我所认识的应力与应变的关系
机械与动力工程学院
我所认识的本构关系可以从三个不同的受力条件下进行分析，第一是在弹性变形下的应力与应变的关系，第二是在屈服条件下的应力与应变的关系，第三是在塑性条件下的应力与应变的关系，而对应力与应变的关系的研究也可以归结为对本构关系的研究。
首先，弹塑性力学分别从静力学和几何学的角度出发，导出了平衡方程的和几何方程，这些方程均与物体的材料性质（物理性质）无关，因而适用于任何连续介质。但仅仅依靠平衡方程和几何方程来解决实际中的工程问题是不够的。由于平衡方程仅建立了力学参数（应力分量与外力分量）之间的联系，而几何方程也仅建立了运动学参数（位移分量与应变分量）之间的关系，所以平衡方程与几何方程式两类完全相互独立的方程，他们之间还缺乏必要的联系。对于所求解的问题来讲，因为您未知量的数目多于任何一类方程的个数，所以无法利用这两类方程求的全部未知量。
平衡方程：
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎪⎬⎫⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂222222000t w Z z y x t v Y z y x t u X z y x z zy zx yz y yx xz xy x ρσττρτστρττσ （1） 几何方程：
⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂=∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=
x w z u z w z v y w y v y u x v x u zx z yz y xy x γεγεγε （2） 为了求解具体的力学问题，还必须引进一些关系式，这些关系式即所谓的本构关系。本构关系反映可变形体材料的固有特此那个，故也称为物理关系，它实际上是一组联系力学参数和运动学参数的方程式，即所谓的本构方程。本构方程实际上就是一组反映可变形体材料应力和应变之间关系的方程。
在单向应力状态下，理想弹性材料的应力和应变之间的关系极其简单。这就是在材料力学中寻出的如下形式的胡克定律：
x x E εσ= （3）
胡克定律是一个实验定律，在式（1.1）中的E 是材料性质有关的弹性常数，称为弹性模量和杨氏模量。
在三维应力状态下，描绘一点处的应力状态需要9个应力分量，相应的三维应力状态下，应力与应变之间仍然有类似式（1.1）的线性一一对应关系存在，则称这类弹性体为线性弹性体。对线弹性体，可以把单向应力状态下的胡克定律
推广到三维应力状态。推广得到的式子形式形式为
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+++++=+++++=+++++=+++++=+++++=+++++=zx
yz xy z y x zx zx yz xy z y x yz
zx
yz xy z y x xy zx yz xy z y x z zx
yz xy z y x y zx yz xy z y x x c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c γγγεεετγγγεεετγγγεεετγγγεεεσγγγεεεσγγγεεεσ666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211 (4) 由于应力张量和应变张量的对称性，所以式中只有6个应力分量和应变分量，式
（4）建立了复杂应力状态下得弹性体应力和应变之间的关系，由于它是胡克定律的推广式，故称为广义胡克定律。式中系数mn C （m,n=1,2……6）称为弹性系数，如果弹性体式有均匀材料组成的，则弹性系数mn C 与坐标无关，为取决于材料特性的常数。式（4）可以简写为
kl ijkl ij C εσ= （5） 式中ijkl C 是一个四阶张量，称为弹性张量。满足广义胡克定律的线性弹性体称为各向异性弹性体，各向异性弹性体是线性弹性体的最一般情况。实际上大多数线性弹性体都具有某种取向性，因此满足的本构关系也是简单的。常用的线性体及其相应的本构方程形式如下：
（1）具有一个弹性对称面的线性弹性体
如果线性弹性体内的每一点都存在这样一个平面，与该平面对称的两个方向具有相同的力学性质，则该平面称为线性弹性体的弹性对称面，而垂直于弹性对称面的方向，称为线性弹性体的弹性主方向，独立的弹性常数有13个，而且本构方程的形式如下
⎪⎪⎪⎪⎭
⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡zx yz xy z y x zx yz xy z y x C C C C C C C C C C C C C γγγεεετττσσσ6656554434332423221413121100000000 (6) （2）正交各向异性弹塑体
如果线性弹性体内的每一点都存在三个相互垂直的弹性对称面，则称此类线性弹性体为正交各向异性弹性体，正交各向异性弹性体工程中常用的一种线性弹性体材料模型，对于此类线性弹性体，独立的弹性常数减少到9个，而且本构方程的形式如下：
⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡zx yz xy z y x zx yz xy z y x C C C C C C C C C C γγγεεετττσσσ66565544332322131211000000000
00 （7） 工程上正交各向异性弹性体的本构方程常采用如下表达式
⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡zx yz xy z y x zx yz xy z yz y xz xy x zx yz xy z y x G G G E E E τττσσσυυυγγγεεε101001000100010001 （8） （3）各向同性弹性体
所谓各向同性弹性体，从力学意义山讲，就是弹性体内的每一个点沿各个方向的力学性质都完全相同。这就意味着各向同性弹性体的力学特征的可知，这类弹性体独立的弹性常数只有两个。令μ2=-b a ，λ=b ，321εεε++=Θ则可得下列 本构方程：
⎪⎭
⎪⎬⎫+Θ=+Θ=+Θ=332211222μελσμελσμελσ （9） 式中：λ，μ称为lame 弹性常数
在任意的坐标系里，本构方程可以表示为如下的一般的形式，
⎪⎭
⎪⎬⎫=+Θ==+Θ==+Θ=zx zx yz yz xy xy μγτμελσμγτμελσμγτμελσ332211222 （10） 或者简写为ij ij ij ij ij μεδλμελεδσ22+Θ=+= （11） 工程中常把各向同性弹性体的本构方程写成如下形式：
()[]()[]
()[]⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=+-==+-==+-=zx zx y x z x yz yz z x y y xy xy z y x x G E G E G E τγσσνσετγσσνσετγσσνσε111111 （12） 或简写成ij kk ij ij E
E δσυσυε++=
1 （13） 式中：E ，υ，G 分别为弹性模量，泊松比和剪切弹性模量，在三个参数之间，实际上独立的常数只有两个他们之间有如下的关系 ()
υ+=12E G (14) Lame 常数λμ与工程弹性系数E ，υ，G 之间的关系可利用上述公式求得
()()m z y x z y x E
E συσσσυεεε21321-=++-=++=Θ （15） 令()υ213-=
E K 则式可改写成 K
m
σ=Θ (16) 式反映了体积应变与平均应力之间的关系，称为体积应变的胡克定律，K 称为体积模量。将式的（15）带入（16）得到 ()ij kk ij ij E
δσμυλσμε22121--= （17） 比较式（17）得到
()()()⎪⎪⎭
⎪⎪⎬⎫+==-+=υμυυυλ12211E G E (18) 此外，弹性体受外力作用后，不可避免的要产生变形，同时外力的势能也要产生变化。根据热力学观点，外力所做的功，一部分将转化为弹性体的动能，一部分将转化成内能。假设弹性体的变形过程是绝热的，也就说变形过程中没有热量的得失。同时假设载荷施加的足够慢，弹性体随时处于平衡状态，而且动能变化可以忽略。则根据热力学第一定律，外力在变形过程中所做的功全部转化为内能储存在弹性体内部。这种贮存在弹性体内部的能量是因变形而获得的，故称之为弹性变形能或弹性应变能。定义函数U 0(ɛij ),使之满足
ij ij ij U σεε=∂∂)
(0 （19）
称为格林公式。函数U 0(ɛij )表示单位体积的弹性应变能，故称之为弹性应变能密度函数。简称为应变能。假如函数U 0(ɛij )的具体函数形式能够确定的话，那么弹性体的应力应变关系也就完全确定了。这表明，弹性应变能密度函数是弹性材料本构关系的另一种表达形式。
以上讨论的都是弹性体在弹性阶段内所满足的关系。根据变形的特点，固体在受力过程中的力学行为可分成两个明显不同的阶段：当外力小于某一限值（通常称之为弹性极限荷载）时，在引起变形的外力卸载后固体能完全恢复原来的形状，这种能恢复的变形成为弹性变形，固体只产生弹性变形的阶段成为弹性阶段；外力一旦超过弹性极限荷载，这时再卸除载荷，固体也不能恢复原状，其中有部分不能消失的变形被保留下来，这种保留下来的永久变形就成为塑性变形，这一阶段成为塑性阶段。在弹性阶段，应力和应变之间存在一一对应的单值函数关系，而且还假设是线性关系；在塑性阶段，应力和应变之间通常不存在一一对应的关系，而且通常还是非线性关系（这种非线性成为物理非线性）。
下面我们通过简单拉伸试验，以及常温静载下的一条典型应力—应变曲线来讨论弹性体的屈服阶段。如图所示
（1）随着载荷的增加，在变形的最初阶段直到A 点之前，应力σ和应变ε成直线关系
εσE = （20）
式中：αtan =E 为直线的斜率，即弹性模量。由于在变形超过A 点之后，应力σ和应变ε成线性关系，所以与A 点相应的应力称为材料的比例极限并用p σ表示
1）当载荷继续增加，变形增长比在A 之前稍大，但在未超过B 之前，如果卸除载荷，变形是可以恢复的。所以OB 段仅有弹性变形，与B 点相应的应力称为材料的弹性极限，并用σe 表示。
2）继续加载达到C 点后，变形增长开始变快。如果是软钢材料制成，那么曲线上将会有一个明显的平缓段，即出现应力保持不变而应变可以有很大增长的现象，这种现象称为材料屈服，相应的应力称为屈服极限，并用σs 表示。但如
果材料是高强度合金钢或者铝合金等材料制成，曲线上就没有明显的屈服段。曲
线上σ=σ
的点就是初始弹性阶段的界限，超过此极限以后材料就进入塑性阶段
s
了。所以把它称为初始屈服点，也就是曲线上的C点。材料由初始弹性阶段进入塑性阶段的过程称为初始屈服。
图1
3）在应力超过屈服应力后，如果在曲线上任意一点D处卸载，应力与应变之间不再遵循原有的加载曲线规律，而是沿一条接近平行于OA的直线DO'变化，直到应力下降为零，这时应变并不变为零，即有塑性应变产生，如果应OD'表示总应变ɛ，O'D'表示可以恢复的弹性应变ɛe，OO'表示不能恢复的塑性应变ɛp，则有
Ɛ=ɛe+ɛp
即总应变等于弹性应变加上塑性应变。
若在卸载之后重新加载，则曲线基本上仍沿直线O'D变化，直至应力超过D 点的应力之后，才会产生新的塑性变形。由此看来，在经过前次塑性变形后，屈服应力提高了，这种现象称为应变强化（硬化）现象。为了与初始屈服相区别，我们把继续发生新的塑性变形时材料的再度屈服称为后继屈服，相应的屈服点D
表示。
称为后继屈服点，相应的应力称为后继屈服应力，并用σ'
s
5）如果在完全卸载后施加相反方向的载荷，譬如由拉伸改为压缩，则曲线沿DO'的延长线下降，开始是呈直线关系，但到达D''点后又开始进入屈服，并有反方向的屈服应力降低的现象，这种现象称为Bauschinger 效应。这个效应说明材料在某一个方向上的硬化将引起反方向的软化。
6）在εσ-曲线达到最高点E 时，载荷达到最大值，相应的应力称为强度极限，并用b σ表示。此时，由于颈缩现象的出现，在E 点以后载荷开始下降，直至试件断裂破坏。这种降低而应变增加的现象称为应变软化（简称软化）。
从以上关于简单拉伸试验所观察的现象可以知道，材料的塑性变形规律即塑性本构关系与弹性本构关系有很大的不同，它具有以下几个重要的特点：
（1）首先，需要判断材料是处于弹性阶段还是已进入塑性阶段，为此需要一个判断材料弹性与塑性界限的准则，称之为屈服条件。对单向应力状态（如简单拉伸或压缩）这个条件为s σσ=（初始屈服条件）
（2）在应力满足屈服条件时，应力的变化还有两种可能：加载和卸载。如果继续加载，将有新的塑性变形产生；但是如果卸载，应力与应变之间服从初始的胡克定律关系，因此，需要有一个判断加载还是卸载的判断式，即所谓的加载和卸载准则。
（3）应力和应变之间是非线性关系。
（4）应力和应变之间不存在弹性阶段那样的单值关系。这是因为进入塑性阶段后，加载和卸载服从不同的规律，这一点决定了它和非弹性问题的不同。
现在讨论弹性体在塑性阶段的应力应变关系。形变理论是塑性力学中物理关系比较简单的一种，这个理论和弹性力学分析问题的方法是一致的，即要以变形的全量作为基础，因此确定物理方程时，就需要保持弹性力学物理方程中的一些特点。为了建立塑性力学中全量理论的物理方程，需要采用如下几个假定：
⑴应力主方向与应变主方向是重合的，即应力Mohr 圆与应变Mohr 圆相似，应力Lode 参数σμ和应变Lode 参数σμ相等，而且在整个加载过程中主方向保持不变。
⑵平均应力与平均应变成比例。
⑶应力偏量分量与应变偏量分量成比例。
⑷应力强度是应变强度的函数, 而这个函数对每个具体材料都应通过实验来确定。即t i E εσ=，这里的E 不仅与材料有关，而且也和塑性变形程度有关。
将上述几点假设与广义胡克定律做一个比较，发现只有第四点与弹性力学不同，而形变理论却包括了前一种情况，因为胡克定律是这里的一种特殊情况。
全量理论——依留申本构方程，主要适用于强化材料
()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪
⎪⎬⎫Φ==Θ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=
i i m zx i i zx y x z i i z yz i i yz x z y i i y xy i i xy z y x i i x K e e e e e e εσστσεγσσσστσεγσσσστσεγσσσσ,13,213,213,21 （21） 或简写形式
()⎪⎭⎪⎬⎫Φ=-+=
i i ij kk ij i i ij E S εσδσνσεε32123 （22）
在塑性变形阶段，应力和应变的关系是非线性的，应变不仅和应力状态有关，还和变形历史有关。考虑应变历史，研究应力和应变增量之间的关系，以这种关系为基础的理论称为增量理论。塑性变形过程是不可逆的，变形功的较大部分皆转变为热，最后状态的应力与变形路径有关。由于这一点，描写塑性变形的方程式原则上不能由应力分量和应变分量的有限关系式相联系，而必须是微分关系式，此外，还必须是非积分形式的。塑性流动理论方程式建立了应变的无限小增量与应力的无限小增量，应力本身，以及塑性状态的某些参数之间的关系。因为塑性变形与应力路径有关，因此常常需考虑取全部加载过程增长了的塑性应变，并通过积分，确定总的塑性应变。但是，如果是有一比例的应力路径即简单加载时，如各应力按相同比例增加则塑性应变状态与加载过程无关，而只与最终的应力状态有关。
增量理论又称流动理论，是描述材料在塑性状态时应力与应变增量之间关系的理论。历史上这个理论发展得比形变理论更早，它不受加载条件的限制, 在理论上比形变理论更有优越性，但在实际应用时，需要按加载过程中的变形路径进
行积分，因此计算是比较复杂的。
在复杂加载的条件下，变形过程将不按统一的比例变化，因而问题比形变理论复杂得多。在这种情况下，可以假设在某一瞬时，应变增量的主轴与应力偏量的主轴是重合的，因而各应力偏量分量与各应变增量或与各应变偏量增量的分量在此瞬时成同一比例。由此在各向同性体的塑性流动理论中，有下列假设，而这些假设一般是可以通过实验验证的。
⑴主伸长增量速度的方向与主应力方向重合。
⑵体积变形的变化与平均应力成正比，而且完全是弹性的。
⑶应力偏量与应变增量速度成比例。
⑷应力强度是应变增量速度强度的函数。对于理想塑性材料，应力强度是个常数。
增量理论之一——适用于理想弹塑性材料的 Prandtl — Reuss 理论 ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=Θ+=+=+=+=+=+=
m zx zx zx z z z yz yz yz y y y xy xy xy x x x d K d d d G de S d dS G de d d G de S d dS G de d d G de S d dS G de σλττλλττλλττλ121,2121,2121,21 （23） 或简写形式 ij kk ij ij ij d E
S d dS G d δσνλε32121-+⋅+= （24） 式中：λd 是一个与加载历史有关的大于零的比例系数
增量理论之二——适用于理想刚塑性材料的Levy — Mises 理论⎪⎭
⎪⎬⎫======zx zx z z yz yz y y xy xy x x d d S d d d d S d d d d S d d λτελελτελελτελε,,, （25）
或简写形式 ij ij S d d λε=
增量理论着重指出了塑性应变增量的偏量与应力偏量的关系，可理解为它是建立起各瞬时应力或应力增量与应变的变化关系。
由上可知弹塑性力学中的应力与应变的关系在不同条件下是不同的，但又存在着联系使得应力与应变的关系相互统一。
材料力学中的应力与应变关系引言： 材料力学是研究材料在外力作用下的力学性能和变形规律的学科，应力与应变是材料力学中最基础的概念之一。应力与应变关系的研究对于材料的设计、工程应用以及材料力学理论的发展具有重要意义。本文将从宏观和微观两个角度出发，探讨材料力学中的应力与应变关系。 一、宏观角度下的应力与应变关系 宏观角度下的应力与应变关系是指在宏观尺度上，材料在外力作用下的力学响应。我们可以通过引入应力和应变的概念来描述材料的力学行为。 1. 弹性应力与应变关系 弹性应力与应变关系是指材料在弹性阶段内，应力与应变之间的关系。弹性材料在受力后能够恢复到原始形状，且应力与应变呈线性关系。根据胡克定律，应力与应变之间的关系可以表示为： σ = Eε 其中，σ表示应力，E表示弹性模量，ε表示应变。弹性模量是材料的一种力学性能参数，反映了材料对外力的抵抗能力。 2. 塑性应力与应变关系 塑性应力与应变关系是指材料在超过弹性极限后，发生塑性变形时的应力与应变关系。塑性材料在受力后会发生永久性变形，应力与应变之间不再呈线性关系。根据真应力与真应变的定义，塑性应力与应变关系可以表示为： σ' = Kε'
其中，σ'表示真应力，K表示材料的强度系数，ε'表示真应变。强度系数是衡 量材料塑性变形能力的指标。 3. 强化应力与应变关系 强化应力与应变关系是指材料在受到强化处理后，应力与应变之间的关系。强 化处理是通过改变材料的晶体结构或添加外部组分来提高材料的力学性能。强化应力与应变关系的表达式与具体的强化方式有关，可以通过试验或模型计算得到。二、微观角度下的应力与应变关系 微观角度下的应力与应变关系是指材料在微观尺度上，原子或分子之间的相互 作用导致的力学响应。我们可以通过分子动力学模拟或统计力学方法来研究材料的微观力学行为。 1. 分子动力学模拟 分子动力学模拟是一种通过求解牛顿运动方程来模拟材料微观力学行为的方法。通过分子动力学模拟，我们可以得到材料的应力与应变关系，并研究材料的力学性能和变形机制。 2. 统计力学方法 统计力学方法是一种通过统计分析原子或分子的运动状态来研究材料的力学行 为的方法。通过统计力学方法，我们可以得到材料的热力学性质和力学性质之间的关系，进而推导出应力与应变的关系。 结论： 材料力学中的应力与应变关系是研究材料力学性能和变形规律的基础。从宏观 和微观两个角度出发，我们可以通过引入应力和应变的概念来描述材料的力学行为。宏观角度下的应力与应变关系可以通过弹性模量、强度系数等参数来描述，而微观
深入解析材料力学中的应变应力关系 材料力学是研究物质在外力作用下的变形和破坏行为的学科，应变应力关系是 材料力学中的重要概念。本文将深入解析材料力学中的应变应力关系，从宏观和微观两个层面进行讨论。 一、宏观层面的应变应力关系 在宏观层面，我们常常使用应变和应力来描述材料的力学性能。应变是材料在 外力作用下发生的变形程度，而应力则是材料单位面积上所受的力。应变和应力之间的关系可以通过应力-应变曲线来描述。 应力-应变曲线通常包括弹性阶段、屈服阶段、塑性阶段和断裂阶段等不同阶段。在弹性阶段，材料受到外力后会发生弹性变形，即在去除外力后能够恢复原状。此时，应变与应力之间的关系符合胡克定律，即应力与应变成正比。 然而，在超过一定应力值后，材料会进入屈服阶段，此时应变不再与应力成正比，而是出现了非线性关系。这是因为材料开始发生塑性变形，晶体内部的位错开始运动并滑移，导致材料的形状发生改变。在塑性阶段，应变与应力之间的关系取决于材料的本构关系，不同材料具有不同的本构关系。 最终，当材料的应力达到其极限强度时，会发生断裂，即材料无法再承受更大 的应力而发生破坏。此时，材料的应力-应变曲线会突然下降。 二、微观层面的应变应力关系 在微观层面，我们需要考虑材料的晶体结构和原子之间的相互作用。晶体中的 原子通过键结合在一起，形成了晶格结构。当材料受到外力作用时，晶体内的原子会发生位移和滑移，从而导致材料的变形。 在弹性阶段，材料的变形主要是由原子之间的键的伸长和压缩引起的。当外力 去除后，原子会恢复到原来的位置，材料也会恢复到原来的形状。
然而，在塑性阶段，晶体内的位错开始运动并滑移，导致材料的形状发生改变。位错是晶体结构中的缺陷，它们能够在晶体中传递应力和吸收应变。位错的运动和滑移是材料发生塑性变形的基本机制。 位错运动和滑移导致了材料的塑性变形，同时也引起了材料的硬化现象。在塑 性变形过程中，位错会相互交互作用，形成更多的位错并堆积在晶体中。这些位错的堆积会导致晶体的内部应力增大，从而使材料更难发生塑性变形。 总结起来，材料力学中的应变应力关系涉及宏观和微观两个层面。在宏观层面，我们通过应力-应变曲线来描述材料的力学性能，包括弹性、屈服、塑性和断裂等 阶段。在微观层面，我们需要考虑材料的晶体结构和原子之间的相互作用，特别是位错的运动和滑移对材料的塑性变形和硬化现象的影响。 通过深入解析材料力学中的应变应力关系，我们可以更好地理解材料的力学性 能和变形行为，为材料设计和工程应用提供科学依据。
我所认识的应力与应变的关系 机械与动力工程学院 我所认识的本构关系可以从三个不同的受力条件下进行分析，第一是在弹性变形下的应力与应变的关系，第二是在屈服条件下的应力与应变的关系，第三是在塑性条件下的应力与应变的关系，而对应力与应变的关系的研究也可以归结为对本构关系的研究。 首先，弹塑性力学分别从静力学和几何学的角度出发，导出了平衡方程的和几何方程，这些方程均与物体的材料性质（物理性质）无关，因而适用于任何连续介质。但仅仅依靠平衡方程和几何方程来解决实际中的工程问题是不够的。由于平衡方程仅建立了力学参数（应力分量与外力分量）之间的联系，而几何方程也仅建立了运动学参数（位移分量与应变分量）之间的关系，所以平衡方程与几何方程式两类完全相互独立的方程，他们之间还缺乏必要的联系。对于所求解的问题来讲，因为您未知量的数目多于任何一类方程的个数，所以无法利用这两类方程求的全部未知量。 平衡方程： ⎪⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪ ⎪⎬⎫⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂222222000t w Z z y x t v Y z y x t u X z y x z zy zx yz y yx xz xy x ρσττρτστρττσ （1） 几何方程： ⎪⎪⎪ ⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂=∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂+∂∂=∂∂= x w z u z w z v y w y v y u x v x u zx z yz y xy x γεγεγε （2） 为了求解具体的力学问题，还必须引进一些关系式，这些关系式即所谓的本构关系。本构关系反映可变形体材料的固有特此那个，故也称为物理关系，它实际上是一组联系力学参数和运动学参数的方程式，即所谓的本构方程。本构方程实际上就是一组反映可变形体材料应力和应变之间关系的方程。 在单向应力状态下，理想弹性材料的应力和应变之间的关系极其简单。这就是在材料力学中寻出的如下形式的胡克定律： x x E εσ= （3） 胡克定律是一个实验定律，在式（1.1）中的E 是材料性质有关的弹性常数，称为弹性模量和杨氏模量。 在三维应力状态下，描绘一点处的应力状态需要9个应力分量，相应的三维应力状态下，应力与应变之间仍然有类似式（1.1）的线性一一对应关系存在，则称这类弹性体为线性弹性体。对线弹性体，可以把单向应力状态下的胡克定律
我所认识的应力应变关系 应力应变都是物体受到外界载荷产生的响应。物体由于受到外界载荷后，在 物体内部各部分之间要产生互相之间的力的作用，由于受到力的作用就会产生相应的变形；或者由于变形引起相应的力的作用。则一定材料的物体其产生的应力和应变也必然存在一定的关系。 一 应力-应变关系 影响本构关系的因素有很多，例如材料、环境、加载类型（载荷、温度）、 加载速度（动载荷、静载荷）等，当然，本构关系有很多类型，包括弹性、塑性、粘弹性、粘塑性、各向同性、各向异性本构关系，那么首先来叙述一下简单情况 本构关系，所谓简单情况就是六个应力分量x y xy yz zx σσστττ、 、z 、、、只有一个不为零，六个应变分量x y xy yz zx εεεγγγ、 、z 、、、只有一个自由变化，应力应变关系图1-1。 图1-1 应力应变关系图 图中OA 为线弹性阶段，AB 为非线弹性阶段，故OB 为初始弹性阶段，C 点位初始屈服点，()s σ+为初始屈服应力，CBA 为弹性阶段卸载，这一阶段中E σε=， 初始弹性阶段结束之后，应力继续增大，进入塑性阶段，CDE 为强化阶段，应变强化硬化，EF 为颈缩阶段，应变弱化软化。如果在进入塑性阶段卸载后再加载，
例如在D 点卸载至零，应力应变关系自D 点沿'DO 到达'O 点，且'DO ∥OA ，其中'O O 为塑性应变p ε，DG 为弹性应变e ε，总应变为它们之和。此后再继续加载，应力应变关系沿ODEF 变化，D 点为后继屈服点，OD 为后继弹性阶段，()'s σ+为 后继屈服应力，值得一提的是初始屈服点只有一个，而后继屈服点有无数个（由加载历史决定）。若在卸除全部载荷后反向加载，弹性阶段'COC ，()()s s σσ+-=，而在强化阶段'DOD ，()()s s σσ+->，称为Bauschinger 效应。 从上述分析得出材料弹塑性行为有一定的特殊性，主要表现在：弹性应力 应变关系是线性，且是单值对应关系，而塑性应力应变关系是非线性的非单值对应。 因为通常情况下物体不仅仅处于简单应力状态，那么复杂应力状态下应力 应变关系又如何呢？如果我们将材料性质理想化即假设材料是连续的、均匀的、各向同性的，忽略T 、t 的影响，忽略净水压力对塑性变形的影响，可以将应力应变关系归结为不同的类型，包括理想线弹性模型、理想刚塑性模型、线性强化刚塑性模型、理想弹塑性模型、线性强化弹塑性模型、幂强化模型、等向强化模型、随动强化模型。各种材料的应力应变关系图如下图所示： 理想线弹性模型 理想刚塑性模型
我所认识的应力与应变的关系 弹性与塑性应变的关系： 一维：胡克定律 弹性变形 三维：广义胡克定律 屈服条件应力曾变与增量之间的关系—增量理论 塑性变形 比例变形时全量理论 低碳钢拉伸应力应变曲线： σ O O’ O’’εOB：弹性阶段 BH：屈服阶段 HC:强化阶段 CE：局部变形阶段应力和应变的关系是本构关系，是物质特性的反映。在弹性变形阶段，应力 与应变之间的关系满足胡克定律，即：σ ij =C ijkl ε kl 。应力与应变的关系可以近 似看成线性的，其中C是材料弹性常数，与弹性体内各点的坐标有关，还与温度和方向有关。因此，对于常温下均匀弹性体，材料弹性常数是材料的特性常数。 J.Baushinger效应：强化材料随着塑性变形的增加，屈服极限在一个方向提高而在相反方向降低的效应。其中理想的J.Baushinger效应是：屈服极限在一个方向上提高的数值与在相反方向上降低的数值相等。 应变能函数是物体在外力作用下变形的过程，根本上是一个热力学过称。物体由一种变形状态到另一种变形状态，其中有外力对物体做功，物体与外界交换
能量，物体的总能量发生变化。热力学定律证明,理想弹性体存在应变能，即 udu U ?=。 应变能函数是应变状态的单值函数，仅取决于应变的起始状态和最终状态，与变形过程无关，对于线弹性体，ij ij u εσ21=。格林公式是弹性体的应力分量等于应变能对相应应变分量的偏导数，即ij ij ij u εεσ??=)(，该公式适用于所有弹性体。 应力分析、应变分析的结果适合于连续介质力学的所有问题，与材料物质特性无关。本构关系的影响因素有：材料、环境、加载类型、加载速度，用函数表达式表示为： ),,(T t f εσ= 单一曲线假设认为不管何种应力状态，加载时，应力强度和应变强度的关系是一种单一曲线关系，可由简单加载的应力应变获得。 等向强化模型是认为加载时，在各个方向强化的程度相同。 随动强化模型是认为一个方向强化的程度等于相反方向弱化的程度。 最后是加卸载问题。简单加载定理要满足四点：小变形；材料是不可压缩的；应力强度和应变强度具有幂函数关系，m i i A εσ=（A,m 为常数）；外载荷按比例单调增加。 当物体中一点的应力状态满足屈服条件时，则需要建立塑性状态下的应力—应变关系，即塑性本构方程。 塑性流动理论基本思想：它是用应变增量表示弹塑性本构方程的理论。其依据是塑性变形过程中，应力和应变之间没有一一对应的关系，为了反映变形的历史，本构关系应该是用增量的形式给出。 周怒潮 602080706051
第四章应力和应变关系 一. 内容介绍 前两章分别从静力学和运动学的角度推导了静力平衡方程，几何方程和变形协调方程。由于弹性体的静力平衡和几何变形是通过具体物体的材料性质相联系的，因此，必须建立了材料的应力和应变的内在联系。应力和应变是相辅相成的，有应力就有应变；反之，有应变则必有应力。对于每一种材料，在一定的温度下，应力和应变之间有着完全确定的关系。这是材料的固有特性，因此称为物理方程或者本构关系。 对于复杂应力状态，应力应变关系的实验测试是有困难的，因此本章首先通过能量法讨论本构关系的一般形式。分别讨论广义胡克定理；具有一个和两个弹性对称面的本构关系一般表达式；各向同性材料的本构关系等。 本章的任务就是建立弹性变形阶段的应力应变关系。 二. 重点 1. 应变能函数和格林公式； 2. 广义胡克定律的一般表达式； 3. 具有一个和两个弹性对称面的本构关系； 4. 各向同性材料的本构关系； 3. 材料的弹性常数。 知识点 应变能原理 应力应变关系的一般表达式 完全各向异性弹性体 正交各向异性弹性体本构关系 弹性常数 各向同性弹性体应变能
格林公式 广义胡克定理 一个弹性对称面的弹性体本构关系 各向同性弹性体的应力和应变关系 应变表示的各向同性本构关系 §4.1 弹性体的应变能原理 学习思路: 弹性体在外力作用下产生变形，因此外力在变形过程中作功。同时，弹性体内部的能量也要相应的发生变化。借助于能量关系，可以使得弹性力学问题的求解方法和思路简化，因此能量原理是一个有效的分析工具。 本节根据热力学概念推导弹性体的应变能函数表达式，并且建立应变能函数表达的材料本构方程。 根据能量关系，容易得到由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能，即应变能函数。 探讨应变能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。 如果材料的应力应变关系是线性弹性的，则单位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数。因此由齐次函数的欧拉定理，可以得到用应变或者应力表示的应变能函数。 学习要点： 1. 应变能； 2. 格林公式； 3. 应变能原理。 弹性体发生变形时，外力将要做功，内部的能量也要相应的发生变化。本节通过热力学的观点，分析弹性体的功能变化规律。
材料力学中的应力与应变关系材料力学是研究材料在受力作用下的力学行为和性能的学科，应力与应变关系是其中的核心内容之一。本文将讨论材料力学中的应力与应变的概念及其数学表示，以及应力与应变之间的线性关系与非线性关系。 一、应力的概念及表示 应力是指材料单位面积上的内部力，常用符号σ表示。根据受力情况的不同，可以分为正应力、切应力和体积应力。正应力是指与作用力方向垂直的内部力，常用符号σ表示；切应力是指与作用力方向平行的内部力，常用符号τ表示；体积应力是指作用在体积内的内部力，常用符号p表示。 正应力的数学表示为σ = F/A，其中F为作用力的大小，A为受力面积。切应力的数学表示为τ = F/A，其中F为切力的大小，A为受力面积。体积应力的数学表示为p = F/V，其中F为体积力的大小，V为受力体积。 二、应变的概念及表示 应变是指材料在受力作用下产生的形变程度，常用符号ε表示。根据变形方式的不同，可以分为线性应变和体积应变。线性应变是指在受力作用下，材料产生的长度或角度发生变化，常用符号ε表示；体积应变是指在受力作用下，材料产生的体积发生变化，常用符号η表示。
线性应变的数学表示为ε = ΔL/L0，其中ΔL为长度变化量，L0为 原始长度。体积应变的数学表示为η = ΔV/V0，其中ΔV为体积变化量，V0为原始体积。 三、应力与应变的线性关系 在一定范围内，应力与应变之间可以表现为线性关系。根据胡克定 律（Hooke's Law），线性弹性材料的应力与应变之间满足σ = Eε，其 中E为弹性模量。 弹性模量是材料刚度的度量，表示材料单位应力产生的单位应变。 常见的弹性模量有杨氏模量、剪切模量和泊松比。杨氏模量的数学表 示为E = σ/ε，其中σ为应力，ε为线性应变。剪切模量的数学表示为G = τ/γ，其中τ为切应力，γ为切应变。泊松比的数学表示为ν = -εv/εh， 其中εv为垂直方向的线性应变，εh为水平方向的线性应变。 四、应力与应变的非线性关系 在超过线性弹性阶段后，材料的应力与应变之间将呈现非线性关系。当外力作用足够大时，材料将发生塑性变形。此时，应力与应变之间 的关系将不再满足胡克定律，而需引入塑性流动方程或本构方程来描 述材料的力学行为。 塑性流动方程或本构方程是材料力学中的一个重要方程，常用于描 述材料的应力与应变关系。不同的材料具有不同的本构方程，如极限 强度本构方程、拉伸本构方程等。这些方程对于工程设计和材料选择 具有重要的指导意义。
流体力学中应力应变关系 流体力学是力学的一个分支，研究的是流体的运动、应力和应变。在流体力学中，应力和应变之间的关系是一个基础性问题，本文将对流体力学中应力应变关系进行讲解。 一、应力和应变的概念 应力是指在物体内部的任意一个点处，单位面积受到的力的大小。在流体力学中，应力分为正应力和剪应力两种。正应力是指垂直于物体表面的应力，它的方向和大小与物体表面的法线方向相同。剪应力是指平行于物体表面的应力，它的方向和大小与物体表面的切线方向相同。 应变是指物体受到应力作用后，形态发生改变的程度。在流体力学中，应变分为体积应变和剪应变两种。体积应变是指流体的体积在受到压力作用后发生的变化，它是指流体体积的变化与初始体积的比值。剪应变是指物体受到剪应力作用后，产生的形变的强度，它是指变形的尺寸与原始尺寸的比值。 流体在受到应力作用时，会发生形变，而应力和应变之间的关系便是描述形变程度的应变和导致形变的应力之间的关系。在流体力学中，应力和应变之间的关系有两种： 1. 线性应力应变关系 在一些情况下，流体的应变与应力之间具有线性关系。这种关系表示为： ε = K σ 其中，ε是流体的应变，K是常数，σ是流体的应力。这种关系在流体受到小应力时是适用的，通常称为胡克定律。 当流体所受到的应力超过一定的范围时，线性应力应变关系不再成立，流体的应变不再是应力的线性函数。这时，应力和应变的关系可以用更复杂的非线性关系进行描述。液滴的表面张力、黏度和压缩强度是非线性的。 流变学是研究物质的变形和流动行为的学科，它探究物体在不同的应力作用下，应变的变化规律。在流体力学的领域中，流体的应力应变关系可以被分成三类： 粘弹性流体是一种介于固体和液体之间的物质，它的应变不仅与应力有关，而且与应变历史有关。它们的应力应变关系可以用弹性模量、黏度和时间来描述。 塑性流体是指流体在受到一定应力作用后会发生永久变形的流体。在塑性流体中，应变随着应力的增大，在一定的应力范围内也是线性的，但超过一定的范围后便不再线性。 四、结论
我所认识的应力和应变关系 在这之前我认识了应力和应变的概念、性质以及从静力学和几何学的角度出发所得到的平衡方程和几何方程。但是平衡方程仅反映了应力分量和外力分量的关系；几何方程仅建立了位移分量和应变分量的关系。 而谈到应力与应变的关系，对于可变形固体，在弹塑性力学中，在外力的作用下，其将发生变形。变形分为两个阶段，弹性阶段和塑性阶段。在弹性阶段，发生的弹性变形可以完全恢复，它是一个可逆过程。此时，应力与应变的关系是一一对应的，是单值函数关系。而在塑性阶段，所发生的塑性变形是不可以恢复的，是不可逆过程。相对应的，塑性阶段的应力应变的关系是非线性关系，不存在一一对应的关系。 我所认识的应力和应变的关系就是本构关系。本构关系也称为物理关系，它反应的是可变形材料的固有属性，实质上是一组联系力学参数和运动参数的方程式，也就是我们所说的本构方程。 在说应力与应变的关系之前，先说一下本构关系的相关影响因素，包括材料、环境、加载类型、以及加载速度。即，),,(T t f εσ=。另外，有各种各样的本构系，比如：弹性本构关系、塑性本构关系、粘弹性本构关系、粘塑性本构关系、各向同性本构关系、各向同性本构关系等等。 简单情况的本构关系： 应力和应变的关系包括弹性和塑性的应力应变关系。我们所说的是线性弹性体的应力应变关系，又分为简单应力状态和复杂应力状态。在简单拉伸情况下，理想弹性材料的应力和应变的关系很简单，就是材料力学中的胡克定律： 。 而在塑性阶段，应力应变之间不再是简单的胡克定律，而是 。 另外，简单拉伸情况下的卸载定律是 。在后继弹性阶段，也就是卸 载后重新加载的材料会继续发生新的塑性变形，在此时的屈服称为后继屈服，相应的屈服点称为后继屈服点。初始屈服和后继屈服的不同是：第一，应力的数值不一样，后继屈服的应力值更大；第二，屈服点的个数不一样。初始屈服点只有一个，而后继屈服点会有好多个，则其对应的应力值也会有很多个。最后，在卸载全部载荷后进行反向加载比如说把拉伸改成压缩，此时会产生Bauschinger 效应。对于该效应，说明材料在某一个方向的硬化将引起反方向的软化。也就是说，各向同性材料产生塑性变形之后会变成各向异性。此时的弹性阶段的卸载荷压缩 可表示： 。 总结一下材料弹塑性行为的特殊规律大致有以下三点：一是在弹性阶段应力应变的关系是线性的，在塑性阶段它们之间的关系是非线性的；二是应力应变在 εσE =)(εσΦ=εσ∆=∆E - +=s s σσ
工程力学中的应力和应变分析工程力学是应用力学原理解决工程问题的学科，它研究物体受外力作用下的力学性质。应力和应变是工程力学中的重要概念，它们对于分析材料的强度和变形特性具有重要意义。本文将就工程力学中的应力和应变进行详细分析。 一、应力分析 应力是指物体单位面积上的内部分子间相互作用力。根据作用平面的不同，可以分为法向应力和剪切应力两种。 1. 法向应力 法向应力是指力作用垂直于物体某一截面上的应力。根据物体受力状态的不同，可以分为拉应力和压应力两种。 - 拉应力 拉应力是指作用于物体截面上的拉力与截面面积的比值。拉应力的计算公式为： σ = F/A 其中，σ表示拉应力，F表示作用力，A表示截面面积。 - 压应力 压应力是指作用于物体截面上的压力与截面面积的比值。压应力的计算公式与拉应力类似。
2. 剪切应力 剪切应力是指作用在物体截面上切向方向上的力与截面面积的比值。剪切应力的计算公式为： τ = F/A 其中，τ表示剪切应力，F表示作用力，A表示截面面积。 二、应变分析 应变是指物体由于外力的作用而产生的形变程度。根据变形情况， 可以分为线性弹性应变和非线性应变。 1. 线性弹性应变 线性弹性应变是指物体在小应力下，应变与应力成正比，且随应力 消失而恢复原状的应变现象。线性弹性应变的计算公式为：ε = ΔL/L 其中，ε表示线性弹性应变，ΔL表示物体的长度变化，L表示物体 的原始长度。 2. 非线性应变 非线性应变是指物体在较大应力下，应变与应力不再呈线性关系的 应变现象。非线性应变的计算公式较为复杂，需要根据具体情况进行 分析。 三、应力和应变的关系
一、应力与应变 1、应力 在连续介质力学里，应力定义为单位面积所承受的作用力。 通常的术语“应力"实际上是一个叫做“应力张量" （stress tensor ）的二阶张量. 概略地说,应力描述了连续介质内部之间通过力（而且是通过近距离接触作用力)进行相互作用的强度. 具体说,如果我们把连续介质用一张假想的光滑曲面把它一分为二，那么被分开的这两部分就会透过这张曲面相互施加作用力。 很显然，即使在保持连续介质的物理状态不变的前提下，这种作用力也会因为假想曲面的不同而不同，所以，必须用一个不依赖于假想曲面的物理量来描述连续介质内部的相互作用的状态。 对于连续介质来说，担当此任的就是应力张量，简称为应力。 2、应变 应变在力学中定义为一微小材料元素承受应力时所产生的单位长度变形量.因此是一个无量纲的物理量。 在直杆模型中，除了长度方向由长度改变量除以原长而得“线形变”，另外，还定义了压缩时以截面边长（或直径）改变量除以原边长（或直径）而得的“横向应变". 对大多数材料,横向应变的绝对值约为线应变的绝对值的三分之一至四分之一，二者之比的绝对值称作“泊松系数”。 3、本构关系 应力与应变的关系我们叫本构关系（物理方程）。E σε=（应力=弹性模量＊应变） 4、许用应力（allowable stress ） 机械设计或工程结构设计中允许零件或构件承受的最大应力值.要判定零件或构件受载后的工作应力过高或过低,需要预先确定一个衡量的标准，这个标准就是许用应力。 凡是零件或构件中的工作应力不超过许用应力时，这个零件或构件在运转中是安全的，否则就是不安全的。 许用应力等于考虑各种影响因素后经适当修正的材料的失效应力除以安全系数. 失效应力为：静强度设计中用屈服极限（yield limit ）或强度极限（strength limit ）;疲劳强度设计中用疲劳极限（fatigue limit ）. 5、许用应力、失效应力及安全系数之间关系 塑性材料（大多数结构钢和铝合金）以屈服极限为基准，除以安全系数后得许用应力，即[]()/ 1.5~2.5s n n σσ==.（许用应力=屈服极限/安全系数） 脆性材料(铸铁和高强钢）以强度极限为基准,除以安全系数后得许用应力， 即[]()/2~5b n n σσ==.（许用应力=强度极限/安全系数） 表3机床静力学分析结果总结 机床的位置 应力 应变 位移 油缸 27 9。79 0。47983 5号顶尖 10 3。91 0。29528
弹性力学中的应力与应变关系 弹性力学是力学的一个重要分支，研究物体在外力的作用下产生的形变与应力 的关系。在弹性力学理论中，应力与应变关系是最为核心的概念之一。本文将探讨弹性力学中的应力与应变关系的基本原理，并从不同角度对其进行分析。 一、基本概念 在弹性力学中，应力是描述物体内部单位面积受力情况的物理量。它可以分为 正应力和剪应力。正应力表示物体在垂直于某一平面上的受力情况，剪应力表示物体在平行于某一平面上的受力情况。应力的大小一般采用希腊字母σ表示。 应变是描述物体形变情况的物理量。它可以分为线性应变和体积应变。线性应 变表示物体中某一方向上的长度相对变化，体积应变表示物体在各个方向上的体积变化。应变的大小可以用希腊字母ε表示。 二、胡克定律 胡克定律是描述弹性体材料中应力与应变关系最基本的定律。其数学表达式为σ = Eε，即应力等于弹性模量与应变之积。其中，弹性模量E是描述物体对应变的 抵抗能力的物理量。根据胡克定律，应力与应变之间的关系是线性的，即若应变增大，则应力也会相应增大。 胡克定律适用范围有限，对于非线性应力-应变关系的材料，需要采用其他力 学模型进行描述。例如，当外力作用超出一定范围时，弹性体会发生塑性变形，此时应力和应变之间的关系就无法再用胡克定律来描述。 三、材料力学模型 由于胡克定律的局限性，研究者们提出了各种各样的材料力学模型来描述应力 与应变之间的关系。其中，最常用的有线性弹性模型、非线性弹性模型和本构模型。
线性弹性模型是胡克定律的拓展，它适用于应力与应变关系呈线性关系的情况。在这种模型中，应力与应变之间的关系是单一的、唯一的。当外力作用停止后，物体能够完全恢复到初始状态。 非线性弹性模型适用于应力与应变关系不再呈线性关系的情况。它可以更好地 描述材料的实际变形情况。在这种模型中，应力与应变之间的关系可以是非线性的、曲线状的。 本构模型是一种综合考虑多种因素的力学模型，它可以更全面地描述材料的应 力与应变关系。常见的本构模型有胡克-简氏模型、麦克斯韦模型等。这些模型通 过引入多个参数，可以更准确地描述材料的变形特性。 四、工程应用 弹性力学中的应力与应变关系在工程领域中有着广泛的应用。工程师可以通过 对应力与应变关系的研究，预测材料在不同外力作用下的变形情况，从而设计出更安全、稳定的结构。 在土木工程中，应力与应变关系的研究可以用于设计和分析桥梁、建筑物等结 构的承载能力。通过计算结构体中的应力分布和形变情况，工程师们可以确定其是否满足规定的安全标准。 在材料工程中，应力与应变关系可以用于评估材料的性能。通过测试材料在不 同应力下的变形情况，可以确定其强度、韧性等指标，从而为材料的选择和设计提供依据。 在机械工程中，应力与应变关系可以用于设计和分析机械元件的可靠性。通过 对机械元件在工作过程中的应力与应变进行分析，可以预测其疲劳寿命和失效方式，提高机械系统的可靠性和安全性。 总结起来，弹性力学中的应力与应变关系是一个重要而复杂的课题。通过对其 进行研究与分析，可以揭示物体在外力作用下的变形规律，为工程设计和材料选择
我所认识的应力和应变之间的关系 在单向应力状态下，理想弹性材料的应力和应变之间的关系是满足胡克定律的一一对应的关系。在三维应力状态下描述一点处的应力状态需要9个分量，相应的应变状态也要用9个应变分量来表示。对于一个具体的理想弹性体来讲，如果在三维应力状态下，应力与应变之间仍然有线性一一对应关系存在，则称这类弹性体为线性弹性体。 所谓各向弹性体，从力学意义上讲，就是弹性体内的每一点沿各个方向的力学性质都完全相同的。这类线性弹性体独立的唐兴常数只有两个。 各向同性体本构关系特点：1.主应力与主应变方向重合。2.体积应力与体积应变成比例。 3.应力强度与应变强度成比例。 4.应力偏量与应变偏量成比例。工程应用中，常把各向同性弹性体的本构方程写下成11()11()11()x y z xy xy y x z yz yz z y x xz xz E G E G E G εσμσσγτεσμσσγτεσμσσγτ⎧⎡⎤=-+=⎣⎦⎪⎪⎪⎡⎤=-+=⎨⎣⎦⎪⎪⎡⎤=-+=⎪⎣⎦⎩ ，式中分别为弹性模量、泊松比和剪切模量。在E G μ、、这三个参数之间，实际上独立的常量只有两个，它们之间存在关系为() 21E G μ=+。 屈服条件:弹性和塑性的最主要区别在于变形是可以恢复。习惯上，根据破坏时变形的大小把工程材料分为脆性材料和塑性材料两类。对于加载过程如图1 OA: 比例阶段；线性弹性阶段 AB: 非弹性变形阶段 BC ： 初始屈服阶段 s σσ≤ CDE ：强化阶段；应变强化硬化阶段 EF ： 颈缩阶段；应变弱化，软化阶段 s σσ≥ C 点为初始屈服点具有唯一性。在应力超过屈服应力后，如果在曲线上任意一点D 处卸 载，应力和应变之间将不再遵循原有的加载曲线规 律，而是沿一条接近平行于OA 的直线DO ’变化，直到应力下降为零，这时应变并不为零，即有塑性应变产生。如果用OD ’表示总应变ε，O ’D ’表示可以恢复的弹性应变e ε，OO ’表示不能恢复的塑性应变p ε，则有e p εεε=+，即总应变等于弹性应变加上塑性应变。若在卸载后重新加载，则曲线基本上仍沿直线O ’D 变化，直至超过D 点的应力之后，才会产生新的塑性变形。由此看来，在经过前次塑性变形后，屈服应力提高了，这种现象称为应变强化现象。为了与初始屈服相区别，我们把机箱发生新的塑性变形时的材料的再次屈服称为后