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第一部分 专项同步练习
第一章 行列式
一、单项选择题
1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).
(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351
2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)
k n -2
! (D)k n n --2)1(
3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.
(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n
4．
=0
00100100
1001
000( ).
(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
5.
=0
00110000
0100
100( ).
(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
6．在函数1
3232
111
12)(x x x
x
x f ----=
中3x 项的系数是( ).
(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
7. 若2
1
33
32
31
232221
131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32
3133
31
2221232112
111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若
a a a a a =22
2112
11，则
=21
11
2212ka a ka a ( ).
(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-
9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为
x ,1,5,2-, 则=x ( ).
(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2
10. 若5
7341111
1
326
3
478
----=
D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0
11. 若2
23
5
001
01
11
10
403
--=
D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0
12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组???
??=++=++=++0
00321
321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.
( )
(A)1- (B)2- (C)3- (D)0
二、填空题
.
.
1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.
2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.
3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是
.
4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于
.
5. 行列式
=
10011101
0100
111.
6．行列式
=-0
0010000
200
0010
n n .
7．行列式
=--0
01)
1(2211)
1(111
n n n n a a a a a a .
8．如果M a a a a a a a a a D ==3332
31232221
13
1211
，则=---=32
32
3331
2222232112121311
133333 3a a a a a a a a a a a a D .
9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为
.
10．行列式
=
--+---+---11
1
1
111111111111x x x x .
11．n 阶行列式
=+++λ
λλ
11
11
11111
.
12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为
.
13．设行列式5
67812348
7654
321=
D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，
则=
+++44434241234A A A A .
14．已知d
b c a c
c a b b a b c a c
b a D =
， D 中第四列元的代数余子式的和为.
15．设行列式62
21176514
4334
321-==
D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则
=+4241A A ，=
+4443A A .
.
.
16．已知行列式n
n D
0010301
021
12531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为
.
17．齐次线性方程组???
??=+-=+=++0
0202321
2
1321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.
18．若齐次线性方程组???
?
?=+--=+=++0
230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.
三、计算题
1.
c
b a d b a d
c a
d c b d
c
b
a
d c b a d c b a
++++++++3
3
3
3
2222; 2．y
x
y
x x y x y y x y x +++；
3．解方程00
110
111011
1
0=x x x
x ； 4．1
111
11
32
1321221221
221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a x
a a a a x
；
5. n
a a a a 1
11111
1
11111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)； 6. b
n b b ----)1(11
11
21111131111
7. n a b b b a a b b a a a b 3
21222
111111111； 8．x
a a a a x a a a a x a a a a x n n
n
3
2
1212121;
9.
2
21
22
21212
121111n
n n n
n
x x x x x x x x x x x x x x x +++
; 10. 2
100012000002100
1
2
1
00012
11．a
a a a
a a a a a
D ---------=110
11000110
0011
0001.
.
.
四、证明题
1．设1=abcd ，证明：
01
111111111112
22
22
222=++++
d
d
d
d c c c c b b b b a a a a .
2．3
3
3
222
11123
333322
22211
111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a x
b a -=++++++.
3．))()()()()()((1111
4
4
4
4
2222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a d c b a +++------=.
4．
∏∑≤<≤=----=n
j i i j
n
i i
n
n
n n
n n
n n n
n
a a
a a a a a a a a a a a a a 11
2
122221222
212
1)(111
.
5．设c b a ,,两两不等，证明01
1
1
3
33=c b a c b
a 的充要条件是0=++c
b a .