高等数学(一)
第二篇 网络助学平台测试题汇编
■阶段测验一 一、单选题
1．确定24x y -=的定义域为( )。
A ．[-2,2]
B ．[-1,1]
C ．[-1,0]
D ．[0,2]
2．已知f(x)=x 2-x+5，那么f{f(x)}等于 ( )。 A ．(x 2-x+5)2 -(x 2-x+5)-5 B ．(x 2-x+5)2 -(X 2-x+5)+5 C ．(x 2-x+5)2-(X 2+x+5)+5 D ．(x 2+x-5)2-(x 2-x+5)+5 3．已知函数2
21)1
(x
x x x f +
=+，那么f(x)=( )。
A ．X 2-x
B ．x 2-1
C ．X 2+x
D ．X 2-2 4．设A={0，1，2}，B={-1，1}，那么A U B 等于( )。 A ．{-2，-1，0，1} B ．{-1，1，2，3} C ．{0，1，2，3}
D ．{-1，0，1，2} 5．以下说法错误的是( )。
A ．y=sinx 是奇函数
B ．y=cosx 是偶函数
C ．y=cosx+1是偶函数
D ．y=cosx-sinx 是偶函数 6．由函数y=u 3，u=tanx 复合而成的函数为( )。
A ．y=tan 3x
B ．y=tan -3x
C ．y=cotx 3
D ．y=arctanx 7．下列各对函数相同的是( )。
A. x
x
y x y 2
,=
= B ．2ln ,ln 2x y x y ==
C ．
x
y x y 2
cos 1,sin -=
= D.22,v u x y ==
8．函数1
1)(+-=
x
x
a a x f ( )。
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．非奇非偶函数
D ．无法判断 9．函数f(x)=sin(1／3)x+tan(1／4)x 的周期( )。
A ．4π
B ．8π
C ．12π
D ．16π 10．以下说法错误的是( )。
A ．反正弦函数y=arcsinx ，定义域D=[-1,1],值域G=[2
,2π
π-
]
B ．反余弦函数y=arccosx ，定义域D=[-1,1]．，值域G=[0，π] C.反正切函数y=arctgX,定义域D=（-∞，+∞），值域G=（2
,2π
π-
）
D ．反余切函数y=arctgX,定义域D=（-∞，+∞），值域G=（0，2π） 11.
+=)
f(x ,2)(2
2
则x x x f （ ）。
A ．x 3+2x 2 B.x 4+2x C.x 2+2x D. x 4+2x 2 12.在R 上，下列函数中为有界函数的是（ ）。
A.e x
B. 1+sinx
C. lnx
D. tanx 13.设函数)2
27sin()(π-
=x x f ，则对所有的x ，=)(x f （ ）。
A. sinx
B.-sinx
C. cosx
D.-cosx
14.设集合)02(),043(2=--==--x x x N x x x M 则N M ?等于（ ）。
A.｛4，-1，-2｝
B.｛4，-1｝
C.｛-2，-1｝
D.｛-1｝ 15．下列函数中，图形关于y 轴对称的是( )。
A ．y=sinx
B ．y=xsinx
C ．y=e x
D ．y=lnx 16.极限x
x
x arcsin lim
→等于 ）。 17. 极限)
1ln()
1ln(tan lim
x x x simx x ++→( ) 。
A. -2
B. -1
C.0
D. 1
18. 极限)
1()
1(lim
+-→n n
n ( )
A. -1
B. 0
C.1
D. 2 19. 极限=-→)12(lim 1
x x （ ）。
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5 20．极限n n a
→∞
lim
（a>0）=( )。
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
21．计算=+→x x x sin 1
)sin 21(lim ( )。
A ．e -2
B ．e -1
C ．e
D ．e 2
22．当x →0时，将下列无穷小量与x 进行比较，下列哪个是X 的高阶无穷小( )。
A ．X 2+x 3
B ．2x+x 2 C. Sinx D tanx 23．分段函数
??
?
??
?????=≠=0,10,2sin )(x x x x x f 的连续区间为（
）。
A. f(x)在(-∞，1）上连续
B. f(x)在(-1，+∞）上连续
C. f(x)在(-∞，0） (0，+∞）上连续
D. f(x)在(-∞，+∞）上连续 24. 计算=
----→)
cos 1)(131()1ln()2(sin lim
2
x x x x x ( )。
A ．-2 B. 3
8 C. -1 D. 1
25．计算=
--
-→)1113(
lim 3
x
x
x ( ) 。
A ．-l
B ．0
C ．1
D ．2 26. 计算=
--→1
cos 1
lim
2
x e
x
x ( ) 。
A ．-2
B ．-1
C ．0
D ．1 27．=-+∞
→n n n n 2
lim
（ ）。
A ．2
1 B ．1 C ．+∞ D ．0
28. 13lim -=∞
→x x e =（ ）。
A ．不存在 B. ∞ C.0 D. 1 29．3
2224lim 2
2
++--=
→∞
x x x x x ( )。
A ．0 B. ∞ C.2 D. -2 30．函数x
x x x x x f 653)
(2
3
2
3
--+-的间断点是（ ）。
A ．x=6、x=-1
B ．x=0、x=6
C ．x=0、x=6、X=-1
D ．x=-1、x=0 二、计算题
1．)0()1(lim 12≠-+→∞
k x
k
x x
2．)
2sin 1ln(1
lim
20
x e
x
x +--→+
三、证明题
证明方程x·2x 一1=0在(0，1)内至少有一根.
四、应用题
某厂生产某种产品，固定成本为400万元，多生产一个单位产品，成本增加10万元。该产品产产销平衡且产品需求函数为x=1000—50P(x 产量，P 为价格)。该厂生产多少单位产品所获利润最大?最大利润是多少?
阶段测验二
一、
单选题
1．若A a
x a f x f a
x =--→)()(lim
,A 为常数，则有（ ）
A.f (x)在x=a 处无意义；
B.f (x)在x=a 处不连续
C.)(lim x f a
x →存在； D.f (x)=f (a)＋f (x －a)
2. 已知函数y=x 3＋ax 2＋bx ＋c 的拐点为（1，-1），在x=0取得极大值，那么a,b,c=( )
A 、a=3,b=1,c=-3
B 、a=-1,b=2,c=3
C 、a=-3,b=2,c=1
D 、a=-3,b=1,c=-2 3.f (x)为偶函数，且 )0(f '存在，则)0(f '=（ ） A 、 3 B 、2 C 、1 D 、0
4.函数f (x)=(x-5)3
2x 的增区间（ ）
A 、 ),2)(0,(+∞-∞是减少区间
B 、 （0，2）是增区间
C 、 ),2)(2,(+∞-∞是减少区间
D 、 ),2)(2,(+∞-∞增加区间，（0，2）是减少区间 5. x x y arccos arcsin +=，则='y （ ） A 、1 B 、0 C 、x D 、
2
11x
-
6.函数???≥<=0
,,)(x xe o x x x f x 在x=0处（ ）。
A 、不连续
B 、可导
C 、不可微
D 、连续但不可导 7.若y x e xy +=，则()='y A 、
x
xy xy y -- B 、
x
e
xy y y
x +-+ C 、
x
xy xy y +- D 、
x
xy xy y -+
8.计算x
x e
x 2
1lim
-→等于（ ）
A 、－3/2
B 、－1/2
C 、1/2
D 、3/2 9.以下说汉错误的是（ ） A.x
y 1arctan
=的导数为
2
11x
+-
B.2)1l n(x y +=的导数为2
12x
x
y +=
'
C.)cot ln(csc x x y -=的导数为x csc
D.x x y ++=1l n(
2
的导数为
1
12
+x
10.若a>1,计算n
x a
n 2lim
∞
→=（ ）
A 、-1
B 、0
C 、1
D 、3/2 11.一元函数f (x)在
x
点可微是f (x)该点可导的（ ）
A 、充分必要投机条件
B 、充分条件
C 、必要条件
D 、无关条件
12.32)(2+-=x x x f 在区间[]2,0上使得罗尔定理成立，有中值ξ为（ ） A 、4 B 、2 C 、3 D 、1
13.下列函数中，在点x=l 处连续且可导的函 数为( ) A ．1-=x y B ．3
1
+=
x y
C ．1-=x e y
D ．2)1(-=x y 14．下列极限不能使用洛必达法则的是( ) A.
2
12
lim
x
x e
x
-→ B 、x
x x 1
21lim
-+→
C 、x
x x x x sin sin lim
+-→ D 、
2
12
lim
x
x e
x
→
15．设y=f(-x)，则='y ( )
A 、)(x f -''
B 、2)(x f -''
C 、-2)(x f -''
D 、-)(x f -'' 16、如果在( a , b )内0)(≥'x f ，且f(x)d 在[]b a ,，连续，则在[]b a ,上（ ）
A ．f(a)≤f(x)≤f(b)
B 。f(b) C ．f(a) D ．f(b)≤f (x)≤f(a) 17.设 ?? ?? ?>-≤=2,42 ,0)(2 x x x x f ,则=')2(f （ ） A ．0 B ．-2 C ．不存在 D ．2 18．在[]1,1-上arcsinx+arccosx( ) A 、= 2 π B 、< 2 π C 、> 2 π D 、0 19.如果f(x)点0x 处可导，且(),1)(,000=''='x f x f 则)3 (0x lim h x f y -'∞ → A.∞ B.0 C.3 D.-3 20. 1323++=x x fx 的凹向区间是（ ） A ．()+∞,0 B ．()+∞-,1 C ．()+∞∞-, D ．()+∞,1 21.设y=(x 一1)(x 一2)…(x -20)，则()='0f （ ） A ．20! B ．0 C ．∞ D ．一20! 22.点(1，5)是f(x)=4(X-a)3+b 对应图形的拐点，则( ) A ．a=0，b=1 B ．a=2，b=3 C ．a=l ，b=5 D ．a=一1．b=一6 23．设y=(1一X)-2,则()=n y ( ) A ．n!(1-x)n+1 B ．(n+1)!(1－X)一(n+2) C ．一n!(1-x)n+1 D ．一(n+1)(1一X)n+2 24.1 22 2 -= x x y 的水平渐近线是( ) A ．x=l ，X=-2 B ．x=－1 C ．y=2 D ．y=一1 25．如果f (x)在0x 点可微，则=?+??'=?→x x x f y α αlim h 0,)(其中 （ ） A ．∞ B ．0 C ．1 D ．一1 26.在区间(a ，b)内任意一点，函数f(x)的曲线弧总位于其切线的上方，则该曲线在(a ，b) 内是( ) A ．凹 B ．凸 C ．单调上升 D ．单调下降 27．设y=lnx ，则y(n)=( ) A ．(一1)n n!x -n B ．(一1)n (n 一1)!x -2 C ．(一1)n-1(n 一1)!x n D ．(-1)n+1n!x -n+1 28．某商品的需求量Q 与价格P 的函数关系为Q ：f(P)，且当P=P0时，需求弹性为0.8, 若此时再涨价2％，需求将减少( ) A ．1.6 B 、1.6% C ．0.8 D ．0．8％ 29.处的导数是 在点π==x sin x y （ ） A 、0 B.1 C.-1 D.不存在 30.以下说法正确的是（ ） A 、拉格朗日中值定理是罗尔定理的特殊情形 B 、柯西定理是拉格朗日中值定理的特殊情形 C 、罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形 D 、介值定理是罗尔定理的特殊情形 二 计算题 2．计算 x e e x x x cos 12 lim --+-→ 3．计算 ?? ? ??-→x x x 1sin 1 lim 三.证明题 证明不等式. - e x≥ 1x 四、应用题 阶段测验三 一、 单选题 1. 已知) (y 1,y(-1)33==='则，且x y A 、23-x B 、23+x C 、13-x D 、13+x 2.则（）,01 ,0 1 21xdx I dx x I ??= = A. I 1>I 2 B.I 2>I 1 C.I 1=I 2 D.I 1≤I 2 3. =( )。 A ．2 B ．0 C ．1 D ．1n2 4．下列积分中不能直接使用牛顿一莱布尼兹公式的是( )。 A. dx x x 2 101 +? B. dx x x 2 11 1 --? C. 2 23 ) 3(0 2 -?x xdx D. x x xdx e ln 3? 5．设sec 2x 是f(x)的一个原函数，则xf(x)的不定积分是=( )。 A ．xtanx —tanx+C B ．xtanx+tanx+C C ．xsec 2x —tanx+C D ．xsec 2x+tanx+C 6．下列广义积分收敛的是( )。 A. 4 1 x dx ?∞+ B. 3 1 x dx ?∞+ C. 4 01x dx ? D. 3 1x dx ? 7.??=xydxdy 4（ ）。 A.2 B.1/2 C.0 D.1 8．微分方程cosydy=sinxdx 的通解是( ) A ．sinx+cosy=C B ．cosx+siny=C C ．cosx-siny=C D ．cosy-sinx=C 9．如果cos 2x 是f(x)原函数，则另一个原函数是( ) A ．-sin 2X B ．sin 2x C ．sin2x D ．cos2x 10.设1)(='x f 且f (0)=0，则?=dx x f )(( )。 A.C B.x+C C.x 2/2+C D. x 2+C 11.微分方程x y y x sin )(5)4(2=-的阶数为( )。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 12．dx x t )(ln 12 ?=( ) A ．ln2 B ．ln4 C ．0 D ．1 13．下列定积分中，值等于零的是( ) A ．xdx ?-21 B ．xdx x 2 21sin ?- C ．xdx x sin 21 ?- D ．xdx x 2221sin ?- 14．计算：dx e e x x )(10-+?=( ) A.e e 1+ B. e e 1- C. e e 1+ 1 D. e e 1- +1 15. 计算：dx dx e e x x =?sin ( ) A.)cos (sin 2 1x x e x + C B. )cos (sin 2 1x x e x + C C.C e x +cos D. C e x +-cos 16. 计算：=?xdx e ln 1( ) A.e B.0 C.1 D.e+1 17.= +? 2 1x xdx ( ) A.arctanx+C B.() 21ln x x ++ C C.C x ++21 D. ln 2 1 18.．设积分域在D 由直线x+y=l ，x=y ，x=0 所围成，则??=D dxdy ( ) A ．?? -21 01x x dy dx B. ? ? -2 1 1x x dy dx C ．??210 1 x dy dx D. ? ?2 1 1 x dy dx 19.设='=>y ,2则y x x y x （ ） A 、 x y y x x y 2 2 B 、 ) 1(ln )1(ln --x x y y C 、 x xy x y xy y ln ln 2 2 -- D 、 y y x x x y ln ln 20.设()=-??=00z ),,(y x x y x f z 则（ ） A.()() y y x f y y x x y ?-?+?+→?00000 ,,lim B.()() y y x f y x x y ?-?+→?000 ,,lim C. ()() y y x f y x x y ?-?+→?,,lim D. ()() x y x f y x x y ?-?+→?00000 ,,lim 21.设= ??+=-x z e x z y ),ln(2 （ ） A. 2 1y e x -+ B. 22 2y y e x ye --+- C. 2 2 21y y e x ye --+- D. 2 2 y y e x e --+ 22.计算围成的闭区域 是由直线其中x y 1,y 2,x 1,x D ====??D xyd σ（ ） A.1/8 B.9/8 C.3/8 D.1/2 23.函数的驻点为1),(22+-++=y x y xy x y x f （ ） A ．（1，-1） B.( -1，-1) C.( -1， 1) D. （1， 1） 24.函数的驻点是924222-+--+=y x y xy x z ( ) A.(1/2,3/2) B.( -1/2, 3/2) C. ( 1/2,-3/2) D. ( -1/2, -3/2) 25. =??≤≤≤≤3 0104y x xydxdy ( ) A.9 B.4 C.3 D.1 26.设=++=xy)y, x f(,),(则xy x y x f ( ) A.22xy y x y x +++ B. y x + C. 22xy y x + D. y x 22+ 27.设则,),(2x xy y x x f +=+=+++)()(y x f y x f t y t x （ ） A ．y-x B .x+y C .-x-y D.x-y 28.若),(x y)f(x,,0)(,0)(00001001y y x f y x f y x 在则=+=+（ ） A ．必连续 B.偏导数必存在 C.必可微 D.必有极值 29.设偏导数等于对则x z ),3cos(x y z -=( ) A. x)-sin(3y B. - x)-sin(3y C. x)-3sin(3y D. x)-3sin(3y - 30.平行于xoz 面且过点（1，-3，2）的平面方程为（ ） A ．x －3y+2z=0 B.x=1 C.y=-3 D.z=2 二、计算题 ==??a ,1则D dxdy （ ） 2．设dx dz f(x),y ;x z 2 求 又若求 =??= x y z 。 3.计算dx x x x x x xd dx x x dx x x ? ?? ?-=== 2ln 222)2(ln ln ln 三、证明题 证明：并求其值。 ,cos sin cos 0 2cos sin sin 0 2 dx x x x dx x x x ?= +? ?π π 四、应用题 某工厂生产A、B两种产品的联合成本函数为C=4．5q2A+3q2B，需求函数q2A=30—p A，q2B=45一p B。其中p A、p B、q A、q B分别是A、B两种产品的价格和需求量，两种产品各生产多少时利润最大? 高等数学(一) ■模拟试题 一、选择题 1.函数∈-+= x 32)(2 的定义域是x x x f （ ） A ．(∞-，一3] B ．[1，∞+) C ．(∞-，一3] U[1，∞+) D ．[一3，1] 2.计算x x x 11 sin lim ∞ →（ ） A 、5 B 、1 C 、3 D 、4 3．y=tanx 在整个实数域上是( ) A ．连续函数 B ．可导函数 C ．单调函数 D ．周期函数 4．由方程siny+xe x =0确定隐函数y=y(X)，则这曲线在点(0，0)处的切线斜率为( ) A ．一1 B ．1 C ．1／2 D ．一1／2 5． 设='+=(e)f ,ln 1)(2则x x f （ ） A. e 42 B. e 22 C. e 2 2 D. 2 二、填空题 1．设f(x)=3lg ，则f(x+1)一f(一x)= 。 2．极限x x x k ? ?? ? ? +∞ →1lim = ，k 0≠ 3．f(x)=,5lg x 则()x f ' = 4．求极限x x x lim 0 →= 5．设z=x y ,则dz= 6．设Z=y x z y x ???+2 2 ),1ln(则 = 7. = 三、计算题 1．求极限 2 31 )cos(sin lim x x x -→ 2．设x x y += dy ,求 3·若y=(sin 2x)+f(cos 2x)，其中f(u)为可导函数，求4 /π=='x y 。 4．计算xdx x 5 3 sin sin 0-? π 5．计算xdx arcsin 0 21 ? 6．计算函数z=e y/X 在点(2，1)处的全微分 7．计算 ?+2 2 1x x dx 。 8·计算二重积分x e xy y y x +-+，其中D 是由直线y=1，x=2及y=x 所围成的闭区域 四、证明题 如果f(x)在闭区间[-a ，a]上连续，证明[]dx x f x f dx x f a a a )()()(0 -+ = ??-。 五、应用题 加工一个容积v=16π(米3)的有盖圆柱形容器，求它的高h 和半径r 分别是多少米时，可使容器的表面积最小。 一阶段测验一 一、单选题 1.A 2.B 3.D 4.D 5.D 6.A 7.D 8.A 9.C 10.D 11.D 12.B 13.C 14.D 15.B 16.D 17.D 18.B 19.A 20.C 21.D 22.A 23.B 24.B 25.D 26.A 27.A 28.A 29.C 30.C 二、计算题 1、12)1(lim +∞ →-x x x k =k x k k x x e x k x k 2) 2()1(lim ) 1(lim -→ -- ∞ →=- - 2、) 2sin 1ln(1 lim 20 x e x x +--→+ =1)2sin 2) 2sin 1ln(2sin 21 ( lim 20 -+-? +? ---→+ x x x x x e x x 3、由于对任何X ，g(X)均≤0，所以[]0)(=X g f ，由于当X>0时，[]0)0()(==g X g g 当X ≤0时，[]X X g X g g ==)()( 综上得到[][]???≤>∈=0 ,0,0)(,,0)(X X X X g g R X X g f 三、证明题 令f(x)=x2X =12-x X 在[0，1]上连续f(0)=-1<0 f(1)=1>0 ∴点(0，1)内有0 设生产x 个单位产品的利润为L ，成本为C ，收益为R ，则 )10400()1000(50 x x x C xP C R L +--= -=-= =400 1050 12 -+- x x ； 令,01050 2=+- ='x L 得 X=250； 25 2<- =''L 所以生产 250 个单位产品时利润最大，最大利润为 850 4002500)250(50 1)250(2 =-+- =L （万元） ■阶段测验二 一、单选题 1.C 2.C 3.D 4.D 5.B 6.B 7.A 8.B 9.B 10.B 11.A 12.D 13.D 14.D 15.A 16.A 17.C 18.A 19.D 20.B 21.A 22.C 23.B 24.C 25.B 26.A 27.C 28.B 29.D 30.C 二、计算题 1、 22 12111) ()(t t t t x t y dx dy ++-= ''= = 2 22 t t t = t t t t t x y dx y d dx y d 411221 ) ()(2 2 22 += += '''='= 2、2cos lim sin lim cos 12 lim =-=-=--+-→-→-→x e e x e e x e e x x x x x x x x x 3、x x x x x x x x sin sin lim )1sin 1( lim 0 -=-→→ =02 sin lim 2cos 1lim sin lim 2 ==-=-→→→x x x x x x x x x 三、证明题 令f(x)=X e X --1 ∴X X e X f e X f =''-=')(,1)( ∴驻点为x=0且f '' (0)=1>0 ∴x=O 是唯一极小值点 ∴x=O 是f(x)的最小值点， f(x)的最小值为f(0)=0010=--e ∴f(X)≥0可以推出01≥--X e X 可以推出 e x -1≥X 四、应用题 201)()(2 ='++?='-'+'y xe e x xe x y y x y ∴y y xe e x y +- ='2 2 ) ())(2()()2(y x y y y x y xe xe e x xe e x y '+-'+- ='' =2 ) () )(2())(2(y y y y y y xe y xe e e x xe y e '++-'+- = () 2 2 2 2)(y y y xe y e x e ' += () 2 2 ) 2(2)(y y y xe e x x e +- =2 242y y xe xy xe e -- ■阶段测验三 一、单选题 1.B 2.A 3.B 4.B 5.C 6.A 7.D 8.B 9.A 10.C 11.D 12.A 13.B 14.B 15.D 16.C 17.C 18.A 19.C 20.D 21.A 22.B 23.C 24. A 25.A 26.A 27.B 28.B 29.A 30.C 二、计算题 1、由于对于??=D dxdy 1，可以写出等号左边的式子是2a ×2a=4a 2 等于等号右边， 所以a=1/2。 2、 x y y x y dx dz x y x z '- +- =- =' ??2, 2 22 2。 3、C x x dx x x x x x xd dx x x +-=-== ? ?? X 4ln 22ln 2)2(ln ln 三、证明题 设t dx x x x -= +?2 x ,cos sin sin 0 2 π π 作换元 则0t 2 ,2 t 0,== = =-=时，时，π π x x dt dx 故??-? ? ? ??-+??? ??-?? ? ??-=)(2cos 2sin 2sin 20 dt t t t I ππππ dt t t t cos sin cos 2 0+= ?π 由于定积分的值与积分变量所用的记号无关，这就证明了等式。 所以 大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→ 2006-2007学年第一学期 高等数学（A1）试题(A 卷) 一、填空(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1.已知=++=??? ?? +)(,31122x f x x x x f 则 ____________. 2.设)(0x f '存在,则()() =--+→h h x f h x f h 000 lim ____________. 3.设)(x f 的原函数为 x x ln ,则()='?dx x f ____________. 4.向量{}4,3,4-=a 在向量{}1,2,2=b 上的投影是____________. 5. )1(1 )(+= x x x f 按的幂展开到n 阶的泰勒公式是_________ . 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1.设()x f 可导且()2 1 0= 'x f ，当0→?x 时，()x f 在0x 处的微分dy 与x ?比较是（ ）无穷小. (A ) 等价 (B ) 同阶 (C ) 低阶 (D ) 高阶 2．已知c bx ax x y +++=3323,在1-=x 处取得极大值,点(0,3)是拐点, 则（ ）. 3,0,1)(3,1,0)(==-==-==c b a B c b a A 均错以上) ( 0,1,3) (D c b a C =-== 3．设)(x f 在[-5，5]上连续，则下列积分正确的是（ ）. [][]0 )()()(0 )()()(5 5 5 5=--=-+ ??--dx x f x f B dx x f x f A [][]0)()() (0)()() (5 50 =--=-+??dx x f x f D dx x f x f C 4. 设直线L 为 1 2241z y x =-+=-,平面0224:=-+-z y x π 则( ). 上；在；平行于ππL L A )B ()(.(D);)(斜交与垂直于ππL L C 5. 若0532<-b a ,则方程043235=++-c bx ax x ( ) (A ) 无实根; (B ) 有五个不同的实根. (C ) 有三个不同的实根; (D ) 有惟一实根; 一、选择题（本大题共5小题，每题3分，共15分） 1.设-∞=→)(lim 0 x f x x ，-∞=→)(lim 0 x g x x ，A x h x x =→)(lim 0 ，则下列命题不正确的是 ( B ) A. -∞=+→)]()([lim 0 x g x f x x ; B. ∞=→)]()([lim 0 x h x f x x ; C. -∞=+→)]()([lim 0 x h x f x x ; D. +∞=→)]()([lim 0 x g x f x x . 2. 若∞ →n lim 2)5 1(++n n =( A ) A. 5e ; B. 4e ; C. 3e ; D. 2e . 3. 设0lim →x x f x f cos 1) 0()(--=3,则在点x=0处 ( C ) A. f(x)的导数存在,且)0('f ≠0; B. f(x)的导数不存在; C. f(x)取极小值; D. f(x)取极大值. 4设x e 2-是f(x)的一个原函数,则 ?dx x xf )(= ( A ) A. x e 2-(x+ 2 1)+c; B; x e 2- (1－x)+c; C. x e 2- (x －1)+c; D. －x e 2- (x+1)+c. 5. ? x a dt t f )3('= ( D ) A. 3[f(x)－f(a)] ; B. f(3x)－f(3a); C. 3[f(3x)－f(3a)] ; D. 3 1 [f(3x)－f(3a)]. 二、填空题（本大题共7小题，每题3分，共21分） 1. 若+∞→x lim (1 1 223-+x x +αx+β)=1,则 α= －2 , β= 1 . . 2. 设f(x)在x=a 处可导,则0lim →h h h a f h a f ) 3()(--+= 4)('a f . 3. 设y=5 22)ln(e x a x +++,则dy . 4. 不定积分 dx e x x ?2 = c e x x ++2 ln 12 . 5. 广义积分?-3 11dx x x = 23 10 . . 6. ?-++11 21 sin dx x x x x = 0 . 复习题 一、 单项选择题： 1、5 lg 1 )(-= x x f 的定义域是（ D ） A 、()),5(5,+∞∞- B 、()),6(6,+∞∞- C 、()),4(4,+∞∞- D 、())5,4(4, ∞- ()),6(6,5+∞ 2、如果函数f(x)的定义域为[1，2]，则函数f(x)+f(x 2)的定义域是（ B ） A 、[1，2] B 、[1，2] C 、]2,2[- D 、]2,1[]1,2[ -- 3、函数)1lg()1lg(22x x x x y -++++=( D ) A 、是奇函数，非偶函数 B 、是偶函数，非奇函数 C 、既非奇函数，又非偶函数 D 、既是奇函数，又是偶函数 解：定义域为R ，且原式=lg(x 2+1-x 2)=lg1=0 4、函数)10(1)(2≤≤--=x x x f 的反函数=-)(1 x f （ C ） A 、21x - B 、21x -- C 、)01(12≤≤--x x D 、)01(12≤≤---x x 5、下列数列收敛的是（ C ） A 、1) 1()(1 +-=+n n n f n B 、?????-+=为偶数为奇数n n n n n f ,11,11 )( C 、?????+=为偶数为奇数n n n n n f ,11,1 )( D 、???????-+=为偶数 为奇数n n n f n n n n ,221,221)( 解：选项A 、B 、D 中的数列奇数项趋向于1，偶数项趋向于-1，选项C 的数列极限为0 6、设1 111.0个n n y =，则当∞→n 时，该数列（ C ） A 、收敛于0.1 B 、收敛于0.2 C 、收敛于 9 1 D 、发散 解：)10 11(91101101101111.02n n n y -=+++= = 7、“f(x)在点x=x 0处有定义”是当x →x 0时f(x)有极限的（ D ） A 、必要条件 B 、充分条件 C 、充分必要条件 D 、无关条件 同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 作业一点评 一、填空题 1.设11(,)(,)23x f x y xy f y =+=，则53 ，(,1)f x y +=2()x y + 2.00y x →→=12 3.设(,)ln(),(1,0)2y y f x y x f x =+ =则12 4.设,y z z x ?==?则x 1y yx -，z y ?=?ln y x x 5.设22ln(1),z x y =+-则dz=22222211x y dx dy x y x y -+-+- 6.设,1,2,0.1,0.2,z xy x y x y z ===?=?=?=则0.42，dz =0.4 二、求下列各函数的定义域 1.z = 解：此函数的定义域为22222401011x y x y x y ?-≥?-->??--≠? 解上列不等式可得此函数的定义域为{}222(,)|01,4x y x y y x <+<≤ 2.z = 解：此函数的定义域为||10y x ≤??>? 所以此函数的定义域为{}(,)|0,11x y x y >-≤≤ 三、求下列各函数的偏导数 1.arcsin(z = 解：z x ?'===? z y ?==? 2.ln tan x z y = 解：2221111csc 1tan sec z x x x x y y y y y y ?===?+ 22221()csc 1tan z x x x x y y y y y ?=-=-?+ 四、求下列函数的全微分 1.ln(32)z x y =- 解：因为 332z x x y ?=?-，232z y x y ?-=?-， 所以1(32)32dz dx dy x y = -- 2.x y z x y +=- 解：因为 2212()()z x y y x x y x y x y ?+-=-=?--- 高等数学第一章习题 一、填空 1.设)(x f y =的定义域是]1,0(，x x ln 1)(-=?，则复合函数)]([x f y ?=的定义域为),1[e 2. 设)(x f y =的定义域是[1,2],则)1 1 ( +x f 的定义域 [-1/2,0] 。 3.设?? ?≤<-≤≤=2 11 101 )(x x x f ， 则)2(x f 的定义域 [0，1] 。 5.设)(x f 的定义域为)1,0(，则)(tan x f 的定义域 Z k k k x ∈+ ∈,)4 ,(π ππ 6. 已知2 1)]([,sin )(x x f x x f -==φ，则)(x φ的定义域为 22≤≤-x 。 7. 设()f x 的定义域是[]0,1,则()x f e 的定义域(,0]-∞ 8.设()f x 的定义域是[]0,1,则(cos )f x 的定义域2,22 2k k π πππ?? -+ ??? ? 9. x x sin lim x ∞→＝ 0 10.()()()=+-+∞→17 6 1125632lim x x x x 176 5 3。 11.x x x )2 1(lim -∞ →＝ 2 e - 12.当∞→x 时， x 1 是比3-+x 13.当0→x 时，1132-+ax 与1cos -x 为等价无穷小，则=a 2 3- 14.若数列}{n x 收敛，则数列}{n x 是否有界 有界 。 15.若A x f x x =→)(lim 0 （A 为有限数），而)(lim 0 x g x x →不存在， 则)]()([lim 0 x g x f x x +→ 不存在 。 16.设函数)(x f 在点0x x =处连续，则)(x f 在点0x x =处是否连续。（ 不一定 ） 17.函数2 31 22 ++-= x x x y 的间断点是－1、－2 18. 函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在该点处有定义的充分条件；函数)(x f 在0x 处有定义是)(x f 在该点处有极限的无关条件。（填：充要，必要，充分，既不充分也不必要，无关）。 19.函数左右极限都存在且相等是函数极限存在的 充要 条件，是函数连续的 必要 条件。（填：充分、必要、充要、既不充分也不必要） 有关高等数学计算过程中所涉及到的数学公式（集锦） 一、0 101101lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞?=??+++? =??? （系数不为0的情况） 二、重要公式（1）0sin lim 1x x x →= （2）()1 0lim 1x x x e →+= （3 ）)1n a o >= （4 ）1n = （5）lim arctan 2x x π→∞= （6）lim tan 2 x arc x π →-∞=- （7）lim arc cot 0x x →∞ = （8）lim arc cot x x π→-∞ = （9）lim 0x x e →-∞ = （10）lim x x e →+∞ =∞ （11）0 lim 1x x x + →= 三、下列常用等价无穷小关系（0x →） sin x x tan x x a r c s i n x x arctan x x 2 11c o s 2 x x - ()ln 1x x + 1x e x - 1l n x a x a - ()11x x ? +-? 四、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ??? 五、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1 x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2 tan sec x x '= ⑹()2 cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '= 高等数学上（1） 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(l i m . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++=2 2 221 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 求，， 设?--?????≤<-≤=1 32 )(1020 )(dx x f x x x x xe x f x 万变不离其宗！短短一个月后，就要考试了，面对复习不能手足无措，要有目的地复习。主要以教材为主，看教材时，先把教材看完一节就做一节的练习，看完一章后，通过看小结对整一章的内容进行总复习。掌握重点的知识，对于没有要求的部分可以少花时间或放弃，重点掌握要求的内容，大胆放弃老师不做要求的内容。 复习自然离不开大量的练习，熟悉公式然后才能熟练任用。结合课后习题要清楚每一道题用了哪些公式。没有用到公式的要死抓定义定理！ 一.函数与极限二.导数与微分三.微分中值定理与导数的应用四.不定积分五.定积分六定积分的应用浏览目录了解真正不熟悉的章节然后有针对的复习。 一函数与极限 熟悉差集对偶律（最好掌握证明过程）邻域（去心邻域）函数有界性的表示方法数列极限与函数极限的区别收敛与函数存在极限等价无穷小与无穷大的转换夹逼准则（重新推导证明过程）熟练运用两个重要极限第二准则会运用等价无穷小快速化简计算了解间断点的分类零点定理 本章公式： 两个重要极限： 常用的8个等价无穷小公式：当x→0时， sinx~x tanx~x arcsinx~x arctanx~x 1-cosx~1/2*（x^2） （e^x）-1~x ln(1+x)~x [(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x 二.导数与微分 熟悉函数的可导性与连续性的关系求高阶导数会运用两边同取对数隐函数的显化会求由参数方程确定的函数的导数 三.微分中值定理与导数的应用： 洛必达法则： 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ①在着手求极限以前，首先要检查是否满足或型，否则滥用洛必达法则会出错.当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则失效，应从另外途径求极限 . ②洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止. ③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 曲线的凹凸性与拐点： 注意：首先看定义域然后判断函数的单调区间 求极值和最值 期末总复习题 一、填空题 1、已知向量2a i j k =+- ，2b i j k =-+ ，则a b ? = -1 。 2、曲线2x z =绕z 轴旋转所得曲面方程为 z=x 2 + y 2 。 3、级数1113n n n ∞ =?? + ???∑的敛散性为 发散 。 4、设L 是上半圆周2 2 2 a y x =+（0≥y ），则曲线积分22 1 L ds x y +?= a π 5．交换二重积分的积分次序：?? --01 2 1),(y dx y x f dy ＝ dy y x dx ),(f 0 x -12 1 ? ? 6．级数∑ ∞ =+1 )1(1 n n n 的和为 1 。 二、选择题 1、平面0)1(3)1(=+++-z y x 和平面02)1()2(=+--+z y x 的关系 （ B ） A 、重合 B 、平行但不重合 C 、一般斜交 D 、垂直 2. 下列曲面中为母线平行于z 轴的柱面的是 （ C ） A 、2221x z += B 、2221y z += C 、2221x y += D 、22221x y z ++= 3. 设)0(4:2 2 >≤+y y x D ,则32222 ln(1) 1 D x x y dxdy x y ++=++?? （ A ） A 、2π B 、0 C 、1 D 、4π 4、设)0(4:22>≤+y y x D ，则??=D dxdy （ A ） A 、π16 B 、π4 C 、π8 D 、π2 5、函数22504z x y =--在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是 （ A ） A 、216i j -+ B 、216i j -- C 、216i j + D 、216i j - 6 、 微 分 方 程 2 2 ()()0y y y ' ''+ - =的阶数为 （ B ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、6 7．下列表达式中，微分方程430y y y ''-+=的通解为 5 一、 单项选择题 1. D （解释：， 2. A （解释： 在 处连续 ，所以 必须存在， 也就是 在 处有定义。） 3. B （解释： ，可以这样理解： 。） 4. C ，见书P90。） 5. D 就是 ，定积分 是一个常数， 所以它的导数为0。 ， 。 二、 填空题 1. 解：由的定义， 在 处连续，是指： ，也就是： 2. 解：先回顾导数的定义 看作 ，那么原极限可以变为： 计算两部分的极限，其中 所以答案为：。 3. 解：要求法线方程，可以先计算曲线在 处的导数（也就是切线斜率），法 线的导数是切线斜率的负倒数。 在点 出导数 ，代入 ， 得到，所以法线的斜率为 。 4. 解：函数 的正负变化情况 所以极大值： 。5. 解：此题可先计算不定积分 计算定积分： 5 三、求解下列各题 1.解： 2.解： 3.解： 4.解： 5.解：先对原等式两侧求微分，得到： 整理后得到 再计算 即：，代入，并代入点 得到： 6.解： 5 5 7.解：可以令 ， 代换原式得到： 8.解：第一步用凑微分的方法，就是 可知：当为最小 值。 边际成本函数为，代入。 2.解：此题需要列表讨论函数的一二阶导数，并计算渐进线。 首先计算： ， 用使上面两式等于0： 1.是垂直渐进线； 2.由可知，是其水平渐进线； 3.无斜渐进线。 3.解：先计算，并作图 曲线的切线斜率为 方程则为，此线过原点，也就是说：代入 ，所以切线位于曲线的切点坐标为：。红色区域为所围成的区域，求此区域绕轴旋转一周形成的旋转体体积。 回顾：绕轴旋转一周的旋转体体积公式为： 但此题中不能直接使用该公式，原因是红色区域的上边界（不含轴）不构成一个函数。而应考虑为是一个圆锥体（在区间上绕轴形成）体积减去其中由抛物线在区间上绕轴形成的旋转体体积，即：五、证明题 证：构造函数，由条件可知：，且上连续，内可导，满足罗尔中值定理的使用条件，因此：必存在使得，而通过计算我们知道： 所以：，其中，所以. 5 第一章函数、极限、连续 一、单项选择题 1.区间[a,+∞)，表示不等式（） 2.若 3.函数是（）。 （A）偶函数（B）奇函数（C）非奇非偶函数（D）既是奇函数又是偶函数 4.函数y=f(x)与其反函数 y=f-1（x）的图形对称于直线（）。 5.函数 6.函数 7.若数列{x n}有极限a,则在a的ε邻域之外，数列中的点（） （A）必不存在 （B）至多只有有限多个 （C）必定有无穷多个 （D）可以有有限个，也可以有无限多个 8.若数列{ x n }在（a-ε, a+ε）邻域内有无穷多个数列的点，则（），（其中为某一取定的正数） （A）数列{ x n }必有极限，但不一定等于a （B）数列{ x n }极限存在且一定等于a （C）数列{ x n }的极限不一定存在 （D）数列{ x n }一定不存在极限 9.数列 （A）以0为极限（B）以1为极限（C）以（n-2）/n为极限（D）不存在极限 10.极限定义中ε与δ的关系是（） （A）先给定ε后唯一确定δ （B）先确定ε后确定δ，但δ的值不唯一 （C）先确定δ后给定ε （D）ε与δ无关 11.任意给定 12.若函数f（x）在某点x0极限存在，则（） （A） f（x）在 x0的函数值必存在且等于极限值 （B） f（x）在x0的函数值必存在，但不一定等于极限值 （C） f（x）在x0的函数值可以不存在 （D）如果f（x0）存在则必等于极限值 13.如果 14.无穷小量是（） （A）比0稍大一点的一个数 （B）一个很小很小的数 （C）以0为极限的一个变量 （D）0数 15.无穷大量与有界量的关系是（） （A）无穷大量可能是有界量 （B）无穷大量一定不是有界量 （C）有界量可能是无穷大量 （D）不是有界量就一定是无穷大量 16.指出下列函数中当X→0+ 时，（）为无穷大量。 17.若 18.设 19.求 2008-2009学年第一学期期末试题 一、填空题（每题5分，共30分） 1．曲线1ln()y x e x =+的斜渐近线方程是________________________ 2．若函数)(x y y =由2cos()1x y e xy e +-=-确定，则在点(0,1)处的法线方程是________ 3．设()f x 连续，且21 40 ()x f t dt x -=? ，则(8)______f = 4．积分 20 sin n xdx π =? ___________________ 5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为_____________ 6 ．曲边三角形y = 0,1y x ==绕x 轴旋转所得的旋转体体积为_________ 二．选择题（每题3分，共15分） 1．当0x +→ ） () A 1- () B () C 1 () D 1-2. 若1()(21)f x x x ??=-???? ，则()f x 在（ ）处不连续 ()A 3x = ()B 2x = ()C 12x = ()D 13 x = 3．若()sin cos f x x x x =+，则（ ） ()A (0)f 是极大值，()2f π是极小值， ()B (0)f 是极小值，()2f π 是极大值 ()C (0)f 是极大值，()2f π 也是极大值 ()D (0)f 是极小值，()2 f π 也是极小值 4．设线性无关的函数123,,y y y 都是二阶非齐次线性方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解， 12,c c 是任意常数，则该方程的通解为（ ） ()A 11223c y c y y ++， ()B 1122123()c y c y c c y +-+， ()C 1122123(1)c y c y c c y +---， ()D 1122123(1)c y c y c c y ++--， 5．极限2 1 33lim ( )n n i i n n n →∞=-∑可表示为（ ） ()A 2 2 13x dx -? ()B 1 2 03(31)x dx -? ()C 2 2 1 (31)x dx --? () D 1 20 x dx ? 第49页 习题1-5 1 计算下列极限 （1）225 lim 3 x x x →+- 将2x =代入到25 3x x +-中，由于解析式有意义，因此 222525 lim 9323x x x →++==--- （2 ）2231 x x x -+ 将x =223 1 x x -+中，解析式有意义，因此 ()22 2 233 01 1 x x x --= =++ （3）22121 lim 1 x x x x →-+- 将1x =代入到解析式中，分子为0，分母为0，因此该极限为 型，因式分解，可得 ()()()()()2 221111121 0lim lim lim 011112 x x x x x x x x x x x →→→---+====-+-+ （4）322042lim 32x x x x x x →-++ 将0x =代入到解析式中，分子为0，分母为0. 因此该极限为 型，因式分解，可得 ()()()() 22322000421421421lim lim lim 3232322x x x x x x x x x x x x x x x x →→→-+-+-+===+++ （5）()2 2 lim h x h x h →+- 将0h =代入到解析式中，分子为0，分母为0. 因此该极限为 型，因式分解，可得 ()()()2 2 2lim lim lim 22h h h x h x x h h x h x h h →→→+-+==+= （6）211lim 2x x x →∞ ??- + ??? 由于lim 22x →∞ =，1lim 0x x →∞??- = ???，22lim 0x x →∞?? = ??? 因此由极限四则运算法则可知 221112lim 2lim 2lim lim 2002x x x x x x x x →∞ →∞→∞→∞?????? - +=+-+=++= ? ? ??????? （7）221 lim 21 x x x x →∞--- 当x →∞时，分子→∞，分母→∞，因此该极限为∞ ∞ 型，分子分母同时除以x 的最高次项，也就是2 x ，再利用极限四则运算法则，可知： 2 2 2 2221 1 1lim1lim 1101lim lim 1111 212002 2lim 2lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞- ---====-------- （8）242lim 31 x x x x x →∞+-+ 当x →∞时，分子→∞，分母→∞，因此该极限为∞ ∞ 型，分子分母同时除以x 的最高次项，也就是4 x ，再利用极限四则运算法则，可知： 2 2323422424 1111lim lim 00lim lim 0113131100 13lim1lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞++++====-+-+-+-+ （9）22468 lim 54 x x x x x →-+-+ 4x =代入到解析式中，分子为0，分母为0. 因此该极限为 型，因式分解，可得 ()()()()2244424682422 lim lim lim 54141413 x x x x x x x x x x x x x →→→---+--====-+---- （10）211lim 12x x x →∞ ???? + - ??????? 高数第一周测试题 出题人：洪义伟姜继伟贾西南马刚 一、选择题 1. 数列有界是函数收敛的（） A 充要条件 B 必要条件 C 充分条件D即非充分条件又非必要条件 2.根据limXn=a的定义，对任给ε＞0，存在正整数N，使得对于n＞N的一切Xn，不等式|Xn—a|＜ε都成立，这里的N（） A 是ε的函数N（ε），且当ε减小时N（ε）增大 B 与ε有关，但ε给定时N并不唯一确定 C 是由ε所唯一确定的 D 是一个很大的常数，与ε无关 3. f(x)=在其定义域（—∞，+∞）上是（） A 最小正周期为3π的周期函数 B 最小正周期为的周期函数 C 最小正周期为的周期函数D非周期函数 5.函数f（x）=（x∈R）的值域是（） A (0，1) B (0，1] C [0，1) D [ 0 , 1 ] 7.函数f(x)=x2-mx+5在区间[-2,+∞]上是增函数，在区间（-∞，-2）上是增函数，则f（1）等于( ) A -7 B 1 C 17 D 25 8.下列函数是无穷小量的是（） ( ) A g(2)>g(-1)>g(-3) B g(2)>g(-3)>g(-1) C g(-1)>g(-3)>g(2) D g(-3)>g(-1)>g(2) A 1 B ∞ C 2 D 0 二、填空题 13.求 的定义域＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 14. 已知求f (5)＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 15.数列 的极限＿＿＿＿＿＿。 16.求函数 的极限＿＿＿＿＿＿。 三、 解答题 17.求函数 在指定定义域下的单调性。 18.求 的极限。 19.用数列极限的定义证明 。 20.用函数极限的定义证明 。 21.根据定义证明 22.求 的极限。 ???<+≥-=8,)]5([8 ,3)(x x f f x x x f （2010至2011学年第一学期） 课程名称： 高等数学(上)(A 卷) 考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷 分别一同交回，否则不给分。 试 题 一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -1 11； (C) dx x x ?+∞∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( ) (A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定 可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _____. 2. 曲线???=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分） 习题1-1 第34页 第4题 求下列函数的自然定义域 （1）由题意知：320x +≥，解得23x ≥-. 因此x 的定义域为)2,3?-+∞?? 备注：偶次根式的被开方数应该大于等于零。 （2）由题意知：2 10x -≠，解得：1x ≠±. 因此x 的定义域为()()(),11,11,-∞-?-?+∞ 备注：分式的分母不能为零 （3）由题意可知： 2010x x ≠??-≥? 解得 011 x x ≠??-≤≤? 因此，函数的自然定义域为[)(]1,00,1-? 备注：偶次根式的被开方数应该大于等于零；分式的分母不能为零 （4）由题意可知： 224040 x x ?-≥??-≠?? 解得：22x -<< 因此函数的自然定义域为()2,2- 备注：偶次根式的被开方数应该大于等于零；分式的分母不能为零 （5）由题意知 0x ≥ 因此函数的自然定义域为[)0,+∞ 备注：偶次根式的被开方数应该大于等于零 （6）由题意可知： 12x k π π+≠+，k Z ∈ 解得：12x k π π≠+- 因此函数的自然定义域为1,2x x k k Z ππ? ?≠+-∈???? 备注：tan x 的定义域为,2x x k k Z ππ? ?≠+∈???? （7）由题意知： 131x -≤-≤ 解得：24x ≤≤ 因此函数的自然定义域为[]2,4 备注：arcsin x 的定义域为[]1,1- （8）由题意可知： 300 x x -≥??≠? 解得：30x x ≤?? ≠? 因此函数的自然定义域为()(],00,3-∞? 备注：偶次根式的被开方数应该大于等于零；分式的分母不能为零 arctan x 的自然定义域为R （9）由题意知： 10x +> 解得：1x >- 因此函数的自然定义域为()1,-+∞ 备注：对数函数的真数要大于零 华北科技学院12级《电子商务专业》高等数学二期末考试试题 一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。 1、 .设函数25x y e =+，则'y = A.2x e B.22x e C. 225x e + D.25x e + 2、设y x =+-33，则y '等于（ ） A --34x B --32x C 34x - D -+-334x 3、设f x x ()cos =2，则f '()0等于（ ） A －2 B －1 C 0 D 2 4. 曲线y x =3的拐点坐标是（ ） A （－1，－1） B （0，0） C （1，1） D （2，8） 5、sin xdx ?等于（ ） A cos x B -cos x C cos x C + D -+cos x C 6、已知()3x f x x e =+，则'(0)f = A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7、下列函数在(,)-∞+∞内单调增加的是 A.y x = B.y x =- C. 2y x = D.sin y x = 8、1 20x dx =? A.1- B. 0 C. 13 D. 1 9、已知2x 是()f x 的一个原函数，则()f x = A.2 3 x C + B.2x C.2x D. 2 10. 已知事件A 的概率P （A ）＝0.6，则A 的对立事件A 的概率P A ()等于（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分。把答案填写在题中横线上。 11、lim()x x x →-+=13 2____________________。 12、lim()x x x →∞-=13____________________。 13、函数y x =+ln()12的驻点为x ＝____________________。 14、设函数y e x =2，则y "()0=____________________。 15、曲线y x e x =+在点（0，1）处的切线斜率k ＝____________________。 16、()12 +=?x dx ____________________。 17、2031lim 1 x x x x →+-=+ 。 18、设函数20,()02,x x a f x x ≤?+=?>? 点0x =处连续，则a = 。 19、函数2 x y e =的极值点为x = 。 20、曲线3y x x =-在点（1,0）处的切线方程为y = 。 三、解答题：21～24小题，共20分。解答应写出推理、演算步骤。 21、（本题满分5分） 计算lim x x x x →-+-122321 《高等数学》期末辅导答疑 一、（第一章）函数及其图形 1.3 函数、函数的概念， {以后常常默记（想象）一个中间变量u} 例1-1设 )2( )( , 2)2(2-=+=+x x x f x x x f 则 解：x x x f 2)2(2 +=+ ()()()[])2( )( , 2222-=-++=+=x x x f x x x x 所以 例1-2设x x f 2sin )(cos =1)0(,1)(2 =-=f x x f 则 二、(第二章)极限与连续 1. 极限的概念（极限的思想） 2.极限的精确定义不作要求。 ① ?处的极限”“在点0x 0 0 x x x x 趋（向）于读作记作→，可以理解为： ”几乎是点“的附近”在点“00x x x x ? 所差无几”与点“0x x ?。注意0x x ≠ ②?处的右极限”“在点 0x 00+→x x 记作，可以理解为： 000 x x x x x x >?，但”几乎是点“的右侧附近”在点“ 00, x x x x >?但所差无几”与点“。注意0x x ≠ ③?处的左极限”“在点 0x 00-→x x 记作，可以理解为： 000 x x x x x x
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