2021中考数学考点分类复习——解直角三角形
一、选择题
1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，若tanA=
5
12
，则sinA=（ ） A ．1213 B 、512 C 、135 D 、513
2．身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别为300 m ，250 m ，200 m ；线与地面所成的角度分别为30°，45°，60°(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝（ ）
A.甲的最高
B.乙的最低
C.丙的最低
D.乙的最高 3.在Rt △ABC 中，∠C =90°，若sinA =5
13
，则cos A 的值为( )
A.
5
12
B.
8
13
C. 2
3
D.
1213
4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的正弦值为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
5．在Rt △ABC 中，∠C=90°，当已知∠A 和a 时，求c ，应选择的关系式是（ ）
A ．c=
sin a A B ．c=cos a
A
C ．c=a ·tanA
D ．以上都不是 6．在△ABC 中，若tanA=1，sinB=
2
2
，你认为最确切的判断是（ ） A.△ABC 是等腰三角形 B.△ABC 是等腰直角三角形 C.△ABC 是直角三角形 D.△ABC 是一般锐角三角形
7．如图，长4m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD 为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD 为45°，则调整后的楼梯AC 的长为（ ）
A．2m B．2m C．（2﹣2）m D．（2﹣2）m
8. 某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度．如图，他们在C处测得摩天轮的最高点A的仰角为45∘，再往摩天轮的方向前进50m至D处，测得最高点A的仰角为60∘．问摩天轮的高度AB 约是（）米（结果精确到1米，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）
A.120
B.117
C.118
D.119
9. 如图是一台54英寸的大背投彩电放置在墙角的俯视图（其中ABCD是矩形）．设∠ADO=α，彩电后背AD与前沿BC的距离为60cm，若AO=100cm，则墙角O到前沿BC的距离OE是（）
A.(60+100sinα)cm
B.(60+100cosα)cm
C.(60+100tanα)cm
D.(60−100sinα)cm
10.如图，Rt△ABC中，∠A=30°，∠ABC=90°.将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△AˈBCˈ.此时恰好点C在AˈCˈ上，AˈB交AC于点E，则△ABE与△ABC的面积之比为
A. 1
3B. 1
2
C. 2
3
D. 3
4
11.在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=40°，BC=10，若用科学计算器求边AC的长，
则下列按键顺序正确的是()
A. B.
C. D.
12.如图，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）
A．
B．（m C．4 m D．（m
13.如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知sinα=5
13
，则小车上升的高度是()
A. 5米
B. 6米
C. 6.5米
D. 7米
14.将一副三角板按如图方法摆放在一起，连接AC，则tan∠DAC值为()
A. 1
B. 1
2
C. √3+12
D. √32
15.河堤横断面如图所示，堤高BC =5米，迎水坡AB 的坡比是1：√3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比)，则AC 的长是( )
A. 5√3米
B. 10米
C. 15米
D. 10√3米
二．填空题
16.计算：2−1×√12+2cos30°=______．
17.王英同学从A 地沿北偏西60°方向走100米到B 地，再从B 地向正南方向走200米到C 地，此时王英同学离A 地的距离是______米．
18.已知α、β均为锐角，且满足|cosα−12
|+√tanβ−√3=0，则α+β的度数为______ ．
19.已知△ABC 中，AB =AC =6 cm ，cosB =1
3
，则BC 的长为 cm ．
20.如果在某建筑物的A 处测得目标B 的俯角为37∘，那么从目标B 可以测得这个建筑物的A 处的仰角为________．
21.已知等腰∆ABC ，AB AC =，BH 为腰AC 上的高，3BH =，tan 3
ABH ∠=，则CH 的长为______
22.如图，在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米．
23. 如图，要在宽AB为20米的瓯海大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD与灯柱BC成120∘角，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线（即O为AB的中点）时照明效果最佳，若CD=√3米，则路灯的灯柱BC高度应该设计为________米．（计算结果保留根号）．
24. 如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在格点上，则sin A=________．
25.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD=______．
26.如图，在∆ABC中，AD是BC上的高，tan B＝cos∠DAC，若sin C＝12
13
，BC＝12，则AD
的长_____
27.如图,P 是∠α的边OA 上一点, 且P 点坐标为(3,4),则αsin = ,αcos =______.
28.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，延长斜边AB 到点D ，使BD =AB 2
，连结DC.若
tan ∠ABC =2，则tan ∠BCD 的值是______ ．
29. 如图，已知AD 是等腰△ABC 底边上的高，且tan B =3
4．AC 上有一点E ，满足AE:CE =2:3．那么tan ∠ADE 的值是________．
30.如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A 处飞机的飞行高度是AF =3700米，从飞机上观测山顶目标C 的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B 地，此时观察目标C 的俯角是50°，则这座山的高度CD 是______ 米(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20)
三、解答题
31.计算：2sin245∘+tan60∘⋅tan30∘−cos60∘
32．由下列条件解题：在Rt△ABC中，∠C=90°
（1）已知a=1，b=2，求c．
（2）已知b=5，∠B=60°，求a，c．
（3）已知c=8，∠A=60°，求a，b．
33. 已知电线杆AB直立于地面，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上．如果CD与地面成45∘，∠A=60∘，CD=4√2米，BC=(4√3−4)米，求电线杆AB的长．
34.如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=
，求AB 的长。
35.已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝，cot ∠ABC ＝
，点D 是AC 的中
点．
（1）求线段BD 的长；
（2）点E 在边AB 上，且CE ＝CB ，求△ACE 的面积．
36.为加强我市创建文明卫生城市宣传力度，需要在甲楼A 处到E 处悬挂一幅宣传条幅，在乙楼顶部D 点测得条幅顶端A 点的仰角∠ADF=45°，条幅底端E 点的俯角为∠FDE=30°，DF ⊥AB ，若甲、乙两楼的水平距离BC 为21米，求条幅的长AE 约是多少米？ 1.73，
32
结果精确到0.1米）
37.如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的AB=10米，AE=15米．（i=1是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH
坡度i=1
的比）
38.如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°．
(1)求两建筑物底部之间水平距离BD的长度；
(2)求建筑物CD的高度(结果保留根号)．
39.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处．
（参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）
（1）问B处距离灯塔P有多远？（结果精确到0.1海里）
（2）假设有一圆形暗礁区域，它的圆心位于射线PB上，距离灯塔190海里的点O处．圆形暗礁区域的半径为50海里，进入这个区域，就有触礁的危险．请判断海轮到达B处是否有触礁的危险，并说明理由．
40.如图，秋千链子AB的长度为3m，静止时的秋千踏板(厚度忽略不计)距地面DE为0.5m，秋千向两边摆动时，若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为53°，求秋千踏板与地面的最大距离．(sin53°≈0.80,cos53°≈0.60)
41.中国“蛟龙”号深潜器目前最大深潜极限为7062.68米．某天该深潜器在海面下1800米的A点处作业(如图)，测得正前方海底沉船C的俯角为45°，该深潜器在同一深度向正前方直线航行2000米到B点，此时测得海底沉船C的俯角为60°．
(1)沉船C是否在“蛟龙”号深潜极限范围内？并说明理由；
(2)由于海流原因，“蛟龙”号需在B点处马上上浮，若平均垂直上浮速度为2000米/时，求“蛟龙”号上浮回到海面的时间．(参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732)
42.求雨刮杆AB 过的最大积．结果保留π整数(参考数据：sin0°=√32，cos0°=1
2tan60°=√3，√721≈2.85，可使用学记算器)
图1一辆汽车的背面，一种特形刮雨器，忽略雨器的宽度可抽象为一条折线OB ，如所示，得连杆长为10cm ，雨刮杆A 长48cm ，OAB =10.若动次刮雨器，雨刮杆AB 正扫到水平线D 的位置如图3所示．
中考数学专题复习解直角三角形 【基础知识回顾】 一、锐角三角函数定义： 在RE△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA= ，∠A的余弦可表示为CBA= ∠A的正切：tanA= ，它们弦称为∠A的锐角三角函数 【提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与有关，与直角三角形的无关 2、取值范围
sinB cosB tanB 【提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是 当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决】 3、解直角三角形应用中的有关概念 ⑴仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角 ⑵坡度坡角：如图： 斜坡AB的垂直度H和水平宽度L的比叫做坡度，用i表示，即i=坡面与水平面得 夹角为用字母α表示，则i=h l = ⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角 如图：OA表示OB表示 OC表示（也可称西南方向） 3、利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤： ⑴把实际问题抓化为数字问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题） ⑵根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形 ⑶解数学问题答案，从而得到实际问题的答案 【提醒：在解直角三角形实际应用中，先构造符合题意的三角形，解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】 【重点考点例析】 考点一：锐角三角函数的概念 例1 （2012?内江）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（） A．1 2 B． 5 5 C． 10 10 D． 25 5 思路分析：利用网格构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义解答．解：如图：连接CD交AB于O， 根据网格的特点，CD⊥AB，
中考解直角三角形 考点一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：∠C=90° ∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4、勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 A B C a b c 弦 股 勾 勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。 考点二、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五） 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：
（1）确定最大边（不妨设为c ）； （2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边） 4.勾股定理的作用： （1）已知直角三角形的两边求第三边。 （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。 （3）用于证明线段平方关系的问题。 （4）利用勾股定理，作出长为n 的线段 考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在△ABC 中，∠C=90° ①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即 c a sin =∠= 斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即 c b cos =∠= 斜边的邻边A A ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即 b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A ④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即 a b cot =∠∠= 的对边的邻边A A A 2、锐角三角函数的概念 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数
2021中考数学考点分类复习——解直角三角形 一、选择题 1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，若tanA= 5 12 ，则sinA=（ ） A ．1213 B 、512 C 、135 D 、513 2．身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别为300 m ，250 m ，200 m ；线与地面所成的角度分别为30°，45°，60°(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝（ ） A.甲的最高 B.乙的最低 C.丙的最低 D.乙的最高 3.在Rt △ABC 中，∠C =90°，若sinA =5 13 ，则cos A 的值为( ) A. 5 12 B. 8 13 C. 2 3 D. 1213 4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的正弦值为（ ） A ． B ． C ． D ． 5．在Rt △ABC 中，∠C=90°，当已知∠A 和a 时，求c ，应选择的关系式是（ ） A ．c= sin a A B ．c=cos a A C ．c=a ·tanA D ．以上都不是 6．在△ABC 中，若tanA=1，sinB= 2 2 ，你认为最确切的判断是（ ） A.△ABC 是等腰三角形 B.△ABC 是等腰直角三角形 C.△ABC 是直角三角形 D.△ABC 是一般锐角三角形 7．如图，长4m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD 为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD 为45°，则调整后的楼梯AC 的长为（ ）
A．2m B．2m C．（2﹣2）m D．（2﹣2）m 8. 某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度．如图，他们在C处测得摩天轮的最高点A的仰角为45∘，再往摩天轮的方向前进50m至D处，测得最高点A的仰角为60∘．问摩天轮的高度AB 约是（）米（结果精确到1米，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73） A.120 B.117 C.118 D.119 9. 如图是一台54英寸的大背投彩电放置在墙角的俯视图（其中ABCD是矩形）．设∠ADO=α，彩电后背AD与前沿BC的距离为60cm，若AO=100cm，则墙角O到前沿BC的距离OE是（） A.(60+100sinα)cm B.(60+100cosα)cm C.(60+100tanα)cm D.(60−100sinα)cm 10.如图，Rt△ABC中，∠A=30°，∠ABC=90°.将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△AˈBCˈ.此时恰好点C在AˈCˈ上，AˈB交AC于点E，则△ABE与△ABC的面积之比为
教学过程解直角三角形 【基础知识回顾】 一、锐角三角函数定义： 在Rtz\ABCt\ /C=9d, /A、ZEk /C的对边分别为a、b、c,则/A的正弦可表示为：sinA= , /A的余弦可表示为cosA= /A的正切: tanA= ,它们统称为/ A的锐角三角函数 二、特殊角的三角函数值： 三、解直角三角形： 1、定义：由直角三角形中除直角外的个已知元素，求出另外个未知元素的过程叫解直角三角形 2、解直角三角形应用中的有关概念 ⑴仰角和俯角：如图：在图上标上仰角和俯角 i
视线 水平线 ⑵坡度坡角：如图：斜坡AB的垂直度h和水平宽度l的比叫做坡度，用i表示, 即1= 坡面与水平面得夹角为用字母％表示，则i=tan %=上。 1 1 T ⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角 如图：OA^Z K OB 表木 OC 表木 O味示（也可称东南方向） 北_ A 南
例2 在Rtz\ABOt\ /C=90° , AB=2BC现给出下歹U结论：①sinA= § ;②cosB=■1 ; ③tanA=殍；④tanB=#,其中正确的结论是（只需填上正确结论的序号） 解：如图所示： 故答案为：②③④. 对应训练 2.计算6tan45 -2cos60 °的结果是（） A. 4 3 B. 4 C. 5 3 D. 5 2. D 考点三：化斜三角形为直角三角形例3 在△ABC^, AB=AC=5 sin /ABC=0.8,贝U BC= 故答案为：6. 对应训练 3.如图，四边形ABCD勺对角线AG BD相交于点Q且B阡分AC若BD=8 AC=6 /BOC=120,则四边形ABCD勺面积为 .（结果保留根号）
解直角三角形一.选择题 1. （2019?江苏苏州？3分）如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为18、，13 m的地面上，若测角仪的高度为1.5 m ,测得教学楼的顶部A处的仰角为30°, 则教学楼的高度是（） A. 55.5 m B . 54 m A C. 19.5 m D . 18 m D1，30。 C B 【分析】考察30°角的三角函数值，中等偏易题目 【解答】过D作DE AB交AB于E , DE BC 18.3 在RtVADE 中，tan30 AE 18 3 — 18m 3 AB 18 1.5 19.5m 故选C AE DE D| 30 C 2. （2019?浙江嘉兴？3分）如图，已知。O上三点A, B, C,半径OC = 1, /ABC = 30 ,切线PA交OC
【分析】连接OA,根据圆周角定理求出/ AOP,根据切线的性质求出/ OAP = 90° ,解直角三角形求出 AP 即可. 【解答】解：连接OA, . zABC=30° , . zAOC=2ZABC=60° , ••・过点A 作。O 的切线交OC 的延长线于点P, . .zOAP = 90° , OA=OC=1, . AP= OAtan 60 °Tx 百匹， 故选：B. 【点评】本题考查了切线的性质和圆周角定理、解直角三角形等知识点， 能熟记切线的性质是解此题的 关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径. 3. （2019?浙江名g 兴？4分）如图1,长、宽均为3,高为8的长方体容器, 水，水面高为6,绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图 【分析】设DE=x,则AD = 8-x,由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出 理求出 CD,过点C 作CF, BG 于F,由△CDEs/BCF 的比例线段求得结果即可. 解得：x= 4, (8 x +8 ) X3X3 =3 X3 X6 放置在水平桌面上，里面盛有 2是此时的示意图，则图 DE,再由勾股定 【解答】解：过点 C 作CF± BG 于F,如图所示: 根据题意 得:
. 《解直角三角形》专题复习 一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 几何表示：【∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°】 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 几何表示：【∵∠C=90°∠A=30°∴BC=2 1AB 】 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何表示：【∵∠ACB=90° D 为AB 的中点 ∴ CD=21 AB=BD=AD 】 4、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 几何表示：【在Rt △ABC 中∵∠ACB=90° ∴222c b a =+】 5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。 即：【∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD •=2 AB AD AC •=2 AB BD BC •=2】 6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。（a b c h •=•） 由上图可得：AB •CD=AC •BC 二、锐角三角函数的概念 如图，在△ABC 中，∠C=90° c a sin =∠=斜边的对边A A c b cos =∠=斜边的邻边A A b a tan =∠∠=的邻边的对边A A A a b cot =∠∠=的对边的邻边A A A 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 锐角三角函数的取值范围：0≤sin α≤1，0≤cos α≤1，tan α≥0，cot α≥0. 三、锐角三角函数之间的关系 （1）平方关系(同一锐角的正弦和余弦值的平方和等于1) 1cos sin 22=+A A （2）倒数关系（互为余角的两个角，它们的切函数互为倒数） tanA •tan(90°—A)=1； cotA •cot(90°—A)=1； （3）弦切关系 tanA=A A cos sin cotA=A A sin cos （4）互余关系(互为余角的两个角，它们相反函数名的值相等) sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) A C B D
中考数学专题解直角三角形 1、勾股定理：直角三角形两直角边、的平方和等于斜边的平方。 2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)： 定义表达式 正 弦 余 弦 正 切 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、30°、45°、60°特殊角的三角函数值(重要) 三角函数30°45°60° 1 5、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一条边）→求所有未知的边和角。依据：①边的关系：；②角的关系：∠A+∠B=90°；③边角关系： 6、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
(2)坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。坡度一般写成的形式，如等。 把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么。 考点一：锐角三角函数的概念 例1 如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（） A．1 2 B． 5 5 C． 10 10 D． 25 5 对应训练 1．在平面直角坐标系中，已知点A（2，1）和点B（3，0），则sin∠AOB的值等于（） A． 5 5 B． 5 2 C． 3 2 D． 1 2 考点二：特殊角的三角函数值 例2 计算：cos245°+tan30°•sin60°=． 对应训练 计算：sin30°+cos30°•tan60°． 考点三：化斜三角形为直角三角形 例3 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的长． 对应训练
3．如图，在Rt △ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号） 考点四：解直角三角形的应用 例4 黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠B=∠D=90°，AB=BC=15千米，CD=32千米，请据此解答如下问题： （1）求该岛的周长和面积；（结果保留整数，参考数据2≈1.414，3≈1.73 ，6≈2.45） （2）求∠ACD的余弦值． 对应训练 6．超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A处，离益阳大道的距离（AC）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒，∠BAC=75°． （1）求B、C两点的距离； （2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？ （计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，t an75°≈3.732，3≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒）
2022年上海市15区中考数学一模考点分类汇编 专题05 解直角三角形 一．解答题（共15小题） 1．（虹口区）图1是一款平板电脑文架，由托板、支撑板和底座构成．工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上．图2是其侧面结构示意图，已知托板AB长200mm，支撑板CB长80mm，当∠ABC＝130°，∠BCD＝70°时，求托板顶点A到底座CD所在平面的距离（结果精确到1mm）． （参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41，≈1.73）． 2．（静安区）据说，在距今2500多年前，古希腊数学家就已经较准确地测出了埃及金字塔的高度，操作过程大致如
下：如图所示，设AB是金字塔的高，在某一时刻，阳光照射下的金字塔在地面上投下了一个清晰的阴影，塔顶A的影子落在地面上的点C处．金字塔底部可看作方正形FGHI，测得正方形边长FG长为160米，点B在正方形的中心，BC与金字塔底部一边垂直于点K．与此同时，直立地面上的一根标杆DO留下的影子是OE．射向地面的太阳光线可看作平行线（AC∥DE）．此时测得标杆DO长为1.2米，影子OE长为2.7米，KC长为250米．求金字塔的高度AB及斜坡AK的坡度（结果均保留四个有效数字）． 3．（松江区）某货站沿斜坡AB将货物传送到平台BC．一个正方体木箱沿着斜坡移动，当木箱的底部到达点B时的平
面示意图如图所示．已知斜坡AB的坡度为1：2.4，点B到地面的距离BE＝1.5米，正方体木箱的棱长BF＝0.65米，求点F到地面的距离． 4．（长宁区）如图，某种路灯灯柱BC垂直于地面，与灯杆AB相连．已知直线AB与直线BC的夹角是76°，在地面点D 处测得点A的仰角是53°，点B仰角是45°，点A与点D之间的距离为3.5米． 求：（1）点A到地面的距离； （2）AB的长度．（精确到0.1米） （参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24） 5．（金山区）如图，某校无人机兴趣小组利用无人机测量旗杆的高度，无人机在位于C点时距离地面MN的高度CH为
解直角三角形 教学目标： （1）利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sinA,cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函数值。 （2）能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。（3）能利用已知三角函数值，进行计算和化简。 （4）了解正弦余弦和正切间的关系解决问题。同时能在实际问题中找到直角三角形，利用锐角三角函数解决实际问题。 教学重点：用锐角三角函数解直角三角形。 教学难点：利用锐角三角函数解决实际问题。 教学过程： 一、知识梳理 1、锐角三角函数的定义 2、特殊角的三角函数值
3、解直角三角形 4、在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念 （1 视线 铅垂线 水平线
（2）方位角 （3）坡度：tan α=h/l 5、同角三角函数之间的关系： Sin 2α+cos 2α=1 tan α=a a cos sin 6、互余两角的三角函数关系： sin(900-α)=cos α cos(900-α)=sin α 7、函数的增减性：（00<α<900） （1）sin α,tan α的值都随着α的增大而增大 （2）Cos α的值随着α的增大而减小 二、典型例题 （一）基础检测 1、 [2014·威海] 如图22－1，在网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，O 都在格点上，则∠AOB 的正弦值是( ) 图22－1
A. 3 1010 B .12 C .13 D .10 10 2、已知∠A 为锐角，sinA ＝ 17 15 ，求cosA 、tanA 的值。 3、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，求∠A 的三角函数值。 （1）a=9 b=12 (2)a=5 b=12 4、在△ABC 中，AB=AC ＝4，BC=6，求∠B 的三角函数值。 5、如图,在Rt △ABC 中,锐角A 的邻边和斜边同时扩大100倍,tanA 的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定 6、(2015·丽水）如图,点A 为∠α边上的任意一点,作AC ⊥BC 于点C ,CD ⊥AB 于点D ,下 列用线段比表示cos α的值,错误．．的是( ) A.BD BC B.BC AB C.AD AC D.CD AC （二）考点分类 类型之一 求三角函数值 例 [2013·四川] 如图23－1所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为 ( ) 图23－1 A.12 B.55 C.1010 D.255 类型之二 特殊锐角的三角函数值的应用 命题角度： 1. 30°、45°、60°的三角函数值； 2. 已知特殊三角函数值，求角度． 例 1 [2012·济宁] 在△ABC 中，若∠A 、∠B 满足⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪cos A －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B －222＝0， 则∠C ＝________. 例2（2015•绍兴）计算： 1 ) 21(41)1(45cos 2-+++-︒π 练一练 1、（2015·金华）如图，正方形ABCD 和正三角形AEF 都内接于⊙O ，EF 与BC ， A D α (第6题)
标准实用 《解直角三角形》专题复习 一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 几何表示：【∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°】 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 几何表示：【∵∠C=90°∠A=30°∴BC=2 1AB 】 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何表示：【∵∠ACB=90° D 为AB 的中点 ∴ CD=21 AB=BD=AD 】 4、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 几何表示：【在Rt △ABC 中∵∠ACB=90° ∴222c b a =+】 5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。 即：【∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD ∙=2 AB AD AC ∙=2 AB BD BC ∙=2】 6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。（a b c h ∙=∙） 由上图可得：AB ∙CD=AC ∙BC 二、锐角三角函数的概念 如图，在△ABC 中，∠C=90° c a sin =∠=斜边的对边A A c b cos =∠=斜边的邻边A A b a tan =∠∠=的邻边的对边A A A a b cot =∠∠=的对边的邻边A A A 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 锐角三角函数的取值范围：0≤sin α≤1，0≤cos α≤1，tan α≥0，cot α≥0. 三、锐角三角函数之间的关系 （1）平方关系(同一锐角的正弦和余弦值的平方和等于1) 1cos sin 22=+A A （2）倒数关系（互为余角的两个角，它们的切函数互为倒数） tanA ∙tan(90°—A)=1； cotA ∙cot(90°—A)=1； （3）弦切关系 tanA=A A cos sin cotA=A A sin cos （4）互余关系(互为余角的两个角，它们相反函数名的值相等) sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°— A) C B
九年级中考数学知识点总结--解直角三角形 直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余。 表示为：∵∠C=90°∴∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。表示为：∵∠C=90°∠A=30°∴BC= 2 1 AB 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。表示为：∵∠ACB=90°，D 为AB 的中点 ； ∴ CD= 2 1 AB=BD =AD 4、勾股定理：222c b a =+ 5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项 ∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD ∙=2 ，AB AD AC ∙=2， AB BD BC ∙=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得：AB ∙CD=AC ∙BC 锐角三角函数的概念 1、 如图，在△ABC 中，∠C=90° c a sin =∠= 斜边的对边A A c b cos =∠=斜边的邻边A A b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A a b cot =∠∠= 的对边的邻边A A A 2、锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、锐角三角函数的取值范围：0 sinα≤1，0≤cosα≤1，tanα≥0，cotα≥0. A C B D
锐角三角函数之间的关系 （1）平方关系 1cos sin 22=+A A （2）弦切关系tanA=A A cos sin 特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα 30° 45° 60° 说明：锐角三角函数的增减性，当角度在0°~90°之间变化时. （1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。解直角三角形的理论依据：以上. 对实际问题的处理 （1）俯、仰角. （2）方位角、象限角. （3）坡角、坡度. 补充：在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。 典型例题： 仰角 俯角 北 东 西 南 α h l i i=h/l=tg α
中考数学专题复习：解直角三角形 一．选择题（共7小题） 1．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为（） A．B．C．D． 2．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，cos C＝，AB＝6，AC＝6，则BC的长为（） A．12 B．12C．9 D．9 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，sin A＝，则BC的长为（） A．2 B．3 C．D．2 4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AB＝m，那么边AC的长为（）A．m•sinαB．m•cosαC．m•tanαD．m•cotα 5．在平面直角坐标系中，从原点O引一条射线，设这条射线与x轴的正半轴的夹角为a，若cos a＝，则这条射线是（）
A．OA B．OB C．OC D．OD 6．如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AB＝c，∠A＝α，则CD长为（） A．c•sin2αB．c•cos2α C．c•sinα•tanαD．c•sinα•cosα 7．如图，在△ABC中，sin B＝，cos C＝，AC＝5，则△ABC的面积为（） A．13 B．14 C．21 D．10.5 二．填空题（共7小题） 8．如图，点P是∠α的边OA上的一点，点P的坐标为（12，5），则tanα＝________． 9．已知：在△ABC中，AC＝a，AB与BC所在直线成45°角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为（即cos C＝），则AC边上的中线长是________． 10．如图，点D在钝角△ABC的边BC上连接AD，∠B＝45°，∠CAD＝∠CDA，CA：CB ＝5：7，则∠CAD的余弦值为________． 11．如图，在四边形ABCD中，tan∠ABC＝，BD为对角线，∠ABD+∠BDC＝90°，过点A作AE⊥BD于点E，连接CE，若AE＝DE，EC＝DC＝5，则△ABC的面积为________．
解直角三角形及其应用 【学习目标】 1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形； 2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题． 【要点梳理】 要点一、解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： ①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). ②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. ③边角之间的关系： ，，， ，，. ④，h为斜边上的高. 要点诠释： (1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值. (2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系). (3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解. 要点二、解直角三角形的常见类型及解法 已知条件解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 一 边 一 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ，
角 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， 斜边、锐角( 如c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， 要点诠释： 1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算. 2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边. 要点三、解直角三角形的应用 解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 解这类问题的一般过程是： (1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型. (2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题. (3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 拓展： 在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： (1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式. (2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.
中考数学一轮复习专题解析—解直角三角形 复习目标 1.理解正弦、余弦、正切的概念，并能运用. 2.掌握特殊角三角函数值，并能运用特殊角的三角函数值进行计算和化简； 3.理解直角三角形的概念，灵活运用直角三角形中边与角的关系和勾股定理解直角三角形，提高把实际问题转化为解直角三角形问题的能力； 考点梳理 一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 可表示如下： 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 可表示如下： 4、勾股定理直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即 2c 2 2 + a= b 5、射影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比
例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 6、常用关系式 由三角形面积公式可得： AB •CD=AC •BC 二、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 三、锐角三角函数的概念 1、如图，在∠ABC 中，∠C=90° ∠锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即c a sin = ∠= 斜边的对边A A ∠锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即c b cos =∠= 斜边的邻边A A ∠锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A ∠锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即a b cot =∠∠= 的对边的邻边A A A
考点24 解直角三角形 一、锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b， 正弦：sin A=∠的对边 = 斜边 A a c ；余弦：cos A= ∠的邻边 = 斜边 A b c ；正切：tan A= ∠的对边 = 邻边 A a b ． 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 二、特殊角的三角函数值 αsinαcosαtanα 30°1 2 3 2 3 3 45° 2 2 2 2 1 60° 3 2 1 2 3 三、解直角三角形 1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知
元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．2．解直角三角形的常用关系： 在Rt△ABC中，∠C=90°，则： （1）三边关系：a2+b2=c2； （2）两锐角关系：∠A+∠B=90°； （3）边与角关系：sin A=cos B=a c ，cos A=sin B= b c ，tan A= a b ； （4）sin2A+cos2A=1． 3．科学选择解直角三角形的方法口诀： 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便； 已知直边求直边，理所当然用正切； 已知两边求一边，勾股定理最方便； 已知两边求一角，函数关系要记牢； 已知锐角求锐角，互余关系不能少； 已知直边求斜边，用除还需正余弦. 四、解直角三角形的应用 1．仰角和俯角 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．2．坡度和坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=h l ． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα． 坡度越大，α角越大，坡面越陡． 3．方向角（或方位角） 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．
新人教版初中数学——解直角三角形 知识点归纳及中考典型题解析 一、锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b， 正弦：sin A=∠的对边 = 斜边 A a c ；余弦：cos A= ∠的邻边 = 斜边 A b c ；正切：tan A= ∠的对边 = 邻边 A a b ． 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 二、特殊角的三角函数值 αsinαcosαtanα 30°1 2 3 2 3 3 45° 2 2 2 2 1 60° 3 2 1 2 3 三、解直角三角形 1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2．解直角三角形的常用关系： 在Rt△ABC中，∠C=90°，则：
（1）三边关系：a2+b2=c2； （2）两锐角关系：∠A+∠B=90°； （3）边与角关系：sin A=cos B=a c ，cos A=sin B= b c ，tan A= a b ； （4）sin2A+cos2A=1． 3．科学选择解直角三角形的方法口诀： 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便； 已知直边求直边，理所当然用正切； 已知两边求一边，勾股定理最方便； 已知两边求一角，函数关系要记牢； 已知锐角求锐角，互余关系不能少； 已知直边求斜边，用除还需正余弦. 四、解直角三角形的应用 1．仰角和俯角 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．2．坡度和坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=h l ． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα． 坡度越大，α角越大，坡面越陡． 3．方向角（或方位角） 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．