各种不等式的解法
题型一 一次不等式的解法
若关于x 的不等式ax >b 的解集为? ?
???－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a >0的解集为
________．
答案 ? ?
?
??－1，45
解析 由ax >b 的解集为? ?
???－∞，15，可知a <0，且b a ＝15.将不等式ax 2＋bx －45a >0两边同时
除以a ，得x 2＋b a x －45<0，所以x 2＋15x －45<0，即5x 2＋x －4<0，解得－1 5，故不等式ax 2＋bx －45a>0的解集为? ? ? ??－1，45. 题型二 二次不等式的解法 知识点： 一、一元二次不等式定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。 二、标准形式的一元二次不等式：220,(0)0,(0)ax bx c a ax bx c a ++>>++<>或 三、三个二次之间的关系 四、一元二次不等式的图像解法步骤： ① 将二次项系数化为“+”：y=c bx ax ++2>0(或<0)(a>0) ① 计算判别式?， ①若?0≥，则求出不等式对应方程的根； ①据图象，写出解集. 五、例题讲练 类型一、求不含参数的二次不等式的解集： 1．不等式2x 2－x －3>0的解集为( ) A.??????x |－1 B.??????x |x >3 2或x <－1 C.???? ??x |－32 D.???? ??x |x >1或x <－32 答案 B 解析 2x 2－x －3>0?(x ＋1)(2x －3)>0，解得x >3 2或x <－1.∴不等式2x 2－x －3>0的解集为 ???? ??x |x >3 2或x <－1，故选 B. 2．不等式4x 2＋4x ＋1≤0的解集为( ) A ．? B ．R C.? ?????x |x ＝12 D.? ????? x |x ＝－12 答案 D 解析 因为4x 2 ＋4x ＋1＝(2x ＋1)2 ，所以4x 2 ＋4x ＋1≤0 的解集为???? ?? x |x ＝－12. 3．不等式2x 2－3|x |－35>0的解集为________． 答案 {x |x <－5或x >5} 解析 2x 2－3|x |－35>0?2|x |2－3|x |－35>0? (|x |－5)(2|x |＋7)>0?|x |>5或|x |<－7 2(舍去)?x >5或x <－5. 4．对点训练 ( 1 ) 2x 2＋7x ＋3>0； ( 2 ) －x 2＋8x －3>0； ( 3 ) x 2 －4x －5≤0； ( 4 ) －4x 2 ＋18x －81 4≥0； ( 5 ) －1 2x 2＋3x －5>0； ( 6 ) －2x 2＋3x －2<0. ( 7 ) x 2－3x ＋1≤0； ( 8 ) 3x 2＋5x －2>0； ( 9 ) －9x 2＋6x －1<0； (10) x 2－4x ＋5>0； (11) 2x 2＋x ＋1<0. (12) 02632>+-x x (13) 01442>+-x x . (14) 0322>-+-x x . (15) 652>+-x x (16) 10732≤-x x (17) 0522<-+-x x (18) 0442<-+-x x (19) 322-<+-x x (20) 02031122>+-x x 类型二、求含参数的二次不等式的解集： 1．若0 ? ??x －1m <0的解集为( ) A.? ??? ?? x |1m ??? ??x |x >1 m 或x ??? ??x |x >m 或x <1m D.? ??? ??x |m 解析 当0 ???x －1m <0的解集为???? ??x |m 2．设实数a ∈(1,2)，关于x 的一元二次不等式x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0的解集为( ) A ．(3a ，a 2＋2) B ．(a 2＋2,3a ) C ．(3,4) D ．(3,6) 答案 B 解析 由x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0，得(x －3a )(x －a 2－2)<0，∵a ∈(1,2)，∴3a >a 2＋2，∴关于x 的一元二次不等式x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0的解集为(a 2＋2,3a )．故选B. 3．ax 2－(a ＋1)x ＋1<0. 解 原不等式化为(ax －1)(x －1)<0. ①当a ＝0时，解不等式，得x >1； ②当0 a ； ③当a >1时，解不等式，得1 a ⑤当a <0时，不等式化为? ???? x －1a (x －1)>0， 解不等式，得x <1 a 或x >1. 综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >1}； 当0 时，不等式的解集为???? ??x |1 a 时，不等式的解集为???? ??x |x <1a 或x >1； 当a ＝1时，不等式的解集为?. 4．x 2－(a 2＋a )x ＋a 3>0. 解 原不等式化为(x －a )(x －a 2)>0， ①当a 2－a >0，即a >1或a <0时， 解不等式，得x >a 2或xa ； ③当a 2－a ＝0，即a ＝0或a ＝1时， 解不等式，得x ≠a. 综上①②③得，当a >1或a <0时，不等式的解集为 {x|x >a 2或x 当0a }； 当a ＝0或a ＝1时，不等式的解集为{x|x ≠a }． 5．对点训练 （1）．已知a >1，则不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为( ) A ．(a ，＋∞) B ．(－∞，1) C ．(1，a ) D ．(－∞，1)①(a ，＋∞) （2）．解关于x 的不等式：2x 2＋ax ＋2>0； （3）．解关于x 的不等式：x 2－ax －2a 2<0. （4）．解关于x 的不等式：(x －2)(ax －2)>0. （5）．解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a ①R )． 题型三 分式不等式的解法 知识点：等价解。 一、 )() (x g x f >0 ? 0)()(>x g x f ? ???>>,0)(,0)(x g x f 或? ??<<,0)(,0)(x g x f 二、 )() (x g x f <0 ? 0)()( 0)(,0)(x g x f 三、 )() (x g x f ≥0 ? ? ??≠≥0)(0)()(x g x g x f 四、 )() (x g x f ≤0 ? ???≠≤0 )(0)()(x g x g x f 五、例题讲练 类型一、求不含参数的二次不等式的解集： 1．不等式x －4 3－2x <0的解集是( ) A.{}x |x <4 B ．{x |3 C.? ??? ??x |x <3 2或x >4 D.? ??? ??x |32 答案 C 解析 不等式x －43－2x <0等价于? ????x －32(x －4)>0，所以不等式的解集是??????x |x <32或x >4. 2．解不等式： 2x ＋1 x －5≥－1； 解 将原不等式移项通分得3x －4 x －5≥0， 等价于??? (3x －4)(x －5)≥0，x －5≠0， 所以原不等式的解集为? ?? x |x ≤4 3或x >5. 3．不等式x －1 2x ＋1 ≤0的解集为( ) A.? ????－12，1 B.???? ??－12，1 C.? ?? ??－∞，－12①[1，＋∞) D.? ? ? ??－∞，－12①[1，＋∞) 4．不等式x ＋1 2－x ≥3的解集为_______． 5．不等式2x －1 3x ＋1 ≥0的解集为_______． 6．不等式 2－x x ＋3 >1的解集为_______． 7．不等式4 x －1 ≤x －1的解集是( ) A ．(－∞，－1)①(1,3] B ．[－1,1)①[3，＋∞) C ．[1,3) D ．(－∞，1]①(3，＋∞) 类型二、求含参数的二次不等式的解集： 1．已知关于x 的不等式ax －1x ＋1>0的解集是(－∞，－1)∪? ???? 12，＋∞，则a 的值为( ) A ．－1 B.1 2 C ．1 D ．2 答案 D 解析 由题意可得a ≠0且不等式等价于a (x ＋1)? ???? x －1a >0，由解集的特点可得a >0且1a ＝12， 故a ＝2.故选D. 2．若关于x 的不等式 x －a x ＋1>0的解集为(－∞，－1)①(4，＋∞)，则实数a ＝____. 3．若关于x 的不等式ax －b >0的解集为(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax ＋b x －2>0的 解集为( ) A ．(－1,2) B ．(－∞，－1)①(2，＋∞) C ．(1,2) D ．(－∞，－2)①(1，＋∞) 题型四 高次不等式的解法（数轴标根法） 知识点：数轴标根法步骤 ①化标准形式： 将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式，并将各因式x 的系数化“+”；(为了统一方便) ②找跟排根：并在数轴上表示出来； ③穿根：由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（注意:奇穿偶穿而不过）； ④找解集：若不等式（x 的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x 轴下方的区间. 例题讲练 ①(x-1)(x+2)(x-3)>0 ②x(x-3)(2-x)(x+1)>0. ③(x-2)2(x-3)3(x+1)<0. ④(x-3)(x+1)(x 2+4x+4)≤0. ⑤80)4)(1)(2)(5(-≤--++x x x x ⑥2(2)(1)(1)(2)0x x x x ++--≤； ⑦ 2 (3)(10) 0(1)x x x x --≥- ⑧) 2()2()23()1()2(2233 4+--+-+x x x x x x >0 题型五 指数不等式的解法 知识点：指数不等式的解法。 0 a>1时， a f(x) >a g(x) ? f(x)>g(x) ， a f(x) x －1 ＝1 9的解是________． 2．若? ????122a ＋1 ??123－2a ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B.? ????12，＋∞ C ．(－∞，1) D.? ? ???－∞，12 3. 设0 2x 2 －3x ＋2 >a 2x 2 ＋2x －3 . 4．(a 2－a ＋2)－x －1<(a 2－a ＋2)2x ＋5的解集为( ) A ．(－∞，－4) B ．(－4，＋∞) C ．(－∞，－2) D ．(－2，＋∞) 答案 D 解析 ∵a 2－a ＋2>1，∴－x －1<2x ＋5， ∴x >－2，选D ． 5． x x -->4)2 1 (32 6．2 2 2 32≤+-x x 7．2931831>?+-+x x 题型六 对数不等式的解法 知识点：对数不等式的解法。 0 1． 13 log (1)1x ->- 2． 已知log 0.7(2x ) 1231+>--x x x 4． 2)1(log 3≥--x x 5． 已知log a 12 >1，求a 的取值范围． 6．若log a 2 3<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( ) A ．? ? ? ??0，23 B ．? ?? ?? 23，＋∞ C ．? ???? 23，1∪(1，＋∞) D ．? ? ? ??0，23∪(1，＋∞) 答案 D 解析 因为log a 23<1，所以log a 23 3>a >0.所以a 的取值范围是? ? ? ??0，23∪(1，＋∞)．故选D ． 7．已知log a 3 4<1，那么a 的取值范围是( ) A.? ????0，34∪(1，＋∞) B.? ????34，＋∞ C.? ????34，1 D ．(1，＋∞) 8． )1,0(,2log )12(log )34(log 2≠>>---+a a x x x a a a 9. 已知log a (2a ＋1) 题型七 幂函数有关的不等式 1．若f (x )＝x 23 －x － 1 2 ，则满足f (x )<0的x 的取值范围是________． 2．设函数f (x )＝????? ? ?? ??12x －3 (x ≤0)，x 1 2 (x >0)， 已知f (a )>1，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．(－2,1) B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) 题型八 正、余弦不等式的解法 知识点：三角不等式的解法。 利用三角函数的图像或三角函数线解三角不等式。 例题讲练 1．利用单位圆中的三角函数线，分别确定角的取值范围： (1). sin α≤12 (2). cos α＞23 (3). sin θ≥32； (4). 21 cos ≤x (5). －12≤cos θ<3 2. (6). y ＝x cos (7). y= x x 2cos 21cos 3-- (8). y=lg(2sinx+1)+1cos 2-x 2．函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是( ) A ．(2k π，(2k ＋1)π)，k ∈Z B.?????? 2k π＋π2，(2k ＋1)π，k ∈Z C.?????? k π＋π2，(k ＋1)π，k ∈Z D ．[2k π，(2k ＋1)π]，k ∈Z 3．若sin θ≥0，则θ的取值范围是________． 4．在[－π，π]上，满足sin x ≤1 2的x 的取值范围是________． 5．若0≤sin θ<3 2，则θ的取值范围是________． 6．求下列函数的定义域： (1)y ＝2cos x －1； (2)y ＝lg (3－4sin 2x )． (3)y ＝1－2cos x 题型九 正切不等式的解法 知识点：利用三角函数的图像 1．利用正切函数的图像，分别确定角的取值范围： ⑤tan α≥-1 ⑥ tan x ＞0 ⑦3tan ≥x 2．若tan ? ? ? ??2x －π6≤1，则x 的取值范围是__________． 3．设0≤α<2π，若sin α>3cos α，则角α的取值范围是( ) A.? ?? ??π3，π2 B.? ?? ??π3，π C.? ?? ??π3，4π3 D.? ?? ??π3，2π3 题型十 绝对值不等式的解法 知识点：绝对值不等式的解法。 一、绝对值的几何意义： ○ 1|a|=?? ? ??<-=>)0()0()0(a a a o a a ,其几何意义是数轴上表示a 的点到原点的距离。 ○2|X-a|的几何意义是x 在数轴上对应的点到a 对应的点之间的距离。 ○3|X-a|+|X-b|的几何意义是x 在数轴上对应的点到a 对应的点与b 对应的点的距离的和或差。 二、等价解（或同解定理） ○1. |x|>a 与|x|0)型不等式 |x|a ? x>a 或x<-a ○ 2. a ≤|x|≤b ? a ≤x ≤b 或 -b ≤x ≤-a ○ 3. |ax+b|>c 与|ax+b| ○ 4. |f (x )|>g(x ) 与| f (x )| ○ 5. |f (x )|>|g(x )|?[f (x )]2 >[g(x )]2 ?[f (x )+g(x )][ f (x )-g(x )]>0 三、例题讲练 类型一：含有一个绝对值不等式的解法（利用等价解求解）。 ①|3x-5|≤7 ②|3x-2|≤8 ④ 2≤|x-4|<3 ⑤1<|2x+1|≤3 ⑥x x -<-542 ⑦|x+1|>2-x ⑧|2x-3|≥x-1 1. 不等式|3x －2|<1的解集为( ) A ．(－∞，1) B.? ?? ??13，1 C.? ?? ??23，1 D.? ?? ??－13，13 2．不等式|4－x |≥1的解集为( ) A ．{x |3≤x ≤5} B ．{x |x ≤3或x ≥5} C ．{x |－4≤x ≤4} D ．R 3．不等式3≤|5－2x |<9的解集是( ) A ．(－∞，－2)∪(7，＋∞) B ．[1,4] C ．[－2,1]∪[4,7] D ．(－2,1]∪[4,7) 4．解不等式x ＋|2x ＋3|≥2. 5. 不等式??????x 2－x >x 2－x 的解集是( ) A ．{x |0 B ．{x |x <0或x >2} C ．{x |x <0} D ．{x |x >2} 6．不等式|x －1|≤x 的解集是________． 7．不等式|2x －1|－x <1的解集是________． 8. 解下列不等式：(1) 1<|x －2|≤3； (2) |2x ＋5|>7＋x . 9. 解不等式|x 2－3x |>4. 10．不等式?? ?? ?? x ＋2x <1的解集为________． 11．关于x 的不等式，|5x －6|<6－x 的解集为( ) A.? ????65，2 B.? ????0，65 C ．(0,2) D.? ???? 65，＋∞ 12．|x －x 2－2|>x 2－3x －4； 类型二：含有两个绝对值且不含常数的绝对值不等式的解法（两边平方法）。 1. |4x+3|≥|x+1| 2. |x ＋1|>|x －3|； 3. 不等式|x ＋2|≥|x |的解集是________． 类型三：含有两个绝对值且含常数的绝对值不等式的解法（零点分类讨论法）。 ○ 11|x+3|+|x-3|>8 ○12|x-1|+|x+2|<5 ○ 13|3x+1|+|2x-3|>8 ○14|x-5|-|2x+3|<1 1．不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( ) A ．(－∞，4) B ．(－∞，1) C ．(1,4) D ．(1,5) 2. 解不等式 (1) |x ＋1|＋|x －1|≥3； (1) |x －2|－|2x ＋5|>2x ； (3) |2x －1|<|x |＋1. 3．不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为( ) A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(－∞，－1]∪[2，＋∞) C ．(－∞，－2]∪[3，＋∞) D ．(－∞，－3]∪[2，＋∞) 主 题 其他不等式的解法 教学内容 1. 掌握分式不等式的解法； 2. 掌握含绝对值不等式的解法。 一、分式不等式： 解一元二次不等式0)1)(4(<-+x x ，我们还可以用分类讨论的思想来求解 因为满足不等式组???<->+0104x x 或???>-<+0 104x x 的x 都能使原不等式0)1)(4(<-+x x 成立，且反过来也是对的，故原不等式的解集是两个一元二次不等式组解集的并集． 试着用这种方法解下列三个不等式，你发现和我们用图像解的答案一样吗？ （1）0)3)(2(>-+x x （2）0)2(<-x x （3）)(0))((b a b x a x >>-- 让学生说说是怎么讨论的，最终大家会发现，无论是哪种理解方法，最终的结论是一样的，当二次项系数为正时，小于零是两根之间，大于零是两根之外。 （1） ()()303202 x x x x ->-->-与解集是否相同，为什么？ （2）()()303202x x x x -≥--≥-与解集是否相同，为什么？ 通过转化为一元一次不等式组，进而进行比较。会发现（1）的解集是相同的，（2）的解集是不同的，由于分母不能为零，分式的不等式端点2不能取等。 练习：解不等式 （1） 073<+-x x （2）025152≤+-x x 解：（1）07 3<+-x x 与(3)(7)0x x -+<的解集相同， 解(3)(7)0x x -+<得：73x -<< 所以原不等式解集为：(7,3)- （2）025152≤+-x x 与(215)(52)0520x x x -+≤??+≠? 的解集相同 解(215)(52)0520x x x -+≤?? +≠? 得：51522x -<≤ 二、绝对值不等式： 1. a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时，不等式x a >的解集是 {},x x a x a ><-或 不等式a x <的解集是 {}x a x a -<<； 引导学生结合绝对值的几何意义，通过数轴求解 当0的解集是 R 不等式 a x <的解集是 ； φ 用绝对值的非负性很容易理解 2. c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。 把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。 当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{}c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-; 当0 一元一次不等式组的解法 一、知识点复习 1.一元一次不等式组的概念： 几个 一元一次不等式 合在一起就组成一个一元一次不等式组. 2.一元一次不等式组的解集： 一般地，几个不等式的解集的 公共部分 ，叫做由它们组成的不等式组的解集. 2.一元一次不等式组解集四种类型如下表： 二、经典题型分类讲解 题型1：考察一元一次不等式组的概念 1. （2017春雁塔区校级月考）下列不等式组：①???<->32x x ，②???>+>420 x x ，③???>+<+4 2122x x x ， ④???-<>+703x x ，⑤? ??<->+010 1y x 。其中一元一次不等式组的个数是（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 题型2：考察一元一次不等式组的解法 2.（2018春天心区校级期末）不等式组?? ???>+≤-6 1213312 x x 的解集在数轴上表示正确的是（ ） 3.解下列不等式组，并在数轴上表示解集： ! （1）?? ? ??<--+->++-021331215)1(2)5(7x x x x （2）?????≥-+->-154245 3312x x x x （3）?????≤--+<--+-1213128)3()1(3x x x x （4）?? ? ??< -+≤+321)2(352x x x x — （5）?????-<+-<-2322125.05.7x x x x （6）?????->≥----62410 2.05.05.04 .073x x x x x ！ 4. 解下列不等式21 153 x --< ≤ \ 第三章不等式 定义：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。 3-1 不等式的最基本性质 ①对称性：如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y； ②传递性：如果x＞y，y＞z；那么x＞z； ③加法性质；如果x＞y，而z为任意实数，那么x＋z＞y ＋z； ④乘法性质：如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz;（符号法则） 3-2 不等式的同解原理 ①不等式F（x）＜G（x）与不等式G（x）＞F（x）同解。 ②如果不等式F （x ） ＜ G （x ）的定义域被解析式H （ x ）的定义域所包含，那么不等式 F （x ）＜G （x ）与不等式F （x ）＋H （x ）＜G （x ）＋H （x ）同解。 ③如果不等式F （x ）＜G （x ） 的定义域被解析式H （x ）的定义域所包含，并且H （x ）＞0，那么不等式F(x)＜G （x ）与不等式H （x ）F （x ）＜H （ x ）G （x ） 同解；如果H （x ）＜0，那么不等式F （x ）＜G （x ）与不等式H (x)F （x ）＞H （x ）G （x ）同解。 ④不等式F （x ）G （x ）＞0与不等式 0)x (G 0)x (F >>或0)x (G 0)x (F <<同解 不等式解集表示方式 F(x)>0的解集为x 大于大的或x 小于小的 F(x)<0的解集为x 大于小的或x 小于大的 3-3 重要不等式 3-3-1 均值不等式 1、调和平均数： )a 1...a 1a 1(n H n 21n +++= 2、几何平均数： n 1 n 21n )a ...a a (G = 3、算术平均数： n )a a a (A n 21n +++= 4、平方平均数： n )a ...a a (Q 2n 2221n +++= 这四种平均数满足Hn ≤Gn ≤An ≤Qn a1、a2、… 、an ∈R +，当且仅当a1=a2= … =an 时取“=”号 3-3-1-1均值不等式的变形 (1)对正实数a,b ，有2ab b a 22≥+ (当且仅当a=b 时 取“=”号) 一元一次不等式及其解法 一、知识点复习 1.一元一次不等式的概念： 只含有一个未知数，且未知数的次数是1且系数不为0的不等式，称为一 元一次不等式。 2.解一元一次不等式的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 3. 注意事项： ①去分母时各项都要乘各分母的最小公倍数，去分母后分子是多项式时，分子要加括号。 ②系数化为1时，注意系数的正负情况。 二、经典题型分类讲解 题型1：考察一元一次不等式的概念 1. （2017春昭通期末）下列各式：①5≥-x ；②03<-x y ；③05<+πx ；④ 32≠+x x ； ⑤x x 333≤+；⑥02<+x 是一元一次不等式的有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 2.（2017春启东市校级月考）下列不等式是一元一次不等式的是（ ） A 、 67922-+≥-x x x x B 、01=+x C 、0>+y x D 、092≥++x x 3.（2017春寿光市期中）若03)1(2>-+m x m 是关于x 的一元一次不等式，则m 的值为（ ） A 、1± B 、1 C 、1- D 、0 题型2：考察一元一次不等式的解法 4. （2016秋太仓市校级期末）解不等式，并把解集在数轴上表示出来: （1）)21(3)35(2x x x --≤+ （2）2 2531-->+ x x 5.解不等式 10 1.0)39.1(10 2.06.035.05.12?->---x x x 。 6.（2016秋相城区期末）若代数式 123-+x 的值不大于6 34+x 的值时，求x 的取值范围。 7. （2017春开江县期末）请阅读求绝对值不等式3 含参不等式专题（淮阳中学） 编写：孙宜俊 当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。解参数不等式一直是高考所考查的重点内容，也是同学们在学习中经常遇到但又难以顺利解决的问题。下面举例说明，以供同学们学习。 解含参的一元二次方程的解法，在具体问题里面，按分类的需要有讨论如下四种情况： （1） 二次项的系数；（2）判别式；（3）不等号方向（4）根的大小。 一、含参数的一元二次不等式的解法： 1．二次项系数为常数（能分解因式先分解因式，不能得先考虑0≥?） 例1、解关于x 的不等式0)1(2>++-a x a x 。 解：0)1)((2>--x a x 1,0)1)((==?=--x a x x a x 令 为方程的两个根 （因为a 与1的大小关系不知，所以要分类讨论） （1）当1或 （2）当1>a 时，不等式的解集为}1|{<>x a x x 或 （3）当1=a 时，不等式的解集为}1|{≠x x 综上所述： （1）当1或 （2）当1>a 时，不等式的解集为}1|{<>x a x x 或 （3）当1=a 时，不等式的解集为}1|{≠x x 变题1、解不等式0)1(2>++-a x a x ； 2、解不等式0)(322>++-a x a a x 。 常见不等式通用解法总结 一、基础的一元二次不等式，可化为类似一元二次不等式的不等式 ①基础一元二次不等式 如2260x x --<，2210x x -->，对于这样能够直接配方或者因式分解的基础一元二次不等式，重点关注解区间的“形状”。 当二次项系数大于0，不等号为小于（或小于等于号）时，解区间为两根的中间。 2260x x --<的解为3 (,2)2 - 当二次项系数大于0，不等号为大于（或大于等于号）时，解区间为两根的两边。 2210x x --> 的解为(,1(1)-∞-?++∞ 当二次项系数小于0时，化成二次项系数大于0的情况考虑。 ②可化为类似一元二次不等式的不等式（换元） 如1392x x +->，令3x t =，原不等式就变为2320t t -+<，再算出t 的范围，进而算出x 的范围 又如243 2 x ax >+ ，令2t x =，再对a 进行分类讨论来确定不等式的解集 ③含参数的一元二次不等式 解法步骤总结： 如不等式210x ax ++>，首先发现二次项系数大于0，而且此不等式无法直接看出两根， 所以，讨论24a ?=-的正负性即可。 此不等式的解集为0,0,{|}20,()R a x R x ? ??-∞?+∞? 又如不等式223()0x a a x a -++>，发现其可以通过因式分解化为2()()0x a x a -->，所以 只需要判定2a 和a 的大小即可。 此不等式的解集为22 01,{|}01,(,)(,)01,(,)(,) a or a x R x a a a a a or a a a ==∈≠?? <<-∞?+∞??<>-∞?+∞? 又如不等式22(1)40ax a x -++>，注意：有些同学发现其可以因式分解，就直接写成 (2)(2)0ax x -->，然后开始判断两根 2 a 和2的大小关系，这样做是有问题的。 事实上，这个题目中并没有说此不等式一定是一元二次不等式，所以参数a 是有可能为0 的。讨论完0a =的情况再讨论0a <和0a >的情况。所以此不等式的解集应该是： 注意，0a >和0a <时解区间的状况不同，一种为中间，一种为两边。 二、数轴标根法（又名穿针引线法）解不等式 这种问题的一般形式是123()()()...()0n x a x a x a x a ----<（或,,>≤≥） 步骤： ①将不等式化为标准式，一段为0，另一端为一次因式的乘积（注意！系数为正）或二次不可约因式（二次项系数为正）。 ②画出数轴如下，并从最右端上方起，用曲线自右向左一次由各根穿过数轴。 ③记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集。 例如，求不等式(1)(2)(3)(4)0x x x x ---->的解集，画出图如下，发现解集为 (,1)(2,3)(4,)-∞??+∞ 为什么数轴标根法是正确的呢？对于不等式(1)(2)(3)(4)0x x x x ---->来说，要满足四项 相乘为正，说明①四项均正，解集为(4,)+∞②两正两负，只能是(1),(2)x x --正，(3),(4)x x --负，此时解集为(2,3)③四项均负，解集为(,1)-∞。综上，解集为这三种情况的并集。当不等式左侧有奇数项的时候同理。 由此可知，遇到奇数个一次项系数为负的情况，如果不把系数化为正的，结果一定是错误的。 注意，这种方法要灵活使用，若不等式为2(1)(2)(3)(4)0x x x x ---->，使用数轴标根法 典型例题一 例1 解不等式：（1）01522 3>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3 2 <-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或 0)( ①0 ) ( ) ( ) ( ) ( < ? ? < x g x f x g x f ②0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( < ? = ? ≤ ? ? ? ≠ ≤ ? ? ≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或 或 （1）解：原不等式等价于 ? ? ? ≠ - + ≥ + - + - ? ≥ + - + - ? ≤ + - + + - ? ≤ + - - - + ? ≤ + - - ? + ≤ - )2 )( 2 ( )2 )( 2 )( 1 )( 6 ( )2 )( 2 ( )1 )( 6 ( )2 )( 2 ( 6 5 )2 )( 2 ( )2 ( )2 (3 2 2 3 2 2 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为[)[) +∞ ? - ? - -∞,6 2,1 )2 , (。 （2）解法一：原不等式等价于0 2 7 3 1 3 2 2 2 > + - + - x x x x 2 1 2 1 3 1 2 7 3 1 3 2 2 7 3 1 3 2 )2 7 3 )( 1 3 2( 2 2 2 2 2 2 > < < < ? ?? ? ? ? < + - < + - ?? ? ? ? > + - > + - ? > + - + - ? x x x x x x x x x x x x x x x 或 或 或 ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞。 解法二：原不等式等价于0 )2 )(1 3( )1 )(1 2( > - - - - x x x x )2 ( )1 3 )( 1 )( 1 2(> - ? - - - ?x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞ 典型例题三 常见基本不等式的解法 一、简单的一元高次不等式的解法：标根法： 其步骤是： （1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正； （2）将每个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意 奇穿过偶弹回； （3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。 如（1）解不等式2 (1)(2)0x x -+≥。（答：{}|12x x x ≥=-或）； （2）不等式(0x -的解集是____（答：{}|31x x x ≥=-或）； （3）设函数()()f x x ，g 的定义域都是R ，且()0f x ≥的解集为{}|12x x ≤<， ()0g x ≥的解集为?，则不等式()()0f x g x ?>的解集为______ （答：()[),12,-∞+∞U ； （4）要使满足关于x 的不等式2290x x a -+<（解集非空）的每一个x 的值至少满足 不等式2430x x -+<和2680x x -+<中的一个，则实数a 的取值范围是______. （答：81[7,)8 ） 二、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子 分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式 不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 如（1）解不等式25123 x x x -<---（答：()()1,12,3-U ）； （2）关于x 的不等式0ax b ->的解集为()1,+∞，则关于x 的不等式 02ax b x +>-的 解集为____________（答：()(),12,-∞-+∞U ）. 三、绝对值不等式的解法： （1）零点分段讨论法（最后结果应取各段的并集）： 如解不等式312242 x x -++≥（答：x R ∈）； （2）利用绝对值的定义；（3）数形结合； 如解不等式13x x +->（答：()(),12,-∞-+∞U ） （4）两边平方：如若不等式322x x a +≥+对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围 不等式解法举例 ?教学重点：不等式求解． ?教学难点：将已知不等式等价转化成合理变形式子． ?教学方法：创造教学法 为使问题得到解决，关键在于合理地将已知不等式变形，变形的过程也是一个创造的过程，只有这一过程完成好，本节课的难点也就突破． ?教学过程： 一、课题导入 1、由一元一次不等式、一元二次不等式、和简单的绝对值不等式式子，导出其不等式 解法． 2、一元二次不等式的解法． 3、数形结合思想运用． 二、新课讲授 例1：解不等式|x2-5x+5|<1 分析：不等式|x| x 2-5x +5>-1 ② 解不等式①由 x 2-5x +5< 1 得 (x -1)(x -4)< 0 解集为{x |1 基础不等式的解法及应用 一、一元二次不等式的解法 例1、解下列不等式 2230x x --> 23520x x -+-> 24410x x -+> 2230x x -+-> 结论： 二、分式不等式的解法 例2、解下列不等式 3 07x x -<+ 20x x +< 42333x x x ->--- （高次不等式）1 x x > 结论： 三、简单的绝对值不等式 例3、解下列不等式 3x ≥ 13x -≤ 3235x <-< 练习 1、（2010，山东）已知全体U R =，集合{} 240M x x =-≤，则U C M =（ ） A 、{}22x x -<< B 、{}22x x -≤≤ C 、{}22x x x <->或 D 、{}22x x x ≤-≥或 2、（2009，安徽）若集合()(){}2130A x x x =+->，{}*5B x N x =∈≤，则A B 是（ ） A 、{}1,2,3 B 、{}1,2 C 、{}4,5 D 、{}1,2,3,4,5 3、（2010，全国）已知集合{}2,A x x x R =≤∈，{} 4,B x Z =≤∈，则A B =（ ） A 、()0,2 B 、[]0,2 C 、{}0,2 D 、{}0,1,2 4、（2009，安徽）若集合{}213A x x =-<，2103x B x x ?+?=，{}2680B x x x =-+<，则() U C A B 等于（ ） A 、[)1,4- B 、()2,3 C 、(]2,3 D 、()1,4- 7、设集合{}2230A x x x =--≤，21x B x x ??=>??+?? ，则R A C B =（ ） A 、{}13x x -<≤ B 、{}13x x -≤≤ C 、{}23x x -<≤ D 、{}21x x -≤≤- 8、函数()f x = ） A 、(),1-∞ B 、()(),00,1-∞? C 、()1,+∞ D 、()[),01,-∞?+∞ 9、（2010，天津）设集合{}1,A x x a x R =-<∈，{}15,B x x x R =<<∈，若A B =?，则实数a 的取值范围是（ ） A 、{}06a a ≤≤ B 、{}24a a a ≤≥或 C 、{}06a a a ≤≥或 D 、{}24a a ≤≤ 10、（08，天津）设集合{}23S x x =->，{}8T x a x a =<<+，S T R =，则a 的取值范围是（ ） A 、31a -<<- B 、31a -≤≤- C 、31a a ≤-≥-或 D 、31a a <->-或 专题：基本不等式求最值的类型及方法 一、几个重要的基本不等式： ①，、)(2 22 22 2 R b a b a a b ab b a ∈+≤ ?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③， 、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链： b a 11 2 +2 a b +≤≤≤2 2 2b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+=b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞ ；单调递减区间：(0, ，[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1) y x x x =+ >-的最小值。 解析：21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1)x x x x --=+++>- 1≥312≥+52=， 当且仅当 2 11 (1) 22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： ①2 3 (32)(0)2 y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析：① 3 0,3202 x x <<->∴， ∴2 3(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=??-3(32)[ ]13 x x x ++-≤=， 当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。 ② 0,sin 0,cos 02 x x x π << >>∴，则0y >，欲求y 的最大值，可先求2y 的最大值。 2 4 2 sin cos y x x =?2 2 2 sin sin cos x x x =??222 1(sin sin 2cos )2x x x =??22231sin sin 2cos 4( )2327 x x x ++≤?=, 当且仅当22 sin 2cos x x =(0)2 x π < < tan x ?=tan x arc =时 “=”号成立，故 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x 、y + ∈R ，求4 ()f x x x =+ )10(≤ 高二数学课件:《不等式的解法举例》 过去的一切会离你越来越远，直到淡出人们的视野，而空白却会越放越大，直至铺成一段苍白的人生。下面为您推荐高二数学课件:《不等式的解法举例》。 （1）能熟练运用不等式的基本性质来解不等式； （2）在巩固一元一次不等式和一元一次不等式组、一元二次不等式的解法基础上，掌握分式不等式、高次不等式的解法； （3）能将较复杂的绝对值不等式转化为简单的绝对值不等式、一元二次不等式（组）来解； （4）通过解不等式，要向学生渗透转化、数形结合、换元、分类讨论等数学思想； （5）通过解各种类型的不等式，培养学生的观察、比较及概括能力，培养学生的勇于探索、敢于创新的精神，培养学生的学习兴趣.【教学建议】一、知识结构 本节内容是在高一研究了一元一次不等式，一元二次不等式，简单的绝对值不等式及分式不等式的解法基础上，进一步深入研究较为复杂的绝对值不等式及分式不等式的解法.求解的基本思路是运用不等式的性质和有关定理、法则，将这些不等式等价转化为一次不等式（组）或二次不等式的求解，具体地说就是含有绝对值符号的不等式去掉绝对值符号，无理不等式有理化，分式不等式整式化，高次不等式一次化.其基本模式为： ； ； ； 二、重点、难点分析 本节的重点和一个难点是不等式的等价转化.解不等式与解方程有类似之处，但其二者的区别更要加以重视.解方程所产生的增根是可以通过检验加以排除的，由于不等式的解集一般都是无限集，如果产生了增根却是无法检验加以排除的，所以解不等式的过程一定要保证同解，所涉及的变换一定是等价变换.在学生学习过程中另一个难点是不等式的求解.这个不等式其实是一个不等式组的简化形式，当为一元一次式时，可直接解这个不等式组，但当为一元二次式时，就必须将其改写成两个一元二次不等式的形式，分别求解在求交集. 三、教学建议 （1）在学习新课之前一定要复习旧知识，包括一元二次不等式的解法，简单的绝对值不等式的解法，简单的分式不等式的解法，不等式的性质，实数运算的符号法则等.特别是对于基础比较差的学生，这一环节不可忽视. （2）在研究不等式的解法之前，应先复习解不等式组的基本思路以及不等式的解法，然后提出如何求不等式的解集，启发学生运用换元思想将替换成，从而转化一元二次不等式组的求解. （3）在教学中一定让学生充分讨论，明确不等式组中的两个不等式的解集间的交并关系，两个不等式的解集间的交并关系. （4）建议表述解不等式的过程中运用符号 . （5）建议在研究分式不等式的解法之前，先研究简单高次不等式（一端为0，另一端是若干个一次因式乘积形式的整式）的解法.可由学生讨论不同解法，师生共同比较诸法的优劣，最后落实到区间法. （6）分式不等式与高次不等式的等价原因，可以认为是不等式两端同乘 高中数学不等式的解法 复习目标 1．掌握一元一次不等式（组） ，一元二次不等式，分式不等式，含绝对值的不等式，简单的 无理不等式的解法． 2．会在数轴上表示不等式或不等式组的解集． 3．培养运算能力． 知识回顾 一、一元一次不等式的解法 一元一次不等式 ax b(a 0) 的解集情况是 b b （1）当 a 0 时，解集为 { x | } （2）当 a 0时，解集为 { | } x x x a a 二、一元二次不等式的解法 2 bx c 2 的有 一般的一元二次不等式可利用一元二次方程 ax 0与二次函数 y ax bx c 关性质求解，具体见下表： 2 0 0 0 a 0 ， b 4ac 二次函数 y 2 ax b x c 的图象 一元二次方程 有两个相等的实根 有两实根 2 bx c ax 的根 x x 或 1 x x 2 x x 1 x 2 b 2a 无实根 不等式 一 式 元 的 2 bx c ax {x| x x 1或x x 2} { x | x x 1 } R 二 解 次 集 不 的解集 不等式 等 2 bx c ax {x|x 1 x x 2} Φ Φ 的解集 注：1．解一元二次不等式的步骤： （1）把二次项的系数a变为正的．（如果a 0，那么在不等式两边都乘以1，把系 数变为正） 1 （2）解对应的一元二次方程．（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根）（3）求解一元二次不等式．（根据一元二次方程的根及不等式的方向） 2．当a 0 且0 时，定一元二次不等式的解集的口诀：“小于号取中间，大于号取两边”． 三、含有绝对值的不等式的解法 1．绝对值的概念 a (a 0) a 0 a 0 a a 0 2．含绝对值不等式的解： （1）| x | a(a 0) a x a （2）| x | a(a 0) x a或x a （3）| f (x) | a(a 0) a f (x) a （4）| f (x) | a(a 0) f (x) a或f (x) a 注：当a 0时，| x | a 无解，| x | a的解集为全体实数． 四、一元高次不等式的解法 一元高次不等式 f ( x) 0（或 f (x) 0），一般用数轴标根法求解，其步骤是： （1）将 f ( x) 的最高次项的系数化为正数； （2）将 f ( x) 分解为若干个一次因式的积； （3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线； （4）根据曲线显现出 f (x) 值的符号变化规律，写出不等式的解集． 如：若a1 a2 3 ，则不等式(x a1)(x a2) (x a n) 0 a a n 或(x 1)(x a ) (x a n ) 0的解法如下图（即“数轴标根法”）： a 2 五、分式不等式的解法 ' ' f (x) f ( x) 对于解 a a 或型不等式，应先移项、通分，将不等式整理成 ' g ( x) g'( x) 4 1)(x+1)(x-1)(x-2)>0 2)(-x-1)(x-1)(x-2)<0 三、分式不等式与高次不等式的解法 1.分式不等式解法 2.高次不等式解法：数轴标根法（奇穿偶切） 典型例题 例 1 解下列不等式 x － 3 2 （1） x ＋ 7 <0 （2）3＋ x <0 3） x －3 2－x > 3－x －3 3 4) x > 1 【例题讲解】 1.解下列不等式： （1）2x 2 3x 20 (2)9x 2 6x 1 0 (3)4x 2 x 5 (4)2x 2 x 1 0 2.解不等式组 3x 2 7x 10 0 2 x 2x 30 （1） 2 （2） 2 2x 2 5x 20 5 x 4x 3.若不等式 ax 2 bx c 0的解集为 （-2,3）, 求不等式 2 cx ax b 0的解集. 2 3 4.当 k 为何值时，不等式 2kx 2 kx 38 0对于一切实数 x 都成立？ 高中数学常见题型解法归纳 不等式的解法 【知识要点】 一、一元一次不等式的解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为(0)ax b a >≠的形式. 当0a >时，不等式的解集为b x x a ? ?>????；当0a <时，不等式的解集为b x x a ??）的解法：最好的方法是图像法，充分体现了数形结合 的思想.也可以利用口诀（大于取两边，小于取中间）解答. 2、当二次不等式()f x =2 0(0)ax bx c a ++≥<时，可以画图，解不等式，也可以把二次项的系数a 变成正数，再利用上面的方法解答. 3、温馨提示 （1）不要把不等式20ax bx c ++>看成了一元二次不等式，一定邀注意观察分析2x 的系数. （2）对于含有参数的不等式注意考虑是否要分类讨论. （3）如果运用口诀解一元二次不等式，一定要注意使用口诀必须满足的前提条件. （4）不等式的解集必须用集合或区间，不能用不等式，注意结果的规范性. 三、指数不等式和对数不等式的解法 解指数不等式和对数不等式一般有以下两种方法 (1)同底法：如果两边能化为同底的指数或对数，先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件. ①当1a >时, ()()()()f x g x a a f x g x >?>; ()0log ()log ()()0 ()()a a f x f x g x g x f x g x >??>?>??>? ②当01a <<时, ()()()()f x g x a a f x g x >?<; ()0log ()log ()()0 ()()a a f x f x g x g x f x g x >??>?>?? 不等式的解法·典型例题 【例1】?(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0． 【例2】?解下列不等式： 【例3】?解下列不等式 【例4】?解下列不等式： 【例5】?|x 2-4|＜x+2． 【例6】?解不等式1)123(log 2122<-+-x x x ． 不等式·典型例题参考答案 【例1】?(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0． 【分析】?如果多项式f(x)可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“区间法”求解，但要注意处理好有重根的情况． 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3＞0 ∴原不等式解集为｛x|x ＜-5或-5＜x ＜-4或x ＞2｝． 【说明】?用“穿针引线法”解不等式时应注意： ①各一次项中x 的系数必为正； ②但注意“奇穿偶不穿”．其法如图(5－2)． 【例2】?解下列不等式： 解：(1)原不等式等价于 用“穿针引线法” ∴原不等式解集为(-∞，-2)∪〔-1，2)∪〔6，+∞)． （2） 【例3】?解下列不等式 解：(1)原不等式等价于 ∴原不等式解集为｛x|x ≥5｝． (2)原不等式等价于 【说明】?解无理不等式需从两方面考虑：一是要使根式有意义，即偶次根号下被开数大于或等于零；二是要注意只有两边都是非负时，两边同时平方后不等号方向才不变． 【例4】?解下列不等式： 解：(1)原不等式等价于 令2x =t(t ＞0)，则原不等式可化为 (2)原不等式等价于 ∴原不等式解集为(-1，2〕∪〔3，6)． 【例5】?|x 2-4|＜x+2． 解：原不等式等价于-(x+2)＜x 2-4＜x+2． 故原不等式解集为(1，3)． 这是解含绝对值不等式常用方法． 【例6】?解不等式1)123(log 2122<-+-x x x ． 解：原不等式等价于 (1)当a ＞1时，①式等价于 ② (2)当0＜a ＜1时，②等价于 ③ 绝对值不等式|||||| a b a b +≤+，|||||| a b a b -≤+ 基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b| ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ |y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y≤5 即函数的最小值是-5，最大值是5 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x到3，-2这两点的距离之差，当x≤-2时，取最小值-5，当x≥3时，取最大值5 解绝对值不等式题根探讨 题根四解不等式2|55|1 x x -+<． ［题根4］解不等式2|55|1 x x -+<． ［思路］利用｜f(x)｜其他不等式的解法
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