解直角三角形题型－带解析
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１、（2０1７?河南）如图所示,我国两艘海监船Ａ，B在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令,立即前往救援遇险抛锚的渔船C，此时,B船在Ａ船的正南方向5海里处，A船测得渔船C在其南偏东４5°方向,B船测得渔船C在其南偏东53°方向，已知A船的航速为30海里/小时，B船的航速为25海里/小时,问C船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53°≈,cos53°≈，tａn53°≈，≈1.４1）
【分析】如图作ＣE⊥AB于Ｅ．设AE=ＥC=ｘ,则BE=x﹣5,在Rｔ△ＢCＥ中，根据tan５3°=,可得=,求出x，再求出BＣ、ＡC,分别求出A、B两船到C的时间，即可解决问题.
【解答】解：如图作CＥ⊥AB于Ｅ.
在Rt△ACE中,∵∠A=45°,
∴ＡE＝EC,设AE=ＥＣ＝ｘ，则ＢE=x﹣5,
在Rｔ△BCE中,
∵tan53°=,
∴＝,
解得x=2０,
∴AE=EC＝20,
∴AC=2０=28.２，
ＢC==25,
∴A船到C的时间≈=０.９4小时,Ｂ船到C的时间==1小时,
∴C船至少要等待0.94小时才能得到救援．
2、(２016?河南)如图,小东在教学楼距地面９米高的窗口Ｃ处,测得正前方旗杆顶部A点的仰角为３7°,旗杆底部Ｂ点的俯角为4５°，升旗时,国旗上端悬挂在距地面2.２5米处，若国旗随国歌声冉冉升起,并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：ｓiｎ37°≈０.６0,ｃｏs３7°≈0.80,taｎ37°≈0．75)
【分析】通过解直角△BCD和直角△AＣD分别求得BＤ、CD以及ＡD的长度,则易得AB的长度，则根据题意得到整个过程中旗子上升高度,由“速度=”进行解答即可．
【解答】解:在Rｔ△ＢＣＤ中，BＤ＝9米，∠BＣD=４5°,则BD=ＣD=9米.
在Rt△ＡＣD中,ＣD=９米，∠ＡＣＤ=37°，则AD=ＣD?tan37°≈9×0．75=6.７５（米）．
所以，ＡB=ＡD+BD＝15.75米，
整个过程中旗子上升高度是：15.75﹣２.２5＝13．5（米),
因为耗时45s,
所以上升速度ｖ==０.3(米／秒）.
答：国旗应以0.3米/秒的速度匀速上升.
3、(２０15?河南）如图所示,某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°,朝大树方向下坡走6米到达坡底A处,在A处测得大树顶端Ｂ的仰角是48°,若坡角∠ＦAE=3０°,求大树的高度(结果保留整数,参考数据:sin４8°≈０.７4，ｃｏｓ４８°≈０.67，taｎ４8°≈1.11，≈1.73)
【解答】解:如图,过点D作DＧ⊥ＢC于Ｇ，DH
⊥CE于H,
则四边形DHＣＧ为矩形.
故DＧ=ＣH，CＧ=DH，DG∥HC，
∴∠DAＨ=∠ＦＡE=３０°，
在直角三角形AＨD中,
∵∠DAH=3０°,AＤ=6,
∴DH=3,AH＝3，
∴CG＝3，
设BC为x，
在直角三角形AＢＣ中，AＣ＝=，
∴DＧ=３+，BG=ｘ﹣3,
在直角三角形ＢＤG中,∵BG＝DG?tａn30°,
∴x﹣3=(3+)
解得：x≈1３，
∴大树的高度为:１3米.
４、(２014?河南)在中俄“海上联合﹣2０１４”反潜演习中,我军舰A测得潜艇C 的俯角为3０°,位于军舰A正上方10０0米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为６８°,试根据以上数据求出潜艇Ｃ离开海平面的下潜深度．(结果保留整数,参考数据：ｓin６8°≈0.9,cos68°≈0.4，ｔan68°≈2.５，
1.7）
【解答】解:过点C作CD⊥AＢ,交BA的延长线于点Ｄ,
则AD即为潜艇Ｃ的下潜深度，
根据题意得：∠ACD=３0°,∠ＢCＤ=６8°,
设AD＝x,则BD=BA+AD＝10０0+x，
在Rt△ACD中，ＣD===，
在Ｒt△BCD中，BD=ＣD?tａn６8°,
∴１000＋ｘ=ｘ?tan68°
解得：x=≈≈3０８米，
∴潜艇Ｃ离开海平面的下潜深度为308米.
５、（2013?河南)我国南水北调中线工程的起点是丹江水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土加高，使坝高由原来的1６2米增加到17６.6米，以抬高蓄水位.如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BＥ,背水坡坡角∠BＡＥ＝6８°,新坝体的高为DE，背水坡坡角∠ＤCE=60°．求工程完工后背水坡坡底端水平方向增加的宽度AＣ（结果精确到０.1米.参考数据:sｉn68°
≈0.93,cos6８°≈0.37,ｔａn68°≈２.50，）．
【解答】解：在Rt△BＡＥ中,
∵BE=162米,∠BAE=68°,
∴ＡE===64.８(米),
在Rｔ△DCE中,
∵ＤＥ=１7６.６米，∠DCE＝60°，
∴CE=＝＝≈１０2.08(米),
则ＡC=ＣE﹣AE＝1０2.08﹣64.8=37.3（米)．
答:工程完工后背水坡坡底端水平方向增加的宽度AＣ约为3７.3米．
6、(2017?郑州二模）如图，高铁列车座位后面的小桌板收起时可以近似地看作与地面垂直,展开小桌板后,桌面会保持水平,其中图1、图２分别是小桌板收起时和展开时的实物,图3中的实线是小桌板展开后的示意图,其中OB表示小桌板桌面的宽度,BC表示小桌板的支架,连接OA，此时OA=7５厘米，∠AOB=∠ＡCＢ=37°,且支架长BC与桌面宽ＯB的长度之和等于OA的长度，求点B到ＡC的距离.(参考数据sin３7°≈
0．6，ｃos37°≈
0．8，tan3７°≈
０.7５）
【解答】解:延长OB交AC于点D,
由题可知:BD⊥CＡ，
设BＣ=xcｍ,则BＯ=OA﹣BC=(7５﹣ｘ）cｍ，
在Rt△CBＤ中，
∵BD=BC?sin∠ACB＝x?sin３7°=0.6x，
∴DO=OB＋BD=75﹣x＋0.6x=(75﹣0.4ｘ)cm，
在Rt△AOＤ中,
DO＝AO?cos∠ＡＯD=7５?cｏs37°=60cｍ,
∴75﹣0．4x=60,
解得：x=３7．５，
∴BD＝0.6x=22.5cｍ,
答：点B到ＡＣ的距离为22.5cｍ．
7、太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之一,老张准备把自家屋顶改建成光伏瓦面，改建前屋顶截面△ABＣ如图2所示，BC=１０米，∠AＢC=∠ＡCB=36°,改建后顶点D在BA的延长线上，且∠BDC＝９０°,求改建后南屋面边沿增加部分ＡD 的长．(结果精确到０.1米）
（参考数据：sｉｎ18°≈0.31,cos18°≈0.９５．tan1８°≈0.32,ｓin36°≈０.59.co ｓ３６°≈0.8１，ｔan36°≈0.73)
【解答】解：∵∠BＤC=9０°，BC=１0，sinB=，
∴CＤ=BＣ?siｎB=10×0．59=5．9,
∵在Rｔ△ＢCD中，∠BCD=90°﹣∠B＝90°﹣36°=54°,
∴∠ACＤ=∠BCD﹣∠AＣB=5４°﹣3６°=18°,
∴在Rt△ACD中，tan∠ＡCD=，
∴ＡＤ=CD?tan∠ACD=5.9×0.３2=1.888≈１.9（米）,
则改建后南屋面边沿增加部分AD的长约为１.9米.
8、(２０17郑州外国语三模)如图，在航线l的两侧分别有观测点A和B,点A到航线l的距离为2km,点B位于点A北偏东6０°方向且与Ａ相距１0kｍ处．现有一艘轮船从位于点B南偏西７6°方向的C处,正沿该航线自西向东航行,5min后该轮船行至点A的正北方向的D处.
(1）求观测点Ｂ到航线l的距离;
(２)求该轮船航行的速度(结果精确到0.１km/ｈ)．（参考数据：≈１．７3，s ｉｎ7６°≈０.９7，ｃos76°≈0.24，tan76°≈4.0１）
【解答】解：（1）设AB与l交于点O.
在Rt△AOD中,
∵∠OAＤ＝60°,AD=２（km），
∴OA==4(km).
∵ＡＢ=10(ｋm）,
∴OB=AＢ﹣OＡ=6（kｍ）.
在Rt△BOＥ中,∠ＯBE=∠OＡD=60°,
∴BE=ＯB?cos６0°=３（km)．
答：观测点Ｂ到航线l的距离为３ｋｍ．
(２）在Ｒｔ△AOD中，OD=AD?ｔaｎ60°=2(ｋm)，
在Rt△BOE中,ＯＥ=BE?ｔａn6０°=3（km）,
∴DE＝OD+OE＝5（ｋm）.
在Ｒt△CBＥ中,∠CBＥ=76°，BE＝3(km)，
∴CE=BE?tan∠CBE=3tａn76°．
∴CD=ＣE﹣DE=3tan76°﹣5≈3．3８（km)．
∵5（ｍiｎ)=,
∴ｖ===１2CD=12×３．38≈４0.６（kｍ/h)．
答：该轮船航行的速度约为40.6km/h.
9、（20１7郑州八中三模)如图,小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与岸上的凉亭间的距离,如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与岸上的凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭Ａ处测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东６５°方向,然后,他从凉亭A处沿湖岸向正东方向走了1０0米到B处,测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东４５°方向（点A、B、C在同一水平面上)．请你利用小明测得的相关数据,求湖心岛上的迎宾槐C处与湖岸上的凉亭A处之间的距离（结果精确到１米)．
（参考数据：siｎ2５°≈0.4226,cｏｓ25°≈０．9063,tan2５°≈0.46６3,siｎ6５°≈0.9063,cos65°≈０.4226,tan65°≈2.1445)
【解答】解:如图，作CD⊥AB交ＡB的
延长线于点D，
则∠BCD=4５°,∠ACD=6５°．
在Rｔ△ＡCD和Ｒt△BCD中，
设AC＝x，则ＡD＝xsｉｎ65°,
BD=CＤ=xｃoｓ65°,
∴１0０+xcoｓ65°=xsin65°，
∴ｘ=≈２07米．
∴湖心岛上的迎宾槐C处与凉亭A处之间距离约为20７米.
１0、(2017?安阳一模）某校兴趣小组想测量一座大楼AB的高度.如图,大楼前有一段斜坡BＣ，已知BC的长为１2米，它的坡度i=1:．在离C点４0米的D处，用测角仪测得大楼顶端Ａ的仰角为37°，测角仪DE的高为１.5米，求大楼AB的高度约为多少米?(结果精确到０.１米)
（参考数据：siｎ37°≈０.6０，cos３7°≈０.80,tan3７°≈0.75，≈１.７3.）
【解答】解:延长AB交直线DC于点Ｆ,过点E作EH⊥ＡF，垂足为点H.
∵在Rt△BCF中,=ｉ＝1:,
∴设BF=k，则CF=,BＣ=2k．
又∵BC=１２,
∴k=6，
∴BF=6，CF＝.
∵DＦ=DC＋CF，
∴DF=40+6．
∵在Rt△ＡEH中，tａn∠AEＨ=,
∴ＡH=taｎ3７°×（４0+６）≈37.785(米)，
∵BH＝BF﹣ＦＨ,
∴BH＝6﹣１.5=4．5.
∵AB=AH﹣HB,
∴AB＝３7.7８5﹣4.5≈3３.3.
答:大楼ＡB的高度约为33.3米．
1１、（2017?开封二模)放风筝是大家喜爱的一种运动星期天的上午小明在金明广场上放风筝,如图，他在A处不小心让风筝挂在了一棵树梢上,风筝固定在了Ｄ处,此时风筝AＤ与水平线的夹角为3０°，为了便于观察,小明迅速向前边移动，收线到达了离A处10米的B处，此时风筝线BD与水平线的夹角为5０°，已知点A，B,C在同一条水平直线上，小明搬了一把梯子来取风筝，梯子能达到的最大高度为20米，请问小明能把风筝捡回来吗？（最后结果精确到1米)（风筝线
AD，BD均为线段,≈1.７32,sin50°≈0．７６6,coｓ50°≈０.643,tan５０°≈1.192)
【解答】解:作DH⊥BC于H，设DＨ=x米．
∵∠ACＤ=９０°,
∴在直角△ADH中,∠DAＨ=30°,AＤ=2DH＝2x,AH＝DH÷tａｎ30°=x，
在直角△BDH中,∠ＤBH＝５
0°,BH=，BＤ=DH?sｉｎ５０°=sｉ
n50°x，
∵AH﹣ＢH=AB=1０米,
∴x﹣=１0,
∴x＝，
∴小明此时所收回的风筝的长度为：
AD﹣BＤ=2x﹣ｓin５０°x＝(2﹣siｎ５0°)×=(2﹣0.7６6）×≈8米．
答：小明此时所收回的风筝线的长度约是8米.
12、(2017?许昌二模）某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的北岸边点A处，测得河的南岸边点B在其南偏东45°方向,然后向北走20米到达C点,测得点B在点C的南偏东3３°方向，求出这段河的宽度（结果精
确到1米,参考数据siｎ33°≈0.54,ｃｏｓ33°≈0．８4，tan33°≈0．6５，≈1.41)
【解答】解：如图，记河南岸为BＥ，延长CA交BE于点Ｄ,则CＤ⊥BE.
由题意知，∠DＡB=４5°,∠DCＢ=33°，
设AD=x米，则BD=x米，CD=(20+x）米，
在Rt△ＣDＢ中，=taｎ∠ＤＣB,
∴≈0.65，
解得x≈3７.
答：这段河的宽约为37米．
1３、(２０17平顶山二模）如图，在坡角为３0°的山坡上有一铁塔ＡＢ，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时,测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为6米，落在广告牌上的影子ＣD的长为4米,求铁塔AB的高(AB,CD 均与水平面垂直,结果保留根号).
【解答】解:过点C作ＣE⊥AB于E,过点Ｂ作BF⊥ＣD于F,
在Rt△BFD中,
∵∠ＤBF=３０°,sin∠ＤBＦ==，cｏs∠DBF==,
∵ＢD=6,
∴DF=3，BF=３,
∵AＢ∥ＣD,CE⊥AＢ,BF⊥ＣD，
∴四边形BFCE为矩形,
∴BＦ=CＥ＝3，CF=BE=CD﹣DF=１，
在Rt△ACE中，∠ACE=4５°，
∴AE=CE=３,
∴AB=3+１．
答：铁塔ＡB的高为（3+1)ｍ．
１4、（２01７?信阳二模）如图,AC是某市环城路的一段，ＡE、ＢF、ＣＤ都是南北方向的街道，其与环城路AＣ的交叉路口分别是A、B、C经测量东方家具城D 位于点A的北偏东45°方向，点Ｂ的北偏东３０°方向上，AB=2ｋm,∠DAC=１5°，求C、D之间的距离（结果保留根号)．
【解答】解:∵由题意可得∠EAD=45°,∠ＦBD=３0°,又∵∠DAC=1５°,
∴∠EAC=60°，
∵ＡE∥ＢF,
∴∠FBＣ=∠EAB=６0°，
∴∠DBC=30°，
∴∠BDA＝∠ＤBC﹣∠ＤAB＝３0°﹣15°=１5°，
∴∠ＢDA＝∠DAB,
∴AB＝DB=２km，
∴∠ＡDB=15°,
∴∠ＤBC=∠ADＢ+∠ＤＡC=１5°+15°=３０°;
过B作BO⊥ＤC,交其延长线于点O,
在Rｔ△DＢO中，ＢD=2,∠DBO＝60°,
∴ＤO＝2×siｎ6０°=,ＢO=2×cos６0°＝１．
在Rｔ△CBO中,∠ＣBO＝30°,ＣO＝BOtan30°＝,∴CD=DO﹣ＣＯ＝﹣＝(ｋm)．
即Ｃ,Ｄ之间的距离km.
１5、（２0１7南阳二模）如图，某同学自某观景平台ＡB上的A处看到有一个11阶的楼梯，他测得最上面楼梯角C的俯角为4０°,最下面楼梯角D的俯角为45°，若每个台阶的高为0．１５m,宽为０.30m，且楼梯的最底端与观景台的底端B位于同一水平线上。试求观景平台的高AB(同学身高忽略不计）．(结果精确到０.1m,参考数据：sin40°≈０．6４，cos40°≈０．7７，tan4０°≈０.８4,）
【解答】解：如图,
设ＡB＝x,
由题意知∠ＡCF=4０°,∠ＤAB=∠ADB＝45°，
则AB ＝AD=x,
作CE ⊥BD 于点Ｅ,作CF ⊥AB 于点F,
∴BF=CE ＝１1×0.1５=1.65m ，DE ＝0.3０×11＝３．３0m ， ∴AF=AB ﹣ＢF=x ﹣1．65,
在Rt △A ＣF 中，由t ａn ∠ＡC Ｆ=可得
84.030
.365
.1=+-x x ，
解得:ｘ≈２7.６(m)，
答:观景平台的高ＡB 约为２7.６m.
16、一处中学在教学楼前新建了一座雕塑(如图①)．为了测量雕塑的高度，小王在二楼找到一点C,利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为３0°，底部B 点的俯角为45°,小华在五楼找到一点Ｄ,利用三角板测得Ａ点的俯角为60°（如图②)．若已知CD 为10米,请求出雕塑A Ｂ的高度．（结果精确到0.1米,参考数据
=1.73）.
【解答】解：过点C 作ＣＥ⊥AB 于E.
∵∠ADC=９０°﹣60°＝３0°,∠ＡCD ＝9０°﹣30°=60°, ∴∠ＣAD=９0°． ∵ＣＤ＝1０, ∴AC=CD=5． 在R ｔ△ACE 中，
∵∠AEC=9０°,∠ACE=30°，
∴AE＝ＡＣ=,
CE=ＡC?cos∠ACE=5?ｃos３0°＝．
在Ｒt△BＣＥ中,
∵∠ＢCE＝４5°，
∴BＥ=CE=，
∴AB=AE+BE=（+)≈6.８（米）.
所以，雕塑AＢ的高度约为6.８米．
１7、据调查,超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末,小明和三位同学用所学过的知识在一条笔直的道路上检测车速．如图，观测点C到公路的距离CD为１00米,检测路段的起点Ａ位于点Ｃ的南偏西60°方向上，终点Ｂ位于点C 的南偏西45°方向上.某时段，一辆轿车由西向东匀速行驶,测得此车由A处行驶到B处的时间为4秒.问此车是否超过了该路段16米/秒的限制速度?（参考数据：≈1.４,≈１．7）
【解答】解：在Rｔ△BCD中，
∵∠BDC＝90°，∠BＣD＝４5°，CD＝１0０米,
∴BＤ=CD=100米．
在Rｔ△AＣＤ中，
∵∠AＤC=90°，∠ACD=60°,CD=１00米，
∴AD=CD?tａn∠ＡCD=100（米）.
∴ＡB=AD﹣BD=１00﹣１００≈70（米).
∴此车的速度为（米／秒)．
∵17.5＞16,
∴此车超过了该路段1６米/秒的限制速度.
18、如图,某校数学兴趣小组在楼AＢ的顶部A处测得该楼正前方旗杆ＣD的顶端Ｃ的俯角为4２°，在楼ＡＢ的底部B处测得旗杆CD的顶端Ｃ的仰角为31°，已知旗杆CD的高度为12m,根据测得的数据，计算楼AＢ的高度（结果保留整数）．参考数据:tａｎ４2°≈0.90,tａn4８°≈1.１１,tan３1°≈0．60．
课 题 解直角三角形 授课时间： 备课时间： 教学目标 1. 了解勾股定理 2. 了解三角函数的概念 3. 学会解直角三角形 重点、难点 三角函数的应用及解直角三角形 考点及考试要求 各考点 教学方法：讲授法 教学内容 （一）知识点（概念）梳理 考点一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下： ?BC= 2 1AB ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下： ?CD=2 1 AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 5、摄影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 ? AB AD AC ?=2 CD ⊥AB AB BD BC ?=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得： AB ?CD=AC ?BC 7.图中角α可以看作是点A 的 角 也可看作是点B 的 角； （1）
9、（1）坡度（或坡比）是坡面的 铅直 高度（h ）和水平长度（l ）的比。 记作i,即i = l h ； （2）坡角——坡面与水平面的夹角。记作α，有i ＝l h =tan α （3）坡度与坡角的关系：坡度越大，坡角α就越 大 ，坡面就越 陡 考点二、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在△ABC 中，∠C=90° ①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即 c a sin =∠= 斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即 c b cos =∠= 斜边的邻边A A ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即 b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A ④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即a b cot =∠∠=的对边的邻边A A A 2、锐角三角函数的概念 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值 三角函数 0° 30° 45° 60° 90° sinα 21 22 23 1 cos α 1 23 2 2 21 0 tan α 0 33 1 3 不存在 cot α 不存在 3 1 3 3 0 4、各锐角三角函数之间的关系 （1）互余关系 sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) （2）平方关系 1cos sin 22=+A A （3）倒数关系 tanA ?tan(90°—A)=1
解直角三角形练习题 一、 真空题： 1、 在Rt △ABC 中，∠B ＝900，AB ＝3，BC ＝4，则sinA= 2、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝,35cm BC cm = 则SinA= cosA= 3、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，SinA=5 4 ,AB=10,则BC ＝ 4、α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 若sin53018\=0.8018，则cos36042\= 5、 ∠B 为锐角，且2cosB －1＝0则∠B ＝ 6、在△ABC 中，∠C ＝900，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝9，b ＝12，则sinA= sinB= 7、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，tanA=0.5,则cotA= 8、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若b a 32=则tanA= 9．等腰三角形中，腰长为5cm ，底边长8cm ，则它的底角的正切值是 10、若∠A 为锐角，且tan 2A+2tanA －3＝0则∠A ＝ 11、Rt △ABC 中，∠A ＝600，c=8，则a ＝ ，b ＝ 12、在△ABC 中，若32=c ,b ＝3，则tanB= ,面积S ＝ 13、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝ ，AC ＝ BC ＝ 14、在△ABC 中，∠B ＝900，AC 边上的中线BD ＝5，AB ＝8，则tanACB=
二、选择题 1、在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的正弦、余弦值 （ ） A 、都扩大2倍 B 、都扩大4倍 C 、没有变化 D 、都缩小一半 2、若∠A 为锐角，且cotA ＜3，则∠A （ ） A 、小于300 B 、大于300 C 、大于450且小于600 D 、大于600 3、在Rt △ABC 中，已知a 边及∠A ，则斜边应为 （ ） A 、asinA B 、 A a sin C 、acosA D 、A a cos 4、等腰三角形底边与底边上的高的比是2：3，则顶角为（ ） A 、600 B 、900 C 、1200 D 、1500 5、在△ABC 中，A ，B 为锐角，且有sinA ＝cosB ，则这个三角形是（ ） A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、锐角三角形 6、有一个角是300的直角三角形，斜边为1cm ，则斜边上的高为（ ） A 、41cm B 、21cm C 、43cm D 、2 3 cm
解直角三角形题型归纳梳理 专题一、 求直角三角形锐角三角函数的方法 题型一 直接运用定义求锐角三角函数值 【典例1】（2019?金堂校级期末）如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，且AC ＝1，BC ＝2，则sin ∠A ＝ 2√5 5 ． 【解析】解：∵∠C ＝90°，∴AC 2+BC 2＝AB 2， ∵AC ＝1，BC ＝2，∴AB =√5；∴sin ∠A =BC AB = 25=2√5 5，故答案为2√55 ． 【典例2】（2019?镇海区一模）如图，直线y =3 4x +3与x 、y 轴分别交于A 、B 两点，则cos ∠BAO 的值是（ ） A ．4 5 B ．3 5 C ．4 3 D ．5 4 【解析】解：当x ＝0时，y ＝3，当y ＝0时，x ＝﹣4， ∴直线y =3 4x +3与x 、y 轴的交点A 的坐标（﹣4，0）、B （0，3），∴OA ＝4，OB ＝3， 由勾股定理得，AB ＝5，则cos ∠BAO =OA AB =4 5，故选：A ． 【典例3】（2019?咸宁模拟）如图，P （12，a ）在反比例函数y =60 x 图象上，PH ⊥x 轴于H ，则tan ∠POH 的值为 512 ．
【解析】解：∵P （12，a ）在反比例函数y = 60x 图象上，∴a =6012 =5， ∵PH ⊥x 轴于H ，∴PH ＝5，OH ＝12，∴tan ∠POH =5 12，故答案为： 5 12 ． 【典例4】（2019?成都）如图，在正方形ABCD 中，M 是AD 的中点，BE ＝3AE ，试求sin ∠ECM 的值． 【解析】解：设AE ＝x ，则BE ＝3x ，BC ＝4x ，AM ＝2x ，CD ＝4x ，∴EC =√(3x)2+(4x)2=5x ， EM =√x 2+(2x)2=√5x ，CM =√(2x)2+(4x)2=2√5x ， ∴EM 2+CM 2＝CE 2，∴△CEM 是直角三角形，∴sin ∠ECM = EM CE =√5 5 ． 题型二 利用等角转换求锐角三角函数值 【典例5】（2019?雁塔区校级月考）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，BC ＝3， AC ＝4，则cos ∠DCB 的值为（ ） A ．3 5 B ．4 5 C ．3 4 D ．4 3 【解析】解：在Rt △ABC 中，AB =√BC 2+AC 2=√32+42=5，∵CD ⊥AB ，∴∠DCB +∠B ＝90°，
解直角三角形 本章知识结构梳理 一、锐角三角函数 1、梯子越陡——倾斜角＿＿＿＿＿ 倾斜角越大——铅直高度与梯子的比＿＿＿＿＿ 倾斜角越大——水平宽度与梯子的比＿＿＿＿＿ 倾斜角越大——铅直高度与水平宽度的比＿＿＿＿ 2、直角三角形AB 1C 1 和直角三角形ABC 有什么关系? 边之间的关系呢？ 3、三角函数定义： 注意：sinA ，cosA ，tanA 都是一个完整的符号，单独的sin ，cos ，tan 是没有意义的，其中A 前面的“∠”一般省略不写 例1、把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ′B ′C ′，那么锐角A ，A ′的余弦值的关系为（ ） A ．cosA=cosA ′ B ．cosA=3cosA ′ C ．3cosA=cosA ′ D ．不能确定 例2、在△ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，则下列各项中正确的是（ ） A ．a=c ·sin B B ．a=c ·cosB C ．a=c ·tanB D ．以上均不正确 例3、在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA= 23 ，则tanB 等于（ ） 锐角三角函数 1锐角三角函数的定义 ⑴、正弦； ⑵、余弦； ⑶、正切。 2、30°、45°、60°特殊角的三角函数值。 3、各锐角三角函数间关系 ⑴、定义； ⑵、直角三角形的依据 ⑶、解直角三角形的应用。 ①、三边间关系； ②、锐角间关系； ③、边角间关系。
A ． 35 B ．3 C ．2 5 D ． 2 例4、已知：α是锐角，tan α= 7 24 ，则sin α=_____，cos α=_______． 4、取值范围：0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1，tanA ＞0 解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用，如在测量高度、距离、角度，确定方案时常用到解直角三角形。解这类题关键是把实际问题转化为数学问题，常通过作辅助线构造直角三角形来解决。 坡度（坡比） 方向角度 俯角仰角 例6、如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB ?的值． 例7、如图，∠C=90°，∠DBC=30°，AB=BD ，根据此图求tan15°的值．
解直角三角形 一、选择题 1、如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于（ ） (A)．1 (B)．2 (C)．22 (D)．22 2、如果α是锐角，且54 cos =α，那么αsin 的值是（ ）． （A ）259 （B ） 54 （C ）53 （D ）2516 3、等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）． （A ）513 （B ）12 13 （C ）1013 （D ）5 12 4、. 以下不能构成三角形三边长的数组是 ( ) （A ）（1，3，2） （B ）（3，4，5） （C ）（3，4，5） （D ）（32，42，52） 5、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，下列式子中正确的是（ ）． （A ）B A sin sin = （B ）B A cos sin = （C ）B A tan tan = （D ）B A cot cot = 6、在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE=α，且53 cos =α, AB = 4, 则AD 的长为（ ）． （A ）3 （B ）316 （C ）320 （D ）516 7、某市在“旧城改造”中计划在一 块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美 化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ）． （A ）450a 元 （B ）225a 元 （C ）150a 元 （D ）300a 元 8、已知α为锐角，tan （90°－α）=3，则α的度数为（ ） （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75° 9、在△ABC 中，∠C =90°，BC =5，AB =13，则sin A 的值是( ) （A ）135 （B ）1312 （C ）125 （D ）512 10、如果∠a 是等边三角形的一个内角，那么cos a 的值等于（ ）．
解直角三角形题型－带解析
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１、（2０1７?河南）如图所示,我国两艘海监船Ａ，B在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令,立即前往救援遇险抛锚的渔船C，此时,B船在Ａ船的正南方向5海里处，A船测得渔船C在其南偏东４5°方向,B船测得渔船C在其南偏东53°方向，已知A船的航速为30海里/小时，B船的航速为25海里/小时,问C船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53°≈,cos53°≈，tａn53°≈，≈1.４1） 【分析】如图作ＣE⊥AB于Ｅ．设AE=ＥC=ｘ,则BE=x﹣5,在Rｔ△ＢCＥ中，根据tan５3°=,可得=,求出x，再求出BＣ、ＡC,分别求出A、B两船到C的时间，即可解决问题. 【解答】解：如图作CＥ⊥AB于Ｅ. 在Rt△ACE中,∵∠A=45°, ∴ＡE＝EC,设AE=ＥＣ＝ｘ，则ＢE=x﹣5, 在Rｔ△BCE中, ∵tan53°=, ∴＝, 解得x=2０, ∴AE=EC＝20,
∴AC=2０=28.２， ＢC==25, ∴A船到C的时间≈=０.９4小时,Ｂ船到C的时间==1小时, ∴C船至少要等待0.94小时才能得到救援． 2、(２016?河南)如图,小东在教学楼距地面９米高的窗口Ｃ处,测得正前方旗杆顶部A点的仰角为３7°,旗杆底部Ｂ点的俯角为4５°，升旗时,国旗上端悬挂在距地面2.２5米处，若国旗随国歌声冉冉升起,并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：ｓiｎ37°≈０.６0,ｃｏs３7°≈0.80,taｎ37°≈0．75) 【分析】通过解直角△BCD和直角△AＣD分别求得BＤ、CD以及ＡD的长度,则易得AB的长度，则根据题意得到整个过程中旗子上升高度,由“速度=”进行解答即可． 【解答】解:在Rｔ△ＢＣＤ中，BＤ＝9米，∠BＣD=４5°,则BD=ＣD=9米. 在Rt△ＡＣD中,ＣD=９米，∠ＡＣＤ=37°，则AD=ＣD?tan37°≈9×0．75=6.７５（米）． 所以，ＡB=ＡD+BD＝15.75米， 整个过程中旗子上升高度是：15.75﹣２.２5＝13．5（米), 因为耗时45s,
解直角三角形常见题型 题型一、关于仰角与俯角的题型 1、为了缓解酒泉市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已 知立杆AB高度是3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC的高度． 2、摩天轮是嘉峪关市的标志性景观之一．某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度．如图，他们在C处测得摩天轮的最高点A的仰角为45?，再往摩天轮的方向前进50 m至D处，测得最高点A的仰角为60?． 3、如图所示,小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC 为多少米。 4、中国国际航空体育节在莱芜举办，期间在市政府广场进行了热气球飞行表演.如图，有一热气球到达离地面高度为36米的A处时，仪器显示正前方一高楼顶部B的仰角是45°，底部C的俯角是60°.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米 中考链接 5．（8分）（2018?泸州）如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A、C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m．（1）求点B到AD的距离；（2）求塔高CD（结果用根号表示）．
6．（10分）（2008?巴中）又到了一年中的春游季节，某班学生利用周末到白塔山去参观“晏阳初博物馆”． 下面是两位同学的一段对话：甲：我站在此处看塔顶仰角为60；乙：我站在此处看塔顶仰角为30；甲：我们的身高都是；乙：我们相距20m ；请你根据两位同学的对话，计算白塔的高度（精确到1米）． 7、（2017?广元）如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB 的高度，在C 处测得∠ADG=30°，在E 处测得∠AFG=60°，CE=8米，仪器高度CD=1.5米，求这棵树AB 的高度（结果保留两位有效数字，≈）． 8．（8分）（2015?巴中）如图，某校数学兴趣小组为测得大厦AB 的高度，在大厦前的平地上选择一点C ，测得大厦顶端A 的仰角为30°，再向大厦方向前进80米，到达点D 处（C 、D 、B 三点在同一直线上），又测得大厦顶端A 的仰角为45°，请你计算该大厦的高度．（精确到米，参考数据： ≈， ≈） 题型三、关于方位角的题型 1.如图1，一架飞机在空中P 处探测到某高山山顶D 处的俯角为60°，此后飞机以300米/秒的速度沿平行于地面AB 的方向匀速飞行，飞行10秒到山顶D 的正上方C 处，此时测得飞机距地平面的垂直高度为12千米，求这座山的高（精确到千米） 2． 在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN （如图），在码头西端M 的正西19．5 km 处有一观察站A ．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西30°,且与A 相距40km 的B 处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A 的北偏东60°，且与A 相距83 km 的C 处． （1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）； （2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN 靠 岸请说明理由． 4、如图，我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A 地观测到我渔船C 在东北方向上的我国某传统渔场．若渔政310船航向不变，航行半小时后到达B 处，此时观测到我渔船C 在北偏东30°方向上．问渔政310船再航行多久，离我渔船C 的距离最近（假设我渔船C 捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值．） N M 东 北 B C A l
解直角三角形练习题1 一. 选择题：（每小题2分，共20分） 1. 在△EFG 中，∠G=90°，EG=6，EF=10，则cotE=（ ） A.43 B. 34 C. 53 D. 3 5 2. 在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，tanC 的值是（ ） A. 21 B. 3 3 C. 1 D. 3 3. 在△ABC 中，若2 2cos =A ，3tan = B ，则这个三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 4. 如图18，在△EFG 中，∠EFG=90°，FH ⊥EG ，下面等式 中，错误的是（ ） A.EG EF G =sin B. EF EH G =sin C. FG GH G =sin D. FG FH G =sin 5. sin65°与cos26°之间的关系为（ ） A. sin65°
《解直角三角形》典型例题 例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，a=4，解这个三角形． 分析 本题实际上是要求∠A 、b 、c 的值．可根据直角三角形中各元素间的关系解决． 解 （1） ； （2）由a b B = tan ，知 ； （3）由c a B = cos ，知860cos 4 cos =? == B a c ． 说明 此题还可用其他方法求b 和c ． 例 2在Rt △ABC 中, ∠C=90°，∠A=30°，3=b ,解这个三角形． 解法一 ∵ ∴ 设 ,则 由勾股定理,得 ∴ ． ∴ ． 解法二 13 3 330tan =? =?=b a 说明 本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用目前所学的解直角三角形的方法,也可以用以前学的性质解题． 例 3 设 中， 于D ，若 ，解三 角形ABC ．
分析“解三角形ABC”就是求出的全部未知元素．本题CD不是 的边，所以应先从Rt入手． 解在Rt中，有： 在Rt中，有 说明（1）应熟练使用三角函数基本关系式的变形，如： （2）平面几何中有关直角三角形的定理也可以结合使用，本例中 “”就是利用“对30°角的直角边等于斜边的一半”这一定理．事实上，还可以用面积公式求出AB的值： 所以解直角三角形问题，应开阔思路，运用多种工具． 例4在中，，求． 分析（1）求三角形的面积一方面可以根据面积公式求出底和底上的高的长，也可以根据其中规则面积的和或差； （2）不是直角三角形，可构造直角三角形求解．
解如图所示，作交CB的延长线于H，于是在Rt△ACH中，有 ，且有 ； 在中，，且 ， ∴； 于是，有 ， 则有 说明还可以这样求：
课题解直角三角形模型 教学目标 1. 熟悉特殊的三角函数，理解三角函数表示的意义，学会利用三角函数求线段长度和角度； 2. 学会解决常考的解直角三角形题型。 重难点学会解决常考的解直角三角形题型 导案学案 教学流程 一、进门考（建议不超过10分钟） 1.（2017?绍兴）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼 顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m． （1）求∠BCD的度数． （2）求教学楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32） 二、基础知识网络总结与巩固 知识回顾：三角函数中常用的特殊函数值。 函数名0°30°45°60°90° sinα0 1 cosα 1 0 tanα0 无穷大 cotα无穷大 1 0
1.解直角三角形的定义： 在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角．由这些元素中的一些已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2.解直角三角形的常用关系： 在Rt △ABC 中，∠C=90°，则： ①三边关系：a 2＋b 2= c 2 ； ②两锐角关系：∠A ＋∠B= 90°； ③边与角关系：sin A=cos B= a c ，cos A=sin B= b c ，tan A=a b ； ④平方关系：1cos sin 2 2 =+A A ⑥倒数关系：tan A ?tan(90°—A)=1 ⑦弦切关系：tan A= A A cos sin 3.解直角三角形的两种基本类型————①已知两边长； ②已知一锐角和一边。 注意：已知两锐角不能解直角三角形。 4.解非直角三角形的方法： 对于非直角三角形，往往要通过作辅助线构造直角三角形来解，作辅助线的一般思路是： ①作垂线构成直角三角形； ②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边。 5.常见的几种图形辅助线： 三、重难点例题启发与方法总结 类型一 背靠背 例1.（2017?恩施州）如图，小明家在学校O 的北偏东60°方向，距离学校80米的A 处，小华家在学校O 的南偏东45°方向的B 处，小华家在小明家的正南方向，求小华家到学校的距离．（结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
《解直角三角形》复习及中考题型练习 一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 几何表示：∵∠C=90°∴∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 几何表示：∵∠C=90°∠A=30°∴BC=2 1 AB 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何表示：∵∠ACB=90° D 为AB 的中点 ∴ CD=2 1AB=BD=AD 4、勾股定理：222c b a =+ 5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。 即：∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD ?=2 AB AD AC ?=2 AB BD BC ?=2 6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。（a b c h ?=?） 由上图可得：AB ?CD=AC ?BC 二、锐角三角函数的概念 如图，在△ABC 中，∠C=90° c a sin =∠= 斜边的对边A A c b cos =∠= 斜边的邻边A A b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 锐角三角函数的取值范围：0≤sin α≤1，0≤cos α≤1，tan α≥0， 三、特殊角的三角函数值（熟记） 四、 解直角三角形 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 三种基本关系：1:、边边关系：2 2 2 a b c += 2、角角关系：∠A+∠B=90° 3、边角关系：即四种锐角三角函数 类型 已知条件 解法 两边 两直角边a 、b 2 2 c a b =+，tan a A b = ，90B A ∠=?-∠ 直角边a ，斜边c 22 b c a =-，sin a A c =，90B A ∠=?-∠ 一边 一锐角 直角边a ，锐角A 90B A ∠=?-∠，cot b a A =，sin a c A = 斜边c ，锐角A 90B A ∠=?-∠，sin a c A =g ，cos b c A =g 五、对实际问题的处理 （1）俯、仰角. （2）方位角、象限角. （3）坡角（是斜面与水平面的夹角）、坡度（是坡角的正切值）. 仰角 俯角 北 东 南 α h L i i=h/L=tg α A C B D
解直角三角形常见题 型
解直角三角形常见题型 题型一、关于仰角与俯角的题型 1、为了缓解酒泉市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显 示牌（如图）．已知立杆AB高度是3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别 是60°和45°．求路况显示牌BC的高度． 2、摩天轮是嘉峪关市的标志性景观之一．某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度．如图，他们在C 处测得摩天轮的最高点A的仰角为45?，再往摩天轮的方向前进50 m至D处，测得最高点A的仰角 为60?． 3、如图所示,小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高， 在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋 楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC为多少米。 4、中国国际航空体育节在莱芜举办，期间在市政府广场进行了热气球飞行表演.如图，有一热气球到 达离地面高度为36米的A处时，仪器显示正前方一高楼顶部B的仰角是45°，底部C的俯角是60°. 为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？ 中考链接 5．（8分）（2018?泸州）如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的 仰角为30°，在A、C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB 间的距离为40m．（1）求点B到AD的距离；（2）求塔高CD（结果用根号表示）．
6．（10分）（2008?巴中）又到了一年中的春游季节，某班学生利用周末到白塔山去参观“晏阳初博 物馆”． 下面是两位同学的一段对话：甲：我站在此处看塔顶仰角为60o；乙：我站在此处看塔顶仰角为 30o；甲：我们的身高都是1.5m；乙：我们相距20m；请你根据两位同学的对话，计算白塔的高度 （精确到1米）． 7、（2017?广元）如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADG=30°，在E处测得 ∠AFG=60°，CE=8米，仪器高度CD=1.5米，求这棵树AB的高度（结果保留两位有效数字，≈1.732）． 8．（8分）（2015?巴中）如图，某校数学兴趣小组为测得大厦AB的高度，在大厦前的平地上选择一点C，测得 大厦顶端A的仰角为30°，再向大厦方向前进80米，到达点D处（C、D、B三点在同一直线上），又测得大厦顶 端A的仰角为45°，请你计算该大厦的高度．（精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732） 题型三、关于方位角的题型 1.如图1，一架飞机在空中P处探测到某高山山顶D处的俯角为60°，此后飞机以300米/秒的速度沿 平行于地面AB的方向匀速飞行，飞行10秒到山顶D的正上方C处，此时测得飞机距地平面的垂直 高度为12千米，求这座山的高（精确到0.1千米） 2．在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M 的正西19．5 km 处 有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的 北偏西30°,且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又 83km的C 测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距 处． （1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）； （2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由． N M 东 北 B C A l
解直角三角形 一、 填空题： 1. 若∠A 是锐角，cosA ＝ 2 3 ，则∠A ＝ 。 2. 在△ABC 中，∠C ＝90°，若tanA ＝2 1 ，则sinA ＝ ； 3. 求值：1sin 60cos 4522 ?? ?+2sin30°－tan60°＋cot45=__________。 4. 在倾斜角为30°的山坡上种树，要求相邻两棵树间的水平距离为3米，那么，相邻两棵 树间的斜坡距离为 米。 5. 已知等腰三角形的周长为20，某一内角的余弦值为3 2，那么该 等腰三角形的腰长等于 。 6. 如图：某同学用一个有60°角的直角三角板估测学校旗杆AB 的高度，他将60°角的直角边水平放在1.5米高的支架CD 上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得D 、B 的距离为5米，则旗杆AB 的高度约为 米。（精确到1米， 3取1.732） 7. 如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，且BE ＝2AE ，已知 AD ＝33，tan ∠BCE ＝ 3 3，那么CE ＝ 。 8. 正方形ABCD 的边长为1。如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在BC 延长线上的点D '处，那么tan ∠BA D '＝ 。 二、选择题 1. 在△ABC 中，已知AC ＝3、BC ＝4、AB ＝5，那么下列结论成立的是（ ） A 、SinA ＝ 45 B 、cosA ＝53 C 、tanA ＝43 D 、cotA ＝5 4 2. 在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则6cosB 等于 （ ） （A ）3 （B ）2 （C ）33 （D ） 32 3. 为测楼房BC 的高，在距楼房30米的A 处，测得楼顶B 的仰角 为α,则楼房BC 的高为（ ） E D C B A 四川03/3 D A B C α
1.如下图，某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A 测得某岛C 在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B 测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁。（1）说明点B 是否在暗礁区域内；（2）若继续向东航行有无触礁的危险？请说明理由。 2.如图，海岛A 四周20海里周围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B 处见岛A 在北偏西60?，航行24海里到C ，见岛A 在北偏西15?，货轮继续向西航行，有无触礁的危险 3.如图所示， A 、 B 两城市相距 100km ．现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段 AB ），经测 量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在 以P 点为圆心，50km 为半径的圆形区域内．请问计划修筑的这条高速公路 1.732 1.414） 4.为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某天我护航 舰正在某小岛A 北偏西45°并距该岛20海里的B 处待命．位于该岛正西方向C 处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东60°的方向有我军护航舰（如图所示），便发出紧急求救信号．我护航舰接警后，立即沿BC 航线以每小时60海里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置C 处？（结果精确到个位） 5.如图，某天然气公司的主输气管道从A 市的东偏北30°方向直线延伸，测绘员在A 处测得要安装天然气的M 小区在A 市东偏北60°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C 处，测得小区M 位于C 的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N ，使到该小区铺设的管道最短，并求AN 的长. 6.如图，A 城气象台测得台风中心在A 城的正西方300千米处，以每小时10千米的速度向北偏东60o 的BF 方向移动，距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域。（1） 问A 城是否会受到这次台风的影响？为什么？（2） 若A 城受到这次台风的影响，那么A 城遭受这次台风影响的时间有多长？ 7． 在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN （如图），在码头西端M 的正西19．5 km 处有一观察站A ．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西30°,且与A 相距40km 的B 处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A 的北偏东60°，且与A 相 距的C 处．（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）； （2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正 好行至码头MN 靠岸？请说明理由． A B F E P 45° 30 ° 东 l
解直角三角形 参考答案与试题解析 一．选择题（共9小题) １．（2018?孝感)如图，在Rｔ△ABC中，∠Ｃ＝90°,AB=10,ＡC＝８，则ｓinＡ等于（) A. B.?C.?D． 【分析】先根据勾股定理求得BC＝6，再由正弦函数的定义求解可得. 【解答】解：在Rt△ABC中,∵AＢ=10、AC=8， ∴BＣ=＝=６, ∴sinA=＝＝, 故选：A. ２.(201８?绵阳)一艘在南北航线上的测量船，于Ａ点处测得海岛Ｂ在点A的南偏东30°方向，继续向南航行3０海里到达C点时，测得海岛B在Ｃ点的北偏东15°方向,那么海岛B离此航线的最近距离是（)（结果保留小数点后两位)（参考数据:≈１.７32,≈1．414） A.４.6４海里?B．5.4９海里 C.6．12海里?Ｄ.6.21海里 【分析】根据题意画出图形,结合图形知∠BAＣ＝30°、∠ACB=15°,作BD⊥AC于点D,以点B为顶点、ＢC为边,在△ABC内部作∠CBE=∠ACB=15°,设BD=ｘ，则AB=BE＝CE＝２ｘ、AＤ=DE=x，据此得出ＡＣ=2x＋2x，根据题意列出方程，求解可得． 【解答】解：如图所示， 由题意知,∠BAC=３０°、∠AＣB＝15°, 作BD⊥AＣ于点D,以点B为顶点、BC为边，在△ABＣ内部作∠CBE=∠AＣB=1５°, 则∠BED=30°,BE＝CＥ， 设ＢD＝ｘ， 则AB=ＢＥ＝CＥ=2x,ＡD=ＤＥ=x,
∴AＣ＝AD+ＤE+CE＝2x+２ｘ, ∵AC=30， ∴2x+2x=3０, 解得：ｘ＝≈５．４9, 故选：Ｂ. 3．(20１8?重庆）如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直,在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED=58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米,升旗台坡面CD的坡度ｉ=1：0.７5,坡长CＤ=2米,若旗杆底部到坡面CＤ的水平距离BC=１米，则旗杆ＡB的高度约为( )(参考数据：sin58°≈0.８５,cos58°≈0.53，tan５8°≈1.6) A．12.6米?Ｂ.１３.1米?C．14.7米?D．16.3米 【分析】如图延长AB交ED的延长线于M，作CJ⊥DM于J.则四边形BMＪC是矩形.在Ｒt△CD Ｊ中求出CJ、DＪ,再根据，tan∠ＡEＭ=构建方程即可解决问题; 【解答】解:如图延长AB交ED的延长线于M，作CJ⊥DM于Ｊ．则四边形BMJC是矩形. 在Rｔ△CJD中，=＝,设ＣJ=4k，DJ=３k， 则有9k2+1６k2=4， ∴ｋ=， ∴BM=CJ=，ＢC=MJ=1，DJ=，EM=MＪ+DＪ+DE＝, 在Rｔ△AEＭ中，tａn∠AEＭ=,
解直角三角形习题总结 例1、（2011?宜昌）教学用直角三角板，边AC=30cm，∠C=90°，，则边BC 的长为（） 例2、（2011?临沂）如图，△ABC中，cosB=，sinC=，AC=5，则△ABC的面积是（） B．12 A． C．14 D．21 例3、(2010·茂名）已知∠A是锐角，，则5cosA＝（） D．5 A．4 B．3 C． 例4、（2007?天水）在△ABC中，∠C=90°，若sinB=，则cosA的值为（） A． B． C．1 D． 例5、(2000?广西)在Rt△ABC中，∠C=90°，如果cosA=，那么tanB的值为() A. B. C. D. 例6、(2010?苏州)如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE的值() A. B.2 C. D. 例7、（2010?攀枝花）如图所示，已知AD是等腰△ABC底边上的高，且tan∠B=，AC上有一点E，满足AE：CE=2：3，则tan∠ADE的值是（） A． B． C． D．
例8、在数学活动课上，小敏，小颖分别画了△ABC和△DEF，AB=DE，数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作S△ABC′小颖画的三角形面积记作S△DEF，那么你认为小敏和小颖画的两个三角形的面积的大小关系是S△ABC()S△DEF．(填“＞，＜，或=”) 例9、如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处．大树在折断之前高______． 例10、（2010 宁洱县）某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上探测点A、B相距4m，探测线与地面的夹角分别是30°和60°，试确定生命所在点C的深度 例11、（2011四川绵阳）周末，身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度.如图，小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°，小丽站在B处测得她看塔顶的仰角β为30°.她们又测出A、B两点的距离为30米。假设她们的 眼睛离头顶都为10cm，则可计算出塔高约为(结果精确到0.01，参考数据：=1.414， =1.73) A.36.21米 B.37.71米 C.40.98米 D.42.48米
北师大版九年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 解直角三角形及其应用—知识讲解 【学习目标】 1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形； 2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题． 【要点梳理】 要点一、解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： ①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). ②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. ③边角之间的关系： ，，， ，，. ④，h为斜边上的高. 要点诠释： (1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值. (2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系). (3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解. 求∠
要点诠释： 1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算. 2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边. 要点三、解直角三角形的应用 解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 解这类问题的一般过程是： (1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型. (2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题. (3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 拓展： 在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： (1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式. (2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.