5.角平分线、垂直平分线
知识考点：
了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。
精典例题：
【例题】如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝300，AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：CF ＝2BF 。
分析一：要证明CF ＝2BF ，由于BF 与CF 没有直接联系，联想题设中EF 是中垂线，根据其性质可连结AF ，则BF ＝AF 。问题转化为证CF ＝2AF ，又∠B ＝∠C ＝300，这就等价于要证∠CAF ＝900，则根据含300角的直角三角形的性质可得CF ＝2AF ＝2BF 。
分析二：要证明CF ＝2BF ，联想∠B ＝300，EF 是AB 的中垂线，可过点A 作AG ∥EF 交FC 于G 后，得到含300角的Rt △ABG ，且EF 是Rt △ABG 的中位线，因此BG ＝2BF ＝2AG ，再设法证明AG ＝GC ，即有BF ＝FG ＝GC 。
例题图1
F E
C B A
例题图2
G F E
C
B A
分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作AD ⊥BC 于D ，则BD ＝CD ，考虑到∠B ＝300，不妨设EF ＝1，再用勾股定理计算便可得证。
以上三种分析的证明略。
例题图3
D F E
C
B A
问题图
3
2
1E
D C
B A
探索与创新：
【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题：
三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。如图，△ABC 中，AD 是角平分线。求证：
AC
AB
DC BD =
。 分析：要证
AC
AB
DC BD =
，一般只要证BD 、DC 与AB 、AC 或BD 、AB 与DC 、AC 所在三角形相似，现在B 、D 、C 在同一条直线上，△ABD 与△ADC 不相似，需要考虑用别的方法换比。我们注意到在比例式
AC
AB
DC BD =
中，AC 恰好是BD 、DC 、AB 的第四比例项，所以考虑过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E ，从而得到BD 、CD 、AB 的第四比例项AE ，这样，证明
AC
AB
DC BD =
就可以转化为证AE ＝AC 。 证明：过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E
CE ∥AD ??
?
????
?
??∠=∠∠=∠∠=∠?E 13
221?∠E ＝∠3?AE ＝AC CE ∥AD ?
AE
AB
DC BD =
∴AC
AB
DC BD =
（1）上述证明过程中，用了哪些定理（写出两个定理即可）；
（2）在上述分析、证明过程中，主要用到了三种数学思想的哪一种？选出一个填入后面的括号内（ ）
①数形结合思想 ②转化思想 ③分类讨论思想 答案：②转化思想
（3）用三角形内角平分线性质定理解答问题：已知AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，AB ＝5 cm ，AC ＝4 cm ，BC ＝7 cm ，求BD 的长。
答案：
9
35cm 评注：本题的目的主要在于考查学生的阅读理解能力。
跟踪训练：
一、填空题：
1、如图，∠A ＝520，O 是AB 、AC 的垂直平分线的交点，那么∠OCB
＝ 。
2、如图，已知AB ＝AC ，∠A ＝440，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，则∠DBC ＝ 。
第1题图
O
C
B
A
第2题图
N
M
D
C
B A
第3题图
E
D
C
B
A
第4题图
E
A
B C
D
3、如图，在△ABC 中，∠C ＝900，∠B ＝150，AB 的中垂线DE 交BC 于D 点，E 为垂足，若BD ＝8，则AC ＝ 。
4、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，DE 是AB 的垂直平分线，△BCE 的周长为24，BC ＝10，则AB ＝ 。
5、如图，EG 、FG 分别是∠MEF 和∠NFE 的角平分线，交点是G ，BP 、CP 分别是∠MBC 和∠NCB 的角平分线，交点是P ，F 、C 在AN 上，B 、E 在AM 上，若∠G ＝680，那么∠P ＝ 。
填空第5题图
G
P
M E
B N
C F
A 选择第1题图
F
E
D
C
B
A
选择第2题图
4
32
1
D
C
B A
二、选择题：
1、如图，△ABC 的角平分线CD 、BE 相交于点F ，且∠A ＝600，则∠BFC 等于（ ） A 、800 B 、1000 C 、1200 D 、1400
2、如图，△ABC 中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，若∠D ＝360，则∠C 的度数为（ ） A 、820 B 、720 C 、620 D 、520
3、某三角形有一个外角平分线平行于三角形的一边，而这三角形另一边上的中线分周长为2∶3两部分，若这个三角形的周长为30cm ，则此三角形三边长分别是（ ） A 、8 cm 、8 cm 、14cm B 、12 cm 、12 cm 、6cm C 、8 cm 、8 cm 、14cm 或12 cm 、12 cm 、6cm D 、以上答案都不对
4、如图，Rt △ABC 中，∠C ＝900，CD 是AB 边上的高，CE 是中线，CF 是∠ACB 的平分线，图中相等的锐角为一组，则共有（ ）
A 、0组
B 、2组
C 、3组
D 、4组
5、如果三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、不能确定 三、解答题：
1、如图，Rt △ABC 的∠A 的平分线与过斜边中点M 的垂线交于点D 。 求证：MA ＝MD 。
选择第4题图
E
F D
C
第1题图
M
D
C
B
A
2、在△ABC 中，AB ≠AC ，D 、E 在BC 上，且DE ＝EC ，过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ，DF ＝AC ，求证：AE 平分∠BAC 。
第2题图
E F
D C
B A
3、如图，在△ABC 中，∠B ＝22.50，∠C ＝600，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，BD ＝
26，AE ⊥BC 于点E ，求EC 的长。
第3题图
E F
D C
B A
4、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝900，AC ＝BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD ，垂足为E ，BF ∥AC 交CE 的延长线于点F ，求证AB 垂直平分DF 。
第4题图
E
F
D
C
B
A
参考答案
一、填空题：
1、380；
2、240；
3、4；
4、14；
5、680 二、选择题：CBCDB 三、解答题：
1、过A 作AN ⊥BC 于N ，证∠D ＝∠DAM ；
2、延长FE 到G ，使EG ＝EF ，连结CG ，证△DEF ≌△CEG
3、连结AD ，DF 为AB 的垂直平分线，AD ＝BD ＝26，∠B ＝∠DAB ＝22.50 ∴∠ADE ＝450，AE ＝2
2
AD ＝2622 ＝6 又∵∠C ＝600
七年级线段的垂直平分线与角平分线 一、线段垂直平分线 (一）、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 例题 1、如图，已知AB = AC = 14cm ，AB 的垂直平分线交AC 于D 。 1）若△DBC 的周长为24cm ，则BC = （ ） cm ； 2）若BC = 8cm ，则△BCD 的周长是（ ）cm 。 课堂练习 1、在△ABC 中，BC=10，边BC 的垂直平分线分别交AB ，BC 于点E ，D ，BE=6，则△BCE 的周长是 ． （1题图） （2题图） （3题图） 2、如图,AB 是△ABC 的一条边，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为E ，并交BC 于点D ，已知AB=8cm,BD=6cm,那么EA=________, DA=____. 3、如图，在△ABC 中，AB=AC=16cm ，AB 的垂直平分线交AC 于D ，如果BC=10cm ，那么 △BCD 的周长是_______cm. 4、如图，已知点D 在AB 的垂直平分线上，如果AC=5cm,BC=4cm,那么△BDC 的周长是 cm 。 5、如图（2），在ABC Rt ?中，090=∠ABC ，030=∠B ，BC 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ，则图中等于060的角有 个，分别是： . C B A D E 300 D E B C A 图（2）
6、如图（3），在ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点N ，则 . 7、如图，∠ABC=50°，AD 垂直且平分BC 于点D ，∠ABC 的平分线BE 交AD 于点E ，连接EC ，则∠AEC 的度数是( ) 8、已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线 交AC 于D ，垂足为E ．若∠A=30°，DE=2，求∠DBC 的度数和CD 的长． 9、如图，已知P 点是∠AOB 平分线上一点，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足为C 、D ， （1）∠PCD=∠PDC 吗？ 为什么？ （2）OP 是CD 的垂直平分线吗？ 为什么？ 10、如图所示，点A 、点B 和点C 三点表示三个工厂，现要建一供水站，使它到这三个 工厂的距离相等，请在图中标出供水站的位置P ，请给予说明理由。 A B C 500B C N A 图（3）
l.如图1，点H在QR边上，PH所在的直线是△PQR的对称轴，PQ≠QR，MH∥PR交PQ于点M，下列结论:①HM=PM; ②HM=QM;③M是PQ的中点; ④HM平分∠PHQ;⑤HM⊥PQ，其中正确的结论是(填序号) 2.如图2，在△ABC中.直线l为BC边的垂直平分线，直线l与∠ACB的角平分线相交于点P，如果∠ACP=15°，∠BAC = 100°，那么∠A BP = 3.如图3，在△AB C中，∠C=90°，AD为角平分线，BC=32cm，BD:CD = 9:7，加点D到AB的距离为 4.如图4，△ABC绕顶点A旋转到△ADE的位置，BC与DE相交于点F. 给出下列结论:①BC=DE;②③FA平分∠CFD;④∠CAE=∠BAD;⑤∠CAE =∠BFD;⑥AC=CF.其中正确的结论有 5.(1) ABC中， ED AC于点D，交 AB于E，AC=5，BC=4，求△BCD的周长 (2)如图，在△ABC中，DE⊥BC.交AC于点E.垂足为D.若BC=10cm.△A BE的周长为15cm，△ABC的周长为25cm.判断D 是BC的中点. 6.(1)如图在△ABC中，AB=AC，BC=12，∠BAC = 120°，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点G，垂足分别为D，F.求∠EAG的度数和△AEG的周长. (2)如图，在△ABC中，BC=12，∠BAC = 100°，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点G，求∠EAG的度数和△AEG的周长. (3)如图，△ABC中，BC=12，∠BAC =70°，AB的垂直平分线交BC边于点E，垂足为D，AC的垂直平分线交BC边于点G，垂足为F.能否求出∠EAG的度数和△AEG的周长?
垂直平分线与角平分线 主讲教师：傲德 我们一起回顾 1、垂直平分线 2、角平分线 重难点易错点解析 垂直平分线 题一：AC=AD，BC=BD，则有（） A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB 角平分线 题二：如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（） A．P A=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP 金题精讲 题一：如图，AB=AC，AC的垂直平分线MN交AB于D，交AC于E． （1）若∠A=40°，求∠BCD的度数； （2）若AE=5，△BCD的周长17，求△ABC的周长． 题二：在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，∠ABC，∠ACB的平分线交于P点，PE⊥BC于E 点，求PE的长． 题三：如图，AD为△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点E、交BC的延长线于点F，AC于EF交于点O． （1）求证：∠3=∠B；（2）连接OD，求证：∠B+∠ODB=180°． 题四：如图，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的角平分线．求证：AC+CD=AB． 思维拓展 题一：小傲做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中AB=AD，CB=CD． （1）小德同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为AC⊥B D，垂足为点E，并且BE=ED，你同意小德的判断吗？为什么？ （2）设AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积． 学习提醒 重点： 垂直平分线 性质——垂直平分线上一点到线段两端距离相等 判定——到线段两端距离相等的点在其垂直平分线上 角平分线 性质——角平分线上一点到角两边距离相等 判定——到角两边距离相等的点在角平分线上
5.角平分线、垂直平分线 知识考点： 了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。 精典例题： 【例题】如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝300，AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：CF ＝2BF 。 分析一：要证明CF ＝2BF ，由于BF 与CF 没有直接联系，联想题设中EF 是中垂线，根据其性质可连结AF ，则BF ＝AF 。问题转化为证CF ＝2AF ，又∠B ＝∠C ＝300，这就等价于要证∠CAF ＝900，则根据含300角的直角三角形的性质可得CF ＝2AF ＝2BF 。 分析二：要证明CF ＝2BF ，联想∠B ＝300，EF 是AB 的中垂线，可过点A 作AG ∥EF 交FC 于G 后，得到含300角的Rt △ABG ，且EF 是Rt △ABG 的中位线，因此BG ＝2BF ＝2AG ，再设法证明AG ＝GC ，即有BF ＝FG ＝GC 。 例题图1 F E C B A 例题图2 G F E C B A 分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作AD ⊥BC 于D ，则BD ＝CD ，考虑到∠B ＝300，不妨设EF ＝1，再用勾股定理计算便可得证。 以上三种分析的证明略。 例题图3 D F E C B A 问题图 3 2 1E D C B A 探索与创新： 【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题： 三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。如图，△ABC 中，AD 是角平分线。求证： AC AB DC BD = 。 分析：要证 AC AB DC BD = ，一般只要证BD 、DC 与AB 、AC 或BD 、AB 与DC 、AC 所在三角形相似，现在B 、D 、C 在同一条直线上，△ABD 与△ADC 不相似，需要考虑用别的方法换比。我们注意到在比例式 AC AB DC BD =中，AC 恰好是BD 、DC 、AB 的第四比例项，所以考虑过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E ，从而得到BD 、CD 、AB 的第四比例项AE ，这样，证明 AC AB DC BD =就可以转化为证AE ＝AC 。 证明：过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E
第二节 证明（二） ——垂直平分线与角平分线 【知识要点】 1．你知道线段的垂直平分线如何运用尺规作图吗?从做法上你得到什么启示? 2．你知道如何运用尺规作图做已知角的平分线吗?从做法上你得到什么启示? 3．你能说明为什么三角形的外心和内心相交于一点吗? 4．你能举出一些运用三角形外心和内心来解决实际生活问题的例子吗? 【典型例题】 # 例1 如图，AB=AC ，DE 垂直平分AB 交AB 于D ，交AC 于E ．若 ABC ?的周长为28，BC=8，求BCE ?的周长． # 例2 如图，AB ＞AC ，A ∠的平分线与BC 的 垂直平分线DM 相交于D ，自D 作AB DE ⊥于E ， AC DF ⊥于F ．求证：BE=CF A
# 例3 如图，在ABC ?中，ο108=∠A ， AB=AC ，21∠=∠．求证：BC=AC+CD # 例4 如图，AB=AC ，C B ∠=∠，BAC ∠的平分线AF 交DE 于F ．求证：AF 为DE 的垂直平分线． A E F B D C
例5 如图，P 为ABC ?的BC 边的垂直平分线PG 上 一点，且A PBC ∠=∠2 1 ．BP ，CP 的延长线分别交 AC ，AB 于点D ，E ．求证：BE=CD 例6 如图，在ABC ?中，C ABC ∠=∠3， 21∠=∠，BD AD ⊥．求证：AC=AB+2BD C G A E B D P
例7 如图，已知 AD 是 ABC ?中A ∠的平分线， DE ABC ?ο 60=∠B BAC ∠ACB ∠ABC ?BDC ?ο120=∠BDC ο60AMN ?AMN ?ABC ?AOC MON ∠=∠2MBN ?AC PAQ ∠ACB ∠AC ∠ABC ∠PAB ?PAB ?ABC ?BC DE ⊥ο25=∠B ο25=∠B ADC ∠ACB ∠ABC ?BDC ?ο40=∠A DBC ∠ABC ?ο120=∠BAC PAQ ∠9cm APQ ? # 7．在ABC ?中，B ∠，C ∠的平分线交于D 点，已知 ο100=∠BDC ．则A ∠的度数为 ． # 8．在ABC ?中，B ∠，C ∠的平分线交于D 点，过D 作 EF ∥BC ，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，若AB=6，AC=5，则AEF ? 的周长为 ． # 9．如图，在ABC Rt ?中，ο90=∠C ，BE 平分 ABC ∠，交AC 于E ，DE 是斜边AB 的垂直平分线， 且DE=1cm ，则AC= cm. 10．如图，P 为正方形外一点，ο15=∠=∠PBC PAD ， 求证：PDC ?为等边三角形．
线段的垂直平分线与角平分线(1) 知识要点详解 1、线段垂直平分线的性质 （1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等. 定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC. 定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线性质定理的逆定理 （1）线段垂直平分线的逆定理： 到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上. 定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上 . 3、关于三角形三边垂直平分线的定理 （1）关于三角形三边垂直平分线的定理： 三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC. 定理的作用：证明三角形内的线段相等. （2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系： 图1 图2
若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形. 经典例题： 例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm 课堂笔记： 针对性练习： ：1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点 E ，如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC= 2) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果 BC=8cm ，那么△EBC 的周长是 3） 如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28 度，那么∠EBC 是 例2. 已知： AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点，求证：BE=CE 。 课堂笔记： 针对性练习： 已知：在△ABC 中，ON 是AB 的垂直平分线,OA=OC 求证：点O 在BC 的垂直平分线 例3. 在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC 的底 B D E B A C O N A
角平分线与垂直平分线知识点 一、角平分线 1.角平分线可以得到两个相等的角。（角平分线的定义） ∵AD是∠CAB的角平分线 1∠CAB ∴∠CAD=∠B AD= 2 2.角平分线上的点到角两边的距离相等。（角平分线的性质） ∵AD是∠CAB的角平分线，DC⊥AC ，DB⊥AB ∴DC=DB 3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。三角形的内心到三角形三边的距离相等。 4.到角两边的距离相等的点在角平分线上。（角平分线的判定） ∵DC⊥AC ，DB⊥AB，DC=DB ∴点D在∠CAB的角平分线上。 二、角平分线图模（对称性） 1、角平分线作垂线 角平分线+垂直一边：“图中有角平分线，可向两边作垂线，作完垂线全等必出现” 若PA⊥OM于点A，可以过P点作PB⊥ON于点B，则PB=PA。利用角平分线的性质定理，可以得到?OAP≌?OBP（AAS）。
2、角平分线+垂线：“角分垂必延长”垂直角分线，等腰全等现。 若AP⊥OP于点P，可延长AP交ON于点B，构造△AOB是等腰三角形，P是底边AB的中点，三线合一，?OAP≌?OBP（ASA）。 3、角平分线+斜线：“截等长构造全等” 若点A是射线OM上任意一点，可以在ON上截取OB=OA，连接PB，构造△OPB≌△OPA（SAS）。 4、角平分线+平行线：“角平分线+平行线，等腰三角形必出现” 若过P点作PQ∥ON交OM于点Q，利用平行的内错角相等及等角对等边 可以得到△POQ是等腰三角形。 5、角平分线+对角互补：“截长补短构造全等”
6、夹角模型 ①双内角角平分线模型：BP、CP分别是∠ABC、∠ACE的角平分线，则： ∠P=90°+1 2∠A． ②内角和外交角平分线模型：BP、CP分别是∠ABC、∠ACE的角平分线，则： ∠P=1 2∠A． ③双外角角平分线模型：BP、CP分别是∠CBD、∠BCD的角平分线，则： ∠D=90°-1 2∠B． 在∠AOB中，画角平分线： 1.以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交∠AOB两边于点M，N。 2.分别以点M，N为圆心，以大于1 2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P。 3.作射线OP。射线OP就是所求作的∠AOB的角平分线。 三、垂直平分线（中垂线）
中垂线 判断 ( )1.三角形两边的垂直平分线交点在三角形一边上，则该三角形为等边三角形. ( )2.到三角形三顶点距离相等的点在三角形内. ( )3.到三角形距离三边相等的点是三条中垂线的交点. ( )4.四边形ABCD中共有一点P，使PA=PB=PC=PD，则∠A+∠C=180°. ( )5.和线段两端距离相等的点只有线段的中点. ( )6.和线段两端相等的点不一定在线段上. 选择 1.到三角形三个顶点距离相等的是( ) A.三条中线交点 B.三条高的交点 C.三条角平分线的交点 D.三条中垂线的交点 2.线段AB外有两点C，D(在AB同侧)使CA=CB，DA=DB，∠ADB=80°, ∠CAD=10°,则∠ACB=( ) A.90° B.100° C.110° D.120° 3.BD为CE的中垂线，A在CB延长线上，∠C=34°,则∠ABE=( ) A.17° B.34° C.68° D.136° 4.O为△ABC三边中垂线的交点，则O称为△ABC的( ) A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心 5.若三角形一边中垂线过另一边中点，则该三角形必为( ) A．钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 6. 如图,△ABC中，∠ACB=90°, ∠A=30°AC的中垂线交AC于E.交AB于D，则图中60°的角共有( ) A．6个 B.5个 C.4个D3个 填空 1.△ABC中，AB=AC，P为形内一点，PB=PC，则P在的中垂线上，P还在∠的平分线上. 2.△ABC中，AB=AC=14，腰AB的中垂线交AC于D，△BCD周长为4cm,则BC= . BE= . 3.△ABC中，AB=AC，∠A=120°,AB中垂线交BC于E，则 BC 4.正△ABC内一点O到三边距离相等，且OA=OB=OC.则∠BOC= . 5.△ABC的边AC、BC的中垂线交于AB上一点O，且OC=BC，则∠A= . 6.若PA=PB，DA=DB，则PD是AB的. 角平分线同步练习 判断题 1.角的平分线上的点到角的两边的距离相等 2.到角的两边距离相等的点在角的平分线上 3.角的平分线是到角两边距离相等的点的集合 4.角平分线是角的对称轴 填空题 1.如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF. 2.如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP__________∠CAP. 3.如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=3，则PE=__________.
线段的垂直平分线与角的平分线 一、选择题 1．如图1，在△ABC 中，AD 平分∠CAE ，∠B=30?，∠CAD=65?，则∠ACD 等于 （ ） A ．50? B ．65? C ．80? D ．95? 2．如图2，在△ABD 中，AD=4，AB=3，AC 平分∠BAD ，则:A B C A C D S S ?? = （ ） A ．3:4 B ．4:3 C ．16:19 D ．不能确定 3．如图3，在△ABC 中，∠C=90?，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，则下列结论：①AD 平分∠CDE ； ②∠BAC=∠BDE ；③DE 平分∠ADB ；④BE+AC=AB 。其中正确的有 （ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．1个 4．如图4，AD ∥BC ，∠D=90?，AP 平分∠DAB ，PB 平分∠ABC ，点P 恰好在CD 上，则PD 与PC 的大小关系是 （ ） A ．PD>PC B ．PD
线段的垂直平分线 知识要点详解 1、线段垂直平分线的性质 （1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点这条线段两个端点的距离相 等. 定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝ BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线性质定理的逆定理 （1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段 的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于 点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上. 3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的 定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的 距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC. 定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直 平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形. 经典例题： 例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm 针对性练习： 已知：1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直 平分线交AB 于点D ，交BC 于点 A
垂直平分线与角平分线 【专题简介】 我们生活在一个充满对称的世界中,从自然景观到艺术作品,从建筑物到交通标志,甚至日常生活用品中,人们都可以找到对称的影子.中垂线和角平分线是重要的轴对称条件,与之相关的辅助线技巧也非常丰富 【学习目标】 1.理解中要线的性质及其常规辅助线 2.找找与角平分线相关的辅助线证法 模块一 垂直平分线的性质和判定 平分线的性质和判定 垂直平分线的定义:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线 垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 垂直平分线的判定:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 【例1】如图,AB=AC,BD=CD,E 是AD 廷长线上一点,求证:BE=CE B C A E 【练1】证明:三角形三边的垂直平分线交于一点 【例2】△ABC 的两边AB 和AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E ；若∠BAC+∠DAE=150°,求∠BAC D E A B C
【练2】△ABC 中，∠B=22.5°，边AB 的垂直平分线交BC 于D ，DF ⊥AC 于F ，交BC 边上高于G ，求证：EG=EC E D B C A 模块二 角平分线 角平分线的性质与判定: （1）定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线 （2）角平分线的性质定理 如果一条射线是一个角的平分线,那么它把这个角分成两个相等的角.在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 （3）角平分线的判定定理 如果一条射线的端点与角的顶点重合,且把一个角分成两个等角,那么这条射线是这个角的分线:在角的内部,到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。 强化挑战 【例3】△ABC 中,D 为BC 中点,DE ⊥BC 交∠BAC 的平分线于点E,EF ⊥AB 于F ；EG ⊥AC 的延长线于G.求证:BF=CG.
垂直平分线与角平分线（讲义） 知识点睛 1.垂直平分线相关定理： ①线段垂直平分线上的点到这条线段___________________； ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平 分线上． 2.角平分线相关定理： ①角平分线上的点到这个角的_____________________； ②在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平 分线上． 精讲精练 1.如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，交AC于点 E，垂足为点D．若BE+CE=12，BC=8，则△ABC的周长为___________． 第1题图第2题图 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，DE是线段AB 的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E．若DE=1，则线段AC的长为________． 3.如图，在△ABC中，DE，GF分别是AC，BC的垂直平分线， AD=8，BG=10．若AD⊥CD，则DG的长为_______．
4.如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE． 求证：OE垂直平分BD． 5.如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AB=8，BC=6．若 S△ABC=14，则DE=__________． 第5题图第6题图 6.如图，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，且PC=PD，点E 在射线OA上，若∠AOB=60°，∠OPE=80°，则∠AEP的度数为_________． 7.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交 于点O，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为点D，E． 求证：OD=OE．
8.已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于 点F，求证：点F在∠DAE的平分线上． 9.如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，点C在x 轴正半轴上，且OC=OB，点D位于x轴上点C的右侧，连接BC，∠BAO和∠BCD的平分线AP，CP相交于点P，连接BP，则∠PBC的度数为__________．
线段的垂直平分线与角平分线专题复习
线段的垂直平分线与角平分线专题复习 知识点复习： 1、线段垂直平分线的性质 （1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个 端点的距离相等. 定理的数学表示：如图1，∵ CD ⊥AB ，且AD ＝BD ∴ AC ＝BC. 定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线的判定定理： 到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，∵ AC ＝BC ∴ 点C 在线段AB 的垂直平分线m 上. 定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上. 3、关于线段垂直平分线性质定理的推论 （1）关于三角形三边垂直平分线的性质： 三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点．．．．．的距离相等. 性质的作用：证明三角形内的线段相等. （2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系： 若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部； 若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点； 若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之，也成立。 图1 图2
4、角平分线的性质定理： 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示：如图4， ∵ OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点，且CF ⊥OA 于点C ，DF ⊥OB 于点D ， ∴ CF ＝DF. 定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 5、角平分线性质定理的逆定理： 角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的数学表示：如图5， ∵点P 在∠AOB 的内部，且PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，且PC ＝PD ， ∴点P 在∠AOB 的平分线上. 定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 6、关于三角形三条角平分线的定理： （1）关于三角形三条角平分线交点的定理： 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 定理的数学表示：如图6，如果AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、 ∠ABC 、∠ACB 的平分线，那么： ① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ； ② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则DI ＝EI ＝FI. 图4
角平分线垂直平分线及辅 助线专题 Prepared on 22 November 2020
1在ABC 中，90C ∠=°，AD 是CAB ∠的平分线，DE AB ⊥于E ，且4BE cm =，5BD cm =则，BC =＿＿＿＿＿＿＿ 2.如图，已知,AC BC AD ⊥平分,BAC DE AB ∠⊥，下列结论正确的是（ ） A BD+ED=BC B DE 平分ADB ∠ C DA 平分EDC ∠ D D E AC AD +> 3.如图ABC 中，90C ∠=°，AD 平分BAC ∠，交BC 于D ，若 10,6BC BD ==，则点D 到AB 的距离是 4.如图所示，ABC 中，90C ∠=°，,AC BC AD =平分CAB ∠，交BC 与点D ，DE AB ⊥垂足与E ，且6AB cm =，则DEB 的周长为＿＿＿＿ 5.在ABC 中，90ACB ∠=°，4,3AC BC ==，AD 平分CAB ∠，交BC 于点D ，若DE AB ⊥，垂足为E ，求BDE 的周长＿＿＿＿＿
6.如图，ABC 中，90C ∠=°， ,AC BC AD =平分CAB ∠交BC 于点D ， DE AB ⊥，垂足为E ，且4AB =，则DEB 的周长为＿＿＿ 7.如图，在ABC 中，90ACB ∠=°，BE 平分 ,ABC DE AB ∠⊥于D ，如果 6,10,BC cm AB cm ==求①AE DE +的长②DE 的 长 8.如图所示，105BAC ∠=°，若PM 和NQ 分别垂直平分AB 和AC ，求PAQ ∠的度数 9.如图，ABC 中，125BAC ∠=°，AB 边的垂直平分线交BC 于E ，垂足为M ，AC 边的垂直平分线交BC 于F ，垂足为N ，求EAF ∠的度数
1、线段垂直平分线的性质 （1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称. 3、关于三角形三边垂直平分线的定理 （1）关于三角形三边垂直平分线的定理： 三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 定理的作用：证明三角形内的线段相等. （2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系： 若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm 4、角平分线的性质定理： 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. . 定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 6、关于三角形三条角平分线的定理： （1）关于三角形三条角平分线交点的定理： 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系： 三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部. 一、选择题： 图1
1．如图1，在△ABC 中，AD 平分∠CAE ，∠B=30?，∠CAD=65? ，则∠ACD 等于 （ ） A ．50? B ．65? C ．80? D ．95? 2．如图2，在△ABD 中，AD=4，AB=3，AC 平分∠BAD ，则:A B C A C D S S ?? = （ ） A ．3:4 B ．4:3 C ．16:19 D ．不能确定 3．如图3，在△ABC 中，∠C=90? ，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，则下列结论：①AD 平分∠CDE ； ②∠BAC=∠BDE ；③DE 平分∠ADB ；④BE+AC=AB 。其中正确的有 （ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．1个 4．如图4，AD ∥BC ，∠D=90? ，AP 平分∠DAB ，PB 平分∠ABC ，点P 恰好在CD 上，则PD 与PC 的大小关系是 （ ） A ．PD>PC B ．PD
角平分线和垂直平分线 [知识目标] 1、角平分线 （1）性质：角平分线上的点到角两边距离相等。 （2）判定：到角两边距离相等的点在角平分线上。 角平分线是到角两边距离相等的所有点的集合 2、垂直平分线： （1）性质：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等。 （2）判定：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。 线段的垂直平分线是到线段两端点距离相等的点的集合。 3、轴对称的特征： （1）全等：形状大小完全相同 （2）对称点的连线被对称轴垂直平分。 [典型例题] 角平分线和垂直平分线的尺规作图： 1、如图，a,b表示两条公路，A，B表示两个城镇，要建一座电视信号发射塔，使发射塔至两条公路的距离相等，到两个城镇的距离也相等，发射塔应建在何处？在图上找到它的位置。 b 2、如图，请你找出一个点P，使P点到A、B两点的距离相 等，并且使P在∠ACB的平分线上。 C 3、如图所示，M、N为三角形ABC边AB与AC上两点，在BC上求作一点P，使三角 形PMN的周长最小。 4、如图，已知E、F分别是△ABC的边AB和AC上的两个定点，问在BC上能否找到 一点M，使得△EFM的周长最小？
● 角平分线的性质与判定 1、如图所示，已知AB=AC ，PB=PC ，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别是D 、E ，求证：PE=PD 2、如图所示,△ABC 中,∠C=900,AC=BC,DA 平分∠CAB 交BC 于D 点,部能否在AB 上确定一点E,使△BDE 的周长等于AB 的长,请说明理由. 4、如图, ∠C=∠B=900,M 为BC 的中点,AM 平分∠DAB,(1)求证:DM 平分∠ADC(2)求∠DMA 的度数 5、如图,已知,P 为∠AOB 内一点,过点P 的两条直线PD ⊥OB,PC ⊥OA,垂足分别是D 、C ，交OA 、OB 于M 、N 。 （1） 若点P 在∠AOB 的平分线上，求证：MD=NC （2） 若MD=NC ，求证：点P 在∠AOB 的平分线上 ● 角平分线的对称性 3、如图,在△ABC 中, ∠C=2∠B, ∠1=∠2,求证:AB=AC+CD A A B E C A B M N B C D
线段的垂直平分线与角平分线专题复习 知识点复习： 1、线段垂直平分线的性质 （1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等. 定理的数学表示：如图1，∵ CD ⊥AB ，且AD ＝BD ∴ AC ＝BC. 定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线的判定定理： 到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，∵ AC ＝BC ∴ 点C 在线段AB 的垂直平分线m 上. 定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上. 3、关于线段垂直平分线性质定理的推论 （1）关于三角形三边垂直平分线的性质： 三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点．．．．．的距离相等. 性质的作用：证明三角形内的线段相等. （2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系： 若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部； 若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点； 若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之，也成立。 4、角平分线的性质定理： 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示：如图4， ∵ OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点，且CF ⊥OA 于点C ，DF ⊥OB 于点D ， ∴ CF ＝DF. 图1 图2 图4
定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 5、角平分线性质定理的逆定理： 角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的数学表示：如图5， ∵点P 在∠AOB 的内部，且PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，且PC ＝PD ， ∴点P 在∠AOB 的平分线上. 定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 6、关于三角形三条角平分线的定理： （1）关于三角形三条角平分线交点的定理： 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 定理的数学表示：如图6，如果AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、 ∠ABC 、∠ACB 的平分线，那么： ① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ； ② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则DI ＝EI ＝FI. 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系： 三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）. 7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图： （1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线； （3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形. 精品习题： 1．在△ABC 中，∠C=90o，BD 是∠ABC 的平分线.已知，AC=32，且AD ：DC=5：3，则点D 到AB 的距离为_______. 2．如图，在△ABD 中，AD=4，AB=3，AC 平分∠BAD ，则:A B C A C D S S ?? = （ ） A ．3:4 B ．4:3 C ．16:19 D ．不能确定
1．如图，已知：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OB ，ED ⊥OA ，C 、D 是垂足，连接CD ，且交OE 于点F ． （1）求证：OE 是CD 的垂直平分线． （2）若∠AOB=60°，请你探究OE ，EF 之间有什么数量关系？并证明你的结论． 1 2 3 2、如图，BD 是四边形ABCD 中∠ABC 的平分线，∠A＋∠C＝180°，求证：DA ＝CD 3、如图，在△ABC 中，∠BAC ＝α＞90°，PM 、QN 分别垂直平分AB 、AC ，垂足分别为M 、N ，交BC 于P 、Q ，求∠PAQ 的度数。 4、如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，FE 垂直平分AD ，E 为垂足，EF 交BC 的延长线于F ，求证：∠CAF ＝∠B 4 5 5、已知：如图，在Rt △ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD 的延长线于E . 求证：BD =2CE . 6、已知，如图，等边△ABC ，AB ＝6㎝，点M 从点B 开始沿BA 边向点A 以1㎝/秒的速度运动，点N 从点C 开始沿AC 的延长线以1㎝/秒的速度运动，M 、N 分别从B 、C 同时出发，当点M 到达端点A 时，停止运动。（1）设线段MN 与线段BC 交于点P ，试判断点P 与线段MN 的位置关系，并证明你的结论。（2）当M 、N 运动几秒时，△AMN 为直角三角形？ （3）过点P 作MN 的垂线交∠BAC 的平分线AD 于Q 点，在M 、N 两点的运动过程中，给出下列两个结论：①Q 点为AD 上的一个定点；②线段PQ 的长度不变，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论是正确的，证明正确的结论并求出其值。 7.如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD 、CE 相交于O 点，求证：AE ＋CD=AC. A B C D A B C P Q M N A B C D E F A C B P M N A C B P M N Q D