4 应力应变关系
4.1弹性变形时应力和应变的关系
当材料所受应力小于其线弹性极限时，材料应力应变间的关系服从广义Hooke 定律，即
1()1()
1()
111222x x y z y y x z
z z x y
xy xy yz yz zx zx
E E E G G G εσνσνσεσνσνσεσνσνσετετετ?=--??
?=--???=--???===?
，， （4.1）
式中，E 为拉压弹性模量，G 为剪切模量，ν为泊松比，对于各向同性材料，三个常数之间满足()
21E G ν=+关系。
由上式可得
11212()()33m x y z x y z m E E νν
εεεεσσσσ--=++=
++= （4.2） 于是
11
()'2x m x m x E G νεεσσσ+-=
-= 或
1112''22x m x x m G G E
ν
εεσσσ-=+
=+ 类似地可以得到
1112''22y m y y m G G E ν
εεσσσ-=+
=+ 1112''22z m z z m G G E
ν
εεσσσ-=+=+
于是，方程（4.1）可写成如下形式
121
2'00'0000'x xy xz x xy xz m v yx y yz yx y yz m G E m zx zy z zx zy z εγγσττσγεγτστσσγγεττσ-??????
? ? ?=+ ? ? ? ? ? ?????
??
即
'1122ij ij m ij ij m G E
ν
εεεσδσ-'=+=
+ （4.3）
显然，弹性变形包括体积改变的变形和形状改变的变形。前者与球应力分量成正比，即
12m m E
νεσ-= （4.4）
后者与偏差应力分量成正比，即
''12''12''1211
1222x x m x G y y m y G z z m z G xy xy yz yz zx zx
G G G εεεσεεεσεεεσετετετ?
=-=?=-=??=-=??===
?
，，
或简写为
2ij ij G σε''= （4.5）
此即为广义Hooke 定律。
4.2塑性变形时应力和应变的关系
弹性力学是以应力与应变成线性关系的广义Hooke 定律为其基础的；而在塑性力学的范围内，一般来说，应力与应变间的关系是非线性的，同时这种非线性的特征，又与所研究的具体材料和塑性应变有关。
塑性变形过程中的应力应变关系十分复杂，相关的理论较多，但可将它们分为两大类，即增量理论和全量理论。
4.2.1增量理论
在弹性极限范围内，弹性全量应变与当时的应力状态有确定的一一对应关系，而与加载的历程无关。但由于塑性变形的不可恢复性，塑性全量应变与当时的应力状态不是单值关系，而与加载的历史有关。图4.1所示低碳钢拉伸实验的结果表明：在应力超过弹性极限条件下卸载时，其应力应变基本呈平行于弹性线的线性关系，直到材料反向时的屈服极限's σ，这就是材料的卸载规律（图4.1a
）。因此，当材料发生塑性
图4.1 单向拉伸随加载历史变化的应力应变关系
变形时，即使应力水平相同，不同加载历程所对应的应变值也会不同（图4.1b ）。同样，对于同一应变值，不同加载历程所对应的应力值也会不同（图4.1c ）。因此，只有明确了加载历程，才能得到应力应变间的对应关系。
既然塑性变形时的应变与加载历史有关，而且也不容易得到全量应变与应力状态间的对应关系，人们自然想到建立塑性变形每一瞬时应变增量与当时应力状态之间的关系，又因为金属塑性变形过程中体积的变化可以忽略，人们又会想到建立每一瞬时应变增量与当时应力偏量之间的关系，增量理论便建立了这样的关系，这里的“增量”指的是应变增量，是相对全量应变而言的。
增量理论又称流动理论，是历史上最早提出来的阐述塑性变形过程应力应变关系的理论，代表性的有Levy-Mises （列维－米赛斯）理论和Prandtl-Reuss （普朗特－劳斯）理论。
4.2.1.1 Levy-Mises 理论
S.Venant （圣维南）首先提出了应变增量主轴与应力主轴相重合的假定。1871年Levy 进一步提出塑性变形过程中应变增量的各分量与相应的应力偏量分量成比例；1913年Mises 独立地提出了同样假设，并考虑到材料达到塑性状态后的塑性变形较大，因此建议忽略变形中的弹性部分（假定为刚塑性材料），即假定塑性应变增量与应力偏量主轴或应力的主方向重合，即
λτετετεσεσεσεd zx
zx yz
yz xy
xy z
z
y
y
x
x
d d d d d d ==
=
=
==''' （4.6a ）
或
λσεd d ij ij '
= （4.6b ）
该式称为Levy-Mises 流动法则，它说明：塑性变形时，应变增量主轴与应力偏量主轴重合，即与应力主轴重合；应变增量的各分量与应力偏量的各相应分量成正比。
显然，上式在主轴的情况下为
λσεσεσεd d d d ==='3
3
'2
2'
11
（4.7）
或表达为应变增量张量与应力张量之间的关系，即
()()()2132213221
32()()()x x y z y y z x z z x y xy xy yz yz zx zx
d d d d d d d d d d d d ελσσσελσσσελσσσελτελτελτ?=-+?
?=-+??=-+?
?===??，， （4.8）
式中，λd 为瞬时的非负比例系数，它在塑性变形过程中是变化的。
将式（4.7）代入式（3.40），得
e d ε=
=
参照等效应力式（3.30a ），可得等效应变增量和等效应力之间的函数关系
32e
e
d d ελσ=
（4.9） 于是，式（4.6）可写为
'''33,2233,2233,22e e x x xy
xy e e e e y y yz
yz e e
e e
z z zx zx e e d d d d d d d d d d d d εεεσετσσεεεσετσσεεεσετσσ?==??
?==???=
=??
（4.10） 或写作张量形式
'
32e ij ij e
d d εεσσ=
（4.11） 于是，通过等效应力和等效应变增量式，Levy-Mises 塑性应力应变关系式中的比例系数d λ便可计算出来，从而通过应力状态可以求出应变增量的具体值。
式（4.11）与广义Hooke 定律的结构极为相似，只不过等式左边为应变增量，比例系数为瞬时变化值，这正好体现了塑性变形与弹性变形的不同。
若某平面应变状态的z 向没有应变，即z d ε＝0，则按照式（4.6）有'
z σ＝0，此时
03
x y z
z z σσσσσ++'=-
=，1
()2
z x y σσσ=
+ 在主轴坐标系下则有2131
()2
σσσ=
+，此即平面应变条件下应力间应满足的关系。 4.2.1.2 Prandtl-Reuss 理论
当变形较小，如应变的弹性部分和塑性部分属于同一量级时，忽略弹性变形将会带来较大误差，此时总应变增量应由弹性应变增量和塑性应变增量两部分组成，即
e
ij
p ij ij d d d εεε+= 前者为塑性部分，由（4.6）式确定，即
λσεd d ij p ij '
=
后者为弹性部分，由（4.3）式确定，即
'1212'e v
ij ij m ij ij m G
E d d d d d εεεσδσ-=+=+ 于是
''1212v
ij ij ij ij m G
E d d d d εσλσδσ-=+＋ （4.12） 上式即为Prandtl-Reuss 理论。
Prandtl-Reuss 理论与Levy-Mises 理论的差别在于前者考虑了塑性区的弹性应变
部分，因而得出了不同的本构方程式。
增量理论建立了各瞬时应变增量和应力偏量之间的关系，考虑了加载过程对变形的影响，能反映复杂的加载情况，并不受加载条件的限制。但变形终了的应变需由各瞬时的应变增量积分得出，因此实际应用较为复杂。
需要说明的是，Levy-Mises 理论和Prandtl-Reuss 理论都只能在加载的情况下使用，卸载时须按Hooke 定律计算。
4.2.2全量理论
全量理论又称形变理论，它所建立的是应力与应变全量之间的关系，这一点和弹性理论极为相似，但全量理论要求变形体受简单加载，即要求各应力分量在加载过程中按同一比例增加，因而变形体内各点的应力主轴方向不发生变化，显然，这一要求限定了全量理论的应用范围。
4.2.2.1 Hencky （汉基）理论
Hencky 小塑性变形理论描述了偏差塑性应变分量与相应的偏差应力分量间的函数关系，即偏差塑性应变分量与相应的偏差应力分量及切应力分量成正比，即
λτετετεσεσεσε==
=
=
=
=
zx
p zx yz
p yz xy
p xy z
p z y
p
y x
p x '''''')()()( （4.13a ）
或
'p ij ij εσλ'= （4.13b ）
式中，λ—瞬时的正值比例常数，在整个加载过程中可能为变量。
因为p x p
m p x p x εεεε=-=)('，所以，式（4.13）也可改写为
λτετετεσεσεσε==
=
=
=
=
zx
p zx yz
p yz xy
p xy z
p z y
p y
x
p
x ''' （4.14a ）
即
'p ij ij εσλ= （4.14b ）
或
p p p p p p
x y y z z x x y y z z x
εεεεεελσσσσσσ---===--- （4.14c ） 4.2.2.2 A.Ильющин（依留辛）简单加载定理
在Hencky 和Nadai （纳代依）工作的基础上，A.Ильющин于1943年将形变理论的形式和所必须满足的条件进行了整理，提出了物体内每个单元都处于简单加
载的具体条件，并认为物体处于简单加载状态，即当外荷载从一开始即按同一比例系数增加时，由形变理论计算的结果是正确的。
满足简单加载的四个具体条件是：
(1) 小变形，即塑性变形和弹性变形属于同一量级； (2) 12ν=，即材料为不可压缩体；
(3) 荷载（包括体力）按比例单调增长，变形体处于主动变形过程，即应力强度不断增加，在变形过程中不出现中间卸载的情况，如有位移边界条件，只能是零位移边界条件；
(4) 材料的应力——应变曲线具有n e e A σε=的幂函数形式。
4.2.3全量理论和增量理论的关系
既然全量理论和增量理论都适用于简单加载（比例加载），那么，这两种理论在比例加载条件下的结果应该是一致的。对简单加载
0ij ij c σσ''=，0e e c σσ=，0ij ij d dc σσ''=
式中，c 为随时间变化的参数，0e σ及0ij σ'分别为等效应力和应力偏量的初始值。于是，根据程式（4.11），有
0000
333222e e e ij ij ij ij e e e d d d d c c εεεεσσσσσσ'''=
== 积分得
00
32ij ij ij e
e d d σεεε
σ'==
??
在加载过程中，应变分量的增量比例保持不变，即
000123123123123::::::::d d d c c c εεεσσσσσσ''''''===，将其代入式（3.40）得
1e d d εε=
=
对上式进行积分运算，设初始应变为零，则积分常数为零，于是
e d ε=
?
或
ij ij ij e
ελσ''=
==
上式即为Hencky 理论式（4.14b ）。此外，由推导过程得知，Hencky 理论式中
的瞬时正值比例常数
32e
e
e
ελσ=
=
（4.15） 全量理论表示瞬时应力状态和塑性全应变间的一一对应关系，这在数学处理上比较方便，近年的应用实践表明，全量理论的应用范围大大超过了微小变形和简单加载条件的限制。然而该理论仍缺乏普遍性，研究大塑性变形的一般问题最好还是采用增量理论。全量理论与增量理论的比较见表4.1所示。
表4.1 增量理论与全量理论的简单比较
4.2.4卸载时的应力应变关系
图4.2为强化材料单向拉伸时的应力应变图示。当单向拉伸试件加载至应力*
1σ（*1s σσ>）时开始卸载至1σ，卸载应力——应变关系符合弹性规律，即
()()**
1111E σσεε-=- （4.16）
与之相应，应力的改变量*11
1σσσ=-:
，应变的改变量*111εεε=-:
，物体内的残余变形*
11
1εεε=-:
。
对于外力按比例减小的简单卸载，复杂应力状态下应力和应变分量的改变量之间也存在类似的线性关系。
由于加载时应力和应变改变量按弹塑性体计算，而卸载时则按弹性体计算，故当全部荷载卸除后物体内会有残余应力和应变存在，显然，其数值为卸载前后值之差。
图4.2单向拉伸加卸载应力应变图
在单向拉伸过程中，当轴向应力1σ增加即10d σ>时，为加载过程；当10d σ<时，为卸载过程。对复杂应力状态来说，可以使用等效应力的增量e d σ来判断加卸载过程。对于理想刚塑性材料，应力点只能在屈服曲面上移动，且屈服面不能扩大，因此
0e d σ=即为加载过程，此时应力点保持在屈服面上，而塑性变形可以任意增大；而0e d σ<为卸载过程。对于强化材料来说，应力需要不断增加才能继续发生塑性变形，因此0e d σ>为加载过程；而0e d σ<为卸载过程；当0e d σ=时，相当于应力状态从一个塑性状态过渡到另一个塑性状态，但不引起新的塑性变形，此即强化材料的中性变载过程。
4.3塑性应力应变关系的实验验证
按增量理论式（4.6），在主轴坐标系条件下，有
2313
12122313
d d d d d d d εεεεεελσσσσσσ---===--- （4.17）
若令应变Lode （罗德）参数
()()232113
d d d d d d d εεεεεμεε-+-=
- （4.18）
则d σεμμ=。
图4.3给出了若干实验结果，显然，上述关系式成立。至于实验结果与上述关系
式之间存在小偏差的原因，一般认为是材料各向异性所致。若在实验中能较好消除材料的各向异性，实验结果支持两Lode 参数相等的结论，从而验证了应变增量偏量和应力偏量成比例的假设。
图4.3 塑性应力应变关系的实验验证
思考与练习
1. 弹性变形时应力与应变有何关系？弹性变形包括几部分变形？各部分与应力有何对应关系？
2. 试确定理想刚塑性材料单向拉伸应力状态、单向压缩应力状态、纯剪切应力状态的塑性应变增量之比。
3.
已知：12310 p d C σσσε=
===，，试求：p p i p p dW d d d ,,, 32εεε。
4. 作用在物体上的三个主应力12360,30,0MPa MPa σσσ===，求比值31εεd d ，如果在原有应力状态上叠加一个40m MPa σ=-的静水压力，比值31εεd d 如何变化，并解释这一结果。
5. 一薄壁管承受拉力和扭矩的联合作用而屈服，已知材料的屈服应力为s σ，轴向正应力分量2z s σσ=，试求切应力z θτ及应变增量各分量的比值。
6. 某理想塑性材料的屈服应力为150N/mm 2，已知某点的应变增量为
20.10.050.050.050.10100.0500.2ij d ε--????=???
--????
平均应力为50N/mm 2，试确定该点的应力状态。
7. 已知12310,2,5 86.5e e MPa MPa MPa σσσσε===-=，，求123 ,,εεε。
8. 图示受扭圆轴为理想弹塑性体，试求：
a) 圆轴弹性极限扭矩；
b) 弹塑性分界半径R 与扭转角θ之间的关系； c) 卸载后的残余应力和残余应变值。
图4.4 受扭圆轴
9. 一刚塑性硬化材料的等效应力－－等效应变曲线为()22001/e e N mm σε=+。某质点承受两向应力，应力主轴始终不变。试按下列两种加载路线分别求出最终的塑性全量主应变123εεε、、。
a ）主应力从0开始直接按比例加载到()20,0,200/N mm -30；
b ）主应力从0开始按比例加载到()2,0,100/N mm -150，然后按比例变载到
()20,0,200/N mm -30。
我所认识的应力应变关系 应力应变都是物体受到外界载荷产生的响应。物体由于受到外界载荷后，在物体内部各部分之间要产生互相之间的力的作用，由于受到力的作用就会产生相应的变形；或者由于变形引起相应的力的作用。则一定材料的物体其产生的应力和应变也必然存在一定的关系。 一 应力-应变关系 影响本构关系的因素有很多，例如材料、环境、加载类型（载荷、温度）、加载速度（动载荷、静载荷）等，当然，本构关系有很多类型，包括弹性、塑性、粘弹性、粘塑性、各向同性、各向异性本构关系，那么首先来叙述一下简单情况本构关系，所谓简单情况就是六个应力分量x y xy yz zx σσστττ、、z 、、、只有一个不为零， 六个应变分量x y xy yz zx εεεγγγ、、z 、、、只有一个自由变化，应力应变关系图1-1。 图1-1 应力应变关系图 图中OA 为线弹性阶段，AB 为非线弹性阶段，故OB 为初始弹性阶段，C 点位初始屈服点，()s σ+为初始屈服应力，CBA 为弹性阶段卸载，这一阶段中E σε=， 初始弹性阶段结束之后，应力继续增大，进入塑性阶段，CDE 为强化阶段，应变强化硬化，EF 为颈缩阶段，应变弱化软化。如果在进入塑性阶段卸载后再加载，
例如在D 点卸载至零，应力应变关系自D 点沿'DO 到达'O 点，且'DO ∥OA ，其中'O O 为塑性应变p ε，DG 为弹性应变e ε，总应变为它们之和。此后再继续加载，应力应变关系沿ODEF 变化，D 点为后继屈服点，OD 为后继弹性阶段，()'s σ+为后继屈服应力，值得一提的是初始屈服点只有一个，而后继屈服点有无数个（由加载历史决定）。若在卸除全部载荷后反向加载，弹性阶段'COC ，()()s s σσ+-=，而在强化阶段'DOD ，()()s s σσ+->，称为Bauschinger 效应。 从上述分析得出材料弹塑性行为有一定的特殊性，主要表现在：弹性应力应变关系是线性，且是单值对应关系，而塑性应力应变关系是非线性的非单值对应。 因为通常情况下物体不仅仅处于简单应力状态，那么复杂应力状态下应力应变关系又如何呢？如果我们将材料性质理想化即假设材料是连续的、均匀的、各向同性的，忽略T 、t 的影响，忽略净水压力对塑性变形的影响，可以将应力应变关系归结为不同的类型，包括理想线弹性模型、理想刚塑性模型、线性强化刚塑性模型、理想弹塑性模型、线性强化弹塑性模型、幂强化模型、等向强化模型、随动强化模型。各种材料的应力应变关系图如下图所示： 理想线弹性模型 理想刚塑性模型
一、应力与应变 1、应力 在连续介质力学里，应力定义为单位面积所承受的作用力。 通常的术语“应力”实际上是一个叫做“应力张量” (stress tensor)的二阶张量。 概略地说，应力描述了连续介质内部之间通过力（而且是通过近距离接触作用力）进行相互作用的强度。 具体说，如果我们把连续介质用一张假想的光滑曲面把它一分为二，那么被分开的这两部分就会透过这张曲面相互施加作用力。 很显然，即使在保持连续介质的物理状态不变的前提下，这种作用力也会因为假想曲面的不同而不同，所以，必须用一个不依赖于假想曲面的物理量来描述连续介质内部的相互作用的状态。 对于连续介质来说，担当此任的就是应力张量，简称为应力。 2、应变 应变在力学中定义为一微小材料元素承受应力时所产生的单位长度变形量。因此是一个无量纲的物理量。 在直杆模型中，除了长度方向由长度改变量除以原长而得“线形变”，另外，还定义了压缩时以截面边长（或直径）改变量除以原边长（或直径）而得的“横向应变”。 对大多数材料，横向应变的绝对值约为线应变的绝对值的三分之一至四分之一，二者之比的绝对值称作“泊松系数”。 3、本构关系 应力与应变的关系我们叫本构关系（物理方程）。E σε=（应力=弹性模量*应变） 4、许用应力（allowable stress ） 机械设计或工程结构设计中允许零件或构件承受的最大应力值。要判定零件或构件受载后的工作应力过高或过低，需要预先确定一个衡量的标准，这个标准就是许用应力。 凡是零件或构件中的工作应力不超过许用应力时，这个零件或构件在运转中是安全的，否则就是不安全的。 许用应力等于考虑各种影响因素后经适当修正的材料的失效应力除以安全系数。 失效应力为：静强度设计中用屈服极限（yield limit ）或强度极限（strength limit ）；疲劳强度设计中用疲劳极限（fatigue limit ）。 5、许用应力、失效应力及安全系数之间关系 塑性材料（大多数结构钢和铝合金）以屈服极限为基准，除以安全系数后得许用应力，即[]()/ 1.5~2.5s n n σσ==。（许用应力=屈服极限/安全系数） 脆性材料（铸铁和高强钢）以强度极限为基准，除以安全系数后得许用应力， 即[]()/2~5b n n σσ==。（许用应力=强度极限/安全系数） 表3机床静力学分析结果总结
1.应力 物体由于外因（受力、湿度、温度场变化等）而变形时，在物体内各部分之间产生相互作用的内力，以抵抗这种外因的作用，并试图使物体从变形后的位置恢复到变形前的位置。 在所考察的截面某一点单位面积上的内力称为应力。同截面垂直的称为正应力或法向应力，同截面相切的称为剪应力或切应力。 应力仪或者应变仪是来测定物体由于内应力的仪器。一般通过采集应变片的信号，而转化为电信号进行分析和测量。 方法是：将应变片贴在被测定物上，使其随着被测定物的应变一起伸缩，这样里面的金属箔材就随着应变伸长或缩短。很多金属在机械性地伸长或缩短时其电阻会随之变化。应变片就是应用这个原理，通过测量电阻的变化而对应变进行测定。一般应变片的敏感栅使用的是铜铬合金，其电阻变化率为常数，与应变成正比例关系。 通过惠斯通电桥，便可以将这种电阻的比例关系转化为电压。然后不同的仪器，可以将这种电压的变化转化成可以测量的数据。 对于应力仪或者应变仪，关键的指标有：测试精度，采样速度，测试可以支持的通道数，动态范围，支持的应变片型号等。并且，应力仪所配套的软件也至关重要，需要能够实时显示，实时分析，实时记录等各种功能，高端的软件还具有各种信号处理能力。另外，有一些仪器是通过光谱，膜片等原理设计的。 应力的单位：应力的单位是Pa，简称帕（这是为了纪念法国科学家帕斯卡Blaise· pascal而命名的），即牛顿/平方米（N/ ㎡）。 2.应变 物体在受到外力作用下会产生一定的变形，变形的程度称应变。应变有正应变（线应变），切应变（角应变）及体应变。正应变公式为 ，式中l是变形的前长度，Δl是其变形后的伸长量。 应变单位：应变是形变量与原来尺寸的比值，用ε表示，即ε=ΔL/L，无量纲，常用百分数表示。 3.弹性模量 一般地讲，对弹性体施加一个外界作用，弹性体会发生形状的改变（称为“应变”），“弹性模量”的一般定义是：应力除以应变。 材料在弹性变形阶段，其应力和应变成正比例关系（即符合胡克定律），其比例系数称为弹性模量。又称杨氏模量，弹性材料的一种最重要、最具特征的力学性质，是物体弹性变形难易程度的表征，用E表示。定义为理想材料有小
第四章应力和应变关系知识点 应变能原理 应力应变关系的一般表达式完全各向异性弹性体 正交各向异性弹性体本构关系弹性常数 各向同性弹性体应变能格林公式 广义胡克定理 一个弹性对称面的弹性体本构关系各向同性弹性体的应力和应变关系应变表示的各向同性本构关系 一、内容介绍 前两章分别从静力学和运动学的角度推导了静力平衡方程，几何方程和变形协调方程。由于弹性体的静力平衡和几何变形是通过具体物体的材料性质相联系的，因此，必须建立了材料的应力和应变的内在联系。应力和应变是相辅相成的，有应力就有应变；反之，有应变则必有应力。对于每一种材料，在一定的温度下，应力和应变之间有着完全确定的关系。这是材料的固有特性，因此称为物理方程或者本构关系。 对于复杂应力状态，应力应变关系的实验测试是有困难的，因此本章首先通过能量法讨论本构关系的一般形式。分别讨论广义胡克定理；具有一个和两个弹性对称面的本构关系一般表达式；各向同性材料的本构关系等。 本章的任务就是建立弹性变形阶段的应力应变关系。 二、重点 1、应变能函数和格林公式； 2、广义胡克定律的一般表达式； 3、具 有一个和两个弹性对称面的本构关系；4、各向同性材料的本构关系； 5、材料的弹性常数。 §4.1 弹性体的应变能原理 学习思路: 弹性体在外力作用下产生变形，因此外力在变形过程中作功。同时，弹性体内部的能量也要相应的发生变化。借助于能量关系，可以使得弹性力学问题的求
解方法和思路简化，因此能量原理是一个有效的分析工具。 本节根据热力学概念推导弹性体的应变能函数表达式，并且建立应变能函数表达的材料本构方程。 根据能量关系，容易得到由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能，即应变能函数。 探讨应变能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。 如果材料的应力应变关系是线性弹性的，则单位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数。因此由齐次函数的欧拉定理，可以得到用应变或者应力表示的应变能函数。 学习要点：1、应变能；2、格林公式；3、应变能原理。 1、应变能 弹性体发生变形时，外力将要做功，内部的能量也要相应的发生变化。本节通过热力学的观点，分析弹性体的功能变化规律。 根据热力学的观点，外力在变形过程中所做的功，一部分将转化为内能，一部分将转化为动能；另外变形过程中，弹性体的温度将发生变化，它必须向外界吸收或释放热量。设弹性体变形时，外力所做的功为d W，则 d W=d W1+d W2 其中，d W1为表面力F s所做的功，d W2为体积力F b所做的功。变形过程中，由外界输入热量为d Q，弹性体的内能增量为d E，根据热力学第一定律, d W1+d W2=d E - d Q 因为 将上式代入功能关系公式，则
应力应变关系 我所认识的应力应变关系 一在前面两章的分别学习了关于应力与应变的学习，第三章的本构关系讲述了应力与应变的关系从而构成了弹塑性力学的本构关系。 在单向应力状态下，理想的弹塑性材料的应力应变关系及其简单满足胡克定律即 ,E ,,XX 在三维应力状态下需要9个分量，即应力应变需要9个分量，于是可以把单向应力应变关系推广到三维应力状态，及推广到广义的胡克定律 本式应该是91个应变分量单由于切应力互等定理，此时后面的三个应力与式中的切应力想等即现在剩余36个应变分量。 (1)具有一个弹性对称面的线弹性体的应力应变公式如下
(2)正交各向异性弹性体的弹塑性体公式如下 (3)各向同性弹性体的本构方程 各向同性弹性体在弹性状态下，主应力方向与主应变方向重合容易证明。在主应变空间里，由于应变主轴与应力主轴重合，各向同性弹性体体内任意一点的应力和应变之间满足: ,,,,,，，CCCxxyz111213 ,,,,,，，CCCyxyz212223 ,,,,,，，CCCzxyz313233 (2-3) ,,,,,,yyxzxz对的影响与对以及对的影响是相同的，即有 ,CCC==,CC=CC=,y112233x12132123z;和对的影响相同，即，同理有和CC=3132等，则可统一写为: CCCa==,112233 CCCCCCb=====,122113312332 (2-4) 所以在主应变空间里，各向同性弹性体独立的弹性常数只有2个。在任意的坐标系中，同样可以证明弹性体独立的弹性参数只有2个。 广义胡可定律如下式 ,,xy1,,,,,,,,,,，[()]xy,xxyz,2GE,,,,1,yz, ,,，[()],,,,,,,,yzyyxz 2GE,,
我所认识的应力应变关系 应力应变都是物体受到外界载荷产生的响应。物体由于受到外界载荷后，在 物体内部各部分之间要产生互相之间的力的作用，由于受到力的作用就会产生相 应的变形；或者由于变形引起相应的力的作用。则一定材料的物体其产生的应力 和应变也必然存在一定的关系。 一应力-应变关系 影响本构关系的因素有很多，例如材料、环境、加载类型（载荷、温度） 、 加载速度（动载荷、静载荷）等，当然，本构关系有很多类型，包括弹性、塑性、 粘弹性、粘塑性、各向同性、各向异性本构关系，那么首先来叙述一下简单情况 图中0A 为线弹性阶段，AB 为非线弹性阶段，故0B 为初始弹性阶段，C 点位 初始屈服点， J ?为初始屈服应力，CBA 为弹性阶段卸载，这一阶段中二=E ；, 初始弹性阶段结束之后，应力继续增大，进入塑性阶段， CDE 为强化阶段，应变 强化硬化，EF 为颈缩阶段，应变弱化软化。如果在进入塑性阶段卸载后再加载， 本构关系，所谓简单情况就是六个应力分量 J 、y 、z 、?邓* zx 只有一个不为零, 六个应变分量 1-
例如在D点卸载至零，应力应变关系自D点沿DO'到达O'点，且DO' II OA其中 00'为塑性应变；p，DG为弹性应变；e，总应变为它们之和。此后再继续加载，应力应变关系沿ODEF变化，D点为后继屈服点，0D为后继弹性阶段，Cs'.为后继屈服应力，值得一提的是初始屈服点只有一个，而后继屈服点有无数个（由加载历史决定）。若在卸除全部载荷后反向加载，弹性阶段COC'，、二s . - ；「s_，而在强化阶段DOD'，匚_，称为Bauschinger效应。 从上述分析得出材料弹塑性行为有一定的特殊性，主要表现在：弹性应力应变关系是线性，且是单值对应关系，而塑性应力应变关系是非线性的非单值对应。 因为通常情况下物体不仅仅处于简单应力状态，那么复杂应力状态下应力应变关系又如何呢？如果我们将材料性质理想化即假设材料是连续的、均匀的、各向同性的，忽略T、t的影响，忽略净水压力对塑性变形的影响，可以将应力应变关系归结为不同的类型，包括理想线弹性模型、理想刚塑性模型、线性强化刚塑性模型、理想弹塑性模型、线性强化弹塑性模型、幕强化模型、等向强化模型、随动强化模型。各种材料的应力应变关系图如下图所示：
本章应力和应变分析与强度理论重点、难点、考点 本章重点是应力状态分析，要掌握二向应力状态下斜截面上的应力、主应力、主平面方位及最大切应力的计算。能够用广义胡克定律求解应力和应变关系。理解强度理论的概念，能够
按材料可能发生的破坏形式，选择适当的强度理论。 难点主要有 ① 主平面方位的判断。当由解析法求主平面方位时，结果有两个相差 90 ”的方位角，一般不容易直接判断出它们分别对应哪一个主应力，除去直接将两个方位角代人式中验算确定的方法外，最简明直观的方法是利用应力圆判定，即使用应力圆草图。还可约定y x σσ≥，则两个方位中绝对值较小的角度对应max σ所在平面。 ② 最大切应力。无论何种应力状态，最大切应力均为2/)(31max σστ-=，而由式（ 7 一 l ）中第二式取导数0d d =α τα得到的切应力只是单元体的极值切应力，也称为面内最大切应力，它仅对垂直于Oxy 坐标平面的方向而言。面内最大切应力不一定是一点的所有方位面中切应力的最大值，在解题时要特别注意，不要掉人“陷阱”中。 本章主要考点： ① 建立一点应力状态的概念，能够准确地从构件中截取单元体。 ② 二向应力状态下求解主应力、主平面方位，并会用主单元体表示。会计算任意斜截面上的应力分量。 ③ 计算单元体的最大切应力。 ④ 广义胡克定律的应用。 ⑤ 能够选择适当的强度理论进行复杂应力状态下的强度计算，会分析简单强度破坏问题的原因。 本章习题大致可分为四类： ( l ）从构件中截取单元体这类题一般沿构件截面截取一正六面体，根据轴力、弯矩判断横截面上的正应力方向，由扭矩、剪力判断切应力方向，单元体其他侧面上的应力分量由力平衡和切应力互等定理画完整。特别是当单元体包括构件表面（自由面）时，其上应力分量为零。 ( 2 ）复杂应力状态分析一般考题都不限制采用哪一种方法解题，故最好采用应力圆分析，它常常能快速而有效地解决一些复杂的问题。 ( 3 ）广义胡克定律的应用在求解应力与应变关系的题目中，不论构件的受力状态，均采用广义胡克定律，即可避免产生不必要的错误，因为广义胡克定律中包含了其他形式的胡克定律。 ( 4 ）强度理论的应用对分析破坏原因的概念题，一般先分析危险点的应力状态，根据应力状态和材料性质，判断可能发生哪种类型的破坏，并选择相应的强度理论加以解释。计算题一般为组合变形构件的强度分析（详见第 8 章）与薄壁容器的强度分析，薄壁容器可利用平衡条件求出横截面与纵向截面上的正应力，由于容器的对称性，两平面上无切应力，故该应力即为主应力，并选择第三或第四强度理论进行强度计算。
第四章应力和应变关系 一. 内容介绍 前两章分别从静力学和运动学的角度推导了静力平衡方程，几何方程和变形协调方程。由于弹性体的静力平衡和几何变形是通过具体物体的材料性质相联系的，因此，必须建立了材料的应力和应变的内在联系。应力和应变是相辅相成的，有应力就有应变；反之，有应变则必有应力。对于每一种材料，在一定的温度下，应力和应变之间有着完全确定的关系。这是材料的固有特性，因此称为物理方程或者本构关系。 对于复杂应力状态，应力应变关系的实验测试是有困难的，因此本章首先通过能量法讨论本构关系的一般形式。分别讨论广义胡克定理；具有一个和两个弹性对称面的本构关系一般表达式；各向同性材料的本构关系等。 本章的任务就是建立弹性变形阶段的应力应变关系。 二. 重点 1. 应变能函数和格林公式； 2. 广义胡克定律的一般表达式； 3. 具有一个和两个弹性对称面的本构关系； 4. 各向同性材料的本构关系； 3. 材料的弹性常数。 知识点 应变能原理 应力应变关系的一般表达式 完全各向异性弹性体 正交各向异性弹性体本构关系 弹性常数 各向同性弹性体应变能
格林公式 广义胡克定理 一个弹性对称面的弹性体本构关系 各向同性弹性体的应力和应变关系 应变表示的各向同性本构关系 §4.1 弹性体的应变能原理 学习思路: 弹性体在外力作用下产生变形，因此外力在变形过程中作功。同时，弹性体内部的能量也要相应的发生变化。借助于能量关系，可以使得弹性力学问题的求解方法和思路简化，因此能量原理是一个有效的分析工具。 本节根据热力学概念推导弹性体的应变能函数表达式，并且建立应变能函数表达的材料本构方程。 根据能量关系，容易得到由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能，即应变能函数。 探讨应变能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。 如果材料的应力应变关系是线性弹性的，则单位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数。因此由齐次函数的欧拉定理，可以得到用应变或者应力表示的应变能函数。 学习要点： 1. 应变能； 2. 格林公式； 3. 应变能原理。 弹性体发生变形时，外力将要做功，内部的能量也要相应的发生变化。本节通过热力学的观点，分析弹性体的功能变化规律。