一、选择题（本大题共5小题，每题3分，共15分）
1.设-∞=→)(lim 0
x f x x ，-∞=→)(lim 0
x g x x ，A
x h x x =→)(lim 0
，则下列命题不正确的是
( B )
A. -∞=+→)]()([lim 0
x g x f x x ; B. ∞=→)]()([lim 0
x h x f x x ;
C.
-∞=+→)]()([lim 0
x h x f x x ; D.
+∞=→)]()([lim 0
x g x f x
x . 2. 若∞
→n lim 2)5
1(++n n
=( A )
A.
5e ; B. 4e ; C. 3e ; D. 2e . 3. 设0lim →x x
f x f cos 1)
0()(--=3,则在点x=0处 ( C )
A. f(x)的导数存在,且)0('f ≠0;
B. f(x)的导数不存在;
C. f(x)取极小值;
D. f(x)取极大值.
4设x
e 2-是f(x)的一个原函数,则
?dx x xf )(= ( A )
A.
x e 2-(x+
2
1)+c; B; x e 2- (1－x)+c; C. x e 2- (x －1)+c; D. －x e 2- (x+1)+c.
5.
?
x
a
dt t f )3('= ( D )
A. 3[f(x)－f(a)] ;
B. f(3x)－f(3a);
C. 3[f(3x)－f(3a)] ;
D. 3
1
[f(3x)－f(3a)].
二、填空题（本大题共7小题，每题3分，共21分）
1. 若+∞→x lim (1
1
223-+x x +αx+β)=1,则 α= －2 , β= 1 . .
2. 设f(x)在x=a 处可导,则0lim →h h
h a f h a f )
3()(--+= 4)('a f .
3. 设y=5
22)ln(e x a x +++,则dy
. 4. 不定积分
dx e x
x
?2
=
c e x
x ++2
ln 12 .
5. 广义积分?-3
11dx x x = 23
10
. . 6. ?-++11
21
sin dx x x
x x = 0 .
7. 用定积分的定义计算：∞
→n lim
∑=+n i n
i
n 1sin 31π=
π
2
.
三、计算题（本大题共7小题，每题7分，共49分）
1. 设函数
f(x)= ?
??>+≤+00
12x b ax x e x 在点x=0可导，求a 与b 的值 .
1. 解:f(x)在x=0可导? f(x)在x=0连续?-→0
lim x f(x)=f(0)= +→0
lim x f(x)=b ?b=2,
又)0('
=f =-→0lim x x
f x f )
0()(-=-→0lim x x e x 12-=2
)0('
+f =+→0lim x x f x f )0()(-=+→0lim x x ax 22-+=a(因b=2),
由已知有)0('=f =)0('
+f ，故a=2,b=2 .
2.求
)1ln(x y +=的n 阶导数 .
2.解：n
n n x n y
)1()!1()1(1)
(+--=-
3. 求由参数方程2ln(1)arctan x t y t t
?=+?=-? 所确定的隐函数y=y(x)的一阶,二阶导数dx dy ,2
2dx y
d . 3.解： dx dy =2t
, 2
2dx y d =214t t +
4. 求0lim →x )
sin 1ln(cos sin 1x x x
x x +-+ .
4.解：原式=0
lim
→x )
cos sin 1(sin cos sin 12x x x x x x
x x ++-+=
210lim →x x x
x sin +=1 5. 求
?+dx x x )ln 31(1
.
5.解：原式=?
++)ln 31()ln 31131x d x =…=c x ++ln 31ln 3
1
6. 求
?
-dx x
a x 2
2
2
（a>0）
. 6.解：令t a x sin =
原式=……=c x a a
x a x a +--)(arcsin 22222
7. 求I=
?2
1
arcsin xdx .
7.解：I=210
]arcsin [x x ?
--+210
21)
2(21
dx x
x =……….=12312-+
π 四、应用题（5分） 摆线的一拱:
)20(,)
cos 1(2)
sin (2π≤≤??
?-=-=t t y t t x 与直线y=0围成一平面图形, (1)求此平面图形的面积;
(2)求此平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积.
解：(1) S=
?
?2
20
πydx =?--π
20
')]sin (2)[cos 1(2dt t t t =… =12π,
(2) V x =π
?
?2
20
2πdx y =?--π20
'22)]sin ([)cos 1(dt t t a t a = (240)
五、证明题（本大题共2小题，每题5分，共10分） (1) 利用函数图形的凹凸性证明不等式：
),0,0(2
ln
)(ln ln y x y x y
x y x y y x x ≠>>++>+. (1)证：令,0)(",ln )(>=t f t t x f 图形凹，由定义得证.
(2) 设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,0 ab )('ξf =)(' 2ηηf 成立 . (2) 证：结论变为 ab )(' ξf = 2 '1 ) (ηηf , 设g(x)= x 1 , f(x),g(x)在[a,b]上满足柯西定理的条件,必存在一点η∈(a,b), 使得 a b a f b f 11)()(--=2 '1)(ηηf ,即a b a f b f --)()(ab=2η)(; ηf . 又f(x)在[a,b]上满足拉氏定理的条件,必存在一点ξ∈(a,b), 使得 a b a f b f --)()(=)('ξf ,即ab )('ξf =2η)(; ηf ,得证. 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）. 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（ ）. A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π =b a 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,2 2<+ 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ??+22sin ，其中2 2224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2） 《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -? 在得知我国将与空客合作的消息后，国内即有多个省市向空客抛出了橄榄枝，而最终进入空客遴选范围的是上海、天津、西安和珠海四城市。在空客正式宣布要在我国设立飞机总装线的消息之前，实际已对上述四城市进行了考察，但迟迟未透露花落谁家。因此，引得坊间传闻四起。 四城市中珠海的呼声最弱，其他三城市各有优势，平分秋色。 而据本报记者从知情人士处获悉，空客最终选择天津主要看中其综合优势。西安有国内著名的航空制造企业西飞集团，目前正全力研究中国具有自主知识产权的支线客机 ARJ21，拥有雄厚的技术基础和大量的熟练工人，但唯一的缺憾是深处内地，交通运输不便。 上海曾经与美国麦道公司合作建立大型飞机生产线，同样具有技术和人才方面的实力，但正因为上海与已被波音收购的麦道有过合作，使得其未被波音的死对头———空客相中。 综合以上考虑，空客选址天津。 记者拿到的一份内部材料显示，天津的综合优势相对突出。天津拥有良好的区位和地理位置优势，不仅便于飞机零部件的进口，更有利于国内零部件的低成本配套。 初步统计，天津目前从事航空产业的单位有39家，工程技术人员达2000多人，航空产品年产值5亿元，相关产品约20亿元左右，具有航空电子、航空复合材料、航空仪表、飞机导航设备等配套设备生产厂家。 此外，天津滨海国际机场已经具备4E类的飞行区，并将升级为F类，机场滑行道和 跑道道面充分满足A320飞机试飞的要求。在北京的北部还具有满足试飞所需的固定大型试飞空域，可用于A320出场试飞。 而更重要的是，2004年10月16日，天津市与民航总局签定了共建中国民航科技产业化基地协议，规划面积11平方公里，基地主要功能是成为民航科技转移和产业转移的承接地，在天津设立总装线符合国家的技术转移目标。 另外，京津地区还是我国航空工业科研院所较为集中的地区之一，加之在北京设立的空中客车公司（北京）工程技术中心，将形成对A320全面的支援、保障和服务体系。 A320飞机总装线项目场地位于天津滨海新区正在规划建设的临空产业区（航空城）内，紧邻扩建中的天津滨海国际机场及京津塘高速公路，周边有天津港保税区空港加工区、空港保税区、空港物流区以及国家民航科技产业化基地，距北京市130公里，距天津港30公里，具有铁路、港口、高速公路、轨道交通、快速路、大件运输专用线等综合优势。天津将在机场新建一条跑道，满足试飞需要，飞机试飞的空域环境良好，航空城规划建设办公室副主任董维忠向记者介绍，天津位于华北、东北和华东三大区域的接合部，区位和地理位置便于飞机零部件的进口，有利于国内零部件的低成本配套。 有学者描述环渤海区域城市群布局呈“弓箭型”，沿海港口城市是“弓上的弦”，广大腹地为“弓”，京津冀城市带为“箭”，环渤海地区经济起飞恰好“箭”在“弦”上。A320飞机总装线项目为环渤海经济振兴，特别是天津滨海新区作为中央定位我国高水平的现代制造业和研发转化基地，发挥辐射带动作用提供了一个机遇。 航空工业涉及70多个学科和工业领域大部分产业，每一架大型飞机有上百万个部件，需要庞大的配套产业群支撑，具有关联度高、科技辐射和技术带动性强的特点，对上下游产业有决定性作用，有效带动飞机研发、零部件制造、销售和服务在周边地区的快速起飞。李艳华副教授分析说，A320项目选址天津滨海新区，有助于发挥京津地区技术密集的优势，通过主制造商的战略决策吸引系统集成商将航空产品生产向中国转移，推动京津航空产业链 第十二周习题课 一．关于积分的不等式 1． 离散变量的不等式 （1） Jensen 不等式：设 )(x f 为],[b a 上的下凸函数，则 1),,,2,1),1,0(],,[1 ==∈?∈?∑=n k k k k n k b a x λλΛ，有 2),(1 1≥≤??? ??∑∑==n x f x f k n k k k n k k λλ （2） 广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得 1),,,2,1),1,0(,01 ==∈?>∑=n k k k k n k x λλΛ，有 ∑==≤∏n k k k k n k x x k 1 1 λλ 当),2,1(1 n k n k Λ==λ时，就是AG 不等式。 （3） Young 不等式：由（2）可得 设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，q y p x y x q p +≤1 1 。 （4） Holder 不等式：设11 1, 1,),,,2,1(0,=+>=≥q p q p n k y x k k Λ，则有 q n k q k p n k p k n k k k y x y x 111 11?? ? ????? ??≤∑∑∑=== 在（3）中，令∑∑======n k q k n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 1 1,,,即可。 （5） Schwarz 不等式： 2 1122 1 121?? ? ????? ??≤∑∑∑===n k k n k k n k k k y x y x 。 （6） Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ，则有 ()p n k p k p n k p k p n k p k k y x y x 11111 1?? ? ??+??? ??≤??????+∑∑∑=== 证明： ()()() () () ∑∑∑∑=-=-=-=+++=+?+=+n k p k k k n k p k k k n k p k k k k n k p k k y x y y x x y x y x y x 1 1 1 1 1 1 1 一、选择题（本大题共5小题，每题3分，共15分） 1.设-∞=→)(lim 0 x f x x ，-∞=→)(lim 0 x g x x ，A x h x x =→)(lim 0 ，则下列命题不正确的是 ( B ) A. -∞=+→)]()([lim 0 x g x f x x ; B. ∞=→)]()([lim 0 x h x f x x ; C. -∞=+→)]()([lim 0 x h x f x x ; D. +∞=→)]()([lim 0 x g x f x x . 2. 若∞ →n lim 2)5 1(++n n =( A ) A. 5e ; B. 4e ; C. 3e ; D. 2e . 3. 设0lim →x x f x f cos 1) 0()(--=3,则在点x=0处 ( C ) A. f(x)的导数存在,且)0('f ≠0; B. f(x)的导数不存在; C. f(x)取极小值; D. f(x)取极大值. 4设x e 2-是f(x)的一个原函数,则 ?dx x xf )(= ( A ) A. x e 2-(x+ 2 1)+c; B; x e 2- (1－x)+c; C. x e 2- (x －1)+c; D. －x e 2- (x+1)+c. 5. ? x a dt t f )3('= ( D ) A. 3[f(x)－f(a)] ; B. f(3x)－f(3a); C. 3[f(3x)－f(3a)] ; D. 3 1 [f(3x)－f(3a)]. 二、填空题（本大题共7小题，每题3分，共21分） 1. 若+∞→x lim (1 1 223-+x x +αx+β)=1,则 α= －2 , β= 1 . . 2. 设f(x)在x=a 处可导,则0lim →h h h a f h a f ) 3()(--+= 4)('a f . 3. 设y=5 22)ln(e x a x +++,则dy . 4. 不定积分 dx e x x ?2 = c e x x ++2 ln 12 . 5. 广义积分?-3 11dx x x = 23 10 . . 6. ?-++11 21 sin dx x x x x = 0 . 欢迎阅读 《高等数学》试卷6（下） 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（ ）. A.a ∥b 3. （A ） 6π4.A.=?b a 5.函数z A.2 6.设z =A. 2 2 7. 级数（A 8.幂级数=1n n A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1- 9.幂级数n n x ∑∞ =?? ? ??02在收敛域内的和函数是（ ）. A. x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. 设L 为取正向的圆周：221x y +=，则曲线积分2 (22)d (4)d L xy y x x x y -+-=? ?____________. 5. .级数 n ∞ 三.1.设z =2.3.计算D ??4. . 一.二.1.2-y x 2.(xy cos 3.62-y x 4. ()n n n n ∑ ∞ =+-01 21. 5.()x e x C C y 221-+= . 三.计算题 1. ()()[]y x y x y e x z xy +++=??cos sin ，()()[]y x y x x e y z xy +++=??cos sin . 关于大学高等数学期末考 试试题与答案 Last revision on 21 December 2020 （一）填空题（每题2分，共16分） 1 、函数ln(5)y x =+-的定义域为 . 2、2()12x e f x x a ??=??+? 000x x x <=> ，若0lim ()x f x →存在，则a = . 3、已知 30lim(1)m x x x e →+=，那么m = . 4、函数21()1x f x x k ?-?=-??? 11x x ≠= ，在(),-∞+∞内连续，则k = . 5、曲线x y e =在0x =处的切线方程为 . 6、()F x dx '=? . 7、sec xdx =? . 8、20cos x d tdt dx ??=? ???? . （二）单项选择（每题2分，共12分。在每小题给出的选项中，选出正确答案） 1、下列各式中，不成立的是（ ）。 A 、lim 0x x e →+∞= B 、lim 0x x e →-∞= C 、21 lim 1x x e →∞= D 、1lim 1x x e →∞= 2、下列变化过程中，（ ）为无穷小量。 A 、()sin 0x x x → B 、()cos x x x →∞ C 、()0sin x x x → D 、()cos x x x →∞ 3、0lim ()x x f x →存在是)(x f 在0x 处连续的（ ）条件。 A 、充分 B 、必要 C 、充要 D 、无关 4、函数3y x =在区间[]0,1上满足拉格朗日中值定理的条件，则ξ=（ ）。 A 、 B 、 5、若曲线()y f x =在区间(),a b 内有()0f x '<，()0f x ''>，则曲线在此区间内 （ ）。 A 、单增上凹 B 、单增下凹 C 、单减上凹 D 、单减下凹 6、下列积分正确的是（ ）. A 、1 12111dx x x --=-? B 、 122π-==?? C 、22cos xdx ππ-=?0 D 、2220 sin 2sin 2xdx xdx πππ-==?? （三）计算题（每题7分，共 56分） 1、求下列极限 （1 ）2x → （2）lim (arctan )2x x x π →∞?- 2、求下列导数与微分 （1）x x y cos ln ln sin +=，求dy ； （2）2tan (1)x y x =+，求 dx dy ； （3）ln(12)y x =+，求(0)y '' 3、计算下列积分 （1 ）； （2 ）； （3）10arctan x xdx ?. （四）应用题（每题8分，共16分） 1. 求ln(1)y x x =-+的单调区间与极值. 2. 求由抛物线21y x +=与直线1y x =+所围成的图形的面积. 参考答案 一、填空题（每空2分，共16分） 1. ()3,5 2. 2 3. 3 4. 2 5. 10x y -+= 6. ()F x C + 7. sec tan x x C ++ln 8.2cos x 期末总复习题 一、填空题 1、已知向量2a i j k =+- ，2b i j k =-+ ，则a b ? = -1 。 2、曲线2x z =绕z 轴旋转所得曲面方程为 z=x 2 + y 2 。 3、级数1113n n n ∞ =?? + ???∑的敛散性为 发散 。 4、设L 是上半圆周2 2 2 a y x =+（0≥y ），则曲线积分22 1 L ds x y +?= a π 5．交换二重积分的积分次序：?? --01 2 1),(y dx y x f dy ＝ dy y x dx ),(f 0 x -12 1 ? ? 6．级数∑ ∞ =+1 )1(1 n n n 的和为 1 。 二、选择题 1、平面0)1(3)1(=+++-z y x 和平面02)1()2(=+--+z y x 的关系 （ B ） A 、重合 B 、平行但不重合 C 、一般斜交 D 、垂直 2. 下列曲面中为母线平行于z 轴的柱面的是 （ C ） A 、2221x z += B 、2221y z += C 、2221x y += D 、22221x y z ++= 3. 设)0(4:2 2 >≤+y y x D ,则32222 ln(1) 1 D x x y dxdy x y ++=++?? （ A ） A 、2π B 、0 C 、1 D 、4π 4、设)0(4:22>≤+y y x D ，则??=D dxdy （ A ） A 、π16 B 、π4 C 、π8 D 、π2 5、函数22504z x y =--在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是 （ A ） A 、216i j -+ B 、216i j -- C 、216i j + D 、216i j - 6 、 微 分 方 程 2 2 ()()0y y y ' ''+ - =的阶数为 （ B ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、6 7．下列表达式中，微分方程430y y y ''-+=的通解为 万方数据 从高等数学竞赛到高等数学教学的思考 作者：钟卫稼 作者单位：华东交通大学基础学院 刊名： 内江科技 英文刊名：NEIJIANG KEJI 年，卷(期)：2007,28(2) 本文读者也读过(10条) 1.柳叶.Liu Ye对高职院校高等数学竞赛活动的流程研究[期刊论文]-时代教育（教育教学版）2009(3) 2.黄启平.朱莉.HUANG Qi-ping.ZHU Li对高职非理科专业高等数学竞赛的认识与实践[期刊论文]-南通职业大学学报2008,22(1) 3.杨朝丽.沙明娥.付学德.YANG Chao-li.SHA Ming-e.FU Xue-de应用型本科高等数学教学改革的研究[期刊论文]-昆明大学学报2007,18(4) 4.周彩莲.ZHOU Cai-lian抓好数学建模竞赛促进高等数学教学改革[期刊论文]-浙江万里学院学报2006,19(2) 5.王永忠.蒋菊霞.WANG Yong-zhong.JIANG Ju-xia如何在大学数学教学中渗透数学竞赛思想[期刊论文]-新乡学院学报（自然科学版）2009,26(1) 6.朱晓峰对一道数学竞赛命题的改进[期刊论文]-高等数学研究2003,6(4) 7.陆全.肖亚兰.叶正麟一道高等数学竞赛题的一题多解[期刊论文]-高等数学研究2002,5(3) 8.杨首中数学竞赛与基础教育的关系--兼谈我校理科实验班的教学经验[期刊论文]-数学教学研究2006(2) 9.田增锋浙江省高等数学竞赛题的几何思考[期刊论文]-考试周刊2011(40) 10.孟令中数学竞赛中的"实数"[期刊论文]-中学生数理化（八年级数学华师大版）2009(11) 本文链接：https://www.doczj.com/doc/0b16635097.html,/Periodical_neijkj200702013.aspx 《高等数学》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ C ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ A ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ D ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ B ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ A ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ A ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ C ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin 中南大学网络教育课程考试复习题及参考答案 高等数学(专科) 一、填空题： 1.函数1 1 42-+ -= x x y 的定义域是 。 解：),2[]2,(∞+--∞ 。 2.若函数52)1(2 -+=+x x x f ，则=)(x f 。 解：62 -x 3.sin lim x x x x →∞-= 。 答案：1 正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim =-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ，则=a _____, =b _____。 由所给极限存在知，024=++b a ，得42--=a b ， 又由234 12lim 2lim 22 22=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→) 1)((lim 0x a x b e x x ，则=a _____, =b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x , 即01)1)((lim 0=-=---→b a b e x a x x x ，∴0,1a b =≠ 6.函数????? ≥+<=0 1 01sin )(x x x x x x f 的间断点是x = 。 解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。 因为 1)0(1)1(lim 01 sin lim 00 ==+=+-→→f x x x x x 所以函数)(x f 在0=x 处是间断的， 又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。 7.设()()()n x x x x y -??--= 21, 则() =+1n y (1)!n + 蝴蝶效应及其应用刘铁驹 宋立平 蝴蝶效应是复杂数学现象的一个细节,这种现象自发现蝴蝶效应后也称为 确定性混沌 。一个可以用确定性混沌来刻画的过程,是由完全确定性系统产生的,但按照标准的时间序列方法又表现为随机性。蝴蝶效应通常用于天气、股市等在一定时段之内,较为难以预测的复杂系统中,被引申为事物发展的结果对初始条件具有极为敏感的依赖性,初始条件的极小偏差将引起结果的极大差异。现在 蝴蝶效应 已经越来越广泛地出现在物理、天文、气象、社会,以及股票研究、概率等诸多领域的文章及报道中。 蝴蝶效应的起源 1963年,蝴蝶效应是美国麻省理工学院气象学家劳伦兹(E.Lorenz)在研究大气对流时,从一个对流模型中发现的,实验装置是一个两维的流体室(两块很大的平板水平放置,之间充满气体),在底部加热、顶部冷却,其中的气体发生对流,采用简化的瑞利-贝纳尔(Rayleigh-Benard)对流模型分析气体的运动状态,x正比于对流运动的强度、y正比于水平方向温度变化、z正比于竖直方向温度变化,参数 、b、r都是正的常数,得到的一组方程现在被称为劳伦兹方程:d x/d t=- (x-y)、d y/d t=-y-x z+r x、d z/d t=xy-bz。 他利用这个模型,原本是想模拟天气的演变,以提高天气预报的准确性,平时只需将温度、湿度、压力等气象数据输入,电脑就会依据3个内建的微分方程式,计算出下一刻可能的气象数据,从而模拟出气象变化图。这一天劳伦兹想更进一步了解某段纪录的后续变化,他把某时刻的气象数据重新输入电脑,让电脑计算出更多的结果。1小时之后结果出来了,令他目瞪口呆 新结果和原结果比较,虽然初期数据差不多,但是越到 后期数据差异就越大。他考 虑后认为问题并不出在电 脑,而是他输入的数据差了 0 000127,正是这细微差异 造成了天壤之别。由于天气变化十分复杂,在预测天气时,不可能把所有的影响因素考虑进去,而被忽略的那些因素却可能对计算结果产生重大影响,以致得出错误的结论。因此劳伦兹认定,难以获得长期的天气预报。 他形象地比喻:今天在东京上空的一只蝴蝶扇动翅膀时,某个时刻可能引起澳大利亚的一场暴雨,这种对初始条件的敏感依赖,在气象预报中被称为 蝴蝶效应 。这也是最早发现的混沌现象之一。 蝴蝶效应的特点 一般的动力系统,最终都会趋向于某种稳定态,这种稳定态是由点(某一状态)或点的集合(某种状态序列)表示的。系统的运动只有到达这个点或点集上才能稳定并保持下去,这种点或点集就是 吸引子 ,它表示系统的稳定态,是动力系统的最终归宿。如果一个吸引子的点集是有限体积中的一条无限长的线,这就是奇怪吸引子。奇怪吸引子是相空间中无穷多个点的集合,是一类具有无限嵌套层次的自相似几何结构,是一种分形。吸引子具有稳定性(局限于有限的空间区域内)、低维性(在相空间中有一条低维轨道,或称分维轨道)、非周期性(运动轨道永不自我重复、永不自我相交,否则就为周期吸引子)和运动对初始条件的敏感依赖性。动力学系统中最典型的例子就是劳伦兹吸引子。 根据劳伦兹方程模拟物体的运动规律,可以得 太阳物理学家们正等着验证这一基于物理学的预测是否准确。他们可能不会等到6年内太阳活动达到峰值时揭晓谜底。所有方法都只能预测太阳黑子的平均数量,不过历史纪录表明,活动剧烈的太阳周期都会早早开始,并迅速达到峰值。这意味着只需三四年,就会出现太阳周期剧烈活动的明显迹象。 迪克帕蒂与研究小组在进一步优化他们的模型,看其是否能预示一些信息,比如太阳活动周期的开端。无论用什么方法,从航天任务的策划者到气候变化的怀疑论者,都在监测太阳的活动。 (本文译自Nature,2006年5月25日号,英国斯图亚特 克拉克著,翻译时根据国内读者的阅读习惯对文章做了少许改动;中国科学院高能物理研究所文献信息部 100049) 10 现代物理知识 2 x 1 7 《高数》试卷1 (上) 一?选择题(将答案代号填入括号内，每题 3分，共30分). 1 ?下列各组函数中, 是相同的函数的是( ). (A ) f x ln x 2 和 g x 2ln x (B ) f x |x| 和 g x x 2 (C ) f x x 和 g x “/x (D ) f x |x| x 和 g x 1 sin x 4 2 v 0 在x 0处: 2 ?函数f x A In 1 x 连续, 则 a ( ) a x (A ) 0 (B ) 1 - (C ) 1 ( D ) 4 2 3 ?曲线y xln x 的平行于直线 x y 1 0的切线方程为( ) (A ) y x 1 (B ) y (x 1) (C ) y ln x 1 x 1 (D ) y x 4 ?设函数f x | |x|, 则函数在点x :0处( ). (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 5 ?点x 0是函数 y x 4的( ). (A )驻点但非极值点 (B )拐点 (C )驻点且是拐点 (D )驻点且是极值点 6 ?曲线y —的渐近线情况是( ) |x| 只有水平渐近线 (B )只有垂直渐近线 既无水平渐近线又无垂直渐近线 1 1 —-dx 的结果是 x x dx - x 的结果是 e e 9.下列定积分为零的是( (B ) 4 xarcsinx dx (C ) dx ( D ) x sin x dx (A ) (D ) (C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (A ) (B ) (C ) (A ) arcta n e x C (B ) arcta n e (C ) (D ) ln(e 单项选择题 1、设则在处( ) A．不连续B．连续，但不可导 C．连续，且有一阶导数D．有任意阶导数 1 C 2A 3D 4B 2、已知在上连续，在内可导，且当时，有，又已知，则( ) A．在上单调增加，且 B．在上单调减少，且 C．在上单调增加，且 D．在上单调增加，但正负号无法确定 5 D. D 6C 7B 8A 3、已知，在处可导，则( ) A．，都必须可导B．必须可导 C．必须可导D．和都不一定可导 9B 10 A 11D 12C 4、函数在上有( ) A．四个极值点；B．三个极值点C．二个极值点D．一个极值点 13 C 14A 15B 16D 5、函数在某点处有增量，对应的函数增量的主部等于，则 ( ) A．4 B．C．4 D． 17 C 18D 19A 20B 6、若为内的可导奇函数，则( ) A．必有内的奇函数B．必为内的偶函数 C．必为内的非奇非偶函数D．可能为奇函数，也可能为偶函数 21 B 22A 23C 24D 7、按给定的的变化趋势，下列函数为无穷小量的是( ) A．() B．() C．() D．() 25D 26B 27 C 28A 8、设，若在上是连续函数，则( ) A．0 B．1 C．D．3 29D 30B 31 C 32A 9、设函数，则( ) A．当时，是无穷大B．当时，是无穷小C．当时，是无穷大D．当时，是无穷小 33A 34D 35 B 36C 10、若，则方程( ) A．无实根B．有唯一的实根C．有三个实根D．有重实根 37A 38 B 39D 40C 11、下列各式中的极限存在的是( ) 《机床数控技术》模拟考试题（5） 一、填空题：（每题1.5分，共30分）： 1.NC是的缩写。 2.CAM是的缩写。 3.APT是的缩写。 4.RISC是的缩写。 5.数控机床按伺服系统分开环数控机床、、半闭环数控机床等三类。 6.数控机床主要由数控加工程序、、计算机数控系统和强电控制装置、伺服 驱动系统和位置检测装置、机械部分组成。 7.穿孔带是数控机床的一种控制介质，国际上通用标准是ISO和EIA两种，我国根据 标准制定了JB/T3208-1999《数控机床穿孔带程序段格式中的准备功能G和辅助功能M的代码》。 8.数控机床坐标轴中，绕Z轴旋转的坐标轴称为轴。 9.加工圆弧时，要选择园弧所在的平面，其中是YZ平面选择的指令。 10.对大多数只具有直线插补与圆弧插补功能的数控系统，常用多个微小的直线段或圆弧段 去逼近一函数方程已知的曲线，逼近线段的交点为。 11.插补运算所采用的原理和方法一般可以归纳为和数据采样插补两大类 型。 12.逐点比较法的四个步骤：偏差判别、进给、偏差计算和。 13.数控车床主要用于零件的加工，根据加工程序的要求，能自动完成 外圆柱面、圆锥面、螺纹等工序的切削加工。 14.现代数控机床使用代替传统的继电器逻辑，利用其逻辑运算功能实现 各种开关量的控制，其已经成为CNC装置的一个部件。 https://www.doczj.com/doc/0b16635097.html,C装置的数据转换包括输入、译码、、速度处理、插补以及位置控制等 几个过程。 16.目前数控程序检验方法主要有：试切、、三维动态切削仿真和虚拟加 工仿真等方法。 17.是一种控制用的微电机或小型交流电动机，其用途是测量转角，它 在工业上是一种常用的角度测量元件。 18.为了提高光栅的位置检测精度，可以提高刻线精度和增加刻线密度，但这样成本高，通 常采用的方法提高光栅的分辨精度。 19.步进电动机的最大缺点是容易，特别是在大负载和速度较高的情况 下，更容易发生。 20.按进给机构伺服系统的控制方式分类，加工精度最高的是环伺服系统。 二、选择题（每题2分，共20分） 1.在孔加工固定循环中，G98和G99决定了在返回时到达的平面，下面说明正确的是 ( )。 A.如果用G98则自该程序段开始，刀具返回时返回到初始平面 B.如果用G98则自该程序段开始，刀具返回时返回到R点平面 C.如果用G99则自该程序段开始，刀具返回时返回到初始平面 D.如果用G99则自该程序段开始，刀具返回时返回到系统治定平面 2.程序中指定了（）时，刀具半径补偿被撤消。 A. G40 B. G41 C. G42 D.G43 3.刀尖半径左补偿方向的规定是（）。 A. 沿刀具运动方向看，工件位于刀具左侧 . 农林大学 2016 - 2017 学年第 一 学期期中考试 课程名称： 高等数学Ｉ 课程类别： 必修 考试式： 闭卷 注意事项：1、本试卷满分100分。 2、考试时间 120分钟。 一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在题后的括号。每小题3分，共21分） 1．下列各式正确的是： ( ) A. sin lim 1x x x →+∞= B. 0sin lim 0x x x →= C. 1lim 1x x e x →+∞??+=- ??? D. 1lim 1x x e x →+∞ ?? += ??? 2. 当0x +→ 等价的无穷小量是： ( ) A. 1 B. ln C. 1- D. 1- 3. 设()f x 在x a =的某邻域有定义，则它在该点处可导的一个充分条件是：( ) A.1lim ()()h h f a f a h →+∞?? +-???? 存在 B. 0(2)()lim h f a h f a h h →+-+存在 C. 0 ()()lim 2h f a h f a h h →+--存在 D. 0()() lim h f a f a h h →--存在 4. 函数33y x x =-在区间[0,1]上的最小值是： ( ) 学院： 专业班级： 姓名： 学号： 装 订 线 内 不 要 答 题 A. 0 B. 没有 C. 2 D. 29 - 5. 函数21y x =-在区间[1,1]-上应用罗尔定理时，所得到的中值ξ= ( ) A. 0 B. 1 C. 1- D. 2 6．设函数2 ()(1)0 ax e x f x b x x ?≤=?->?处处可导，那么： ( ) A ．1a b == B ．2,1a b =-=- C ．0,1a b == D ．1,0a b == 7. 设x a =为函数()y f x =的极值点，则下列论述正确的是 ( ) A ．'()0f a = B ．()0f a = C ．''()0f a = D ．以上都不对 二、填空题（每小题3分，共21分） 1. 极限232)sin (1 cos lim x x x x x +-+∞→= . 2 ．极限2 lim n n →∞ ?? + + +=. 3.设函数f (x )=2310 22 2 x x x x a x ?+-≠? -??=? 在点x =2处连续，则a = . 4. 函数()sin x f x x =的间断点为 . 5. 函数22ln y x x =-的单调减区间为 . 6. 设函数ln tan y =，则dy = . 7．椭圆曲线cos sin x a t y b t =??=? 在4t π =相应的点处的切线程为 . 三、求下列极限（每小题6分, 共18分） 1. 求极限 1 1sin 1lim 2 --+→x x e x x 中国民航大学 高等数学(1)期末试卷 一. 选择题 (每题3分,共15分) 1.设函数x x f x x f 222)]([,)(==?,则函数?()x =[ B] (A)log 2x ；(B)2x ；(C)log 22 x ； (D)x 2 . 2.若)()(x g x f -=',则 =)(cos 2x f dx d [ C] (A)x x g sin )(2；(B)x x g 2sin )(；(C)x x g 2sin )(cos 2；(D))(cos 2x g . 3.设)(x f 为可导函数，则： [ C] (A)C x f dx x f +=?)()(； (B))()(x f dx x f ='?； (C)())()(x f dx x f ='?； (D)())()(x f dx x f ='?+C. 4．?2 1 ln xdx 与?2 1 2)(ln dx x 的大小关系是: [ A] (A)??>21 221 )(ln ln dx x xdx ；(B)??<2 1 221 )(ln ln dx x xdx ； (C)??=2 1 221 )(ln ln dx x xdx ； (D) 无法判定. 5.设有直线1 8 2511: 1+= --=-z y x L 与?? ?=+=-3 26 :2z y y x L ，则1L 与2L 的夹角为：[ D] (A)6 π ； (B) 4 π ； (C) 2 π ； (D) 3 π . 二. 填空题 (每题3分,共15分) 1.)(x f 在0x 的某一去心邻域内有界是)(lim 0 x f x x →存在的 条件. 2．设? ??≥+<=.0 ,, 0 ,)(x x a x e x f x 若使 )(x f 在 0=x 处连续，则 =a . 3．设)(x f 在0x 处可导，且8) ()(lim 000 =--+→h h x f h x f h ，则 =')(0x f . 4．=+?→2 20 )1ln(lim x dt t x x . 5.方程64416222=-+z y x 表示的曲面名称为.大学高等数学上考试题库(附答案)
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