本科生毕业论文（设计）册
作者姓名：
指导教师：
所在学部：信息工程学部
专业：数学与应用数学
班级（届）：2014届2班
二〇一四年五月十日
学位论文原创性声明
本人所提交的学位论文《谈谈数学归纳法》，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的原创性成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。
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年月日年月日
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论文作者（签名）：指导教师（签名）：
年月日年月日
河北师范大学汇华学院本科毕业论文（设计）任务书
编号：2014230302099
学部：信息工程学部专业：数学与应用数学班级： 2014届2班
学生姓名：学号： 2010511882 指导教师：张硕职称：副教授
1、论文（设计）研究目标及主要任务
通过对数学归纳法定义、理论依据、基本形式等深入的学习，灵活的运用数学归纳法,分析其易错点和解题技巧，并给出自己的建议与思考.
2、论文（设计）的主要内容
（1）数学归纳法的定义、数学归纳法的理论依据、数学归纳法的基本类型；
（2）研究数学归纳法解决的常见题型；
（3）剖析使用数学归纳法解决应用问题时易出现的错误和解题技巧；
（4）数学归纳法的推广应用.
3、论文（设计）的基础条件及研究路线
基础条件：学校拥有大型图书馆和校园网，到学校图书馆查找资料或者上网检索收集大量相关的最新资料，在写作的过程中有指导老师的指导.
研究路线：通过对数学归纳法基本内容的学习研究，归纳总结其在解决问题中的应用方法，并从中分析出解题的误区和一些做题的技巧，提出自己的思考建议．
4、主要参考文献
[1]张莉,贺贤孝.数学归纳法的历史[J].辽宁师范大学学报(自然科学版),1999,
(2):102-106.
[2]张顺燕.数学的思想、方法和应用[M].北京大学出版社,1997:37-38．
[3]余元希等.初等代数研究（上册）[M].高等教育出版社,2010:8-11．
[4]李明振、齐建华、王跃进等. 数学方法与解题研究[M].上海科技教育出版社,
2014:183-201
[5]吴志翔著.证明不等式[M]．河北人民出版社，1982:56-59．
指导教师: 年月日教研室主任: 年月日
河北师范大学汇华学院本科生毕业论文（设计）开题报告书
河北师范大学汇华学院本科生毕业论文（设计）文献综述
本科生毕业论文设计
谈谈数学归纳法
学部：信息工程学部
专业：数学与应用数学
班级：2010级2班
学生：
指导教师：张硕
论文编号：2014230302099
目录
中文摘要、关键词 ...................................................................................................... 错误！未定义书签。引言 ................................................................................................................................. 错误！未定义书签。1数学归纳法的概述........................................ 错误！未定义书签。
1.1数学归纳法的定义 (14)
1.2数学归纳法的理论依据................................. 错误！未定义书签。
1.3数学归纳法的步骤..................................... 错误！未定义书签。
1.4数学归纳法的基本形式................................. 错误！未定义书签。
1.4.1第一数学归纳法................................... 错误！未定义书签。
1.4.2第二数学归纳法................................... 错误！未定义书签。
1.4.3跳跃归纳法....................................... 错误！未定义书签。
1.4.4反向数学归纳法................................... 错误！未定义书签。
1.4.5双重归纳法....................................... 错误！未定义书签。
1.4.6螺旋式归纳法..................................... 错误！未定义书签。2数学归纳法的应用........................................ 错误！未定义书签。
2.1在排列和组合方面的应用............................... 错误！未定义书签。
2.2在几何方面的应用..................................... 错误！未定义书签。
2.3在代数恒等式方面的应用............................... 错误！未定义书签。
2.4在不等式证明方面的应用............................... 错误！未定义书签。
2.5在三角函数方面的应用................................. 错误！未定义书签。
2.6在数列方面的应用..................................... 错误！未定义书签。
2.7在整除性方面的应用................................... 错误！未定义书签。3数学归纳法应用需注意的问题.............................. 错误！未定义书签。
3.1易错分析............................................. 错误！未定义书签。
3.1.1忽略了归纳奠基的必要性........................... 错误！未定义书签。
3.1.2忽略了归纳递推的必要性........................... 错误！未定义书签。
3.2数学归纳法的做题技巧................................. 错误！未定义书签。
3.2.1合并法........................................... 错误！未定义书签。
3.2.2配凑法........................................... 错误！未定义书签。
3.2.3构造法........................................... 错误！未定义书签。4对数学归纳法的思考与建议................................ 错误！未定义书签。结论...................................................... 错误！未定义书签。参考文献.................................................. 错误！未定义书签。英文摘要、关键词.. (1)
谈谈数学归纳法
摘要：数学知识发生过程就是归纳思想的应用过程，它的思想贯穿于发现问题和解决问题的全过程中，解题中应用归纳思想,不仅能由此发现给定问题的解题规律，而且能在实践的基础上发现新的客观规律，提出新的命题．本文先叙述了数学归纳法的理论依据、基本步骤和类型，进而以归纳法为主要工具，去探索和发现数学问题的解题途径以及数学归纳法的推广．数学归纳法作为由特殊概括出一般的思维方法，具有两种基本的意义：首先数学归纳法是一种推理方法，称为归纳推理，它可以为我们提出猜想，为论证提供基础和依据；其次数学归纳是一种研究方法，又是一种创造性的探索思维方法，能开发智力，拓宽思路，引出猜想，得到结论.它在发现问题和探索解题途径的过程中起着非常重要的作用. 充分理解并掌握“归纳—猜想—证明”这一探索的思维方法，提高对数学归纳法的应用能力.
关键字：数学归纳法应用证明方法
引言
归纳法是从个别论断归结出一般结论的推理方法，一般性结论的正确性依赖于各个个别论断的正确性，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法这两种，完全归纳法只局限于有限的几个元素，而不完全归纳法得出的结论却不一定具有可靠性，因而数学归纳法属于完全归纳法.虽然说数学归纳法适用于有关整数的问题，但是它在解决很多数学问题中都有重大的作用，在中学数学中，很多不等式问题、几何问题、函数迭代问题、整除性问题用它来解决都能收到很好的效果.而且在国内的一些数学期刊或数理杂志, 如《数学教育报》, 《数学通报》, 《数学通讯》等, 都刊载了相关文章并从各个角度具体的阐述了数学归纳法的常见问题，可见数学归纳法的地位不容置疑.
最早的使用数学归纳法的证明出现在意大利数学家莫洛里克斯(1494~1575)的著作《算术》中，它提出了这种方法并证明了2
+
+???+
+.之后数学归纳法便成
+
n=
5
)1
1n
2(
3
为数学家们得心应手的数学工具.1889年意大利数学家皮亚诺(C·Peano, 1858~1932)发表了《算术原理新方法》, 给出了自然数的公里体系, 使数学归纳法有了一个准确、合理的理论基础.
数学归纳法有其一定的的理论依据和不同的表现形式，不同的形式之间有什么联系和区别，哪个应用更加的广泛，都是熟练应用数学归纳法的前提.数学归纳法能解决的应用问题有很多，但在解题的过程中也经常容易出现错误，模糊了解题的步骤，这也是学习应用数学归纳法的重点和难点，在这里列举典型例子来体现这一思想，学以致用.
1数学归纳法的概述
1.1数学归纳法的定义
数学中的许多命题都是和正整数n 有关的，这里所说的n ，一般就是指任意的一个自然数，因此，这样的一个问题也就是一个整数的命题．在研究数学问题中，每一类问题都有一种专门的方法来解决．数学归纳法可以说是解决有关整数问题的一种常用工具．在引言中我们已经知道数学归纳法属于完全归纳法．在日常生活中，归纳法的基础是观察与实践，它是人类认识自然、总结生活、生产经验、处理科学实验材料的一种十分重要而且普遍应用的思想方法.流行于我国各地的农谚如“瑞雪兆丰年”、“霜下东风一日晴”等，都是农民根据多年的实践经验进行归纳的结果．化学家、物理学家最基本的研究手段就是实验和归纳，例如化学中的元素周期表，就是用归纳法发现真理的典型例证．再例如水文工作者、气象工作者依据积累的历史资料作水文预报、气象预测，用的就是归纳法．这些归纳法却不能用完全归纳法．完全归纳法也就是数学归纳法,是一种特殊地论证方法，他使我们能够在一些个别实例的基础上，对某个普遍的规律做出论断.数学归纳法的定义用术语来表达是这样的：数学上证明与自然数N 有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立.
1.2数学归纳法的理论依据
数学归纳法是一种递归推理，其理论依据就是下列归纳公理：（1）存在一个自然数N ∈0.（2）每一个自然数a 有一个后继元素'a ，如果'a 是a 的后继元素，则a 叫做'a 的生成元素.（3）自然数0无生成元素.（4）如果''b a =，则b a =.（5）（归纳公理）自然数N 的每个子集M ，如果M 含有0，并且含有M 内每个元素的后继元素，则N M =.
自然数就是满足上述公理的集合N 中的元素，关于自然数的所有性质都是这些公理的直接理论.由以上公理可知，0是自然数关于“后继”的起始元素.如果记10'=，21'=，32'=，???，1'+=n n ，???，则{}??????=,,2,1,0n N .
由以上公理所定义的自然数与前面的由集合所定义的自然数在本质上是一致的.20世纪90年代以前的中学数学教材将自然数起始元素视作1，那么自然数集即为正整数集.现在已统一采用上面的证法，即将0作为第1个自然数.
为了更好地阐述数学归纳法，我们首先来了解一下正整数集的最小数原理.最小数
原理：正整数集中的任意一个非空子集必含有一个最小数.也就是说，存在数S a ∈，对于S x ∈?都有x a ≤，最小数原理就是数学归纳法的理论依据.
1.3数学归纳法的步骤
数学归纳法是解决数学问题的一种重要思想方法，对与自然数n 有关命题的证明是非常有效的.数学归纳法的步骤：
（1）证明当1=n 时，某论断是正确的；
（2）假定当k n =时，论断是正确的，证明当1+=k n 时，这论断也是正确的；
（3）根据（1）（2）就可以断定，对于一切n ，论断都是正确的.
运用数学归纳法证题时, 以上三个步骤缺一不可：步骤（1）时是正确的奠基步骤,称之为归纳基础； 步骤（2）时反应了无限递推关系,即命题的正确性具有传递性；步骤（3）时是将步骤（1）步骤（2）结合完成数学归纳法中递推的全过程.
数学归纳法的第一个步骤，通常证明起来是很简单的，但是决不能略去这一步，这一步叫做归纳法基础.略去这一步骤就可能会得出荒谬的结论.例如可以证出所有的自然数全相等的结论.事实上，假定+=k k 1成立，两边各加1就会得出+k 1=+k 2由此可以得出全体自然数都相等!
在数学归纳法的第一个步骤时，并不一定每次都要从=n 1时开始，也可以从某一个别的自然数开始.但这个自然数必须是要证明公式的第一项.数学归纳法的第二个步骤是整个证明的难点，要经过大量的反复实践才能熟练与灵活的掌握数学归纳法的证明方法.
1.4数学归纳法的基本形式
1.4.1第一数学归纳法
在教课书中我们最常见到的就是第一数学归纳法，所以来着重介绍第一数学归纳法如下：原理：设有一个与正整数n 有关的命题)(n p .如果（1）当1=n 时命题成立.（2）假设k n =时命题成立.（3）若能证明1+=k n 时命题也成立.
证明：(反证法)假设该命题不是对于一切正整数都成立的.令S 表示使该命题不成立的正整数作成的集合，那么S ≠?.那么由最小数原理，S 中有最小数a .因为命题对于1=n 时成立，所以1a ≠，1>a .从而1-a 是个正整数.又由条件（3），当a n =时命题也成立.因此a S ?，导致矛盾.因此该命题对于一切正整数都成立.定理证明完毕.
根据上面在讲到数学归纳法的步骤时，有些命题可能是从c 开始的，这时在叙述上
只要将1=n 换成c n =就可以了.第一数学归纳法主要可概括为以下三步：（1）归纳基础：证明c n =时命题成立；（2）归纳假设：假设n =k 时命题成立；（3）归纳递推：由归纳假设推出1+=k n 时命题也成立.
1.4.2第二数学归纳法
第二数学归纳法与第一归纳法是等价的.但是在有些情况下，由归纳法“假设k n =时命题成立”是不够，还需要更强的假定.也就是说，对于命题()P n ，在证明(1)P k +成立时，不仅依赖()P k 成立，而且还依赖于前面各个步骤都成立，这时一般就要选用第二数学归纳法来证明.
原理：设有一个与正整数n 有关的命题()P n .如果：（1）当1=n 时命题成立（2）在假设命题对于一切正整数n k ≤成立时（3）若能证明1+=k n 时命题也成立.则这个命题对于一切正整数n 都是成立的.其证明方法与上述第一数学归纳法原理的证明方法类似，在这个地方不再重述.
第二数学归纳法可概括为以下三步：（1）归纳基础：证明1=n 时命题成立；（2）归纳假设：假设n k ≤时命题成立；（3）归纳递推：根据归纳假设推出n =k +1时命题也成立.第二数学归纳法与第一数学归纳法在应用证明时的区别就在于归纳假设.
常见的数学归纳法还有以下几种，在这里做简单的介绍.
1.4.3跳跃归纳法
设)(n P 是一个关于自然数n 的命题，若
（1）)(n P 对1=n 、2、3···
i 成立； （2）假设)(k P 成立，可推出)(i k P +成立；
（3）则)(n P 对一切自然数n 都成立.
1.4.4反向数学归纳法
设有一个与正整数n 有关的命题()P n ，若
（1）命题()P n 对于无限多个正整数n 成立；
（2）假设n =k 时命题成立；
（3）若能证明1-=k n 时命题也成立，则这个命题对一切正整数n 都成立.
1.4.5双重归纳法
设),(n m P 是一个关于两个独立自然数n m ,有关的命题，若
（1）设)1,1(P 成立；
（2）假设),(n m P 成立，可推出),1(n m P +与),1(m n P +成立；
（3）则),(n m P 对一切自然数),(n m 成立.
1.4.6螺旋式归纳法
对两个与自然数有关的命题)(),(n Q n P
（1）验证0n n =时)(n P 成立；
（2）假设))((0n k k P >成立，能推出)(k Q 成立，假设)(k Q 成立，能推出)1(+k P 成立；
（3）综合（1）（2），对一切自然数)(0n n n ≥，)(n P ，)(n Q 都成立.
数学归纳法（1） 常州市第一中学高二数学备课组 【教学目标】 知识与技能： 理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的步骤； 过程与方法： 经历观察、思考、分析、抽象、概括出数学归纳法的两个步骤， 初步形成归纳、猜想和发现的能力； 情感态度价值观：通过数学归纳法的学习初步形成严谨务实的科学态度和严谨的 数学思维品质与数学理性精神。 【教学重点】 理解数学归纳法的实质意义，掌握数学归纳法的证题步骤。 【教学难点】 运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推 关系。 【教后反思】 【教学过程】 一．创设情景 1. 摸球实验 已知盒子里面有5个兵乓球，如何证明盒子里面的球全是橙色？ 2. 今天，据观察第一个到学校的是男同学，第二个到学校的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是得出：这所学校里的学生都是男同学。 象这种由一系列特殊事例得出一般结论的方法，我们把它叫做归纳法。 （1） 是完全归纳法，结论正确（2）是不完全归纳法，结论不一定正确。 问题：这些问题都与自然数有关，自然数有无限多个，我们无法对其一一验证，那么如何证明一个与自然数有关的命题呢？例如对于数列{}n a ,已知 111,1n n n a a a a +== +, 通过对n=1,2,3,4前4项的归纳，猜想其通项公式为1n a n = 。 这个猜想是否正确，如何证明？数学中常用数学归纳法证明。 二．探索新知 1、了解多米诺骨牌游戏，可得，只要满足以下两条件，所有多米诺骨牌就都能倒下： （1）第一块骨牌倒下； （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。 思考：条件（1）（2）的作用是什么？ 2、用多米诺骨牌原理解决数学问题。 思考：你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
浅谈数学归纳法 国良 井冈山大学数理学院邮编：343009 指导老师：艳华 [摘要]用数学归纳法证明数学问题时，要注意它的两个步骤缺一不可，第一步是命题递推的基础，第二步是命题递推的依据，也是证明的关键和难点，两个步骤各司其职，互相配合.数学归纳法经历无数数学的潜心研究与科学家们的利用，是数学归纳法得以发展和它为数学问题与科学问题的发现做出了极大的贡献。学好归纳法是科学问题研究的最基础的知识. [关键词]理论依据；数学归纳法；表现形式 1 数学归纳法的萌芽和发展过程 数学归纳法思想萌芽可以说长生于古希腊时代。欧几里德在证明素数有无穷多多个时，使用了反证法，通过反设“假设有有限多个”，使问题变成“有限”的命题，其中证明里隐含着：若有n个素数，就必然存在第n+1个素数，因而自然推出素数有无限多个，这是一种是图用有限处理无限的做法，是人们通过过有限和无限的最初尝试。 欧几里德之后直到16世纪，在意大利数学家莫洛克斯的《算术》一书中明确提出一个“递归推理”原则，并用它证明了1+2+3+…+（2n-1）=2n,对任何自然数n都成立。不过他并没有对这原则做出清晰的表述。 对数学归纳法首次作出明确而清晰阐述的是法国数学家和物理学家帕斯卡，他发现了一种被后来成为“帕斯卡三角形”的数表。他在研究证明有关这个“算术三角形”的一些命题时，最先准确而清晰的指出了证明过程且只需的两个步骤，称之为第一条引理和第二条引理：
第一条引理 该命题对于第一底（即(n=1)成立，这是显然的。 第二条引理 如果该命题对任意底（对任意n ）成立，它必对其下一底（对n+1）也成立。 由此可得，该命题对所有n 值成立。 因此，在数学史上，认为帕斯卡是数学归纳法的创建人，因其所提出的两个引理从本质上讲就是数学归纳法的两个步骤，在他的著作《论算术三角形》中对此作了详尽的论述。 帕斯卡的思想论述十一例子来述归纳法的，而在他的时代还未建立表示一般自然数的符号。直至十七世纪，瑞士数学家J 。伯努利提出表示任意自然熟的符号之后，在他的《猜度术》一书中，才给出并使用了现代形式的数学归纳法。由此，数学归纳法开始得到世人的承认并得到数学界日益广泛的应用。十九世纪，意大利数学家皮亚若建立自然数的公理体系时，提出归纳公理，为数学归纳法奠定了理论基础。即：对于正整数N +的子集M ，如果满足：①1∈M;②若a ∈M ，则a+1∈M ；则M=N +. 2 数学归纳法的表现形式 2.1 第一数学归纳法 原理1：设()P n 是一个与正整数有关的命题，如果 （1）当00()n n n N +=∈时，()P n 成立； （2）假设0(,)n k k n k N +=≥∈时命题成立,由此推得n=k+1时，()P n 也成立； 那么，对一切正整数n 0n ≥,()P n 成立。 证明：反证法.假设该命题不是对于一切正整数都成立.令S 表示使该命题不成立的正整数作成的集合，那么S ≠?，于是由最小数原理，S 中有最小数a ,
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内容提要(黑体3号 ) 由于……………………为了………………………，阐述了………在各个方面的现状，……，论文集中分析了………………………，重点讨论了……………，就…………问题提出了………………………………个人的看法，并说明了…………………………。文中的创新之处在于………………………。本文共由××××、×××××、××××××、×××××九大部分构成。（说明：宋体、小四、行间距：固定值20磅） 说明：摘要中要写作的内容应包括： ①选题的动机（为什么要写作你所选择的题目，要达到什么目的或写作这一题目有什么意义或作用等）； ②论文正文中的主要写作内容（由哪几大部分组成或论述了哪些主要内容或从哪几个方面论述了问题，针对问题提出了哪些解决办法等等）； ③写作者对所论述问题的主要观点或结论等（有什么创新观点，或你提出了什么新的见解，或你赞同什么观点等）。 摘要应是上述内容的综合，并形成一个完整、顺畅的段落，字数要控制在300——500字之间。] 关键词(黑体4号)：管理会计应用研究发展趋势(黑体小4号)… 以下是写作论文提纲（纲要）的一种模式：把要写作的内容构思与基本框架，以一、二、三级标题的形式，按以下方式列示出来，字数在600——1200字之间。（建议采用这一格式，也就是你可仿照下面的形式，编写你的提纲）。
《数学归纳法及其应用举例》教案 中卫市第一中学 俞清华 教学目标： 1．认知目标：了解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证题的方法。 2．能力目标：培养学生理解分析、归纳推理和独立实践的能力。 3．情感目标：激发学生的求知欲，增强学生的学习热情，培养学生辩证唯物主义的世界观 和勇于探索的科学精神。 教学重点： 了解数学归纳法的原理及掌握用数学归纳法证题的方法。 教学难点： 数学归纳法原理的了解及递推思想在解题中的体现。 教学过程： 一．创设情境，回顾引入 师：本节课我们学习《数学归纳法及其应用举例》（板书）。首先给大家讲一个故事：从前有 一个员外的儿子学写字，当老师教他写数字的时候，告诉他一、二、三的写法时，员外儿子很高兴，告诉老师他会写数字了。过了不久，员外要写请帖宴请亲朋好友到家里做客，员外儿子自告奋勇地要写请帖。结果早晨开始写，一直到了晚间也没有写完，请问同学们，这是为什么呢？ 生：因为有姓“万”的。 师：对！有姓“万”的。员外儿子万万也没有想到“万”不是一万横，而是这么写的“万”。通过这个故事，你对员外儿子有何评价呢？ 生：（学生的评价主要会有两种，一是员外儿子愚蠢，二是员外儿子还是聪明的。） 师：其实员外儿子观察、归纳、猜想的能力还是很不错的，但遗憾的是他猜错了！在数学 上，我们很多时候是通过观察→归纳→猜想，这种思维过程去发现某些结论，它是一种创造性的思维过程。那么，我们在以前的学习过程中，有没有也像员外儿子那样猜想过某些结论呢？ 生：有。例如等差数列通项公式的推导。 师：很好。我们是由等差数列前几项满足的规律：d a a 011+=，d a a +=12，d a a 213+=，d a a 314+=，……归纳出了它的通项公式的。其实我们推导等差数列通项公式的方法和员外儿子猜想数字写法的方法都是归纳法。那么你能说说什么是归纳法，归纳法有什么特点吗？ 生：由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。特点：特殊→一般。 师：对。（投影展示有关定义） 像这种由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。根据推理过程中考察的 对象是涉及事物的一部分还是全部，分为不完全归纳法和完全归纳法。 完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又 叫做枚举法。那么，用完全归纳法得出的结论可靠吗？ 生：（齐答）可靠。 师：用不完全归纳法得出的结论是不是也是可靠的呢？为什么？
1# 数学归纳法 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2011·怀化模拟)用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，在 第二步时，正确的证法是 ( ) A ．假设n ＝k (k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立 B ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋1命题成立 C ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立 D ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋2命题成立 2．(2011·鹤壁模拟)用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n －1
本科生毕业论文（设计）册 作者姓名： 指导教师： 所在学部：信息工程学部 专业：数学与应用数学 班级（届）：2014届2班 二〇一四年五月十日
学位论文原创性声明 本人所提交的学位论文《谈谈数学归纳法》，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的原创性成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。 本声明的法律后果由本人承担。 论文作者（签名）：指导教师确认（签名）： 年月日年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解河北师范大学汇华学院有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权河北师范大学汇华学院可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 （保密的学位论文在年解密后适用本授权书） 论文作者（签名）：指导教师（签名）： 年月日年月日
河北师范大学汇华学院本科毕业论文（设计）任务书 编号：2014230302099 学部：信息工程学部专业：数学与应用数学班级： 2014届2班 学生姓名：学号： 2010511882 指导教师：张硕职称：副教授 1、论文（设计）研究目标及主要任务 通过对数学归纳法定义、理论依据、基本形式等深入的学习，灵活的运用数学归纳法,分析其易错点和解题技巧，并给出自己的建议与思考. 2、论文（设计）的主要内容 （1）数学归纳法的定义、数学归纳法的理论依据、数学归纳法的基本类型； （2）研究数学归纳法解决的常见题型； （3）剖析使用数学归纳法解决应用问题时易出现的错误和解题技巧； （4）数学归纳法的推广应用. 3、论文（设计）的基础条件及研究路线 基础条件：学校拥有大型图书馆和校园网，到学校图书馆查找资料或者上网检索收集大量相关的最新资料，在写作的过程中有指导老师的指导. 研究路线：通过对数学归纳法基本内容的学习研究，归纳总结其在解决问题中的应用方法，并从中分析出解题的误区和一些做题的技巧，提出自己的思考建议． 4、主要参考文献 [1]张莉,贺贤孝.数学归纳法的历史[J].辽宁师范大学学报(自然科学版),1999, (2):102-106. [2]张顺燕.数学的思想、方法和应用[M].北京大学出版社,1997:37-38． [3]余元希等.初等代数研究（上册）[M].高等教育出版社,2010:8-11． [4]李明振、齐建华、王跃进等. 数学方法与解题研究[M].上海科技教育出版社, 2014:183-201 [5]吴志翔著.证明不等式[M]．河北人民出版社，1982:56-59． 指导教师: 年月日教研室主任: 年月日
1、数学归纳法的理论基础 数学归纳法，人类天才的思维、巧妙的方法、精致的工具，解决无限的问题。它体现的是利用有限解决无限问题的思想，这一思想凝结了数学家们无限的想象力和创造力，这无疑形成了数学证明中一道绚丽多彩的风景线。它的巧妙让人回味无穷，这一思想的发现为后来数学的发展开辟了道路，如用有限维空间代替无限维空间（多项式逼近连续函数）用有限过程代替无限过程（积分和无穷级数用有限项和答题，导数用差分代替）。 1.1数学归纳法的发展历史 自古以来，人们就会想到问题的推广，由特殊到一般、由有限到无限，可人类对无限的把握不顺利。在对无穷思考的过程中，古希腊出现了许多悖论，如芝诺悖论，在数列中为了确保结论的正确，则必须考虑无限。还有生活中一些现象，如烽火的传递，鞭炮的燃放等，触动了人类的思想。 安提丰用圆周内接正多边形无穷地逼近圆的方法解决化圆为方；刘徽、祖冲之用圆内接正多边形去无穷地逼迫圆，无穷的问题层出不穷，后来古希腊欧几里得对命题“素数的个数是无穷的”的证明，通过了有限去实现无限，体现了数学归纳法递推思想。但要形成数学归纳法中明确的递推，清晰的步骤确是一件不容易的事，作为自觉运用进行数学证明却是近代的事。 伊本海塞姆（10世纪末）、凯拉吉（11世纪上叶）、伊本穆思依姆（12世纪末）、伊本班纳（13世纪末）等都使用了归纳推理，这表明数学归纳法使用较普遍，尤其是凯拉吉利用数学归纳法证明 22 333 (1)124n n n +++??????+= 这是数学家对数学归纳法的最早证明。 接着,法国数学家莱维.本.热尔松(13世纪末)用"逐步的无限递进"，即归纳推理证明有关整数命题和排列组合命题。他比伊斯兰数学家更清楚地体现数学归纳法证明的基础，递进归纳两个步骤。 到16世纪中叶，意大利数学家毛罗利科对与全体和全体自然数有关的命题的证明作了深入的考察在1575年，毛罗利科证明了 21n n a a n ++= 其中1231,2k a k =+++?????? =?????? 他利用了逐步推理铸就了“递归推理”的思路，成为了较早找到数学归纳中“递 归推理”的数学家，为无限的把握提供了思维。 17世纪法国数学家帕斯卡为数学归纳法的发明作了巨大贡献，他首先明确而清晰地阐述数学归纳法的运用程序，并完整地使用数学归纳法，证明了他所发
_ 成 绩 评 定 答辩小组评语： 论文首先介绍了五种数学归纳法，并给出相关的例题。紧接着又介绍了数学归纳法在初等数论中的应用且应注意的问题。该生参考了一定的文献资料，对其理解和应用一般，文章篇幅基本符合学院规定，内容基本完整，层次结构安排基本恰当，但论文选题一般且缺乏个人见解。论文选题符合专业培养目标，题目有一定难度，但工作量一般，基本达到了本科毕业论文的要求。 论文观点明确，文字基本通顺，答辩时表达基本清楚，回答问题基本正确，经答辩小组充分讨论，一致同意通过毕业论文答辩。 评定成绩（优秀、良好、中等、及格、不及格）： 答辩小组组长签名： 年 月 日 分学位委员会意见： 分学位委员会主席签名： 年 月 日 洛阳师范学院 本科生毕业论文（设计）基本情况表 __数学科学学院__院（系） 开 题 报 告 姓 名 性别 学 号 专 业 年 级 孙** 女 110412016 数学与应用数学 2011级 题 目 数学归纳法及其在初等数论中的应用 课题来源 （2） 综 述 选题目的、国外研究现状、选题意义、需要解决的主要问题及可行性等。 选题目的：数学归纳法我们从中学就开始接触，但是有时对的原理并非特别清楚。在诸多证明方法中，数学归纳法那种机械又明快的结构，特立独行. 它的思想性价值很高，是从有限通向无限的第一条高速公路，有里程碑式的作用。特别是在初等数论中的应用。 国内外研究现状：在国内外大学教育中，数学归纳法是数学研究中必不可少的一部分，具有特别重要的地位，因此引起了大量学者对它的研究，其研究也是比较完整和全面的。 选题意义：虽然在课本上有许多例题应用数学归纳法，但是并没有详细介绍它的来源和原理，而且它在证明初等数论中的定理和各种各样的数学问题时，还有着非常广泛 的应用，这就是这篇论文产生的必要性。 需要解决的主要问题及可行性：大学课本上关于数学归纳法定理的证明不是十分完整。本文将会补充完整.说明一些定理在初等数论中成立，最后再将这些定理通过一些例题进行应用。 思 路 及 方 法 思路：首先叙述数学归纳法内容和它的定理的证明，在此基础上再用数学归纳法来 证明初等数论中的例题，最后说明应用数学归纳法在初等数论中应该注意的问题。 方法：本论文采用文献研究法，演绎推理，反证法等多种方法。 指导教师签名： 年 月 日 课题来源：（1）教师建议；（2）学生拟定；（3）企业和社会征集；（4）科研单位提供
议论文写作提纲（示例1） 《谈意气》 一、引论（1）用雏鹰翱翔天宇、骏马驰骋万里引出中心论点：英雄创业靠的是舍我其谁勇战万方的勇气。（类比） 二、本论（2—7）分三层论证中心论点。第一层（2-3）分论点1：舍我其谁的意气使人奋起。（例证、引证） 论据：李贺、陈胜、孟子豪言壮语（效果分析法） 第二层（4-5）分论点2：献身理想的意气使人勇敢。（例证、排比） 论据：布鲁诺、哥伦布、红军的事例（因果分析法） 第三层（6-7）分论点3：勇于探索的意气使人发挥潜力。（例证） 论据：杨振宁、李政道、吴剑雄、王淦昌（因果分析法） 三、结论（8）用浆、巨轮、彼岸作比归纳全文，激励人们。（比喻） 谈意气 如果说雏鹰腾飞苍穹要经历风雨的击打，那么那搏击长空的意气就是它那犀利的双眼；如果说骏马奔驰于旷野要经历千万里奔跑的锤炼，那么那奔腾万里为夙愿的意气就是助其翻越千山万水的铁蹄；人，欲傲立于世，成为一代雄杰，成就一世伟业，那舍我其谁，勇战万方的意气就是其成功的基石。 舍我其谁的意气，使人奋起。 看惯了凡人的庸庸碌碌，听厌了庸人的自怨自艾，一句“男儿何不带吴钩，收取关山五十州”使我们心中重燃建功立业的激情；听厌了对命运的感伤，想破了身世的无济，那句“王侯将相宁有种乎”的振臂一呼，使我们重生改变命运的豪气。舍我其谁，使我们重新审视自己，重新找到自己身上的闪光点，重新树立起一个全新的自我形象。舍我其谁的意气，使我们充分认识到自己的价值与能力，使我们为了自己身上所担负的重任而勇猛作战。——舍我其谁的意气，是人们腾飞的起点。 献身理想的意气，使人勇敢。 凡人欲成大事者，皆需受尽千磨万砺。也许上天就是喜欢捉弄那矢志于成功的人们，他总是要为孜孜于辉煌的人们设置障碍。那障碍， 可能是罗马宗教裁判所前的熊熊烈火，可能是哥伦布远航新大陆中连天风雷，可能是红军长征中的雪山草地。然而，幸运的人们呵，他们还有理想，在献身理想的意气的指引下，他们如布鲁诺一般投身于火海，为捍卫真理而与烈火永生；他们在献身理想的意气指引下，如哥伦布一般义无反顾地踏上征途为探寻未知世界而披肝沥胆；在献身理想的意气的指引下，他们如红军战士一般豪气顿生征服千山万水为拯救民族而抗争，献身理想的意气，是成功的精神动力。勇于探索的意气，是人们发挥潜能的金钥匙。 科学，充满了未知的美。好奇的人类站在自然与社会圣殿的门口，不时的规探其中的奥妙，而只有勇于探索的人勇敢地踏入了上帝设置的禁区，徜佯于科学的无尽美妙。于是我们看见杨振宁李政道勇于质疑前 人，看见吴剑雄勤于实验破解谜云，看见一代大师王淦昌在极其恶劣的科研条件下为物理学发展献计献策。——勇于探索的意气，是成功之眼。 …… 望尽人类千载悠悠的历史，凡成大事者，皆为意气风发，慷慨激越之人。让我们以舍我其谁的意气为帆，以献身理想的意气为指引，以勇于探索，勇于挑战的意气为浆，驾起人生的巨轮，向着成功的彼岸远航！ 议论文写作提纲（示例2） 《学会历史般的旁观》（议论性散文）
理学院数学0301班杨瑞毕业论文第 1 页共 18页 杨瑞 （理学院数学与应用数学 0301班） 指导教师:宋文青摘要：正项级数收敛的判别法在级数的收敛法中占有极其重要的地位．常见的判别法有 比较判别法，达朗贝尔比值判别法，柯西判别法，高斯判别法,柯西积分判别法等．对于上述判别法，它们都有一定的条件限制，为了找到更简单，适用条件更广的判别法，国内 外学者或者在一般判别法的基础上做了推广或者提出了一些新的判别法． 近几年，关于正项级数收敛性判别法又有了一些新的研究，主要是针对一些新判别法 的适用条件进行了讨论．本文主要分两部分对正项级数的判别法进行了推广，第一部分对 比值判别法进行了推广，给出了比值判别法在失效情况下的判别方法，这也是本文的主要 部分，第二部分对比较判别法进行了推广．这些推广的新的判别法解决了原判别法的条件 限制，使其更具一般性，适用性更广． ：正项级数；收敛性；发散性；判别法 A Generalization of Convergence Criterion for Positive Progressions Yang Rui (0301 Mathematics and Applied Mathematics School of Science ) The instructor: Song Wen-qing
Abstract: Convergence Criterion for Positive Progressions holds the extremely important status in the progression． The common criterions include the comparison distinction law, reaches the bright Bell ratio distinction law, west the tan oak distinguishes the law, Gauss distinguishes the law, west the tan oak the integral distinction law and so on, but these distinction laws all have the certain condition limit． In order to find out more simply and more widely-used distinction laws, domestic and foreign scholars have made some promotion or worked out some new distinction laws． In recent years, there are several new researches about positive progressions astringency distinguished the law mainly aiming at discussing applicable requirements of new distinction 济南大学毕业论文用纸 理学院数学0301班杨瑞毕业论文第 2 页共 18页 law． This article was mainly divided in 2 parts to carry on the promotion of the series of positive progressions distinction law． The first part promotes specific value distinction law as
如何编写论文提纲 编写提纲的步骤： (一)确定论文提要，再加进材料，形成全文的概要 论文提要是内容提纲的雏型。一般书、教学参考书都有反映全书内容的提要，以便读者一翻提要就知道书的大概内容。我们写论文也需要先写出论文提要。在执笔前把论文的题目和大标题、小标题列出来，再把选用的材料插进去，就形成了论文内容的提要。 (二)原稿纸页数的分配 写好毕业论文的提要之后，要根据论文的内容考虑篇幅的长短，文章的各个部分，大体上要写多少字。如计划写20页原稿纸(每页300字)的论文，考虑序论用1页，本论用17页，结论用1—2页。本论部分再进行分配，如本论共有四项，可以第一项3—4页，第二项用4—5页，第三项3—4页，第四项6—7页。有这样的分配，便于资料的配备和安排，写作能更有计划。毕业论文的长短一般规定为8000—10000字，因为过短，问题很难讲透，而作为毕业论文也不宜过长，这是一般大专、本科学生的理论基础、实践经验所决定的。 (三)编写提纲 论文提纲可分为简单提纲和详细提纲两种。简单提纲是高度概括的，只提示论文的要点，如何展开则不涉及。这种提纲虽然简单，但由于它是经过深思熟虑构成的，写作时能顺利进行。没有这种准备，边想
边写很难顺利地写下去。以《关于培育和完善建筑劳动力市场的思考》为例，简单提纲可以写成下面这样： 一、序论 二、本论 (一)培育建筑劳动力市场的前提条件 (二)目前建筑劳动力市场的基本现状 (三)培育和完善建筑劳动力市场的对策 三、结论 详细提纲，是把论文的主要论点和展开部分较为详细地列出来。如果在写作之前准备了详细提纲，那么，执笔时就能更顺利。下面仍以《关于培育和完善建筑劳动力市场的思考》为例，介绍详细提纲的写法：一、序论 1．提出中心论题； 2，说明写作意图。 二、本论 (一)培育建筑劳动力市场的前提条件 1．市场经济体制的确立，为建筑劳动力市场的产生创造了宏观环境；2．建筑产品市场的形成，对建筑劳动力市场的培育提出了现实的要求； 3．城乡体制改革的深化，为建筑劳动力市场的形成提供了可靠的保证； 4．建筑劳动力市场的建立，是建筑行业用工特殊性的内在要求。
第2课时数学归纳法的应用双基达标(限时20分钟) 1．利用数学归纳法证明1 n＋ 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋…＋ 1 2n<1(n∈N *，且n≥2)时，第二步 由k到k＋1时不等式左端的变化是 ()． A．增加了 1 2k＋1 这一项 B．增加了 1 2k＋1 和 1 2k＋2 两项 C．增加了 1 2k＋1 和 1 2k＋2 两项，同时减少了 1 k这一项 D．以上都不对 解析不等式左端共有n＋1项，且分母是首项为n，公差为1，末项为2n 的等差数列，当n＝k时，左端为1 k＋ 1 k＋1 ＋ 1 k＋2 ＋…＋ 1 2k；当n＝k＋1时， 左端为 1 k＋1 ＋ 1 k＋2 ＋ 1 k＋3 ＋…＋ 1 2k＋ 1 2k＋1 ＋ 1 2k＋2 ，对比两式，可得结论． 答案 C 2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”的第二步是 ()．A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确 B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确 C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确 D．假使n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N*) 解析因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第(k＋1)个正奇数即n＝2k＋1正确． 答案 B 3．已知平面内有n条直线(n∈N*)，设这n条直线最多将平面分割成f(n)个部分，则f(n＋1)等于
()．A．f(n)＋n－1 B．f(n)＋n C．f(n)＋n＋1 D．f(n)＋n＋2 解析要使这n条直线将平面所分割成的部分最多，则这n条直线中任何两条不平行，任何三条不共点．因为第n＋1条直线被原n条直线分成n＋1条线段或射线，这n＋1条线段或射线将它们所经过的平面区域都一分为二，故f(n＋1)比f(n)多了n＋1部分． 答案 C 4．已知S n＝1 1·3＋ 1 3·5＋ 1 5·7＋…＋ 1 (2n－1)(2n＋1) ，则S1＝________，S2＝________， S3＝________，S4＝________，猜想S n＝________. 解析分别将1,2,3,4代入观察猜想S n＝n 2n＋1 . 答案1 3 2 5 3 7 4 9 n 2n＋1 5．用数学归纳法证明“当n为正偶数时x n－y n能被x＋y整除”第一步应验证n ＝________时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成________________．解析因为n为正偶数，故第一个值n＝2，第二步假设n取第k个正偶数成立，即n＝2k，故应假设成x2k－y2k能被x＋y整除． 答案2x2k－y2k能被x＋y整除 6．用数学归纳法证明： 1＋1 22＋ 1 32＋…＋ 1 n2＜2－ 1 n(n≥2)． 证明：(1)当n＝2时，1＋1 22＝ 5 4＜2－ 1 2＝ 3 2，命题成立． (2)假设当n＝k时命题成立，即1＋1 22＋ 1 32＋…＋ 1 k2＜2－ 1 k，当n＝k＋1时， 1＋1 22＋ 1 32＋…＋ 1 k2＋ 1 (k＋1)2 ＜2－ 1 k＋ 1 (k＋1)2 ＜2－ 1 k＋ 1 k(k＋1) ＝2－ 1 k＋ 1 k－ 1 k＋1＝2－ 1 k＋1 ，命题成立． 由(1)、(2)知原不等式在n≥2时均成立． 综合提高(限时25分钟)
数学归纳法及其应用举例 【本章学习目标】 人们在研究数量的变化时，常常会遇到有确定变化趋势的无限变化过程，这种无限变化过程就是极限的概念与思想，极限是人们研究许多问题的工具。以刘微的“割圆术”为例，圆内接正n 边形的边数无限增加时，正n 边形的周长P n 无限趋近于圆周长2πR 。这里的是个有限多项的数列，人们可以从这个有限多项的数列来探索无穷数列的变化趋势。不论n 取多么大的整数，n P 都是相应的圆周长的近似值，但是我们可以从这些近似值的精确度的无限提高中（限n 无限增大）找出圆周长的精确值2πR 。随着n 的增加，n P 在变化，这可以认为是量变（即只要n 是有限数，n P 都是圆内接正多边形的周长）；但是我们可以从这些量变中来发现圆周长。一旦得出2πR ，就是质的变化（即不再是正多边形的周长）。这种从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的思想就是极限的思想。 本章重点内容是： （1）数学归纳法及其应用。 （2）研究性课题：杨辉三角。 （3）数列的极限。 （4）函数的极限。 （5）极限的四则运算。 （6）函数的连续性。 本章难点内容是： （1）数学归纳法的原理及其应用。 （2）极限的概念。 【基础知识导引】 1．了解数学推理中的常用方法——数学归纳法。 2．理解数学归纳法的科学性及用数学归纳法来证明与正整数有关命题的步骤。 3．掌握数学归纳法的一些简单应用。 【教材内容全解】 1．归纳法
前面我们在学习等差数列时，通过等差数列的前几项满足的关系式归纳出等差数列的通项公式。再如根据三角形、四边形、五边形、六边形等的内角和归纳出凸n 边形内角和公式。像这样由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，叫做归纳法。 对于归纳法我们可以从以下两个方面来理解。 （1）归纳法可以帮助我们从具体事列中发现事物的一般规律。 （2）根据考察的对象是全部还是部分，归纳法又分完全归纳法与不完全归纳法。显然等差数列通项公式，凸n 边形内角和公式都是通过不完全归纳法得出的，这些结论是正确的。但并不是所有由不完全归纳法得出的结论都是正确的。这是因为不完全归纳只考察了部分情况，结论不具有普遍性。例如课本62P 数列通项公式22)55(+-=n n a n 就是一个典型。 2．数学归纳法 在生活与生产实践中，像等差数列通项公式这样与正整数有关的命题很多。由于正整数有无限多个，因而不可能对所有正整数一一加以验证。如果只对部分正整数加以验证就得出结论，所得结论又不一定正确，要是找到把所得结论递推下去的根据，就可以把结论推广到所有正整数。这就是数学归纳法的基本思想：即先验证使结论 有意义的最小正整数0n ，如果当0n n =时，命题成立，再假设当 ),(*0N k n k k n ∈≥=时，命题成立（这时命是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于0n 的正整数命题都成立。 由此可知，用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，要分两个步骤，且两个步骤缺一不可。 第一步递推的基础，缺少第一步，递推就缺乏正确的基础，一方面，第一步再简单，也不能省略。另一方面，第一步只要考察使结论成立的最小正整数就足够了，一般没有必要再多考察几个正整数。 第二步是递推的根据。仅有这一步而没有第一步，就失去了递推的基础。例如，假设n=k 时，等式 成立，就是。那么， 。这就是说，如果n=k 时等式成立， 那么n=k+1时等式也成立。但仅根据这一步不能得出等式对于任何n ∈N*都成立。因为当n=1时，上式左边=2，右边31112=++=，左边≠右边。这说明了缺少第一步这个基础，第二步的递推也就没有意义了。只有把第一步的结论与第二步的结论结合在一起，才能得出普遍性结论。因此，完成一、二两点后，还要做一个小结。 在证明传递性时，应注意： （1）证n=k+1成立时，必须用n=k 成立的假设，否则就不是数学归纳法。应当指出，n=k 成立是假设的，这一步是证明传递性，正确性由第一步可以保证，有了递推这一步，联系第一步的结论（命题对0n n =成立），就可以知道命题对10+n 也成立，进而再由第二步可知1)1(0++=n n ，即20+=n n 也成立。这样递推下去，就可以知道命题对所有不小于0n 的正整数都成立。 （2）证n=k+1时，可先列出n=k+1成立的数学式子，作为证明的目标。可以作为条件加以运用的有n=k 成立的假设，已知的定义、公式、定理等，不能直接将n=k+1代入命题。 3．这一节课本中共安排了五个例题，例1～例3是用数学归纳法证明等式。其步骤是先证明当0n n =（这里10=n ）时等式成立。再假设当n=k 时等式成立，利用这一条件及已知的定义、公式、定理证明当n=k+1时等式也成立。注意n=k+1时的等式是待证明的，不能不利用假设。例如：求证：。
目录 1、数学归纳法---------------------------------------------------------- 3 1.1 归纳法定义-------------------------------------------------------- 3 1.2 数学归纳法体现的数学思想----------------------------------------- 4 1.2.1 从特殊到一般------------------------------------------------ 4 1.2.2 递推思想---------------------------------------------------- 4 2、数学归纳法在中学数学中的应用技巧------------------------------------- 5 2.1 强调------------------------------------------------------------- 5 2.1.1 两条缺一不可------------------------------------------------ 5 2.2 技巧------------------------------------------------------------- 5 2.2.1 认真用好归纳假设-------------------------------------------- 5 2.2.2 学会从头看起------------------------------------------------ 6 2.2.3 在起点上下功夫---------------------------------------------- 7 2.2.4 正确选取起点和过渡------------------------------------------ 8 2.2.5 选取适当的归纳假设形式-------------------------------------- 9 3、数学归纳法在中学数学中的应用 ---------------------------------------- 9 3.1 证明有关自然数的等式--------------------------------------------- 9 3.2 证明有关自然数的不等式------------------------------------------ 11 3.3 证明不等式------------------------------------------------------ 11 3.4 在函数迭代中的应用---------------------------------------------- 12 3.5 在几何中的应用-------------------------------------------------- 14 3.6 在排列、组合中的应用-------------------------------------------- 16 3.7 在数列中的应用-------------------------------------------------- 16 3.8 有关整除的问题-------------------------------------------------- 17