输油管道布置的优化设计模型
摘要
管道运输是输送石油的一个重要途径，设计合理的管线铺设方案，不仅可以节省铺设的费用，还可以减少后期运输的成本，提高经济效益。本文针对题目中给出的不同情况，运用平面解析几何的轴对称原理、多元函数极值理论和计算机搜索算法等方法，设计了不同情况输油管线的详细方案。
问题一中，根据有无共用管线，以及各段管线的单位费用相同或不同，将模型分为四种情况进行讨论，并用matlab软件进行符号运算。
针对问题二，首先对三家工程咨询公司的估价结果按资质权重进行计算，得到较准确的附加费用估计值。接着就郊区部分是否铺设共用管线，分别建立数学模型并求得相应的最小费用。然后用搜索算法在可行域内搜索最优解，验证设计方案的正确性。比较所得结果，有共用管线的设计方案费用最低，为283.2789万元。具体设计方案是：B厂管线与城郊分界线的交点距铁路沿线7.37km；A、B 两厂管线的会合点距城郊分界线9.55km，距铁路沿线1.85km；车站距城郊分界线9.55km。
问题三与问题二类似，但各段管线的单位费用不相同。在前面结论的基础上，按郊区部分有无共用管线，分别建立模型并进行计算，再用搜索算法搜索最优点对方案进行验证。经比较，无共用管线方案费用最低，为252.5608万元。具体设计方案是：B厂管线与城郊分界线的交点距铁路沿线7.3km；车站距城郊分界线8.3km。
本文综合考虑了输油管线布置的各种情况，从费用最少的角度出发，为设计院提供了较为详细的设计方案。通过对比各种设计方案所需的费用，得出费用最少的方案，并用搜索算法进行了检验，确保了设计方案所需费用的准确性。
关键词：轴对称多元函数极值搜索算法优化设计
一、问题重述
某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出不同的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。
对问题二进行具体设计时，所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。有一部分管线铺设在城区，还需增加拆迁和工程补偿等附加费用。为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司进行了估算。三家工程咨询公司的资质分别为甲级、乙级、乙级，附加费用的估价分别为每千米21万元、24万元、20万元。
在上述实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。
根据上述实际问题的情况，给出管线最佳布置方案及相应的费用。
二、问题的分析
问题一中，两个炼油厂均在铁路的一侧，要求针对两个炼油厂到铁路线距离和两炼油厂之间距离的各种情况提出设计方案，还要考虑各段管线单位长度费用相同或不同的情况。因此，可将设计方案分为四类：不含共用管线、管线单位长度费用相同，不含共用管线、管线单位长度费用不同，含共用管线、管线单位长度费用相同，含共用管线、管线单位长度不同等四类。
针对问题二，在给定数据的情况下铺设管线时，由于所有管线均为每千米7.2万元，故需分为不含共用管线和含有共用管线两种设计方案，进而比较求得最优。在城区的管线需增加拆迁和工程补偿等附加费用，设计院聘请了三家不同资质的咨询公司，得到3个估价。需要对这3个数据进行合理处理，得到较准确的附加费用的估计值。
为了进一步节省费用，铺设路线时运输A厂的成品油每千米5.6万元，B厂的成品油每千米6.0万元，共用管线费用每千米7.2万元，拆迁等附加费用不变。结合问题一的分析，该问题属于管线单位长度费用不同的情况，应该分为不含共用管线和含有共用管线两种方案进行讨论，以求最优。
通过上述分析，容易看出，有以下两个问题需要解决：
(1)当不清楚是否含有共用管线，管线单位长度费用是否相等时，分四种情况进行讨论；
(2)根据问题二和问题三的具体数据，按是否含有共用管线分别建模并求解，比较两者的结果，得到最优的设计方案。
三、模型的假设
1、假设铺设管线地段的地质情况是一样的；
2、假设输油管道的铺设范围内，铁路可以近似看成是直线，并且可以忽略铁路及
两边安全区域的宽度；
3、假设施工对有足够高的水平能按照计划进行施工，能够精确的利用管线；
4、假设在施工的这段时间里所有需要的管线的价格不会发生改变。
四、符号说明
A p ——输送A 厂成品油的管道的单位长度费用；
B p ——输送B 厂成品油的管道的单位长度费用；
p ——共用管道的单位长度费用；
3p ——城区铺设管道时，单位长度的附加费用；
五、模型建立、求解及检验
5.1 问题1的模型
由题目条件知，两个炼油厂在铁路的同侧。针对两个炼油厂到铁路线距离和两炼油厂之间距离的各种情况，考虑是否采用共用管线以及各段管线单位长度费用相同或不同的情况，分为以下四种情况进行讨论。
(1)不采用共用管线，两炼油厂和车站之间成“V ”形分布。设A 厂到车站1M 的管道单位长度费用为A p 万元/千米，B 厂到车站1M 的管道单位长度费用为B p 万元/千米。
①当A B p p =时，即两段管线的价格相同。原问题要求铺设管道所需的最小费用，可以转化为求管道的最小长度，也就是两家炼油厂到车站距离之和的最小值，可用初等数学“轴对称求最短距离”的方法进行求解，如图1所示。
x
图1 轴对称求最短距离示意图
因为铁路相对较直，不妨令铁路沿线方向为x 轴，过点A 作x 方向的垂线为y 轴，建立直角坐标系。如何在铁路线上建造一个车站1M ，使得炼油厂A 、B 到车
站1M 的距离之和最小的问题，可以转化为一个纯几何问题，即在x 轴上找一点
1M ，使得该点到A 、B 距离之和最小。由平面解析几何轴对称的相关知识可知，作B 点关于x 轴的对称点B '，连接AB '，交x 轴于点1M ，则1M 为所求。
②当A B p p ≠时，即两段管道的价格不相同。这时不能将原问题简单的看成求距离最短。令各点坐标为()10,A y 、()22,B x y 、()1,0M x ，则可建立如下的模型。
()11A B Cost x p AM p BM =?+?
即：(
)
Cost x p p =
要使费用最少，即求函数()Cost x 的最小值。matlab 符号运算的结果较复杂，在此省略。当进行具体数据的运算时，可以令x 取适当的步长，在可行区间搜索函数的最小值点。
图2 两段管道价格不相等时示意图
(2)采用共用管线，两炼油厂和车站之间成“Y ”字形分布。运用多元函数极值理论，确定点N 。
图3 有共用管线时管道分布示意图
同理，建立如图3所示的直角坐标系，N 为两家炼油厂的管道的会合处。2
NM 为会合点到车站的距离。由于垂直距离最短，显然2NM 应垂直于x 轴。则记各点
的坐标分别为()10,A y ，()22,B x y ，(),N x y ，()2,0M x 。
①当共用管道与非共用管道单位长度的费用相同时，即A B p p p ==时，费用最少即线段AN 、BN 、2NM 距离之和最小。建立费用与上述坐标之间的关系，得：
()()
,,Cost x y p f x y p =?=?
化简，()
()
)
,,Cost x y pf x y p
y ==
其中(),f x y 表示三条直线段AN 、BN 、2NM 长度之和。要求线段距离之和的最小值，即求二元函数(),f x y 的最小值。运用matlab 的符号运算功能进行计算， 求
f 关于,x y 的一阶偏导数，并令其为0，解得函数的驻点。
f
x
??=1/2/((x1-x)^2+(y1-y)^2)^(1/2)*(-2*x1+2*x)+1/2/((x2-x)^2+(y2-y)^2)^(1/2)*(-2*x2+2*x) f
y
??=1/2/((x1-x)^2+(y1-y)^2)^(1/2)*(-2*y1+2*y)+1/2/((x2-x)^2+(y2-y)^2)^(1/2)*(-2*y2+2*y)+1 令00f
x
f y
??=??????=???，解得：1/2*21/6*3^(1/2)*(3*23*1)1/2*11/2*21/6*3^(1/2)*2y x x y y y y x =+-++-??=?
（增根已舍去）
整理，得21212
222222x x y y y y y x ?=+-????=++??
进一步求二阶偏导数，得到黑赛矩阵（由于符号运算的结果较为复杂，故未
写进正文）。该矩阵的各阶顺序主子式均为正值，即该黑赛矩阵正定，上述驻点为二元函数(),f
x
y 的局部极小点。又因为函数(),f x
y 为定义在凸集
()()212
0,0m a x ,x x y y y ≤≤≤≤上的凸函数，该区域中的极小值即为最小值。求得
min f =1/2*y1+1/2*y2+1/2*3^(1/2)*x2，即12min 2222
y y f x =
++。由此可知，最小费用122min min
222y y p x Cost p f ??
++ ??= =???
，其中p 为单位长度管道铺设费用。
②当共用管道与非共用管道单位长度的费用不同时，设A 厂到会合点N 的管
道单位长度费用为A p 万元/千米，B 厂到会合点N 的管道单位长度费用为B p 万元/千米，共用管道单位长度的价格p 。同样建立如图2所示的坐标系，容易建立总费用与A 、B 坐标之间的关系。即：
()
,A B Cost x y yp =+
+
同理，用上述方法求解该函数的最小值。用matlab 进行符号运算，求得函数
(),Cost x y 取得最小值的点N 坐标(),N x y 。
可表示为：()()11222122,,,,x f y x y y f y x y =???=??
由于符号运算的结果太长，故文中未给出。可以看出，这里求管道会合点坐
标的结论具有普遍性，后面类似的问题可以直接运用该结论。
结合上面的分析，我们提出以下设计方案。
(1) 不含共用管道，即两炼油厂与车站之间的管道分布成“V ”字型。
①当A B p p =，即A 炼油厂到车站1M 的管道单价A p 与B 厂到车站1M 的管道单价B p 相等时，运用轴对称求最短距离的原理，即由A 、B 两点坐标确定铁路上车站1M 的位置；
②当A B p p
≠时，建立模型：(
)Cost x p p =费用即函数()Cost x 的最小值；
(2) 含有共用管道，两炼油厂与车站之间的管道分布成“Y ”字型。 ①当共用管道与非共用管道单价相同时，即A B p p p ==时，费用最少即线段
AN 、BN 、2NM 距离之和最小。建立费用与点的坐标之间的关系，得：
()
)
,Cost x y p
y =
运用求多元函数极值的办法，得到最少费用的会合点N 的坐标为：
212122,222622x y y N y y x ??+--++ ? ???
②当各段管道的单位长度费用不相等时，建立如下模型：
()
,A B Cost x y yp =+
+
5.2 对三家公司估价数据的处理
根据题意，设计院要设计一条更为复杂的路线。路线一部分要穿过城区，该段管线的铺设涉及到拆迁和工程补偿问题。聘请的三家工程咨询公司的估算情况
如表1所示。表1 工程咨询公司估算结果
经查阅资料，通过对甲级资质和乙级资质咨询公司技术水平及技术装备的总体评估，甲乙两种资质的工程咨询公司对工程估价的精度比大致为1:0.8。由此可
知三家工程咨询公司估价结果的权重分别为110.80.8++、0.8
10.80.8
++、
0.8
10.80.8
++，即0.3846、0.3077、0.3077。按权重计算，得到附加费用
3210.3846240.3077200.307721.6154p =?+?+?=。
5.2.1 郊区部分不铺设共用管线，成“V ”字型分布
已知管道铺设费用为7.2p =万元/千米。由于管道经过城区需要附加费用，用于拆迁和赔偿，因此需要将炼油厂B 到车站1M 之间看作两段，直线段1M E 和BE 可能在一条直线上，也可能不在一条直线上。令管线与城郊分界线（即虚线）的交点为E ，则BE 段的铺设费用为()3p p +万元/千米，其余各段均为p 万元/千米。
图4 郊区部分管道成“V ”型分布的示意图
根据题设条件，城区的管道路线BE 应在直角三角形BFG ?内部滑动，即E 点被限定在直线段FG 上，也即08E y ≤≤，如图5所示。为了找到最佳的E 点，不妨在直线段FG 上按步长0.01进行搜索。
图5 E 点取值范围示意图
对于随机取定的E 点，因为铺设管道的单价相等，郊区费用最少即直线段1AM 、1M E 之和最小。可以通过初等数学对称轴求最短距离的方法，求得管道与
铁路的交点1M 及相应的总费用。通过比较不同E 点导致的总费用大小，得到最小费用的铺设路线方案。
根据上述思路编写matlab 程序，流程图如下所示。
图6 程序problem2_1.m 流程图
代码见附录problem2_1.m 。运行程序，求得1M 、E 点的坐标分别为
()16.1475,0M 、()15,7.2E ，最小费用为285.1211万元。管道分布示意图如图7所示。
图7 郊区管道分布成“V ”字分布，最小费用的铺设示意图
5.2.2 郊区部分铺设共用管线，成“Y ”型分布，如图8所示。
图8 郊区部分管道成“Y ”型分布的示意图
采用同样的方法沿城郊分界线搜索E 点。当取定一个E 点后，结合前面所述的多元函数极值理论求会合点N 的结论：
21212
222222x x y y y y y x ?=+-???
?=++
??
，得到N 点坐标，进而确定整个管道的铺设路线。
设E 点的坐标为()
,E E E x y ，则由()0,5A 、E 两点的坐标可求得N 点的坐标：
N 5,222622E E E E x y y x ??
+--++ ? ???
于是可以求得线段AN 、2NM 、NE 、BE 的长度，进而可以建立费用与坐标点之间的数学模型：
()
()23Cost AN NE NM p BE
p p =++++
代入点的坐标，可得：
522E E y Cost p ????
=++ ?
??
????
3
可见，函数Cost 是E 点坐标(),E E x y 的函数，即不同的坐标点会导致不同的管道铺设费用。考虑到15E x =，函数Cost 实际上只是自变量E y 的一元函数。根据前面所述的流程图，修改通过A E 、两点坐标求会合点N 的算法，得到程序problem2_2.m 。运行该程序，得到E 、N 两点的坐标分别为()15,7.37E 、
()5.4475,1.8549N ，最小费用为283.2789万元，管道铺设示意图如图9。
图9 随机确定E点、运用多元函数极值方法确定会合点N
5.2.3 运用搜索算法对模型结果进行检验
搜索算法是利用计算机的高性能来有目的的穷举一个问题解空间的部分或所有的可能情况，从而求出问题的解的一种方法。
为了验证上述方法的正确性，我们先在直线段FG上随机确定E点，再对每个确定E，搜索梯形区域AOGE，找到铺设AN、
NM、NE费用最少的点N。
2
图10 梯形区域AOGE示意图图11 计算机搜索算法搜索梯形区域示意图编写程序problem2_3.m，见附录。运行，得到E、N两点的坐标分别为()
5.5,1.8
N，最小费用为283.2814万元。由于所用的PC计算机的运E、()
15,7.35
算能力有限，未能将步长取得足够小以搜索更优的N点坐标。但即使这样，搜索得到的结果与上述两种方法取得的结果已经非常接近，说明上述方法取得的结果是正确的。
综合上面的分析，得出三种方法的结果如表2所示。
表2 三种方法取得结果的对照表
费用最大，含共用管线的设计方案费用最小，但相差并不大。随机搜索可以说是一种比较“笨”的方法，按程序中给定的步长，遍历了整个区域。在数据量不是很大的前提下，它也是可行的，因为必然能够找到较准确的数值解。
通过比较所需费用，选择郊区部分含有共用管线的设计方案，管线成“Y ”型分布，E 、N 两点的坐标分别为()15,7.37E 、()5.4475,1.8549N 。即B 厂管线与
城郊分界线的交点距铁路7.37km ，A 、
B 两厂管线的会合点距城郊分界线9.55km ，距铁路1.85km 。管道分布示意图如图12所示。
图12 第二小题最优方案
5.3 问题三的模型 为进一步节省费用，现在根据炼油厂的生产能力选用相适应的油管。此时A 厂到会合点N 的管线单价为A p =5.6万元/千米,B 厂到会合点N 的管线单价为B p =
6.0万元/千米，共用管线单价为p ＝
7.2万元/千米。
(1)不铺设共用管道，即郊区的管道分布成“V ”字型。 由于A B p p ≠，故该问题与5.1节中(1)②的模型类似：
(
)
Cost x p p =不同之处在于需要增加BE 段的费用。编写程序problem3_1.m ，先让计算机在城郊分界线上随机确定点E ，再将A 、E 点坐标代入上述模型，求函数Cost 在当前E 点坐标下的最小值。求Cost 在当前E 点坐标下的最小值的过程，就是将点A 、E 看作定点，在线段OG 上搜索最优点1M 的过程，如图13。
)
2
图13 计算机随机搜索E 、M 示意图
根据上述思路编写计算机程序problem3_1.m ，程序代码见附录。运行程序，得到()16.7,0M 、()15,7.3E ，最小费用为252.5608万元。
(2)铺设共用管道，即郊区的管道分布成“Y ”字型。
由于A B p p ≠，故该问题与5.1节中(2)②的情况类似，于是运用模型：
(),Cost x y yp =+
不同的是，上述模型不包含城区拆迁补偿的问题，需要增加城区的管道费用及拆迁补偿费用()3BE p p +。
编写程序如problem3_2.m ，见附录。运行程序，得到()5.5081,1.8199N 、()15,7.3E ，最小费用为253.9056万元。
(3)对上述两种方案的检验。 用计算机搜索整个区域的“笨”方法，对上面两种方法进行检验。先在线段FG 上搜索E 点，再在梯形区域AOGE 内搜索N 点。编写程序如problem3_3.m ，见附录。运行，得到()5.5,1.8N 、()15,7.36E ，最小费用为253.8419万元。
综合上面三种情况，得对照表，如表3所示。
由表3可以看出，随机搜索得到的结果与前面两种方法非常接近，误差可能是由于计算机运行时的舍入误差导致的。由于“V ”型布置的费用最少，故应该采用这种方法，即不铺设共用管线。最优方案中，()16.7,0M 、()15,7.3E ，最小费用为252.5608万元。即B 厂管线与城郊分界线的交点距铁路7.3km ，车站距城郊分界线8.3km ，管道布置的示意图如图14所示。
图14 第三题的最终方案图
六、模型的评价
本文运用了平面解析几何的轴对称原理、多元函数极值理论和计算机搜索算法等方法，对题目中给出的各种情况逐一建模求解，给设计院提供了铺设共用管线和不铺设共用管线两种方案，并通过比较，以费用最少的设计方案为最优设计方案。文中运用了必要的表格和图片，使得论文的结果形象直观，一目了然。
由于符号运算过于复杂，未能建立更一般、通用性更强的模型。由于PC机配置并不高，在进行搜索算法计算时，未能将搜索的步长取到足够小。
七、参考文献
[1]张志勇杨祖樱等，Matlab教程，北京：北京航空航天大学出版社，2006.8
[2]张威，Matlab基础与编程入门，西安电子科技大学出版社，2004.2
[3]徐全智杨晋浩，数学建模，北京：高等教育出版社，2003.7
[4]赵静但琦，数学建模与数学实验(第3版)，北京：高等教育出版社，2000
八、附录
主要程序源代码：
1、distc.m
%计算点（x1,y1）和（x2,y2）之间的距离
function f=distc(x1,y1,x2,y2)
f=sqrt((x1-x2)^2+(y1-y2)^2);
2、my_search.m
function [cost_min,X,Y]=my_search(x1,y1,x2,y2,pA,pB,p)
%在坐标点与X轴构成的梯形中，去寻找距离的最小值,第一个点在Y轴上。
%函数的返回值是最少费用，和N点坐标
%注意输入的参数中，x1,y1是A点坐标，x2,y2是E点坐标
cost_min=100000;
x=0:0.1:x2;
for ki= 1 : length(x)
y=interp1([x1,x2],[y1,y2],x(ki));
yki=0:0.1:y;
for kj=1:length(yki)
%用x_1,y_1表示N点坐标
x_1=x(ki);
y_1=yki(kj);
%注意：当各段管道的单价不等时，费用最少不能等价于距离最小
cost_cur=pA*distc(x1,y1,x_1,y_1)+pB*distc(x2,y2,x_1,y_1)+p*y_1;
if cost_cur cost_min=cost_cur; X=x_1; Y=y_1; end end end 3、problem2_1.m %在如图所示的虚线上，运用搜索算法生成点E，通过A、E两点，用轴对称的办法求M的坐标 clear,clc p=7.2;p3=21.6154; xE=15;y1=5; yE=0:0.1:8; n=length(yE); cost_city=p+p3;%城区管道费用,含拆迁费 cost_min=100000;cost_sub=p;%郊区管道费用 for k=1 : n %E点坐标相当于第一题中的B点坐标。 x2=xE; y2=yE(k); %通过A和E关于X轴的对称点E',求与X轴的交点M的横坐标 xM=interp1([5 -y2],[0 x2],0); %当前这一次循环的费用 cost_cur=cost_city*distc(20,8,xE,yE(k))+cost_sub*distc(0,5,x2,-y2); if cost_cur cost_min=cost_cur; YE=yE(k);XM=xM; end end 4、problem2_2.m %在如图所示的虚线上，运用搜索算法生成点E，通过A、E两点，用第一题的结论得到会合点C的坐标 clear,clc p=7.2;%管道费用 p3=21.6154;%拆迁附加费 xE=15;y1=5;%坐标 yE=0:0.01:8;n=length(yE); cost_city=p+p3;%城区管道费用,含拆迁费 cost_min=100000;cost_sub=p;%郊区管道费用 for k=1 : n %E点坐标相当于第一题中的B点坐标。 x2=xE;y2=yE(k); %下面二式均为第一题用多元函数极值理论求得的结论 x=1/2*x2+1/6*3^(1/2)*(3*y1-3*y2);y=1/2*y1+1/2*y2-1/6*3^(1/2)*x2; %当前这一次循环的费用 cost_cur=cost_city*distc(20,8,xE,yE(k))+cost_sub*(distc(0,5,x,y)+distc(xE,yE(k),x ,y)+y); if cost_cur cost_min=cost_cur; YE=yE(k);XN=x;YN=y; end end 5、problem2_3.m %在如图所示的虚线上，运用搜索算法生成点E，通过A、E两点，进一步搜索会合点N clear,clc p=7.2;%管道费用 p3=21.6154;%拆迁附加费 xE=15;y1=5;%坐标 yE=0:0.05:8;n=length(yE); cost_city=p+p3;%城区管道费用,含拆迁费 cost_min=100000;cost_sub=p;%郊区管道费用 for k=1 : n %E点坐标相当于第一题中的B点坐标。 x2=xE;y2=yE(k); %调用搜索算法 [d,x,y]=my_search(0,5,x2,y2,p,p,p); %当前这一次循环的费用 cost_cur=cost_city*distc(20,8,xE,yE(k))+cost_sub*(distc(0,5,x,y)+distc(xE,yE(k),x ,y)+y); if cost_cur cost_min=cost_cur; YE=yE(k);XN=x;YN=y; end end 6、problem3_1.m %V在如图所示的虚线上，运用蒙特卡罗的方法随机生成点E，再滑动M，求最佳的坐标 clear,clc p=7.2;%公用管道费用 pA=5.6; pB=6.0; p3=21.6154;%拆迁附加费 cost_city=pB+p3;%城区管道费用,含拆迁费 xE=15;y1=5;%坐标 yE=0:0.1:8; n_yE=length(yE); cost_min=100000; for ki=1 : n_yE %用x2,y2表示E点坐标，相当于第一题中的B点坐标。 x2=xE; y2=yE(ki); %在0 xM=0:0.1:15; n_xM=length(xM); for kj=1:n_xM %用x3,y3表示M点的坐标 x3=xM(kj); y3=0; %当前这一次循环的费用 cost_cur=cost_city*distc(20,8,x2,y2)+pA*distc(0,5,x3,y3)+pB*distc(x2,y2,x3,y3); if cost_cur cost_min=cost_cur; YE=y2;XM=x3; end end end 7、problem3_2.m %3-2,Y型 %在如图所示的虚线上，运用蒙特卡罗的方法随机生成点E，通过A、E两点，用第一题的结论得到会合点C的坐标 clear,clc p=7.2;%管道费用 pA=5.6; pB=6.0; p3=21.6154;%拆迁附加费 cost_city=pB+p3;%城区管道费用,含拆迁费 xE=15;y1=5;%坐标 yE=0:0.1:8; n=length(yE); cost_min=100000; for k=1 : n %用x2,y2表示E点坐标，相当于第一题中的B点坐标。 x2=xE; y2=yE(k); if y2>7.1 y222=y2; end %下面二式均为第一题用多元函数极值理论求得的结论，x,y即为N点坐标 x=…… y=……（引用前面符号计算的结果，太长，省略） %当前这一次循环的费用 cost_cur=cost_city*distc(20,8,x2,y2)+pA*distc(0,5,x,y)+pB*distc(x2,y2,x,y)+p*y; if cost_cur cost_min=cost_cur; YE=y2; XN=x; YN=y; end end 8、problem3_3.m %在如图所示的虚线上，运用蒙特卡罗的方法随机生成点E，通过A、E两点，用第一题的结论得到会合点C的坐标 clear,clc p=7.2;%管道费用 pA=5.6; pB=6.0; p3=21;%拆迁附加费 cost_city=pB+p3;%城区管道费用,含拆迁费 xE=15;y1=5;%坐标 yE=0:0.01:8; n=length(yE); cost_min=100000; for k=1 : n %用x2,y2表示E点坐标，相当于第一题中的B点坐标。 x2=xE;y2=yE(k); %调用problem3_monte_carlo, x,y即为N点坐标 [cost_tixing,x,y]=tixing_monte_carlo(0,5,x2,y2,pA,pB,p); %当前这一次循环的费用 cost_cur=cost_city*distc(20,8,x2,y2)+cost_tixing; if cost_cur cost_min=cost_cur; YE=y2;XN=x;YN=y; end end 变拆迁补偿输油管布置的优化模型 问题： 某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。 1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。 2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A 厂位于郊区（图中的I 区域），B 厂位于城区（图中的II 区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。 若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示： 请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。 问题推广： 3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A 厂成品油的每千米5.6万元，输送B 厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案及相应的费用。 4.假如拆迁费用与距郊区的距离呈线性关系()10k x x 万元/千米，进一步考虑问题2. 工程咨询公司 公司一 公司二 公司三 附加费用（万元/千米） 21 24 20 一、 问题分析 在铁路线一侧建造两家炼油厂，并在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油，根据各种不同的情况，输油管线设计方案不同。 共用管线费用一般比非共用管线费用贵，但不会超过2倍，否则不用共用管线。 本问题涉及炼油厂及车站位置等，可以借助几何方法来描述。 二、 模型假设与符号说明 模型假设 （1）两炼油厂分别为A 、B ，位于铁道线的同侧； （2）铁路是一条直线，不考虑其弯曲情况，且E 点为车站； （3）相同资质的工程咨询公司在估价中权重相等； （4） 点P 为共用管线与非共用管线的节点；共用管线费用是非共用管线费用k 倍，且（12k ≤≤） （5）不考虑施工工艺对管道铺设的影响。 符号说明 （1） 到铁路线的垂直距离；炼油厂A a : （2） 到铁路线的垂直距离；：炼油厂B b （3） 水平距离；到城区与郊区交界线的：炼钢厂A c （4） 的水平距离；、炼油厂B A l : （5） 管线建设总费用；:ω （6） ：非共用管线的费用；0ε （7） m ：城区铺设管道时需付的拆迁附加费用。 三、 模型的建立及求解 模型一：同一区域内管道铺设的最省费用 假设非共用管道铺设费用为0ε，总长度为1L ；共用管道铺设费用为0k ε，总长度为2L ；铺设管道的总费用记为ω。 数学建模及全国历年竞赛题目 (2010-09-28 21:58:01) 标签： 分类：专业教学 数学建模 应用数学模型 教育 一、数学建模的涵 （一）数学建模的概念 数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。使用数学语言描述的事物就称为数学模型，这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。（二）应用数学模型 应用数学去解决各类实际问题，把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构。通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。需要诸如数理统计、最优化、图论、微分方程、计算方法、神经网络、层次分析法、模糊数学，数学软件包如 Mathematica,Matlab,Lingo,Spss,Mapple的使用，甚至排版软件等知识的基础。 （三）数学建模的特点 数学建模具有难度大、涉及面广、形式灵活，对教师和学生要求高等特点；数学建模的教学本身是一个不断探索、不断创新、不断完善和提高的过程。（四）数学建模的指导思想 数学建模的指导思想就是：以实验室为基础、以学生为中心、以问题为主线、以培养能力为目标来组织教学工作。 （五）数学建模的意义 数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领械广泛应用的媒介，是数学科学技术转化的主要途径。通过教学使学生了解利用数学理论和方法去分析和解决问题的全过程，提高他们分析问题和解决问题的能力；提高他们学习数学的兴趣和应用数学的意识与能力，使他们在以后的工作中能经常性地想到用数学去解决问题，提高他们尽量利用计算机软件及当代高新科技成果的意识，能将数学、计算机有机地结合起来去解决实际问题。 1.培养创新意识和创造能力； 2.训练快速获取信息和资料的能力； 3.锻炼快速了解和掌握新知识的技能； 4.培养团队合作意识和团队合作精神； 5.增强写作技能和排版技术； 2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 输油管的布置 摘要 “输油管的布置”数学建模的目的是建立起数学模型寻求使铺设管道费用最低的设计方案。但是不同于普遍的最短路径问题，他受各种实际情况影响，例如，城区和郊区费用的不同，采用共用管线和非公用管线价格的不同等都会对设计产生影响。我们基于最短路径模型，对于题目实际情况进行研究和分析，对三个问题都设计了合适的数学模型做出了相应的解答和处理。 问题一：此问只需考虑两个炼油厂和铁路之间的位置关系，根据位置的不同设计相应的模型，我们根据光的传播原理和两大间线段最短的原则设计了最短路径模型，在不考虑共用管线价格差异时，只需考虑如何设计最短路线即可得到最低费用的设计方案；在考虑共用管线差价的情况下，只需建立两个未知变量，当代入已知常量，就可以解出变量的值。 问题二：此问给出了两个加油站的具体位置，在此基础上增加了城区和郊区铺设管线单位价格的不同，我们进一步改进了数学模型，由于铺设费用存在差异，输油管在城区和郊区的铺设将不会是直线方式，基于该模型，我们在模型基础上建立直角坐标系，设计2个变量就可以列出最低费用函数，利用C++编辑程序求借出最小值。 问题三：该问题的解答方法和问题二类似，但由于城郊管线和共用管线三者的价格均不一样，我们利用问题二中设计的数学模型进行改进，在坐标系内增加一个变量，建立最低费用函数，并且利用C++解出最低费用和路径坐标。 关键字： c++程序设计光的传播原理数学模型最低费用 输油管的布置 摘要 摘要中要把文章中模型的方法、思想、技巧、结论体现出来。关键词：研究对象建立模型求解算法等专业术语 一问题重述 1.1.背景资料与条件 某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路在线增建一个车站，用来运送成品油.现在针对这一计划,建立一个能够使管线建设费用最省的一般数学模型与方法。 1.2.需要解决的问题 1．针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，设计合理、科学的方案，同时对共享管线费用与非共享管线费用相同或不同的情形进行讨论。 ２。假设两炼油厂的具体位置由附图所示,其中A厂位于郊区(图中的I区域），B厂位于城区(图中的IＩ区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a=5，b=8，c=15，l=２0。 若所有管线的铺设费用均为每千米7。2万元。铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用,为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司(其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质)进行了估算。估算结果如下表所示： 工程咨询公司公司一公司二公司三附加费用（万元/千米)2124２0请针对以上所述的复杂情形设计出管线布置方案及相应的费用。 3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5。 6万元，输送B厂成品油的每千米6。0万元，共享管线费用为每千米7。２万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案及相应的费用。 二问题分析 问题的重要性分析(社会背景） 输油管一般为200—750毫米的无缝钢管，外涂沥青，并包绝热材料等，埋于地下，以防冻结和损坏,用输油管运输成品油，可节省运输设备和费用。设计一个最优化的可以尽量节省管线建设费用的方案，可以有效提高炼油厂的工作效率,节省油价成本，对炼油厂的长期经营和持续发展起到一个重要的作用。 问题的思路分析 铺设输油管的总费用包括管线铺设费用和拆迁等附加费，因此解决问题的关键在于设计一个能够节省铺设费用和附加费的方案. 首先，因为炼油厂建造在铁路一侧,火车站在铁路在线，因此,可以铁路线所在直线为X轴建立直角坐标系,两间炼油厂为第一象限上的点；然后,分别对三个问题进行讨论,建立相应的模型。 (1）对于问题１,可以做三种假设. Ⅰ.假设两炼油厂没有铺设共同管线。利用“对称点”的性质和“两点之间直线最短”的定理，找出火车站的最佳点，两炼油厂各自直接铺设管线到此点，所用的总费用最少。 Ⅱ.假设两厂有铺设共同管线，且共同管线与非共同管线的费用相同。利用由两点之间的距离最短原理和三角形中两边之和大于第三边的性质，确定连接非共同管线与共同管线的交点和火车站所在的点,并得出关系式，最后通过求导公式求出解。 Ⅲ．假设两厂有铺设共同管线，且共同管线与非共同管线的费用不同。只要在对假设Ⅱ的求解方法的基础上，再考虑不同管线的费用这一因素,求解方法与上一假设的方法相似。 （２）对于问题二,采用与问题一相同的模型，将具体数据代入,从而求得最优解。 (3)在问题（２）的基础上，把各种管道不同价格分别代入，然后利用费马点的推广，进行计算. 三基本假设 3。1模型一假设 （１）忽略地形的影响，把厂A、B和铁路当作在同一平面； (2）铁路是一条笔直的水平面直线，暂不考虑铁路存在弯道、坡道等； (３)假设铺设管线时没有发生材料损耗,除了铺设管线费用和附加费之外，没有其它费用发生; (4） 输油管布置的优化模型 摘要 本文建立了输油管线布置的优化问题.为了使两家炼油厂到铁路线上增建的车站的管线铺设费用最省，依据题目提供的有关数据及相关信息，设计出了总费用最少的输油管布置方案以及增建车站的具体位置，最终在讨论分析后，对模型做出了评价和推广. 模型Ⅰ：对问题1,根据两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间的不同距离以及共用管线与非共用管线的两种不同情况，给出了四种处理方案，并从图形上加以说明. 模型Ⅱ：对问题2,建立了最优模型.在单目标非线性规划模型中，将输油管道铺设分为两个过程.先将输油管道从城区铺设到城郊区域边界线上一点，再从该点铺设到铁路线上.这样，总的费用就化为这两个过程的管道费用之和.本模型兼顾到管线的铺设费用，在城区铺设管线需增加的拆迁和工程补偿等附加费用，运用Lingo9.0数学软件得到新增车站的建设位置、管线的具体布置方案及管线费用最小值281.6893万元. 模型Ⅲ：根据炼油厂的实际能力，借助题目提供的输送A、B两厂原油的管线铺设费用，在模型Ⅱ的基础上建立最优模型，给出管线最佳布置方案及相应的最省管线铺设费用为250.9581万元. 关键词：输油管共用管线非共用管线 Lingo9.0 非线性规划 一、问题重述 某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型和方法。 现欲解决下列问题： 问题1：针对炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出设计方案。在方案设计时，若有共用管线，考虑共用管线与非共用管线相同或不同的情形。 问题2：设计院目前需对一更为复杂的情形(两炼油厂的具体位置)进行具体的设计。两炼油厂的具体位置如下图： 若所有管线的费用均为7.2万元/千米。铺设在城区的管线还需增加迁拆和工程补偿等附加费用，为对此附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司(其中一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质)进行了估算。估算结果如下表所示： 工程咨询公司公司一公司二公司三附加费用(万元/千米)212420 要求我们为设计院给出管线布置方案及相应的费用。 问题3：在实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油为5.6万元/千米，输送B厂成品油为6.0万元/千米，共用管线费用为7.2万元/千米，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案及相应的费用。 输油管布置问题之研究 组员：杨成业 （组长） 常永培 姬成功 一、 摘要 输油管道的布局问题具有一定普遍性，在实际建设和铺设过程，需要对建设费用，管道型号，地形和其他因素所造成的影响降到最低，即布置管道达到最优状态----费用最低。对此问题我们采用了线性规划方法进行了研究。 对于问题一，我们认为，在实际情况下，炼油厂的建立完全是根据油田开采而建立的，因此我们是以炼油厂有什么样的位置确定铺设什么样的管道，我们合理的建立了平面坐标轴进行处理，通过计算得出了多种情况下的最佳方案。得到满足问题一的位置判断方程：221(2)P l k c m kn =+-+。1()c a b =+；得出管道铺设的几种最优方案，即可根据费用n,m 和公共管道k 的合理关系进行管道铺设 的合理判断，即公式：2211122 2()2k kc ab c c n k a m k -++≤≤--，推出优化方程2222123()()()()22l l P h t a p h t b p kp =++-+-+-+，可适用于一般管道铺设； 对于问题二，我们采用线性规划的方法讨论公共管道是建在郊区还是城区两 种情况，取其最优方案。综合之下，我们做出了将管道合理的建在郊区某个地方。得出适用于问题二的一般费用公式： 222 2 22 111()()()() (())()()[]c y a k y c y a k P n k m a k y m r l c b k y y --+-?-=?+?-++++?-+-- 得出比较接近于实际情况的结果 P=282.6973万元 对于问题三，我们在第二问的解题思路的基础上对一般的公式进行改进，得出 2222222 11112 222()()()()()()()[]()()()()()()()()() m r y c c y b k m r y c b k P m a k c n r k m r m r l y b k m r l y m r l y +-?-+-+-?-=?--+++?++?++-+-+-+-当k=0时，y=6.05935738;千米 P=252.93557;万元 我们的创新之处是：采用坐标轴的方法，且得出一般位置判断方程和一般费 用方程。 关键词：输油管铺设，平面坐标轴，线性规划，几何作图，MATLAB 方法求极值。 二、 问题重述 某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站， 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：重庆教育学院 参赛队员(打印并签名) ：1. 涂强 2. 黄黎 3. 聂凤云 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：杨鑫波 日期： 2010 年 9 月13 日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 摘要 本文从某油田计划在铁路线一侧建造炼油厂和在铁路线上增建一个车站开始，从节省建设费用和距离最短两个主要方面出发，分别通过对这两个方面的深入研究，进而制定出输油管布置的设计方案，最后再综合考虑这两个主要因素，进一步深入并细化，从而找出最佳方案，求得最优解。在解决此类问题时，可以将实际问题具体化，首先将总区域建立成一个平面坐标，接着将炼油厂简化成坐标，如此，便可将复杂的生活问题化成数学建模问题。 在问题Ⅰ中，我们将焦点锁定在从两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形的角度，制定不同的设计方案。我们从选取的数据和相关资料出发，利用物理光学性质，费尔马点建模，判别式法等相关性质与知识，并以两厂与车站的距离长短和两厂之间的距离长短以及是否共用管线，来分别制定六种不同的设计方案。 在问题Ⅱ中，我们从建立管线建设费用最省的条件出发，采用线性最优化思想，对成本在约束函数的条件下，求得最小值，由于本文还涉及到工程咨询公司的资质，于是便利用加权重的方法来综合考虑甲乙资质公司得到最优的附加费用值，这样就使得本文解题思路的合理性增强。求解过程使用LINGO软件，从而算出共用管道与非共用管道的费用。 ○1共用管道费用: Z y =+从而得出 7.2 Z=281.689。 ○2非共用管道费用为： Z=Z=283.5239。 由此可见，共用管道相对省费用，总共费用为：281.6893。 在问题Ⅲ中，为进一步节省费用，且根据炼油厂生产能力的大小，来选用相适应的油管，于是我们在问题二的基础上，将问题二中的最佳方案合理利用在问题三中，以此得出了管线的最佳布置方案及相应的费用。最佳布置方案需要共用管线，并且此时，管线费用为：250.9581。 最后，我们从本论文研究方向考虑，为在铁路旁建立车站和在铁路一侧建立炼油厂提出了其它设想，如：假设铁路是弯的。 【关键字】线性规划加权重物理光学性质费尔马点建模 lingo求解判别式法 输油管道布置的优化设计模型 摘要 管道运输是输送石油的一个重要途径，设计合理的管线铺设方案，不仅可以节省铺设的费用，还可以减少后期运输的成本，提高经济效益。本文针对题目中给出的不同情况，运用平面解析几何的轴对称原理、多元函数极值理论和计算机搜索算法等方法，设计了不同情况输油管线的详细方案。 问题一中，根据有无共用管线，以及各段管线的单位费用相同或不同，将模型分为四种情况进行讨论，并用matlab软件进行符号运算。 针对问题二，首先对三家工程咨询公司的估价结果按资质权重进行计算，得到较准确的附加费用估计值。接着就郊区部分是否铺设共用管线，分别建立数学模型并求得相应的最小费用。然后用搜索算法在可行域内搜索最优解，验证设计方案的正确性。比较所得结果，有共用管线的设计方案费用最低，为283.2789万元。具体设计方案是：B厂管线与城郊分界线的交点距铁路沿线7.37km；A、B 两厂管线的会合点距城郊分界线9.55km，距铁路沿线1.85km；车站距城郊分界线9.55km。 问题三与问题二类似，但各段管线的单位费用不相同。在前面结论的基础上，按郊区部分有无共用管线，分别建立模型并进行计算，再用搜索算法搜索最优点对方案进行验证。经比较，无共用管线方案费用最低，为252.5608万元。具体设计方案是：B厂管线与城郊分界线的交点距铁路沿线7.3km；车站距城郊分界线8.3km。 本文综合考虑了输油管线布置的各种情况，从费用最少的角度出发，为设计院提供了较为详细的设计方案。通过对比各种设计方案所需的费用，得出费用最少的方案，并用搜索算法进行了检验，确保了设计方案所需费用的准确性。 关键词：轴对称多元函数极值搜索算法优化设计 输油管的布置 摘要 本文讨论了输油管线最佳布置方案及最少费用问题，即最优化问题。通过分类讨论、图形求解，以及构建非线性规划的目标函数和约束条件，编写程序，然后借助lingo软件，分别给出了三个问题的解决方案。建立了三个模型，求出了三种情况下的最优管线铺设方案和最少费用。 针对问题一的情形，我们采用分类讨论的方法，细分了三种情况：没有共用管线、有共用管线且共用管线费用与非共用管线费用相同、有共用管线但共用管线费用与非共用管线费用不同。 没有共用管线时，我们根据初等几何中“求直线上一点，到直线一侧的两定点距离之和最短”的知识，利用图形求解，得到了使得铺设管线费用最少的车站建设点。 对于后两种情况，参考了文献[1]中对“费尔马点”问题的推广，即“求一点，使得它到定直线和直线一侧两定点距离之和最短”问题的讨论，结合具体问题进行改进，得到了使得费用最少的管线铺设方案，并求出了最少费用，具体结果见正文。 问题二的情形更复杂，城区管线增加了附加费用。我们按车站建设在城区或郊区，分成两种情况讨论，然后再比较这两种情况下各自的最优方案，优中选优。这样，使得解决问题的思路变得清晰。 首先对于三家公司的估计数据，我们根据其资质等级设立权重，得到较合理的一个数据。 然后，以铺设管线的总费用作为目标函数，结合几何知识进行推理分析，得到约束条件，转化为非线性规划问题。 最后，编写程序，利用lingo软件得到关键点的坐标，进而得到最优的管线铺设方案和最少花费。我们发现，最优方案中，车站应建在郊区，而在城、郊界限处应有一个管线的转折点，具体结果见正文。 问题三与问题二相比，只是A厂和B厂所用管线的费用不同了，所以我们类似问题二的分析，稍作修改就得到了最优方案。我们发现，此时车站也应建在郊区，而在城、郊界限处也应有一个管线的转折点，具体结果见正文。 本文给出了大量图形，条分缕析，虽直观易懂，但推理严谨，深入浅出，结果准确。 输油管的布置最优化模型 一、问题重述 某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。 1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。 2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为5;8;15;20 ====。 a b c l 若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示： 请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。 3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案及相应的费用。 二、模型假设 1）假设地势平坦，每段管线都是直的; 2）假设只考虑管线铺设费用； 3）假设铁路线近似为一条直线； 。 4）假设b a 三、符号说明 、：分别代表两家炼油厂； A B a：炼油厂A到铁路线的距离； b：炼油厂B到铁路线的距离； C：炼油厂A与铁路线的垂足； D：炼油厂B与铁路线的垂足； l：两垂足C和D之间的距离； P：两家炼油厂成品油的集运点； H：成品油的集运点与铁路线的垂足； k：非共用管线费用是共用管线费用的倍数； y：成品油的集运点到铁路线的距离； w：管线的长度； Q：输油管线与城区和郊区分界线的交点； z：输油管线与城区和郊区分界线的交点到铁路线的距离； W：总费用； p:单位长度管线铺设费用； 钻井布局 摘要 本文将网格移动和旋转问题转换为旧井点坐标的平移和旋转，对每一问题，先将旧井点坐标变换到单位格子中，这样分别将问题一、问题二转化为在单位格子中移动边长为2ε的正方形和半径为ε的圆，使落入正方形或圆中（包括边界）的点数最多。对于问题三，依然采用一、二问的坐标变换思想，将n 个井点坐标旋转、平移到单位格子中，则n 个井点均可利用的条件就是寻找半径最小的圆（在欧式距离下），使之包含全部的井点。 问题一：按上述思想进行坐标平移后，假设正方形中心坐标(,)x y ，建立了非线性规划模型。为了方便数值计算，在分析题目所给数据后，以0.01为步长，将x,y 在区间[0,1]上量化，运用穷举法，用matlab 编程，对每一组(,)x y ，计算每个井点到中心(,)x y 的距离，判断其是否落 入正方形内或边上，计算出落入正方形内和边上的井点数12 1 i i f =∑。然后比较，求出最大的12 1 i i f =∑及相应的(,)x y 。计算的结果是，最大可利用旧井点数为4个，此时(),x y 有多组，其中一组为（0.36,0.46），且可利用的4个旧井都是2,4,5,10号井。 问题二：先按照坐标旋转公式对坐标进行旋转，然后平移到单位格子中。用类似问题一的解法，设圆心坐标为(,)x y ，也建立了非线性规划模型。在分析数据的基础上，将旋转角度θ以0.001为步长在区间0,2π? ? ???? 上量化，x,y 的量化方法和第一问相同，对每一组(,,)x y θ，计算 每个井点到圆心(,)x y 的距离，判断是否落入圆内或圆上，求出落入的井点数。然后比较，求出落入圆内或圆上的最大井点数及相应的(,,)x y θ。计算结果是，在可旋转条件下，距离采用欧式距离时，最大可利用旧井点数为6个，此时对应的(,,)x y θ有多组，其中一组为（0.775,0.770,0.120），并且可利用的旧井均为1、6、7、8、9、11号这六口井。 问题三：对n 口旧井，求让其全部能被利用得条件，由问题一、二的求解，我们发现对一个固定的ε，其可利用的最大旧井数是一定的。所以必定存在一个最小的ε，使n 口旧井恰能都被利用。 我们选用欧式距离，在网格可旋转的情况下，讨论了最小ε的求法，这样在给定误差ε时，只要比较它和最小误差的大小，若大于，则可全部利用。 本文重点论述了，已知n 个井点坐标，在将其旋转、平移至单位格子中后，求包含所有点的最小圆的方法。即依据三点确定一个圆，计算其包含的点数，这样遍历3n c 次，比较找出包含 输油管的布置 YKK standardization office【 YKK5AB- YKK08- YKK2C- YKK18】 输油管的布置 摘要 输油管的布置属于优化问题，问题要求在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于受到各种实际情况的影响，例如，需要考虑到郊区和城区的费用不同、公用管线和非公用管线的价格不同等情况，设计出总费用最少的输油管线布置方案以及车站的具体位置。我们基于最短路径的模型，对给出的三个问题都设计的合适的设计方案。 问题一、根据两炼油厂和车站三点是否共线，考虑公用管线和非公用管线的费用相同或不同的情形，建立模型求解。 问题二、我们从铺设管道所用费用最少的原则出发，采用线性最优化原则，在约束条件下，运用LINGO软件对目标函数求得最优值。 问题三、根据问题二中比较得出的最优化模型得，将各数据带入优化模型，以此得出管道的最佳布置方案和与之相应的费用。 最后，我们从本论文研究方向出发，对可能出现的其他情况进行分析与假设，并给出一定的求解思想与方法。 关键字：优化模型线性规划 LINGO求解 一、问题重述 某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。 问题一:针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。 问题二:针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。 设计院目前需对复杂情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由图1-1所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。：设计院目前需对复杂情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。 输油管的优化设计方案 【摘要】 为了帮助油田设计院找到费用最省的输油管线建设方案，我们建立了两个多元连续函数的数学模型，称之为模型（1）与模型（2） 模型（1）是一个二元连续函数模型，简单直接地解决了油田设计院希望的费用最省的问题1。我们用两组测试数据对模型（1）进行了检测，发现结合MATLAB 软件使用起来，简单高效。结合对测试数据及其直观图像的联合分析，找到了求解建设管线花费最小的建设方案点的途径： （1）、y>0时，需要建设共用管线，y值就共用管线的长度，模型之解直接就是最优解； （2）、y<0或y=0时，说明不需要建设共用管线，模型之解只是个纯数学意义的最小点，而不是可行方案，但借助这个纯数学意义的最小点作跳板，可间接寻找出最佳可行方案点。 这是模型（1）为解决本实际问题作出的最有价值的贡献，但模型（1）偏于简单，忽略了一些影响建设成本的外在因素，例如城区与郊区建设成本单价有差别等等，离设计院的实际要求还有一定的距离，故在模型（1）的基础上开发出了模型（2） 模型（2）把城区与郊区铺设成本不同考虑了进来，设计院面临的实际问题2与3得以较好地解决。 利用模型（2），结合MATLAB软件，较轻松地解决了该设计院急需解决的俩问题： （1）、如考虑城区与郊区的因素，管线铺设单价都是7.2万元/千米时，最少建设成本为283.2013万元，车站建站点距A厂与铁路线的垂线垂足（即原点）5.4475千米的地点（沿B 厂方向）； （2）、如考虑郊区与城区因素的同时还考虑不同路段的管道单价，则最少建设成本为252.4737万元，车站建站点距A厂与铁路线的垂线垂足（即原点）6.7321千米沿B厂方向处。 总之，我们所建模型具有通用性，建模的思路也具有通用性，为相关单位解决此类问题提供了一个很好的样板。 【关键词】：多元连续函数的极值公允估算值偏导数 2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛 输油管的布置 摘要 能源的运输线路关系到国家的经济发展，本文根据问题的条件和要求，针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形建立最优化模型。通过分析，将炼油厂、车站、铁路线之间的距离作为未知常量，列出费用优化模型，完整地解决了问题。 针对第一问：首先画出两炼油厂及车站的位置关系图，通过对问题的分析，在位置关系图的基础上采用分步设计的思路，设计出了输油管道及车站的通用方案图。利用通用方案图，设定能够表示非共用管道交汇点位置及火车站建设点位置的变量x y 、，依据几何知识建立费用最小方案模型: 222212=(()()())W P a y x b y c x P y -++-+-+， 利用lingo 软件编写程序，从而求解出任意情况下的费用最小方案。 针对问题二：首先分析三家公司对附加费用的不同预测及自身的资质，我们采用加权平均的方法计算出合理的附加费用法，再由第一问的模型建立最优化模型： 2222221123((())()())()W P x a y b d y c x P y P d l c =+-+--+-+++- 通过ling 软件编程从而求解出设计方案，该方案计算的费用为283.20万。方案如图所示： 针对问题三：首先比较第三问与第二问，得出第三问与第二问的区别在于输油管道费用不再是固定的值。改进第二问中的模型，建立第三问的最优化模型： 111122233 222222111223min =(())+()()++() W P L P L P y P L P x a y P b d y c x P y P d l c =++++---+-+- 代入数据从而得出了最优方案。方案计算的费用为252.47万 关键词： lingo 最优化模型 加权平均值 一．问题重述 1.问题的重述 某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。 历年数学建模赛题题目 1992年 (A) 施肥效果分析问题(北京理工大学：叶其孝） (B) 实验数据分解问题（华东理工大学:俞文此; 复旦大学：谭永基）1993年 (A) 非线性交调的频率设计问题（北京大学：谢衷洁） (B) 足球排名次问题（清华大学：蔡大用） 1994年 (A) 逢山开路问题（西安电子科技大学：何大可） (B) 锁具装箱问题（复旦大学:谭永基.华东理工大学:俞文此） 1995年 (A) 飞行管理问题（复旦大学:谭永基.华东理工大学:俞文此） (B) 天车与冶炼炉的作业调度问题（浙江大学：刘祥官,李吉鸾）1996年 (A) 最优捕鱼策略问题（北京师范大学：刘来福） (B) 节水洗衣机问题（重庆大学：付鹂） 1997年 (A) 零件参数设计问题（清华大学：姜启源） (B) 截断切割问题（复旦大学:谭永基.华东理工大学:俞文此） 1998年 (A) 投资的收益和风险问题（浙江大学：陈淑平） (B) 灾情巡视路线问题（上海海运学院：丁颂康） 1999年 (A) 自动化车床管理问题（北京大学：孙山泽） (B) 钻井布局问题（郑州大学：林诒勋） (C) 煤矸石堆积问题（太原理工大学：贾晓峰） (D) 钻井布局问题（郑州大学：林诒勋） 2000年 (A) DNA序列分类问题（北京工业大学：孟大志） (B) 钢管订购和运输问题（武汉大学：费甫生） (C) 飞越北极问题（复旦大学：谭永基） (D) 空洞探测问题（东北电力学院：关信） 2001年 (A) 血管的三维重建问题（浙江大学：汪国昭） (B) 公交车调度问题（清华大学：谭泽光） (C) 基金使用计划问题（东南大学：陈恩水） (D) 公交车调度问题（清华大学：谭泽光） 2002年 题目： C （只写题号A.B.C.D） 参赛队员：队员1：张传飞队员2：陈永珍队员3：王亮亮指导教师：教练组 单位：江西环境工程职业学院 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他 公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反 竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：江西环境工程职业学院 参赛队员 (打印并签名)：1. 王亮亮 2. 张传飞 3. 陈永珍 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：教练组 日期： 2010 年 9 月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 输油管的优化布置 摘要 本文建立了理论模型流量，鉴于输油管的优化布置问题是运用动态规划的思想，利用最小面积法[1]求解。对建设费用最低的车站位置，并设计方案给出了近似最优点，即车站所选位置。我们对图中各条路线已剖析，其最优值代表该条车站的最优度，用各路线差异区分图中各路线的差别。图中的车站选址问题转化为求解便捷度问题，求各路线的车站选址问题即求最近车站的最短路线费用，以便捷为原则的最佳车站位置即求两厂最小便捷度点的连线与车站的交点。 针对问题一：应用求最短路距离的最小面积法，求出图中各线区之间的最短路径。我们在A ，B，C三点中C点作与车站。只需求从两厂到车站最短线路即可，并考虑了管道经费的最少问题，该两厂与C的交点即为所求车站。 针对问题二：主要运用了非线性规划模型进行求解，再由第一问的三种情况进行求解然后对比结果。考虑的因素要从最短路线和拆迁费用中进行分析，才能全面考虑到一些细节。其最短路线的消费为281.4407万元。 针对问题三：问题三同时考虑费用最低和交通便捷来求解，在降低管道输送油费运用的同时，还要确定好最好的路线，可用直接法来进行求解。求出的最优解为250.954万元。 关键词：资质最优最小面积法平均兼顾直接法灵敏度分析 输油管的布置最优化模型 摘要：1.将问题分为共用管线费用与非共用管线费用相同和不同两种情况：（1）共用管线费用与非共用管线费用相同。此情况可以利用费马点的定义进行作图，然后再利用纯几何的数学方法进行求解，求解的过程中要注意一些特殊情况； （2）共用管线费用与非共用管线费用不同。纯几何的数学方法已经不再适用，但是我们可以利用解析几何的数学方法进行求解，同样求解的过程中也要注意一些特殊情况。 2. 考虑到共用管线费用与非共用管线费用相同且还有附加费用，我们可以结合问题1的的第一种情况和城区管线的几何求值方法进行求解。 3.考虑到每段管线费用都不相同，我们可以利用解析几何的方法将每段长度都表示出来然后计算费用，然后利用多元函数的微分求极值的方法求出驻点和最 值。也可以利用lingo数学软件进行求解。 关键字：费马点、纯几何、解析几何、lingo数学软件。 一、问题重述 某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站， 用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建 设费用最省的一般数学模型与方法。 1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你 的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线 费用相同或不同的情形。 2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位 置由附图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的 II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为5;8;15;20 ====。 a b c l 若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。铺设在城区的管线还需增加 拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公 司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估 算结果如下表所示： 3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案及相应的费用。 二、模型假设 1.假设地势平坦，每段管线都是直的; 2.假设只考虑管线铺设费用和附加费用； 3.假设铁路线近似为一条直线。 三、符号说明 A B 、：分别代表两家炼油厂； a：炼油厂A到铁路线的距离； b：炼油厂B到铁路线的距离； 数学建模大赛历年试题 1．MCM（美国大学生数学建模竞赛） 1985 A题动物群体管理 1985 B题战略物资存储管理 1986 A题水道测量数据 1986 B题应急设施的位置 1987 A题盐的贮存 1987 B题停车场 1988 A题确定走私船的位置 1988 B题两辆铁路平板车的装货问题 1989 A题蠓的分类 1989 B题飞机排队 1990 A题药物在大脑中的分布 1990 B题扫雪问题 1991 A题估计水箱的流水量 1991 B题最小费用极小生成树 1992 A题航空控制雷达的功率 1992 B题应急电力修复系统 1993 A题加速餐厅剩菜堆肥的生成 1993 B题倒煤台的操作方案 1994 A题建筑费用 1994 B题计算机传输 1995 A题单螺旋线 1995 B题教师薪金分配 1996 A题海底探测 1996 B题竞赛论文的评定 1997 A题疾走龙属问题 1997 B题开会决策 1998 A题MRI扫描仪 1998 B题学生等级划分 1999 A题小型星撞击 1999 B题非法集会 1999 C题大地污染 2000 A题空中交通控制 2000 C题大象的数量 2002 A题风和喷水池 2002 B题航空公司超员订票 2003 A题特技人员 2003 B题GAMMA刀治疗计划 2004 A题指纹是独一无二的吗？ 2004 B题更快的快通系统 2．CUMCM（全国大学生数学建模竞赛）1993年A题非线性交调的频率设计 1993年B题球队排名问题 1994年A题逢山开路 1994年B题锁具装箱 1995年A题一个飞行管理模型 1995年B题天车与冶炼炉的作业调度 1996年A题最优捕鱼策略 年数学建模c题输油管的布置 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛 输油管的布置 摘要 能源的运输线路关系到国家的经济发展，本文根据问题的条件和要求，针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形建立最优化模型。通过分析，将炼油厂、车站、铁路线之间的距离作为未知常量，列出费用优化模型，完整地解决了问题。 针对第一问：首先画出两炼油厂及车站的位置关系图，通过对问题的分析，在位置关系图的基础上采用分步设计的思路，设计出了输油管道及车站的通用方案图。利用通用方案图，设定能够表示非共用管道交汇点位置及火车站建设点位置的变量x y 、，依据几何知识建立费用最小方案模型: 22221 2=(()()())W P a y x b y c x P y -++-+-+， 利用lingo 软件编写程序，从而求解出任意情况下的费用最小方案。 针对问题二：首先分析三家公司对附加费用的不同预测及自身的资质，我们采用加权平均的方法计算出合理的附加费用法，再由第一问的模型建立最优化模型： 2222221123((())()())()W P x a y b d y c x P y P d l c =+-+--+-+++- 通过ling 软件编程从而求解出设计方案，该方案计算的费用为283.20万。方案如图所示： 针对问题三：首先比较第三问与第二问，得出第三问与第二问的区别在于输油管道费用不再是固定的值。改进第二问中的模型，建立第三问的最优化模型： 111122233 222222111223min =(())+()()++() W P L P L P y P L P x a y P b d y c x P y P d l c =++++---+-+- 代入数据从而得出了最优方案。方案计算的费用为252.47万 关键词： lingo 最优化模型 加权平均值 一．问题重述 1.问题的重述 某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。 2.提出问题：输油管铺设优化资料
数学建模及全国历年竞赛题目
数学建模之输油管的布置
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