《高等数学》-授课教案
第一讲 高等数学学习介绍、函数
一、新教程序言
1、为什么要重视数学学习
（1）文化基础——数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量； （2）开发大脑——数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面的作用；
（3）知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一种能力和技术；
（4）智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续发展的动力。 2、对数学的新认识
（1）新数学观——数学是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学提供思想和方法，是推动人类进步的重要力量；
（2）新数学教育观——数学教育（学习）的目的：数学精神和数学思想方法，培养人的科学文化素质，包括发展人的思维能力和创新能力。
（3）新数学素质教育观——数学教育（学习）的意义：通过“数学素质”而培养人的“一般素质”。[见教材“序言”] 二、函数概念
1、函数定义：变量间的一种对应关系（单值对应）。
（用变化的观点定义函数），记：)(x f y =（说明表达式的含义） (1)定义域：自变量的取值集合（D ）。
(2)值 域：函数值的集合，即}),({D x x f y y ∈=。 例1、求函数)1ln(2x y -=的定义域？
2、函数的图像：设函数)(x f y =的定义域为D ，则点集}),(),{(D x x f y y x ∈= 就构成函数的图像。
例如：熟悉基本初等函数的图像。
3、分段函数：对自变量的不同取值范围，函数用不同的表达式。 例如：符号函数、狄立克莱函数、取整函数等。 分段函数的定义域：不同自变量取值范围的并集。
例2、作函数???≥<=0,20
,)(2x x x x x f 的图像？
例3、求函数??
?-<≥=?)1(),0(),1(0
10
)(2f f f x x x x f 的定义域及函数值，，
四：设y=f(u),u=g(x)，且与x 对应的u 使y=f(u)有意义，则y=f[g(x)]是x 的复合函数，u 称为中间变量。
(1)并非任意几个函数都能构成复合函数。 如：2,ln x u u y -==就不能构成复合函数。 (2)复合函数的定义域：各个复合体定义域的交集。
(3)复合函数的分解从外到内进行；复合时，则直接代入消去中间变量即可。 例5、设?))(()),((,2)(,)(2x f g x g f x g x x f x 求==
例6、指出下列函数由哪些基本初等函数（或简单函数）构成？ (1))ln(sin 2x y = (2) x e y 2-= (3) x y 2arctan 1+=
五、初等函数：由基本初等函数经有限次复合、四则运算而成的函数，且用一
1）一般分段函数都不是初等函数，但x y =是初等函数； （2）初等函数的一般形成方式：复合运算、四则运算。
1、 确定一个函数需要有哪几个基本要素？ [定义域、对应法则]
2、 思考函数的几种特性的几何意义？ [奇偶性、单调性、周期性、有界性]
3、任意两个函数是否都可以复合成一个复合函数？你是否可以用例子说明？[不能]
函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映；复合函数反映了事物联系的复杂性；分段函数反映事物联系的多样性。
第二讲 导数的概念（一）、极限与导数
一、理论基础——极 限（复习）
1、极限的概念（略讲函数在某点的极限定义）
2、极限的四则运算法则（略）
3、求函数的极限（几类函数的极限）
（1）若)(x f 为多项式，则)()(lim 00
x f x f x x =→
例1：求下列极限
(1))12(lim 21-+→x x x
(2) )12(lim 20-+→x x x (3) )12(lim 22-+→x x x
（2）若)()(x g x f 为有理分式且0)(0≠x g ,则)
()
()()(lim 000x g x f x g x f x x =→（代入法）
例2：求下列极限
(1) 121
lim 1-+→x x x (2) 3
22lim 220++-→x x x x (3) 11lim 21+-→x x x （3）若分式)()
(x g x f ,当0x x →时，0)()(00==x g x f ，则用约去零因子法求极限 例3：求下列极限
(1) 11
lim 21--→x x x (2) 138lim 1--+→x x x (3) 132lim 21--+→x x x x （4）若分式)()
(x g x f ,当∞→x 时，分子分母都是无穷大，则适用无穷小分出法求极限。
例4：求下列极限
(1) 121lim 22--∞→x x x (2) 1512lim 22--+∞→x x x x (3) 121lim 2--∞→x x x 3、两个重要极限
（1）1sin lim 0=→x
x
x （2）e x e x x x x x =+=+→∞→1
0)1(lim )11(lim 或 说明：其中x 可以是)(x u 的形式，且当0→x 时，0)(→x u 。
例5：求下列极限
(1)x x x 3sin lim 0→ (2) x x x 5sin 3sin lim 0→ (3) x x x 1
0)31(lim +→ (4) x
x x )31(lim +∞
→
二、导数定义（复习增量的概念）
引例1、速度问题（自由落体运动22
1
gt s =）
引例2、切线问题（曲线2
x y =）
以上两个事例具体含义各不相同，但从抽象的数量关系来看，都是要求函数y 关于自变量x 在某一点0x 处的变化率，即计算函数增量与自变量增量比值的极
就是函数的导数。 ?x ，求出函数在自变量这个小段内的平均变化率x
y y ??=，作为点0x 处变化率的近似值；
2、 对y 求?x →0的极限x
y x ???0lim →，若它存在，这个极限即为点0x 处变化率的
)(x f y =在0x 点及附近有定义，当x 在0x 点取得增量x ?时，相
应函数取得增量)()(00x f x x f y -?+=?，若当0→?x 时，比值x
y
??的极限存在，
则称此极限值为)(x f 在0x 处的导数或微商。记00)(x x dx
dy
x f ='或，即
x y
x
x f x x f x f x x ??=?-?+='→?→?00000lim
)()(lim )(
(1)比值x
y
??是函数)(x f 在],[00x x x ?+上的平均变化率；而)(0x f '是
)(x f 在0x 处的变化率，它反映函数在点0x 随自变量变化的快慢程度；
(2)若x y x ??→?0lim 不存在（包括∞），则称)(x f 在0x 点不可导；
(3)若)(x f 在（a,b)内每点可导，则称函数在（a,b ）内可导，记)(x f '，称 为导函数，简称导数。
(4)f '(x )是x 的函数，而f '(x 0)是一个数值，f (x )在点0x 处的导数f '(x 0)就是导函数f '(x )在点x 0处的函数值。 三、导数与极限的关系
导数是一种特殊（比值）的极限，即有导数- 有极限，反之不成立。 四、基本初等函数的导数（定义）
由定义知求函数导数的步骤：（三步骤） （1）求增量；（2）求比值；（3）求极限。 例6、由定义求函数C y =的导数？
例7、由定义求函数x y sin =的导数？（推导）
1、 x
x
x sin lim +∞→是否存在，为什么？[0]
2、若曲线y = 3x 在),(00y x 处切线斜率等于 3 ，求点),(00y x 的坐标。
3
、 已知x x cos )'(sin =，利用导数定义求极限x x x 1
)2π
sin(lim 0-+→。[0]
导数的本质从微观（局部）上研究非均匀量（如：速度、密度、电流、电压等）的变化率问题，是处理非均匀量的“除法”；其思想方法：(1)在小
范围内以“匀”代“不匀”或“不变”代“变”，获得近似值；(2)利用极限思想使“近似值”转化为“精确值”。从函数的观点看，导数是描述函数的局部线性形态，即可导函数表示的曲线在局部都可以近似为一条直线（切线），凭着切线的斜率，可以研究函数的整体性质（导数应用中的单调性、极值等）。
第三讲 导数的概念（二）
授课提要：
一、基本初等函数的导数
例1、求2x y =的导数？（由导数的定义推导）
于是我们有公式：x x x x C cos )(sin ;)(;0)(1='='='-ααα 同样，由定义可得基本初等函数的导数公式：
x x e e x
x x x ='='-=')(;1
)(ln ;sin )(cos
二、导数的运算法则（u,v 为可导函数） 1、代数和：v u v u '±'='±)( 2、数 乘： u k ku '=')( 例2、求下列函数的导数
(1) 1322-+=x x y (2) x
x y 1
2+= (3) 1sin 3-=x y (4) x x y 2=
例3、求函数在给定点的导数值？
(1) π==x x y ,tan (2) 1,232=++=x x e y x 三、导数的几何意义（作图说明）
结论：)(0x f '表示曲线y=f(x)在点（x 0,f(x 0)）的切线斜率。
例4、求曲线21
x
x y -=在点(1,0)处的切线方程？
例5、设f(x)为可导函数，且12)
1()1(lim 0=--→x
x f f x ，求曲线y=f(x)在点
（1,f(1)）处的切线斜率？ [导数定义及几何意义] 四、导数的物理意义
结论：设物体运动方程为)(t s S =，则)(t s '表示物体在时刻t 的瞬间速度。 例6、设物体的运动方程为322++=t t s ，求物体在时刻t=1时的速度？
例7、求曲线33
1
23---=x x x y 上一点，使过该点的切线平行于直线
022=+-y x 。[13-==x x 或]
例8、设某产品的成本满足函数关系：3)(2-+=x x x C (x 为产量)，求x=2时的边际成本，并说明其经济意义。
)('0x f 与)]'([0x f 有无区别？[0)()('0x x x f x f ='=，0)]'([0=x f ]
导数的美学意义：局部线性之美（)())(000x f x x x f y +-'=（
）。它将可导曲线在局部线性化，它是由函数局部性质研究函数整体性质的工具和方法。
第四讲 求导公式与求导法则（一）
授课提要：
一、基本导数公式
由导数的定义，我们可以得到如下基本导数公式：
x
x e e x x x C x x 1)(ln ;
)(;
)(;
1)(;
0)(1=
'='='='='-ααα x x x x x x x x 22csc )(cot ;
sec )(tan ;sin )(cos ;cos )(sin -='='-='='
二、导数的四则运算法则 设u 、v 为可导函数，则
1、()v u v u '±'='±
2、())0(≠'='
k u k ku
3、()v u v u uv '+'='
4、)0(2
≠'-'='
??
? ??v v v u v u v u 例1、求下列函数的导数
(1) 132
+-=x x y (2) x
x y 22-= (3) x e x y -=ln (4) x e y x cos =
例2、求函数在给定点的导数值？
(1) π==x x y ,tan (2) 1,232=++=x x e y x 例3、设222,ln x y y x x x y =-'=求证：
例4、已知曲线x x y ln =的切线与直线0322=++y x 垂直，求此切线方程？ 三、二阶导数
1、定义：若导函数)(x f '再求导数，称为)(x f 的二阶导数。记：)(x f ''
2、求法：由定义知，求二阶导数的方法与求一阶导数的方法一致。 例5、求下列二阶导数
(1) 132
+-=x x y (2) x
x y 21-= (3) x e x y +=ln (4)x xe y =
3、二阶导数的物理意义
设物体的运动规律为：)(t s s =，则)(t s ''表示物体在时刻t 的加速度。 例6、设物体的运动方程为：2233+-=t t s ，求t=2时的速度和加速度？
导数的物理意义更深层次反映了导数的本质：研究非匀速物体运动的变化率。)(t s '指路程对时间的变化率，)(t s ''指速度对时间的变化率。二阶导数的几何意义：反映曲线的凹向。
第五讲 求导法则（二）、连续与导数
授课提要：
一、复习基本导数公式和法则 举 例：（略）
（作图直观理解）
1设函数)(x f y =在x 0点及附近有定义，当0x x →时,有 )(0x f ，则称f(x)在x 0点连续。
连续是一种特殊的极限。连续 有极限，反之不成立。 x y =在x=0处连续？ 三、函数连续的条件
（１）f(x)在x 0点及附近有定义 （２）f(x)在x 0点的极限存在 （３）极限值等于函数值。
例2、讨论函数???<≥=0
,10
,2x x x y 在x=0处的连续性？
四、初等函数的连续性
初等函数在定义区间内都是连续的。其图像是一条连绵不断的曲线。
五、可导与连续
1、可导与连续的图象特征
（1）连续函数的图像是一条连绵不断的曲线。（作图示例）
（2）可导函数的图像不仅连绵不断，并且曲线具有平滑性（无尖点、折点） 2、可导与连续的关系
定理：若函数f(x)在x 0点可导，则f(x)在点x 0连续；反之，结论不成立。 例3、试证函数x y sin =在x=0点连续但不可导。
例4、试证函数32x y =在x=0点连续但不可导,但切线存在。
3、极限、连续、可导之间的关系
可导→连续→有极限；反之不一定成立。如???<≥=0
,10
,)(2x x x x f 在x=0处。
六、连续函数的极限
若f(x)在x 0点连续，则)()(lim 00
x f x f x x =→
例5、求下列极限
（1）2
1
lim x x → (2)x x cos lim π
→ （3） x x x )1ln(lim 0
+→ (4) 24lim
0-+→x x x
例6、讨论???
??≥+<-=0
,10,cos 1)(22x x x x x
x f 在x=0处的连续性？
)(x f 在0x 处连续，问|)(x f |在0x 处是否连续？ [连续]
2． 如果)(x f 在0x 处可导，问|)(x f |在0x 处是否可导？ [不一定]
3．求函数x
x x x f )1(1
)(2--=的间断点，并判断其类型。
连续函数的美学意义：和谐与奇异之美。连续体现的是自然和谐、社会发展的生生不息；间断则表现为不规则和与众不同，体现了自然界的丰富多彩和社会发展中的跳跃性。
第六讲 定积分的概念
一、问题引入
1、曲边梯形的定义
所谓曲边梯形是指有三条直线段，其中两条相互平行，第三条与这两条相互垂直，第四条边为一条连续曲线所围成的四边形。（如图所示）
2、引 例：如何求曲线0,1,0,2====y x x x
y 所围成的面积？(特殊曲边梯形) （1）分析问题
|
若将曲边梯形与矩形比较，差异在于矩形的四边都是直的，而曲边梯形有一
似值越接近准确值，通过求小矩形面积之和的极限，就求得了曲边梯形得面积。
（2）解决问题（思路）
第一步：分割
第二步：近似代替 第三步：求和 第四步：取极限 二、定积分的定义
现实中许多实例，尽管实际意义不同，但解决问题的方法是一样的：按“分割取近似，求和取极限”的方法，将所求的量归结为一个和式极限。我们称这种“和式极限”为函数的定积分。
定 义：i n
i i n b
a
x f dx x f ?=∑?=∞
→)(lim )(1
ξ （说明定积分中各符号的称谓）
由定积分的定义知，以上实例可以表示成定积分：面积?=1
2dx x A
常量
，它只与被积函数[a,b]
三、定积分的几何意义当函数f(x)在[a,b]1、若在[a,b]上，0)(≥x f ，则定积分表示由曲线f(x)，直线x=a,x=b,y=0所围成的曲边梯形的面积A ，即A dx x f b
a =?)(
2、若在[a,b]上，0)(≤x f ，则定积分表示由曲线f(x)，直线x=a,x=b,y=0所围成的曲边梯形的面积A 的相反数，即A dx x f b
a -=?)(
3、若在[a,b]上，f(x)可正可负，则定积分表示x 轴上方图形的面积A 1与下方图形的面积A 2之差，即21)(A A dx x f b
a -=?
结论：定积分的几何意义：“有号面积”， 即?=b
a dx x f A )(。 例1、用定积分几何意义判定下列积分的正负： （1）?2
0dx e x （2）?-
2
sin π
xdx
例2、用定积分表示由曲线y=x 2+1,直线x=1,x=3和y=0所围成的图形面积？
x
四、定积分的性质（简略）
（1）0)(=?a
a
dx x f （2）??-=a
b
b
a
dx x f dx x f )()( （3）a b dx b
a
-=?
（4）积分中值定理：
设函数f (x )在以a ，b 为上下限的积分区间上连续，则在a ，b 之间至少存在
一个ξ（中值），使 ?b
a dx x f )(=f (ξ)(
b －a )
积分中值定理有以下的几何解释：若f (x )在[a ，b ]上连
续且非负，定理表明在[a ，b ]上至少存在一点ξ，使得以 [a ，b ]为底边、曲线y =f (x )为曲边的曲边梯形的面积，与同 底、高为f (ξ)的矩形的面积相等，如图所示．因此从几何角 度看，
f (ξ)可以看作曲边梯形的曲顶的平均高度；从函数值 角度上看，f (ξ)理所当然地应该是f (x )在[a ，b ]上的平均值． 平均值问题．
1、 用定积分的定义计算定积分?b a
x c d ,其中c 为一定常数。[矩形的面积] 2、 如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义求下列积分的值：
（1）
?
-x x d 1
1, （2）?--x x R R R d 22, （3）?x x d cos 02π, （4）?-x x d 1
1
.
定积分的本质：从宏观（整体）研究非均匀量的“改变量”问题。是处理非均匀量的“乘法”；其思想方法：(1)在小范围内以“不变”代“变”，获得近似值；(2)利用极限思想使“近似值”转化为“精确值”。其中，“分”是为了“匀”的需要，而“求和”是整体量的要求。
第七讲 定积分与导数
授课提要：
前 言：定积分是一个重要的概念，如果用定义来计算，计算复杂且不易，所以必须寻找新的计算方法。下面将研究定积分与导数的关系。
一、原函数的概念
定 义：若在某一区间上有)()(x f x F ='，则称F(x)是f(x)的一个原函数。 如：已知x x 2)(2='，所以2x 是2x 的一个原函数，同理，12+x 也是它的原函数。（说明：原函数不唯一）
*二、变上限函数
设函数f(x)在[a,b]上连续，且],[b a x ∈，则称函数?x
a
dt t f )(为变上限函数。记
?=x
a
dt t f x p )()(。它有如下性质：
(1)?==b
a
dt t f b p a p )()(,0)(；
(2)若)(x f 在[a,b]上连续，则)(x p 在[a,b]上可导，且有)()(x f x p ='。 由性质(2)及原函数的定义知，p(x)是f(x)的一个原函数。
定 理（原函数存在定理）若f(x)在[a,b]上连续，则其原函数一定存在，且原函数可表示为?=x
a dt t f x F )()(
例1、求)cos (02tdt dx d x ? ？ 例2、求20
0sin lim x tdt x
x ?→ ？ 三、N －L 公式（直观推导）
设一辆汽车作变速直线运动（如图），从时刻a 到b ，求其经过的路程？ （1）若已知路程函数)(t s s =，则)()(a s b s s -=；
（2）若已知速度函数)(t v v =，则由定积分有)()()(a s b s dt t v s b
a
-==?；
（3）s(t)与v(t)有如下关系：)()(t v t s ='，即s(t)是v(t)的一个原函数。
一般地，有如下定理：
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，F(x)是f(x)的一个原函数，则
)()()(a F b F dx x f b
a
-=?
(1)N －L 公式揭示了定积分与原函数（不定积分）间的联系，给
定积分的计算提供了有效而简便的方法。
(2)由定义知求定积分的步骤：①求原函数 ②求原函数的增量 例3、求下列定积分：
（1）?102dx x （2）?π0sin xdx （3）?+212)13(dx x
x 例4、求由曲线x y sin =，直线x=0，x=π，y=0所围成的图形面积？ 例5、求曲线0,2,1,12===+=y x x x y 所围成的平面图形的面积？ 例6、设物体的速度t v sin 2=
，求时段],0[π的距离？
1、 ='?)d sin (d 1
x
t t t ?
答：因为?x t t 1d sin 是以x 为自变量的函数，故?x
t t t 1
d sin d d =0.
2、 ?)d )((2
1
='?x x f
答：因为?21
d )(x x f 是常数，故0)d )((2
1
='?x x f .
3、
=?b
a
x x f x d )(d d ？ 答：因为?b a
x x f d )(的结果中不含x ，故
=?b
a
x x f x d )(d d 0. 4、
=?x a x t x
d cos d d 2
？ 答：由变上限定积分求导公式，知=?x
a
x t x d cos d d 22cos x .
N —L 公式的意义：将矛盾的“微分”与“积分”统一起来，是哲学中的“对立统一”规律的具体表现，是微观与宏观的辨证统一。其美学价值：宏观上的统一之美。
第八讲 习题课（导数与定积分）
一、基本概念及方法：
1、极限的概念，求极限的方法；
2、导数的概念，导数公式及运算法则
3、导数的几何、物理及经济意义
4、定积分的概念，定积分的几何、物理意义（经济意义）
5、用N-L 公式求定积分 二、基本题型： 1、求下列极限
（1）x x x x 21lim 21-+→ （2）132lim 21--+→x x x x （3）2
221lim x x x x -+∞→ （4）x x
x 23sin lim
0→ 2、求下列导数
（1）222+-=x x y （2）x e y x cos 2-= （3）x x x
y sin ln 1
++=
3、求下列导数
（1）242--=x x y （2）x x y ln sin 2-= （3）2)1
(x
x y -=
4、求下列积分
（1）?-21)12(dx x （2）?-π0)1sin 2(dx x （3）dx x
?2122
5、求曲线13+=x y 在点（1，2）处的切线方程？
6、求323+-=t t S 在t=2时的速度？
7、设某产品的成本函数13
1
)(3-+=x x x C ，求其边际成本？
8、求曲线0,2,0,12===+=y x x x y 所围成的图形的面积？
9、已知物体的速度为t t v cos 2)(=，求时段]2
,0[π
经过的路程？
10、设?)(,1
,21
,)(20
2???>≤=?dx x f x x x x x f 求 [可加性]
11、设f(x)在[a,b]上连续，则曲线y=f(x)，直线x=a ，x=b 及y=0所围成的曲边梯形的面积为 。[?b
a dx x f )(]
三、提示与提高：
1、无穷小的定义与性质
定 义：若)0)(lim (0)(lim 0
==∞
→→x x x x x αα,则称)()(0∞→→x x x x 当α时为无穷小。
性 质：有界函数与无穷小的乘积为无穷小。
例1、求极限x x x sin lim 0→，x
x
x sin lim ∞→？
2、无穷小的比较：（略）
当0→x 时，有1),1ln(,arctan ,arcsin ,tan ,sin -+x e x x x x x x 与等价；
当0→x 时，等价与等价与nx nx ax ax n n
cos 12
)(;
1112--+； 例2、当0→x 时，比较22
1
cos 1x x 与-的阶？
3、闭区间上连续函数的性质
（1）有界定理；（2）最值定理；（3）零点定理；（4）介值定理
例3、设f(x)在[0，2]上连续，且f(0)=f(2),证明方程)1()(+=x f x f 在[0，1]上至少有一实根。
4、函数间断点的分类（略）
5、定积分的性质
（1）0)(=?a a
dx x f ；??-=a
b
b a
dx x f dx x f )()(
（2）若在[a,b]上有)()(x g x f ≥，则??≥b
a
b a
dx x g dx x f )()(
特别地，若在[a,b]上有0)(≥x f ，则0)(≥?b
a
dx x f
（3）对任意实数C 有???+=b
c
c a
b a
dx x f dx x f dx x f )()()(
（4）设函数f(x)在[a,b]上的最大、最小值分别为M 、m ，则有 )()()(a b M dx x f a b m b
a -≤≤-?
（5）设f(x)在[a,b]上连续，则其在[a,b]上的平均值
?-=b
a dx x f a
b y )(1 例3、比较大小：?1
2dx x 与?1
3dx x
例4、求定积分：?20
)(dx x f ，其中???<≥=1
,11,2)(x x x x f
例5、求x x x f 23)(2-=在区间[1,3]上的平均值？
第九讲 求导法则（三）、复合函数求导（一）
一、复习基本初等函数的导数公式（重点） 二、复习导数四则运算法则（重点）
设u(x),v(x)为可导函数，则
(1) v u v u '±'='±)( (2) v u v u uv '+'=')( (3) 2
)(v
v u v u v u '
-'=' 例1、求下列函数的导数
(1) 1322-+=x x y (2) x x x y ln 12++= (3) x x y ln = (4) 1
1
+-=x x y
例2、求x y tan =的导数？（由商的导数公式推导） 于是有 x x 2sec )(tan ='
同理： x x x x x x x x cot csc )(csc ;tan sec )(sec ;csc )(cot 2-='='-='
例3、求函数2
cos 1sin π
=+=x x x y 在处的导数值？
例4、求过点（1，2）且与曲线22x x y -=相切的直线方程？
从外向内分解，分解至基本初等函数或简单函数即可
（1）3)12(-=x y （2）)12sin(-=x y （3）))12ln(ln(-=x y 四、复合函数的求导法则
设)]([x u f y =是关于x 的复合函数，则
)()(x u u f y dx
du
du dy dx dy x ''='?=或
1）求复合函数的导数，首先分清楚函数的复合结构，求出每一层次简单函数的导数，再使用连锁法则，就得到复合函数的导数； （2）复合函数的分解一般按由外向内的顺序进行。 例6、求下列导数（先分解后求导） (1) x y 3sin = (2) 3)12(+=x y (3) 12
+=x e y (4) 122+=x e x y
例7、设)(x f y =在0x 可导，且2)(0='x f ，记)()(0at x f t +=?，其中a 为 常数，求)0(?'？
例8、设)1(,)3(lim )(2f x
t x t t f x
x '+=∞→求？ [5e]
1、设x x y =，求y '？[利用指数恒等式：x e x ln =]
2、 设,sin ),(2x u u f y ==求x y
d d ？[)(sin cos 2d d 22x f x x x y '= ]
掌握复合函数求导的连锁法则；对复合函数求导明确：（1）熟练基本导数公式；（2）恰当分解复合函数；（3）正确使用“连锁法则”。
第十讲 复合函数（二）、高阶导数
授课提要：
一、复习复合函数求导（dx
du
du dy dx dy x g u f y *
=''='或)()(） 例1、求下列函数的导数
（1）)1ln(2++=x x y （2）)2ln(ln x y = （3）5)2cos (x x y +=
例2、设x x f x f y 2)(),(sin ='=，求dx
dy
？ [x 2sin ]
例3、设?)(ln )(dx
dy
e x
f y x f ，求= [略]
例4、设dx
dy
x f y x x f 求),(cos ,1)(=='？[x tan -]
二、高阶导数的概念
y=f(x)的n-1阶导数的导数称为函数的n 阶导数。
(1)2ln ++=x e y x (2) x x y 3sin 2= (3) x x y ln =
授课题目§9.1二重积分的概念与性质 课时安排2教学目的、要求：1．熟悉二重积分的概念，了解二重积分的性质；2.了解二重积分的几何意义。教学重点、难点：二重积分的几何意义教学内容 一、二重积分的概念1．引例与二重积分定义引例：（1）.曲顶柱体的体积。（2）已知平面薄板质量（或电荷）面密度的分布时。求总质量（或电荷）。2．二重积分的几何意义 二、二重积分的性质性质1、 ，为非零常数；(,)(,)D D kf x y d k f x y d σσ=????k 性质2、；{(,)(,)}D f x y g x y d σ±??(,)(,)D D f x y d g x y d σσ=±????性质3、若，且（除边沿部分外），则12D D D =+12D D φ= 12(,)(,)(,)D D D f x y d f x y d f x y d σσσ=+?? ????性质4、若，，则：；(,)(,)f x y g x y ≥(,)x y D ∈(,)(,)D D f x y d g x y d σσ≥????性质5、估值定理性质6、（中值定理）设在上连续，则在上至少存在一点，使),(y x f D D ),(ηξA f d y x f D ?ηξ=σ??),(),(三、例题 例1 设是由与所围的区域，则D 24x y -=0=y =σ??D d π2例2 求在区域：上的平均值222),(y x R y x f --=D 222R y x ≤+讨论、思考题、作业：思考题：1.将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.2.估计积分的值,其中是圆形区域: .??++=D d y x I σ)94(22D 422≤+y x 习题9-1 P79 4(1),(3),5（1）（3）授课类型： 理论课教学方式：讲授教学资源：多媒体 填表说明：每项页面大小可自行调整。、管路敷设技术通过管线敷设技术，不仅可以解决吊顶层配置不规范问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。
高等数学教案 一、课程的性质与任务 高等数学是计算机科学与技术；信息管理与信息系统两个专业的一门重要的基础理论课，通过本课程的学习，也是该专业的核心课程。要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”，“微积分”，“常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运算；同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。 第一章：函数与极限 教学目的与要求18学时 1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4.掌握基本初等函数的性质及其图形。 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6.掌握极限的性质及四则运算法则。 7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 第一节：映射与函数 一、集合 1、集合概念 word
word 具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素 表示方法：用A ，B ，C ，D 表示集合；用a ，b ，c ，d 表示集合中的元素 1)},,,{321 a a a A = 2)}{P x x A 的性质= 元素与集合的关系：A a ? A a ∈ 一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。 常见的数集：N ，Z ，Q ，R ，N + 元素与集合的关系： A 、B 是两个集合，如果集合A 的元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集，记作B A ?。 如果集合A 与集合B 互为子集，则称A 与B 相等，记作B A = 若作B A ?且B A ≠则称A 是B 的真子集。 空集φ： A ?φ 2、 集合的运算 并集B A ? ：}A x |{x B A B x ∈∈=?或 交集B A ? ：}A x |{x B A B x ∈∈=?且 差集 B A \：}|{\B x A x x B A ?∈=且 全集I 、E 补集C A ： 集合的并、交、余运算满足下列法则：
《高等数学》授课教案 第一讲高等数学学习介绍、函数 了解新数学认识观，掌握基本初等函数的图像及性质；熟练复合函 数的分解。 >函数概念、性质（分段函数）—>基本初等函数—> >初等函数—>例子（定义域、函数的分解与复合、分段函数的图像） 授课提要： 前言：本讲首先是《高等数学》的学习介绍，其次是对中学学过的函数进行复习总结（函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映。高等数学主要以函数作为研究对象，因此必须对函数的概念、图像及性质有深刻的理解）。 一、新教程序言 1、为什么要重视数学学习 （1）文化基础——数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量； （2）开发大脑——数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面的作用； （3）知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一种能力和技术； （4）智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续发展的动力。 2、对数学的新认识 （1）新数学观——数学是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学提供思想和方法，是推动人类进步的重要力量； （2）新数学教育观——数学教育（学习）的目的：数学精神和数学思想方法，培养人的科学文化素质，包括发展人的思维能力和创新能力。 （3）新数学素质教育观——数学教育（学习）的意义：通过“数学素质”而培养人的“一般素质”。[见教材“序言”] 二、函数概念
1、函数定义：变量间的一种对应关系（单值对应）。 （用变化的观点定义函数），记：)(x f y =（说明表达式的含义） (1)定义域：自变量的取值集合（D ）。 (2)值 域：函数值的集合，即}),({D x x f y y ∈=。 例1、求函数)1ln(2x y -=的定义域？ 2、函数的图像：设函数)(x f y =的定义域为D ，则点集}),(),{(D x x f y y x ∈= 就构成函数的图像。 例如：熟悉基本初等函数的图像。 3、分段函数：对自变量的不同取值围，函数用不同的表达式。 例如：符号函数、狄立克莱函数、取整函数等。 分段函数的定义域：不同自变量取值围的并集。 例2、作函数???≥<=0,20 ,)(2x x x x x f 的图像？ 例3、求函数???-<≥=?)1(),0(),1(0 10 )(2f f f x x x x f 的定义域及函数值，， 四：设y=f(u),u=g(x)，且与x 对应的u 使y=f(u)有意义，则y=f[g(x)]是x 的复合函数，u 称为中间变量。 (1)并非任意几个函数都能构成复合函数。 如：2,ln x u u y -==就不能构成复合函数。 (2)复合函数的定义域：各个复合体定义域的交集。 (3)复合函数的分解从外到进行；复合时，则直接代入消去中间变量即可。 例5、设?))(()),((,2)(,)(2x f g x g f x g x x f x 求== 例6、指出下列函数由哪些基本初等函数（或简单函数）构成？ (1))ln(sin 2x y = (2) x e y 2-= (3) x y 2arctan 1+= 五、初等函数：由基本初等函数经有限次复合、四则运算而成的函数，且用一 1）一般分段函数都不是初等函数，但x y =是初等函数； （2）初等函数的一般形成方式：复合运算、四则运算。 1、 确定一个函数需要有哪几个基本要素？ [定义域、对应法则]
_____________高等数学_______________课程教案 授课类型 理 论 课 授课时间 2 节 授课题目（教学章节或主题）： 第九章 重积分 第一节 二重积分的概念与性质 本授课单元教学目标或要求： 理解二重积分的概念及几何意义，了解二重积分的性质，知道二重积分中值定理。 本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容： 一、二重积分的概念 1、曲顶柱体的体积 2、平面薄片的质量 3、二重积分的定义 ()()∑??=→?=n i i i i D f d y x f 1 ,lim ,σηξσλ 几何意义：若()0,≥y x f ,二重积分表示以()y x f z ,=为顶,以D 为底的曲顶柱体的体积。如果()y x f ,是负的，柱体就在xoy 面的下方，二重积分的绝对值仍等于柱体的体积，但二重积分的值是负的。如果()y x f ,在D 的若干部分区域上是正的，而在其他的部分区域上是负的，我们可以把xoy 面上方的柱体体积取成正，xoy 下方的柱体体积取成负，则()y x f ,在D 上的二重积分就等于这些部分区域上的柱体体积的代数和。 二、二重积分的性质 1、【线性性】 [(,)(,)](,)(,)]αβσασβσ ?+?=?+???????f x y g x y d f x y d g x y d D D D 其中:α β,是常数。 2、【对区域的可加性】若区域D 分为两个部分区域1D 与2D ,则 f x y d f x y d f x y d D D D (,)(,)(,)σσσ =+??????2 1 3、若在D 上, ()1,=y x f ,σ为区域D 的面积,则： σσσ ==????1d d D D 几何意义: 高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。
高等数学教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高等数学教案
教 学 过 程 §1 函数 一、 集合与区间 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A , B , C ….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a 是集合M 的元素表示为a M . 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A {a , b , c , d , e , f , g }. 描述法: 若集合M 是由元素具有某种性质P 的元素x 的全体所组成, 则M 可表示为 A {a 1, a 2, , a n }, M {x | x 具有性质P }. 例如M {(x , y )| x , y 为实数, x 2y 21}. 几个数集: N 表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集. N {0, 1, 2, , n , }. N {1, 2, , n , }. R 表示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z 表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z {, n , , 2, 1, 0, 1, 2, , n , }. Q 表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. },|{互质与且q p q Z p q p +∈∈=N Q 子集: 若x A , 则必有x B , 则称A 是B 的子集, 记为A B (读作A 包含于B )或B A . 如果集合A 与集合B 互为子集, A B 且B A , 则称集合A 与集合B 相等, 记作A B . 若A B 且A B , 则称A 是B 的真子集, 记作A ≠?B . 例如, N ≠?Z ≠?Q ≠?R. 不含任何元素的集合称为空集, 记作. 规定空集是任何集合的子集. 2. 集合的运算 设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 或者属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集(简称并), 记作A B , 即 A B {x |x A 或x B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有既属于A 又属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集(简称交), 记作A B , 即 A B {x |x A 且x B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 而不属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的差集(简称差), 记作A \B , 即 A \ B {x |x A 且x B }. 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I 中进行, 所研究的其他集合A 都是I 的子集. 此时, 我们称集合I 为全集或基本集. 称I\A 为A 的余集或补集, 记作A C . 集合运算的法则: 设A 、B 、C 为任意三个集合, 则 (1)交换律A B B A , A B B A ; (2)结合律 (A B )C A (B C ), (A B )C A (B C );
高等数学A2 课程教学大纲 课程编号：10009B6 学时：90 学分：5 适用对象：理学类、工科类本科专业 先修课程：高等数学A1 考核要求：闭卷考试，总成绩=平时成绩20%+期末成绩80% 使用教材及主要参考书： 同济大学数学系主编，《高等数学》（下册），高等教育出版社，2002 年, 第五版 黄立宏主编，《高等数学》（上下册），复旦大学出版社，2006 年陈兰祥主编，《高等数学典型题精解》，学苑出版社，2001 年陈文灯主编，《考研数学复习指南（理工类）》，世界图书版公司2006年李远东、刘庆珍编，《高等数学的基本理论与方法》，重庆大学出版社，1995年 钱吉林主编，《高等数学辞典》，华中师范大学出版社，1999 年一、课程的性质和任务 高等数学课程是高等学校理工科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，为学习后继课程（如大学物理等）奠定必要的基础，是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量、高素质专门人才服务的。二、教学目的与要求 通过本课程的学习，使学生获得向量代数和空间解析几何、多元函数微分学、多元函数积分学、无穷级数（包括傅立叶级数）等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能。 在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问 题的能力。 三、学时分配
第八章多元函数微分法及其应用18 第九章重积分16 第十章曲线积分与曲面积分16 第十一章无穷级数18 总复习 6 四、教学中应注意的问题 1. 考虑学生的差异性，注意因材施教； 2. 考虑数学学科的抽象性，注意数形结合； 3. 考虑数学与现实生活的关系，注意在教学中多讲身边的数学, 使学生树立“学数学是为了用数学”的观点，培养学生“用数学”的好习惯。 五、教学内容 第七章：空间解析几何与向量代数 1 ?基本内容： 向量及其线性运算，数量积，向量积，曲面及其方程，空间曲线及其方程，平面及其方程，空间直线及其方程。 2 ?教学基本要求： (1)理解空间直角坐标系、理解向量的概念及其表示； (2)掌握向量的运算(线性运算、点乘法、叉乘法、)了解两个向量垂直、平行的条件； (3)掌握单位向量，方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法； (4)平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题 (5)理解曲面的方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程； (6)了解空间曲线的参数方程和一般方程； (7)了解曲面的交线在坐标平面上的投影。 3 ?教学重点与难点: 教学重点：向量的运算（线性运算、点乘法、叉乘法），两个向量垂直、平行的条件，向量方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算，平面的方程和直线的方程及其求法，曲面方程的
同济大学《高等数学》 授课教案 2015年3月2日（修改稿）
第一讲高等数学学习介绍、函数 了解新数学认识观，掌握基本初等函数的图像及性质；熟练复合函 数的分解。 >函数概念、性质（分段函数）—>基本初等函数—> >初等函数—>例子（定义域、函数的分解与复合、分段函数的图像） 授课提要： 前言：本讲首先是《高等数学》的学习介绍，其次是对中学学过的函数进行复习总结（函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映。高等数学主要以函数作为研究对象，因此必须对函数的概念、图像及性质有深刻的理解）。 一、新教程序言 1、为什么要重视数学学习 （1）文化基础——数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量； （2）开发大脑——数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面的作用； （3）知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一种能力和技术； （4）智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续发展的动力。 2、对数学的新认识 （1）新数学观——数学是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学提供思想和方法，是推动人类进步的重要力量； （2）新数学教育观——数学教育（学习）的目的：数学精神和数学思想方法，培养人的科学文化素质，包括发展人的思维能力和创新能力。 （3）新数学素质教育观——数学教育（学习）的意义：通过“数学素质”而培养人的“一般素质”。[见教材“序言”] 二、函数概念 1、函数定义：变量间的一种对应关系（单值对应）。 （用变化的观点定义函数），记：) y （说明表达式的含义） (x f
《高等数学》课程教学大纲 授课专业：通信工程专业学时：136学时学分：8学分开课学期：第1、第2学期 适用对象：通信工程专业学生 一、课程性质与任务 本课程是理、工类专业的专业基础课，通过本课程的学习，要使学生掌握微积分学的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力。 二、课程教学的基本要求 通过本课程的学习，学生基本了解微积分学的基础理论；充分理解微积分学的背景思想及数学思想。掌握微积分学的基本方法、手段、技巧，并具备一定的分析论证能力和较强的运算能力。能较熟练地应用微积分学的思想方法解决应用问题。 三、课程教学内容 高等数学（上） 第一章函数、极限与连续（10学时） 第二章导数和微分（12学时） 第三章微分中值定理与导数的应用（12学时） 第四章函数的积分（16学时） 第五章定积分的应用（8学时） 第六章无穷级数（10学时） 高等数学（下） 第七章向量与空间解析几何（6学时） 第八章多元函数微分学（14学时） 第九章多元函数微分学的应用（10学时） 第十章多元函数积分学（I）（16学时） 第十一章多元函数积分学（II）（10学时） 第十二章常微分方程（12学时） 四、教学重点、难点 重点：极限的概念与性质；函数连续性的概念与性质；闭区间上连续函数的性质；微分中值定理与应用；用导数研究函数的性质；不定积分、定积分的计算；微积分学基本定理；正项级数敛散性的判定；幂级数的收敛定理；二元函数全微分的概念及性质；计算多元复合函数的偏导数与微分；隐函数定理及应用；重积分、曲线积分与曲面积分的计算；曲线积分与路径的无关性。 难点：极限的概念与理论；微分中值定理的应用；一元函数的泰勒定理；二元函数的极限；计算多元复合函数的偏导数与微分；对坐标的曲面积分的概念及计算；高斯公式；斯托克斯公式。 五、教学时数分配：教学时数136学时，其中理论讲授136学时，实践教学0学时。（具体安排见附表） 六、教学方式： 本课程的特点是理论性强，思想性强，与相关基础课及专业课联系较多，教学中应注重启发引导学生掌握重要概念的背景思想，理解重要概念的思想本质，避免学生死记硬背。要善于将有关学科或生活中常遇到的名词概念与微积分学的概念结合起来，使学生体会到学习
第一章：函数、极限与连续 教学目的与要求 1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4.掌握基本初等函数的性质及其图形。 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6.掌握极限的性质及四则运算法则。 7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 所需学时：18学时（包括：6学时讲授与2学时习题） 第一节：集合与函数 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A 中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。
《高等数学A》课程教学大纲 课程编号：GE03025，GE03026 课程名称：高等数学A 英文名称：Advanced Mathematics 学时：课堂讲授160 （小班讨论 32） 学分：10 适用专业：全校理工学科（非数学类）各专业 课程类别：理工学科通识教育平台A组课程 先修课程：初等数学 一、课程的性质及教学目标 高等数学课程是理工类学科各专业一门必修的重要的基础理论课程，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量人才服务的。通过本课程的学习，要使学生获得： 1．函数、极限、连续； 2．一元函数微积分学； 3．向量代数和空间解析几何； 4．多元函数微积分学； 5．无穷级数（包括傅里叶级数）； 6．常微分方程 等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。
在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。 二、课程的教学内容及基本要求 教学基本要求的高低用不同的词汇加以区分，对概念、理论从高到低用“理解”、“了解”、“知道”三级区分，对运算、方法从高到低用“熟练掌握”、 “掌握”、“会”或“能”三级区分。“熟悉”一词相当于“理解”并“熟练掌握”。 （一）函数、极限、连续 1．理解函数的概念。 2．了解函数的单调性、有界性、奇偶性和周期性。 3．了解反函数和复合函数的概念。 4．熟悉基本初等函数的性质及其图形。 5．能列简单实际问题中的函数关系。 6．了解极限的N -ε、δε-定义（对于给出ε求N 或δ不作过高要求），并能在学习过程中逐步加深对极限思想的理解。 7．掌握极限四则运算法则。 8．了解两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。 9．了解无穷小、无穷大的概念。掌握无穷小的比较。 10．理解函数在一点连续的概念，会判断间断点的类型。 11．了解初等函数的连续性。知道在闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大值最小值定理）。 （二）一元函数微分学
《高等数学》教学大纲 （2010年3月讨论稿） 全院专升本各专业适用 一、课程的性质与任务 《高等数学》课程，是成人高等教育本科各专业教学计划中的一门必修基础理论课，它不仅为专业计划中多门后继课程提供必要的数学基础，而且也是为提高学生科学素养而设置的课程。 通过本课程的学习，要使学生获得《高等数学》中的基本概念、基本理论和基本方法。要通过各个教学环节，逐步培养学生具备较熟练的运算能力和运用数学方法处理问题的初步能力。同时，在抽象思维和逻辑推理方面也有一定的提高，以提升学生的数学素质，使自学能力提高一个层次，为以后深造打下坚实的基础。 二、本课程的基本要求与重点 专升本数学教学是比较特殊的一种教学形式，因学生是专科毕业生，已初步获得一元微积分的基本知识。因此，根据成人高等教育以培养应用型人才的目标，按基础理论教材“必需、够用”的原则，本课程的基本要求： 1.加深掌握一元函数微分和积分两大基本数学方法的理解和应用； 2.获得多元函数微积分、常微分方程和无穷级数的系统的基本知识、基本理论和基本方法。 本课程的重点为：微分方程、二元函数微分学、二重积分、曲线积分和无穷级数。（说明：曲线积分和无穷级数经管类不作要求） 三、课程内容和考核要求 第一章函数、极限与连续性 （一）课程内容 1.初等函数与非初等函数； 2.函数的特性； 3.数列的极限； 4.函数的极限； 5.极限的运算法则； 6.两个重要极限； 7.无穷小量及其性质和无穷大量； 8.无穷小量的比较； 9.函数的连续性概念和连续函数的运算； 10.函数的间断点； 11.闭区间上连续函数的性质。 （二）考核要求 1.掌握求函数的定义域和函数值，理解函数记号的运用。 2.了解函数与其图形之间的关系，掌握画常用的简单的函数图像。
高等数学教案
第十章重积分 §10-1 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 （一）引例 1. 曲顶柱体的体积 设有一空间立体 ,它的底是xoy面上的有界区域D,它的侧面是以D的边界曲线为准
线,而母线平行于z轴的柱面,它的顶是曲面(.) z f x y =。 当(,) x y D ∈时,(,) f x y在D上连续且(,)0 f x y≥,以后称这种立体为曲顶柱体。 曲顶柱体的体积V可以这样来计算: (1) 用任意一组曲线网将区域D分成n个小区域1σ ?， 2 σ ?，， n σ ?，以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体Ω分划成n个小曲 顶柱体 1 ?Ω， 2 ?Ω，， n ?Ω。 （假设 i σ ?所对应的小曲顶柱体为 i ?Ω,这里 i σ ?既代表第i个小区域,又表示它的面积值, i ?Ω既代表第i个小曲顶柱体,又代表它的体积值。) 图10-1-1 从而 1 n i i V = =?Ω ∑ (将Ω化整为零) (2) 由于(,) f x y连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是 ?Ω?? i i i i i i i f ≈?∈ ()() () ξησξησ (以不变之高代替变高, 求 i ?Ω的近似值) (3) 整个曲顶柱体的体积近似值为 V f i i i i n ≈ = ∑() ξησ ? 1 (4) 为得到V的精确值,只需让这n个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我
们引入区域直径的概念: 一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。 所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。 设n个小区域直径中的最大者为λ, 则 V f n i i i i = →= ∑ lim() , λ ξησ 01 ? 2.平面薄片的质量 设有一平面薄片占有xoy面上的区域D, 它在() ,x y处的面密度为() ,x y ρ,这里(),0 x y ρ≥,而且(),x y ρ在D上连续,现计算该平面薄片的质量M。 图10-1-2 将D分成n个小区域1σ ?， 2 σ ?，， n σ ?，用 i λ记 i σ ?的直径, i σ ?既代表第i个小区域又代表它的面积。 当{} 1 max i i n λλ ≤≤ =很小时, 由于(),x y ρ连续, 每小片区域的质量可近似地看作是均匀的, 那么第i小块区域的近似质量可取为 ρξησξησ (,)(,) i i i i i i ?? ?∈ 于是∑ = ? ≈ n i i i i M 1 ) , (σ η ξ ρ M i i i i n = →= ∑ lim(,) λ ρξησ 01 ? 两种实际意义完全不同的问题, 最终都归结同一形式的极限问题。因此,有必要撇开这类极限问题的实际背景, 给出一个更广泛、更抽象的数学概念,即二重积分。 （二）二重积分的定义
《高等数学》说课稿 一、课程分析 1、地位和作用 本课程是通信工程、应用电子工程专业学生专业基础课。根据学生学习的特点，循序渐进，深入浅出，注重工科所需数学知识点的方法的讲解和技能的传授，同时注重教材的实用性，力求适应当前本系工科学生。本教材主要内容包括常系数微分方程、级数、线性代数、概率论。本课程的任务为学生后继课程学习做铺垫，是专业课学习的工具，为培养高技能型人才打下良好的基础。 2、教学目标 （一）知识目标 通过本课程的学习，使学生掌握常微分方程、线性代数、概率统计的基础知识和运算。为学生从事相关工作打下必要的数学基础（二）能力目标 从培养应用型人才的角度来更新教学内容和改革教学体系，高等数学课程不仅要教学生一些数学工具，它更是培养学生的数学思维，数学素质，使学生具有抽象概括能力，逻辑思维能力。 （三）素质目标 培养独立素质和团队协作的素质。 二、课程设计 1、课程设计理念 根据学生的基础和专业需要，我们将高等数学课程的内容进行
合理切割，并对学生的特点加以优化处理和整合，形成三个模块：基础模块，应用模块和提高模块。 2、重点难点 常微分方程：可分离变量的微分方程、常数变易法、二阶微分方程'' ＝的求解、二阶常系数线性齐次微 f y y f x y y(,') ＝，''y(,') 分方程的通解。 无穷级数：级数的概念和性质，数项级数收敛性的判定，幂级数 线性代数：行列式的计算、克莱姆法则、矩阵的运算、初等变换求矩 n 线性方程组的唯一解、用矩阵变换解阵的逆矩阵、n 线性方程组、线性方程组解的判定、向量组的线性相关 性、求线性方程组的解。 概率论：随机事件、随即变量及分布。 3、考核方法 书面考试（主要为基本理论和基本知识内容，理解和分析问题）为主。平时作业占课程成绩的30%，期末卷面考试占70% 三、高职高等数学教学理念 根据内容设计，我们选用了人中国计量出版社出版的《高等数学》和高等教育出版社出版的《使用工程数学》，其为高职高专技能紧缺人才培养规划较次，内容符合课程的设计与建设要求。 学情分析：学生参加高考，具备一定初等数学基础知识，但学生学高等数学的基础部扎实。 教学理念：淡化严格的数学论证，把学生从繁琐的数学推导和不
独立学院高等数学课程体系架构的探讨 傅平董丽花 摘要：分析独立学院高等数学课程体系的现状及存在的问题，阐述对独立学院高等数学课程体系构建的原则，并就课程体系中的教学模式、教学内容、与教材建设方面提出一些方案和建议。 关键词：独立学院高等数学课程体系教学改革 独立学院是我国高等教育办学体制、办学思路、办学模式的一次大胆改革创新，它是由公办普通本科院校与社会力量采用新机制、新模式联合举办的，以开展普通本三层次学历教育为主的相对独立的二级学院。随着教育部对独立学院办学的六个独立要求，各独立学院逐步从母体分离自主办学。绝大多数独立学院的人才培养定位为应用型人才。同时，高等数学课程是理工类、经管类专业必修的基础课程，它既能为后续的相关课程奠定基础、又能培养学生的逻辑思维能力，分析问题、解决问题的能力，从而提高自身的科学素质和创新精神。但是，如何针对独立学院的办学特点架构、设计高等数学的课程体系？这里要防止两个极端：一是简单化。认为独立学院的学生，只是简单的降低各项要求，从而影响学生培养质量；二是类同化。把对本一、本二的教学体系，尤其是母体高校的照搬到独立学院的学生上，没有实现因材施教的原则，最终也不能取得预期效果。笔者结合在中国传媒大学南广学院的教学实践，对独立学院高等数学的课程体系的架构提出几点看法，以供探讨。 1 独立学院高等数学课程体系的突出问题 1.1 缺乏独立且完善的教学体系 独立学院是现阶段我国教育事业的一个新生产物，目前处在高速发展时期。但大多数独立学院成立时间还不是很长，各方面的经验还不是很成熟，在教学、
管理等方面大都会借鉴甚至照搬母体高校的模式。作为基础课程的高等数学，在发展初期，一般都会照搬母体高校一致的课程体系。这和独立学院的“独立”极不协调，更不适应“高素质应用型”人才培养目标的要求。实际教学过程中经常会出现某些问题或矛盾在所难免。举例来说，由于母体学校和独立学院学生本身的差距，一个普遍的问题是难以完成与母体学校一致的教学内容，于是往往采取简单的删减课程内容，生硬的拼接教学体系等方法，以应付教学常规的需要。很明显，这样做在很大程度上破坏了基础课程的科学性、基础性与严密性，结果是学生基础课程学得不扎实，真的要用到有关知识解决问题时不会应用，也给后继的专业课学习带来许多困难。同时，又因为缺乏针对独立学院各专业教学而编写的合适教材，独立学院大都采用和母体高校一致的教材。这样做不仅限制了教师对教学内容的选取，也增加了学生学习的难度，使得一些学生对高等数学的学习更增加了畏惧和排斥的心理。 1.2 教学内容和体系一成不变 传统的高等数学课程教学强调内容的完整性和理论的严密性，这不仅不能适应适应独立学院培养目标的需要，而且也超出独立学院的学生的接受能力。尽管近年来我国的教学工作者们对数理课程的教学做了许多有益的改革与尝试。但陈旧的教学内容和体系至今没有根本的改变，突出的问题表现在经典较多、现代不足，分析推导较多、数值计算较不足，运算技巧较多、数学思想不足。目前，独立学院的高等数学教学改革一般也只是对教学内容机械性的删减和增加，即删去一些较为复杂、难懂的内容，增加一些习题的练习。比如，独立学院的高等数学教学中一些定理的证明都被删去不讲，只教给学生定理结论和其简单应用，这样做看似降低了学习难度，实际上治标不治本，反而使学生陷入模仿和死记的深渊，更本谈不上能力培养和素质培养，数学的思维方法得不到有效的训练。 2 独立学院高等数学课程体系构建原则 如前所述，独立学院的教学体系不够独立、不够完善，也没有实现因材施教的原则，难以满足独立学院人才培养的要求。必须对高等数学的课程体系进行调整和优化，其构建的原则笔者认为有以下几点： 2.1 坚持素质教育与能力培养的原则 所谓素质教育，主要是指文化素质教育，具体到高等数学课程，则是以培养
第八章空间解析几何与向量代数 教学目的： 1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。 2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条件。 3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运 算的方法。 4、掌握平面方程和直线方程及其求法。 5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平 行、垂直、相交等）解决有关问题。 6、会求点到直线以及点到平面的距离。 7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲 面及母线平行于坐标轴的柱面方程。 8、了解空间曲线的参数方程和一般方程。 9、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。 教学重点： 1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算； 2、两个向量垂直和平行的条件； 3、平面方程和直线方程； 4、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件； 5、点到直线以及点到平面的距离； 6、常用二次曲面的方程及其图形； 7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程； 8、空间曲线的参数方程和一般方程。 教学难点： 1、向量积的向量运算及坐标运算，数量积和向量积的运算； 2、平面方程和直线方程及其求法； 3、空间曲线在坐标面上的投影 4、点到直线的距离； 5、二次曲面图形； 6、旋转曲面及柱面的方程。
§8.1 向量及其线性运算 一、教学目的与要求： 1．理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。 2．掌握向量的线性运算、掌握单位向量、方向余弦、两向量的夹角、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。 二、重点（难点）：向量概念、向量的运算 三、教学方式：讲授式教学结合多媒体 讲授内容： 一、向量概念 向量：既有大小,又有方向,这一类量叫做向量. 在数学上,用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向. 向量的符号: 以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作 → AB.向量可用粗体字母表示,也可用上加箭 头书写体字母表示,例如,a、r、v、F或→a、→r、→v、→F. 自由向量:由于一切向量的共性是它们都有大小和方向,所以在数学上我们只研究与起点无关的向量,并称这种向量为自由向量,简称向量.因此,如果向量a和b的大小相等,且方向相同,则说向量a和b是相等的,记为a =b.相等的向量经过平移后可以完全重合. 向量的模:向量的大小叫做向量的模. 向量a、→a、→AB的模分别记为|a|、| |→a、| |→AB. 单位向量:模等于1的向量叫做单位向量. 零向量:模等于0的向量叫做零向量,记作0或→0.零向量的起点与终点重合,它的方向可以看作是任意的. 向量的平行:两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两个向量平行.向量a与b平行,记作a // b.零向量认为是与任何向量都平行. 当两个平行向量的起点放在同一点时,它们的终点和公共的起点在一条直线上.因此,两向量平行又称两向量共线. 类似还有共面的概念.设有k(k≥3)个向量,当把它们的起点放在同一点时,如果k个终点和公共起点在一个平面上,就称这k个向量共面. 二、向量的线性运算 1．向量的加法 向量的加法:设有两个向量a与b,平移向量使b的起点与a的终点重合,此时从a的起点到b 的终点的向量c称为向量a与b的和,记作a+b,即c=a+b . 三角形法则 平行四边形法则:
《高等数学》课程教学大纲 课程中文名称：《高等数学》课程英文名称：higher mathematics 课程编号：适用专业：全日制高职（三年制）各专业 学时： 48 学分数：3.5 开设学期：第一学期课程类别：必修 课程性质：公共基础课执笔者：宋红波、王爱亲、任利清 审核人：批准人： 一、课程的地位、作用及任务 我院开设的《高等数学》是一门满足高职教育发展需要同时结合我院教学特点的适应于工程类、经济类以及理工类各专业的重要公共基础理论课，为和谐社会的进步和发展培养创新型高级适应性人才服务。本课程以“深化概念，加强计算，注重应用，提高素质”为特色，充分体现了“以应用为目的，以必须够用为度”的原则；通过本课程的学习，可以使学生获得导数与微积分、极限与连续的基础理论知识和常用运算方法，在此基础上掌握一些重要的积分变换方法。 通过本课程的学习，主要是培养学生运用数学来分析、解决实际问题的数学能力，为后续各课程的学习奠定较好的数学基础，形成一定的数学思想。使学生成为综合能力强，素质全面，能更好地适应未来发展需求的高级应用型人才。 二、本课程的教学目的和要求 高等数学作为高职高专院校中各专业的一门基础课程，对学生思维能力的培养和后继课程的学习有着重要的作用。学生在学完本课程后应达到下列基本要求： 1、掌握函数极限的概念，连续函数及闭区间上连续函数的性质，无穷小量、无穷大量的定义、运算性质及无穷小量的比较，能够运用极限四则运算法则，两个重要极限和函数连续的定义来计算函数的极限，能够判断函数的连续性和间断点。 2、了解隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数，理解可导、连续与可微的关系，掌握微分的概念及其应用，导数概念及其几何意义，能在导数四则运算法则和复合函数求导法则的基础上运用基本导数公式计算函数的导数，会求函数的高阶导数。 3、了解导数在经济分析中应用，理解曲线的凹凸性及拐点，掌握中值定理、洛必达法