给短边的邻角多分一点。 ②坐标方位角的推算 按左角推算：α前=α后+β 左 -180° 注：（α后+β 左 <180°时，应加上360°再减180°） 按右角推算：α前=α后+ 180°-β 右 注：（α后+180° <β 右时，应加上360°再减β 右 ） 对于闭合导线，为了检查计算是否有误，应计算起始边的坐标方位角。由于内角改正后已经闭合，故起始边方位角的计算值等于该边的已知值。 ③计算坐标增量 ΔX AB =S AB *Cosα AB ΔY AB =S AB *Sinα AB ④坐标增量闭合差的计算和调整 1）坐标增量闭合差的计算
对于闭合导线，无论边数多少，其纵，横坐标增量的代数和在理论 上应该为零。即： ∑ΔX 理=0 ∑ΔY 理=0 但是由于实测边长的误差和角度改正后的残余误差，使得∑ΔX 理和∑ΔY 理不为零，所以就产生了坐标增量闭合差。 f x =∑ΔX 测-∑ΔX 理 f y =∑ΔY 测-∑ΔY 理 即： f x =∑ΔX 测 f y =∑ΔY 测 由于f x 和f y 的存在，使得计算出的终点与起始点不重合，两者之间 的距离称为导线全长闭合差：f s = √(f x 2+f y 2) 导线全长的相对闭合差为：K= f s /∑S=1/N(用来衡量精度的高低)
角的和差倍分专题 教学目标： 1.使学生通过联想线段大小的比较方法，找到角的大小的比较方法. 2在现实情境中，进一步丰富对角与锐角、钝角、直角、平角、周角极其大小关系的认识. 3.在操作活动中认识角的平分线，能画出一个角的平分线. 解决有关角的实际问题。 4.培养学生类比联想的思维能力和对知识的迁移能力. 教学重点与难点: 教学重点：角的两种比较方法、角的和、差、倍、分的作法和计算、角的平分线定义. 教学难点：角平分线定义的各种数学表达式. 教法及学法指导：教法：启发式教学法． 学法：自主探索、合作交流． 课前准备：多媒体课件． 教学过程： 一、创设情境，趣味导入 一.类比联想，提出问题，探索解决问题的方法 1.类比联想，提出问题 前面学习了线段的概念之后，紧接着就学习了比较线段的大小以及线段的和、差、倍、分的画法问题. 上节课我们已经学习了角的概念，类似的，今天我们也要学习如何比较角的大小，以及角的和、差、倍、分的画法问题.(板书课题) 2.类比联想，探索解决问题的方法(1)师生共同回忆线段大小比较的方法，以及和、差、倍、分的画法. (2)分组讨论，发现方法. 二．例题 1. 已知一条射线OA，若从点O再顺次引出
两条射线OB和OC， ∠AOB=50°，∠BOC=80°, 求∠AOC的度数。 2.已知一条射线OA，若从点O再引出两条 射线OB和OC，∠AOB=50°， ∠BOC=80°,求∠AOC的度数。 3.已知一条射线OA，若从点O再引两条 射线OB和OC，使∠AOB=50°，∠BOC=80°， OE平分∠AOB，求∠COE的度数？ 4.已知一条射线OA，若从点O再引两条射线OB和OC， 使∠AOB=50°，∠BOC=80°， OE平分∠AOB，OF平分∠BOC， 求∠EOF的度数？ .教学反思：本课时设计的主导思想是：将数形结合的思想渗透给学生，使学生对数与形有一个初步的认识．为将来的学习打下基础，它为学生的思维开拓了一个新的天地．不应只是交给学生比较线段的方法，而要从数形结合的高度去认识．在教知识的同时，交给学生一种很重要的数学思想．与学生之间的互动与交流要加强，要鼓励学生，发现他们的闪光点，给他们信心，让他们能够自主地融入课堂，快乐的学习
线段的和差倍分问题的证明 一、运用定理法 即直接或间接运用某些涉及线段和差倍分关系的定理或推论进行证明。此类定理和推论有：三角形中位线定理；梯形中位线定理；直角三角形30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 例1 如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 中点. 求证：DM = 2 1AB 对应练习 1、已知：如图所示，点D 、E 分别是等边ABC ?的边AC 、BC 上的点，AD=CE ，BD 、AE 交于点P ，AE BQ ⊥于Q ．求证：PB PQ 2 1 = ． 2、如图所示，在ABC ?中，AB=AC ，?=∠90BAC ，BE 平分ABC ∠，交AC 于D ，BE CE ⊥于E 点，求证：BD CE 2 1 =． 3、如图所示，在ABC ?中，BC AB 2 1 = ，D 是BC 的中点，M 是BD 的中点．求证：AC=2AM ． 4、已知：如图所示，D 是ABC ?的边BC 上一点，且CD=AB ，BAD BDA ∠=∠，AE 是ABD ?的中线．求证：AC=2AE ． Q A D P C B E M A D B A B E D C A
5、已知：如图所示，锐角ABC ?中，C B ∠=∠2，BE 是角平分线，BE AD ⊥，垂足是D ．求证：AC=2BD ． 二、割补线段法 这是证明线段的和差倍分问题的一种重要方法。即通过“分割”或“添补”的形式，在相关线段或其延长线上构造一线段，使之能够表示几条线段的和差倍分关系，从而将多线段问题转化为两线段问题。在证明线段的和差倍分关系时，往往通过添辅助线，构造出能表示线段的和差倍分关系的线段，促使问题的转化。但在添加辅助线之前一定要结合题意和图形深入分析，想一想，图形中是否已经存在能表示有关线段和差倍分关系的线段，否则乱添加辅助线只能把图形复杂化，使思路步人歧途。下面请看一个例子。 例2、P 是正方形ABCD 的边BC 上的任意一点，AQ 平分∠PAD . 求证：AP =BP +DQ . 例3、 如图，△ABC 中，∠BAC =90°，AE 是经过点A 的一条直线，交BC 于F ，且B 、C 在AE 在的异侧，BD ⊥AE 于D ，求证：DB =DE +CE 。 对应练习 1、如图所示，已知ABC ?中，?=∠60A ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ．求证：BE+CD=BC ． A D E B C A O E B C D
2.7 角的和与差教学设计 ——冀教版七年级上册 教学目标： 知识技能： 1、结合具体图形，了解两个角的和与差的意义。会进行角的和差运算，知道如何进位或借位。 2、了解角平分线的意义及其简单应用，了角两角互余、两角互补的意义，会正确表示一个角的余角或补角，能熟练的求出一个角的余角或补角。通过探究，了解“同角（等角）的余角相等“同角（等角）的补角相等”。 3、在教学中注重培养学生合情推理和演绎推理的能力，使学生逻辑逐步清晰，过程逐渐规范。并且培养学生图形语言与符号语言的转化能力。 数学思考： 1、由一个顶点引出三角射线构成的图形是本节课的基本图形，它体现了整体与部分的基本和差关系。通过将角对折，由基本图形转化出角的平分线这种特殊情形，让学生体会由一般到特殊的基本思想；由角度数的计算，又到两角之和为90度、180度的特殊数量关系，同样体会由特殊到一般的思想。 2、对于角平分线的教学，可类比线段的中点，体会类比的思想。 3、整个教学过程从两大方面研究：一是从图形上研究角的和与差，一是从数量上研究角的和与差，并且体会它们之间的互应联系。体会数形结合的思想。 情感态度： 培养学生善于观察、善于发现、主动探索、勇于实践的科学精神及合作交流精神。 教学重点： 1、角的和与差、角平分线及其意义。 2、互余、互补的概念及其性质。 教学难点： 两角互余、两角互补的本质特征，互余、互补的性质。 教学准备： 多媒体课件、三角板、用纸片做的角。 教学过程： 一、创设情境，激发兴趣。 导语：同学们，我们已经学习了角的有关知识。请问：你们能用手中三角板画出30°、45°、60°、90°的角吗？ 但我遇到了困难，用三角板怎样作出15°、75°、150°的角呢？ 那我们就带着这个问题一同走进今天的探索之旅——（板书：角的和与差）设计意图：让学生用非常熟悉的三角板作出30°、45°等特殊角，使他们觉得非常容易。接着又提出了15°、75°的角如何画的问题，增加了难度，让学生经历了由易到难，由特殊到一般的思维过程。从而引发了思考，激发了学习兴趣。让学生带着问题、任务去学习，可能会更有目的性，更有兴趣。
如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明． （3）解：BE+DF=EF；理由如下： 延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，如图3所示： ∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°， ∴∠NBC=∠D， 在△NBC和△FDC中，， ∴△NBC≌△FDC（SAS）， ∴CN=CF，∠NCB=∠FCD， ∵∠BCD=140°，∠ECF=70°， ∴∠BCE+∠FCD=70°， ∴∠ECN=70°=∠ECF， 在△NCE和△FCE中，， ∴△NCE≌△FCE（SAS）， ∴EN=EF， ∵BE+BN=EN， ∴BE+DF=EF． 26．已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C 向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点． （1）当点P与点O重合时如图1，易证OE=OF（不需证明） （2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明． 【考点】四边形综合题． 【分析】（1）由△AOE≌△COF即可得出结论． （2）图2中的结论为：CF=OE+AE， 延长EO交CF于点G，只要证明 △EOA≌△GOC，△OFG是等边三角 形，即可解决问题． 图3中的结论为：CF=OE﹣AE，延长 EO交FC的延长线于点G，证明方法 类似． 【解答】解：（1）∵AE⊥PB，CF⊥BP，
角的单位及和差倍分（总第71课时） 执笔人：鲁贤聪 教学目标 1.了解角的单位的意义，并能进行角的单位之间换算 2.经历角的单位的换算过程，理解角的单位互化的程序（分段进行） 3.通过角的单位的互化和角的四则运算，提高计算能力，培养学生一丝不苟的学习精神。 教学重难点 重点：角的度量单位及角的单位之间的换算，角的四则运算 难点：角的减法、除法运算 教学过程 1.角的度量单位——度、角、分 角的度量单位是“度、分、秒”。把1个周角360等分，每一等分是1度的角，1度记作1°；把1°的角60等分，每一等分就是1分的角，1分记作1′；把1′的角60等分，每一等分就是1秒的角，1秒记作1″。即 1°=60′， 1′=60″ 1′=???? ??601 '?? ? ??="6011 注：要类比时间单位记忆 2.角的单位的互换 例1 （1）用度、分、秒表示° 解：因为°=60′×=′ （度 退位 分） ′=60″×=36″ （分 退位 秒） 所以°=30°15′36″ （2）42°18′15″等于多少度 '=?'?? ? ??="25.01560115 （秒进位 分）
?≈???? ? ??='304.025.1860125.18 （分进位 度） 所以42°18′15″≈42°＋°≈° 注：（1）是将高级单位化为低级单位，乘以60（退位×60） （2）是将低级单位化为高级单位，除以60（进位÷60） P145练习1 3.角的四则运算 例2计算 （1）25°23′17″＋46°53′43″ 解：25°23′17″＋46°53′43″ =71°76′60″ =72°17′ （2）19°20′24″×4 解：19°20′24″×4 =76°80′96″ =77°21′36″ （3）75°23′12″－46°53′43″ 解：75°23′12″－46°53′43″ =74°83′12″－46°53′43″ =74°82′72″－46°53′43″ =28°29′29″ 分析：被减数的分不够减，向度借1算60分；被减数的秒不够减，向分借1算60秒. （4）把一个周角17等分，每份是多少（精确到1′） 解：360°÷17=21°＋3°÷17=21°＋180′÷17≈21°11′. 思考：若精确到1″，答案约为多少（21°10′35″）
线段的和差倍分及其应用专题【例1】、如图，D是AB的中点， E是BC的中 点 ,BE= 5 1 AC=2cm，线段DE的长，求线段DE的长. 练习： 1、如图，AB=24cm,C、D点在线段AB上,且CD=10cm，M、N分别是AC、BD的中点，求线段MN的长． 2、如图,C为线段AB的中点，N为线段CB的中点，CN=1cm。求图中所有线段的长度的和． 3、在同一条公路旁，住着五个人,他们在同一家公司上班，如图9,不妨设这五个人的家分别住在点ABDEF位置，公司在C点,若AB=4km，BC=2km,CD=3km,DE=3km,EF=1km，他们全部乘出租车上班,车费单位报销．出租车收费标准是：起步价3元（3km以内，包括3km），以后每千米1.5元（不足1km，以1km计算），每辆车能容纳3人． （1）若他们分别乘出租车去上班，公司需支付车费多少元？ (2）如果你是公司经理，你对他们有没有什么建议？
4、如图所示，沿江街AB 段上有四处居民小区A ．C ．D ．B ，且有AC=CD=DB ，为改善居民的购物环境,想在AB 上建一家超市，每个小区的居民各执一词,难以定下具体的建设位置，高经理是超市负责人，从便民、获利的角度考虑，你觉得他会把超市建在哪儿？为什么？ 【例2】、点C 、D 顺次将线段AB 分成三部分，且AC = 2CD,CD ：DB = 1 ：3，M 、N 分别为AC 、BD 的中点，MN = 7cm,求线段AB 的长度。 练习: 1、M 、N 是线段E 、F 上两点，已知3:2:1:: BF AB EA ,M 、N 分别是EA 、BF 的中点,且MN=8cm ，试求EF 的长。 2、已知点C 在线段AB 上， AC=72AB ，M 是线段BC 的中点,AM=9 cm,试求AB 的长. · · · · · · A B C D M N A B M C
§4.6.2 角的比较与运算（1） --------西埔中学 张雨淋 教学目标： 1．使学生通过联想线段大小的比较方法，找到角的大小的比较方法． 2．使学生通过联想线段和、差的作法，掌握角的和、差的作法和计算． 3．使学生掌握角的平分线的定义以及数学表达式． 4．培养学生类比联想的思维能力和对知识的迁移能力． 教学重点：角的和、差关系，角的平分线的定义。 教学难点：角的和、差，角的平分线的几何语言表达式及运用。 教学准备：圆规、量角器、三角尺、角的纸片数张 教学过程（师生活动）： 类比联想，创设思维情境，，引入新课 (1) 师生共同回忆线段大小比较的方法，以及线段和、差的画法． (2) 分组讨论，发现方法： 探索一：如图(1)试比较∠AOC 和∠BDF 的大小. 图（1） B O A F C D 图（2） B O A C 归纳<1>：角的大小比较方法： （1） 度量方法：用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小。 （2） 叠合方法：把两个角叠合在一起比较大小。 归纳<2>：角的和、差的画法及几何语言表述。 基本图形：如图（2） 和：BOC AOB AOC ∠+∠=∠ 差：{ AOB AOC BOC BOC AOC AOB ∠-∠=∠∠-∠=∠ 例1：如图（2）已知?2267的度数求：，AOB BOC AOC ∠=∠=∠ο ο 练习：如图（2）已知 ?2245的度数求：，AOC BOC AOB ∠=∠=∠ο ο 探索二：用一副三角尺，你能画出哪些度数的角（ο ο1800至）？ 归纳：ο οοοοοοοοοοο180165150135120105907560453015，，，，，，，，，，， 探索三：将一角对折，使其两边重合，问： 折痕与角两边所成的两个角的大小有什么关系？ 由此，引出角的平分线定义及其几何表达式： 角平分线定义：从一个角的顶点引出的一条射线把一个角分成两个相等的角，
2021年中考数学热点专题复习：例析线段和差倍分问题的求解策略在几何问题中，要证明一条线段是另外几条线段的和差，或是另一线段的几倍或几分之几，我们统称为线段的和差倍分问题，处理这类问题的指导思想是化归为线段的相等问题． 一、利用全等形或相似形 对于线段的倍分问题，通常可利用图形中特殊的分点为解题的突破口，找出图形中较短线段的倍分线段，再用全等三角形证明它与较长线段相等，或围绕特殊分点对应线段所在三角形寻找相似三角形，利用相似形对应线段的比例关系达到求证的目的．例1如图1，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD ＝45°，AD与BE交于点F，连CF． (1)求证：BF＝2AE； (2)若CD＝2，求AD的长． 分析由图形的对称性，不难发现点E为AC的中点，即AC＝2AE，故问题(1)只要证明BF＝AC． (2)略． 例2如图2，点A、B、C、D在⊙O上，AC⊥BD于点E，过点O作OF⊥BC于点F． (1)求证：△AEB∽△OFC； (2)AD＝2OF．
二、取长补短法 对于线段的和差问题，通常采用延长较短线段或截取较长线段的方式，化归为线段的相等问题（俗称取长补短法）． 例3 如图3，已知点A、B、C、D顺次在⊙O上，且AB＝BD，BM⊥AC于点M，求证：AM＝CD＋CM． 证明（延长法） 延长DC至点N，使CN＝C M，下面只要证明AM＝DN即可．连BN，则由AB＝BD，得 ∠ACB＝∠ADB＝∠BAD＝∠BCN， 又CN＝CM，BC为公共边， 例4 如图4，在菱形ABCD中，F为BC边的中点，DF与对角线AC交于点M，过点M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2． (1)若CE＝1，求BC的长； (2)求证：AM＝DF＋ME．
4.3.2角的比较与运算 学习目标: 1．熟练掌握比较角的大小的两种方法，理解角的平分线的概念，会进行角的加减运算。 2．高效自学，合作探究，通过动手操作体会数形结合思想的应用，提高动手能力。 3．激情投入，全力以赴，感受图形语言与符号语言的相互转化，培养学习数学的兴趣。 学习重点：角的大小的比较方法。 学习难点：角的加减运算。 学习过程 【温故知新】 1.右图中有几个角？请把它们分别表示出来。 图中共有 个角，分别是 2.它们之间有怎样的关系？试一试（包括大小与和差关系） 【自主探究一】 1.比较角的大小 （1）度量法：用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小。 ①∠AOB____∠AOB ′； ②∠AOB____∠AOB ′； ③∠AOB____∠AOB ′。 （2）叠合法：把两个角叠合在一起比较大小。（教师演示） 2.探究角的和差 (1)∠BOC=350,∠AOB=400,则∠AOC=∠BOC+∠AOB= (2)∠AOC=580 ,∠BOC=270 ,则∠AOB= (3)∠BOC=x 0,∠AOB=y 0,则∠AOC= (4)∠AOC=m 0,∠BOC=n 0,则∠AOB= 【合作释疑】 1.一副三角板的各个角分别是多少度？借助三角尺画出150，750的角。 2.用一副三角板，你还能画出哪些度数的角？试一试 3.画出的这些角有什么规律吗？ 还能画出______________规律是：凡是 的倍数的角都能画出。 【自主探究二】 1.实践操作：通过折纸探究角平分线 2.角平分线的概念 角的平分线：从一个角的_____出发，把这个角分成_______的两个角的 ，叫做这个角的平分线。 3.数学符号表示：如图，OB 是∠AOC 的平分线,可以记作: ∠AOC=2 = 或∠AOB=∠BOC=2 1 。 4.如图，（1）如果AC 平分∠BAD ，那么∠ =∠ ； （2）如果∠BCA=∠DCA ，那么 是 的平分线。 【当堂训练】 1.如图若∠AOC=32°，∠BOC=43°则∠AOB= ； 若已知 ∠AOB = 68 °∠BOC=40°则∠AOC= 2.如图，OB 是∠AOC 的平分线，OE 是∠COD 的平分线， (1)若∠AOC ＝50°，∠COD ＝80°，那么∠BOE= (2)若∠AOD ＝130°，那么∠BOE = (3)若∠BOE ＝60°，那么∠AOD = (4) 由上可知: ∠BOE ＝_____∠AOD. 【拓展延伸】 已知射线OA ，若从点O 再引两条射线OB 和OC ，∠AOB=60°，∠BOC=20 °，求∠AOC 的度数。（尝试画一画，看能画出几种） O B C O B C A O B B ′ A O B B ′ A O B （B ′） ① ② ③ O B C O C A A C B O E D
【初三】线段、角的和 差倍分 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
初中数学竞赛专题选讲 线段、角的和差倍分 一、内容提要 证明线段、角的和，差，倍，分，常用两种方法：一是转化为证明线段或角的相等关系；一是用代数恒等式的证明方法。 一.转化为证明相等的一般方法 ㈠通过作图转化 1.要证明一线段（角）等于两线段（角）的和（用截长 补短法） ⑴分解法――把大量分成两部分，证它们分别等于两个 小量 ⑵合成法――作出两个小量的和，证它与大量相等 2.要证明一线段（角）等于另一线段（角）的2倍 ⑴折半法――作出大量的一半，证它与小量相等 ⑵加倍法――作出小量的2倍，证它与大量相等 ㈡应用有关定理转化 1.三角形中位线等于第三边的一半，梯形中位线等于两底和 的一半 2.直角三角形斜边中线等于斜边的一半 3.直角三角形中，含30度的角所对的直角边等于斜边的一 半
4.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和 5.等腰三角形顶角的外角等于底角的2倍 6.三角形的重心（各中线的交点）分中线为2∶1 7.有关比例线段定理 二.用代数恒等式的证明 1.由左证到右或由右证到左 2.左右两边分别化简为同一个第三式 3.证明左边减去右边的差为零 4.由已知的等式出发，通过恒等变形，到达求证的结论 二、例题 例1.已知：△ABC中，∠B＝2∠C，AD是高 求证：DC＝AB＋BD 分析一：用分解法，把DC分成两部分，分别证与AB，BD 相等。 可以高AD为轴作△ADB的对称三角形△ADE，再证EC＝AE。∵∠AEB＝∠B＝2∠C且∠AEB＝∠C＋∠EAC，∴∠EAC＝∠C 辅助线是在DC上取DE＝DB，连结AE。 分析二：用合成法，把AB，BD合成一线段，证它与DC相等。 1
与线段的和差倍分有关问题的处理 1. 如图，已知⊿ABC 中，0 90BAC ∠=，AB=AC ，点P 为BC 边上一动点（BP 3. 如图，正方形ABGE （四边相等，四个角都等于0 90）中，点D 在EG 上，点C 在BG 上，且045DAC ∠=，求证：CD=DE+CB. 一道老题. 4. 如图，在上题中，若点D 在EG 的延长线上，点C 在GB 的延长线上，其余条件不变. 求证：DE=BC+CD. G E A B D 先证明三角形BAC 全等于EA*,然后证明绿蓝两个图形全等,做等边转化. C G E D 5.如图，AB=AE ，AB⊥AE ，AD=AC ，AD⊥AC ，点M为BC的中点，求证：DE=2AM. M D E B A C 1.倍长中线是这道题的第一难点.辅助线做出来就做出了一大半. 2.证明角CAN和角EAD相等是本题的第二关键,在于角BAC和角AED+角ADE的相等转化到三角形ANC当中,做等量代换. 6.如图，AD是⊿ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB ，∠BAC=∠BCA，求 证：AE=2AD. 一. 倍长中线的使用,作AD等长的线段DE. 二. 证明蓝绿两三角形全等. A C 《角的比较与运算》教案 【学习目标】: 1．了解比较两个角的大小的常见两种方法，知道两个角的和、差的意义。 2．能进行一些角的加、减、乘、除的简单运算。 一、【学】： 学生带着以下的问题自学课本134-135页探究部分（时间约5分钟） （ 1）用两块三角板能不能画出一个120°和135°的角？ 自学检测：《导学案》P120第1题，P121第13题和课本P136页练习第1 题。 1. 请先估计下面各角的大小，然后再用量角器测量下面各角的大小。 2.估计图中∠1与∠2的大小关系，并用适当的方法检验。 3.如果∠1=∠2，∠2=∠3，则∠1 ∠3；如果∠1＞∠2，∠2＞∠3，则∠1 ∠3. 4. 1周角=°、1平角=°、1直角=°、1°= ′、1′= 〞 32 。 5’和32.5 。 相等吗? 。 二、【导】： 活动一：课本P134页思考 5.能否用和、差表达∠AOB、∠BOC和∠AOC三者间的关系？ 练习：《导学案》P120第4、2题，P121第10题 6.如图：这四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数分别是： ①；②；③；④； 7.计算： （1）30.5°= °′（2）7°6′= ° （3）51°47′-32°45′= °′（4） 47°53′+53°47′= °′ 8.按图填空： （1）∠AOB+∠BOC= （2）∠AOC+∠COD= (3) ∠BOD-∠COD= (4) ∠AOD- =∠AOB C O A B 三、【升】：《导学案》P121第14题, P120第6题 9.填空： （1）35°18′×7= °′（2）25°32′+142°28′= ° （3）161°20′÷5= °′ (4) 98°45′36〞+71°22′34〞= 10.如图： （1）若∠A=75°，∠A+∠D=180°，求∠D； （2）若∠B=64°43′，∠B+∠C=180°，求∠C。 四、小结 五、作业 《导学案》P120页的第3、5题和P121页的第7、8、9、11、12题。 线段的和差倍分问题的证明 在初中几何中，证明线段的相等关系是一个重要的教学内容，而有关线段的和、差、倍、分问题，则是其中的教学难点。如何搞好线段的和差倍分的教与学？本文通过一些例题，谈谈它的一般证明方法。 一、运用定理法 即直接或间接运用某些涉及线段和差倍分关系的定理或推论进行证明。此类定理和推论有：三角形中位线定理；梯形中位线定理；直角三角形30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 例1 如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 中点. 求证：DM = 21AB 分析：如图，因为2 1AB 等于△ABC 的 中位线NM 的长，所以原命题就转化为证明DM ＝NM 。∵DN 为Rt △ADC 斜边上的中线，∴DN =NC ；∴∠2=∠C ，又∵2∠C =∠B =∠1=∠2+∠3,∴∠2=∠3=∠C ，∴DM =MN ，问题得证。 说明：证明线段的和差倍分问题，大都是采取间接的方法进行，即把线段的和差倍分问题转化为证明两条线段相等的问题。“转化”是证明线段的和差倍分问题的指导思想，它通过对原问题进行变形，促使矛盾的转移，从而达到化未知为已知，化难为易，化繁为简的目的，一般说来，运用定理法证明线段的和差倍分问题，就是根据有关定理将原命题转化后再证明。 二、割补线段法 这是证明线段的和差倍分问题的一种重要方法。即通过“分割”或“添补”的形式，在相关线段或其延长线上构造一线段，使之能够表示几条线段的和差倍 分关系，从而将多线段问题转化为两线段问题。 例2 如图，在△ABC 中，BD =FC ，FG ∥DE ∥BA ，D 、F 在BC 上，E 、G 在AC 上. 求证：FG =AB -DE 分析：本题的关键在于构造一条线段， 使之等于（AB -DE ）,如图，在AB 上载取线 段AH =DE ，则AB -DE =BH ，从而把原命题转化 为证明FG =BH 的问题，进而通过证△BHD ≌FGC ，使原命题得证。 例3 如图，P 是正方形ABCD 的边BC 上的任意一点，AQ 平分∠PAD . 求证：AP =BP +DQ . 证明：延长PB 至E ，使BE =DQ ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴BA =AD ，∠EBA =∠QDA =90° ∴△ABE ≌△ADQ ，∴∠E =∠4，∠3=∠1， ∵∠1=∠2，∴∠3=∠2，∴∠PAQ =∠BAQ =∠4 ∴∠E =∠PAE ，∴PE =AP ，既BP +BE =AP ， ∴BP +DQ =AP 说明：例2通过“分割”的形式构造从两条线段之差，例3通过“添补”的形式构造从两条线段之和，从而将原命题转化为两条线段的问题，值得注意的是：在运用“割补法”证明线段的和差倍分关系时，是运用“添补”的形式构造线段的“和”或“倍”，还是运用“分割”的形式构造线段的“差”或“几分之几”，这不能取决于原命题的和差倍分形式。因为“和”与“差”，“倍”与“分”是可以互相转化的。因此，我们在选择割补的形式时要结合图形和题目的已知条件，即所割补的线段不是“孤立”的，而应能够与原来的图形产生联系。 从以上三个例题可知，在证明线段的和差倍分关系时，往往通过添辅助线， 线段的和差倍分教案 篇一：三角形专题线段的和差倍分 专题：三角形之线段的和差倍分 1、在△ABC中，∠ACB= 900，AC=BC，直线MN经过点C，且AD ⊥MN于D，BE⊥MN于E。 （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE=AD+BE。（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，问DE 、AD、BE 有何关系，并说明理由。 A 2、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D. 求证：DE?AD?BE. 3、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F. 求证：（1）FC=AD； （2）AB=BC+AD 4、如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线 垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F． 求证：?BD=CF ?BD=2CE． 5、?如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D 点作EF∥BC交AB于E， 交AC于F，求证：EF=BE+CF． ?在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，过D点作EF∥BC 交AB于E，交AC于F， 试探究BE、EF与CF的数量关系． 篇二：【教案】2.4线段的和与差 2.4线段的和与差 教学目标 1．理解线段可以相加减，掌握用直尺、圆规作线段的和、差. 2．利用线段的和与差进行简单的计算。 教学重点和难点 重点：用直尺、圆规作线段的和、差。 难点：进行简单的计算。 教学时间：1课时 教学类型：新授 教学过程： 一、复习旧知，作好铺垫 1．已知线段AB，用圆规、直尺画出线段CD，使线段CD=AB. 2．两点间的距离是指（） A.连结两点的直线的长度； B.连结两点的线段的长度；《角的比较与运算》教案
谈线段的和差倍分问题的证明
线段的和差倍分教案
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