习题1-4解答 1. 求行列式1 22 305 4 03 --中元素2和2-的代数余子式。 解：元素2的代数余子式为03 04 0)1(1 3=-+， 元素2-的代数余子式为293 54 3)1(2 3=---+。 2. 已知四阶行列式D 中第3列元素依次为1-，2，0，1，它们的余子式依次为5，3，7-，4，求D 。 解：利用行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即 in in i i i i A a A a A a D +++= 2211（n i ,,2,1 =），或 nj nj j j j j A a A a A a D +++= 2211（n j ,,2,1 =） ，所以 1541)7(0325)1(-=?--?+?-?-=D 。 3. 按第3列展开下列行列式，并计算其值： ⑴ 11111110101d c b a ------； 解：原式0 111111 1 )1(0111111 10 ) 1(323 1-----+-------=++b a 1 111101 1 )1(0111101 1 )1(3433------+----+++d c ()()()()d b a d c b a ++=---+-++---++-=11111111111。 ⑵ 000 00000052 51 4241 3231 25 24232221 1514131211a a a a a a a a a a a a a a a a 。 解：原式00 000 0)1(0 0000) 1(52 51 4241323115 141211 233252 51 42413231 25 242221 13 3 1=-+-=++a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 。
《线性代数》(工)单元练习题 一、填空题 1、设矩阵A 为4阶方阵，且|A |=5，则|A*|=__125____，|2A |=__80___，|1-A |= 1/5 2、若方程组?? ? ??=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解，则abc ≠ 0 3、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上，行列式 0 . 4、当a 为 1 or 2 时，方程组??? ??=++=++=++0 40203221321321x a x x ax x x x x x 有非零解. 5、设=-+----=31211142,4 101322 13A A A D 则 .0 二、单项选择题 1．设） （则=---===33 3231312322212113 1211113332312322 211312 11324324324,1a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D B （A)0 ； （B)―12 ； （C ）12 ； （D ）1 2．设齐次线性方程组??? ??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解，则k = （ A ） （A ）2 （B ）0 （C ）-1 （D ）-2 3．设A=7 925138 02-，则代数余子式 =12A ( B ) (A) 31- (B) 31 (C) 0 (D) 11- 4．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7,4， 则D= ( A ) （A ） -15 （B ） 15 （C ） 0 （D ） 1 三、计算行列式
第一章 行列式 一 填空题 1. n 阶行列式ij a 的展开式中含有11a 的项数为 （n-1）！ 2.行列式 1 2 n λλλ = (1) 2 12 (1) n n n λλλ-- 3. 行列式11121314222324 333444 00 a a a a a a a a a a 的值11223344 a a a a 4.在n 阶行列式A =|ij a |中,若j i <时, ij a =0(j i ,=1,2,…,n),则 A = 1122nn a a a 解: A 其实为下三角形行列式. 5. 排列134782695的逆序数为 10 . 解：0+0+0+0+0+4+2+0+4=10 6. 已知排列9561274j i 为偶排列，则=),(j i (8,3) . 解：127435689的逆序数为5，127485639的逆序数为10 7. 四阶行列式中带有负号且包含a 12和a 21的项为 -a 12a 21a 33a 44 . 解：四阶行列式中包含a 12和a 21的项只有-a 12a 21a 33a 44和a 12a 21a 43a 34 8.在函数x x x x x x f 2 1 1 12)(---=中,3x 的系数为 -2
解: 行列式展开式中只有对角线展开项为3x 项. 9. 行 列 式x x x x x 2213212 113215 含 4x 的项 410x 解：含4x 的 项 应 为4443322111025x x x x x a a a a =???=. 10. 若n 阶行列式ij a 每行元素之和均为零，则ij a = 0 解：利用行列式性质：把行列式的某一行的各元素乘以同一数然后加到另一行对应的元素上去，行列式不变 11. =5 6789012011400 10 3 0200 1000 120 . 解：将最后一行一次与其前一行互换的到三角行列式 12.行列式c c b b a a ------1111111的值是 1 。 解c c b b a a ------1111111= 10 11111a b b c c ----=101 111a b c c --=1010101a b c =1
《线性代数》习题集（含答案） 第一章 【1】填空题 （1） 二阶行列式 2a ab b b =___________。 （2） 二阶行列式 cos sin sin cos αα α α -=___________。 （3） 二阶行列式 2a bi b a a bi +-=___________。 （4） 三阶行列式x y z z x y y z x =___________。 （5） 三阶行列式 a b c c a b c a b b c a +++=___________。 答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2 a b -；4.3 3 3 3x y z xyz ++-；5.4abc 。 【2】选择题 （1）若行列式12 5 1 3225x -=0，则x=（）。 A -3； B -2； C 2； D 3。 （2）若行列式11 1 1011x x x =，则x=（）。 A -1 ， B 0 ， C 1 ， D 2 ，
（3）三阶行列式2 31 503 2012985 23 -=（）。 A -70； B -63； C 70； D 82。 （4）行列式 000 000 a b a b b a b a =()。 A 4 4 a b -；B () 2 2 2a b -；C 4 4 b a -；D 44 a b 。 （5）n 阶行列式0100 0020 0001000 n n - =（）。 A 0； B n ！； C （-1）·n ！； D () 1 1!n n +-?。 答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。 【3】证明 33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b z x y bz ax bx ay by az y z x ++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。 【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性： （1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。 答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。 （2）τ（217986354）=18，此排列为偶排列。 （3）τ（987654321）=36，此排列为偶排列。 【5】计算下列的逆序数： （1）135 （2n-1）246 （2n ）；（2）246 （2n ）135 （2n-1）。 答案：（1） 12n （n-1）；（2）1 2 n （n+1） 【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号：
线性代数第一章行列式 --电商1201 一、填空题 1.排列631254的逆序数τ(631254)= 8 . 解: τ(631254)=5+2+1=8 2.行列式2 131 32 3 21= -18 . 解:D=1?3?2+2×1×3+2×1×3-3?3?3-1?1?1-2?2?2=-18 (陈冲) 3、4阶行列式中含1224a a 且带正号的项为_______ 答案：12243341a a a a 分析：4阶行列式中含1224a a 的项有12243341a a a a 和12243143a a a a 而 12243341a a a a 的系数：()(1234)(2431) 41(1)1ττ+-=-= 12243143a a a a 的系数：() (1234)(2413) 31(1)1ττ+-=-=- 因此，符合条件的项是12243341a a a a 4、2 2 2 111a a b b c c （,,a b c 互不相等）=_______ 答案：()()()b a c a c b --- 分析：2 2 2 111a a b b c c =222222()()()bc ab a c b c ac ba b a c a c b ++---=--- （陈思宇）
5.行列式 1 13 610420 4 7 10501λ--中元素λ的代数余子式的值为 42 解析: 元素λ的代数余子式的值为6 42 0710 01-3 41+-?）（=(－1) ×7 ×6×(－1)=42 6.设3 1-20 3 1222 3=D ,则代数余子式之和232221A A A ++=0 解析：232221A A A ++=1×21A +1×22A +1×23A =3 1211 1 222 -=0 （崔宇轩） 二、 单项选择题 1、设x x x x x x f 1 11 12 3111212)(-= ，则x 3 的系数为（C ） A. 1 B. 0 C. -1 D. 2 解：x 3的系数为 ）（） （）（1-21341234λλ+=-1 2、 设33 32 31232221 131211 a a a a a a a a a =m ≠0,则33 32 3131 23222121 13121111 423423423a a a a a a a a a a a a ---=（B ） A.12m B. -12m C.24m D. -24m 解：33 32 31232221 131211 a a a a a a a a a )4(2-?j →33 32 31 232221 131211 4-4-4-a a a a a a a a a =-4m
1 习 题 1-1 1．计算下列二阶行列式： （1） x x 1 1； （2）α α ααsin cos cos sin -． 解 （1） () 111 12 -=-= x x x x ． （2） 1)cos (sin sin cos cos sin 2 2=--=-ααα α αα． 2．计算下列三阶行列式： （1）121223 112 --； （2）00000d c b a ； （3）2 2 2 1 11 c b a c b a ； （4）c b a b a a c b a b a a c b a ++++++232． 解 （1）原式5)2(2213)1(12112)1()2(31122=-??-??--??-??-+-??+??=． （2）原式00000000000=??-??-??-??+??+??=d c b a c a d b ． （3）原式))()((222222b c a c a b c b ac b a c a ab bc ---=---++=． （4）原式)()()2()23)((b a ac c b a ab b a ac c b a b a a +-++++++++= 3)23())(2(a c b a ab c b a b a a =++-+++-． 3．证明下列等式： =333231 23222113 1211a a a a a a a a a 33 32 232211a a a a a 33 31 232112 a a a a a -32 31 222113 a a a a a +． 证明 33 32 31 232221 131211 a a a a a a a a a 322311332112312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++= )()()(312232211331233321123223332211a a a a a a a a a a a a a a a -+---= 33 32 232211 a a a a a =33 31 232112 a a a a a -32 31 222113 a a a a a +． 4．用行列式解下列方程组： （1）???=+=+643534y x y x ； （2）?????-=-+=++-=+-1 2361 32321 321321x x x x x x x x x ． 解 （1）74 3 34== D ，24 6 351== D ，96 3 542== D ，
习题1.2： 1 .写出四阶行列式中 11121314212223243132333441 42 43 44 a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项 解：由行列式的定义可知，第三行只能从32a 、34a 中选，第四行只能从42a 、44a 中选，所以所有的组合只有() () 13241τ-11233244a a a a 或() () 13421τ-11233442a a a a ，即含有因子1123a a 的项 为11233244a a a a 和11233442a a a a 2. 用行列式的定义证明111213141521 22232425 31 3241425152 000000000 a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明：第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0，同理，第四行取41a 、42a ，第三行取31a 、32a ，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0.以第五行为参考，含有51a 的因式必含有0，同理，含有52a 的因式也必含有0。故所有因式都为0.原命题得证.。 3.求下列行列式的值： （1）01000020;0001000 n n -L L M M M O M L L （2）00100200100000 n n -L L M O M O M L L ； 解：（1）0100 0020 0001 000 n n -L L M M M O M L L =()()23411n τ-L 123n ????L =()1 1!n n --
1、（1） ()sin cos sin sin cos cos 1cos sin x x x x x x x x ?=??= （5）33223x y y x y y y y x y x y x y y x y xy y x y x y y y y x =?+=+? 2、（1）左边= ()()a b x a d y c b x ad ay b c cx c d y +=+?+=+??+ 右边= ()()a b a x ad bc ay cx c d c y +=?+? 左边=右边，所以等式成立。 （2）左边=010 0b a e f b a b a e f ad bc d c d c e f d c =? +=? 右边=ad bc ? 左边=右边，所以等式成立。 3、（2）解：因系数行列式 21 5011021 D ?=?=? 故方程组有解， 1 1 010********D x D ???===，2 2200 50103161D x D ?===，3 321 050002 3 151 D x D ??=== 4、由题意已知，34 43i i or j j == == 当34i j = = 时，()17352468τ=，当43 i j = = 时，()17452369τ= 故3,4i j ==。 5、顺序数+逆序数=2 n C 故()()() 212112112 n n n n n n n i i i i C i i i i m ττ???=?=?
6、（1）()2653841713τ=，奇排列 （2）()()()() 1,1,,2,11212 n n n n n n τ???+?++ 441,4243,n kor k n k or k =+ =++ 偶排列 奇排列 （3） ()()()()()()()2,21,2,21,23,,121231 311212 n n n n n n n n n n τ???= ?+?++?+?+?++= 443,4142,n kor k n k or k =+ =++ 偶排列 奇排列 7、含123541a a a 的项分别有() () 251122354151i j i j a a a a a τ?，其中34 43 i i or j j == == 当34i j = = 时，含123541a a a 的项分别是()() 2351412233541541a a a a a τ?，()235144τ=， 当43 i j = = 时，含123541a a a 的项分别是()() 2451312243541531a a a a a τ?，()245135τ= 故含有123541a a a 的项是1223354154a a a a a 和1224354153a a a a a ? 8、解：() () () () ()134212342221511213x x x ττ?+??= 10、(1) ()()()()214323410 000011000 00a a b baed bcea abde abce c d e ττ=?+?=? (2) 0000000000a b c g f e d =
北大版-线性代数第一章部分课后答案详解
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习题1.2： 1 .写出四阶行列式中 11121314212223243132333441 42 43 44 a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项 解：由行列式的定义可知，第三行只能从32a 、34a 中选，第四行只能从42a 、44a 中选，所以所有的组合只有() () 13241τ-11233244a a a a 或() () 13421τ-11233442a a a a ，即含有因子1123a a 的项 为11233244a a a a 和11233442a a a a 2. 用行列式的定义证明111213141521 22232425 31 3241425152 000000000 a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明：第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0，同理，第四行取41a 、42a ，第三行取31a 、32a ，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0.以第五行为参考，含有51a 的因式必含有0，同理，含有52a 的因式也必含有0。故所有因式都为0.原命题得证.。 3.求下列行列式的值： （1）01000020;0001000 n n -L L M M M O M L L （2）00100200100000 n n -L L M O M O M L L ； 解：（1）0100 0020 0001 000 n n -L L M M M O M L L =()()23411n τ-L 123n ????L =()1 1!n n --
第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 811411 02---; 解 3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++.
解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为2 ) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ? ? ? ? ? ? (2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, ? ? ?, (2n -1)(2n -2) (n -1个) (6)1 3 ? ? ? (2n -1) (2n ) (2n -2) ? ? ? 2. 解 逆序数为n (n -1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ? ? ? ? ? ? (2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, ? ? ?, (2n -1)(2n -2) (n -1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个) ? ? ? ? ? ? (2n )2, (2n )4, (2n )6, ? ? ?, (2n )(2n -2) (n -1个)
《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为 2 ) 1(-n n :
第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题
一. 判断题（正确打√，错误打×） 1. n 阶行列式ij a 的展开式中含有11a 的项数为1-n .( × ) 正确答案：)!1(-n 解答：方法1因为含有11a 的项的一般形式是n nj j a a a 2211 ， 其中n j j j 32是1-n 级全排列的全体，所以共有)!1(-n 项. 方法2 由行列式展开定理 =nn n n n n a a a a a a a a a 2 1 2222111211 n n A a A a A a 1121211111+++ ， 而n n A a A a 112121++ 中不再含有11a ，而11A 共有)!1(-n 项，所以含有11 a 的 项数是)!1(-n . 注意：含有任何元素ij a 的项数都是)!1(-n . 2. 若n 阶行列式ij a 中每行元素之和均为零，则ij a 等于零.( √ ) 解答：将 nn n n n n a a a a a a a a a 2 1 2222111211 中的n 、、、 32列都加到第一列，则行 列式中有一列元素全为零，所以ij a 等于零.
3. 3 3 2244 114 4 332211 000000a b b a a b b a a b a b b a b a =.( √ ) 解答：方法1按第一列展开 3 3 2244 114 4 1141413 3 224 13 3 224 14 4 332211) (0 000000a b b a a b b a a b b a b b a a a b b a b b a b b a a a a b a b b a b a =-=-=. 方法2 交换2，4列，再交换2，4行 2 2 3344114 4 3322114 4 332211 00000000 0000000 000000a b b a a b b a a b b a a b b a a b a b b a b a =- == 3 3 2244 11a b b a a b b a . 方法 3 Laplace 展开定理：设在n 行列式 D 中任意取定了 )11(-≤≤n k k 个行，由这k 行元素所组成的一切k 阶子式与它们的 代数余子式的乘积之和等于行列式D 。 所以按2，3行展开 3 2324 4 332211 ) 1(0 000000+++-=a b a b b a b a 3 3 2244 11a b b a a b b a = 3 3 2244 11a b b a a b b a . 4. 若n 阶行列式ij a 满足ij ij A a =,n j i ，， ,2,1=,则0 ≥ij a .(√)
第一章行列式 §行列式的概念 1.填空 ⑴排列6427531的逆序数为____________ ，该排列为_______ 排列。 (2)i = _____ , j = _______ 时，排列1274 i56 j 9为偶排列。 (3)n阶行列式由____ 项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列 的_n个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么 列标构成一个n元排列。若该排列为奇排列，则该项的符号为___________ 号；若为 偶排列，该项的符号为_______ 号。 (4)在6阶仃列式中，含3i5a23a32a44a5i a66的项的符号为___________________________ ，含 832843814851866825 的项的符号为 _________ 。 2.用行列式的定义计算下列行列式的值 8110 0 (1) 0 822 823 0 832 833 解：该行列式的3!项展开式中，有 _________ 项不为零，它们分别为____________________ _________________________________ ,所以行列式的值为__________________________ 。 0 0 0 III III 82,2 旦n 82n ⑵++ + F r p b h ■ 0 8n斗2 III8n 4,n J 8n 4n 8n1 8n2 III8n,n 4 8nn 解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是 ___________________ ,而它的逆序数是_________ ,故行列式值为 ______________________ 。
第一章 行列式和Cramer 法则 第一章知识清单 1.行列式定义： () ()() 121211********* 21 212 1,n n n n n i i i j j j n i j i j i j i j n n nn a a a a a a a a a a a a ττ? +=-∑ 说明1）()()()12 1 , n n n k i k k i i i t k t i τ=== =∑∑ ()k k k t i i i ：在左边比打的数的个数. 说明2）：行列式中每行均由不同行不同列的元素之积构成 2.计算方法 基本方法： 1）化为三角式；2）降阶法：10 n i k jk k D i j a A i j ==?=? ≠?∑ 常用方法： 利用定义或性质，拆解法，升阶法，递推法。 特殊行列式：上三角式，对角式，范德蒙行列式。 3.行列式性质（5条） 行列等同；两行互换值相反；数乘行列式；行列式加法；第三种初等行变换不改变行列式的值。 4.克莱姆法则
?????? ?=++=++=++n n nn n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 221122222212111212111 .n A x b =即： 解：12,, , T n D D D x D D D ?? = ??? ，.n D A = 推论：0.n n A x o A =?=有非零解 基本作业建议 A 组：1，4，6（1），7（1），8, 10(1)； B 组：一 （1），（6）；二（3），（4） 一（A ）4（1）：列标：54243，表明第四列有两元素：否; (2): () ()() 24531452131ττ+-. 一（A ）5： ()( ) ()()() () ()()23412143123412342132341411,a a a a a a a a ττ--. 一（A ）6(5)：32 1 42 2 222222223234 21 21 21 21 21212121 044444444222269696969 6 6 6 6 ,,i r r r r r r i a b c d a b c d a b c d a b c d D a b c d a b c d ---=++++++++=== ==== =++++++++ 一（A ）7(1)，(2)：同6（3），见课件例1.15—1.18。四种方法： 1 1123,,,n i i i c r r i n D D =-=∑=========提公因式方法一：上三角式； 1 23,,,i r r i n D -=====方法二：箭形行列式 12312 3 1231231 2 3 10 n n n n n a a a a a b a a a a a b a a a a a b a a D a a a b ------=== --加边 方法三： 1231,2,311000100010001 n i r r i n a a a a b b b b +=------===== -- ()123 2312323 1 23231 2 3 2 3 000 n n n n n n n n a a a a c a a a a a c a a a c a a a a a c a a a c a a a a a c a a a c D ------=-=拆解 方法四：略. 一（A ）7（3，5，6，7）同类型，见课件和课本例题1.9：。
习题： 1 .写出四阶行列式中 11121314212223243132333441 42 43 44 a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项 解：由行列式的定义可知，第三行只能从32a 、34a 中选，第四行只能从42a 、44a 中选，所以所有的组合只有() () 13241τ-11233244a a a a 或() () 13421τ-11233442a a a a ，即含有因子1123a a 的项 为11233244a a a a 和11233442a a a a 2. 用行列式的定义证明111213141521 22232425 31 3241425152 000000000 a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明：第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0，同理，第四行取41a 、42a ，第三行取31a 、32a ，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0.以第五行为参考，含有51a 的因式必含有0，同理，含有52a 的因式也必含有0。故所有因式都为0.原命题得证.。 3.求下列行列式的值： （1） 0100002 ;0 001000 n n -（2）00100 200 1000 n n -； 解：（1） 01 0002 001000 n n -=() () 23411n τ-123n ??? ?=() 1 1!n n --
（2） 00100 200 1 0000 n n -=() ()()() 12211n n n τ---123n ??? ?=() ()() 122 1!n n n --- 4.设n 阶行列式：A= 11 11 n n nn a a a a ，B=111112122122212 12n n n n n n n n nn a a b a b a b a a b a b a b a -----，其中0b ≠，试 证明：A=B 。 证明： B= 111112122122212 12n n n n n n n n nn a a b a b a b a a b a b a b a -----= () ( ) []12 121212 12121n n n n s s s s n s s s s s n s s s n a b a b a b τ---∈-∑！ = ()( ) []12 121212 1212 1()n n n n s s s s n s s s s s n s s s n a a a b b b τ---∈-∑！ = ()( ) []12 121212 (1)(2)() 12 1n n n n s s s s s s n s s s n s s s n a a a b τ-+-+ -∈-∑ ！ = ()( ) []12 1212 121n n n s s s s s s n s s s n a a a τ∈-∑ ！ =A 命题得证。 5.证明：如下2007阶行列式不等于0： D= 22 22 33332007 2007 2007 2007 1 220062007232007200834200820082007200820082008； 证明：最后一行元素，除去2007 2007是奇数以外，其余都是偶数，故含2007 2008 的因式也都 是偶数。若最后一行取2007 2007 ，则倒数第二行只有取2006 2007 才有可能最后乘积为奇数， 以此类推，只有次对角线上的元素的积为奇数，其余项的积都为偶数。故原命题得证。 习题
第一章 行列式 §1.1行列式 1．计算下列排列的反序数： )(i 523146879； )(ii ;1,2,,1, -n n )(iii .,1,,2,12,1,2k k k k +- 2．假设n 个数码的排列n i i i ,,,21 的反序数是k,那么排列121,,,,i i i i n n -的反序数是多少？ 3．写出4个数码的一切排列． §1.2 n 阶行列式 1．确定六阶行列式 D= 66 62 61 26 22 21161211 a a a a a a a a a 中以下各乘积的符合： ()().; 466455321321651456423123a a a a a a ii a a a a a a i 2．写出下列四阶行列式44 4114 11 a a a a 中一切带有负号且含元素23a 的项。 3．证明：n 阶行列式 nn n n n a a a a a a a a a a 32 1 3332312221 110 00 0000nn a a a 2211= 4．考察下列行列式：
nn n n n n a a a a a a a a a D 2 1 2222111211 = ， n n n ni ni ni i i i i i i a a a a a a a a a D 2 121 212221111=， 其中n i i i ,,,21 是n ,,2,1 这n 个数码的一个排列。这两个行列式间有什么关系？ 5．计算n 阶行列式a x a a a a a x a a a a a x a a a a a x ---- 6．计算行列式()()()()()()()()()()()()2 2 2 2 2222 2222 2222321321321321++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 7．证明：行列式 2 2 2 111222 22 21111112c b a c b a c b a b a a c c b b a a c c b b a a c c b =+++++++++ 8．设在n 阶行列式 nn n n n n a a a a a a a a a D 21 222 2111211 = 中，.0.,,2,1,,==-=D n n j i a a ji ij 是奇数时，证明：当 §1.3 子式和代数余式 行列式的依行依列展开 1．把行列式01111 1101 101------d c b a 依第三行展开，然后加以计算． 2．计算以下行列式: ()3 214 214314324321 i ()2010411063143211111ii () 49 362516362516925169416941iii
. . 第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题