高等数学教案
一、课程的性质与任务
高等数学就是计算机科学与技术;信息管理与信息系统两个专业的一门重要的基础理论课,通过本课程的学习,也就是该专业的核心课程。要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”,“微积分”,“常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运算;同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力与自学能力。在传授知识的同时,要着眼于提高学生的数学素质,培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣与能力。
第一章:函数与极限
教学目的与要求18学时
1、解函数的概念,掌握函数的表示方法,并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2、解函数的奇偶性、单调性、周期性与有界性。
3、理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念。
4、掌握基本初等函数的性质及其图形。
5、理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念,以及极限存在与左、右极限之间的关系。
6、掌握极限的性质及四则运算法则。
7、了解极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8、理解无穷小、无穷大的概念,掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限。
9、理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型。
10、了解连续函数的性质与初等函数的连续性,了解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值与最小值定理、介值定理),并会应用这些性质。
第一节:映射与函数
一、集合
1、集合概念
具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素
表示方法:用A,B,C,D 表示集合;用a,b,c,d 表示集合中的元素
1)},,,{321 a a a A 2)}{P x x A 的性质
元素与集合的关系:A a A a
一个集合,若它只含有有限个元素,则称为有限集;不就是有限集的集合称为无限集。
常见的数集:N,Z,Q,R,N +
元素与集合的关系: A 、B 就是两个集合,如果集合A 的元素都就是集合B 的元素,则称A 就是B 的子集,记作B A 。
如果集合A 与集合B 互为子集,则称A 与B 相等,记作B A 若作B A 且B A 则称A 就是B 的真子集。
空集 : A
2、 集合的运算
并集B A :}A x |{x B A B x 或
交集B A :}A x |{x B A B x 且
差集 B A \:}|{\B x A x x B A 且
全集I 、E 补集C A :
集合的并、交、余运算满足下列法则:
交换律、A B B A A B B A
结合律、)()(C B A C B A
)()(C B A C B A
分配律 )()()(C B C A C B A
)()()(C B C A C B A
对偶律 (c c c B A B A ) c c c B A B A )(
笛卡儿积A ×B }|),{(B y A x y x 且
3、 区间与邻域
开区间 ),(b a
闭区间 b a ,
半开半闭区间
b a b a ,, 有限、无限区间
邻域:)(a U }{),( a x a x a U
a 邻域的中心
邻域的半径
去心邻域 ),( a U
左、右邻域
二、映射
1. 映射概念
定义 设X,Y 就是两个非空集合,如果存在一个法则f ,使得对X 中的每一个元素x ,按法则f ,在Y 中有唯一确定的元素y 与之对应,则称f 为从X 到Y 的映射,记作
Y X f ：
其中y 称为元素x 的像,并记作)(x f ,即 )(x f y
注意:1)集合X;集合Y;对应法则f
2)每个X 有唯一的像;每个Y 的原像不唯一
3) 单射、满射、双射
2、 映射、复合映射
三、函数
1、 函数的概念:
定义:设数集R D ,则称映射R D f :为定义在D 上的函
数 记为 D x x f y )(
自变量、因变量、定义域、值域、函数值
用f 、g 、
函数相等:定义域、对应法则相等
自然定义函数;单值函数;多值函数、单值分枝、
例:１) ｙ＝２
2) ｙ＝x
3) 符号函数
x y (阶
4) 取整函数
梯曲线) 5) 分段函数 11102 x x
x x y
2、 函数的几种特性 1） 函数的有界性 (上界、下界;有界、无界)
有界的充要条件:既有上界又有下界。
010001 x x x y
注:不同函数、不同定义域,有界性变化。
2) 函数的单调性 (单增、单减)在x 1、x 2点比较函数值
)(1x f 与)(2x f 的大小(注:与区间有关)
3) 函数的奇偶性(定义域对称、)(x f 与)(x f 关系决定)
图形特点 (关于原点、Y 轴对称)
4)函数的周期性(定义域中成立:)()(x f l x f )
3、 反函数与复合函数
反函数:函数)(:D f D f 就是单射,则有逆映射x y f
)(1,称此映射1 f 为f 函数的反函数
函数与反函数的图像关x y 于对称
复合函数:函数)(y g u 定义域为D 1,函数)(x f y 在D 上有定义、且1)(D D f 。则)())((x f g x f g u 为复合函数。(注意:构成条件)
4、 函数的运算
与、差、积、商(注:只有定义域相同的函数才能运算)
5、 初等函数:
1) 幂函数:a x y 2)指数函数:x a y
3) 对数函数 )(log x y a
4)三角函数
)cot(),tan(),cos(),sin(x y x y x y x y
5) 反三角函数
)arcsin(x y , )arccos(x y
)cot()arctan(x arc y x y
以上五种函数为基本初等函数
6) 双曲函数
2
x
x e e shx 2x x e e chx x x x
x e e e e chx shx thx
注:双曲函数的单调性、奇偶性。
双曲函数公式
shy
shx chy chx y x ch shy shx chy chx y x ch shy
chx chy shx y x sh shy
chx chy shx y x sh )()()()(
反双曲函数:
arthx
y archx y arshx
y 作业: 同步练习册练习一
第二节:数列的极限
一、数列
数列就就是由数组成的序列。
1)这个序列中的每个数都编了号。
2)序列中有无限多个成员。
一般写成: n a a a a a 4321
缩写为 n u
例 1 数列 n 1就是这样一个数列 n x ,其中
n
x n 1
, 5,4,3,2,1 n 也可写为: 514131
21
1
可发现:这个数列有个趋势,数值越来越小,无限接近0,记为01lim
n n 1、 极限的N 定义:
a x N n N
n 0则称数列 n x 的极限为a ,记成 a x n n lim
也可等价表述:
1) )(0
a x N n N n 2))(0 a O x N n N n
极限就是数列中数的变化总趋势,因此与数列中某个、前几个的值没有关系。
二、收敛数列的性质
定理1:如果数列 n x 收敛,那么它的极限就是唯一
定理2 如果数列 n x 收敛,那么数列 n x 一定有界
定理3:如果a x n x
lim 且a>0(a<0)那么存在正整数N>0,当n>N 时,)0(0 n n x x
定理4、如果数列}{n x 收敛于a 那么它的任一子 数列也收敛,且收敛于a 。
第三节:函数的极限
一、极限的定义
1、在0x 点的极限
1)0x 可在函数的定义域内,也可不在,不涉及f 在0x 有没有定义,以及函数值)(0x f 的大小。只要满足:存在某个0 使:D x x x x ),(),(0000 。
2)如果自变量x 趋于0x 时,相应的函数值 )(x f 有一个总趋势-----以某个实数A 为极限 ,则记为 :A x f x x )(lim 0
。 形式定义为:
A x f x x x )()0(00 注:左、右极限。单侧极限、极限的关系
2、 x 的极限
设:),()( x x f y 如果当时函数值 有一个总趋势------该曲线有一条水平渐近线A y -----则称函数在无限远点 有极限。记为:A x f x )(lim
在无穷远点 的左右极限:
)(lim )(x f f x
)(lim )(x f f x
关系为:
)(lim )(lim )(lim x f A x f A x f x x x
二、函数极限的性质
1、 极限的唯一性
2、 函数极限的局部有界性
3、 函数极限的局部保号性
4、 函数极限与数列极限的关系
第四节:无穷小与无穷大
一、无穷小定义
定义:对一个数列 n x ,如果成立如下的命题:
n x N n N 0 则称它为无穷小量,即0lim n x x
注: 1、 的意义;
2、 n x 可写成 0n x ; ),0(n x
3、上述命题可翻译成:对于任意小的正数 ,存在一个号码N,使在这个号码以后的所有的号码n ,相应的n x 与极限0的距离比这个给定的 还小。它就是我们在直观上对于一个数列趋于0的认识。 定理 1 在自变量的同一变化过程0x x (或) x 中,函数 x f 具有极限A 的充分必要条件就是 A x f )(,其中 就是无穷小。
二、无穷大定义
一个数列 n x ,如果成立:
G x N n N G n 0那么称它为无穷大量。记
成: n x x lim 。
特别地,如果G x N n N G n 0,则称为正无穷大,记成
n x x lim 特别地,如果G x N n N G n 0,则称为负无穷大,记成 n x x lim
注:无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量。
三、无穷小与无穷大的关系
定理 2 在自变量的同一变化过程中,如果)(x f 为无穷大,则)(1x f 为无穷小;反之,如果)(x f 为无穷小,且0)( x f 则)
(1x f 为无穷大 即:非零的无穷小量与无穷大量就是倒数关系:当0 n x 时:有 n
x x x 1lim 0lim 01lim lim n
x x x 注意就是在自变量的同一个变化过程中
第五节:极限运算法则
1、无穷小的性质
设 n x 与 n y 就是无穷小量于就是:
(1)两个无穷小量的与差也就是无穷小量:
0)(lim 0lim 0lim
n n x n x n x y x y x
(2)对于任意常数C,数列 n x c 也就是无穷小量:
0)(lim 0lim n x n x x c x (3)
n y x n 也就是无穷小量,两个无穷小量的积就是一个无穷小量。
0)(lim 0lim 0lim
n n x n x n x y x y x (4) n x 也就是无穷小量:
0lim 0lim 0
0 n x x n x x x x (5)无穷小与有界函数的积为无穷小。
2、函数极限的四则运算
1、 若函数f 与g 在点0x 有极限,则
)(lim )(lim ))()((lim 0
00x g x f x g x f x x x x x x 2、 函数f 在点0x 有极限,则对任何常数a 成立 )(lim ))((lim 0
0x f a x f a x x x x 3、若函数f 与g 在点0x 有极限,则
)(lim )(lim ))()((lim 0
00x g x f x g x f x x x x x x 3、 若函数f 与g 在点0x 有极限,并且0)(lim 0 x g x x ,则
)(lim )(lim )()(lim 0
00x g x f x g x f x x x x x x 极限的四则运算成立的条件就是若函数f 与g 在点0x 有极限 例:求下述极限