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数值分析第四章数值积分与数值微分习题复习资料

第四章数值积分与数值微分

1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：

101210121

12120

(1)()()(0)();

(2)()()(0)();

(3)()[(1)2()3()]/3;

(4)()[(0)()]/2[(0)()];

h h

f x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-??

解：

求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。（1）若101(1)

()()(0)()h

f x dx A f h A f A f h --≈-++?

令()1f x =，则

1012h A A A -=++

令()f x x =，则

110A h A h -=-+

令2

()f x x =，则

221123

h h A h A -=+ 从而解得

011431313A h A h A h -?=??

=??

?=??

令3

()f x x =，则

3()0h

f x dx x dx --==?

101()(0)()0A f h A f A f h --++=

令4

()f x x =，则

455

1012()5

()(0)()3

f x dx x dx h A f h A f A f h h ---==

-++=?

故此时，

101()()(0)()h

f x dx A f h A f A f h --≠-++?

故

101()()(0)()h h

f x dx A f h A f A f h --≈-++?

具有3次代数精度。（2）若

21012()()(0)()h

f x dx A f h A f A f h --≈-++?

令()1f x =，则

1014h A A A -=++

令()f x x =，则

110A h A h -=-+

令2

()f x x =，则

2211163

h h A h A -=+ 从而解得

1143

8383A h A h A h -?=-??

=??

?=??

令3

()f x x =，则

22322()0h

f x dx x dx --==?

101()(0)()0A f h A f A f h --++=

令4

()f x x =，则

2245

2264()5

f x dx x dx h --==

10116()(0)()3

A f h A f A f h h --++=

故此时，

21012()()(0)()h

f x dx A f h A f A f h --≠-++?

因此，

21012()()(0)()h h

f x dx A f h A f A f h --≈-++?

具有3次代数精度。（3）若

121

()[(1)2()3()]/3f x dx f f x f x -≈-++?

令()1f x =，则

121

()2[(1)2()3()]/3f x dx f f x f x -==-++?

令()f x x =，则

120123x x =-++

令2

()f x x =，则

122123x x =++

从而解得

120.28990.5266x x =-??

=?或12

0.6899

0.1266x x =??=? 令3

()f x x =，则

()0f x dx x dx --==?

12[(1)2()3()]/30f f x f x -++≠

故

121

()[(1)2()3()]/3f x dx f f x f x -=-++?

不成立。

因此，原求积公式具有2次代数精度。（4）若

()[(0)()]/2[(0)()]h

f x dx h f f h ah f f h ''≈++-?

令()1f x =，则

(),h

f x dx h =?

2[(0)()]/2[(0)()]h f f h ah f f h h ''++-=

令()f x x =，则

022

()2

[(0)()]/2[(0)()]2

h f x dx xdx h h f f h ah f f h h ==''++-=?

令2

()f x x =，则

0232

()3

[(0)()]/2[(0)()]22

h f x dx x dx h h f f h ah f f h h ah ==''++-=-?

故有

211232

112

h h ah a =-=

令3

()f x x =，则

400

2444

1()4

1111[(0)()]/2[(0)()]12244h

h f x dx x dx h h f f h h f f h h h h

==''++-=-=??

令4

()f x x =，则

500

2555

1()5

1111[(0)()]/2[(0)()]12236h

h f x dx x dx h h f f h h f f h h h h

==''++-=-=??

故此时，

1()[(0)()]/2[(0)()],12

f x dx h f f h h f f h ''≠++

因此，

1()[(0)()]/2[(0)()]12

f x dx h f f h h f f h ''≈++

具有3次代数精度。

2.分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：

101

(1),8;4(1)

(2),10;

(3),4;

(4),6;

x x

dx n x e dx n x

n n ?-=+-===?

解：

1(1)8,0,1,,()84x

n a b h f x x =====

+ 复化梯形公式为

[()2()()]0.111402k k h

T f a f x f b ==++=∑

复化辛普森公式为

7781012

[()4()2()()]0.111576k k k k h

S f a f x f x f b +===+++=∑∑

1(1)

(2)10,0,1,,()10x e n a b h f x x

--====

= 复化梯形公式为

101

[()2()()] 1.391482k k h

T f a f x f b ==++=∑

复化辛普森公式为

99101012

[()4()2()()] 1.454716k k k k h

S f a f x f x f b +===+++=∑∑

(3)4,1,9,2,()n a b h f x =====

复化梯形公式为

[()2()()]17.227742k k h

T f a f x f b ==++=∑

复化辛普森公式为

41012

[()4()2()()]17.32222

6(4)6,0,,,()6

k k k k h

S f a f x f x f b n a b h f x π

+===+++====

=∑∑

复化梯形公式为

[()2()()] 1.035622k k h

T f a f x f b ==++=∑

复化辛普森公式为

5561012

[()4()2()()] 1.035776k k k k h

S f a f x f x f b +===+++=∑∑

3。直接验证柯特斯教材公式（2。4）具有5交代数精度。

证明：

柯特斯公式为

01234()[7()32()12()32()7()]90

b a

f x dx f x f x f x f x f x -=

++++?

令()1f x =，则

01234()90

[7()32()12()32()7()]90

b a f x dx b a

f x f x f x f x f x b a -=

-++++=-?

令()f x x =，则

22012341()()2

[7()32()12()32()7()]()902b

b a a

f x dx xdx b a b a f x f x f x f x f x b a ==--++++=-??

令2

()f x x =，则

23333012341()()3

[7()32()12()32()7()]()903b

b a a

f x dx x dx b a b a f x f x f x f x f x b a ==--++++=-??

令3

()f x x =，则

344

44012341()()4

[7()32()12()32()7()]()904b

b a a

f x dx x dx b a b a f x f x f x f x f x b a ==--++++=-??

令4

()f x x =，则

45555012341()()5

[7()32()12()32()7()]()905b

b a a

f x dx x dx b a b a f x f x f x f x f x b a ==--++++=-??

令5

()f x x =，则

56666012341()()6

[7()32()12()32()7()]()906b

b a a

f x dx x dx b a b a f x f x f x f x f x b a ==--++++=-??

令6

()f x x =，则

012340

()[7()32()12()32()7()]90

b a

f x dx f x f x f x f x f x -≠

++++?

因此，该柯特斯公式具有5次代数精度。 4。用辛普森公式求积分1

x e dx -?

并估计误差。

解：

辛普森公式为

[()4()()]62

b a a b

S f a f f b -+=

++ 此时，

0,1,(),x a b f x e -===

从而有

121

(14)0.632336

S e e --=++=

误差为

4(4)

04()()()1802

0.00035,(0,1)1802

b a b a R f f e ηη--=-

≤??=∈

5。推导下列三种矩形求积公式：

223()

()()()();2()

()()()();

224b

a b

f f x dx b a f a b a f f x dx b a f b b a a b f f x dx b a f b a ηηη'=-+

-'=---''+=-+-???

证明：

(1)()()()(),(,)f x f a f x a a b ηη'=+-∈Q

两边同时在[,]a b 上积分，得

()()()()()b

f x dx b a f a f x a dx η'=-+-?

即

()()()()()2

(2)()()()(),(,)

f f x dx b a f a b a f x f b f b x a b ηηη'=-+

-'=--∈?Q 两边同时在[,]a b 上积分，得

()()()()()b

f x dx b a f a f b x dx η'=---?

即

()()()()()2

()(3)()()()()(),(,)

22222

f f x dx b a f b b a a b a b a b f a b f x f f x x a b ηηη'=--

-''++++'=+-+-∈?Q

两连边同时在[,]a b 上积分，得

()()()(

)()()()22222

b b a

a a a

b a b a b f a b f x dx b a f f x dx x dx η''++++'=-+-+-??? 即

3()

()()()();224

b a

a b f f x dx b a f b a η''+=-+-?

6。若用复化梯形公式计算积分10

I e dx =?，问区间[0,1]应人多少等分才能使截断误差不超

过

102

-?？若改用复化辛普森公式，要达到同样精度区间[0,1]应分多少等分？解：

采用复化梯形公式时，余项为

()(),(,)12

n b a R f h f a b ηη-''=-

∈

又1

I e dx =

故(),(),0, 1.x

f x e f x e a b ''====

221()()1212n e R f h f h η''∴=

≤ 若5

1()102n R f -≤?，则

256

10h e

-≤?

当对区间[0,1]进行等分时，

1,h n

故有

212.85n ≥

= 因此，将区间213等分时可以满足误差要求采用复化辛普森公式时，余项为

4(4)

()()(),(,)1802

n b a h R f f a b ηη-=-

∈ 又(),x

f x e =Q

(4)4(4)4

(),

1()|()|28802880x n f x e e R f h f h

η∴=∴=-≤ 若51

()102

n R f -≤

?，则 451440

10h e

-≤

? 当对区间[0,1]进行等分时

1n h

故有

1440(10) 3.71n e

≥?=

因此，将区间8等分时可以满足误差要求。 7。如果()0f x ''>，证明用梯形公式计算积分()b

I f x dx =?

所得结果比准确值I 大，并说

明其几何意义。

解：采用梯形公式计算积分时，余项为

3()(),[,]12

T f R b a a b ηη''=--∈

又()0f x ''>Q 且b a >

0T R ∴<

又1T R T =-Q

I T ∴<

即计算值比准确值大。

其几何意义为，()0f x ''>为下凸函数，梯形面积大于曲边梯形面积。 8。用龙贝格求积方法计算下列积分，使误差不超过5

10-

(2)sin (3).

e dx

x xdx π

-??

解：

(1)x I e dx -=

因此

(2)sin I x xdx π

因此

(3)I =?

因此

9。用2,3n =的高斯-勒让德公式计算积分

sin .x e xdx ?

解：

sin .x I e xdx =?

[1,3],x ∈Q 令2t x =-，则[1,1]t ∈-

用2n =的高斯—勒让德公式计算积分

0.5555556[(0.7745967)(0.7745967)]0.8888889(0)

10.9484

I f f f ≈?-++?≈

用3n =的高斯—勒让德公式计算积分

0.3478548[(0.8611363)(0.8611363)]0.6521452[(0.3399810)(0.3399810)]10.95014

I f f f f ≈?-++?-+≈ 10 地球卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是

,S a θ=

这是a 是椭圆的半径轴，c 是地球中心与轨道中心（椭圆中心）的距离，记h 为近地点距离，

H 为远地点距离，R=6371（km ）为地球半径，则

(2)/2,()/2.a R H h c H h =++=-

我国第一颗地球卫星近地点距离h=439(km)，远地点距离H=2384(km ）。试求卫星轨道的周长。解：

6371,439,2384R h H ===Q

从而有。

(2)/27782.5

()/2972.54a R H h c H h S a θ

=++==-==

1.564646

48708()

I S km ≈≈

即人造卫星轨道的周长为48708km 11。证明等式 3

sin

3!5!n n

n n π

πππ=-

-L

试依据sin()(3,6,12)n n n

=的值，用外推算法求π的近似值。

解

若()sin

,f n n n

又35

11sin 3!5!

x x x x =-+-Q L

∴此函数的泰勒展式为

353

()sin

11[()()]3!5!3!5!f n n n

n n n n

n n π

πππ

πππ==-+-=-

-L L

()k n T π≈

当3n =时, sin 2.598076n n

= 当6n =时, sin

3n n

当12n =时, sin 3.105829n n

由外推法可得

故 3.14158π≈

12。用下列方法计算积分

，并比较结果。 (1)龙贝格方法；

(2)三点及五点高斯公式；

(3)将积分区间分为四等分，用复化两点高斯公式。解

dy I y

故有 1.098613I ≈ (2)采用高斯公式时

dy I y

此时[1,3],y ∈

令,x y z =-则[1,1],x ∈-

11,2

(),

I dx x f x x -=+=+?

利用三点高斯公式，则

0.5555556[(0.7745967)(0.7745967)]0.8888889(0)

1.098039

I f f f =?-++?≈

利用五点高斯公式，则

0.2369239[(0.9061798)(0.9061798)]

0.4786287[(0.5384693)(0.5384693)]0.5688889(0)1.098609

I f f f f f ≈?-++?-++?≈ (3)采用复化两点高斯公式将区间[1,3]四等分，得

12341.52 2.531

1.52

2.5I I I I I dy dy dy dy y y y

y =+++=+++?

??? 作变换5

x y +=

，则 1

1111,5

(),

(0.5773503)(0.5773503)0.4054054I dx x f x x I f f -=+=+≈-+≈?

作变换7

x y +=

，则 1

2121,71

(),

(0.5773503)(0.5773503)0.2876712I dx x f x x I f f -=+=+≈-+≈?

作变换9

x y +=

，则 1

3131,9

(),

(0.5773503)(0.5773503)0.2231405I dx x f x x I f f -=+=+≈-+≈?

作变换11

x y +=

，则 1

4141

,11

(),

(0.5773503)(0.5773503)0.1823204I dx x f x x I f f -=+=+≈-+≈?

因此，有

1.098538I ≈

13.用三点公式和积分公式求2

()(1)f x x =

+在 1.0,1.1x =，和1.2处的导数值，并估计误差。

()f x 的值由下表给出：

()(1)

f x x =

+ 由带余项的三点求导公式可知

00122

1022

20121()[3()4()()]()

231()[()()]()

261()[()4()3()]()

h f x f x f x f x f h h f x f x f x f h h f x f x f x f x f h ξξξ''''=-+-+''''=-+-''''=-++ 又012()0.2500,()0.2268,()0.2066,f x f x f x ===Q

001210220121

()[3()4()()]0.24721

()[()()]0.21721

()[()4()3()]0.187

2f x f x f x f x h

f x f x f x h f x f x f x f x h

'∴≈-+-='≈

-+=-'=-+=- 又2

()(1)

f x x =

+Q 5

()(1)f x x -'''∴=

又[1.0,1.2]x ∈Q

()0.75f ξ'''∴≤

故误差分别为

312

2()() 2.5103()() 1.25106()() 2.5103

h R x f h R x f h R x f ξξξ---'''=≤?'''=≤?'''=≤?

利用数值积分求导，设()()x f x ?'=

1()()()k k

x k k x f x f x x dx ?++=+?

由梯形求积公式得

1()[()()]2

k k

x k k x h x dx x x ???++=+?

从而有

11()()[()()]2

k k k k h

f x f x x x ??++=++

故

011012212()()[()()]

()()[()()]

x x f x f x h

????+=-+=-

又1

11()()()k k x k k x f x f x x dx ?+-+-=+?

且

11()[()()]k k x k k x x dx h x x ???+--+=+?

从而有

1111()()[()()]k k k k f x f x h x x ??+--+=++

故02201

()()[()()]x x f x f x h

??+=- 即

01120

2()()0.464()()0.404()()0.434

x x x x x x ??????+=-??

+=-??+=-? 解方程组可得

012

()0.247

()0.217()0.187x x x ???=-??

=-??=-?

数值分析典型习题

特别声明：考试时需带计算器作辅助计算 1．2015x *=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差* r e ≤-31 104 ?. 2. 01(),(), ,()n l x l x l x 是以01,, ,n x x x 为节点的拉格朗日插值基函数，则 3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =，[0123]f =，，，1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式，则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ，则A 的谱半径()A ρ= 1 ，A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=x Bx f ，迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ

数值分析习题集及答案[1].(优选)

数值分析习题集（适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》）长沙理工大学第一章绪论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若

数值分析典型例题

第一章典型例题例3 ln2=0.…，精确到10－3的近似值是多少解精确到10－3＝，即绝对误差限是＝, 故至少要保留小数点后三位才可以。ln2 第二章典型例题例1 用顺序消去法解线性方程组 ??? ??1 -=4+2+4=+2+31 -=4++2321 321321x x x x x x x x x 解顺序消元 ?? ?? ??????---???→???????????---????→???????????--=-?+-?+-?+1717005.555.00141 25.025.105.555.001412142141231412]b A [)3()2/1()2/3(231312r r r r r r M 于是有同解方程组 ?? ? ??-==--=++17175.555.0142332321x x x x x x 回代得解 x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 ??? ??5 =+2+23=++1=2-2+321 321321x x x x x x x x x 解建立迭代格式 ???????+--=+--=++-=+++5223122) (2)(1)1(3 ) (3)(1)1(2 ) (3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…)

第1次迭代,k =0 X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1 ???????-=+?-?-=-=+--==+?+?-=3 532123 351515232)2(3) 2(2)2(1x x x X (2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k =2 ???????=+-?-?-==+---==+-?+-?-=1 5)3(2521 3)3(511)3(2)3(2)2(3) 3(2)3(1x x x X (3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k =3 ???????=+?-?-==+--==+?+?-=1 512121 311111212)2(3) 2(2)2(1x x x X (4)＝(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭代法发散。证明例2中线性方程组的系数矩阵为 A ＝?? ?? ? ?????-122111221 于是 D ＝?? ?? ??????100010001 D －1＝D ??????????=022001000L ~ ????? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为

数值分析第四章数值积分与数值微分习题答案

第四章数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 101210121 12120 (1)()()(0)(); (2)()()(0)(); (3)()[(1)2()3()]/3; (4)()[(0)()]/2[(0)()]; h h h h h f x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-?? ?? 解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。（1）若101(1) ()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1012h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 221123 h h A h A -=+ 从而解得 011431313A h A h A h -?=?? ? =?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 3()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++=

令4()f x x =，则 455 1012()5 2 ()(0)()3 h h h h f x dx x dx h A f h A f A f h h ---== -++=? ? 故此时， 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≠-++? 故 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 具有3次代数精度。（2）若 21012()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1014h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 2211163 h h A h A -=+ 从而解得 1143 8383A h A h A h -?=-?? ? =?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 22322()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++=

数值积分与数值微分实验报告

实验三数值积分程序设计算法 1）实验目的通过本次实验熟悉并掌握各种数值积分算法及如何在matlab 中通过设计程序实现这些算法，从而更好地解决实际中的问题。 2）实验题目给出积分 dx x I ? -= 3 2 2 1 1 1.用Simpson 公式和N=8的复合Simpson 公式求积分的近似值. 2.用复合梯形公式、复合抛物线公式、龙贝格公式求定积分，要求绝对误差为 7 10*2 1-= ε，将计算结果与精确解做比较，并对计算结果进行分析。 3）实验原理与理论基础 Simpson 公式 )]()2 ( 4)([6 b f b a f a f a b S +++-= 复化梯形公式将定积分? = b a dx x f I )(的积分区间],[b a 分隔为n 等分，各节点为 n j jh a x j ,,1,0, =+= n a b h -= 复合梯形(Trapz)公式为 ])()(2)([21 1 ∑-=++-= n j j n b f x f a f n a b T 如果将],[b a 分隔为2n 等分，而n a b h /)(-=不变，则 )]()(2)(2)([41 2 111 2b f x f x f a f n a b T n j j n j j n +++-= ∑∑-=+-= 其中 h j a h x x j j )2 1(2 12 1+ +=+ =+ ，)]()(2)(2)([41 2 11 1 2b f x f x f a f n a b T n j j n j j n +++-= ∑∑-=+ -= ∑ -=-++-+ =1 )2) 12((22 1n j n n a b j a f n a b T n=1时，a b h -=，则)]()([2 1b f a f a b T +-= )0(0T = )2 1(2 2 112h a f a b T T + -+ =)1(0T = 若12-=k n ，记)1(0-=k T T n ， ,2,1=k 1 2 --= k a b h jh a x j +=1 2 --+=k a b j a h x x j j 2 12 1+ =+ k a b j a 2 ) 12(-++=，则可得如下递推公式

数值分析作业思考题汇总

￥数值分析思考题1 1、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。 2、相对误差在什么情况下可以用下式代替 3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。 4、取，计算，下列方法中哪种最好为什么（1）(3 3-，（2）(2 7-，（3） ()3 1 3+ ，（4） ()6 1 1 ，（5）99- , 数值实验数值实验综述：线性代数方程组的解法是一切科学计算的基础与核心问题。求解方法大致可分为直接法和迭代法两大类。直接法——指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算可求得方程组的精确解的方法，因此也称为精确法。当系数矩阵是方的、稠密的、无任何特殊结构的中小规模线性方程组时，Gauss消去法是目前最基本和常用的方法。如若系数矩阵具有某种特殊形式，则为了尽可能地减少计算量与存储量，需采用其他专门的方法来求解。 Gauss消去等同于矩阵的三角分解，但它存在潜在的不稳定性，故需要选主元素。对正定对称矩阵，采用平方根方法无需选主元。方程组的性态与方程组的条件数有关，对于病态的方程组必须采用特殊的方法进行求解。数值计算方法上机题目1 1、实验1. 病态问题实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”和“坏”之别。所谓坏问题就是问题本身的解对数据变化的比较敏感，反之属于好问题。希望读者通过本实验对此有一个初步的体会。数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 $ r e x x e x x ** * ** - == 141 . ≈)61

数值分析典型习题资料

数值分析典型习题

特别声明：考试时需带计算器作辅助计算 1．2015x *=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差* r e ≤ -31 104 ?. 2. 01(),(),,()n l x l x l x L 是以01,,,n x x x L 为节点的拉格朗日插值基函数，则 3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =，[0123]f =，，，1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式，则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ，则A 的谱半径()A ρ= 1 ，A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=L x Bx f ，迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ

Matlab数值积分与数值微分

M a t l a b数值积分与数值微分 Matlab数值积分 1.一重数值积分的实现方法变步长辛普森法、高斯-克朗罗德法、梯形积分法 1.1变步长辛普森法 Matlab提供了quad函数和quadl函数用于实现变步长辛普森法求数值积分.调用格式为: [I,n]=Quad(@fname,a,b,tol,trace) [I,n]=Quadl(@fname,a,b,tol,trace) Fname是函数文件名，a,b分别为积分下限、积分上限； tol为精度控制，默认为1.0×10-6，trace控制是否展开积分过程，若为0则不展开，非0则展开，默认不展开. 返回值I为积分数值；n为调用函数的次数. --------------------------------------------------------------------- 例如：求 ∫e0.5x sin(x+π )dx 3π 的值. 先建立函数文件 fesin.m function f=fesin(x) f=exp(-0.5*x).*sin(x+(pi/6));再调用quad函数

[I,n]=quad(@fesin,0,3*pi,1e-10) I= 0.9008 n= 365 --------------------------------------------------------------------- 例如：分别用quad函数和quadl函数求积分 ∫e0.5x sin(x+π 6 )dx 3π 的近似值，比较函数调用的次数. 先建立函数文件 fesin.m function f=fesin(x) f=exp(-0.5*x).*sin(x+(pi/6)); formatlong [I,n]=quadl(@fesin,0,3*pi,1e-10) I= n= 198 [I,n]=quad(@fesin,0,3*pi,1e-10) I= n= 365 --------------------------------------------------------------------- 可以发现quadl函数调用原函数的次数比quad少，并且比quad函数求得的数值解更精确. 1.2高斯-克朗罗德法

数值积分与数值微分知识题课

数值积分与数值微分习题课

一、已知012113,,424x x x ===，给出以这 3个点为求积节点在[]0.1上的插值型求积公式解：过这3个点的插值多项式基函数为 ()()()()()()()()()()()()()()()()1202010202121012012220211 20,0,1,2 k k x x x x l x x x x x x x x x l x x x x x x x x x l x x x x x A l x dx k --= ----= ----= --==?

()()()()()()()()()()()()111200001021102100101210120202113224111334244131441113324241142x x x x x x A dx dx x x x x x x x x x x A dx dx x x x x x x x x x x A dx x x x x ????-- ???--????=== --????-- ??? ???? ????-- ???--????===- --????-- ??? ???? ????-- ??--???==--?????102313134442dx ??= ????-- ??? ???? ? 故所求的插值型求积公式为 ()1 211 123343234f x dx f f f ??????≈- + ? ? ??????? ?

二、确定求积公式 ( )( )(1 1158059f x dx f f f -? ?≈++?? ? 的代数精度，它是Gauss 公式吗？证明：求积公式中系数与节点全部给定，直接检验依次取()23451,,,,,f x x x x x x =，有 [ ](1 1111 215181519 1058059dx xdx --==?+?+???==?+?+?? ???

数值分析典型例题

第一章典型例题例3…，精确到10－3的近似值是多少？解精确到10－3＝，即绝对误差限是?＝, 故至少要保留小数点后三位才可以。ln2? 第二章典型例题例1 用顺序消去法解线性方程组解顺序消元于是有同解方程组回代得解 x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组解建立迭代格式 ??? ????+--=+--=++-=+++5223122)(2)(1)1(3) (3)(1)1(2 )(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…) 第1次迭代,k =0 X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1 X (2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k =2 X (3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k =3

X (4)＝(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭代法发散。证明例2中线性方程组的系数矩阵为 A ＝?? ?? ? ?????-122111221 于是 D ＝?? ?? ??????100010001 D －1 ＝D ?? ?? ? ?????=022001000L ~ ?? ?? ? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为 B 0＝?? ?? ? ?????--=??????????-??????????-=+--022101220022101220100010001)U ~L ~(D 1 得到矩阵B 0的特征根03,2,1=λ，根据迭代基本定理4，雅可比迭代法收敛。高斯－赛德尔迭代矩阵为 G ＝－U ~ )L ~D (1-+ ＝－?? ?? ??????----=??????????-??????????---=??????????-??????????-2003202200001002201200110010001002201220110011 解得特征根为?1=0，?2,3=2。由迭代基本定理4知，高斯－赛德尔迭代发散。例5 填空选择题： 1. 用高斯列主元消去法解线性方程组作第1次消元后的第2，3个方程分别为。

数值分析习题集及答案Word版

数值分析习题集（适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》）长沙理工大学第一章绪论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?

数值分析典型例题

数值分析典型例题例1 对下列各数写出具有5位有效数字的近似值。236.478, 0.00234711, 9.000024, 9.0000343 10?. 解：按照定义，以上各数具有5位有效数字的近似值分别为：236.478， 0.0023471， 9.0000， 9.0000310?。注意: *x =9.000024的5位有效数字是9.0000而不是9，因为9 是1位有效数字。例2 指出下列各数具有几位有效数字。2.0004， -0.00200， -9000， 9310?， 23 10-?。解：按照定义，以上各数的有效数字位数分别为5， 3， 4，1，1 例3 已测得某物体行程* s 的近似值s=800m ，所需时间* s 的近似值为t=35s ，若已知m s s s t t 5.0||,05.0||**≤-≤-，试求平均速度v 的绝对误差和相对误差限。解：因为t s v /=，所以)()(1)()()(2t e t s s e t t e t v s e s v v e -=??+??≈ 从而 05.00469.035 800 5.0351|)(||||)(|1|)(|22≤≈+?≤+≤t e t s s e t v e 同样v v e v e r )()(≈)()()()(t e s e t e v t t v s e v s s v r r r -=??+??= 所以00205.035 05 .08005.0|)(||)(||)(|≈+≤+≤t e s e v e r r r 因此绝对误差限和相对误差限分别为0.05和0.00205。例4试建立积分20,,1,05 =+=n dx x x I n n 的递推关系，并研究它的误差传递。解：151 --= n n I n I ……………………………………………..…...(1) 5ln 6ln 0-=I ，计算出0I 后可通过（1）依次递推计算出1I ,…,20I 。但是计算0I 时有误差0e ，由此计算出的1I ,…,20I 也有误差，由（1）可知近似值之间的递推关系为 151 --= n n I n I ……………………………………………….…..(2) （1）-（2）可得 01)5(5e e e n n n -=-=-，由0I 计算n I 时误差被放大了n 5倍。所以（1）不稳定。（1）可以改写为 n I I n n 51 511+ -=- ……………………………………… （3）如果能先求出20I ，则依次可以求出19I ,…,0I ，计算20I 时有误差，这样根据（3）计算19I ,…,0I 就有误差，误差传播为 n n n e e ?? ? ??-=-511 ，误差依次减少。例5 用二分法求解方程012)(23=+--=x x x x f 在区间[0,1]内的1个实根，要求有3为有效数字。解：因为0)1()0(> newton('f','df',1.2,10^(-6),20) 3.实验结果

p0 = 1.2000 k =1 p1=1.1030 err=0.0970 y=0.0329 k= 2 p1=1.0524 err=0.0507 y=0.0084 k =3 p1=1.0264 err=0.0260 y=0.0021 k =4 p1=1.0133 err=0.0131 y=5.2963e-004 k =5 p1=1.0066 err=0.0066 y=1.3270e-004 k =6 p1=1.0033 err=0.0033 y=3.3211e-005 k =7 p1=1.0017 err=0.0017 y=8.3074e-006 k =8 p1=1.0008 err=8.3157e-004 y = 2.0774e-006 k =9 p1=1.0004 err=4.1596e-004 y =5.1943e-007 k=10 p1=1.0002 err=2.0802e-004 y= 1.2987e-007 k=11 p1=1.0001 err=1.0402e-004 y =3.2468e-008 k=12 p1=1.0001 err=5.2014e-005 y=8.1170e-009 k=13 p1=1.0000 err=2.6008e-005 y= 2.0293e-009 k=14 p1=1.0000 err=1.3004e-005 y=5.0732e-010 k=15 p1 =1.0000 err=6.5020e-006 y=1.2683e-010 k=16 p1 =1.0000 err=3.2510e-006 y=3.1708e-011 k=17 p1 =1.0000 err=1.6255e-006 y =7.9272e-012 k=18 p1 =1.0000 err =8.1279e-007 y= 1.9820e-012 ans = 1.0000 结果说明：经过18次迭代得到精确解为1，误差为8.1279e-007。

数值分析教案

数值分析教案土建学院工程力学系 2014年2月一、课程基本信息 1、课程英文名称：Numerical Analysis

2、课程类别：专业基础课程 3、课程学时：总学时32 4、学分：2 5、先修课程：《高等数学》、《线性代数》、《C 语言》 6、适用专业：工程力学二、课程的目的与任务：数值分析是工程力学专业的重要理论基础课程，是现代数学的一个重要分支。其主要任务是介绍进行科学计算的理论方法，即在计算机上对来自科学研究和工程实际中的数学问题进行数值计算和分析的理论和方法。通过本课程的学习，不仅使学生初步掌握数值分析的基本理论知识，而且使学生具备一定的科学计算的能力、分析问题和解决问题的能力，为学习后继课程以及将来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要的数学基础。三、课程的基本要求： 1．掌握数值分析的常用的基本的数值计算方法 2．掌握数值分析的基本理论、分析方法和原理 3．能利用计算机解决科学和工程中的某些数值计算应用问题，增强学生综合运用知识的能力 4．了解科学计算的发展方向和应用前景四、教学内容、要求及学时分配： (一) 理论教学：引论（2学时）第一讲（1-2节） 1．教学内容：数值分析(计算方法)这门课程的形成背景及主要研究内容、研究方法、主要特点；算法的有关概念及要求；误差的来源、意义、及其有关概念。数值计算中应注意的一些问题。 2．重点难点：算法设计及其表达法；误差的基本概念。数值计算中应注意的一些问题。3．教学目标：了解数值分析的基本概念；掌握误差的基本概念：误差、相对误差、误差限、相对误差限、有效数字；理解有效数字与误差的关系。学会选用相对较好的数值计算方法。

实验4_数值积分与数值微分

数值分析实验报告四数值积分与数值微分实验（2学时）一实验目的 1．掌握复化的梯形公式、Simpson 公式等牛顿-柯特斯公式计算积分。 2. 掌握数值微分的计算方法。二实验内容 1. 用复化梯形公式计算积分。 ?9 0dx x M=8 2. 用复化Simpson 公式计算积分。 ? 90dx x M=8 3. 给定下列表格值利用四点式（n=3）求)50()50('''f f 和的值。三实验步骤（算法）与结果 1复化梯形公式用C 语言编程如下： #include #include /*被积函数的定义*/ float f(float x) {

float y; y=sqrt(x); return y; } void main() { int i,m; float a,b,h,r; printf("输入等分数m:" ); scanf("%d",&m); printf("输入区间左端点a的值:"); scanf("%f",&a); printf("输入区间右端点b的值:"); scanf("%f",&b); float x[m+1]; h=(b-a)/m; for(i=0;i<=m;i++) x[i]=a+i*h; r=0; for(i=0;i<=m;i++) {if(i==0) r=r+h*0.5*f(x[i]); if(i>0&&i

if(i==m) r=r+0.5*h*f(x[i]); } printf("输出区间[%3.1f %3.1f]的积分值:%f\n",a,b,r); } 求解结果如下：输入等分数m:8 输入区间左端点a的值:0 输入区间右端点b的值:9 输出区间[0.0 9.0]的积分值:17.769514 2复化Simpson公式用C语言编程如下： #include #include /*被积函数的定义*/ float f(float x) { float y; y=sqrt(x); return y; } void main()

北航数值分析报告大作业第八题

北京航空航天大学数值分析大作业八学院名称自动化专业方向控制工程学号学生姓名许阳教师孙玉泉日期2014 年11月26 日

一．题目关于x , y , t , u , v , w 的方程组(A.3) ???? ?? ?=-+++=-+++=-+++=-+++79 .0sin 5.074.3cos 5.007.1cos sin 5.067.2cos 5.0y w v u t x w v u t y w v u t x w v u t (A.3) 以及关于z , t , u 的二维数表（见表A-1）确定了一个二元函数z =f (x , y )。表A-1 二维数表 t z u 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 0 -0.5 -0.34 0.14 0.94 2.06 3.5 0.2 -0.42 -0.5 -0.26 0.3 1.18 2.38 0.4 -0.18 -0.5 -0.5 -0.18 0.46 1.42 0.6 0.22 -0.34 -0.58 -0.5 -0.1 0.62 0.8 0.78 -0.02 -0.5 -0.66 -0.5 -0.02 1.0 1.5 0.46 -0.26 -0.66 -0.74 -0.5 1. 试用数值方法求出f (x , y ) 在区域}5.15.0,8.00|), {≤≤≤≤=y x y x D （上的近似表达式 ∑∑===k i k j s r rs y x c y x p 00 ),( 要求p (x , y )以最小的k 值达到以下的精度 ∑∑==-≤-=10020 7210)],(),([i j i i i i y x p y x f σ 其中j y i x i i 05.05.0,08.0+==。 2. 计算),(),,(* ***j i j i y x p y x f (i =1,2,…,8 ; j =1,2,…,5) 的值，以观察p (x , y ) 逼近f (x , y )的效果，其中j y i x j i 2.05.0,1.0**+==。

数值分析典型例题

数值分析典型例题 Revised as of 23 November 2020

第一章典型例题例3 ln2=0.…，精确到10－3的近似值是多少解精确到10－3＝，即绝对误差限是＝, 故至少要保留小数点后三位才可以。ln2 第二章典型例题例1 用顺序消去法解线性方程组 ??? ??1 -=4+2+4=+2+31-=4++2321 321321x x x x x x x x x 解顺序消元 ?? ?? ??????---???→???????????---????→???????????--=-?+-?+-?+1717005.555.00141 25.025.105.555.001412142141231412]b A [)3()2/1()2/3(231312r r r r r r 于是有同解方程组 ?? ? ??-==--=++17175.555.01 42332321x x x x x x 回代得解 x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 ??? ??5 =+2+23=++1=2-2+321 321321x x x x x x x x x 解建立迭代格式 ???????+--=+--=++-=+++5223122) (2)(1)1(3 ) (3)(1)1(2 ) (3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…)

第1次迭代,k =0 X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1 ???????-=+?-?-=-=+--==+?+?-=3 532123 351515232)2(3) 2(2)2(1x x x X (2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k =2 ???????=+-?-?-==+---==+-?+-?-=1 5)3(2521 3)3(511)3(2)3(2)2(3) 3(2) 3(1x x x X (3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k =3 ???????=+?-?-==+--==+?+?-=1 512121 311111212)2(3)2(2) 2(1x x x X (4)＝(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭代法发散。证明例2中线性方程组的系数矩阵为 A ＝?? ?? ? ?????-122111221 于是 D ＝??????????100010001 D －1＝D ??????????=022001000L ~ ?? ?? ? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为

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