第四章 数值积分
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习题主要考察点：代数精度的计算，构造插值型求积公式（梯形，辛甫生公式），复化求积的计算，高斯公式的构造。 1给定求积公式
)()0()()(h cf bf h af dx x f h
h
++-≈?
-试确定c b a ,,使它的代数精度尽可能
高。（代数精度的应用和计算）
解：分别取2,,1)(x x x f =，使上述数值积分公式准确成立，有；
??
?
??=+-=+-=++3/2)()(0
)()(2322h h c h a h c h a h c b a 解得：3,34,3h
c h b h a ==
=。 故求积公式为)(3
)0(34)(3)(h f h
f h h f h dx x f h h ++
-≈?-。 再取3
)(x x f =，左边=?-=h h dx x 03，右边=0)(3
034)(333=+?+
-h h h h h 再取4
)(x
x f =，左边=?-=h
h h dx x 5254
，右边=3
2)(3034)(3544
h h h h h h =+?+-
此求积公式的最高代数精度为3。 2 求积公式
)0()1()0()(0101
f B f A f A dx x f '++≈?
，试确定系数0A ,1A 及0B ，使该求积
公式具有尽可能高的代数精确度，并给出代数精确度的次数。（代数精度的应用和计算） 解：分别取2
,,1)(x x x f =，使求积公式准确成立，有
???
??==+=+3/12/11
1
0110A B A A A 解得：61,31,32010===
B A A 。 求积公式为)0(6
1
)1(31)0(32)(10f f f dx x f '++≈?。
再取3
)(x x f =，左边==?+?+?≠=?06
113103241103dx x 右边
故该求积公式的最高代数精度为2。 3数值积分公式
)]2()1([2
3
)(30
f f dx x f +≈?
，是否为插值型求积公式，为什么？又该公式
的代数精确度为多少？（插值型求积公式特征）
解：令1)(=x f ，)]2()1([2
3
]11[2333
f f dx +=+=
=?
x x f =)(，)]2()1([2
3
]21[23293
0f f xdx +=+==
? 2
)(x x f =，)]2()1([2
3
]21[232159230
2f f dx x +=+=≠
=? 故代数精度为1。由于求积节点个数为2，代数精度达到1次，故它是插值型的求积公式。 4如果0)(>''x f ，证明用梯形公式计算积分?
b
a
dx x f )(所得到的结果比准确值大，并说明其
几何意义。（梯形求积） 解：梯形求积公式
)]()([2
b f a f a
b T +-=
是由过点))(,(a f a ，))(,(b f b 的线性插值函数
)()()(b f a
b a
x a f b a b x x L --+--=
在[a,b]上的定积分。
注意到：在区间[a,b]上，0)(>''x f ，而0))((<--b x a x ，有
0))((!
2)
()]()([)()(<--''=-=-=-?
???dx b x a x f dx x L x f dx x L dx x f T I b
a
b
a
b
a
b
a
ξ 从而T I <。
其几何意义可作以下解释：
在区间[a,b]上，0)(>''x f ，故曲线)(x f y =下凹，直线)(x L y =位于曲线之上，因
此，曲边梯形的面积?=
b
a
dx x f I )(小于梯形面积?=b
a
dx x L T )(。
5用4=n 的复化梯形公式计算积分
?2
11
dx x ，并估计误差。（复化梯形求积）
解：41412=-=h ，取求积节点为)4,,1,0(4
1
1 =?+=i i x i )](21
)()()()(21[)]()([2
11
4321013
02
1
3
1
x f x f x f x f x f h x f x f h dx x dx x i i i i x x i i
++++=+≈=+==∑?
∑?
+6970.01680
1171
]84217464544421[41==?++++?= 因
2ln 1
2
1
=?
dx x
，则误差大约为：0039.06970.02ln =-。 6设2)1(,9)5.0(,6)0(,4)5.0(,1)1(====-=-f f f f f ,则用复化辛甫生公式计算
?
-1
1
)(dx x f ，若有常数M 使 M f ≤||)4(，则估计复化辛甫生公式的整体截断误差限。（复
化辛甫生公式） 解：
???
+=
--1
01
1
1
)()()(dx x f dx x f dx x f
)]1(6
1
)5.0(64)0(61[)]0(61)5.0(64)1(61[
f f f f f f ++++-+-≈ 1667.116
67]29466441[61≈=+?+++?+≈ ?
?
---+-++≤
--1
22)4(0
1
21)4(2)1()5.0)(0(!
4)
()0()5.0)(1(!
4)
(dx x x x f dx x x x f S I ξξ ])1()5.0)(0()0()5.0)(1([241
020
1
2dx x x x dx x x x M
??---+-++≤- 0042.06
)25.0(6)1()5.0)(0(122
5
.00
210
2?=-=---≤??M
dt t t M dx x x x M M 008.0≤
7已知高斯求积公式
)57735.0()57735.0()(1
1
-+≈?-f f dx x f 将区间[0,1]二等分，用复
化高斯求积法求定积分
?
1
dx x 的近似值。（高斯公式）
解：
dx x dx x dx x ?
?
?
+
=
1
2
/12
/10
1
对于
dx x ?
2
/10
作变量换t x 4
1
41+=
，有 ]57735.0157735.01[8
1
1811
12
/10-++≈+=??
-dt t dx x
对于
dx x ?
1
2
/1作变量换t x 4
1
43+=
，有 ]57735.0357735.03[8
1
3811
11
2/1-++≈+=??
-dt t dx x
6692.0]57735.0357735.0357735.0157735.01[8
1
1
=-+++-++≈?
dx x
8 试确定常数A ，B ，C 和a ，使得数值积分公式
)()0()()(2
2
a Cf Bf a Af dx x f ++-≈?
-有尽
可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为高斯型的？（代数精度的应用和计算，高斯点的特征）
解：分别取432,,,,1)(x x x x x f =，使上述数值积分公式准确成立，有；
???
??
?
????
???
=+-=+-=+-=+-=++564)()(0)()(316)()(0)()(444332
2a C a A a C a A a C a A a C a A C B A 整理得：
???
?
?????=
+=
+==++564)(316)(442C A a C A a C A C B A 解得：5
12
,916,910=
==
=a B C A 。 数值求积公式为
)5
12(910)0(916)512(910)(2
2
f f f dx x f ++-≈
?
- 再取5
)(x x f =，左边=
?
-=2
2
50dx x ，右边=
0)5
12(9100916)512(9105
5=+?+- 再取6)(x x f =，左边=
?
-=
2
2
67256dx x ，右边=25
768)512(9100916)512(91066=+?+- 可见，该数值求积公式的最高代数精度为5。由于该公式中的节点个数为3，其代数精度达到了5132=-?次，故它是高斯型的。
9设{})(x P n 是[0,1]区间上带权x x =)(ρ的最高次幂项系数为1的正交多项式系 （1）求)(2x P 。
（2）构造如下的高斯型求积公式
)()()(11001
x f A x f A dx x xf +≈?
。（高斯求积）
解（1）：采用施密特正交化方法，来构造带权x x =)(ρ且在[0，1]上正交的多项式序列 取1)(0=x P ，设)()(001x P x x P α+=，且它与)(0x P
在[0，1]上带权x x =)(ρ正交，于是 ),(),(),(0000010P P P x P P α+==，3
2)
,()
.(1
102
0000-=-=-
=??xdx
dx
x P P P x α
故 3
2
)(32)(01-=-
=x x P x x P 。 设)()()(001122x P x P x x P αα++=，且它与)(0x P 、)(1x P 在[0，1]上带权x x =)(ρ正交，于是
),(),(),(000002
20P P P x P P α+==，2
1)
,()
,(1
1
03
0002
0-
=-=-
=??xdx
dx x P P P x α ),(),(),(011112
21P P P x P P α+==，5
6
)32()32()
,()
,(10
21
3
11121-=---=-=??dx x x dx x x P P P x α
10
35621)32(56)(21)(56)(220122+-=---=--
=x x x x x P x P x x P
解（2）：10356)(2
2+-
=x x x P 的零点为：10
662,1±=x 。 设
)10
6
6()1066(
)(101
++-≈?
f A f A dx x xf 分别取x x f ,1)(=，使上述求积公式准确成立，有
?
??
??=++-=+3/1106610662/11010A A A A ，即???
????
-=-=+631211010A A A A 解得：661410-=
A ，6
61411+=A 。 高斯型求积公式为
)10
6
6()66141()1066()66141()(1
+++--≈?f f dx x xf
第四章 数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 101210121 12120 (1)()()(0)(); (2)()()(0)(); (3)()[(1)2()3()]/3; (4)()[(0)()]/2[(0)()]; h h h h h f x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-?? ?? 解： 求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。 （1）若101(1) ()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1012h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 221123 h h A h A -=+ 从而解得 011431313A h A h A h -?=?? ? =?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 3()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++=
令4()f x x =，则 455 1012()5 2 ()(0)()3 h h h h f x dx x dx h A f h A f A f h h ---== -++=? ? 故此时， 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≠-++? 故 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 具有3次代数精度。 （2）若 21012()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1014h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 2211163 h h A h A -=+ 从而解得 1143 8383A h A h A h -?=-?? ? =?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 22322()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++=
第4章 数值积分与数值微分 1 数值积分的基本概念 实际问题当中常常需要计算定积分。在微积分中，我们熟知，牛顿—莱布尼兹公式是计算定积分的一种有效工具，在理论和实际计算上有很大作用。对定积分()b a I f x dx =?，若()f x 在区间 [,]a b 上连续，且()f x 的原函数为()F x ，则可计算定积分 ()()()b a f x dx F b F a =-? 似乎问题已经解决，其实不然。如 1）()f x 是由测量或数值计算给出数据表时，Newton-Leibnitz 公式无法应用。 2）许多形式上很简单的函数，例如 2 22sin 1(),sin ,cos ,,ln x x f x x x e x x -= 等等，它们的原函数不能用初等函数的有限形式表示。 3）即使有些被积函数的原函数能通过初等函数的有限形式表示，但应用牛顿—莱布尼兹公式计算，仍涉及大量的数值计算，还不如应用数值积分的方法来得方便，既节省工作量，又满足精度的要求。例如下列积分 2 41arc 1)arc 1)1dx tg tg C x ? ?=+++-+??+? 对于上述这些情况，都要求建立定积分的近似计算方法——数值积分法。 1.1 数值求积分的基本思想 根据以上所述，数值求积公式应该避免用原函数表示，而由被积函数的值决定。由积分中值定理：对()[,]f x C a b ∈，存在[,]a b ξ∈，有 ()()()b a f x dx b a f ξ=-? 表明，定积分所表示的曲边梯形的面积等于底为b a -而高为()f ξ的矩形面积（图4-1）。问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出()f ξ。我们将()f ξ称为区间[,]a b 上的平均高度。这样，只要对平均高度()f ξ提供一种算法，相应地便获得一种数值求积分方法。 如果我们用两端的算术平均作为平均高度()f ξ的近似值，这样导出的求积公式 [()()]2 b a T f a f b -= + (4-1) 便是我们所熟悉的梯形公式（图4-2）。而如果改用区间中点2 a b c +=的“高度”()f c 近似地取代 平均高度()f ξ，则可导出所谓中矩形公式（简称矩形公式） ()2a b R b a f +?? =- ??? (4-2)
第五章数值积分 §5.0 引言 §5.1 机械求积公式 §5.2 Newton-Cotes公式 §5.3 变步长求积公式及其加速收敛技巧§5.4 Gauss公式 §5.5 小结
§5.0 引 言 1. 定积分的计算可用著名的牛顿-莱布尼兹公式来计算: ()()()b a f x dx F b F a =-? 其中F (x )是f (x )的原函数之一，可用不定积分求得。 然而在实际问题中，往往碰到以下问题： (a) 被积函数f (x )是用函数表格提供的； (b) 被积函数表达式极为复杂，求不出原函数，或求出原函数后，由于形式复杂不利于计算； (c) 大量函数的原函数不容易或根本无法求出，例如 2 1 0x e dx -?，概率积分 1 0sin x dx x ?, 正弦型积分 2 22 2 2 4()1sin Ir x H x d r x r π θθ?? =- ?-?? ? 回路磁场强度公式 等根本无法用初等函数来表示其原函数，因而也就无法精确计算其定积分，只能运用数值积分。 2 所谓数值积分就是求积分近似值的方法。 而数值积分只需计算 ()f x 在节点(1,2,,)i x i n = 上的值，计算方便 且适合于在计算机上机械地实现。
§5.1 机械求积公式 1 数值积分的基本思想 区间[a ,b ]上的定积分()b a f x dx ? ，就是在区间[a,b]内取n+1个点 01,,,n x x x ，利用被积函数f (x )在这n+1个点的函数值的某一种线性组合 来近似作为待求定积分的值，即 ()()n b k k a k f x dx A f x =≈∑? 右端公式称为左边定积分的某个数值积分公式。 其中,x k 称为积分节点，A k 称为求积系数。 因此，一个数值积分公式关键在于积分节点x k 的选取和积分系数A k 的决定，其中A k 与被积函数f(x)无关。称为机械求积公式。 1.1 简单算例说明 例1 求积分1 ()x x f x dx ? 此积分的几何意义相当于如下图所示的曲边梯形的面积。 解：（1） 用f (x )的零次多项式00()()y L x f x == 来近似代替()f x ,于是， 110 0001()(()))(x x x x f x dx f x dx f x x x ≈ =-? ? （为左矩公式）
第五章 数值微分与数值积分 一．分别用向前差商，向后差商和中心差商公式计算()f x =2x =的导数的近似值。其中，步长0.1h =。 【详解】 00()()(20.1)(2)=0.349 2410.10.1 f x h f x f f h +?+?===向前差商 00()()(2)(20.1)=0.358 0870.10.1 f x f x h f f h ????===向后差商 00()()(20.1)(20.1)= 0.353 664220.10.2f x h f x h f f h +??+??===×中心差商 二．已知数据 x 2.5 2.55 2.60 2.65 2.70 ()f x 1.58114 1.59687 2 1.62788 1.64317 求( 2.50),(2.60),(2.70)f f f ′′′的近似值。 【详解】 0.05h =，按照三点公式 3(2.50)4(2.55)(2.60)3 1.581144 1.59687 1.61245(2.50)0.316 10020.050.1 f f f f ?+??×+×?′≈==×(2.65)(2.55)1.627881.59687(2.60)0.310 10020.050.1 f f f ??′≈==× (2.60)4(2.65)3(2.70)241.6278831.64317(2.70) 4.179 90020.050.1 f f f f ?+?×+×′≈==× 三．已知如下数据 x 3 4 5 6 7 8 ()f x 2.937 6 6.963 213.600 0 23.500 8 37.318 4 55.705 6
第4章附录 4.2.2 复化求积分 例题4.2.5计算程序 //simp.c// # include
subroutine trap(a,b,f,eps,t,n) real(8) a,b,f,t,fa,fb,h,t0,s,x fa=f(a); fb=f(b) n=1; h=b-a t0=h*(fa+fb)/2.0 5 s=0.0 do 10 k=0,n-1 x=a+(k+0.5)*h s=s+f(x) 10 continue t=(t0+h*s)/2.0 if (abs(t-t0).ge.eps) then t0=t n=n+n h=h/2.0 goto 5 end if return end %%% demo_aTrapInt.m %%% function demo_aTrapInt clc;clear; format long; [T nsub] = aTrapInt(@f01,0,1,0.000001) end function [T nsub]= aTrapInt(f,a,b,eps) tol = 1; nsub = 1; inall = 0; T = 0.5*(b-a)*(f(a)+f(b)); while tol > eps T0 = T; nsub = 2*nsub; n = nsub + 1; % total number of nodes h = (b-a)/nsub; % stepsize x = a:h:b; % divide the interval inall = inall + sum(f(x(2:2:n-1))); T = 0.5*h * (f(a)+2*inall+f(b)); tol = abs(T-T0); end end
第七章数值积分与数值微分 积分问题最早来自于几何形体的面积、体积计算，也是经典力学中的重要问题（例如计算物体的重心位置）. 在现实应用中，很多积分的结果并不能写成解析表达式，因此需要通过数值方法来计算. 数值微分是利用一些离散点上的函数值近似计算某一点处的函数导数，它针对表达式未知的函数. 本章介绍一元函数积分（一重积分）和微分的各种数值算法，它们也是数值求解积分方程、微分方程的基础. 7.1数值积分概论 7.1.1基本思想 考虑如下定积分的计算： I(f)≡∫f(x)dx b a ,(7.1) 其中函数f: ?→?，首先应想到的是微积分中学习过的牛顿-莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式： ∫f(x)dx b a =F(b)?F(a) , 其中F′(x)=f(x),即F(x)为f(x)的原函数. 但是，诸如e x2,sinx x ,sinx2等表达式很简单的函数却找不到用初等函数表示的原函数，因此必须研究数值方法来近似计算积分. 另一方面，某些函数的原函数虽然可以解析表示，但其推导、计算非常复杂，此时也需要使用数值积分方法. 一般考虑连续的、或在区间[a,b]上可积①的函数f(x)，则根据积分的定义有： lim n→∞,?→0∑(x i+1?x i)f(ξi) n i=0 =I(f) , (7.2) 其中a=x0 数值分析第四章数值积分与数值微分习题答案 第四章 数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 101210121 12120 (1)()()(0)(); (2)()()(0)(); (3)()[(1)2()3()]/3; (4)()[(0)()]/2[(0)()]; h h h h h f x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-?? ?? 解： 求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。 （1）若1 1 (1)()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1 1 2h A A A -=++ 令()f x x =，则 1 1 0A h A h -=-+ 令2 ()f x x =，则 322 11 2 3 h h A h A -=+ 从而解得 01 1431313A h A h A h -?=?? ?=?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 3()0 h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0 A f h A f A f h --++= 故101()()(0)() h h f x dx A f h A f A f h --=-++? 成立。 令4 ()f x x =，则 455 1012()5 2 ()(0)()3 h h h h f x dx x dx h A f h A f A f h h ---== -++=? ? 故此时， 101()()(0)() h h f x dx A f h A f A f h --≠-++? 故101()()(0)() h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 具有3次代数精度。 （2）若21 1 2()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1 1 4h A A A -=++ 令()f x x =，则 1 1 0A h A h -=-+ 令2 ()f x x =，则 322 11 16 3 h h A h A -=+ 第四章 数值积分 要点：（1）数值积分公式的代数精确度概念，代数精确度所蕴含的余项表达式 （2）插值型求积公式的构造及余项表达式 （3）插值型求积公式关于代数精确度的结论及证明 （4）梯形公式、Simpson 公式的形式及余项表达式 （5）复合梯形公式、复合Simpson 公式及其余项表达式 （6）掌握如何根据要求的精度依据复合梯形（或Simpson ）公式的余项确定积分 区间[a,b]的等分次数n （7）Newton-Cotes 求积分公式的特点以及代数精确度的结论 （8）高斯型求积公式的概念 复习题： 1、已知求积公式为 (1) 确定它的代数精度，并指出它是否为Gauss 公式； (2) 用此求积公式计算定积分1 -? 解：（1）依次取2 345()1,,,,,f x x x x x x =代入积分公式可发现: 左端=右端， 而当取6()f x x =时，左端 ≠可端 可见该是求积公式具有5阶代数精确度 由于求积公式节点数为3n =,而公式代数精确度21p n =- 所以该求积公式为Gauss 公式 （1 ）对于()f x = 有 故 3、分别用梯形公式和二点Gauss 公式计算积分 ?10dx e x ，比较二者的精度 解：利用梯形公式， 10101() 1.85922 x e dx e e ≈+≈? 注：Gauss 公式部分不要 4、对于积分?-10dx e x 。（1）写出梯形公式与辛普森公式；（2）请直接指出这两个公式的 代数精度；（3）问区间[0,1]应分为多少等分，用复化辛普森公式才能使误差不超过61021-? 解：（1）011()0.68392T e e --=+≈， 00.511(4)0.63236 S e e e ---=++≈ （2）梯形公式余项 3()[](12) , [0,1]12 T b a R f f e η ηη-=-∈-''=- 辛普森公式余项5(4)()[]() , [0,1]28828800S f f e b a R ηηη-=-∈-=- 可见梯形公式代数精度为 1p =，辛普森公式代数精度3p = （3）根据复合辛普森公式的余项 5 (4)44()[](2880288)0n S b a e R f f n n η η----== 注意到44 1|[]|28802880n S e R f n n η-=≤ 令64111028802n -≤?，解得 5.133n ≥ 可见当取4n =时，对应的复合辛普森公式n S 可满足精度要求 5、确定下列公式 中的参数A ，B ，C ，使其代数精度尽量高，并指出所得公式的代数精确度。 解：依次取2 ()1,,f x x x =代入积分公式，并令: 左端=右端，得方程组 4 016 + 3A B C A C A C ??++=?-+=???=? ， 解得 8343A C B ?==????=-?? 得公式：224()(2(1)(0)2(1))3f x dx f f f -≈--+? 取3()f x x =代入公式，有左端=右端 取4 ()f x x =代入公式，有左端≠右端 可见该求积公式代数精确度为3p = 6、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出其代数精度 解：解题过程与上题类同，所得结果816 , 433A C h B h == =- 代数精确度为3p = 第八章 常微分方程数值解 由常微分方程理论可知，我们只能求一些特殊类型的常微分方程。而实际上许多常微分方程求解非常困难。 本章主要讨论一阶常微分方程的初值问题： ()()?????==0 ,y a y y x f dx dy b x a ≤≤ （8 －1） 从理论上讲只要方程中的()y x f ,连续且关于y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数L ，使 ()()2 1 2 1 ,,y y L y x f y x f -≤- 则常微分方程存在唯一解)(x y y =。 微分方程数值解：就是求微分方程的解()x y 在一系列离散节点 b x x x x a n n =<<<<=-1 1 处的近似值i y （i=1，2，…，n ） i i i x x h -=+1 称为由i x 到1 +i x 的步长，通常取为常数h 。 求数值解，首先将微分方程离散化，常用方法有： （1） 用差商代替微 商 若用向前差商代替微商，即 () () ()()() i i i i i x y x f x y h x y x y ,1='≈-+ （i=1，2，…， n ） 则得()1 +i x y ()()()i i i x y x hf x y ,+≈ 即()i i i i y x hf y y ,1 +=+ （2） 数值积分法 利用数值积分法左矩形公式 ()() i i x y x y -+1=()()() i i x x y x hf dx x y x f i i ,,1 ≈? + 可得同样算法() i i i i y x hf y y ,1 +=+ （3） 用泰勒（Taylor ） 公式 ()()h x y x y i i +=+1()()i i x y h x y '+≈()()()i i i x y x hf x y ,+= 得离散化计算公式() i i i i y x hf y y ,1 +=+ 第五章 数值微积分 一、内容分析与教学建议 本章内容是数值微积分。数值微分包括：用插值多项式求数值微分、用三次样条函数求数值微分和用Richardson 外推法求数值微分。数值积分包括：常见的Newton-Cotes 求积公式，如：梯形公式、Simpson 公式和Cotes 公式；复化求积公式；Romberg 求积公式和Gauss 型求积公式等内容。 （一） 数值微分 1、利用Taylor 展开式建立数值微分公式，实际上是利用导数的离散化，即用差商近似代替导数，在由Taylor 公式的余项估计误差；由于当步长h 很小时，回出现两个非常接近的数相减，因此，在实际运用中往往采用事后估计的方法来估计误差。 2、用插值多项式求数值微分，主要是求插值节点处的导数的近似值。借助第二章的Lagrange 插值公式及其余项公式，确定插值节点处的导数的近似值及其误差。常用的有三点公式和五点公式。 3、阐明用三次样条函数()s x 求数值微分的优点：由第三章的三次样条函数()s x 的性质知：只要()f x 的4阶导数连续，则当步长0h →时， ()s x 收敛到()f x ，()s x '收敛到()f x '，()s x ''收敛到()f x ''. 因此，用三次样 条函数()s x 求数值微分，效果是很好的。指出其缺点是：需要解方程组，当h 很小时，计算量较大。 4、讲解用Richardson 外推法求数值微分时，首先阐明方法的理论基础是导数的离散化，即用差商近似代替导数；然后重点讲解外推 法的思想和推导过程，因为这种方法和思路在后面的数值积分和微分方程数值解中还要用到。 （二）数值积分的一般概念 1、由定积分的几何意义引入数值积分的思想，介绍求积公式、求积节点、求积系数、余项等基本概念。 2、重点介绍代数精度以及如何求一个判定积公式的代数精度，并举例说明。 3、介绍插值型求积公式以及插值型求积公式的代数精度的特点。（三）等距节点的求积公式 1、简单介绍一般的等距节点的插值型求积公式——Newton-Cotes公式以及Cotes系数。 2、重点介绍几种常用的Newton-Cotes公式：梯形公式、Simpson 公式和Cotes公式。要求学生掌握上述三种求积公式的表达式，并了解三种求积公式各自的余项。 3、以Simpson公式为例，求出它的代数精度是3；并要求学生课后自己求出梯形公式和Cotes公式的代数精度。 （四）复化求积公式 1、结合分段插值的思想阐明复化求积公式的思想。 2、重点介绍复化梯形公式、复化Simpson公式和复化Cotes公式以及它们各自的余项，并举一、两个例子加以说明。 3、简介事后估计和自适应Simpson方法。 （五）R omberg求积法 1、Romberg求积法是一种逐步分半加速法，它是以复化梯形公 8.2 一阶导数的数值计算及其MATLAB 程序 8.2.1 差商求导及其MATLAB 程序 例 8.2.1 设)215sin()(2-=x x f . （1）分别利用前差公式和后差公式计算)79.0('f 的近似值和误差，取4位小数点计 算，其中步长分别取1000.0,001.0,01 .0,1.0=h ，≤)("x f 80,]1,0[∈x . （2）将（1）中计算的)79.0('f 的近似值分别与精确值比较. 解 （1）编写计算)(x f y =的一阶导数计算)('x f 的近似值和误差估计的MA TLAB 程序，并输入 >> x=0.79;h=[0.1,0.01,0.001,0.0001]; M=80;x1=x+h;x2=x-h; y=sin(5.*x.^2-21); y1=sin(5.*x1.^2-21); y2=sin(5.*x2.^2-21); yq=(y1-y)./h, yh=(y-y2)./h, wu=abs(h.*M/2), syms x,f=sin(5.*x.^2-21); yx=diff(f,x) 运行后屏幕显示利用前差公式和后差公式计算)79.0('f 的近似值yq ，yh 和误差估计wu ， 取4位小数点计算，其中步长分别取1000.0,001.0,01 .0,1.0=h ，M =80，导函数yx yq = 1.46596380397978 4.22848550173043 4.44250759584697 4.46320955293622 yh = 5.96885352366536 4.68672022108227 4.48833808130555 4.46779260847907 wu = 4.00000000000000 0.40000000000000 0.04000000000000 0.00400000000000 yx = 10*cos(5*x^2-21)*x （2）计算)79.0(f '的值.输入程序 >> x=0.79; yx =10*cos(5*x^2-21)*x, wuq=abs(yq-yx), wuh=abs(yh-yx) 运行后屏幕显示利用前差公式和后差公式计算)79.0(f '的近似值与精确值的绝对误差wuq ，wuh 和)79.0(f '的精确值yx 如下 yx = 4.46550187104484 wuq = 2.99953806706506 0.23701636931441 0.02299427519787 0.00229231810861 wuh = 1.50335165262053 0.22121835003744 0.02283621026072 0.00229073743424 8.2.2 中心差商公式求导及其MATLAB 程序 利用精度为)(2h O 的三点公式计算)(x f '的近似值和误差估计的MATLAB 主程序 function [n,xi,yx,wuc]=sandian(h,xi,fi,M) n=length(fi); yx=zeros(1,n); wuc=zeros(1,n); x1= xi(1); x2= xi(2); x3= xi(3); y1=fi(1); y2=fi(2); y3=fi(3); xn= xi(n); xn1= xi(n-1); xn2= xi(n-2); yn=fi(n); yn1=fi(n-1); yn2=fi(n-2); for k=2:n-1 第八章 曲线积分与曲面积分 第一节 对弧长的曲线积分 *1计算下列对弧长的曲线积分： ()1()+?L x y ds ，其中L 为连接()1,0与()0,1两点的直线段. 解：??= =+L L ds ds y x 2)( ()2()Γ-+?x y z ds ，其中Γ为线段AB ，()()1,1,1,2,3,4A B . 解： t z y x AB =-=-=-3 1 2111: 13,12,1+=+=+=t z t y t x 10≤≤t ()Γ-+?x y z ds =dt t t t 941) 13121(1 0++++--+? =14214) 12(1 =+?dt t ()3? L xds ，其中L 为由直线=y x 及抛物线2 =y x 所围成的区域的整个边界. 解： x y L =:1 2 2:x y L = dx x x dx x xds xds xds L L L ?? ???++=+=1 210 4121 2 = )15(12 122)41(3 2812223 1 232-+=++x 第二节 对坐标的曲线积分 *1计算下列对坐标的曲线积分： ()1-? L xdy ydx ，其中L 是以()0,0A ,()1,0B ，()1,2C 为顶点的闭折线ABCA . 解：? = -L ydx xdy 2)22(2 1 =-+? ?dx x x dy ()222()-?L x y dx ，其中L 是抛物线2=y x 上从点()0,0到点()2,4 的一段弧. 解：15 5653238)()(42 22 2-=-= -=-?? dx x x dx y x L 第四章 数值积分 要点：（1）数值积分公式的代数精确度概念，代数精确度所蕴含的余项表达式 （2）插值型求积公式的构造及余项表达式 （3）插值型求积公式关于代数精确度的结论及证明 （4）梯形公式、Simpson 公式的形式及余项表达式 （5）复合梯形公式、复合Simpson 公式及其余项表达式 （6）掌握如何根据要求的精度依据复合梯形（或Simpson ）公式的余项确定积分 区间[a,b]的等分次数n （7）Newton-Cotes 求积分公式的特点以及代数精确度的结论 （8）高斯型求积公式的概念 复习题： 1、已知求积公式为 ( )( )(1 1158059f x dx f f f -? ?≈++?? ? (1) 确定它的代数精度，并指出它是否为Gauss 公式； (2) 用此求积公式计算定积分 1 -? 解：（1）依次取2345()1,,,,,f x x x x x x =代入积分公式可发现: 左端=右端， 而当取6()f x x =时，左端 ≠可端 可见该是求积公式具有5阶代数精确度 由于求积公式节点数为3n =,而公式代数精确度21p n =- 所以该求积公式为Gauss 公式 （1 ）对于()f x = 有 ()0.5166, (0)0.426460.f f ===± 故 1 0.5166801 (50.9530.426450.51669 )-?+?+?≈≈? 3、分别用梯形公式和二点Gauss 公式计算积分?1 dx e x ，比较二者的精度 解：利用梯形公式，1 01 1() 1.85922 x e dx e e ≈ +≈? 注：Gauss 公式部分不要 4、对于积分 ? -1 dx e x 。 （1）写出梯形公式与辛普森公式；（2）请直接指出这两个公式的代数精度；（3）问区间[0,1]应分为多少等分，用复化辛普森公式才能使误差不超过6102 1 -? 解：（1）011()0.68392T e e --= +≈， 00.511 (4)0.63236 S e e e ---=++≈ （2）梯形公式余项 3()[](12) , [0,1]12 T b a R f f e η ηη-=-∈-''=- 辛普森公式余项5(4)()[]() , [0,1]28828800 S f f e b a R η ηη-=-∈-=- 可见梯形公式代数精度为 1p =，辛普森公式代数精度3p = （3）根据复合辛普森公式的余项 5(4)44 ()[](2880288)0n S b a e R f f n n η η----== 注意到44 1 |[]|28802880n S e R f n n η-=≤ 令 64 11 1028802 n -≤?，解得 5.133n ≥ 可见当取4n =时，对应的复合辛普森公式n S 可满足精度要求 5、确定下列公式 ? -++-≈2 2 )1()0()1()(Cf Bf Af dx x f 中的参数A ，B ，C ，使其代数精度尽量高，并指出所得公式的代数精确度。 解：依次取2 ()1,,f x x x =代入积分公式，并令: 左端=右端，得方程组 4 016 + 3A B C A C A C ? ?++=?-+=???=? ， 解得 83 43A C B ?==????=-?? 第五章 数值微积分 一、内容分析与教学建议 本章内容是数值微积分。数值微分包括：用插值多项式求数值微分、用三次样条函数求数值微分和用Richardson 外推法求数值微分。数值积分包括：常见的Newton-Cotes 求积公式，如：梯形公式、Simpson 公式和Cotes 公式；复化求积公式；Romberg 求积公式和Gauss 型求积公式等内容。 （一） 数值微分 1、利用Taylor 展开式建立数值微分公式，实际上是利用导数的离散化，即用差商近似代替导数，在由Taylor 公式的余项估计误差；由于当步长h 很小时，回出现两个非常接近的数相减，因此，在实际运用中往往采用事后估计的方法来估计误差。 2、用插值多项式求数值微分，主要是求插值节点处的导数的近似值。借助第二章的Lagrange 插值公式及其余项公式，确定插值节点处的导数的近似值及其误差。常用的有三点公式和五点公式。 3、阐明用三次样条函数()s x 求数值微分的优点：由第三章的三次样条函数()s x 的性质知：只要()f x 的4阶导数连续，则当步长0h →时，()s x 收敛到()f x ，()s x '收敛到()f x '， ()s x ''收敛到()f x ''. 因此，用三次样条函数()s x 求数值微分，效果是很好的。指出其缺点 是：需要解方程组，当h 很小时，计算量较大。 4、讲解用Richardson 外推法求数值微分时，首先阐明方法的理论基础是导数的离散化，即用差商近似代替导数；然后重点讲解外推法的思想和推导过程，因为这种方法和思路在后面的数值积分和微分方程数值解中还要用到。 （二） 数值积分的一般概念 1、由定积分的几何意义引入数值积分的思想，介绍求积公式、求积节点、求积系数、余项等基本概念。 2、重点介绍代数精度以及如何求一个判定积公式的代数精度，并举例说明。 3、介绍插值型求积公式以及插值型求积公式的代数精度的特点。数值分析第四章数值积分与数值微分习题答案
数值分析分节复习(第四节数值积分)
第八章常微分方程数值解
第五章 数值微积分
第八章 数值微分
第八章 曲线积分与曲面积分
数值分析分章复习(第四章数值积分)
第五章 数值微积分
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