二次根式化简的方法与技巧
常见二次根式化简求值的九种技巧 1.估值法 例题1：估计184 132+?的运算结果应在（ ） A . 5到6之间 B. 6到7之间 C. 7到8之间 D. 8到9之间 例题2：若将三个数3-，7，11表示在数轴上，则其中被如图所示的墨汁覆盖的数是 。 2.公式法 例题3：计算)3225()65(-?+ 3.拆项法 例题4：计算 )23)(36(23346++++ 提示：)23(3)36(23346+++=++ 4.换元法 例题5：已知12+= n ，求：424242422222-++--++--+-++n n n n n n n n 的值。 5.整体代入法 例题6：已知2 231-= x ，2231+=y ，求4-+x y y x 的值。
6.因式分解法 例题7：计算 15106232++++ 例题8：计算 y xy x x y y x +++2 （y x ≠） 7.配方法 例题9：若a, b 为实数，153553+-+-= a a b ，试求22-+-++b a a b b a a b 的值。 8.辅元法 例题10：已知3:2:1::=z y x （0>x ，0>y ，0>z ） 求 y x z x y x 2++++的值。 9.先判后算法 例题11：已知8-=+b a ，8=ab ，化简b a a a b b +并求值。 巧用被开方数非负性解决代数式化简求值问题
例题：设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(成立，且x ，y ，a 互不相等， 求222 23y xy x y xy x +--+的值 友情提示：本资料代表个人观点，如有帮助请下载，谢谢您的浏览！
二次根式化简的方法与技巧 所谓转化：解数学题的常用策略。常言道：“兵无常势，水无常形。”我们在解千变万化的数学题时，常常思维受阻，怎么办？使用转化策略，换个角度思考，往往能够打破僵局，迅速找到解题的途径。二次根式也不例外，约分、合并是化简二次根式的两个重要手段，所以我们在化简二次根式时应想办法把题目转化为能够约分和和能够合并的同类根式。现举例说明一些常见二次根式的转化策略。 一、巧用公式法 例1计算b a b a b a b a b a +-+-+-2 分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为a 与b 成立，且分式也成立，故有a ＞0，b ＞0，()0≠-b a 而同时公式：()b a -2=a 2-2ab +b 2，a 2-2 b =()b a +()b a -，能够协助我们将b ab a +-2和b a -变形，所以我们应掌握好公式能够使一些问题从复杂到简单。 解：原式=()b a b a --2+()() b a b a b a +-+=()b a -+() b a -=2a -2b 二、适当配方法： 例2．计算：3216 3223-+--+ 分析：本题主要应该从已知式子入手发现特点，∵分母含有1+32-其分子必有含1+32-的因式，于是能够发现3+22=()221+，且() 21363+=+，通过因式分解，分子所含的1+32-的因式就出来了。
解：原式= ()()32163223-++-+=()()=-++-+3212132121+2 三、准确设元化简法： 例3：化简53262++ 分析：本例主要说明让数字根式转化成字母的代替数字化简法，通过化简替代，使其变为简单的运算，再使用有理数四则运算法则的化简分式的方法化简，例如：a =2，c =5，,3b =6=ab ，正好与分子吻合。对于分子，我们发现222c b a =+所以0222=-+c b a ，于是在分子上可加0222=-+c b a ，所以可能能使分子也有望化为含有c b a ++因式的积，这样便于约分化简。 解：设,2a =,3b =c =5则262=ab 且0222=-+c b a 所以： 原式=()()()5322222222-+=-+=++-+++=+-+=++-++=++c b a c b a c b a c b a bc a c b a c b a c b a ab c b a ab 四、拆项变形法： 例4，计算()()76655 627++++ 分析：本例通过度析仍然要想到，把分子化成与分母含有相同因式的分式。通过约分化简，如转化成： b a ab b a 11+=+再化简，便可知其答案。 解：原式==()()()()()()()() 76657676656576657665+++++++=+++++ 576756761651 -=-+-=+++ 五、整体倒数法： 例5、计算()()13251335++++
二次根式的化简与计算的策略与方法 二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进行二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法： ①先将式中的二次根式适当化简 ②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式（， ） ③对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算． ④二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项． ⑤运算结果一般要化成最简二次根式． 化简二次根式的常用技巧与方法 二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式的化简，除了掌握基本概念和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，下面通过具体的实例进行分类解析． 1．公式法 【例1】计算①；② 【解】①原式 ②原式 【解后评注】以上解法运用了“完全平方公式”和“平方差公式”，从而使计算较为简便．2．观察特征法 【例2】计算： 【方法导引】若直接运用根式的性质去计算，须要进行两次分母有理化，计算相当麻烦，观察原式中的分子与分母，可以发现，分母中的各项都乘以，即得分子，于是可以简解如下： 【解】原式．
【例3】把下列各式的分母有理化． （1）；（2）（） 【方法导引】①式分母中有两个因式，将它有理化要乘以两个有理化因式那样分子将有三个因式相等，计算将很繁，观察分母中的两个因式如果相加即得分子，这就启示我们可以用如下解法： 【解】①原式 【方法导引】②式可以直接有理化分母，再化简．但是，不难发现②式分子中的系数若为“1”，那么原式的值就等于“1”了！因此，②可以解答如下： 【解】②原式 3．运用配方法 【例4】化简 【解】原式 【解后评注】注意这时是算术根，开方后必须是非负数，显然不能等于“” 4．平方法 【例5】化简 【解】∵
初中常见二次根式化简求值的九种技巧 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
常见二次根式化简求值的九种技巧 1.估值法 例题1：估计184 132+?的运算结果应在（ ） A . 5到6之间 B. 6到7之间 C. 7到8之间 D. 8到9之间 例题2：若将三个数3-，7，11表示在数轴上，则其中被如图所示的墨汁覆盖的数是 。 2.公式法 例题3：计算)3225()65(-?+ 3.拆项法 例题4：计算)23)(36(2 3346++++ 提示： )23(3)36(23346+++=++ 4.换元法 例题5：已知12+=n ，求： 424242422222-++--++--+-++n n n n n n n n 的值。 5.整体代入法
例题6：已知2231-= x ，2231+=y ，求4-+x y y x 的值。 6.因式分解法 例题7：计算 15106232++++ 例题8：计算 y xy x x y y x +++2 （y x ≠） 7.配方法 例题9：若a, b 为实数，153553+-+-=a a b ，试求22-+-++b a a b b a a b 的值。 8.辅元法 例题10：已知3:2:1::=z y x （0>x ，0>y ，0>z ） 求y x z x y x 2++++的值。
9.先判后算法 例题11：已知8-=+b a ，8=ab ，化简b a a a b b +并求值。 巧用被开方数非负性解决代数式化简求值问题 例题：设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(成立，且x ，y ，a 互不相等， 求222 23y xy x y xy x +--+的值
二次根式化简的方法与技巧 二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后， 进行二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法： ①先将式中的二次根式适当化简 ②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式 \a、b =、ab a - 0,b- 0 ③对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算. ④二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类 项. ⑤运算结果一般要化成最简二次根式. 化简二次根式的常用技巧与方法 所谓转化：解数学题的常用策略。常言道：“兵无常势，水无常形。”我们在解千变万化的数学题时，常常思维受阻，怎么办？运用转化策略，换个角度思考，往往可以打 破僵局，迅速找到解题的途径。 二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式的化简，除了掌握 基本概念和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，约 分、合并是化简二次根式的两个重要手段，因此我们在化简二次根式时应想办法把题目 转化为可以约分和和可以合并的同类根式。现举例说明一些常见二次根式的转化策略。
例1■计算 a -2 ba b a - ；b 、巧用公式法
分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为a与、b成立，且分式也成立，故有 a . 0,b ? 0, (... ab =0)而同时公式： 2 2 2 2 2 (a—b)=a - 2 ab +b , a - b =(a+b)(a—b),可以帮助我们将 a a b b和a -b变形，所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。 解：原式 (\ a \ b)(\ a - \ b) =a 一\ b) (\ a 一\ b) 二2 a2「b 、适当配方法。 3 2一2 - 3 -、6 例 2 .计算： 1 ? ?? 2 _ \ 3 分析：本题主要应该从已知式子入手发现特点，???分母含有1 . 3其分子必有 含i+J2—J3的因式，于是可以发现3十2丿2 = 1 + 2，且、3 飞「31 -2 ,
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二次根式化简的方法与技巧 二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进行二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法： ①先将式中的二次根式适当化简 ②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式 ab b a =? ()0,0≥≥b a ③对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算． ④二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项． ⑤运算结果一般要化成最简二次根式． 化简二次根式的常用技巧与方法 所谓转化：解数学题的常用策略。常言道：“兵无常势，水无常形。”我们在解千变万化的数学题时，常常思维受阻，怎么办？运用转化策略，换个角度思考，往往可以打破僵局，迅速找到解题的途径。 二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式的化简，除了掌握基本概念和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，约分、合并是化简二次根式的两个重要手段，因此我们在化简二次根式时应想办法把题目转化为可以约分和和可以合并的同类根式。现举例说明一些常见二次根式的转化策略。
一、巧用公式法 例1.计算 b a b a b a b a b a +-+-+-2 分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为a 与b 成立，且分式也成立，故有,0,0>>b a )0(≠-b a 而同时公式：()),)((,222222 b a b a b a b ab a b a -+=-+-=-可以帮助我们将b ab a +-2 和 b a - 变形，所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。 解：原式 ()b a b a b a b a b a b a b a b a 22)()())((2 -=-+-=+-++--= 二、适当配方法。 例2．计算：3216 3223-+--+
二次根式化简的方法与技巧 所谓转化：解数学题的常用策略。常言道：“兵无常势，水无常形。”我们在解千变万化的数学题时，常常思维受阻，怎么办？运用转化策略，换个角度思考，往往可以打破僵局，迅速找到解题的途径。二次根式也不例外，约分、合并是化简二次根式的两个重要手段，因此我们在化简二次根式时应想办法把题目转化为可以约分和和可以合并的同类根式。现举例说明一些常见二次根式的转化策略。 一、 巧用公式法 例1计算b a b a b a b a b a + -+ - +-2 分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为a 与 b 成立，且分式也成立，故有a ＞0，b ＞0， ( ) 0≠-b a 而同时公式： () b a -2 =a 2 -2ab +b 2 ，a 2 -2b =()b a +()b a -，可以帮助我们将 b ab a +-2和b a -变形，所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。 解：原式= ( )b a b a - -2 +( )( )b a b a b a + -+=( )b a -+ ( ) b a -=2a -2b 二、适当配方法。 例2．计算： 3 216 3223- + -- + 分析：本题主要应该从已知式子入手发现特点，∵分母含有1+32-其分子 必有含1+ 32-的因式，于是可以发现3+22=( ) 2 2 1+ ，且 () 21363+ = + ，通过因式分解，分子所含的1+ 32-的因式就出来了。
解：原式= ()( )3 216 3223- + +-+=() ( )=- ++-+ 3 212 132 12 1+ 2 三、正确设元化简法。 例3：化简 5 3262+ + 分析：本例主要说明让数字根式转化成字母的代替数字化简法，通过化简替代，使其变为简单的运算，再运用有理数四则运算法则的化简分式的方法化简，例如：a =2，c =5，,3b =6= ab ，正好与分子吻合。对于分子，我 们发现222c b a =+所以0222=-+c b a ，于是在分子上可加 02 2 2 =-+c b a ，因此可能能使分子也有望化为含有 c b a ++因式的积，这 样便于约分化简。 解：设,2a =, 3b =c =5则262=ab 且0222=-+c b a 所以： 原式 = ()()() 5 32222 2 2 2 2 -+=-+=++-+++= +-+= ++-++= ++c b a c b a c b a c b a bc a c b a c b a c b a ab c b a ab 四、拆项变形法 例4，计算 ( )( ) 76655627+ + + + 分析：本例通过分析仍然要想到，把分子化成与分母含有相同因式的分式。通过约分化简，如转化成：b a ab b a 11+ =+再化简，便可知其答案。 解：原式==( )()( )() ()()( )() 7 66 5767 66 56576657665+ + ++ + + += ++ ++ + 5767567 61651-=-+-=+ + + 五、整体倒数法。 例5、计算 ( )( )1 3251 33 5++++
二次根式化简的常用技巧 二次根式的化简和运算是初中数学的重要内容之一,也是中考和数学竞赛中的常见题型.对于特殊的二次根式的化简,除了掌握基本概念和运算法则外,还应根据根式的具体结构特征,灵活选用一些特殊的方法和技巧.这样做,不仅可以化难为易、化繁为简,提高解题速度,收到事半功倍的奇效,而且有助于培养学生分析问题、解决问题的能力及探索求新的学习习惯.现就几类常用的方法和技巧举例说明如下,供同学们参考： 一、巧用乘法公式 例1、化简：)303223)(532(-+++ 二、巧因式分解 例2、化简 2356 101528-+--+ 解析：本题的关键是将分子中的8拆数配方因式分解，进而约分求得结果. 三、巧用逆运算 例3、化简20092008)322()322(-+ 解析：本题的关键是巧用积的乘方的逆运算：n n n ab b a )(= 四、巧拆项、裂项 例4、化简42356305 627+++++ 解析：本题的关键是将分子中的62拆成66+，分母因式分解，进而裂项化简 五、巧换元 例5、化简 111 1-++--+x x x x +111 1--+-++x x x x 解析：注意到11-++x x 与11--+x x 的和为12+x ，积为2 因此若设11-++x x =A ， 11--+x x =B 则 A +B =21+x ，2)1()1(=--+=x x AB 所以，原式=A B +B A =AB B A 22+=()AB AB B A 22-+ =()222122 ?-+x =x 2 六、巧构方程 例6、化简 333 解析：本题整体设元可使问题化难为易迅捷获解，设 x = 333 两边平方，得 x x 32 = 即 0)3(=-x x
专题训练(一) 二次根式化简求值有技巧(含答案) ? 类型之一 利用二次根式的性质a 2＝|a|化简 对于a 2的化简，不要盲目地写成a ，而应先写成绝对值的形式，即|a|，然后再根据a 的符号进行化简．即a 2＝|a|＝?????a （a ＞0），0（a ＝0），－a （a ＜0）. 1．已知a ＝2－3，则a 2－2a ＋1＝( ) A ．1－3 －1 C ．3－3 －3 2．当a ＜12且a≠0时，化简：4a 2－4a ＋12a 2－a ＝________． 3．当a ＜－8时，化简：|（a ＋4）2－4|. 4．已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c ，化简：c 2－4c ＋4－ 14c 2－4c ＋16. ? 类型之二 逆用二次根式乘除法法则化简 5．当ab ＜0时，化简a 2b 的结果是( ) A ．－a b B ．a －b C ．－a －b D ．a b 6．化简：(1)（－5）2×（－3）2； (2)（－16）×（－49）； (3)错误!； (4)错误!； (5)错误!. ? 类型之三 利用隐含条件求值 7．已知实数a 满足（2016－a ）2＋a －2017＝a ，求a －12016的值． 8．已知x ＋y ＝－10，xy ＝8，求 x y ＋y x 的值． ? 类型之四 巧用乘法公式化简
9．计算：(1)(－4－15)(4－15)； (2)(26＋32)(32－26)； (3)(23＋6)(2－2)； (4)(15＋4)2016(15－4)2017. ? 类型之五 巧用整体思想进行计算 10．已知x ＝5－26，则x 2－10x ＋1的值为( ) A ．－30 6 B ．－186－2 C ．0 D ．106 11．已知x ＝12(11＋7)，y ＝1 2(11－7)，求x 2－xy ＋y 2的值． 12．已知x ＞y 且x ＋y ＝6，xy ＝4，求x ＋y x －y 的值． ? 类型之六 巧用倒数法比较大小 13．设a ＝3－2，b ＝2－3，c ＝5－2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞b ＞a D ．b ＞c ＞a _
二次根式化简的方法技巧 对于某些二次根式，若按照常规一般方法，如分母有理化，则解题过程势必烦琐，为此，本文几种特殊方法，供参考 1.活用公式2a= | a | = 由| a－b| = | b－a| , 故当a≤b时，b≥a, ∴b－a ≥0，∴| a－b| = | b－a| = b－a （其中，b－a≥0） 这样，可以避免出现公式中a≤0时，在化去绝对值时漏写负号“－”的错误. 解：∵1< a ＜2 , ∴a >1, 2 >a ∴ a －1 ＞0 , 2－a>0 , ∴原式= | a －1| + | 2－a| = ( a －1 ) + ( 2－a ) = 1. 2. 逆用公式2a= a (a≥0) 例2. 设A = 6+2，B =3+5，则A、B中数值较小的是____; 解：由2a= a (a≥0) 可得 A = = ， B = = = ∴A＜B； 3. 因式分解： 例4. 化简： 解：原式= = = = 3－1. 4.构造方程
例5. + 解：设＝x, = y ， 则得： 注意到x＞y＞0 , 可得：x + y =6，即原式＝6， 5. 先平方再开方： 例6. 化简：+ (1≤a≤2) 解：设原式＝x. 则x2= (a + 2) + 2+ ( a －2) = 2a + 2 ∵1≤a≤2 , ∴x2 = 2a + 2(2－a) = 4, ∴x = 2 , 即原式= 2. 6.整体代入 例7. 已知：x = , 求x 5 + 2x 4 －17 x 3－x 2 +18x－17的值解：变换条件，整体代入 由x = , 得x =17, ∴x 2 + 2x = 16 . ∴x5 + 2x4 －17 x3－x2 +18x－17 ＝x 3(x2 +2 x )－17 x3－x 2 + 18x －17 = 16x3－17x3－x2 +18x－17 ＝－x3－x2 +18x－17 ＝－x(x2 + 2x) + x2 + 18x－17 = －16x + x2 +18x－17 = x2+ 2x－17 = 16－17 = －1. 例7. 已知：x = , 求的值； 解：局部化简，整体代入
二次根式化简的方法与技巧 一、 巧用公式法 例1计算 b a b a b a b a b a +-+ -+-2 分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为a 与b 成立，且分式也成立，故有a ＞0，b ＞0， ( ) 0≠-b a 而同时公式：()b a -2=a 2-2ab +b 2， a 2-2 b =()b a +()b a -，可以帮助我们将b ab a +-2和b a -变形，所以我们应掌握好 公式可以使一些问题从复杂到简单。 解：原式= ( )b a b a --2 +( )( )b a b a b a +-+=( )b a -+ ( ) b a -=2a -2b 二、适当配方法。 例2．计算： 3 2163223-+--+ 分析：本题主要应该从已知式子入手发现特点，∵分母含有1+32-其分子必有含1+32-的因式，于是可以发现3+22=() 2 21+，且() 21363+=+，通过因式分解，分子所含的1+32-的因式就出来了。 解：原式= ()( )3 216 3223-++-+=() ( )=-++-+3 212 13212 1+ 2 三、正确设元化简法。 例3：化简 5 326 2++ 分析：本例主要说明让数字根式转化成字母的代替数字化简法，通过化简替代，使其变为简单的运算，再运用有理数四则运算法则的化简分式的方法化简，例如：a =2，c =5， ,3b =6=ab ，正好与分子吻合。对于分子，我们发现222c b a =+所以 0222=-+c b a ，于是在分子上可加0222=-+c b a ，因此可能能使分子也有望化为含有 c b a ++因式的积，这样便于约分化简。 解：设,2a =,3b =c =5则262=ab 且0222=-+c b a 所以： 原式= ()()()5322222 222-+=-+=++-+++=+-+=++-++=++c b a c b a c b a c b a bc a c b a c b a c b a ab c b a ab
二次根式化简求值的常用技巧 陈开金 二次根式(常见的有分式型,复合二次根式型,无限循环型或混合型)的化简求值,是中考及各级各类数学竞赛中的常见题目.下面举例谈谈八种常见方法——约分法、裂项法、取倒法、配方法、公式法、平方法、方程法、换元法,供读者参考. 一、约分法:对“分式型”代数式,分子分母都是多项式时,有时可以先分别因式分解,通过约分达到化简目的. 例1 化简10 1514215 7--+- 2 32 31) 57)(23(5 7) 23(5)23(75 7：-=+=-+-= +-+-= 原式解 二、裂项法:对于一些连续相加的分式型二次根式,如果拆项后能互相抵消,则可用此法. 例2 2004 2003200320041 32231221++ ++++ 化简 解:因为1n n n )1（n 1 +++ , 1 n 1n 1)1n (n n 1n )n 1n ()1n (n 1 +- = +-+=+++= .1002 501 12004 11） 2004 12003 1（ ）3 12 1（ ）2 11（- =- =- ++- +-= 所以原式 三、取倒法:如果一个“分式型”二次根式只有分子可进行因式分解,常常可先取倒再用第二种方法解决. 例3 .1 2232236+++++化简 .2 1 31 31,1312231 21231x 1, x ) 12()23() 12)(23(:+= -= -=-+-=+++==+++++= 所以原式则设原式解
四、配方法：在复合二次根式b m a +中，如果存在x ＞0,y ＞0,使得 . ，xy 2b m ，.y x )y x (b m a ， ，,a y x ,b m xy 2222再检查平方项的形式成一般先拆开在使用此法时写成式子为达到化简目的全平方式则可把被开方数写成完+=+=+=+= 例4 化简.5614- 解：原式=55329+??- .53)53(2-=-= 例5 化简)(212172232等于-+- （A ）245- (B)124- （C ）5 （D ）1 . 1223222)223()12(28223291122222 12172232:22=-+-=-+-=???-++??-=-+-解 五、公式法：对于 ,2 k a 2k a b a ,k b a ,0k ＞,0b ＞,0a ＞,b a 22-±+= ±=-±则使得且存在若这可以利用算术平方根的定义进行证明。 例6 化简.537+ 解：原式=,457+ ,2445722==-由于 所以a=7,k=2, .2 10 2232 2 72 2 745 7+= -++=+=所以原式 六、平方法：对于被开方数为和差型的复合二次之和（差）,常以退为进，先求出它的平方。 1 103 103107 +-+ +化简 例 解:设原式=x,则,21 102102x 2=++= 所以原式=.2 七、方程法:对于一些带……号的无限循环式的化简,通常可设原式值为x,设法建立一个关于x 的方程求解. 例8 化简求值 +++666 解:设原式=x,则x=,x 6+两边平方得,06x x 2=-- 即(x-3)(x+2)=0,取正数x=3.
二次根式化简的方法与技巧 (初二初三) 所谓转化：解数学题的常用策略。常言道：“兵无常势，水无常形。”我们在解千变万化的数学题时，常常思维受阻，怎么办？运用转化策略，换个角度思考，往往可以打破僵局，迅速找到解题的途径。二次根式也不例外，约分、合并是化简二次根式的两个重要手段，因此我们在化简二次根式时应想办法把题目转化为可以约分和和可以合并的同类根式。现举例说明一些常见二次根式的转化策略。 一、巧用公式法 例1计算 b a b a b a b a b a +-+ -+-2 分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为a 与 b 成立，且分式也成立，故有a ＞0，b ＞0， ( ) 0≠-b a 而同时公式： () b a -2 =a 2 -2ab +b 2 ，a 2 -2 b =()b a +()b a -，可以帮助我们将 b ab a +-2和b a -变形，所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。 解：原式= ()b a b a --2 +( )( )b a b a b a +-+=( )b a -+ ( ) b a -=2a -2b 二、适当配方法。 例2．计算： 3 2163223-+--+ 分析：本题主要应该从已知式子入手发现特点，∵分母含有1+32-其分子必有含1+ 32-的因式，于是可以发现3+2 2=() 2 2 1+，且 () 21363+=+，通过因式分解，分子所含的1+32-的因式就出来了。 解：原式= ()()3 216 3223-++-+=() ( )=-+ +-+3 212 13212 1+ 2 三、正确设元化简法。
化简二次根式的技巧 化简二次根式是进行二次根式加减运算的基础，只有把二次根式化简了，才能进行二次根式的加减运算.在化简时，要根据被开方数的不同特征，采取不同的化简策略.下面举例说明. 一、被开方数为整数 当被开方数为整数时，应先对整数分解质因数，然后再开方. 例1.分析：由于12是整数，在化简时应先将12分解为12=4×3=22×3. 解：原式==二、被开方数是小数 当被开方数是小数时，应先将小数化成分数，再进行开方. 例2. 分析：由于0.5是一个小数，因此在化简时，先将0.5化成12 ，然后再利用二次根式的性质进行化简. 解：原式 2==. 三、被开方数是带分数 当被开方数是带分数时，应先化为假分数再进行开方. 例3. 根式的性质进行化简. 解：原式 2===. 四、被开方数为数的和（或差）形式 当被开方数为数和（或差）的形式时，应先计算出其和（或差），再进行开方. 例4.分析：观察被开方数的特点是两个数的平方的和的形式，一定不能直接各自开方得113 22+，而应先计算被开方数，然后再进行开方运算. 解：原式==五、被开方数为单项式 当被开方数是单项式时，应先将被开方数写成平方的形式（即将单项式写成2()m a 或2 ()m a ·b 的形式），
然后再开方. 例5.分析：由于3527x y 是一个单项式，因此应先将3527x y 分解为22223()3x y y ???的形式，然后再进行开方运算. 解：原式3xy =六、被开方数是多项式 当被开方数是多项式时，应先把它分解因式再开方. 例6.分析：由于5243412x y x y +是一个多项式，因此应先将5243412x y x y +分解因式后再开方，切莫直接 各自开方得2222x x . 解：原式22x =七：被开方数是分式 当被开方数是分式时，应先将这个分式的分母化成平方的形式，然后再进行开方运算. 例7.分析：由于 2512z x y 是一个分式，可根据分式的基本性质，将2512z x y 的分子、分母同乘以3y ，将分母转化为平方的形式，然后再进行开方运算，将二次根式化简. 解：原式=八、被开方数是分式的和（或差） 当被开方数是分式的和（或差）的形式时，应先将它通分，然后再化简. 例8.. 分析：由于被开方数是 2211a b +，是两个分式的和的形式，因此需先通分后再化简. 解：原式==. 通过以上各例可以看出，把一个二次根式化简，应根据被开方数的不同形式，采取不同的变形方法.实际上只是做两件事：一是化去被开方数中的分母或小数；二是使被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
创作编号： BG7531400019813488897SX 创作者： 别如克* 二次根式化简的方法与技巧 二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进行二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法： ①先将式中的二次根式适当化简 ②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式 ab b a =? ()0,0≥≥b a ③对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算． ④二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项． ⑤运算结果一般要化成最简二次根式． 化简二次根式的常用技巧与方法 所谓转化：解数学题的常用策略。常言道：“兵无常势，水无常形。”我们在解千变万化的数学题时，常常思维受阻，怎么办？运用转化策略，换个角度思考，往往可以打破僵局，迅速找到解题的途径。 二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式
的化简，除了掌握基本概念和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，约分、合并是化简二次根式的两个重要手段，因此我们在化简二次根式时应想办法把题目转化为可以约分和和可以合并的同类根式。现举例说明一些常见二次根式的转化策略。 一、巧用公式法 例1.计算 b a b a b a b a b a +-+ -+-2 分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为 a 与 b 成立，且分式也成立，故有 ,0,0>>b a ) 0(≠-b a 而 同 时 公 式 ： ()),)((,222222 b a b a b a b ab a b a -+=-+-=-可以 帮助我们将b ab a +-2 和 b a - 变形，所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。 解：原式 ()b a b a b a b a b a b a b a b a 22)()() )((2 -=-+-=+-++ --=
二次根式化简的常用技巧 一、巧用乘法公式 例1、化简： （1） （2） 解：（1） （2） 说明：对分母中含二次根式个数较多的式子进行分母有理化，需要较强的观察能力和灵活掌握式子变形的一些技巧。如本例（2），采用因式分解，就容易找到有理化因式；本例（4）逆用分式加法法则，将原式拆成两个式子的和，就容易进行分母有理化。 练：把下列各式分母有理化： （1） （2） 解：（1） 原式 （2）原式= 四、巧拆项、裂项添项 对于一些连续相加的分式型二次根式,如果拆项后能互相抵消,则可用此法. 例4、化简 解析：本题的关键是将分子中的拆成，分母因式分解，进而裂项化简 原式 =
= 一、巧用乘法公式 例1、化简： 练习1、化简：． 解：原式 ． 练习2、 解:因为 错误! 巧添项 例6．化简：． 解：原式 ． 化简： . 分析：本题若直接分母有理化显然较复杂，若将分子添加，利用完全平方公式和平方差公式来解决，则会非常简捷. 解：= = 五、巧换元 当问题的结构过于复杂，难以直接发现规律时，可以通过换元，将结论的形式转化为简单形式，以便于发现解题规律。 例5、化简 + 解析：注意到与的和为，积为2 因此若设=， = 则 +=2 ，
设原式=，则 =，∴原式 练习： 八、平方法 对于被开方数为和差型的复合二次之和（差）,常以退为进，先求出它的平方。 解:设原式=x,则 所以原式= 化简：. 分析：观察式子，发现结果大于0，故可先将整个式子先平方，再求其算术平方根. 解：设=（，则 ==3+，因为，所以，即原式= 练习1、化简：． 解：设则 ． ． 即．
练习2、化简： 解：设= 显然则 = ……大胆地用完全平方公式吧！计算量其实不大。 = = = = = = ， 即原式= 用这种方法可以很轻松地解决下面这道题题。 （4）计算 解：令 则 =10 把这长串式子平方看起来挺复杂，你用完全平方公式配合平方差公式试试，就这么简单。 显然，所以 所以原式的结果为。 评注：当然，，你配方这么做也行。 九、配方法（公式法）（巧用韦达定理） 在复合二次根式中，如果存在x＞0,y＞0,使得 例4 化简 解：原式= 例5 化简 （A）(B) （C）5 （D）1 1. 型二次根式的化简 例：化简： （1） （2） （3） 解：（1） （2）