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初中数学方差的几种常见应用

方差的几种常见应用

名师点金：用方差解决实际应用问题，主要是通过计算实际问题中数据的离散程度，从而得出哪个稳定性更好，进行“择优选用”．

工业方面的应用

1．为了比较市场上甲、乙两种电子钟每日走时误差的情况，从这两种电子钟中，各随机抽取10台进行测试，两种电子钟走时误差的数据(单位：s)如下表：

(1)计算甲、乙两种电子钟走时误差的平均数．

(2)计算甲、乙两种电子钟走时误差的方差．

(3)根据经验，走时稳定性较好的电子钟质量更优．若两种类型的电子钟价格相同，请问：你会买哪种电子钟？为什么？

农业方面的应用

2．王大伯几年前承包了甲、乙两片荒山，各栽100棵杨梅树，成活率为98%，现已挂果，经济效益初步显现．为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了4棵树上的杨梅，每棵树的产量如折线统计图所示．

(1)分别计算甲、乙两山样本的平均数，并估算出甲、乙两山杨梅的产量总和；

(2)试通过计算估计，哪片山上的杨梅产量较稳定．

(第2题)

教育科技方面的应用

3．七年级一班和二班各推选10名同学进行投篮比赛，按照比赛规则，每人各投了10个球，两个班选手的进球数统计如下表，请根据表中数据回答下列问题．

(1)分别求一班和二班选手进球数的平均数、众数、中位数．

(2)如果要从这两个班中选出一个班代表本年级参加学校的投篮比赛，争取夺得总进球数团体第一名，你认为应该选择哪个班？如果要争取个人进球数进入学校前三名，你认为应该选择哪个班？

社会生活方面的应用

4．在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶．如图是其中的甲、乙两段台阶路的示意图．请你用所学过的有关统计知识(平均数、中位数、方差和极差)回答下列问题：

(1)两段台阶路有哪些相同点和不同点？ (2)哪段台阶路走起来更舒服？为什么？

(3)为方便游客行走，需要重新整修上山的小路．对于这两段台阶路，在台阶数不变的情况下，请你提出合理的整修建议．

图中的数字表示每一级台阶的高度(单位：cm )，并且数据15，16，16，14，14，15的

方差s 甲2＝23，数据11，15，18，17，10，19的方差s 乙2＝35

(第4题)

答案

1．解：(1)甲种电子钟走时误差的平均数是1

(1－3－4＋4＋2－2＋2－1－1＋2)＝0(s )，

乙种电子钟走时误差的平均数是

10(4－3－1＋2－2＋1－2＋2－2＋1)＝0(s )． (2)s 甲2＝110[(1－0)2＋(－3－0)2＋…＋(2－0)2]＝1

×60＝6， s 乙2＝

110[(4－0)2＋(－3－0)2＋…＋(1－0)2]＝1

×48＝4.8. (3)我会买乙种电子钟，因为平均走时误差相同，且甲种电子钟走时误差的方差比乙

大，说明乙种电子钟的走时稳定性更好，所以乙种电子钟的质量更优．

2．解：(1)x

甲

＝1

(50＋36＋40＋34)＝40(kg )，x 乙

＝1

(36＋40＋48＋36)＝40(kg )，估计甲、乙两山杨梅的产量总和为40×100×98%×2＝7 840(kg )．

(2)s 甲2＝1

[(50－40)2＋(36－40)2＋(40－40)2＋(34－40)2]＝38，

s 乙2＝1

4[(36－40)2＋(40－40)2＋(48－40)2＋(36－40)2]＝24，所以s 甲2＞s 乙2.

所以乙山上的杨梅产量较稳定． 3．解：(1)一班选手进球数的平均数为1

(10×1＋9×1＋8×1＋7×4＋6×0＋5×3)＝7(个)，

二班选手进球数的平均数为

(10×0＋9×1＋8×2＋7×5＋6×0＋5×2)＝7(个)；一班投中7个球的有4人，人数最多，故众数为7个，二班投中7个球的有5人，人数最多，故众数为7个；

一班选手进球数按顺序排第五、第六名同学进7个球，故中位数为7个，二班选手进球数按顺序排第五、第六名同学进7个球，故中位数为7个． (2)一班选手进球数的方差s 12＝1

[(10－7)2＋(9－7)2＋(8－7)2＋4×(7－7)2＋0×(6－7)2＋3×(5－7)2]＝2.6，

二班选手进球数的方差s 22＝

[0×(10－7)2＋(9－7)2＋2×(8－7)2＋5×(7－7)2＋0×(6－7)2＋2×(5－7)2]＝1.4，

二班选手水平发挥更稳定，如果争取夺得总进球数团体第一名，应该选择二班；

一班前三名选手的成绩突出，分别进10个、9个、8个球，如果要争取个人进球数进入学校前三名，应该选择一班．

4．解：(1)因为x 甲＝1

(15＋16＋16＋14＋14＋15)＝15；

x 乙＝1

(11＋15＋18＋17＋10＋19)＝15.

甲路段的中位数为15；乙路段的中位数为16.

甲路段极差为16－14＝2；乙路段极差为19－10＝9. s 甲2＝23，s 乙2＝353

所以相同点：两段台阶路每一级台阶高度的平均数相同．不同点：两段台阶路每一级

台阶高度的中位数、方差和极差不同．

(2)甲段台阶路走起来更舒服一些，因为它的每一级台阶高度的方差小．

(3)每一级台阶高度均整修为15 cm(原数据的平均数)，使得方差为0，此时游客行走最方便．

(完整word版)常见分布的期望和方差

常见分布的期望和方差 x n (0,1) N()

概率与数理统计重点摘要 1、正态分布的计算：()()( )X F x P X x μ σ -=≤=Φ。 2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量，求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。（参见P66～72） 3、分布函数(,)(,)x y F x y f u v dudv -∞-∞ = ?? 具有以下基本性质： ⑴、是变量x ，y 的非降函数； ⑵、0(,)1F x y ≤≤，对于任意固定的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 关于x 右连续，关于y 右连续； ⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y <<　　，有下述不等式成立： 22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥ 4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan )(arctan )23 x y F x y πππ2=++22的概率密度为：2222 6(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π?==??++ 5、二维随机变量的边缘分布：边缘概率密度： ()(,)()(,)X Y f x f x y dy f y f x y dx +∞ -∞+∞ -∞ ==?? 边缘分布函数： ()(,)[(,)]()(,)[(,)]x X y Y F x F x f u y dy du F y F y f x v dx dv +∞ -∞-∞+∞ -∞ -∞ =+∞==+∞=?? ?? 二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。 6、随机变量的独立性：若(,)()()X Y F x y F x F y =则称随机变量X ，Y 相互独立。简称X 与Y 独立。

新人教版初中八年级数学下册《方差》教案

方差一. 教学目的： 1. 了解方差的定义和计算公式。 2. 理解方差概念的产生和形成的过程。 3. 会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小。二. 重点、难点和难点的突破方法： 1. 重点：方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题。 2. 难点：理解方差公式三. 例习题的意图分析： 1. 教材P125的讨论问题的意图：（1）.创设问题情境，引起学生的学习兴趣和好奇心。（2）.为引入方差概念和方差计算公式作铺垫。（3）.介绍了一种比较直观的衡量数据波动大小的方法——画折线法。（4）.客观上反映了在解决某些实际问题时，求平均数或求极差等方法的局限性，使学生体会到学习方差的意义和目的。 2. 教材P154例1的设计意图：（1）.例1放在方差计算公式和利用方差衡量数据波动大小的规律之后，不言而喻其主要目的是及时复习，巩固对方差公式的掌握。（2）.例1的解题步骤也为学生做了一个示范，学生以后可以模仿例1的格式解决其他类似的实际问题。四.课堂引入：除采用教材中的引例外，可以选择一些更时代气息、更有现实意

义的引例。例如，通过学生观看2004年奥运会刘翔勇夺110米栏冠军的录像，进而引导教练员根据平时比赛成绩选择参赛队员这样的实际问题上，这样引入自然而又真实，学生也更感兴趣一些。五. 例题的分析：教材P154例1在分析过程中应抓住以下几点： 1.题目中“整齐”的含义是什么？说明在这个问题中要研究一组数据的什么？学生通过思考可以回答出整齐即波动小，所以要研究两组数据波动大小，这一环节是明确题意。 2.在求方差之前先要求哪个统计量，为什么？学生也可以得出先求平均数，因为公式中需要平均值，这个问题可以使学生明确利用方差计算步骤。 3.方差怎样去体现波动大小？这一问题的提出主要复习巩固方差，反映数据波动大小的规律。六. 随堂练习： 1. 从甲、乙两种农作物中各抽取1株苗，分别测得它的苗高如下：（单位：cm）甲：9、10、11、12、7、13、10、8、12、8；乙：8、13、12、11、10、12、7、7、9、11；问：（1）哪种农作物的苗长的比较高？（2）哪种农作物的苗长得比较整齐？ 2. 段巍和金志强两人参加体育项目训练，近期的5次测试成绩如下表所示，谁的成绩比较稳定？为什么？

常见分布的期望和方差

常见分布得期望与方差 ?概率与数理统计重点摘要 1、正态分布得计算:。 2、随机变量函数得概率密度:就是服从某种分布得随机变量,求得概率密度:。(参见P66～72) 3、分布函数具有以下基本性质: ⑴、就是变量x,y得非降函数; ⑵、,对于任意固定得ｘ,y有:; ⑶、关于x右连续,关于y右连续; ⑷、对于任意得,有下述不等式成立: ４、一个重要得分布函数:得概率密度为: ５、二维随机变量得边缘分布: 边缘概率密度: 边缘分布函数:二维正态分布得边缘分布为一维正态分布、 6、随机变量得独立性:若则称随机变量Ｘ,Y相互独立、简称X与Y独立。 7、两个独立随机变量之与得概率密度:其中Z=X+Y

8、两个独立正态随机变量得线性组合仍服从正态分布,即。 9、期望得性质:……(３)、;(4)、若X,Y 相互独立,则。 10、方差: 。若X,Y 不相关,则,否则, 11、协方差:,若Ｘ,Y 独立,则,此时称:X 与Y 不相关。 1２、相关系数:,,当且仅当X 与Ｙ存在线性关系时,且 13、k 阶原点矩:,k 阶中心矩:。 1４、切比雪夫不等式:{} {}2 2 () () (),()1D X D X P X E X P X E X εεε ε -≥≤ -<≤- 或、贝努利大数定律:。 15、独立同分布序列得切比雪夫大数定律:因,所以。 1６、独立同分布序列得中心极限定理: (1)、当n 充分大时,独立同分布得随机变量之与得分布近似于正态分布。 (2)、对于得平均值,有,,即独立同分布得随机变量得均值当n 充分大时,近似服从正态分布、 (３)、由上可知:{}{}lim ()()()()n n n P a Z b b a P a Z b b a →∞ <≤=Φ-Φ?<≤≈Φ-Φ。 1７、棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理:设ｍ就是ｎ次独立重复试验中事件A 发生得次数,p 就是事件A 发生得概率,则对任意, , 其中。 (1)、当n 充分大时,m 近似服从正态分布,。 (2)、当ｎ充分大时,近似服从正态分布,。１８、参数得矩估计与似然估计:(参见P ２00) 19 20、关于正态总值均值及方差得假设检验,参见Ｐ243与P ２48。

中考数学试题平均数、中位数、众数、方差

知识点2：平均数，中位数，众数，方差一、选择题 1.（2008年浙江省衢州市）为参加电脑汉字输入比赛，甲和乙两位同学进行了6次测试，成绩如下表：甲和乙两位同学6次测试成绩(每分钟输入汉字个数)及部分统计数据表有四位同学在进一步算得乙测试成绩的方差后分别作出了以下判断，其中说法正确的是( ) A、甲的方差大于乙的方差，所以甲的成绩比较稳定； B、甲的方差小于乙的方差，所以甲的成绩比较稳定； C、乙的方差小于甲的方差，所以乙的成绩比较稳定； D、乙的方差大于甲的方差，所以乙的成绩比较稳定； 2.（2008淅江金华）金华火腿闻名遐迩。某火腿公司有甲、乙、丙三台切割包装机，同时分别装质量为500克的火腿心片。现从它们分装的火腿心片中各随机抽取10盒，经称量并计算得到质量的方差如表所示，你认为包装质量最稳定的切割包装机是（） A、甲 B、乙 C、丙 D、不能确定 3.(2008浙江义乌)国家实行一系列惠农政策后，农村居民收入大幅度增加．下表是2003年至2007年我市农村居民年人均收入情况（单位：元），则这几年我市农村居民年人均收入的中位数是( ) A．6969元B．7735元C．8810元D．10255元 4.（2008湖南益阳）某班第一小组7名同学的毕业升学体育测试成绩(满分30分)依次为：25,23,25,23,27,30,25，这组数据的中位数和众数分别是 A. 23,25 B. 23,23 C. 25,23 D. 25,25 5.(2008年浙江省绍兴市)在一次射击测试中，甲、乙、丙、丁的平均环数均相同，而方差分别为8.7， 6.5，9.1， 7.7，则这四人中，射击成绩最稳定的是（） A．甲B．乙C．丙D．丁 6.（2008年四川巴中市）下列命题是真命题的是（）

初二数学知识点归纳：方差

初二数学知识点归纳：方差初二数学知识点归纳：方差方差的计算、知识点归纳方差在考试中考察不是很难，记住基本公式往里带就能解答正确，但是方差的概念让不少同学为此很是头痛。那方差到底是什么，怎样计算呢，下面小编就为大家整理一些题型和解题方法技巧。一、概念和公式方差的概念与计算公式，例1 两人的次测验成绩如下：X：0，100，100，60，0 E(X)=72;：73，70，7，72，70 E()=72。平均成绩相同，但X 不稳定，对平均值的偏离大。方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。单个偏离是消除符号影响方差即偏离平方的均值，记为D(X)：直接计算公式分离散型和连续型，具体为：这里是一个数。推导另一种计算公式得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”。其中，分别为离散型和连续型计算公式。称为标准差或均方差，方差描述波动程度。基本定义：设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]2}存在，则称E{[X-E(X)]2}为X的方差，记为D(X),Var(X)或DX。即D(X)=E{[X-E(X)]2}称为方差，而σ(X)=D(X)0(与X有相同的量纲)称

为标准差(或均方差)。即用衡量一组数据的离散程度的统计量。方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度。(标准差、方差越大，离散程度越大。否则，反之)若X的取值比较集中，则方差D(X)较小,若X的取值比较分散，则方差D(X)较大。因此，D(X)是刻画X 取值分散程度的一个量，它是衡量取值分散程度的一个尺度。当数据分布比较分散(即数据在平均数附近波动较大)时，各个数据与平均数的差的平方和较大，方差就较大;当数据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较小。因此方差越大，数据的波动越大;方差越小，数据的波动就越小二、计算方法和原理若x1,x2,x3xn的平均数为则方差方差公式方差公式例1 两人的次测验成绩如下： X：0，100，100，60，0 E(X )=72; ：73，70，7，72，70 E( )=72。平均成绩相同，但X 不稳定，对平均值的偏离大。方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。单个偏离是消除符号影响方差即偏离平方的均值，记为D(X )：直接计算公式分离散型和连续型，具体为：这里是一个数。推导另一种计算公式得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”。

常见分布的期望和方差

5 概率与数理统计重点摘要 1、正态分布的计算：()()( )X F x P X x μ σ -=≤=Φ。 2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量，求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。（参见P66～72） 3、分布函数(,)(,)x y F x y f u v dudv -∞-∞ = ?? 具有以下基本性质： ⑴、是变量x ，y 的非降函数； ⑵、0(,)1F x y ≤≤，对于任意固定的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 关于x 右连续，关于y 右连续； ⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y <<　　，有下述不等式成立： 22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥ 4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan )(arctan )23 x y F x y πππ2=++22的概率密度为：2222 6(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π?==??++ 5、二维随机变量的边缘分布：边缘概率密度： ()(,)()(,)X Y f x f x y dy f y f x y dx +∞ -∞+∞ -∞ ==?? 边缘分布函数： ()(,)[(,)]()(,)[(,)]x X y Y F x F x f u y dy du F y F y f x v dx dv +∞ -∞-∞+∞ -∞ -∞ =+∞==+∞=?? ?? 二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。

九年级上数学全套试卷及答案

2005～2006学年度上期目标检测题九年级数学第一章证明（Ⅱ）班级姓名学号成绩一、判断题（每小题2分，共10分）下列各题正确的在括号内画“√”，错误的在括号内画“×”. 1、两个全等三角形的对应边的比值为1 . （） 2、两个等腰三角形一定是全等的三角形. （） 3、等腰三角形的两条中线一定相等. （） 4、两个三角形若两角相等，则两角所对的边也相等. （） 5、在一个直角三角形中，若一边等于另一边的一半，那么，一个锐角一定等于30°.（）二、选择题（每小题3分，共30分）每小题只有一个正确答案，请将正确答案的番号填在括号内. 1、在△ABC 和△DEF 中，已知AC=DF ，BC=EF ，要使△ABC ≌△DEF ，还需要的条件是（） A 、∠A=∠D B 、∠C=∠F C 、∠B=∠E D 、∠C=∠D 2、下列命题中是假命题的是（） A 、两条中线相等的三角形是等腰三角形 B 、两条高相等的三角形是等腰三角形 C 、两个内角不相等的三角形不是等腰三角形 D 、三角形的一个外角的平分线平行于这个三角形的一边，则这个三角形是等腰三角形 3、如图(一)，已知AB=AC ，BE=CE ，D 是AE 上的一点，则下列结论不一定成立的是（） A 、∠1=∠2 B 、AD=DE C 、BD=C D D 、∠BDE=∠CDE 4、如图（二），已知AC 和BD 相交于O 点，AD ∥BC ，AD=BC ，过O （一）任作一条直线分别交AD 、BC 于点E 、F ，则下列结论：①OA=OC ②OE=OF ③AE=CF ④OB=OD ，其中成立的个数是（） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 5、若等腰三角形的周长是18，一条边的长是5，则其他两边的长是（）（二） A 、5，8 B 、6.5，6.5 C 、5，8或6.5，6.5 D 、8，6.5 6、下列长度的线段中，能构成直角三角形的一组是（） A 、543，，； B 、6， 7， 8； C 、12， 25， 27； D 、245232，， 7、如图（三），AC=AD BC=BD ，则下列结果正确的是（）（三） A 、∠ABC=∠CA B B 、OA=OB C 、∠ACD=∠BDC D 、AB ⊥CD 8、如图（四），△ABC 中，∠A=30°，∠C=90°AB 的垂直平分线交AC 于D 点，交AB 于E 点，则下列结论错误的是（） A 、AD=D B B 、DE=DC C 、BC=AE D 、AD=BC （四）

方差和标准差知识讲解

方差和标准差——知识讲解责编：杜少波【学习目标】 1. 了解方差和标准差的概念，会计算简单数据的方差，体会它们刻画数据离散程度的意义； 2. 知道可以通过样本的方差来推断总体的方差.能解释统计结果，根据结果作出简单的判断和预测； 3. 能综合运用统计知识解决一些简单的实际问题. 【要点梳理】要点一、方差和标准差 1.方差在一组数据12,,n x x x …，中，设它们的平均数是x ，各数据与平均数的差的平方的平均数()[] 222212 )(...)(1 x x x x x x n S n -++-+-= 叫做这组数据的方差. 方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定. 要点诠释：（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况. 方差越大，稳定性越差；反之，则稳定性越好．（2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变. （3）一组数据的每一个数据都变为原来的k 倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的2 k 倍. 2.标准差一般地，一组数据的方差的算术平方根称为这组数据的标准差. 要点诠释：（1）标准差的数量单位与原数据一致. （2）一组数据的方差或标准差越小，这组数据的离散程度越小，这组数据就越稳定. 要点二、方差和标准差的联系与区别联系：方差和标准差都是用来衡量一组数据偏离平均数的大小（即波动大小）的指标，常用来比较两组数据的波动情况. 区别：方差是用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的方法得到的结果，主要反映整组数据的波动情况，是反映一组数据与其平均值离散程度的一个重要指标，每个数据的变化都将影响方差的结果，是一个对整组数据波动情况更敏感的指标. 在实际使用时，往往计算一组数据的方差，来衡量一组数据的波动大小. 方差的单位是原数据单位的平方，而标准差的单位与原数据单位相同. 【典型例题】类型一、方差和标准差 1. 一组数据－2，－1，0，1，2的方差是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

初中数学九年级上下册知识点总结

[九年级(上册) 第一章证明(二) ※等腰三角形的“三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 ※等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的直角三角形，其中一个锐角等于30o，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。 ※有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形。 ※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有： ①勾股定理：2 22c b a =+（注意区分斜边与直角边） ②在直角三角形中，如有一个内角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半 ③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现） ※垂直平分线．．．．．是垂直于一条线段．．并且平分这条线段的直线．．。（注意着重号的意义） <直线与射线有垂线，但无垂直平分线> ※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。 ※线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ※三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。（如图1所示， AO=BO=CO ） ※角平分线上的点到角两边的距离相等。 ※角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 ※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。 (如图2所示，OD=OE=OF) 第二章一元二次方程 ※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02 =++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．．。 ※把02 =++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项。 ※解一元二次方程的方法：①配方法 <即将其变为0)(2 =+m x 的形式> ②公式法 a ac b b x 242-±-= （注意在找ab c 时须先把方程化为一般形式） ③分解因式法把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘”） A C B O 图1 图2 O A C B D E F

八年级初二数学《极差、方差和规范差》知识点

欢迎阅读页脚内容八年级数学《极差、方差和标准差》知识点极差、方差、标准差都是用来研究一组数据的离散程度，表示一组数据离散程度的指标．一、定义理解 1、极差极差是用来反映一组数据变化范围的大小．我们可以用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差就称为极差．极差＝最大值－最小值极差仅只表示一组数据变化范围的大小，只对极端值较为敏感，而不能表示其它更多的意义． 2 2S 表 s 23将个数据12x x ，方例1、甲、乙两支篮球队在一次联赛中，各进行10次比赛得分如下：甲队：100，97，99，96，102，103，104，101，101，100 乙队：97，97，99，95，102，100，104，104，103，102 （1）求甲、乙两队的平均分和极差？（2）计算甲、乙两队的方差与标准差，并判断哪支球队发挥更为稳定？解：（1）3.10010010110110410310296999710010 1）＝（＝甲+++++++++?x 甲队的极差＝104－96＝8；甲队的极差＝104－95＝9 （2）61.5])3.100100()3.10099()3.100100[(10 12222＝甲-++-+-= S

欢迎阅读页脚内容甲队的标准差：37.261.5≈；乙队的标准差：03.321.9≈ 所以，由此可以判断甲队的得分方差小，标准差也相应较小，因此他们在联赛中发挥更为稳定一些．例2、对10盆同一品种的花施用甲、乙两种花肥，把10盆花分成两组，每组5盆，记录其花期：甲组：25，23，28，22，27 乙组：27，24，24，27，23 （1）10盆花的花期最多相差几天？（2）施用何种花肥，花的平均花期较长？（3）施用哪种保花肥效果更好？分析：花期的极差就是花期最多相差的天数，花的平均花期就是分别求得甲、乙两组数据的平得2甲S 1.2.0， 3.4. 5.． 6.x

初中数学九年级知识点大全

初三数学各章节重要知识点梳理第21章二次根式 1．二次根式：一般地，式子)0a (,a ≥叫做二次根式. 注意：（1）若0a ≥这个条件不成立，则 a 不是二次根式；（2）a 是一个重要的非负数，即；a ≥0. 2．重要公式：（1）)0a (a )a (2≥=,（2）???<-≥==) 0a (a )0a (a a a 2 ； 3．积的算术平方根：)0b ,0a (b a ab ≥≥?= 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积； 4．二次根式的乘法法则： )0b ,0a (ab b a ≥≥=?. 5．二次根式比较大小的方法：（1）利用近似值比大小；（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；（3）分别平方，然后比大小. 6．商的算术平方根： )0b ,0a (b a b a >≥=，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 7．二次根式的除法法则：（1） )0b ,0a (b a b a >≥= ；（2）)0b ,0a (b a b a >≥÷=÷；（3）分母有理化的方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式. 8．最简二次根式：（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，① 被开方数的因数是整数，因式是整式，② 被开方数中不含能开的尽的因数或因式；（2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母；（3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式. 10．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. 12．二次根式的混合运算：（1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等. 第22章一元二次方程 1. 一元二次方程的一般形式: a ≠0时，ax 2 +bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、 c ；其中a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式. 2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少. 3. 一元二次方程根的判别式: 当ax 2 +bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2 -4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题： Δ＞0 <=> 有两个不等的实根； Δ=0 <=> 有两个相等的实根；Δ＜0 <=> 无实根； 4．平均增长率问题--------应用题的类型题之一（设增长率为x ）： (1) 第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2 . （2）常利用以下相等关系列方程：第三年=第三年或第一年+第二年+第三年=总和. 第23章旋转 1、概念：把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．旋转三要素：旋转中心、旋转方面、旋转角 2、旋转的性质：（1）旋转前后的两个图形是全等形；（2）两个对应点到旋转中心的距离相等（3）两个对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角 3、中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 4、中心对称的性质：（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．（2）关于中心对称的两个图形是全等图形． 5、中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 6、坐标系中的中心对称第24章圆 1、（要求深刻理解、熟练运用）

常见分布的期望和方差

概率与数理统计重点摘要 1、正态分布的计算：()()()X F x P X x μ σ-=≤=Φ。 2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量，求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。（参见P66～72） 3、分布函数(,)(,)x y F x y f u v dudv -∞-∞=??具有以下基本性质： ⑴、是变量x ，y 的非降函数； ⑵、0(,)1F x y ≤≤，对于任意固定的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 关于x 右连续，关于y 右连续； ⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y <<　　，有下述不等式成立： 22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥ 4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan )(arctan )23 x y F x y πππ2=++22的概率密度为：22226(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π?==??++ 5、二维随机变量的边缘分布：边缘概率密度：()(,)()(,)X Y f x f x y dy f y f x y dx +∞-∞ +∞-∞==? ? 边缘分布函数：()(,)[(,)]()(,)[(,)]x X y Y F x F x f u y dy du F y F y f x v dx dv +∞ -∞ -∞+∞-∞-∞=+∞==+∞=???? 二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。 6、随机变量的独立性：若(,)()()X Y F x y F x F y =则称随机变量X ，Y 相互独立。简称X 与Y 独立。

初中数学方差的几种常见应用

方差的几种常见应用名师点金：用方差解决实际应用问题，主要是通过计算实际问题中数据的离散程度，从而得出哪个稳定性更好，进行“择优选用”．工业方面的应用 1．为了比较市场上甲、乙两种电子钟每日走时误差的情况，从这两种电子钟中，各随机抽取10台进行测试，两种电子钟走时误差的数据(单位：s)如下表： (1)计算甲、乙两种电子钟走时误差的平均数． (2)计算甲、乙两种电子钟走时误差的方差． (3)根据经验，走时稳定性较好的电子钟质量更优．若两种类型的电子钟价格相同，请问：你会买哪种电子钟？为什么？

农业方面的应用 2．王大伯几年前承包了甲、乙两片荒山，各栽100棵杨梅树，成活率为98%，现已挂果，经济效益初步显现．为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了4棵树上的杨梅，每棵树的产量如折线统计图所示． (1)分别计算甲、乙两山样本的平均数，并估算出甲、乙两山杨梅的产量总和； (2)试通过计算估计，哪片山上的杨梅产量较稳定． (第2题) 教育科技方面的应用 3．七年级一班和二班各推选10名同学进行投篮比赛，按照比赛规则，每人各投了10个球，两个班选手的进球数统计如下表，请根据表中数据回答下列问题． (1)分别求一班和二班选手进球数的平均数、众数、中位数． (2)如果要从这两个班中选出一个班代表本年级参加学校的投篮比赛，争取夺得总进球数团体第一名，你认为应该选择哪个班？如果要争取个人进球数进入学校前三名，你认为应该选择哪个班？

社会生活方面的应用 4．在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶．如图是其中的甲、乙两段台阶路的示意图．请你用所学过的有关统计知识(平均数、中位数、方差和极差)回答下列问题： (1)两段台阶路有哪些相同点和不同点？ (2)哪段台阶路走起来更舒服？为什么？ (3)为方便游客行走，需要重新整修上山的小路．对于这两段台阶路，在台阶数不变的情况下，请你提出合理的整修建议．图中的数字表示每一级台阶的高度(单位：cm )，并且数据15，16，16，14，14，15的方差s 甲2＝23，数据11，15，18，17，10，19的方差s 乙2＝35 3 . (第4题)

数学人教版九年级上册初中数学

新人教版初中数学九上圆周角教学设计一、内容和内容解析本节教学内容源于人教版九年级上册“24.1.4圆周角”，属于“空间与图形”领域中“圆”的内容。圆心角、圆周角是与圆有关的角，圆周角是在垂径定理、圆心角及弧、弦、圆心角的关系定理的基础上学习的。圆周角定理及其推论对于角的计算、证明角相等、弧、弦相等以及证明圆中三角形相似等数学问题提供了十分便捷的方法和思路。圆周角定理的证明，采用完全归纳法，通过分类讨论，把一般问题转化为特殊情况来证明，渗透了分类讨论和一般到特殊的化归思想，使学生学会化未知为已知、化复杂为简单、化一般为特殊或化特殊为一般的思考方法，提高学生分析问题和解决问题的能力，进一步发展学生的逻辑思维能力和演绎推理能力。教学过程中，应注意积极创设问题情境，突出图形性质的探索过程，垂视直观操作和逻辑推理的有机结合，通过多种手段，如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来发现和探索圆心角与圆周角、圆周角之间的数量关系，同时还要求学生能对发现的性质进行证明，使直观操作和逻辑推理有机的整合在一起，使推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续。基于上述分析，确定本节教学重点是：直观操作与推理论证相结合，探索并论证圆周角定理及其推论，发展推理能力，渗透分类讨论和化归等数学思想和方法。二、目标和目标解析 1．理解圆周角的定义。通过与圆心角的类比，明确圆周角的两个特征：①顶点在圆上；②两边都与圆相交，会在具体情景中辨别圆周角。 2．掌握圆周角定理及其推论。经历操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动，体验圆周角定理的探索过程，发展学生的逻辑思维能力和推理论证以及用几何言语表达的能力；提高运用数学解决实际问题的意识和能力，同时对学生进行辩证唯物主义的教育。 3．通过对圆周角定理的论证，渗透分类讨论、化归等数学思想和方法。 4．引导学生对图形进行观察、研究、添加辅助线，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，培养学习的自信心。三、问题诊断分析教师教学可能存在的问题：（1）创设问题情景，以具体的实际问题为载体，引导学生对概念和性质的学习是新课程倡导的教学方法，在本课中要求列举一些典型的、贴近学生生活实际的例子是不容易做到的；（2）不能设计有效的数学问题，使学生通过有思维含量的数学问题，展开有效的数学教学活动，引导学生积极地探索圆周角的性质，发展学生的教学思维；（3）过分强调知识的获得，忽略了数学思想和方法的渗透；（4）对学生学习过程中所体现出来的态度和情感关注不够，以至于不能很好地激发好奇心和求知欲，体验成功的乐趣，培养自信心。学生学习中可能出现的问题：（1）对圆柱形海洋馆的构造缺乏了解，致使不能很好地理解视角、圆周角等概念；（2）对完全归纳法、分类讨论等数学思想和方法理解有困难；（3）一般到特殊的转化、辅助线的添加、论证过程的书写等都将是学生学习过程中的弱点。鉴于上述分析，确定本节的教学难点是：列举典型的、贴近学生生活实际的例子，通过设计有效的、有思维含量的数学问题，激活学生的数学思维，引导探索圆周角的性质，理解分类讨论证明数学命题的思想和方法。四、教学支持条件设计教学中，为帮助学生更好地探索发现圆周角与同弧所对的圆心角的关系，在学生动手操作的基础上，利用《几何画板》的度量功能和动画功能，准确、全面验证在试验操作中发现的结论，直观、形象地展现了同弧所对的圆周角与圆心角及同弧所对的圆周角之间的关系，感受过程的真实性，增强了学生的参与程度，提高了学习的积极性。

常见分布的期望和方差78835

常见分布的期望和方差 5

初中数学公式：方差公式

初中数学公式：方差公式一．方差的概念与计算公式例1两人的5次测验成绩如下： X：50，100，100，60，50E(X)=72； Y：73，70，75，72，70E(Y)=72。平均成绩相同，但X不稳定，对平均值的偏离大。方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。单个偏离是消除符号影响方差即偏离平方的均值，记为D(X)：直接计算公式分离散型和连续型，具体为：

这里是一个数。推导另一种计算公式得到：方差等于平方的均值减去均值的平方。其中，分别为离散型和连续型计算公式。称为标准差或均方差，方差描述波动二．方差的性质 1．设C为常数，则D(C)=0（常数无波动）； 2．D(CX)=C2D(X)（常数平方提取）；证：特别地D(-X)=D(X)，D(-2X)=4D(X)（方差无负值） 3．若X、Y相互独立，则证：记

则前面两项恰为D(X)和D(Y)，第三项展开后为当X、Y相互独立时，，故第三项为零。特别地独立前提的逐项求和，可推广到有限项。方差公式：平均数：M=(x1+x2+x3++xn)/n（n表示这组数据个数，x1、x2、x3xn表示这组数据具体数值）方差公式：Ssup2；=〈(M－x1)sup2；+(M－x2)sup2；+(M －x3)sup2；++(M－xn)sup2；〉╱n

三．常用分布的方差 1．两点分布 2．二项分布 X~B(n，p) 引入随机变量Xi（第i次试验中A出现的次数，服从两点分布）， 3．泊松分布（推导略） 4．均匀分布另一计算过程为 5．指数分布（推导略） 6．正态分布（推导略）

鲁教版初中数学九年级上册数学测试题

鲁教版初中数学九年级上册数学测试题 Last revised by LE LE in 2021

初四数学试题一、选择题：本题共12个小题，每个小题均给出A 、B 、C 、D 四个选项，只有一个是正确的，请将正确答案的标号填在选择题的答题表的相应位置.本题共48分）. 1. 三角形在正方形网格纸中的位置如图1所示，则sin α的值是（）Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45 2、如图2，某飞机于空中A 处探测到地平面目标B ，此时从飞机上看目标B 的俯角α=30°，飞行高度AC=1200米，则飞机到目标B 的距离AB 为（） A 、1200m B 、2400m C 、4003m D 、12003m 3、在正方形网格中，△ABC 的位置如图3所示，则cos ∠B 的值为（）Ａ．12 B ．22 C ．32 D ．33 4、在Rt △ABC 中，∠C=90°，若tanA=4 3，则sinA=（）Ａ、3 4 B 、43 C 、3 5 D 、53 5．若点（2，5），（4，5）是抛物线c bx ax y ++=2上的两个点，那么这条抛物线的对称轴是（） A ．直线1=x B ．直线2=x C ．直线3=x D ．直线4=x 6．若抛物线c bx ax y ++=2的顶点在第一象限，与x 轴的两个交点分布在原点两侧，则点（a ， a c ）在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 7．若双曲线)0(≠=k x k y 的两个分支在第二、四象限内，则抛物线222k x kx y +-= 的图象大致是图中的（） _x _y _O _x _y _O _x _y _O _O _y _x _D _C _B _A α 图1 α图3 A B C （图2

方差初中数学教案

素质教育目标（一）知识教学点使学生了解方差、标准差的意义，会计算一组数据的方差与标准差. （二）能力训练点 1．培养学生的计算能力. 2．培养学生观察问题、分析问题的能力，培养学生的发散思维能力. （三）德育渗透点 1．培养学生认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯. 2．渗透数学来源于实践，又反过来作用于实践的观点. （四）美育渗透点通过本节课的教学，渗透了数学知识的抽象美及反映在图像上的形象美，激发学生对美好事物的追求，提高学生对数学美的鉴赏力. 重点·难点·疑点及解决办法 1．教学重点：方差概念. 2．教学难点：方差概念. 3．教学疑点：学生不易理解为什么要用方差去描述一组数据的波动大小，为什么不可以用各数据与其平均数的差的来和来衡量这组数据的波动大小呢？为什么对各数据与其平均数的差不取其绝对值，而将其平方呢？对这些问题教师在剖析方差定义时要讲清楚. 4．解决办法：教师要讲清方差，标准差的意义，即它们都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小，我们所研究的仅是这两组数据的个数相等，平均数相等或比较接近时的情况. 教学步骤（一）明确目标前面我们学习了平均数、众数及中位数，它们都是描述一组数据的集中趋势的量，这节课我们将进一步学习衡量样本（或一组数据）和总体的另一类特征数——方差、标准差及其计算. 这种开门见山式引入课题，能迅速将学生的注意力集中起来，进入新课讲解. （二）整体感知对于一组数据来说，我们除了关心它的集中趋势以外，还关心它的波动大小.衡量这个波动大小的最常用的特征数，就是方差和标准差. （三）教学过程 1．请同学们看下面的问题：（用幻灯出示）两台机床同时生产直径是40毫米的零件，为了检验产品质量，从产品中各抽出10件进行测量，结果如下（单位：毫米）width=40>机床甲width=39>40 width=39>39．8 width=39>40．1 width=39>40．2 width=39>39．9 width=39>40 width=39>40．2 width=39>39．8 width=39>40．2 width=39>39．8 width=40>机床乙 width=39>40 width=39>40 width=39>39．9 width=39>40 width=39>39．9 width=39>40．2 width=39>40 width=39>40．1 width=39>40 width=39>39．9 上面表中的数据如图所示教师引导学生观察表格中的数据和图，提出问题：怎样能说明在使所生产的10个零件的直径符合规定方面，哪个机床做得好呢？对于这个问题，学生会马上想到计算它们的平均数．教师可把学生分成两级分别计算这两组数据的平均数．（请两名同学到黑板计算）

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