2012届本科毕业论文
第一数学归纳法及其应用
院（系）名称数学科学学院专业名称数学与应用数学学生姓名
学号
指导教师
完成时间2012.5
第一数学归纳法及其应用
摘要：数学归纳法是数学思维方法中最重要、最常用的方法之一, 这不仅因为其中大量问题都与自然数有关, 更重要的是它贯穿于发现问题和解决问题的全过程. 本文对数学归纳法的由来、运用技巧以及需要注意的问题进行较为完整的系统论述. 重点阐述了第一数学归纳法的精髓和一般的解题思路, 以及在求解数学问题中的应用和技巧.
关键词：归纳法第一数学归纳法不等式数列
1 引言
对于数学归纳法的研究国内已有不少论文, 这些论文在具体方面做了详尽的论述. 同时还有数量不少的论文从数学归纳法的细微处着眼. 我国的数学期刊或数理杂志, 如《数学教育报》, 《数学通报》, 《数学通讯》等, 刊载的相关文章都从各个角度具体阐述了数学归纳法的常见问题. 数学归纳法是数学中一种重要的证明方法, 也是中学数学一个非常重要的内容, 用于证明与无穷的自然数集相关的命题. 但凡涉及无穷, 总会花费数学家大量时间与精力, 去理解并弄清它的真正意义. 普通归纳法与自然数这一最古老的数学概念及“无穷”这个无法直观感觉的概念相结合的“数学归纳法”, 自然也需要一个漫长的认识过程.在16世纪晚期, 数学归纳法开始出现在代数中. 1575年意大利数学家莫洛里克斯（1494-1575）在他的著作《算术》中就提出了这种方法, 并证明了
2
135(21)
+++++=, 虽然莫洛里克斯并没有把数学归纳法贯彻到底, 例如n n
经有限的验证后便以“等等”一类的话代替了必要的演绎, 但是可以说莫洛里克斯算是一个与数学归纳法有关的一个早期的数学家, 一般认为, 历史上第一次成功利用数学归纳法的是17世纪法国数学家帕斯卡（1623-1662）, 1654年, 帕斯
卡第一次用数学归纳法证明了指数为正整数时的二项式()n
展开式的系数公式,
a b
从而得到有名的帕斯卡三角阵.
继帕斯卡之后, 数学归纳法就成为数学家们手中得心应手的工具, 如在费马（1601-1665）、伯努力（1654-1705）、欧拉（1707-1783）这些大数学家们的出色工作中, 都可以找到数学归纳法的例子, 1889年意大利数学家皮亚诺(C·Peano, 1858～1932, 意大利)发表《算术原理新方法》, 给出自然数的公里
体系, 使数学归纳法有了一个准确、合理的理论基础．现在开始我们重新认识一
下数学归纳法.
2 数学归纳法的原理
2.1 归纳法在现实中的一些运用
先从少数的事例中摸索出规律来, 再从理论上来证明这一规律的一般性, 这
是人们认识客观世界的方法之一. 不论在数学上, 或在其他场合, 从对一系列具
体事物的考察中引出一般性结论的推理方法或过程, 叫做归纳法. 人们从有限的
经验中得出经验性的结论是屡见不鲜的, 在这个过程中人们自觉或不自觉地运用
了归纳法. 许多闪烁着人类思想光芒的谚语、成语、格言等, 都是应用归纳法的
产物. 如“兵贵神速”、“骄兵必败”, 都是对战争的胜负规律的一种认识, 同
样“滴水石穿”、“有志竟成”是人们考察了古往今来许多有成就者的经历后得
出的.
2.2 数学归纳法的本原
理解了归纳法我们再具体到数学中来, 以识数为例. 小孩子识数, 先学会数
1个、2个、3个, 过些时候, 能够数到10了, 又过些时候, 会数到20, 30, …100了, 但后来, 就不再是这样一段段地增长了, 而是飞越前进. 倒了某个时候, 他领悟了, 就什么数都会数了, 这一飞跃, 竟是从有限到无穷!怎样会有这种方
式呢? 首先, 他知道从头数; 其次, 他知道一个一个按次序数, 而且不愁数了一
个以后, 下一个不会数, 也就是领悟了下一个数的表达方式, 可以由上一个数来
决定, 于是, 他也就会数任何数了. 解释这个飞跃的原理就是, 正是运用了数学
归纳法的思想, 数学归纳法大大地帮助我们认识客观事物, 由简到繁, 由有限到无穷.
1979年6月9日, 在英国伦敦, 一群记者和上千名观众静静注视着一个人,急切的等待着一项基尼斯世界纪录的诞生. 这个人就是迈克·凯尼, 他用13天的时间, 用了169713块骨牌搭出一个长达6900米的多米诺牌阵, 当迈克·凯尼走到第一块骨牌前, 用手轻轻推到它时, 奇迹出现了——将近17万张骨牌组成的长达6900米的多米诺阵在半小时内统统颠覆. 这就是神奇的多米诺现象, 在这个过程中要使所有的骨牌倒下必须满足两个条件, （1）第一块骨牌倒下；（2）任意两块相邻骨牌, 只要前一块倒下, 后一块必定倒下. 这样我们就会发现这与数学中一个极其重要的证明方法——数学归纳法如出一辙. 并且摆多米诺阵的人应该注意的关键问题竟然也和使用数学归纳法的人应该注意的关键问题神似韵合. 2.3 命题的长蛇阵
在前面我们屡次提到数学归纳法, 那么究竟什么是数学归纳法？我们现在先看一个命题.
试证：在一个正方形的纸上有n个点, 已知这n个点连同正方形的4个顶点, 其中任意3点都不共线．试证：至多可以剪得顶点属于上述4
n+个点的三角形纸片22
n+个．
我们可以把这个命题看成是无穷多个命题组合而成, 这无穷多个命题列举如下：
命题1：在一个正方形纸上有1个点, 已知这5个点中任意3点都不共线, 证明：至多可以剪得顶点属于上诉5个点的三角形4个.
命题2：在一个正方形纸上有2个点, 已知这6个点中任意3点都不共线, 证明：至多可以剪得顶点属于上诉6个点的三角形6个.
命题3：在一个正方形纸上有3个点, 已知这7个点中任意3点都不共线, 证明：至多可以剪得顶点属于上诉7个点的三角形8个.
……
命题k：在一个正方形纸上有k个点, 已知这4
k+个点中任意3点都不共线证明：至多可以剪得顶点属于上诉4
k+个.
k+个点的三角形22
命题1
k+个点中任意3点都不
k+个点, 已知这5
k+:在一个正方形纸上有1
共线, 证明：至多可以剪得顶点属于上诉5
k++个.
k+个点的三角形2(1)2上述无穷多个命题排成了一个命题的长蛇阵, 它像无穷多个骨牌, 一个接着一个的摆放在那里. 如何证明这无穷多个命题呢？
命题1的证明：当正方形内有一点, 且五点不共线, 则可以如图1所示, 得到4个三角形. 命题1得证.
命题2的证明：根据命题1, 当正方形中有2点, 则另外一点一定在上题所分的4个三角行中任一个中, 假设如图2所示, 则可看作这一点把其中一个分成3个, 即多了2个, 有6个, 命题2得证.
命题3的证明：根据命题2, 当正方形中有3点, 则另外一点一定在上题所分6个三角形中任一个中, 假设如图3所示, 则可看作是这一点把其中一个分成了3个, 即多了2个, 共有8个, 命题3得证.
继续这个过程, 我们可以依次证明命题4、命题5、……. 也就是说, 我们可以证明这一系列命题中的任何一个命题. 因此, 一开始给出的命题, 当n是任意自然数时都是正确的.
（图1）（图2）（图3）
2.4 什么是数学归纳法
在上一部分, 我们把一个与自然数有关的命题写成一个命题长蛇阵, 然后依次来证明, 这种方法显然给人一种繁琐的感觉. 但是我们可以看到, 从命题2开始, 命题长蛇阵中的每一个命题都是在前一个命题成立的基础上被证明的, 并且证明的方式很类似. 也就是说, 命题1
k+是在命题k成立的基础上被证明的. 因此我们处理长蛇阵的方法可以改用以下两步：1.证明命题1成立;2.根据命题k成立, 推出命题1
k+成立. 这样根据第二步可知以后每个命题都成立. 可见, 有这
两步已经足够了. 如果把命题长蛇阵里的一个命题比作一块骨牌, 那么第二步就
像把这些骨牌统统摆到了能产生“多米诺”现象的位置, 第一步恰如用手指轻轻
地推倒了第一块骨牌. 仅用这两步就可以使命题长蛇阵中的每一个命题一个接一
个的自动证明.
一般来说, 一个与自然数n有关的命题可以看成是一个命题长蛇阵. 1
n=时
为命题1, 2
n=时为命题2, 依次类推. 因此, 在证明一个与自然数有关的命题时, 可以采用以下两步：
()1证明1
n=时命题成立；
()2证明：如果n k=时命题成立, 那么1
n k
=+时命题也成立.
这种证明方法就叫做数学归纳法. 这种方法也可以概括为：“1对；假设n对, 那么1
n+也对”. 这种概括是著名数学家华罗庚提出来的.
2.5 数学归纳法的历史与原理
在前面的论述中我们从游戏入手已经基本理解了数学归纳法的基本思想和主
要步骤, 那么什么事保证数学归纳法的正确性呢？数学归纳法的背景是什么呢？
在这里我们简要地介绍一下数学归纳法的理论背景.
意大利有一个数学家, 名叫皮亚诺(C·Peano, 1858～1932, 意大利), 他总
结了自然数的有关性质, 并在关于自然数的理论中提出了关于自然数的五条公理, 后人称为“皮亚诺公理”.
()1 1是一个自然数；
()2 1不是任何其他自然数的后继；
()3每个自然数的后继是自然数；
()4若两个自然数的后继相等, 则这两个自然数也相等；
()5（归纳公理）自然数的某个集合若含有1, 而且如果含一个自然数就一定含有这个自然数的后继, 那么这个集合含全体自然数.
其中公理5被称为归纳公理, 是数学归纳法的逻辑基础．
自然数系公理系统直接地保证了数学归纳法的合理性, 所以也可以把数学归纳法当作公理来看待. 所谓公理不是已知数学理论的逻辑推理的产物, 而是未经证明的产物, 其承认的的根据是生活实践.
3 第一数学归纳法
第一步：当1n =时, 等式成立;
第二步：假设当n k =时, 这个等式是成立；也就是假设
3.1 第一数学归纳法的步骤及其误区
下面我们具体论述第一数学归纳法的步骤.
设()P n 是一个含有自然数n 的命题, 利用第一数学归纳法的证明步骤是： 验证00(1)n n n =≥时()P n 成立;
假设0()n k k n =≥时()P k 成立, 能推出1n k =+时(1)P k +也成立.
根据（1）、（2）知, 对一切自然数0()n n n ≥,()P n 成立.
第一数学归纳法的第一个步骤是奠基, 是命题论证的基础；第二个步骤是归纳, 是命题的正确性能够由特殊递推到一般的依据. 这两个步骤密切相关, 缺一不可. 如果只有奠基步骤而没有归纳步骤则属于不完全归纳法, 因而论断的普遍性是不可靠的. 如果只有归纳步骤而没有奠基步骤, 则归纳的假设就失去了依据, 从而是归纳法步骤的证明失去意义. 甚至会导致一些错误. 下面我们来看几个例子.
误区一：忽略了归纳奠基的必要性.
例1 试证明(1)12312
n n n +++++=+. 错证：假设n k =时等式成立, 即(1)12312k k k ++++
+=+, 当1n k =+时.1231k k +++
+++(1)112k k k +=+++(1)(2)12
k k ++=+ 则1n k =+时等式成立. 根据数学归纳法原理可知, 当n 是任意自然数时, 等式都成立.
事实上我们知道这个题目本身就是错的, 但是我们竟然把错误的结论“证明”出来了, 此种怪现象出现的原因, 就是缺乏归纳奠基这一步.
切莫以为归纳基础这一步就是“当1n =时命题正确”这么一句话, 似乎无关紧要, 可有可无. 从上例可以看出, 不去认真的验证这一步, 或者根本没有这一步, 都可能陷入错误之中.
误区二：忽略了归纳递推的必要性
例2 求证:22221123(1)(21)6
n n n n +++
+=++ 错证：当1n =时, 得21112316=???=；这时等式成立. 假设n k =时, 这个等式成立；也就是说假设
22221123(1)(21)6
k k k k +++
+=++. 当1n k =+时, 222221123(1)(1)[(1)1][2(1)1]6
k k k k k ++++++=+++++ 而 11(1)[(1)1][2(1)1](1)(2)(23)66
k k k k k k +++++=+++ 所以222221123(1)(1)(2)(23)6k k k k k ++++++=+++ 也就是说, 当1n k =+时, 这个等式也是成立的.
归纳步骤完成, 结论成立. 乍看起来, 上面的证明似乎也用到了数学归纳法的两个步骤, 特别是也有了第二个步骤, 但事实上, 在证明等式
222221123(1)(1)(2)(23)6
k k k k k +++
+++=+++ 的过程中根本没有用到22221123(1)(21)6k k k k ++++=++这个式子. 所谓从“k ”到“1k +”的过程, 意思是必须把“n k =”时的命题, 当作已经给定的条件（假设）, 在这个基础上来证明“1n k =+”时的命题.
上面这个证明的过程中, 只不过是把要证明的公式加以“注解”而已, 等于什么也没有做.
正确的证法应该是：
22221123(1)(21)6
k k k k ++++=++ 在这个等式两边都加上2(1)k +,得
2222221123(1)(1)(21)(1)6
k k k k k k +++
+++=+++ 而 21(1)(21)(1)6k k k k ++++ 1(1)[(21)(1)]6k k k k =++++ 21(1)[266]6k k k k =++++ 21(1)[276]6k k k =+++ 1(1)(2)(23)6k k k =+++. 所以 222221123(1)(1)(2)(23)6
k k k k k ++++++=+++. 这就是说, 当1n k =+时, 这个等式是成立的.
归纳步骤完成, 就可以断定, 对于任何自然数n , 这个等式都能成立.
误区三：忽略了归纳递推与归纳奠基之间的协同配合
例3 试证任何n 个人都一样高.
错证：当1n =时, 命题变成“任何一个人都一样高”, 结论显然成立. 设n k =时, 结论成立, 即“任何k 个人都一样高”, 那么, 当1n k =+时将1k +个人记为121,,,k k A A A A +,由归纳假设, 12,,,k A A A 都一样高, 而23,,A A 1,k k A A +也都一样高,故121,,,k k A A A A +都一样高. 根据数学归纳法原理, 任何人
都一样高.
显然, 例题3的题目是错误的, 但是错证中数学归纳法的步骤齐全, 这次的问题出在什么地方呢？
我们注意到在上述归纳推理步骤中, 有一个步骤是这样的：“由归纳假设, 12,,,k A A A 都一样高, 而231,,,k k A A A A +也都一样高,故121,,,k k A A A A +都一样高. ”仔细推敲, 不难发现, 这个推理只有在2k ≥时才能成立, 而在1k =时不成立. 这就是说, 尽管由2n k =≥时命题成立, 可以推出1n k =+时命题也成立, 但是由1n =时命题成立, 不可能推倒出2n =时命题成立. 此例中显然还需要“2n =
时命题成立”作为它的归纳奠基, 这显然是不会成立的. 这道题问题就出在归纳递推步骤与归纳奠基的协同配合.
上面举的几类错误地应用数学归纳法的例子, 实际上通过这些例子说明了应用数学归纳法应当注意的地方. 让大家明白数学归纳法的两个步骤是密切联系、缺一不可的.
3.2 数学归纳法的应用
在上一部分我们说明了数学归纳法的步骤及误区, 并且我们可以知道数学归纳法是一些涉及自然数的论断, 我们可能会这样问：“是不是涉及自然数的论断都可以用数学归纳法呢？或者什么时候用数学归纳法呢？”
这个问题较难回答, 主要是决定于问题的具体情况.
例如, 要证明对于任意自然数n , 等式2(3)(1)23n n n n +-=+-成立. 我们可以直接计算左边式子而得到证明. 又如, 如果a b <,,a b 都是自然数, 要证明对于任意自然数n , 有a a n b b n
+<+. 这里, 我们可以利用分数的基本性质, 通过计算来证明这个不等式成立. 像这类问题就不必用数学归纳法.
但是对于那些无法直接计算而必须按从小到大的顺序逐步计算的式子, 要证明这些论断的正确性, 一般需要应用数学归纳法. 运用数学归纳法, 可以证明下列问题：与自然数n 有关的恒等式、代数不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等.
下面说明数学归纳法在一些数学问题中的应用
3.2.1 用归纳法证明代数恒等式
例4 (全国高考试题)证明下列恒等式Ⅲ：
()()()()()()22222212233445212221143n n n n n n n ???-?+?-?++--+=-++??
证明：当1n =时, 左边=22122341814?-?=-=-；
右边()()11141314=-+?+=-. 等式成立.
假设当n k =时等式成立, 即
()()()()()()22222212233445212221143k k k k k k k ???-?+?-?++--+=-++??
当1n k =+时,
()()()()()()()()222222221223344521222121222223k k k k k k k k ???-?+?-?++--++??
??++-++??
()()()()()()2214321222223k k k k k k k ??=-+++++-++??
()()()()()()214321221123k k k k k k k ??=-++++++-+??
()()()()
1432167k k k k k =-++-++
()()2141514k k k =-+++ ()()()1247k k k =-+++
()()()111413k k k =-+++++????????
说明当1n k =+时等式也成立, 恒等式对任何正整数n 都成立.
3.2.2 用归纳法证明不等式
例5 设01n a <<, 用数学归纳法证：
()()()12121111n n a a a a a a --->----
证明：当1,2n =时, 101a <<, 201a <<, ()()121212111a a a a a a --=---, 所以()()1212111a a a a -->--,
假设n k =时, ()()
()12121111k k a a a a a a --->----成立．
证明1n k =+时, ()()()()()()()12112112112112111111111k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++---->-----=-----++++>---
-- 也成立. 所以原命题成立.
3.2.3 用数学归纳法解决整除问题
运用数学归纳法来证明整除问题, 是充分运用整除的性质, 即：/,/h f h g 则/h f g +.
例6 证明22633n n n +++能被11整除.
证明：当n=l 时, 22633n n n +++=2363366++=能被ll 整除.
假设n k =时, 22633k k k +++能被ll 整除.
则当1n k =+时,
()()()()
21121
22222226333663333366363333363333366333333k k k k k k
k k k k k k k k k k ++++++++++=?+?+?=?+?-?+?-?=++-+
由于22633k k k +++能被1l 整除, ()23333k k ++能整除ll,
所以()()222366333333k k k k k ++++-+能整除ll .
即当1n k =+时命题也成立. 根据数学归纳法第一步与第二步可知, 等式对一切n N *∈成立.
3.2.4 运用数学归纳法证明与数列有关的命题
例7 设数列{}n a 的前n 项和为n
S , 若对于所有的自然数n , 都有()12
n n n a a S +=, 证明：{}n a 是等差数列.
分析：要证明{}n a 是等差数列, 可以证明其通项符合等差数列的通项公式的形式, 即证：()11n a a n d =+-. 命题与n 有关, 考虑是否可以用数学归纳法进行证明.
证明：设21a a d -=, 猜测()11n a a n d =+-.
当1n =时, 1n a a =, 当1n =时猜测正确.
当2n =时, ()11221a d a d a +-=+=,当2n =时猜测正确
假设当()2n k k =≥()2n k k =≥时, 猜测正确, 即：()11k a a k d =+-.
当1n k =+时,
()()()11111122
k k k k k k a a k a a a S S ++++++=-=- 将()11k a a k d =+-代入上式, 得()()()11112121k k a k a a ka k k d ++=++---整理得()()()11111k k a k a k k d +-=-+-
因为2k ≥, 所以11k a a kd +=+, 即1n k =+时猜测正确.
综上所述, 对所有的自然数n , 都有()11n a a n d =+-,从而{}n a 是等差数列. 评注：将证明等差数列的问题转化成证明数学恒等式关于自然数n 成立的问题.在证明过程中a 的得出是本题解答的关键. 利用已知的等式()12
n n n a a S +=,数列中通项与前n 项和的关系11k k k a S S ++=-建立含a 的方程, 代人假设成立的式子()11k a a k d =+-解出1k a +. 另外, 不能忽视验证1n =、2n =的正确性,本题 用数学归纳法证明时递推的基础是2n =时等式成立,因为()()1111k k a k a +-=-+ ()1k k d -得到11k a a kd +=+的条件是2k ≥.
3.2.5 用数学归纳法证明几何问题
例8 平面内有n 个圆, 其中每两个圆都相交于两点, 且每三个圆都不相交于同一点. 求证：这n 个圆把平面分成22n n -+个部分.
证明：当1n =时, 一个圆把平面分成两部分, 21122-+=, 命题成立. 假设当n k = 时命题成立, 即k 个圆把平面分成22k k -+.
当1n k =+时．这1k +个圆中的k 个圆把平面分成22k k -+个部分, 第1k +个圆被前k 个圆分成2k 条弧, 每条弧把它所在部分分成了两个部分, 这时共增加了2k 个部分．即1k +个圆把平面分成()()()2
222112k k k k k -++=+-++ 即命题也成立.
根据数学归纳法第一步与第二步可知, 等式对一切n N *∈成立.
从上面的一些例子可以看到, 数学归纳法在代数、几何等方面都有很广泛的应用, 当然这些例子只是九牛一毛, 例如运用数学归纳法证明三角函数的求和公式, 证明组合里的一些公式, 证明函数的各种性质, 以及在微积分行列式一些证明中的应用等等. 总之, 遇到一个涉及自然数的问题的时候, 首先我们要考虑的是, 有没有简单直接的方法来把它算出来. 如果没有简单直接的方法, 就可以用数学归纳法来试试, 至于那些从对1,2,3
n =等情况递推而归纳出的结果, 它的
正确性, 一般要用数学归纳法来证明.
4 第一数学归纳法的技巧
应用数学归纳法证题, 易陷入困境的常在第二步, 解决这个问题并无万能方法, 应该遵循的基本原则：积极创造条件, 有效利用归纳假设, 巧妙变形过渡,
4.1 欲进先退
若在由()P k 到()1P k +的推导过程中陷入困境, 不妨先由()1P k + 退到()P k , 然后用归纳假设再进回到()1P k +. 退的技巧有很多, 常用的有撤出、合并等.
4.1.1 撤出
例9 有()21n n N +∈个飞机场, 每个飞机场都有一架飞机, 各个飞机场之间的距离互不相等. 现让所有的飞机一起起飞, 飞向最近的机场降落, 求证必存在一个机场没有飞机降落.
证明：当1n =时, 设3个飞机场为,,,A B C 其中BC
??
现假设n k =时命题成立, 当1n k =+时, 由于机场之间的距离两两不等, 必有两处机场的距离是最近的, 这两处的飞机会对飞, 不会影响其他机场. 我们将这两个机场先撤出, 由归纳假设, 剩下的21k +个机场中, 存在一个机场P 没有
飞机降落, 再把撤走的机场放回, 则P 仍无飞机降落, 从而可知当1n k =+时命题成立.
4.1.2 合并
例10 设有2n 个球分成了许多堆, 我们可以任意选甲, 乙两堆来按照以下规则挪动：若甲堆的球数p 不少于乙堆的球数q , 则从甲堆拿q 个球放到乙堆去, 这样算挪动一次, 求证:可以经过有限次挪动把所有的球合并成一堆.
证明：当1n =时, 共有2个球, 若已成一堆, 则不必挪动；若分成两堆, 则挪动一次便可成功.
假设n k =时命题成立, 当1n k =+时,对于12k +个球, 若将2个粘合成1个便退到2k 个球的情况, 这种粘合要求每堆球的个数为偶数, 可讨论如下：
若每堆球的个数为偶数, 则每挪动一次都挪动了偶数个球, 这样的任意一次挪动与将球两两粘合在一起挪动无本质区别, 从而等价与2k 个球的挪动, 根据归纳假设, 这是可以做到的.
若存在球数为奇数的堆, 则由总球数为偶数知, 有奇数的堆数为偶数, 将它们配对先挪动一次, 于是每堆球数都为偶数, 问题可以解决.
4.2 构造
在用数学归纳法证明某些问题时, 从n k =到1n k =+的证明中有时需要巧妙构造.
例11 对每个2n ≥, 求证存在n 个互不相等的正整数12,,n a a a ,使得
()()i j i j
a a a a -|+,对任意的{},1,2,,i j n i j ∈≠成立. 证明：当2n =时, 取121,2a a ==, 命题显然成立.
假设n k =时命题成立, 即存在12,,
k a a a 满足()()i j i j a a a a -|+,记b 为12,,k a a a 及它们每两数之差的最小公倍数,则1k +个数b ,12,,
k a b a b a b +++也满足()()t t a b b a b b +-|++????????,()1,2,t k =,
()()()()i j i j a b a b a b a b ????+-+?+++????,(),1,2,i j k i j =≠,
即命题对1n k =+时成立, 由数学归纳法知命题得证.
上例证明中从n k =到1n k =+的过渡用到了较高的构造技巧.
4.3 凑配
有些问题从n k =到1n k =+证明过程中需要凑配出一些特定形式.
例12 设数列n n a n =, 求证：当3n ≥时, 1n n a a +<.
证明：显然, 题设数列是正数列
当3n =时, 4264428a ===, 而36339
a ====, 所以43a a <,
原不等式成立.
假设3n k =≥时, 有11k k k ++<,即 ()11k k k k ++<, ()1
当1n k =+时,要证2121k k k +++<+, 即要证
()()
1221k k k k +++<+, ()2 由()1式两边分别乘以()12k k ++, 从而
()()
()()11121221k k k k k k k k k +++??++<+<+??????, 两边消去()1k k +, 得()()1221k k k k +++<+.
两边开()()12k k ++次方即得2121k k k +++<+.
即当1n k =+时, 原式成立.
综上, 证得原命题成立.
上例证明第二步若要直接将()1代入()2是困难的, 因此用凑配法, 先在()1的两边乘以()
12k k ++, 问题就迎刃而解了.
4.4 先猜后证
有些题目的结论是不容易以下求得的, 根据特殊到一般的规律, 先从符合题意的最小基数0n n =入手, 探索0n n =, 01n n =+, …等个别特例的结果, 发现、
总结其规律性. 对一般的自然数n 给出一个猜想, 再用数学归纳法论证这个猜想的正确性. 即先猜后证.
例13 设列{}n a 的通项公式为()()12131,2
n n a n n -=+=求数列的前n 项和的
公式.
解：因为 ()111121133S a -==?+?=,
()212212322131823S S a -=+=+?+?==?,
()231233222323139333S S a -=+=?+?+?=?=?,
()3413443433241312343S S a -=+=?+?+?=?=?,
至此, 可以猜测数列的前n 项和公式是
()31,2,
n n S n n == ()3
下面用数学归纳法证明. 当1n =时由上述计算可知公式()3是正确的.
设公式当()4n k k =≥时正确, 当1n k =+时,因为
()()()111321333313k k k k k k k S S a k k k k +++=+=++=+=+????
故公式()3当1n k =+时也是正确的.
因此, 公式()3对一切自然数n 都成立. 即()3是数列｛｝前n 项和公式. 这种求和方法——观察-归纳-证明, 实质上是一种由不完全归纳到完全归纳的方法. 由于这种方法中, n S 的形式要从1S , 2S , 3S , 4S 等几个数值中看出来, 因而对1S , 2S , 3S , 4S 等几个数值的化简式变形就成了关键, 只有待其体现了某种规律时, 才有可能猜想出n S 的形式.
4.5 顺势分流
假如要做一件事, 一下子做不了, 我们不妨把其中能做的那一部分分出来先做了, 然后再去做剩下的一部分. 假如用数学归纳法证题, 一下子证不出来, 我
们不妨把其中能用数学归纳法的证明的那一部分分出来先证, 然后再去证明剩下的那一部分, 我们把这种方法叫做顺势分流, 即顺着数学归纳法之势, 将能做的与不能做的分开处理.
例14 试证：对于一切自然数n , 都有222n n +>.
分析：当1n =时结论显然成立, 设n k =时结论成立, 即222k k +>,
当1n k =+时,
()()()()2
12222212222322331k k k k k k k k k k ++-+=+---≥---=-+ 此时发现, 仅当3k ≥时,才有()2
12210k k ++-+≥. 这就是说, 仅当3k ≥时, 命题n=k+1成立.
因此我们不得不将3n ≥的情况与2n ≤的情况分开来处理, 具体的说, 我们可以采用以下的方式证题：
①直接验证2n ≤时不等式成立, 即验证1,2n n ==时不等式成立；
②用数学归纳法证明3n ≥时不等式成立, 即验证“3n =时对, 假设3n k =≥时对, 推证1n k =+时成立”.
命题即可得证, 证明从略.
通过上述论证可以看出, 数学归纳法的论证十分的灵活多变, 要完全掌握这一方法单靠死记硬背是行不通的, 关键是要培养自己的逻辑思维能力, 把握住归纳奠基与归纳递推所展示的逻辑链, 而逻辑思维能力是一个需要毕生精力不断苦练的功夫.
5 小结
通过上述论证可以看出, 数学归纳法是十分有效的方法, 也是一种认识可数无限集合性质的重要方法. 使用数学归纳法进行论证, 将会更深刻的理解所 要论证的命题, 实现由有限到无限的飞跃.
当然, 并非一切与自然数有关的命题的证明都一定要采用数学归纳法, 有些命题虽与自然数有关, 但不用数学归纳法也可以证明. 另外, 对于有些问题运用数学归纳法比较简便, 而另一些问题则以不用数学归纳法较为方便. 因此在具体
问题中, 何时运用数学归纳法比较简捷, 必须根据具体情况来确定, , 而题设命题的可数性则是用数学归纳法的必要条件. 总起来说, 数学归纳法的使用特点是：（1）用数学归纳法证明的命题必须与整数n有关, 这种关系有时是隐蔽的；（2）仅当命题P（n+1）与P（n）、P（n-1）、…之间的关系易于发现时, 运用数学归纳法才容易成功.
总之, 尽管数学归纳法是一种证明方法, 但实质是递推思想, 只要把握住“递推”, 巧妙的进行命题转换, 以递推分析为住, 这样就可以理解其实质, 掌握证题技巧, 真正提高分析问题解决问题的能力.
参考文献
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[7] 冯进. 数学归纳法的发展历程[J].常熟理工学院学报, 2008, 22,8:22-26.
The first mathematical induction and its application
Abstract: mathematical induction is a method of mathematical thinking method in the the most important, one of the most commonly used methods, this is not only because of the large number of problems relevant to natural numbers, more important is to find out and solve the problems in the whole process. Based on the mathematical induction, the origin of technique and the problems needed to notice more the complete system is discussed. Focusing on the first the essence of mathematical induction and the general problem-solving ideas, as well as in solving mathematical problems in the application and skills.
Key words: inductive method the first mathematical induction inequality series
本科生毕业论文（设计）册 作者姓名： 指导教师： 所在学部：信息工程学部 专业：数学与应用数学 班级（届）：2014届2班 二〇一四年五月十日
学位论文原创性声明 本人所提交的学位论文《谈谈数学归纳法》，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的原创性成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。 本声明的法律后果由本人承担。 论文作者（签名）：指导教师确认（签名）： 年月日年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解河北师范大学汇华学院有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权河北师范大学汇华学院可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 （保密的学位论文在年解密后适用本授权书） 论文作者（签名）：指导教师（签名）： 年月日年月日
河北师范大学汇华学院本科毕业论文（设计）任务书 编号：2014230302099 学部：信息工程学部专业：数学与应用数学班级： 2014届2班 学生姓名：学号： 2010511882 指导教师：张硕职称：副教授 1、论文（设计）研究目标及主要任务 通过对数学归纳法定义、理论依据、基本形式等深入的学习，灵活的运用数学归纳法,分析其易错点和解题技巧，并给出自己的建议与思考. 2、论文（设计）的主要内容 （1）数学归纳法的定义、数学归纳法的理论依据、数学归纳法的基本类型； （2）研究数学归纳法解决的常见题型； （3）剖析使用数学归纳法解决应用问题时易出现的错误和解题技巧； （4）数学归纳法的推广应用. 3、论文（设计）的基础条件及研究路线 基础条件：学校拥有大型图书馆和校园网，到学校图书馆查找资料或者上网检索收集大量相关的最新资料，在写作的过程中有指导老师的指导. 研究路线：通过对数学归纳法基本内容的学习研究，归纳总结其在解决问题中的应用方法，并从中分析出解题的误区和一些做题的技巧，提出自己的思考建议． 4、主要参考文献 [1]张莉,贺贤孝.数学归纳法的历史[J].辽宁师范大学学报(自然科学版),1999, (2):102-106. [2]张顺燕.数学的思想、方法和应用[M].北京大学出版社,1997:37-38． [3]余元希等.初等代数研究（上册）[M].高等教育出版社,2010:8-11． [4]李明振、齐建华、王跃进等. 数学方法与解题研究[M].上海科技教育出版社, 2014:183-201 [5]吴志翔著.证明不等式[M]．河北人民出版社，1982:56-59． 指导教师: 年月日教研室主任: 年月日
_ 成 绩 评 定 答辩小组评语： 论文首先介绍了五种数学归纳法，并给出相关的例题。紧接着又介绍了数学归纳法在初等数论中的应用且应注意的问题。该生参考了一定的文献资料，对其理解和应用一般，文章篇幅基本符合学院规定，内容基本完整，层次结构安排基本恰当，但论文选题一般且缺乏个人见解。论文选题符合专业培养目标，题目有一定难度，但工作量一般，基本达到了本科毕业论文的要求。 论文观点明确，文字基本通顺，答辩时表达基本清楚，回答问题基本正确，经答辩小组充分讨论，一致同意通过毕业论文答辩。 评定成绩（优秀、良好、中等、及格、不及格）： 答辩小组组长签名： 年 月 日 分学位委员会意见： 分学位委员会主席签名： 年 月 日 洛阳师范学院 本科生毕业论文（设计）基本情况表 __数学科学学院__院（系） 开 题 报 告 姓 名 性别 学 号 专 业 年 级 孙** 女 110412016 数学与应用数学 2011级 题 目 数学归纳法及其在初等数论中的应用 课题来源 （2） 综 述 选题目的、国外研究现状、选题意义、需要解决的主要问题及可行性等。 选题目的：数学归纳法我们从中学就开始接触，但是有时对的原理并非特别清楚。在诸多证明方法中，数学归纳法那种机械又明快的结构，特立独行. 它的思想性价值很高，是从有限通向无限的第一条高速公路，有里程碑式的作用。特别是在初等数论中的应用。 国内外研究现状：在国内外大学教育中，数学归纳法是数学研究中必不可少的一部分，具有特别重要的地位，因此引起了大量学者对它的研究，其研究也是比较完整和全面的。 选题意义：虽然在课本上有许多例题应用数学归纳法，但是并没有详细介绍它的来源和原理，而且它在证明初等数论中的定理和各种各样的数学问题时，还有着非常广泛 的应用，这就是这篇论文产生的必要性。 需要解决的主要问题及可行性：大学课本上关于数学归纳法定理的证明不是十分完整。本文将会补充完整.说明一些定理在初等数论中成立，最后再将这些定理通过一些例题进行应用。 思 路 及 方 法 思路：首先叙述数学归纳法内容和它的定理的证明，在此基础上再用数学归纳法来 证明初等数论中的例题，最后说明应用数学归纳法在初等数论中应该注意的问题。 方法：本论文采用文献研究法，演绎推理，反证法等多种方法。 指导教师签名： 年 月 日 课题来源：（1）教师建议；（2）学生拟定；（3）企业和社会征集；（4）科研单位提供
1、数学归纳法的理论基础 数学归纳法，人类天才的思维、巧妙的方法、精致的工具，解决无限的问题。它体现的是利用有限解决无限问题的思想，这一思想凝结了数学家们无限的想象力和创造力，这无疑形成了数学证明中一道绚丽多彩的风景线。它的巧妙让人回味无穷，这一思想的发现为后来数学的发展开辟了道路，如用有限维空间代替无限维空间（多项式逼近连续函数）用有限过程代替无限过程（积分和无穷级数用有限项和答题，导数用差分代替）。 1.1数学归纳法的发展历史 自古以来，人们就会想到问题的推广，由特殊到一般、由有限到无限，可人类对无限的把握不顺利。在对无穷思考的过程中，古希腊出现了许多悖论，如芝诺悖论，在数列中为了确保结论的正确，则必须考虑无限。还有生活中一些现象，如烽火的传递，鞭炮的燃放等，触动了人类的思想。 安提丰用圆周内接正多边形无穷地逼近圆的方法解决化圆为方；刘徽、祖冲之用圆内接正多边形去无穷地逼迫圆，无穷的问题层出不穷，后来古希腊欧几里得对命题“素数的个数是无穷的”的证明，通过了有限去实现无限，体现了数学归纳法递推思想。但要形成数学归纳法中明确的递推，清晰的步骤确是一件不容易的事，作为自觉运用进行数学证明却是近代的事。 伊本海塞姆（10世纪末）、凯拉吉（11世纪上叶）、伊本穆思依姆（12世纪末）、伊本班纳（13世纪末）等都使用了归纳推理，这表明数学归纳法使用较普遍，尤其是凯拉吉利用数学归纳法证明 22 333 (1)124n n n +++??????+= 这是数学家对数学归纳法的最早证明。 接着,法国数学家莱维.本.热尔松(13世纪末)用"逐步的无限递进"，即归纳推理证明有关整数命题和排列组合命题。他比伊斯兰数学家更清楚地体现数学归纳法证明的基础，递进归纳两个步骤。 到16世纪中叶，意大利数学家毛罗利科对与全体和全体自然数有关的命题的证明作了深入的考察在1575年，毛罗利科证明了 21n n a a n ++= 其中1231,2k a k =+++?????? =?????? 他利用了逐步推理铸就了“递归推理”的思路，成为了较早找到数学归纳中“递 归推理”的数学家，为无限的把握提供了思维。 17世纪法国数学家帕斯卡为数学归纳法的发明作了巨大贡献，他首先明确而清晰地阐述数学归纳法的运用程序，并完整地使用数学归纳法，证明了他所发
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xxxxxxx毕业论文 数学归纳法在恒等式中的应用 xxx 0xxxxxx xxxx xxxx 学校代码 xxxx 学号 xxxx
xxx 毕业论文 数学归纳法在恒等式中的应用 xxx 指导教师 xxx 专业 xxxx 班级 xxx 论文提交日期 xxxx
目录 摘要 (1) 1.数学归纳法的定义概述 (2) 1.1常用数学证明方法 (2) 1.2数学归纳法的定义 (3) 2.数学归纳法的步骤 (4) 3.易错分析 (5) 3.1弄不清n k =+时的式子变化 (5) =到1 n k 3.2运用数学归纳法时忽略了n k =时的假设条件 (5) 4.运用数学归纳法的典型例题 (5) 5.中学数学中关于数学归纳法的用途 (6) 参考文献 (6) 致谢 (6)
数学归纳法在恒等式中的应用 【摘要】数学归纳法是一种非常重要的数学方法，它不仅对我们中学数学的学习有着很大的帮助,而且在高等数学的学习及研究中也是一种重要的方法。数学归纳法在恒等式的证明中有着其非常巧妙的一面,尤其是在证明与自然数有关的命题时更是有其独特之处.要熟练的应用数学归纳法，首先必须准确的理解其意义以及熟练的掌握解题步骤，而在三个步骤中运用归纳假设尤为关键,运用归纳假设推出猜想最为重要。最后我们在通过用数学归纳法证明简单恒等式的过程中，可以更加深刻理解和掌握“归纳——猜想——证明”这一探索发现的思维方法。 【关键词】归纳法猜想恒等式证明方法 【ABSTRACT】Mathematical induction is a very important mathematical methods, it is not only to our middle school mathematics learning have great help, but also in higher mathematics after the study and research is also an important way. Mathematical induction in the proof of identity has its very clever side, especially in the proof and nature of the proposition when there is unique. To the application of mathematical induction skilled, we must first accurately understand its significance and skilled The master problem-solving steps, and in three steps into the use of assumptions is particularly critical, the use of assumptions summarized introduced guess the most important. In the end we proved that by using a simple mathematical induction identities in the process, can more deeply understand and master, "summed up - guess - that" this discovery to explore ways of thinking. 【KEY-WORDS】Induction; Suspicion; Identical equation; Proof 1 数学归纳法是一种数学证明方法，典型地用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。有一种用于数理逻
2012届本科毕业论文 第一数学归纳法及其应用 院（系）名称数学科学学院专业名称数学与应用数学学生姓名 学号 指导教师 完成时间2012.5
第一数学归纳法及其应用 摘要：数学归纳法是数学思维方法中最重要、最常用的方法之一, 这不仅因为其中大量问题都与自然数有关, 更重要的是它贯穿于发现问题和解决问题的全过程. 本文对数学归纳法的由来、运用技巧以及需要注意的问题进行较为完整的系统论述. 重点阐述了第一数学归纳法的精髓和一般的解题思路, 以及在求解数学问题中的应用和技巧. 关键词：归纳法第一数学归纳法不等式数列 1 引言 对于数学归纳法的研究国内已有不少论文, 这些论文在具体方面做了详尽的论述. 同时还有数量不少的论文从数学归纳法的细微处着眼. 我国的数学期刊或数理杂志, 如《数学教育报》, 《数学通报》, 《数学通讯》等, 刊载的相关文章都从各个角度具体阐述了数学归纳法的常见问题. 数学归纳法是数学中一种重要的证明方法, 也是中学数学一个非常重要的内容, 用于证明与无穷的自然数集相关的命题. 但凡涉及无穷, 总会花费数学家大量时间与精力, 去理解并弄清它的真正意义. 普通归纳法与自然数这一最古老的数学概念及“无穷”这个无法直观感觉的概念相结合的“数学归纳法”, 自然也需要一个漫长的认识过程.在16世纪晚期, 数学归纳法开始出现在代数中. 1575年意大利数学家莫洛里克斯（1494-1575）在他的著作《算术》中就提出了这种方法, 并证明了 2 135(21) +++++=, 虽然莫洛里克斯并没有把数学归纳法贯彻到底, 例如n n 经有限的验证后便以“等等”一类的话代替了必要的演绎, 但是可以说莫洛里克斯算是一个与数学归纳法有关的一个早期的数学家, 一般认为, 历史上第一次成功利用数学归纳法的是17世纪法国数学家帕斯卡（1623-1662）, 1654年, 帕斯
LUOYANG NORMAL UNIVERSITY 2013届本科毕业论文 数学归纳法及其在初等数论中的应用 院（系）名称数学科学学院 专业名称数学与应用数学 学生姓名孙xx 学号110412016 指导教师xx 讲师 完成时间2013.5
数学归纳法及其在初等数论的应用 孙xx 数学科学学院 数学与应用数学 学号：110412016 指导教师：xx 摘 要：数学归纳法是一种非常重要的数学证明方法,典型的用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他形式在一个无穷数列是成立的.本文通过直接证法引入数学归纳法,并介绍了数学归纳法的两个基本步骤及原理.初等数论研究的是关于整数的问题,故应用数学归纳法证明初等数论中的有关的命题是重要的途径. 关键词：数学归纳法;初等数论;不定方程;整除;同余 1 引论 1.1 直接证法 众所周知,数学上的许多命题都与自然数有关.这里所指的n ,往往是指任意的一个自然数.因此,这样的一个命题实际上也就是一个整列命题.要证明这样一整列命题成立,当然可以有多种不同的方法. 其中常用的方法是置n 的任何具体值而不顾,而把它看成是一个任意的自然数,也就是说,假定它只是任何自然数都具备的共同性质,并且在这样的基础上进行推导、运算.如果我们在推导运算中没有遇到什么难以克服的困难,那么我们就有可能用这种方法来完成命题的证明了.这种方法就是习惯上所说的直接证法.如下例： 例1 已知）（2;,,2,1≥???=∈n n i R x i ,满足 121=+++n x x x ,021=+++n x x x . 证明
数学（本科）毕业论文题目汇总 数学毕业（学位）论文 题目汇总 一、数学理论 1. 试论导函数、原函数的一些性质。 2. 有界闭区域中连续函数的性质讨论及一些推广。 3. 数学中一些有用的不等式及推广。 4. 函数的概念及推广。 5. 构造函数证明问题的妙想。 6. 对指数函数的 认识。 7. 泰勒公式及其在解题中的应用。 8. 导数的作 用。 9. Hilbert空间的一些性质。 10. Banach空间的 一些性质。 11. 线性空间上的距离的讨论及推广。 12. 凸集与 不动点定理。 13. Hilbert空间的同构。 14. 最佳逼近 问题。 15. 线性函数的概念及推广。 16. 一类椭圆型方程 的解。 17. 泛函分析中的不变子空间。 18. 线性赋范 空间上的模等价。 19. 范数的概念及性质。 20. 正交 与正交基的概念。 21. 压缩映像原理及其应用。 22.
隐函数存在定理的再证明。 23. 线性空间的等距同构。 24. 列紧集的概念及相关推广。 25. Lebesgue控制收敛定理及应用。 26. Lebesgue积分与Riemann积分的关系。 27. 重 积分与累次积分的关系。 28. 可积函数与连续函数的关系。 29. 有界变差函数的概念及其相关概念。 30. 绝对 连续函数的性质。 31. Lebesgue测度的相关概念。 32. 可测函数与连 续函数的关系。 33. 可测函数的定义及其性质。 34. 分部积分公式的推广。 35. Fatou引理的重要作用。 36. 不定积分的微分的计算。 37. 绝对连续函数与微积分基本定理的关系。 38. Schwartz不等式及推广。 39. 阶梯函数的概念及其作用。 40. Fourier级数及推广。 41. 完全正交系的概念及其作用。 42. Banach空间与Hilbert空间的关系。 43. 函数 的各种收敛性及它们之间的关系。 44.数学分析中的构造法证题 术， 45.用微积分理论证明不等式的方法 46.数学分析中的化归 法 47.微积分与辩证法 48. 积分学中一类公式的证明 49.在上有界闭域的D中连续函数的性质 50.二次曲线中点弦 的性质
归纳法与数学归纳法 摘要：归纳法与数学归纳法是数学的常用方法，本文通过对归纳法与数学归纳法的定义、类别、特 征以及归纳法与数学归纳法之间的联系与区别的探索与分析，了解归纳法与数学归纳法，进而讨论 以归纳法为主要工具，去探索和发现数学问题的解题途径，并学会应用归纳法与数学归纳法解决数 学问题及其它问题． 关键词：归纳法 数学归纳法 初级归纳法 高级归纳法 引言： 归纳法与数学归纳法是解决数学问题的常用方法，通过从特殊事例得出的结论得出在一般情况下该事例的情形，从特殊到一般. 一 归纳法 1、归纳法的定义 引例 观察下列等式 2 111== 21342+== 1359++==23 21357164+++==…… 请推测，从1开始n 个连续的奇数相加,表示它们的和S 的公式是什么? 分析:由21、22、23、24所呈现的规律知底数1、2、3、4恰好是各相应等式左边连续奇数的个数，而指数都是2，因此公式为2S n =即对任何自然数n ，等式2135(21)n n ++++-= 像以上这种由几个具体的特殊事例引出一类事物的一般性结论的推理方法就叫做归纳法. 归纳法是一种特殊的推理方法，归纳法的定义通常有： 定义1：归纳就是由特殊推到一般的过程. 定义2：归纳就是通过对某类事物中的若干特殊情形的分析得出一般结论的思维方法. 2、归纳法的两种形式 归纳法分为两种形式：完全归纳法和不完全归纳法 2.1完全归纳法：所谓完全归纳法就是根据一切特殊情况的考虑而作出的推理．由于应用完 全归纳法时，必须考虑所有对象的情况，所以得出的结论自然是可靠的.不过 在一般情况下，所要考察的对象总是相当多的甚至是无穷多的；特别在数学里，
自学考试本科毕业论文论文题目：数学归纳法及其运用 学校名称：桂林师范高等专科学校 专业名称：数学教育 准考证号： 030114300393 姓名：何东萍 指导教师：李政
目录 内容摘要 一、数学归纳法的由来 （一）数学归纳法的概念 （二）数学归纳法的命名 （三）归纳法的证明 二、数学归纳法的步骤 三、数学归纳法的几种形式 （一）第一数学归纳法 （二）第二数学归纳法 （三）倒推归纳法 （四）跳跃归纳法 （五）螺旋式归纳法 四、数学归纳法的应用 （一）数学归纳法在生物方面的应用（二）数学归纳法在初等数学方面的应用（三）数学归纳法在几何方面的应用 五、数学归纳法的变体 （一）从0以外的数字开始 （二）针对偶数与奇数 （三）递归归纳法 六、数学归纳法常见误区及注意 （一）易错例题 （二）数学归纳法需注意 文献参考
数学归纳法及其应用 班级:数学教育2班姓名:何东萍指导老师：李政 【内容摘要】本文讲述了数学归纳法的历史由来和理论原理，通过数学归纳法的基本形式的学习和理解，用相应实例进行解析说明数学归纳法在各方面的具体应用。最后总结了数学归纳法的常见误区和应用技巧，并对未来发展的场景作出了预测。在中学数学的过程中，有一种很常见并且很基本的数学方法——数学归纳法。对于数学归纳法，人们常常有这样的疑问:数学归纳法的原理是什么？数学归纳法的证明过程为什么要用这样的规定格式？数学归纳法的应用前景会如何？ 【关键词】数学归纳法；归纳法的分类；归纳法的应用； 一、数学归纳法的由来 在最早的使用数学归纳法的证明出现于Francesco Maurolico的Arithmeticorum libri duo（1575年）。Maurolico利用递推关系证明出前n个奇数的总和是n^2，数学归纳法之谜便由此解开。 （一）数学归纳法的概念 数学归纳法有这么一个典型的例子：如果你有一排很长的直立着的多米诺骨牌那么第一张骨牌将倒下，其中某一个骨牌倒了，与其相邻的下一个骨牌也会倒，所以我们可以由此推断出所有的的骨牌都将要倒。也就能确定出这么一种递推关系，只要能够满足这两个条件就会导致所有骨牌全都倒下，用数学的方式可以简述为: （1）第一块骨牌倒下； （2）任意两块相邻骨牌，只要前一块倒下，后一块必定倒下。这样，无论有多少骨牌,只要保证（1）（2）成立，就会全都倒下。 关于数学归纳法，新教材是这样描述的:“从特殊的事例推出一般原理的推
本科毕业论文 文献综述 题目 数学归纳法及其在数列中的应用 学院数学与信息科学专业数学与应用数学班级11数本一学号11109334132 学生姓名夏博指导教师何文明 温州大学教务处制
数学归纳法及其在数列中的应用文献综述 摘要：数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，也是中学数学一个非常重要的内容，用于证明与无穷的自然数集相关的命题．但凡涉及无穷，总会花费数学家大量时间与精力，去理解并弄清它的真正意义．普通归纳法与自然数这一最古老的数学概念及“无穷”这个无法直观感觉的概念相结合的“数学归纳法”，自然也需要一个漫长的认识过程。在中学中，数学归纳法是解决数列问题的一种重要手段，只有在理解了数学归纳法的数学思想，理解了数学归纳法的原理和实质，掌握数学归纳法的步骤才能更为有效的解决数列问题。 关键字：数学归纳法；数列 §1、前言 一般认为,归纳推理可以追溯到公元前 6 世纪的毕达哥拉斯时代。毕达哥拉斯对点子数的讨论是相当精彩的。他由有限个特殊情况而作出一般结论, 具有明显的推理过程,但这些推理只是简单的列举,没有涉及归纳结果,因此是不完全的归纳推理。 完整的归纳推理,即数学归纳法的早期例证是公元前 3世纪欧几里得《几何原本》中对素数无限的证明。其中已经蕴含着归纳步骤和传递步骤的推理。 16 纪中叶,意大利数学家莫罗利科(F·Maurolycus)对与自然数有关命题的证明进行了深入的研究。莫罗利科认识到,对于一个与自然数有关的命题,为了检验其正确与否,若采取逐一代入数进行检验的方法,是严格意义上的数学证明, 要把所有的自然数都检验一遍是不可能做得到的,因为自然数有无穷多个。那么对于这类问题该如何解决呢? 1575 年,莫罗利科在他的《算术》一书中,明确地提出了“递归推理”这个思想方法。法国数学家 B·帕斯卡(Pascal)对莫罗利科提出的递归推理思想进行了提炼和发扬。在他的《论算术三角形》中首次使用数学归纳法,并用其证明了“帕斯卡三角形”(二项展开式系数表,中国称为“贾宪三角性”或“杨辉三角形”)等命题。 “数学归纳法”这一名称最早见于英国数学家 A.德·摩根 1838 年所著的《小百科全书》的引言中。德·摩根指出“这和通常的归纳程序有极其相似之处”, 故赋予它“逐次归纳法”的名称。由于这种方法主要应用于数学命题的证明,德·摩根又提出了“数学归纳法”这个名称。虽然数学归纳法早就被提出并广泛应用了,一直以来它的逻辑基础都是不明确的。1889 年意大利数学家皮亚诺(GPeano)建立了自然数的序数理论,将“后继”作为一种不加定义的基本关系, 列举了自然数不加证明的五条基本性质,其中归纳公理便为数学归纳法的逻辑基础。至此,数学归纳法有了严格的逻辑基础,并逐渐演变为一种常用的数学方法。
大学本科毕业设计（论文）前期报告 毕业设计（论文）题目：数学归纳法的原理及应用 专业：数学与应用数学 一﹑工作过程 本课题主要研究的是数学归纳法的原理及应用。毕业设计工作的过程大致分为：首先熟悉毕业设计任务，收集相关资料。研究数学归纳法的基本原理，及其各种表现形式和应用，为后期的工作做准备。然后系统地介绍数学归纳法的原理，讨论基本表现形式和性质，并利用大量例证来讨论数学归纳法在数学证明中应用。 采用的研究手段是查阅文献资料，结合查找的资料，进行系统的归纳，提炼，总结，论述数学归纳法的相关性质及与各方面的联系和应用等。 毕业设计（论文）工作进度：现已按时顺利完成任务书要求前期工作。 二、文献综述 数学归纳法是数学中一种重要的证明方法。最简单和常见的数学归纳法是证明当n 等于任意一个自然数时某命题成立。证明分下面两步： （1）证明当n=1时命题成立。 （2）证明如果在n = k 时命题成立，那么可以推导出在n = k+1时命题也成立。（k代表任意自然数） 1. 数学归纳法的发展历程 数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，从普通不严密的“归纳法”到精确的“数学归纳法”，再到更一般的“超穷归纳法”、“连续归纳法”等，数学归纳法已经有两千多年的历史了。 数学归纳法最早可以在印度和古希腊时代的著作中找到丝缕痕迹，如印度婆什迦罗的“循环方法”和欧几里德素数无限的证明中都可以找到这种踪迹。李文林翻译的美国数学史教授V?J?Katz在《数学史通论》（第二版）中表明，十四世纪法国数学家、物理学家和工程师莱维?本?热尔森（Levi ben Gerson，1288~1344）在其1321年出版的代表作《计算技术》中已经“本质上使用了数学归纳法”，更有资料表明，在中世纪伊斯兰数学中就已经较清楚、广泛地使用了数学归纳法的归纳推理。
数学与应用数学专业毕业论文参考题目论文指导：选题，排版、大纲、查重QQ：951232671 A、 1、极限思想的产生和发展； 2、利用泰勒展式求函数极限； 3、数列极限和函数极限； 4、求函数极限的方法； 5、等价无穷小求函数极限； 6、求二重极限的方法； 7、三角函数的极值求法； 8、有界非连续函数可积的条件； 9、正项级数收敛的判别方法； 10、Riemann可积条件探究； 11、凸函数的几个等价定义； 12、函数的本质探讨； 13、数学概念的探究教学法； 14、学习《数学分析》的读书报告。 15、用复数证明几何问题； 16、用复数证明代数问题； 17、解析函数展开成幂级数的方法分析； 18、解析函数展开成罗伦级数的方法分析； 19、利用残数定理计算一类实积分； 20、利用对数残数计算复积分； 21、利用辐角原理确定一类方程根的范围； 22、学习《复变函数论》的读书报告。 23、采用某某教学方法对试验班的成绩影响（利用假设检验分析试验班的成绩显著水平）； 24、概率统计在教学管理中的应用； 25、利用假设检验分析班级成绩的显著水平； 26、有理数域上多项式不可约的判定； 27、利用行列式分解因式。 28、n阶矩阵可对角化的条件； 29、有理数域上多项式的因式分解； 30、矩阵在解线性方程组中的应用； 31、行列式的计算； 32、求极值的若干方法； 33、数形结合法在初等数学中的应用； 34、反例在中学数学教学中的作用； 35、生成函数证明递归问题； 36、一类组合恒等式的证明； 37、一个组合恒等式的推广； 38、常生成函数的几个应用； 39、指数生成函数的几个应用； 40、学习《组合数学》的读书报告； 41、学习《离散数学》的读书报告； 42、论数学史的教育价值 43、学习《常微分方程》的读书报告；44、中学生数学学习目的及学习现壮的调查分析； 45、数学优秀生（或后进生）家庭内外状况的分析； 46、中学生数学学习习惯和学习状况的调查分析； 47、如何通过平面几何教学提高学生逻辑思维能力； 48、中学生的数学创新思维的培养； 49、在中学数学教学中渗透数学史的教育。 50.培养中学生解题能力的研究 51.数学应用题解题困难分析及教学策略研究 52.数学解题方法研究 53.关于整系数有理根的几个定理及求解方法 54.命题逻辑及其应用 55.一个实际问题的数学模型 56*方程的近似求解 57*容斥原理与鸽巢原理的应用 58*递推关系的求解及其应用 59*单纯形法在线性规划问题中的应用 60*动态规划解决最优化问题 61*矩阵初等变换的应用 62*多媒体在数学教学中的应用 63*高等数学在中学数学中的应用 B、 1.极限理论在数学分析中的地位与作用及求极限的方法； 2.一致收敛性判别法总结（函数项级数及无穷广义积分）； 3.数学分析中的一致收敛性及其应用； 4.对称性在积分计算（定积分、重积分、线、面积分）中的应用； 5.证明积分不等式方法总结． 6.邻接矩阵在图论中的作用 7.递推关系的解法研究 8.稳定完备婚姻的算法推广 9. 有向图的应用 10.浅谈集合论的发展及所思 11.浅谈数学建模在能力培养中的作用 12.从模糊控制的成功看控制的发展 13.加权平均的形式及作用 14.浅谈数学在计算机科学及应用中的作用 15.双曲几何中的测地线和测地圆周 16.初等几何学多媒体课件的设计与制作 17.曲面内蕴几何中的平移 18.二次曲线与二次曲面上的完全几何不变量系统 19.管状面上的整体标架场与Willmore不等式 20.等周不等式综述 C、 001 解析法在几何中的应用 002 变换法在几何中的应用 003 拓朴学思想方法对数学的作用 004 《数学实验》对数学教学的应用 005 中外数学教学方法比较 006 数学思想方法对数学教学的作用 007 中学数学新教材的分析与思考 008 正确数学观对数学的影响
目录 中文摘要 英文摘要 1 引言 (1) 2 数学归纳法原理 (1) 2.1 良序原理 (1) 2.2 数学归纳法 (2) 2.3 第二数学归纳法 (3) 2.4 数学归纳法的有效性 (4) 3 数学归纳法应用举例 (4) 3.1 数学归纳法在解题和证明中的一些应用 (4) 3.2 数学归纳法在递归定义上的应用 (10) 3.3 数学归纳法在递归算法上的应用 (13) 参考文献 (17)
数学归纳法原理及其应用举例 摘要：数学归纳法原理是一种有效的证明方法.本文将介绍数学归纳法及其等价形式，并证明为什么它们是有效的.特别地，我们将用大量各种不同类型的例子来说明其应用。这些例子有的来自于集合论，数论，有的来自于计算机科学等. 关键词：良序原理，数学归纳法，第二数学归纳法，递归算法. Abstract: The principles of mathematical induction provide effective ways for valid arguments in mathematical proofs. This thesis will present these principles and their other equivalent forms, and will show why they work and particularly will show how they work by examples from diversified settings or areas of mathematics, e.g. set theory, number theory, computer algorithm, and so on. Key words:The well-ordering principle, the first principle of mathematical induction, the second principle of mathematical induction, recursive algorithm.
数学归纳法及其应用--论文
自学考试本科毕业论文论文题目：数学归纳法及其运用 学校名称：桂林师范高等专科学校 专业名称：数学教育 准考证号： 030114300393 姓名：何东萍 指导教师：李政
目录 内容摘要 一、数学归纳法的由来 （一）数学归纳法的概念 （二）数学归纳法的命名 （三）归纳法的证明 二、数学归纳法的步骤 三、数学归纳法的几种形式 （一）第一数学归纳法 （二）第二数学归纳法 （三）倒推归纳法 （四）跳跃归纳法 （五）螺旋式归纳法 四、数学归纳法的应用 （一）数学归纳法在生物方面的应用（二）数学归纳法在初等数学方面的应用（三）数学归纳法在几何方面的应用 五、数学归纳法的变体
（一）从0以外的数字开始 （二）针对偶数与奇数 （三）递归归纳法 六、数学归纳法常见误区及注意 （一）易错例题 （二）数学归纳法需注意 文献参考 数学归纳法及其应用 班级:数学教育2班姓名:何东萍指导老师：李政 【内容摘要】本文讲述了数学归纳法的历史由来和理论原理，通过数学归纳法的基本形式的学习和理解，用相应实例进行解析说明数学归纳法在各方面的具体应用。最后总结了数学归纳法的常见误区和应用技巧，并对未来发展的场景作出了预测。在中学数学的过程中，有一种很常见并且很基本的数学方法
——数学归纳法。对于数学归纳法，人们常常有这样的疑问:数学归纳法的原理是什么？数学归纳法的证明过程为什么要用这样的规定格式？数学归纳法的应用前景会如何？ 【关键词】数学归纳法；归纳法的分类；归纳法的应用； 一、数学归纳法的由来 在最早的使用数学归纳法的证明出现于Francesco Maurolico的Arithmeticorum libri duo（1575年）。Maurolico利用递推关系证明出前n个奇数的总和是n^2，数学归纳法之谜便由此解开。 （一）数学归纳法的概念 数学归纳法有这么一个典型的例子：如果你有一排很长的直立着的多米诺骨牌那么第一张骨牌将倒下，其中某一个骨牌倒了，与其相邻的下一个骨牌也会倒，所以我们可以由此推断出所有的的骨牌都将要倒。也就能确定出这么一种递推关系，只要能够满足这两个条件就会导致所有骨牌全都倒下，用数学的方式可以简述为: （1）第一块骨牌倒下； （2）任意两块相邻骨牌，只要前一块倒下，后一块必定倒下。这样，无论有多少骨牌,只要保证（1）（2）成立，就会全都倒下。 关于数学归纳法，新教材是这样描述的:“从特殊的事例推出一般原理的推理方法叫做归纳法”。 数学归纳法，是用来证明某些与自然数有关的命题的一种推理方法。其既具有演绎法的特征，又具有归纳的特征，它是一种归纳公理综合运用归纳、演绎推理的一种特殊的数学证明法。 （二）数学归纳法的命名 从表面上来看，数学归纳法似乎是属于归纳推理，事实上却不是。因为:数学归纳法的证明过程，可以得出它总体上是由两个部分所组成的，第一是得出P （1）为真，且P（k）到P（k+1）；第二是k=1，2，3，…，由其一得出对所有自然数n，P（n）都是成立的。这两个部分完成了用有限步来证明对无限多个数
毕业设计（论文） 数学归纳法及其在中学数学中的应用Mathematical Induction and the Application in Middle School 学院：理学院 专业：数学与应用数学 学号： 姓名： 指导教师： 二〇一二年六月
摘要 数学归纳法是一种非常重要的数学方法，它不仅对我们中学数学的学习有着很大的帮助,而且在高等数学的学习及研究中也是一种重要的方法，数学归纳法对公式的正确性检验中也有着很大的应用。数学归纳法是将无限化为有限的桥梁,主要探讨关于自然数集的有关命题或者恒等式，数学归纳法在中学数学中的整除问题，恒等式证明，公理证明,排列和组合,几何领域等都有着广泛的应用,这里我们主要结合初中教材来详细列举数学归纳法在中学数学中的应用，要准确的运用数学归纳法，首先必须准确的理解其意义以及熟练的掌握解题步骤，而在三个步骤中运用归纳假设尤为关键,运用归纳假设推出猜想最为重要。最后我们在通过用数学归纳法证明简单恒等式的过程中，可以更加深刻理解和掌握“归纳——猜想——证明”这一探索发现的思维方法。 关键词：归纳法；数学归纳法；中学数学；证明
ABSTRACT Mathematical induction is a very important mathematical methods, it is not only to our middle school mathematics learning have great help, but also in higher mathematics after the study and research is also an important way. Mathematical induction to the correctness of the formulas of the inspection of the application of also has the very big. Mathematical induction into the limited is infinite bridge, mainly discusses the relevant proposition about natural number set or identities, Mathematical induction has wide application in middle school mathematics，such as ,the problem of division,the proof of identity,the proof of axiom,permutations and combinations,geometry.here we main combination junior middle school teaching material to a detailed list mathematical induction in the middle school mathematics application .To the application of mathematical induction skilled, we must first accurately understand its significance and skilled The master problem-solving steps, and in three steps into the use of assumptions is particularly critical, the use of assumptions summarized introduced guess the most important. In the end we proved that by using a simple mathematical induction identities in the process, can more deeply understand and master, "summed up - guess - prove" this discovery to explore ways of thinking. Key words: induction; mathematical induction; middle school mathematics; proof