基本知识、基本方法、基本思想之
一．集合（必修1）
1.基本知识
集合的概念{}{}{}??????
?
?
?
?????????
???∈=∈∈=?∈∈=????=????
??A x U x x A C B x A x x B A B x A x x B A B A B A B A U 、或且集合的运算的真子集是集合的关系：描述法图示法列举法集合的表示
①公式1：A ?φ
公式2：φφ=?A A A =?φ 公式3：A C x A x U ∈?则
②几个符号：实数集----R 正实数集----R +
有理数集---Q
整数集----Z 自然数集----N 不包含0的自然数集----N *
③注意下列性质：集合{n a a a a ,........,,321}真子集的个数是21-n
.
B
B A B A A
B A B A =???=??...........2 ）若（
2.区别这三个集合：
{}{}{}x y y x C x y y B x y x A lg |),(lg |lg |======，，集合
3.解题方法、思想
①解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么； ②抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验；
③正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化，必要时，借助图形（韦恩图、数轴） 4.范例
①如何运算进行集合的交、并、补？
A ={x －1≤x ≤2}，
B ＝｛x x ＜1｝,则A ∩B = [D]
(A){x
x ＜1}
（B ）{x
－1≤x ≤2}
(C) {x －1≤x ≤1} (D) {x －1≤x ＜1}
A ，
B 均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B={3}, (
C u B)∩A={9},则A=(D)
（A ）{1,3} (B){3,7,9} (C){3,5,9} (D){3,9} 【解析】因为A ∩B={3}，所以3∈A ，又因为
(C u B)∩A={9}，所以9∈A ，所以选D 。本题也可以用Venn 图的方法帮助理解。
②的特殊情况。要忘记集合本身和空集对集合的关系问题，不?空集是一切集合的
子集，是一切非空集合的真子集。
{}
{}1|032|2
===--=ax x B x x x A ，
若，则实数的值构成的集合为B A a ?（答：，，）-?
??
???1013
注意：φ=B 时，0=a 也符合题意。 ③数形结合思想的运用
{}{}A x||x-a|<1,x R ,|15,.A B B x x x R =∈=<<∈?=?若，则实数a 的取值范围是（ C ）
(A){}a |0a 6≤≤ (B){}|2,a a ≤≥或a 4 (C){}|0,6a a ≤≥或a (D){}|24a a ≤≤
【解析】本题主要考查绝对值不等式的基本解法与集合交集的运算，属于中等题。 由|x-a|<1得-1 由图可知 a+1≦1或a-1≧5，所以a ≦0或a ≧6. 【温馨提示】不等式型集合的交、并集通常可以利用数轴进行，解题时注意验证区间端点是否符合题意。 ④集合的表示：准确理解描述法 A=??? ? ??∈-∈N x N x 28,集合B=? ?????∈∈-N x N x 28， 则._________=?B A 分析：集合A 中的元素是 82x -中的x ，而B 中的元素是x N ∈时8 2 x -的值，不妨列表： x 2 8 -x 10 1 6 2 4 4 3 8 则集合A={10，6，4，3}，B={1，2，4，8}，故}4{=?B A 二．简易逻辑（选修1-1） 1.判断命题的真假 原理1：原命题、逆命题、否命题、逆否命题四个命题中，互为逆否命题的两个命题同真假。 （即原命题与逆否命题同真假、逆命题与否命题同真假）（注意：否命题与逆命题互为逆否命题） 原理2：P 与P ?的真假性相反。 原理3：①q P ∧为真时，p 、q 均为真（即 q P ∧为假时，p 、q 中至少一个为假）。 ②q P ∨为真时，p 、q 中至少一个为真（即q P ∨为假时，p 、q 均为假） ①在△ABC 中，若A>B ，则sinA>sinB 。 （真） 解析：在△ABC 中，由“大角对大边” 若A>B ，则b a >，由正弦定理有2RsinA>2RsinB,可得sinA>sinB 。 ②若x ,7≠+y 则2≠x 或5≠y 。（真） 解析：其逆否命题是：若2=x 且5=y ，则,7=+y x 是真命题。 提醒：①写命题的P ? 时，只否定结论。 写命题的否命题时，条件和结论都要否定。 ②几个判断语的否定词如下： 2.判断p 是q 的什么条件（充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件） 判断“p 是q 的什么条件”的本质是判断命题“若p ，则q ”及“若q ，则p ”的真假； 概念：如果“若p 则q ”是真命题，则可记为q p ?，此时，p 叫q 的充分条件，同 时，q 叫p 的必要条件。 判断方法： ①定义法：若B A ?，则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件； 若B A ?，则A 是B 的充要条件。 ABC 中，P ：A>B ，q ：sinA>sinB ，则p 是q 的____________条件。 ABC 中，由“大角对大边” 若A>B ，则b a >，由正弦定理有 2RsinA>2RsinB,可得sinA>sinB ，即q p ?。 另一方面：由sinA>sinB ，由正弦定理有 R b R a 22> .则b a >,在△ABC 中，由“大边对大角”，故A>B ，即p q ?. 答：充要条件。 “若A ，则B ”及“若B ，则A ”的真假性。 ,7≠+y q ：2≠x 或5≠y 。则p 是q 的____________条件。 解析：∵P ?为：,7=+y x q ?为：2=x 且5=y ，显然：q ??P ?，而“q ? ?P ?” 的逆否命题是：“q p ?”。 答：充分不必要条件。 ③利用集合的包含关系：若,B A ?则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件； 若A=B ，则A 是B 的充要条件。 05x <<是|2|3x -<的 条件． 解析：记A={x ∣05x <<}记|2|3x -<的解集为B={ x ∣-1 ②“1=a ”是“函数ax ax y 2 2sin cos -=的最小正周期为π”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）即不充分又不必要条件 解析：函数ax ax y 2 2sin cos -= =cos2ax ,其最小正周期为π，则1-=a 或 1.记集合A={1=a a },记 B={11或-=a a }，则A 是B 的真子集，故选A 。 3.全称量词、特称量词 （1）全称命题的否定： “2 ,30x R x x ?∈-+>”的否定是：2000,30x R x x ?∈-+≤ ②“2 1,30x x x ?<->对有” 的否定是：20001,30x x x ?<->有 （2）特称命题的否定： 20000,320x x x ?>--≤有” 的否定是：2 0,320x x x ?>-->有 三．基本不等式的解法。 1.一元二次不等式的解法 ★解一元二次不等式的步骤是：先将不等式的二次项系数化为正数 → 再求方程02 =++c bx ax 的根x 1、x 2并比较其大小 → 利用公式写出。 不等式32 >x 的解是__________. 解析：不等式32>x 等价于032>-x ，方程032 =-x 的根为3-或3，故不等式 032>-x 解为3- 2.解含绝对值的基本不等式（选修4-5） （1）公式1：若0>a ，则a t a ，则a t >a t a t >- 解：原不等式等价于2212x -<-<,解得：1322 x -<< （2）解不等式138x x -++< 解法1：数形结合，利用数轴： 如图，PA=1x - PB=3x + 上式等价于：PA+PB<8，当PA+PB=8时，P 在x=3和x =－5处。 由此可得，-5 解法2：分三种情况讨论： 当3x <-时，有138x x -+--<得：53x -<<- 当31x -≤≤时，有138x x -+++<得：31x -≤≤ 当1x >时，有138x x -++<得：13x << 综上，得-5 0)()(0)()(>?>x g x f x g x f 公式2：0)()(0) () ( ???>≠?≥0)()(0)(0)()(x g x f x g x g x f ? ? ?≤≠?≤0)()(0)(0)() (x g x f x g x g x f ★解分式型不等式的步骤： 先将不等式右端化为0 并通分 → 再用上面的公式求解。 15 1 <+x 的解是_________. 解析：不等式化为0151<-+x ，化为054<+--x x 即05 4 >++x x 即 0)5)(4>++x x （，解得：不等式的解是45->- 提醒1：解分式型不等式必须严格按上述步骤，比如解不等式15 1 <+x ，就不能两边同时乘 以分母5+x 化为51+ 提醒2：如果分母已知恒为正数，则可以两边同时乘以分母化简，范例如下： 01 1 22 <+++x x x 的解是_______. 解析：∵12 ++x x 恒为正数，∴原不等式等价于012<+x 。答：2 1- 11 1 22 >+++x x x 的解是_______. 解析：∵12 ++x x 恒为正数，∴原不等式等价于12+x >12 ++x x 的不等式的解为:0 1-=kx y 与圆2)2(2 2 =+-y x 有两个不同的交点，求k 的取值范围。 解析：∵圆心（2，0）到直线1-=kx y 的距离d= 1 122 +-k k 由题R d <得 1 122+-k k 2<,得12122+<-k k ，两边同时平方得： 2241422+<-+k k k 得01422<--k k ，解得： 2 6 2262+<<-k 。 基本知识、基本方法、基本思想之 备注：函数这一步部分，选择题、填空题考察的主要还是最基本的东西，解答题主要围绕导 数的应用来考察。 第一部分：基本知识、基本问题（必修1） 一．函数的概念 对于非空集合A 、B ，在集合A 中的每一个实数x 按照法则f 与集合B 中唯一一个实数y 对应，就称从集合A 到B 的一个函数，也称y 是x 的函数，记为：)(x f y = x 与y 的对应，可以一对一，多对一，但决不可以一个x 对应多个y 。 如：1)(-= x x f 是函数，而1)(-±=x x f 不是函数 函数的三要素 ①定义域：自变量x的取值集合。 ②值域：函数值y的取值集合。 ③对应法则：即y关于x 的表达式（解析式） 1.求函数的定义域 () ()的定义域是 2 3 lg 4 - - = x x x y____________。 分析：就是求使得函数表达式有意义的x的取值集合。 解不等式 ? ? ? ? ? ≠ - > - ≥ - 1 )3 ( )3 ( ) 4( 2 2 x x x x 的定义域为()()()43 3 2 2 0， ， ， 2.函数的解析式 3 log,0 () 2,0 x x x f x x > ? =? ≤ ? ，则 1 (()) 9 f f=（B） A.4 B. 1 4 C.-4 D- 1 4 解析：根据分段函数可得 3 11 ()log2 99 f==-，则2 11 (())(2)2 94 f f f- =-==，②若()= - = +) ( 1 1x f x x f则____________。 分析：这类问题通常用换元法解决。 令，则 t x t =+≥ 10 ∴x t =- 21 2 )(2- =t t f ∴(0 ≥ t) 2 ) ( 2- =x x f ∴(0 ≥ x) 3.求函数的值域 方法1：观察法 f(x)=3 2- + x的值域是__________. 解析：由0 2≥ + x∴3 2- + x3 - ≥，∴函数f(x) 的值域是) ,3 [+∞ - 方法2：换元法 f(x)= 1 1 2 - + x x )1 (> x的值域是__________. 解析：令1 - =x t，则0 > t且1 + =t x ∴f(x)= t t 1 )1(2++ =t t t 2 22++ =2)2 (++ t t 由均值不等式得f(x)222+≥ ∴函数f(x) 的值域是),222[+∞+ ②函数()() 2log 31x f x =+的值域为（ A ） A. ()0,+∞ B. )0,+∞?? C. ()1,+∞ D. )1,+∞?? 解析：令13+=x t ，则1>t ，问题转化为求函数y=)1(log 2>t t 的值域。 方法3：利用函数的单调性 f(x)=12-+ x x 的值域是__________. 解析：函数的定义域为),1[+∞，且函数在),1[+∞上是递增函数，故x=1是，f(x)的最小值为2，∴函数f(x) 的值域是),2[+∞ 方法4：利用函数的图像 f(x)=322 --x x ]3,0[(∈x )的值域是__________. 分析：求二次函数的值域，通常用图像。 如图：可以看到 x=1时，y m in =–4 x=3时，y m ax =4 ∴函数f(x) 的值域是]4,4[-。 二．函数的单调性 函数单调性的定义：如果函数()x f 对区间D 内的任意 21,x x ，当21x x <时都有 ()()21x f x f <，则()x f 在D 内是增函数；当21x x <时都有()()21x f x f >，则() x f 在D 内时减函数。 通俗理解：如果函数()x f 在D 内是增函数，则y 随x 的增大而增大；如果函数()x f 在D 内是减函数，则y 随x 的减小而减小。 1. 判断函数的单调性 方法 1：观察分析法 1)(-+ =x x x f 的单调性是______. 答：是区间),1[+∞上的增函数。 方法2：复合型函数的单调性判断法则 0.2log (31)x y =+的单调性是______. 分析：方法1：令u =13+x ，y=0.2log u （外函数），由u ↑,y ↓；而x ↑，u ↑，故有x ↑， y ↓，故函数0.2log (31)x y =+在R 上递减。 方法2：[][]为减函数为增函数，否则相同时当内、外层函数单调性)()(x f x u f （即“同增异减”法则）。 令u =13+x （内函数）是增函数，y=0.2log u （外函数）是减函数，由于内、外函数单调性相反，故原函数为减函数。 方法3：利用函数的图像 2.利用导数判断函数的单调性 原理：()为增函数。则内，若总有，在区间)(0)( x f x f b a > ()为减函数。则内，若总有，在区间)(0)( x f x f b a < x x x f 12)(3 -=的递增区间是_________. 解析：123)( 2 ' -=x x f 令123)( 2 ' -=x x f >0，解得22>- ，（），（∞+?-∞-22 3.分段函数的单调性 原理：分段函数为增函数，则其各个段的函数均为增函数，且分段点处右端不小于左端；分段函数为减函数，则其各个段的函数均为减函数，且分段点处右端不大于左端。 (3)4,1()log ,1a a x a x f x x x --?=?≥?＜ ，是（-∞，+∞）上的增函数，那么a 的取值范围 是（ ） （A ）(1，+∞) （B ）(-∞,3) (C)?? ? ???3,53 (D)(1,3) 分析：函数(3)4 ,1()log ,1a a x a x f x x x --?=? ≥?＜，在（-∞，+∞）上是增函数的条件是： ??? ??-?-≥>>-a a a a a 41)3(1log 1 3 解得：C 三．函数的奇、偶性 解题要点：关键是抓死函数的奇、偶性的定义，利用定义获得等式;或利用奇函数、偶函数的图像特征解答。 1.函数的奇、偶性的定义 若总成立为奇函数函数图象关于原点对称 f x f x f x ()()() -=-?? 若总成立为偶函数函数图象关于轴对称 f x f x f x y ()()() -=?? ()41 2 x x f x + =的图象（D ） A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x对称 C. 关于x轴对称 D. 关于y轴对称 解析：) ( 2 4 1 2 1 4 ) (x f x f x x x x = + = + = - - - ) (x f ∴是偶函数，图像关于y轴对称 2.奇函数的一个性质 若函数f(x)是奇函数，且定义域中含0（即X可以取0）则必有。 f(0)= = + - + =a a a x f x x 为奇函数，则实数 · 若 1 2 2 2 ) ( 解析：0 )0( ) (= ∈ ∈f R R x x f∴ ， ，又 为奇函数， ∵ 1 1 2 2 2 = = + - + a a a ∴ ， · 即 ②设() f x为定义在R上的奇函数，当0 x≥时，()22 x f x x b =++（b为常数），则(1) f-=（A）-3 （B）-1 （C）1 (D)3 解析：∵() f x为定义在R上的奇函数（x可以取0）∴0 f(0)=可得b=–1，又f(1)=3 ∴f(-1)=-3 3. 利用奇函数、偶函数的图像特征解题 函数图象关于原点对称 为奇函数 若? ) (x f 轴对称 函数图象关于 为偶函数 若y x f? ) ( f(x)是定义在R上的奇函数，在(,0) -∞上是减函数，且f(2)=0，则使得f(x)<0的x 的取值范围是(D ) (A) (-∞,2)；(B) (2,+∞)； (C) (-∞,-2)?(2,+∞)；(D) (-2,0)∪（2，+∞) 解析：拟合其函数图像，如图。 4.函数的周期性 解题要点：关键是抓死函数的周期性的定义，利用定义获得等式;或利用函数周期性在 a n =a ?a ?........?a （n 个a 相乘） 图像上体现出来的特征解题。 ()为周期，则），在定义域内总有（若存在实数)()(0x f x f T x f T T =+≠ 函数，T 是一个周期。 )(x f 满足()==--=+)2012(,2)2()(3f f x f x f 则，且_________. 解析：∵()，)(3x f x f -=+∴)())(()3()6(x f x f x f x f =--=+-=+ 得的一个周期为是周期函数，)(6)(x f T x f =，由2012÷6的余数为4，∴ )4()2012(f f ==2)2(=-f 第二部分：指数、对数及指数、对数函数（必修1） 1.指数、对数基础 （1）a n （n 是自然数时）的 （2）a n m 的含义：a n m = n m a （3）a x -的含义：a x -= x a 1 ** 指数、对数的关系2．指数、对数的运算公式 （1）指数运算公式 n n n mn n m n m n m b a ab a a a a a ===?+)()( （2）对数的运算公式 N M MN a a a log log log += N M N M a a a l o g l o g l o g -= M n M a n a log log = 特别的：01log =a ，1log =a a （3）换底公式：log log log c a c b b a = 特别地：lg log lg a b b a = , ln log ln a b b a = 3.两个常见的对数 log 10N 记为lgN(常用对数) log e N 记为lnN(自然对数)，其中e ≈2.7188 二．指数、对数函数 4.比较两个指数的大小 方法1：利用指数函数的单调性（比较底数相同的两个指数） 如比较：10.45 2 0.20.2- -与的大小。利用函数0.2x y =在R 上是减函数。 方法2：作商比较： 如比较：122和13 3的大小。 方法3：引入中间量 如比较：0.2 0.3和0.3 0.2 -，利用函数0.3x y =和0.2X y =的图像，可以看出：0.2 0.3<1, 0.30.2->1. 5.比较两个对数的大小 方法1：利用对数函数的单调性（比较底数相同的两个对数） 如比较：0.30.31 2 log 0.2与log 的大小。利用函数0.3log y x =在R 上是减函数。 方法2：作差比较： 如比较： ln 2ln 3 23 与的大小。 方法3：引入中间量 如比较：0 .4 l o g 2.2与 1.8log 1.1,利用函数0.4 1.8log log y x x =和的图像可得， 0.4log 2.20<, 1.8log 1.10> 6.解基本的指、对不等式 （1）指数不等式的解法 方法：将不等式两端化为同底数的指数。参考公式：log a k a k =。 2121x -> 解：原不等式化为21022x ->，由函数2x y =的单调性得：210x ->得12 x > （2）对数不等式的解法 方法：将不等式两端化为同底数的对数。参考公式：log k a a k =。 2log (31)3x +< 解：原不等式化为22log (31)log 8x +< 由函数2log y x =的单调性及“对数的真数大于0”得0318x <+< 解得：1733 x - << 第三部分：导数（选修1-1） 一.求导数的公式1： ①若n x y =则1 -='n nx y 特别地：常数的导数为0. ②x x cos )(sin =' x x sin )(cos -=' ③a x x a ln 1)(log = ' x x 1 )(ln =' ④a a a x x ln )(=' x x e e =')( 求导数的公式2：='±)()()(x x v u )()( x x v u '±' ='?)()()(x x v u +?')()(x x v u )()(x x v u '? ) (2) ()()()() ()()( x x x x x x x u u v u v u v '-'= ' 复合函数求导数： 2 ln(2)y x x =+的导数。 解析：令2 2,u x x =+它关于x 的导数为41u x '=+,ln y u =关于u 的导数为： 1 u ,则原函 数的导数为： 1 (41)x u ?+,再把22,u x x =+代入，得原函数的导数为： 二. 导数部分题型的解答。 1.利用导数判断函数的单调性 原理：()为增函数。则内，若总有，在区间)(0)( x f x f b a >' ()为减函数。则内，若总有，在区间)(0)( x f x f b a <' 方法与步骤：求函数的定义域→解不等式0)(/>x f 得函数的增区间；解不等式0)(/ x x x f 12)(3 -=的递增区间是_________. 解析：123)( 2 ' -=x x f 令123)( 2 ' -=x x f >0，解得22>- 区间是22-∞-+∞（，）及（，） 2. 已知知函数在区间D 上的单调性，求字母范围。 方法1：求函数的增（或减）区间A ——→利用区间D 是区间A 的子集求字母的范围。 方法2：求函数的导数——→利用0)(/ ≥x f （或/ ()0f x ≤）在区间D 上恒成立求字母的 范围。（不等式恒成立求字母范围见后） 已知函数2 31y x ax =-+在区间(1,)+∞是增函数，则实数a 的取值范围是 _____________. 解：函数2 31y x ax =-+的增区间是( 32a ,)+∞,由(1,)+∞?(32a ,)+∞得：3 12 a ≤得： 2 3 a ≤ ②[)的上是单调增函数，则，在，函数已知a ax x x f a ∞+-=>1 )(03 取值范围 是__________。 方法1：求导数→令0)(>'x f 得函数的增区间为(,-∞及)+∞→由区间 [1,)(,)+∞?-∞?+∞建立不等式→求a 的范围。 方法2： 利用原理：() ()内恒成立。，在区间为增函数，则内，若，在区间b a x f x f b a 0)()(≥'（在个别点导数为0，不影响函数的单调性） ()()内恒成立。，在区间为减函数，则内，若，在区间b a x f x f b a 0)()(≤'（在个 别点导数为0，不影响函数的单调性） 解析：a x x f -='2 3)( 由0)(≥'x f 在区间),1[+∞上恒成立，则032 ≥-a x 在区间),1[+∞上恒成立，得3≤a ,故选D 。 [备柱：032≥-a x 在区间),1[+∞上恒成立，等价于3 3x a ≤在区间),1[+∞上恒成立，等价于min 3 )3(x a ≤] 3. 函数图像的切线的斜率 原理：函数y=f(x)在点0x 处的导数，就是曲线y=(x)在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率． 应用要点：① 抓住切点 ② 区别：“在M 点处的切线”与“过M 点处的切线”的不同。 求曲线1 y x = 在点A （1，1）处的切线方程。 分析：说明A 为切点，且A 在函数的图象上。 解：21 y x '=- ，则切线的斜率为1-，可得切线方程为2y x =-+ ②求曲线1 y x =过点A （1，1）处的切线方程。 方法：设切点P(x 0,y 0)——→利用)(0/ x f k =切及点P 写出切线方程——→将A 的坐标代 入切线方程建立关于x 0的方程，求出x 0——→求切线方程 解：设切点为P(0x ， 01x ),由21 y x '=-，则切线的斜率为201x -，则切线方程为 0200 11()y x x x x - =--，把A （1，1）的坐标代入方程，有020011 1(1)x x x -=-- 解得01x =,从而可得切线方程为2y x =-+。 ③已知1,0,()b c f x x b >->=+函数的图象与函数2 ()g x x bx c =++的图象相切.求b 与c 的关系式（用c 表示b ）。 解析：设函数f(x)的图像与函数g(x)的图像相切于点（x 0,y 0）,∵b x x g +='2)( 由题有12)(00=+='b x x g ① 又切点（x 0,y 0）在函数f(x)的图像与函数g(x)的图像上，有c bx x b x ++=+2 00② 由①②消去x 0， . 21,0,1. 4)1(2c b c b c b +-=∴>->=+ 得 4. 利用导数求函数的极值 利用原理：极大值点左增（即0)(>'x f ）右减(即0)(<'x f )；极小值点左减（即0)(<'x f ）右增（即0)(>'x f ）。 方法与步骤：求导数→解方程0)(='x f ，解不等式0)(>'x f ，0)( 23)(3 +-=x x x f 的极大值。 解析：33)(2 /-=x x f 令33)(2 /-=x x f >0得函数的递增区间为),1()1,(+∞?--∞ 令33)(2 /-=x x f <0得函数的递减区间为)1,1(- ()f x 在1x =-处取得极大值，极大值为(1) 2.f -= 2)(3+-=ax x x f 在x=1处取得极小值，求实数a 的值。 解析：a x x f -=2/ 3)( 由03)1(/=-=a f ，得3=a . 经验证（此略验证过程），a=3符合题意。 5. 已知函数在区间D 上的极值点的个数，求字母范围。 利用原理1：若函数f(x)在x 0处有导数，且x 0是极值点，则()0x f '=0. 原理2：若()0x f '=0，且x 0是方程()0x f '=0的偶重根，则x= x 0必定不是函数的极值点。 方法：转化为方程0)(='x f 在区间D 上有几个根，求字母的范围问题。即转化为方程根的分布问题。 [“方程根的分布问题”又见后] 若函数2)(3 +-=ax x x f 有极值点，求实数a 的取值范围。 分析：利用原理2，问题的实质转化为方程有根的问题。 a x x f -=2/3)( 令0)(/ =x f 得032 =-a x ， 由题，方程032 =-a x 有实数根（且这些根不全是等根）， 由△>0，得a > 0。 ②若函数2)(3 +-=ax x x f 在区间[1，+)∞有极值点， 求实数a 的取值范围。 解法1：a x x f -=2 /3)(，由题，则有方程/()f x =032 =-a x 在区间[1，+)∞内有实数 根（且这些根不全是等根）， 由△>0得a > 0，且方程/ ()f x =032=-a x 的根为 x= 3a 或3 a 1≥， 解得3a ≥ 解法2：a x x f -=2 /3)(，由题，则有方程/()f x =032 =-a x 在区间[1，+)∞内有实数根（且这些根不全是等根），由 函数/ ()f x =2 3x a -的图像可得： 则须f '(1)≤0得3a ≥ 6. 已知方程f(x)=0在区间D 内根的个数，求字母范围。（方程根的分布） 方法1：解出方程0)(=x f 的根i x ——→利用条件建立关于a 的不等式（比如i x 在给定的区间内）。 方法2：分析函数的性质（如单调性、奇偶性、对称性、周期性）——→画函数图象的草图——→利用区间端点值的正负、极值的正负，建立关于字母a 的不等式。 2 10x ax -+= a 的取值范围。 （2）若方程有两个不相等的正实数根，求字母a 的取值范围。 （3）若方程在区间（0，2）内有两个不相等的实数根，求字母a 的取值范围。 解：(1)由△>0得22a a <->或 (2)由1212 000x x x x ?>?? +>??>?得2a > （3）记函数2 ()1f x x ax =-+，如图， 则须022(0)0(2)0 a f f ?< >??>??>??解得522a << 1)1()12(2 1 31)(23++++-= x a a x a x x f 在区间（0，2）内有两个极值点，求a 的取值范围。 解法1：)1()12()(2 +++-='a a x a x x f ，由题0)(='x f 在区间（0，2）内有两个不等的实根，令0)(='x f 得1+=a a x 或，由 ?? ?<+<<<2 102