习题课：多元函数求偏导，多元函数微分的应用
多元复合函数、隐函数的求导法
(1) 多元复合函数
设二元函数),(v u f z =在点),(00v u 处偏导数连续，二元函数),(),,(y x v v y x u u ==在点
),(00y x 处偏导数连续, 并且),(),,(000000y x v v y x u u ==, 则复合函数
)),(),,((y x v y x u f z = 在点),(00y x 处可微，且
()()()()
x y x v v v u f x y x u u v u f x z y x ?????+?????=
00000000)
,(,,,,00??()()()()
y
y x v v v u f y y x u u v u f y
z y x ?????+?????=
00000000)
,(,,,,00??
多元函数微分形式的不变性：设),(),,(),,(y x v v y x u u v u f z ===，均为连续可微，
则将z 看成y x ,的函数，有
dy y
z dx x z dz ??+??=
计算
y
v
v f y u u f y z x
v
v f x u u f x z ????+????=??????+????=??,，代人， dv v
f du u f dy y v dx x v v f dy y u dx x u u f dy y v v f y u u f dx x v v f x u u f dy y z dx x z dz ??+??=
????
????+????+???? ????+????=???? ??????+????+???
??????+????=??+??=
我们将dv v
f du u f dy y z dx x z dz ??+??=??+??=
叫做微分形式不变性。
例1 设??? ??=x y xy f x z ,
3
，求y
z x z ????,。
解：??
?
??????
??'+'+=+?=x y d f xy d f x fdx x df x dx x f dz 213232)(33 ??
?
???-'++'+=22
13
2(3x ydx xdy f ydx xdy f x fdx x dy f x f x dx xyf yf x f x ??
? ?
?'+'+??
? ?
?'-'+=221421323
由微分形式不变性， dy f x f x dx xyf yf x f x dy y
z dx x z dz ??? ??'+'+??? ??'-'+=??+??=
221421323
故
??? ??'
+'=????? ??'
-'+=??22142132,3f x f x y
z xyf yf x f x x
z 。
例2 已知 )
1(1x
y x
-=，求
dy
dx
. 解 考虑二元函数 v
u y =, u x v x
==-11,，应用推论得
.dx dv
v y dx du u y dx dy ????+=).ln 1(11)(ln 11
2221x x x u u x vu x
v v -??
? ??=+--
-
(2)隐函数 若函数()x y y =, 由方程()0,=y x F 确定，求导之函数？
按隐函数定义有恒等式：()()0,≡x y x F ?
()()0,=x y x F dx
d
， ?()()()()()0,,='?'+'x y x y x F x y x F y
x ?()()()()()
x y x F x y x F x y y x ,,''-='。 从这是可见：函数()x y y =可导有一个必要条件是，()0,≠'y x F y .
例3 已知函数y f x =()由方程()
, , 2
2b a y x f by ax +=+是常数，求导函数。
解：方程()
2
2
y x f by ax +=+两边对x 求导，
??? ?
?
++'=+dx dy y x y x f dx dy b
a 22)(22 )
(2)(22
222y x f y b a
y x f x dx dy +'--+'=
一般来说，若函数()x y y ρ=, 由方程()0,=y x F ρ
确定，求导之函数？
将y 看作是n x x ,...,1的函数()),...,(1n x x y x y y ==ρ
,对于方程
0)),...,(,,...,(11=n n x x y x x F
两端分别关于i x 求偏导数得到，并解i x f ??,可得到公式 :()()
y x F y x F x y
y x i i ,,ρρ''-=??
例4 设函数y(z)y z x x == ),(由方程组???=--+=-++0
120
12
22222z y x z y x 确定， 求 dz
dy dz dx ,. 解 1212
22222?????+=++-=+z y x z y x ???????=+-=+?z dy dz y dx
dz x z dy dz y dx dz
x 242222解方程得： ????
?
?????dz dy dz dx =???
???--=??????-??????---xz yz xy z z x x y y xy 8124122222441 由此得到 y
z dz dy
x z dz dx 2,
3-==.
例5 已知函数()y x z z ,=由参数方程:??
?
??===uv
z v u y v
u x sin cos ,给定，试求y z x z ????,.
解 这个问题涉及到复合函数微分法与隐函数微分法. y x ,是自变量,v u ,是中间变量(v u ,是y x ,的函数), 先由 z uv = 得到
x v
u x u v x v v z x u u z x z ??????????????+=+= y
v
u y u v y v v z y u u z y z ??????????????+=+= u v , 是由方程???==)
,()
,(y x v v y x u u 的x y ,的隐函数，在这两个等式两端分别关于x y ,求偏导数，得
???????+??=??-??=x v v u x u v x v
v u x u v cos sin 0sin cos 1， ???????+??=??-??=y v v
u y u v y v v u y u v cos sin 1sin cos 0 得到 u
v x v v y u u u x v v x u cos ,sin ,sin ,cos =??=??-=??=?? 将这个结果代入前面的式子, 得到
v v v x
v
u x u v x z sin cos -=-=??????
与 v v v y
v
u y u v y z cos sin +=+=??????
(3) 隐函数函数),(y x u u =由方程??
?
??===0
),(0),,()
,,,(t z h t z y g t z y x f u 确定，求y u x u ????, 解： 函数关系分析: 5 (变量) - 3 (方程)=2(自变量); 一函 (u ), 二自( x, y ), 二中( z, t )
x f x u ??=??, y
t t f y z z f y f y u ????+????+??=?? ????? ????-?????? ??????-??-?????? ????=?????
? ??????-0),(),(1t g z g z h t g t h t z h g y t y z , z h t g t h z g y g t h z f z h t f y f y u ????-?????????? ??????-????+??=??.
二阶偏导数：一阶导函数的偏导数
例6 ),(y x z z =由2
2
2
2
a z y x =++决定，求y
x z
???2．
解：022=??+x
z
z x ，022=??+y z z y z
y y z z x x z -=??-=??, =???=???x z z y y x z 223z
xy
-
例7 设()()()2
2
,,x x x f x g ?=，其中函数f 于?的二阶偏导数连续，求()2
2dx x g d
例8 设z f xy x y =(,)，f 二阶连续可微，求2
2x z
??.
解 记 y
x
v xy u ==,; v f f u f f ??='??='21,, 2
2222211,v
f f u f f ??=''??='',u v f
f v u f f ???=''???=''221
212,
则
211
f y
f y x v v f x u u f x z '+'=?????+?????=??, x f y x f y x z x x z ?'?+?'?=???
?
??????=??21221 因为 v
f
f u f f ????='=
'21,都是以u v ,为中间变量，以y x ,为自变量的函数，所以 x v f x u f x f ??''+??''='12111??1211
1
f y f y ''+''= x v f x u f x f ??''+??''='22212??2221
1
f y
f y ''+''= 将以上两式代入前式得: f y
f f y x z ''+''+''= 2221211222
12??.
例9 设),(y x z z =二阶连续可微，并且满足方程
022
2222=+?+y
z C y x z B x z A ?????? 若令,?
??+=+=y x v y x u βα 试确定βα,为何值时能变原方程为 02=???v u z
.
解 将y x ,看成自变量，v u ,看成中间变量，利用链式法则得
z v u v z u z x v v z x u u z x z ???
????+??=??+??=????+????=?? z v u v z u z y v v z y u u z y z ??
? ????+??=??+??=????+????=??βαβα z v u v z v u z u z v z u z x x z 2
22222222??
? ????+??=??+???+??=??? ????+????=?? 2
2
22222222v z v u z u z v z u z y y z ??+???+??=??? ????+????=??βαβαβαz v u
2
??? ????+??=βα ()222222v
z
v u z u z v z u z x y x z ??+???++??=??? ????+????=???ββααβα =z v u
v u ??? ????+?????
????+??
βα 由此可得, 2
222220y
z
C y x z B x z A ??????+?+== =()
()()+???++++??++v u z C B A u z C B A 2222
22αββααα()
2
2
22v z C B A ??++ββ=0
只要选取βα,使得 ?????=++=++0
20
22
2
ββααC B A C B A , 可得
02=???v u z . 问题成为方程022=++t C t B A 有两不同实根，即要求： 02
>-C A B .
令AC B B -+-=2α,AC B B ---=2β,即可。
此时，02=???v u z ?02=???v u z ?0=??? ??????v z u ?
()v v
z
?=???()()u f dv v z +=??. ()()()()y x g y x f v g u f z βα+++=+=.
例10
设2
),(C y x u ∈, 又02222=??-??y
u x u ,x x x u =)2,(, 2
)2,(x x x u x =',求 )2,(x x u xx '',
)2,(x x u xy '' )2,(x x u yy ''
解: 2)2,(x x x x
u
=??, 两边对x 求导,
x x x y x u
x x x u 22)2,()2,(22
2=????+??. (1)
x x x u =)2,(, 两边对x 求导,
()()122,2,=???+??x x y u x x x u , ()2
12,2
x x x y u -=??. 两再边对x 求导,
x x x y
u
x x y x u -=???+???2)2,()2,(222. (2) 由已知 ()()02,2,2222=??-??x x y
u
x x x u , (3) (1), (2), (3) 联立可解得:
()()()x x x y x u x x x y
u x x x u 35
2,,342,2,22
222=???-=??=??
多元微分的应用: 几何应用，物理应用
极值与条件极值问题
?????
??????????????????????条件极值无条件极值极值切平面法线曲面法平面切线
曲线几何多元微分的应用 空间曲面
(1)空间曲面的表达式 显函数表示： ()y x f z ,= 隐函数表示: ()0,,=z y x F
参数表示：2),(),()
,(),(R D v u v u z z v u y y v u x x uv ?∈??
?
??===
(2)空间曲面的切平面与法线
● 空间曲面S 由显函数表示()y x f z ,=，设 ()000,y x f z =，空间曲面S 过()000,y x P 切
平面方程为
()()()
()()0,,000000=---??+
-??z z y y y
y x f x x x y x f
法线方程是
()()1,,0
000000--=
??-=??-z z y y x f y y x y x f x x 法向量为 ()()???
?
??-????=1,,,,0000y y x f x y x f n ρ 空间曲面S 存在切平面的条件：若曲面S 由显函数表示()y x f z ,=在点()00,y x p 可微, 则曲面S 在点()00,y x p 有不平行z 轴的切平面.
● 若曲面S 由隐函数()0,,=z y x F 表示, 曲面S 过()
0,00,z y x 切平面方程为
()()()()+-??+-??00000000,,,,y y y z y x F x x x z y x F ()()0,,0000=-??+z z z
z y x F
法线方程为
()()()
z
z y x F z z y z y x F y y x z y x F x x ??-=
??-=??-0000
00000000,,,,,, 法向量 ()()
()???
?
????????=z z y x F y z y x F x z y x F n ,,,,,,ρ 若曲面S 由参数表示：2),(),()
,()
,(R D v u v u z z v u y y v u x x uv ?∈??
?
??===，其切平面为
???
?
?????
-??+-??=--??+-??=--??+-??=-)
)(,())(,(),())(,())(,(),())(,())(,(),(0
00000000000
000000000000v v v u v z u u v u u z v u z z v v v u v y u u v u u y v u y y v v v u v x u u v u u x v u x x 或
[][]
[]0
),(),(),(00)
,(00)
,(00)
,(000000=-????????+-????????+-????????v u z z v
y u
y v x u x v u y y v x u x v z u z v u x x v
z u z v y u y v u v u v u
法线方程为
[][][])
,(00),(00),(00000000),(),(),(v u v u v u v
y u
y v x u x v u z z v
x u
x v z u z v u y y v
z u
z v y u y v u x x ????????-=????????-=????????-
法向量 ?????
?
?
?????????????????????????=),(),(),(000000,,v u v u v u v
y u
y v x u x v x u
x v z u z v z u
z v y u y
n ρ
例11 求曲面S :12222
2=+-z y x 上切平面与直线?
??=++=--0523:z y x z y x L 平行的切点的
轨迹。
解: (1) 直线??
?
??--=+==5554:x z x y x
x L 的方向：=τρk j i k
j i ρρρρρρ54111123+--=--.
切点为()z y x P ,,处曲面S 的法向：k j y i x n ρρρρ
244+-=.
(2)所求轨迹：τρ
ρ⊥n ?010164=++-=?y x n τρρ,
轨迹为空间曲线：???=+-=-?12225822
2z y x y x ()()???
??+--=-==?576060522
x x z x y x
x 例12 证明球面R z y x S 22221:=++与锥面z a y x S 222
22:=+正交.
证明 所谓两曲面正交是指它们在交点处的法向量互相垂直. 记z a y x z y x G R z y x z y x F 222
2222
2),,( ,),,(-+=-++= 曲面1S 上任一点M x y z (,,)处的法向量是
T
z y x z y x gradF )2,2,2(),,(= 或者T
z y x v ),,(1=ρ
曲面2S 上任一点M x y z (,,)处的法向量为T
z a y x v ),,(22-=ρ
. 设点M x y z (,,)是两曲面的公共点，则在该点有
0),,(),,(2222221=-+=-?=?z a y x z a y x z y x v v T ρ
ρ
即在公共点处两曲面的法向量相互垂直，因此两曲面正交. 例13
过直线0,
272210=-+=-+z y x z y x 作曲面273222=-+z y x 的切平
面，求该切平面的方程．
解：设切平面过曲面2732
2
2
=-+z y x 上的),,(000z y x 点，则切平面的法向量为
)2,2,6(000z y x -
过直线0,
272210=-+=-+z y x z y x 的平面可以表示为
()()0272210=-++--+z y x z y x λ
其法向量为 )2,2,10(λλλ--++
002222610z y x ---=+=+λ
λλ （１） ),,(000z y x 是曲面273222=-+z y x 上的点，
2732
02020=-+z y x （２）
()()0272210000000=-++--+z y x z y x λ
（３）
联立（１），（２），（３），解得)1,1,3(),,(000=z y x ，或)17,17,3(),,(000---=z y x ， 切平面方程为
0279=--+z y x ，或02717179=+-+z y x
例14
通过曲面:S 3=+-+z y x e
z
y x 上点)1,0,1(的切平面（ B ）
（A ）通过y 轴； （B ）平行于y 轴； （C ）垂直于y 轴； （D ）A ，B ，C 都不对. 解题思路 令3),,(-+-+=z y x e
z y x F xyz
.则S 在其上任一点M 的法向量为
)(grad M F M z
F y F x F ),,(
??????= 于是S 在点M )1,0,1(的法向量为
)1,0,1()1,1,1()1,0,1(=+-+xyz xyz xyz xye xze yze
因此, 切平面的方程为0)1()1(=-+-z x .
S 在)1,0,1(的法向量垂直于y 轴，
从而切平面平行于y 轴．但是由于原点不在切平面，故切平面不含y 轴. 例15
已知f 可微，证明曲面0,=??
?
??----c z b y c z a x f 上任意一点处的切平面通过一定点，
并求此点位置． 证明：设y
f f x f f ??=??=
'2'
1,，于是有： ??
? ??-?'=????
?
??-?'=??c z f y f c z f x f 1,121, .)()(2221c z y
b f
c z x a f z f --?'+--?'=?? 则曲面在),,(0000z y x P 处的切平面是：
+--'+--'c z y y P f c z x x P f 00020001)()
(0)()()()()(0200
022
0001=-???
?
??--'+--'z z c z y b P f c z x a P f 可以得到：
+--+--))()(())()((000'2000'1y y c z P f x x c z P f
.0))()(())()((000'2000'1=--+--z z y b P f z z x a P f
易见当b y c z a x ===,,时上式恒等于零。于是知道曲面0,=??
?
??----c z b y c z a x f 上任意一点
处的切平面通过一定点，此定点为),,(b c a ． 例16
S 由方程()
222z y x G cz by ax ++=++确定, 试证明：曲面S 上任一点的法线
与某定直线相交。
证明: 曲面上任意一点),,(000z y x P 的法线为
)
(2)(2)(22
0202000
2020200020202000z y x G z c z z z y x G y b y y z y x G x a x x ++'--=++'--=++'-- 设相交的定直线为
γ
β
α
1
1
1
z z y y x x -=
-=
-, 与法线向交:
()
)(2),(2),(22
02020020202002020200z y x G z c z y x G y b z y x G x a ++'-++'-++'-不平
行于()γβα,,
()()
[]
()0
,,,,)(2),(2),(201010120202002020200202020
=---??++'-++'-++'-z z y y x x z y x G z c z y x G y b z y x
G x a γβα0)
(2)(2)(20
10
10
12
02020020202002020200=---++'-++'-++'-z z y y x x z y x G z c z y x G y b z y x G x a γ
β
α
0)(21
1
1
00
2
020200
10
10
1=++'+---z y x z y x z y x G z z y y x x c
b a γβ
α
γ
β
α
只要取())0,0,0(),,(),,,(,,111==z y x c b a γβα即可.
例17
求过直线??
?=++=--0
523:z y x z y x L 且与曲面852222
2=+-z y x 相切的平面的方程.
解：直线L 平面F 可表示为 0)(523=+++---z y x z y x λ，设曲面为G 则相切处有
)2,4,4()1,2,3(y x k gradG k gradF -?=?=--+=λλλ
解得
??
?-=-===-=-===24
/5,12/5,6/5,78/15,4/1,2/3,3z y x or
z y x λλ 因此切平面方程为 0)8/15(2)4/1()2/3(6=++++-z y x 或
0)24/5(6)12/5(5)6/5(10=++++-z y x
例18
在椭球面x a y a z c
22222
21++=上求一点，使椭球面在此点的法线与三个坐标轴的正向
成等角。
解：椭球面在此点的法线矢量为)1,1,1(，设该点为),,(000z y x ，则有
)1,1,1()2,2,2(
20
2020),,(000k c
z b y a x gradF
z y x == 该点坐标为
),,(12222
22c b a c b a ++
空间曲线的切线和法平面
(1)空间曲面的表达式
● 空间曲面的参数方程: )(
)()()
(βα≤≤???
??===t t z z t y y t x x 参数方程又可以写作 ()()()())( ;)(βα≤≤==t t z t y t x t r r T
ρρ
● 空间曲线的交面式：一条空间曲线L ，可以看作通过它的两个曲面1S 与2S 的交线，若
设1S 的方程为0),,(=z y x F ，2S 的方程为0),,(=z y x G ，则L 的方程是
?
?
?==0),,(0
),,(z y x G z y x F
(2)空间曲线的切线与法平面
● 空间曲面的参数方程表示，其切线为 ??
?
??-'+=-'+=-'+=)
)(())(())((000000000t t t z z z t t t y y x t t t x x x
切向量为：
())(),(),(000t z t y t x '''
法平面为： 0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t x ● 空间曲线的交面式表达方式，其切线为
),,(0
),,(0)
,,(0000000000z y x z y x z y x y G y G x
F x F z z x
G x G z F z F y y z G
z
G y F y F
x x ????????-=
????????-=????????- 切向量为： ??????
? ?
?????????????????????????),,(),,(),,(000000000,,z y x z y x z y x y
G y
G
x F x F x
G x
G
z F z F z
G z
G y F
y F
法平面为：
()()()00)
,,(0)
,,(0)
,,(000000000=-????????+-????????+-????????z z y
G y G x F
x F y y x
G x G z F
z F x x z
G z
G y F y F z y x z y x z y x
例19
求螺线 ??
?
??===ct
z t a y t
a x sin cos ；)0,0(>>c a ,在点)4,2,2(
c a a M π 处的切线与法平面. 解 由于点M 对应的参数为4
0π=t ，所以螺线在M 处的切向量是
),2,2())4(),4(),4((c a a
z y x v -='''=πππρ
因而所求切线的参数方程为 ()???
?
???+=+=-=,4,22,22t c c z t a a y t a a x π
法平面方程为 (
)
(
)
()0)4()2(2)2(2=-+-+--c z c a
y a
a
x a π.
例20
求曲线 ???=--=-++0
622
222y x z z y x ,在点)2,1,1(0M 处的切线方程.
解: 取6),,(2
22-++=z y x z y x F ，y x z z y x G 2
2),,(--=，则 )1,2,2()( ),4,2,2()(00--==M gradG M gradF
所以曲线在0112M (,,)处的切向量为 )0,10,10()()(00-=?=M gradG M gradF v ，
于是所求的切线方程为 ??
?
??=-=+=2101101z t y t x
例21 设曲线3
2
,,t z t y t x ===，求曲线上一点，使曲线在该点的切线平行于平面
42=++z y x ．
解：曲线3
2
,,t z t y t x ===的切线方向为)3,2,1(2
t t ．曲线在该点的切线平行于平面
42=++z y x 可知
03412=++t t
1,3
1
--=t
所求的点为()1,1,1,271,91,31--???
?
?---．
第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限 之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限 的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为
反函数例题讲解
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反函数例题讲解 例 1.下列函数中,没有反函数的是 （ ) （A) ｙ = ｘ2－1(ｘ<2 1 - ）?(Ｂ) y = ｘ3＋１（ｘ∈R ） ?（C) 1 -= x x y （ｘ∈R ，x ≠１） (Ｄ) ? ? ?<-≥-=).1(4)2(22x x x x y ， 分析:一个函数是否具有反函数,完全由这个函数的性质决定． 判断一个函数有没有反函数的依据是反函数的概念．从代数角度入手,可试解以ｙ表示x 的式子;从几何角度入手，可画出原函数图像，再作观察、分析.作为选择题还可用特例指出不存在反函数． 本题应选（D). 因为若ｙ ＝ 4，则由 ? ? ?≥=-2422x x ， 得 x = 3． 由 ? ? ?<=-144x x ， 得 x ＝ －1． ∴ (D ）中函数没有反函数． 如果作出 ?? ?<-≥-=).1(4)2(22x x x x y ， 的图像(如图）,依图更易判断它没有反函数． 例2.求函数 211x y --=（－1≤ｘ≤0）的反函数． 解:由 211x y --=,得：y x -=-112 . ∴ 1－x 2 ＝ (１-y )2， x 2 = １－(1－y )2 ＝ 2y －ｙ2 ． ∵ －1≤x ≤0，故 22y y x --=. 又 当 －1≤x ≤0 时, ０≤1－x 2≤１, ∴ 0≤21x -≤1,0≤1－21x -≤1,
即 0≤y ≤1 ． ∴ 所求的反函数为 22x x y --=(0≤x ≤１）. 由此可见,对于用解析式表示的函数，求其反函数的主要步骤是： ① 把给出解析式中的自变量x 当作未知数，因变量y 当作系数,求出x = φ （ y )． ② 求给出函数的值域,并作为所得函数的定义域； ③ 依习惯,把自变量以x 表示，因变量为y 表示,改换ｘ = φ （ ｙ ）为y = φ ( x ). 例３.已知函数 f ( x ) = x 2 + 2x + 2(x <-1）,那么 f -1 （２ )的值为＿_＿_______＿_＿_____. 分析:依据f -1 （2 )这一符号的意义,本题可由f ( x )先求得f -1 ( x ）, 再求f -1 (２ ）的值(略). 依据函数与反函数的联系，设f －1 (2 ) = m ，则有f ( ｍ ） = 2.据此求f -１ (2 ）的值会简捷些． 令 x 2 + 2x + 2 = 2，则得:x 2 + 2x = 0 ． ∴ x = 0 或 ｘ =-2 . 又ｘ<－1，于是舍去x = 0，得x =－2，即 f -1 （2 ) = -2 ． 例 4.已知函数 241)(x x f +=(x ≤0）,那么 f （ x ）的反函数ｆ －1 ( ｘ ）的图像是 ( ) y （A y x 0 1 （D y x 1 y （B x －（C x －
2005－2006学年度上学期 高中学生学科素质训练 高一数学同步测试（5）—反函数与函数的单调性 说明：本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，第I 卷60分，第II 卷90分，共150分；答题时间150分钟． 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．函数)5(51 -≠+=x x y 的反函数是 （ ） A ．)0(51 ≠-=x x y B ．)(5R x x y ∈+= C ．)0(51 ≠+=x x y D ．)(5R x x y ∈-= 2．已知函数)(x f y =有反函数，且)1(+=x f y 的图象经过点)2,0(，则下列函数中可能 是)(x f y =的反函数的一个函数是 （ ） A ．)20(42 ≤≤-= x x y B ．)20(412≤≤-+=x x y C ．)20(422 ≤≤--=x x y D ．)22(412 ≤≤---=x x y 3．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,2 1 )1(f x f x f f +=+= 则=)5(f （ ）A ．0 B ．1 C ．2 5 D ．5 4．函数f x x ax ()=--2 23在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是 （ ） A ．a ∈-∞(,]1 B ．a ∈+∞[,)2 C ．a ∈[,]12 D ．a ∈-∞?+∞(,][,)12 5．若f(x)=-x 2+2ax 与1 )(+=x a x g 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的值范围是 （ ） A ．)1,0()0,1(?- B ．]1,0()0,1(?- C ．（0，1） D ．]1,0( 6．函数),1(,1 1 ln +∞∈-+=x x x y 的反函数为 （ ）
第 16次课 学生： 蒋昊秋 授课时间: 2012 年 7 月 28 日 10 ： 00 --- 12 ： 00 教师 唐文 审核教师 授课课题 解函数解析式 一、 授课目的与考点分析： 1． 会用待定系数法以及配凑法求函数解析式 2． 会求分段函数定义域及值域。 3． 掌握反函数的性质，会求反函数。 二、 授课内容： 一：函数解析式的常用方法： 1、直接法：由题给条件可以直接寻找或构造变量之间的联系。 例1. 已知函数y ＝f （x ）满足xy ＜0，4x 2－9y 2＝36，求该函数解析式。 说明：这是一个分段函数，必须分区间写解析式，不可以写成 229 3 x y -=± 的形式。 2、待定系数法：由题给条件可以明确函数的类型，从而可以设出该类型的函数的一般式，然后再求出各个参变量的值。 例2. 已知在一定条件下，某段河流的水流量y 与该段河流的平均深度x 成反比，又测得该段河流某段平均水深为2m 时，水流量为340m 3/s ，试求该段河流水流量与平均深度的函数关系式。 变式.已知()f x 为二次函数，过原点，且f(1)=3, f(3)=6,求()f x 的解析式 。 说明：二次函数的表达形式有三种：一般式：2 ()f x ax bx c =++；顶点式：2 ()()f x a x m n =-+；零点式： 12()()()f x a x x x x =--，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。 3、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。 例3. 已知2211 ()x x x f x x +++= ，试求()f x 。 说明：要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。 变式：（1）已知,sin )cos 1(2 x x f =-求()2 x f 的解析式 起航学校个性化辅导教案提纲
反函数与函数的图像变换 一、反函数 当一个函数是一个一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数。比如，指数函数2x y =与对数函数2log x 互为反函数。函数()y f x =的反函数用1()y f x -=表示。 设函数()y f x =()x A ∈的值域是C ，根据这个函数中,x y 的关系，我们可以用y 把x 表示出来，得到()x y ?=，若对于y 在C 中每一个值，都只有唯一的x A ∈与它对应，那么()x y ?=就表示以y 为自变量，x 为因变量的一个函数，这样的函数()x y ?=()y C ∈叫做函数()y f x =()x A ∈的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=。 1f -是对应法则，1()y f x -=是表示反函数的符号，是一个整体。 1f -表示的对应是f 的逆对应，11()() f x f x -≠。 ()y f x =也是1()y f x -=的反函数，()y f x =、1()y f x -=互为反函数。 只有当()y f x =是一一映射时，()f x 才有反函数。 特例：2x y =，2log x y →=，2log y x →=， 一般：()y f x =，1()x f y -→=，1()y f x -→=。 例1 求下列函数的反函数： （1）21x y -=+()0x >；（2）211,()11,x x f x x x ≤-?+=?>--+?。 二、互为反函数的两个函数的性质： 指数函数2x y =与对数函数2log x 的图像关于直线y x =对称。 根据反函数的定义，如果点(),a b 在函数()y f x =上，则点(),b a 在函数1()y f x -=上，从而可知函数()y f x =的图像与函数1()y f x -=的图像关于直线y x =对称。 指数函数2x y =与对数函数2log y x =都是增函数，一般的， ()y f x =与1()y f x -=的单调性一致。 例2 函数()y f x =反函数是自己本身，请写出一个这样的函数。 思考：若函数()y f x =是奇函数，且有反函数，那么1()y f x -=是奇函数吗？ 奇函数一定有反函数吗？ 偶函数呢？
函数的概念和性质 考点 分段函数 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 本文就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下： 1．求分段函数的定义域和值域 例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x x x x +∈-?? =-∈??∈+∞? 的定义域、值域. 2．求分段函数的函数值 例2．已知函数2 |1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤?? =?>?+?求12[()]f f .
例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤?? =+<≤??-+>? 的最大值. 4．求分段函数的解析式 例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ） 222(10) .()2(02)x x x A f x x +-≤≤?=?+<≤? 222(10) .()2(02)x x x B f x x --≤≤?=?-<≤? 222(12) .()1(24)x x x C f x x -≤≤?=?+<≤? 2 26(12) .()3(24)x x x D f x x -≤≤?=?-<≤? y x
反函数例题讲解 例1．下列函数中，没有反函数的是 ( ) (A) y = x 2－1（x <2 1-） (B) y = x 3+1（x ∈R ） (C) 1 -= x x y （x ∈R ，x ≠1） (D) ? ? ?<-≥-=).1(4)2(22x x x x y ， 分析：一个函数是否具有反函数，完全由这个函数的性质决定． 判断一个函数有没有反函数的依据是反函数的概念．从代数角度入手，可试解以y 表示x 的式子；从几何角度入手，可画出原函数图像，再作观察、分析．作为选择题还可用特例指出不存在反函数． 本题应选（D ）． 因为若y = 4，则由 ? ? ?≥=-2422x x ， 得 x = 3． 由 ? ? ?<=-144x x ， 得 x = －1． ∴ （D ）中函数没有反函数． 如果作出 ? ? ?<-≥-=).1(4)2(22x x x x y ， 的图像（如图），依图 更易判断它没有反函数． 例2．求函数 211x y --=（－1≤x ≤0）的反函数． 解：由 211x y --=，得：y x -=-112 ． ∴ 1－x 2 = (1－y )2， x 2 = 1－(1－y )2 = 2y －y 2 ． ∵ －1≤x ≤0，故 22y y x --=． 又 当 －1≤x ≤0 时， 0≤1－x 2≤1， ∴ 0≤21x -≤1，0≤1－21x -≤1， 即 0≤y ≤1 ． ∴ 所求的反函数为 22x x y --=（0≤x ≤1）．
由此可见，对于用解析式表示的函数，求其反函数的主要步骤是： ① 把给出解析式中的自变量x 当作未知数，因变量y 当作系数，求出x = φ ( y )． ② 求给出函数的值域，并作为所得函数的定义域； ③ 依习惯，把自变量以x 表示，因变量为y 表示，改换x = φ ( y )为y = φ ( x )． 例3．已知函数 f ( x ) = x 2 + 2x + 2（x <－1），那么 f －1 (2 )的值为__________________． 分析：依据f －1 (2 )这一符号的意义，本题可由f ( x )先求得f －1 ( x )，再求f －1 (2 )的值（略）． 依据函数与反函数的联系，设f －1 (2 ) = m ，则有f ( m ) = 2．据此求f － 1 (2 )的值会简捷些． 令 x 2 + 2x + 2 = 2，则得：x 2 + 2x = 0 ． ∴ x = 0 或 x =－2 ． 又x <－1，于是舍去x = 0，得x =－2，即 f －1 (2 ) = －2 ． 例4．已知函数 241)(x x f +=（x ≤0），那么 f ( x )的反函数f －1 ( x ) 的图像是 ( ) （A （（B （C
反函数定义 一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x表示出，得到x= g(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= g(y)，x在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x= g(y)就表示y是自变量，x是因变量y的函数，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^-1(x). 反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域. 反函数性质 （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称； 函数及其反函数的图形关于直线y=x对称 （2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射； （3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； （4）大部分偶函数不存在反函数（唯一有反函数的偶函数是f(x)=a^x,x∈{0}，但是y=k（常数）无法通过水平线测试，所以没有反函数。）。奇函数不一定存在反函数。被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。 (5)一切隐函数具有反函数；
(6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性； （7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】。 （8）反函数是相互的且具有唯一性 （9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反） (10)原函数一旦确定，反函数即确定（三定）(在有反函数的情况下，即满足（2）） 例：y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5 y=2^x的反函数是y=log2 x 例题：求函数3x-2的反函数 解：y=3x-2的定义域为R，值域为R. 由y=3x-2解得 x=1/3(y+2) 将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是 y=1/3(x+2)（x属于R） （11）反函数的导数关系：如果X=F(Y）在区间I上单调，可导，且F‘（Y）不等于0，那么他的反函数Y=F’（X）在区间S={X|X=F(Y),Y属于I }内也可导，且[F‘（X)]'=1\[F’（Y）]'。 反函数说明 ⑴在函数x=f’(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f‘(y)中的字母x,y，把它改写成y=f’(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。
反函数怎么表示【整理反函数数学教案】 反函数数学教案数学教案【数学教案】教学目标1.使学生了解 反函数的概念；2.使学生会求一些简单函数的反函数；3.培养学生 用辩证的观点观察、分析解决问题的能力。 教学重点1.反函数的概念；2.反函数的求法。 教学难点反函数的概念。 教学方法师生共同讨论教具装备幻灯片2张第一张：反函数的定义、记法、习惯记法。（记作A）；第二张：本课时作业中的预习 内容及提纲。 教学过程（I）讲授新课（检查预习情况）师：这节课我们来学 习反函数（板书课题）§2.4.1反函数的概念。 同学们已经进行了预习，对反函数的概念有了初步的了解，谁来复述一下反函数的定义、记法、习惯记法？生：（略）（学生回答 之后，打出幻灯片A）。 师：反函数的定义着重强调两点：（1）根据y=f(x)中x与y的 关系，用y把x表示出来，得到x=φ（y）；（2）对于y在c中的 任一个值，通过x=φ（y），x在A中都有惟一的值和它对应。 师：应该注意习惯记法是由记法改写过来的。 师：由反函数的定义，同学们考虑一下，怎样的映射确定的函数才有反函数呢？生：一一映射确定的函数才有反函数。 （学生作答后，教师板书，若学生答不来，教师再予以必要的启示）。 师：在y=f(x)中与y=f-1(y)中的x、y，所表示的量相同。（前 者中的x与后者中的x都属于同一个集合，y也是如此），但地位 不同（前者x是自变量，y是函数值；后者y是自变量，x是函数值。）在y=f(x)中与y=f–1(x)中的x都是自变量，y都是函数值，
即x、y在两式中所处的地位相同，但表示的量不同（前者中的x是 后者中的y,前者中的y是后者中的x。）由此，请同学们谈一下， 函数y=f(x)与它的反函数y=f–1(x)两者之间，定义域、值域存在 什么关系呢？生：（学生作答，教师板书）函数的定义域，值域分 别是它的反函数的值域、定义域。 师：从反函数的概念可知：函数y=f(x)与y=f–1(x)互为反函数。 从反函数的概念我们还可以知道，求函数的反函数的方法步骤为：（1）由y=f(x)解出x=f–1(y)，即把x用y表示出；（2）将 x=f–1(y)改写成y=f–1(x)，即对调x=f–1(y)中的x、y。 （3）指出反函数的定义域。 下面请同学自看例1（II）课堂练习课本P68练习1、2、3、4。 （III）课时小结本节课我们学习了反函数的概念，从中知道了 怎样的映射确定的函数才有反函数并求函数的反函数的方法步骤， 大家要熟练掌握。 （IV）课后作业一、课本P69习题2.41、2。 二、预习：互为反函数的函数图象间的关系，亲自动手作题中要求作的图象。 板书设计课题：求反函数的方法步骤：定义：（幻灯片）注意：小结一一映射确定的函数才有反函数函数与它的反函数定义域、值 域的关系。
反函数求值 例1、设有反函数，且函数与 互为反函数，求的值． 分析：本题对概念要求较强，而且函数不具体，无法通过算出反函数求解，所以不妨试试“赋值法”，即给变量一些适当的值看看能得到什么后果． 解：设，则点在函数的图象上，从而点 在函数的图象上，即．由反函数定义有，这样即有，从而． 小结：利用反函数的概念，在不同式子间建立联系，此题考查对反函数概念的理解，符号间关系的理解． 两函数互为反函数,确定两函数的解析式 例2 若函数与函数互为反函数，求 的值. 分析：常规思路是根据已知条件布列关于的三元方程组，关键是如何 布列如果注意到g(x)的定义域、值域已知，又与g(x)互为反函数，其定义域与值域互换，有如下解法： 解：∵ g(x)的定义域为且，的值域为 . 又∵g(x) 的定义域就是的值域, ∴. ∵g(x) 的值域为 , 由条件可知的定义域是 , , ∴. ∴.
令, 则即点(3,1) 在的图象上. 又∵与g(x) 互为反函数, ∴ (3,1) 关于的对称点(1,3) 必在g(x)的图象上. ∴ 3=1+ , . 故 . 判断是否存在反函数 例3、给出下列函数: (1)； (2)； (3)； (4)； (5) . 其中不存在反函数的是__________________. 分析:判断一个函数是否有反函数,从概念上讲即看对函数值域内任意一个 ,依照这函数的对应法则,自变量总有唯一确定的值与之对应,由于这种判断难度较大,故通常对给出的函数的图象进行观察,断定是否具有反函数. 解: (1) ,(2)都没有问题,对于(3)当时,和 ,且 . 对于(4)时,和 .对于(5)当时,和 . 故(3),(4),(5)均不存在反函数. 小结:从图象上观察,只要看在相应的区间内是否单调即可. 求复合函数的反函数
分段函数的几种常见题型及解法 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 笔者就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下： 1．求分段函数的定义域和值域 例1．求函数1222[1,0]; ()(0,2);3 [2,);x x f x x x x +∈-?? =-∈?? ∈+∞?的定义域、值域. 【解析】 作图, 利用“数形结合”易知()f x 的定义域为 [1,)-+∞, 值域为(1,3]-. 2．求分段函数的函数值 例2．（05年浙江理）已知函数2 |1|2,(||1) ()1,(||1)1x x f x x x --≤?? =?>?+?求12 [()]f f . 【解析】 因为311222()|1|2f =--=-, 所以3 12 22 3 2 14[()]()1() 13 f f f =-== +-. 3．求分段函数的最值 例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤?? =+<≤??-+>? 的最大值.
【解析】当0x ≤时, max ()(0)3f x f ==, 当01x <≤时, m ax ()(1)4f x f ==, 当1x >时, 5154x -+<-+=, 综上有m ax ()4f x =. 4．求分段函数的解析式 例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ） 222(10) .()2(02)x x x A f x x +-≤≤?=?+<≤? 222(10) .()2(02)x x x B f x x --≤≤?=?-<≤? 222(12) .()1(24)x x x C f x x -≤≤?=?+<≤? 2 26(12) .()3(24)x x x D f x x -≤≤?=?-<≤? 【解析】 当[2,0]x ∈-时, 1 2 1y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下 平移 1个单位, 得解析式为11 2 2 (2)111y x x = -+-= -, 所以 ()22 ( [f x x x = + ∈-, 当[0,1]x ∈时, 21y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2 个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式2(2)1124y x x =-+-=-, 所以 1 2 ()2([0,2])f x x x = +∈, 综上可得2 22(10) ()2(02)x x x f x x +-≤≤?=?+<≤?, 故选A . 5．作分段函数的图像 例5．函数|ln | |1|x y e x =--的图像大致是（ ） y x
高一数学函数的单调性和反函数人教版 【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 函数的单调性和反函数 二. 学习目标： 1. 理解函数的单调性和函数单调增、减区间的意义，理解增减性的几何意义，能应用定义证明函数的单调性。 2. 能判断一些简单函数在给定区间的单调性。 3. 理解反函数的概念。 4. 明确原函数与其反函数的定义域和值域间的关系。 5. 能熟练地求一些函数的反函数。 【例题讲解】 [例1] 证明函数x x x f 1)(2 -=在（0，∞+）上是增函数。 证明：设1x 、2x 是（0，∞+）上任意两个值，且21x x < )1(1)()(12122212x x x x x f x f ---=-2 1212211)(x x x x -+-= 2112 1212))((x x x x x x x x -++-=)1)((2 11212x x x x x x ++-= 由12x x >，012 112>++x x x x ，则0)()(12>-x f x f ，即)()(12x f x f > 故x x x f 1)(2-=在区间（0，∞+）上是增函数。 [例2] 讨论函数1 )(2-=x ax x f 的单调性，并加以证明，其中0>a 。 解：11)()(21122212---=-x ax x ax x f x f ) 1)(1()1)((21222121--+-=x x x x x x a （1）当121-<
课题：2.4.2 反函数（2） 教学目的： ⒈使学生了解互为反函数的函数图象间的关系的定理及其证明. ⒉会利用互为反函数的函数图象间的关系解决有关问题. 教学重点：互为反函数的函数图象间的关系定理及其证明，定理的应用； 教学难点：定理的证明（但教材不作要求）. 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．反函数的定义； 2．互为反函数的两个函数) (x f y=与) (1x f y- =间的关系： ----定义域、值域相反，对应法则互逆； 3．反函数的求法：一解、二换、三注明 4. 在平面直角坐标系中，①点A(x,y)关于x轴的对称点'A(x,-y); ②点A(x,y)关于y轴的对称点'A(-x,y);③点A(x,y)关于原点的对称点'A(-x,-y);④点A(x,y)关于y=x轴 的对称点'A(?,？); 5.我们已经知道两个互为反函数的函数间有着必然的联系（在定义域、值域和对应法则方面）. 函 数图象是从“形”的方面反映这个函数的自变量x与因变量y之间的关系.因此，互为反函数的函数图象间也必然有一定的关系，今天通过观察如下图像研究—互为反函数的函数图象间的关系. ①) ( 2 3R x x y∈ - =的反函数是) ( 3 2 R x x y∈ + = ②) ( 3R x x y∈ =的反函数是) ( 3R x x y∈ = ) (x f y=的图象和它的反函数) (1x f y- =的图象关于直线x y=对称. 2．证明结论（不要求掌握，根据实际情况处理） 证明：设M(a,b)是) (x f y= 则当x=a时，) (x f有唯一的值b a f= ) (.
第一册反函数 教学目标 1.使学生了解反函数的概念； 2.使学生会求一些简单函数的反函数； 3.培养学生用辩证的观点观察、分析解决问题的能力。 教学重点 1.反函数的概念； 2.反函数的求法。 教学难点 反函数的概念。 教学方法 师生共同讨论 教具装备 幻灯片2张 第一张：反函数的定义、记法、习惯记法。（记作A）； 第二张：本课时作业中的预习内容及提纲。 教学过程 （I）讲授新课 （检查预习情况） 师：这节课我们来学习反函数（板书课题）§2.4.1反函数的概念。 同学们已经进行了预习，对反函数的概念有了初步的了解，谁来复述一下反函数的定义、记法、习惯记法？ 生：（略） （学生回答之后，打出幻灯片A）。 师：反函数的定义着重强调两点： （1）根据y=f(x)中x与y的关系，用y把x表示出来，得到x=φ（y）； （2）对于y在c中的任一个值，通过x=φ（y），x在A中都有惟一的值和它对应。
师：应该注意习惯记法是由记法改写过来的。 师：由反函数的定义，同学们考虑一下，怎样的映射确定的函数才有反函数呢？ 生：一一映射确定的函数才有反函数。 （学生作答后，教师板书，若学生答不来，教师再予以必要的启示）。 师：在y=f(x)中与y=f-1(y)中的x、y，所表示的量相同。（前者中的x与后者中的x都属于同一个集合，y也是如此），但地位不同（前者x是自变量，y 是函数值；后者y是自变量，x是函数值。） 在y=f(x)中与y=f–1(x)中的x都是自变量，y都是函数值，即x、y在两式中所处的地位相同，但表示的量不同（前者中的x是后者中的y,前者中的y 是后者中的x。） 由此，请同学们谈一下，函数y=f(x)与它的反函数y=f–1(x)两者之间，定义域、值域存在什么关系呢？ 生：（学生作答，教师板书）函数的定义域，值域分别是它的反函数的’值域、定义域。 师：从反函数的概念可知：函数y=f(x)与y=f–1(x)互为反函数。 从反函数的概念我们还可以知道，求函数的反函数的方法步骤为： （1）由y=f(x)解出x=f–1(y)，即把x用y表示出； （2）将x=f–1(y)改写成y=f–1(x)，即对调x=f–1(y)中的x、y。 （3）指出反函数的定义域。 下面请同学自看例1 （II）课堂练习课本P68练习1、2、3、4。 （III）课时小结 本节课我们学习了反函数的概念，从中知道了怎样的映射确定的函数才有反函数并求函数的反函数的方法步骤，大家要熟练掌握。 （IV）课后作业 一、课本P69习题2.41、2。 二、预习：互为反函数的函数图象间的关系，亲自动手作题中要求作的图象。 板书设计
反函数专题复习 知识点： 1、反函数定义：若函数y =f （x ）（x ∈A ）的值域为C ，由这个函数中x 、y 的关系，用y 把 x 表示出来，得到x =?（y ）.如果对于y 在C 中的任何一个值，通过x =?（y ），x 在A 中 都有唯一的值和它对应，那么，x =?（y ）就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数.这样的函数x =?（y ）（y ∈C ）叫做函数y =f （x ）（x ∈A ）的反函数，记作x =f －1 （y ）. 在函数x =f －1 （y ）中，y 表示自变量，x 表示函数.习惯上，我们一般用x 表示自变量， y 表示函数，因此我们常常对调函数x =f －1（y ）中的字母x 、y ，把它改写成y =f －1（x ）. 2、互为反函数的两个函数y =f （x ）与y =f －1 （x ）在同一直角坐标系中的图象关于直线y =x 对称. 3、若y =f （x ）是［a ，b ］上的单调函数，则y =f （x ）一定有反函数，且反函数的单调性与 y =f （x ）一致. 4、若y =f （x ），x ∈［a ，b ］（a ＜b ）是偶函数，则y =f （x ）无反函数。 5、求反函数的步骤： （1）解关于x 的方程y =f （x ），得到x =f －1 （y ）. （2）把第一步得到的式子中的x 、y 对换位置，得到y =f －1 （x ）. （3）求出并说明反函数的定义域〔即函数y =f （x ）的值域〕. 双基练习： 1、函数y =－ 11 +x （x ≠－1）的反函数是（ A ） A.y =－x 1－1（x ≠0） B.y =－x 1 +1（x ≠0） C.y =－x +1（x ∈R ） D.y =－x －1（x ∈R ） 2、函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的反函数为（ A ） A.y =2x － 1－1（x ＞1） B.y =2x － 1+1（x ＞1） C.y =2x +1－1（x ＞0） D.y =2x +1+1（x ＞0） 3、函数f （x ）=－12+x （x ≥－ 2 1 ）的反函数（ D ） A.在［－21，+∞）上为增函数 B.在［－2 1 ，+∞）上为减函数 C.在（－∞，0］上为增函数 D.在（－∞，0］上为减函数 4、函数f （x ）=－x 2（x ∈（－∞，－2］）的反函数f － 1（x ）=______________. 答案：－x -（x ≤－4）
3.7 反函数 【高教版中职（基础）数学第一册第三章3.7“反函数”第一节】 一、教材与学生的数学现实分析 1．现在的世界已进入信息时代，计算机和互联网迅速普及，计算机科学和信息科学蓬勃发展，由此促使了离散教学的地位日益上升，于是映射成了数学中最基本的概念之一。映射也是日常生活中许多现象的抽象，中学生学习映射的概念.有多方面的用处，本教材就是运用映射的观点阐述反函数的概念，给出了反函数的求法，与传统的方法不同，我们的创新，使得反函数概念的本质容易理解，反函数的求法严谨且易于掌握。所以，抓住反函数这一典型课题，通过科学的设计，使学生亲历将映射的观念惯穿始终的由特殊抽象到一般思维过程，感受知识的形成与发展规律是至关重要的。 2．此前学生已经学习了映射的基本概念，同时也学习了函数的基本性质，对于理论性的研究有了初步的尝试，有了一定得分析、对比、抽象概括的能力，但毕竟以前接触的函数等知识较为简单，而反函数的知识较为抽象，因此本节的设计更加具体、细致、突出学生的主动认知性。 3．考虑到中学生基础较差，辨析与理解力较低。所以本节应用两个较简单的例子引入，而且应用了“对应法则”这个很熟悉的词来寻找互为反函数的关系，又将其应用至求反函数的整个过程中，使学生原本厌学的情绪有所转化，激发他们的学习兴趣，进一步培养他们的学习能力。 通过以上分析，可得出： 1）学习重点和难点：重点是反函数概念的理解、应用和在代数中有着重要和广泛应用的由特殊到一般的化归思想；难点是反函数概念的理解。 2）教学方法：引导类比探索法，从具体到抽象，让学生充分感受和理解知识的发生、发展过程，展开学生的思维，培养学生抽象概括能力。 3）教学工具：多媒体教学 二、教学目标 知识目标：（1）对反函数概念的理解。 （2）给定函数的反函数的求法。 能力目标：让学生亲自体验知识的形成过程，加深对知识及其内在联系的理解，并进一步强化映射、函数知识的应用。培养学生的逻辑推理、逆向思维、 发散思维、综合归纳的能力。 情感目标：（1）培养学生对立统一的辩证唯物主义观点。 （2）在民主、和谐的教学气氛中，促进师生的情感交流。 三、教学过程
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 引言 (1) 1反函数的定义及其性质 (1) 1.1反函数的定义 (1) 1.2反函数的性质 (2) 1.2.1反函数的简单性质 (2) 1.2.2关于反函数图像的性质 (3) 1.2.3反函数的连续性与可微性 (5) 2反函数存在性的判定 (6) 2.1反函数存在性判定（一） (6) 2.1反函数存在性判定（二） (6) 3反函数的求法 (8) 3.1反函数的一般求法 (8) 3.2几类特殊函数的反函数的求解 (9) 3.2.1周期函数的反函数 (9) 3.2.2分段函数的反函数 (11) 3.2.3复合函数的反函数 (12) 参考文献 (14) 致谢 (14)
函数的反函数的存在性及其求法 数学与应用数学专业薛云 指导老师武秀美 摘要反函数是数学中的一个重要概念,文章分三部分阐述了反函数的概念、存在条件及其求法.首先,文章从不同角度给出了反函数的定义；其次,文章详细阐述了反函数的存在条件,从图像、定义及单调性等多方面加以论述；最后,文章给出了反函数的求法一般的步骤,并在此基础上介绍了一些特殊函数的反函数的求法. 关键词反函数周期函数反函数存在性定理 The Existence and Solution of Inverse Function of Functions Student majoring in Mathematics and applied mathematics Xue Yun Tutor Wu Xiumei Abstract The inverse function is an important concept in mathematics. This article has three parts about the concept of inverse function, the condition of existence of inverse function and the solution of inverse function. First, it gives the definition of inverse function, secondly, it gives the conditions of existence of inverse function and descries this aspects from image, definition and monotonicity. Finally, it gives the method of solution of inverse function and introduces the solution of the inverse function of some special functions. Key words Inverse function Periodic function Existence theorem of inverse function 引言函数是数学中的一个基本概念,对函数的性质、图像及其相关问题的研究自然地引发了对函数的反函数的探讨；同时在生活中,函数的反函数也占有较为重要的地位,但是反函数的定义很抽象,难于理解,中学数学中有一些基本的反函数的知识,在现有的数学分析和高等数学教科书中,也都有对反函数的简要介绍,但都不做重点讲述,这使对反函数的系统理解和应用更加不利.这篇文章在总结前例的基础上,对反函数的定义、性质、图像、存在性、求法等进行了详细地讨论. 1 反函数的定义及其性质 1.1 反函数的定义 定义]1[1一般地,式子) y=表示y是自变量x的函数,设它的定义域为A,值 (x f 域为C.从式子) (x =.如果对于y在C中的任何 (y x? f y=中解出x,得到式子) 一个值,通过式子) =,x在A中都有唯一确定的值和它对应,那么式子 x? (y
分段函数的几种常见题型及解法 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 若能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解, 使问题得到大大简化 1．求分段函数的定义域和值域 例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x x x x +∈-?? =-∈??∈+∞? 的定义域、值域. 2．求分段函数的函数值 例2．已知函数2 |1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤?? =?>?+?求12[()] f f . 3．求分段函数的最值 例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤?? =+<≤??-+>? 的最大值. 4．求分段函数的解析式 例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ） 2 22(10) .()2(02)x x x A f x x +-≤≤?=?+<≤?
222(10) .()2(02)x x x B f x x --≤≤?=?-<≤? 222(12) .()1(24)x x x C f x x -≤≤?=?+<≤? 2 26(12) .()3(24)x x x D f x x -≤≤?=?-<≤? 5．作分段函数的图像 例5．函数|ln ||1|x y e x =--的图像大致是（ ） A C D 6．求分段函数得反函数 例6已知()y f x =是定义在R 上的奇函数, 且当0x >时, ()31x f x =-, 设 ()f x 得反函数为()y g x =, 求()g x 的表达式. 7．判断分段函数的奇偶性 例7．判断函数22(1)(0) ()(1)(0) x x x f x x x x ?-≥?=?-+